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专题02 一次函数与反比例函数
常考题型·精准突破
题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重）
题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
题型3 一次函数与反比例函数的交点问题（高频）
题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难）
题型5 一次函数与反比例函数的实际应用（重）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断
1．D
2．A
3．B
◆题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
4．(
)
2, 2
−
−
5．(
)
2
1
−
−
，
6．(
)
1, 3
−−
◆题型3 一次函数与反比例函数的交点问题
7．
1
x
−
或0
2
x
8．
【答案】(1)一次函数的关系式为
4
y
x
−
=
+
，反比例函数的关系式为
3
y
x
=
(2)
0
x
或1
3
x
(3)(
)
2,0 或(
)
6,0
【详解】（1）解：把点A 的坐标代入
m
y
x
=
得3
1
m
=
，解得
3
m =
，
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∴反比例函数的关系式为
3
y
x
=
，
把点B 的坐标代入
3
y
x
=
得
3
1
3
n =
= ，
∴
(
)
3,1
B
，
把点A 和点B 的坐标代入y
kx
b
=
+
得
3
3
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
1
4
k
b
= −
=
，
∴一次函数的关系式为
4
y
x
−
=
+
；
（2）解：由（1）和函数图象可得不等式
m
kx
b
x
+
的解集为
0
x
或1
3
x
；
（3）解：如图所示，设直线AB 交x 轴于点D，
在
4
y
x
−
=
+
中，当
0
y =
时，
4
x = ，
∴
(
)
4,0
D
；
∵
2
PAB
PAD
PBD
S
S
S
=
−
=
，
∴1
1
2
2
2
A
B
PD y
PD y
−
=
，
∴1
1
3
1
2
2
2
PD
PD
−
=
，
∴
2
PD =
，
∴点P 的横坐标为4 2
2
−=
或4
2
6
+
=
，
∴点P 的坐标为(
)
2,0 或(
)
6,0 ．
9．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2) 4
0
x
−
或
2
x
(3)(
)
0, 3
−
或(
)
0,5
【详解】（1）解：把
(
)
2,
A
a 代入
1
1
2
y
x
=
+ ，得
1
2 1
2
2
a =
+ =
，
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∴
(
)
2,2
A
，
把
(
)
2,2
A
代入
k
y
x
=
，得
2
2
k
=
，解得
4
k =
，
∴反比例函数的表达式为
4
y
x
=
；
（2）解：把
(
)
, 1
B b −
代入
1
1
2
y
x
=
+ ，得
1
1
1
2 b + = −，解得
4
b = −，
∴
(
)
4, 1
B
−
−
；
又
(
)
2,2
A
，
由图可知，1
1
2
k
x
x
+
的解集为4
0
x
−
或
2
x
；
（3）解：如图，设直线AB 与y 轴交于点M ，
令
0
x =
，则
1
0 1 1
2
y =
+ = ，
∴
(
)
0,1
M
，
设
(
)
0,
P
p ，则
1
PM
p
=
−，
∵
1
1
2
4
3
12
2
2
ABP
APM
BPM
S
S
S
PM
PM
PM
=
+
=
+
=
=
，
∴3
1
12
p −
=
，
解得
3
p = −或
5
p =
，
∴点P 的坐标为(
)
0, 3
−
或(
)
0,5 ．
◆题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用
10．
【答案】(1)
6
k
−
=
，
5
b =
(2)
(
)
6,1
D −
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(3)存在；E 点的坐标为
6 ,5
5
−
或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
【详解】（1）解：将
(
)
1,6
A −
代入y
x
b
−
=
+ 得6
1 b
= +
，
解得
5
b =
，
将
(
)
1,6
A −
代入
k
y
x
=
，得
6
1
k =
−
，即
6
k
−
=
，
（2）解：
l
：
5
y
x
−
=
+ ，
5
x
y
=
−
，
设
(
)
5
,
C
m m
−
，
10
CD =
，
10
C
D
x
x
−
=
，
∴
10
5
10
5
D
C
x
x
m
m
=
−
=
−
−
= −−
，
(
)
5
,
D
m m
−−
，
∵点D 在双曲线上，
(
)
5
6
m
m
−
−
= −，
解得
1
1
m = ，
2
6
m = −（舍去），
(
)
6,1
D
−
；
（3）解：存在．
设
(
)
,
5
C n
n
−+
，
①当C 为直角顶点时，过点C 作x 轴的垂线CN ，垂足为N，过点E 作EM
CN
⊥
，垂足为M，则
90
EMN
ONM
=
=
，
90
ECO
=
，
90
ECM
OCN
+
=
，
90
EMC
=
，
90
MEC
ECM
+
=
，
OCN
MEC
=
，
又∵等腰直角三角形ECO中，CE
CO
=
，
(
)
AAS
EMC
CNO
≌
，
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CM
ON
n
=
=
，
5
E
C
y
y
n
=
+
=
，
1
6 ,5
5
E
−
；
②当O 为直角顶点时，过点C 作CN
x
⊥
轴，垂足为N，过点E 作EM
x
⊥
轴，垂足为M，同理可得
EMO
ONC
△
≌△
，
EM
ON
n
=
=
，
5
OM
CN
n
=
= −，
(
)
5,
E n
n
−
，
(
)
5
6
n
n
−
= −，解得
1
2
n =
，
2
3
n =
，
此时
(
)
2
3,2
E
−
，
(
)
3
2,3
E
−
，
综上所述：满足条件的E 点的坐标为
6 ,5
5
−
或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
．
11．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：
(
)
1
6
0
y
x
x
=
，一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
(2)
(
)
2,3
C
或3 ,4
2
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
与一次函数
2 = −+
y
x
a的图象交于点A，B，B 点坐标为(
)
6,1 ，
∴将
(
)
6,1
B
代入反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
中，
得：1
6
k
=
，
解得：
6
k =
，
∴反比例函数的解析式为：
(
)
1
6
0
y
x
x
=
；
同理，将
(
)
6,1
B
代入一次函数
2 = −+
y
x
a中，
得：1
6
a
= −+
，
解得：
7
a =
，
∴一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
；
（2）解：设点P 的纵坐标为m，
∵点P 为线段AB 上的一点，一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
，
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∴
(
)
7
,
P
m m
−
，
∵过P 作y 轴的垂线，垂足为H，
∴
(
)
0,
H
m ，
∵点C 为PH 中点，
∴
7
,
2
m
C
m
−
，
∵点C 在反比例函数图象上，
∴7
6
2
m
m
−
=
，
整理得：
2
7
12
0
m
m
−
+
=
，
解得：
3
m =
或
4
m =
，
∴
(
)
2,3
C
或3 ,4
2
．
12．
【答案】(1)
8
y
x
= −
，
(
)
1, 8
B
−
(2) 3 ,0
7
，197
(3)(
)
1,8
−
【详解】（1）解：将
(
)
4,2
A −
代入直线
2
y
x
b
= −
+
得，2 ( 4)
2
b
−−
+
=
，
解得
6
b = −，
∴一次函数的解析式为
2
6
y
x
= −
−
，
再将
(
)
4,2
A −
代入
k
y
x
=
得，
4 2
8
k = −= −，
∴反比例函数的解析式为
8
y
x
= −
，
联立
2
6
8
y
x
y
x
= −
−
= −
，得
2
2
6
8
0
x
x
+
−
=
，
解得：
1
4
x = −（舍去），
2
1
x = ，
∴
(
)
1, 8
B
−
；
（2）解：在
2
6
y
x
= −
−
中，当
0
x =
时，
6
y = −，则
(
)
0, 6
E
−
，
作点E 关于x 轴的对称点E，则
(
)
0,6
E
，
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根据轴对称性质，PE
PE
=
，
∴PE
PB
PE
PB
+
=
+
．
当E、P、B 三点在一条直线上时，PE
PB
+
的值最小，最小值为线段E B的长度．
(
)
(
)
2
2
1 0
8
6
197
E B =
−
+ −−
=
，
∴PE
PB
+
的最小值为197 ．
设直线E B的方程为y
mx
c
=
+ ．
将
(
)
0,6
E
和
(1, 8)
B
−
代入y
mx
c
=
+ 得
8
6
m
c
c
−=
+
=
，
解得
14
6
m
c
= −
=
．
∴直线E B的方程为
14
6
y
x
= −
+
令
0
y =
，得0
14
6
x
= −
+
，解得
3
7
x =
．
∴点P 的坐标为3 ,0
7
．
（3）解：如图，过C 作CT
y
∥轴交AB 于点T，
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设
8
,
C c
c
−
，则( , 2
6)
T c
c
−
−
，
∴
8
2
6
CT
c
c
= −
+
+ ，
∴
(
)
1
1
8
2
6
5
30
2
2
ABC
ACT
BCT
B
A
S
S
S
CT
x
x
c
c
=
+
=
−
=
−
+
+
=
，
解得
1
1
c = −，
2
4
c =
（舍去），
∴点C 的坐标为(
)
1,8
−
．
◆题型5 一次函数与反比例函数的实际应用
13．
【答案】(1)上课10分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是80
(2)本节课讲解这道题的用时最多为12分钟
【详解】（1）解：设前10分钟内y 与x 的函数关系式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
将(
)
0,30 和(
)
2,40 代入解析式得
2
40
30
k
b
b
+
=
=
，
解得
5
30
k
b
=
=
，
∴前10分钟内y 与x 的函数关系式为
5
30
y
x
=
+
，
∵5
0
，
∴y 随着x 的增大而增大，
∵当
10
x =
时，
5 10
30
80
y =
+
=
，
∴上课10分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是80；
（2）解：由（1）可得前10分钟内的函数解析式为
5
30
y
x
=
+
，
当
50
y =
时，5
30
50
x +
=
，
解得
4
x = ，
设10分钟后y 与x 的函数关系式为
(
)
0
m
y
m
x
=
，
将(
)
10,80 代入解析式得80
10
m
=
，
∴
800
m =
，
∴10分钟后y 与x 的函数关系式为
800
y
x
=
，
当
50
y =
时，800
50
x =
，
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解得
16
x =
，
∴注意力指数不低于50的持续时间为16
4
12
−
=
（分钟），
∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为12分钟．
14．
【答案】(1)5
(2)
(
)
500
5
y
x
x
=
(3)
(
)
65 min
8
【详解】（1）解：升温总温差：100
20
80 C
−
=
，
用时：
(
)
80 16
5 min
=
；
（2）由（1）得停止加热点坐标为(
)
5100
，
，
∵降温时，水温(
)
oC
y
是通电时间(
)
min
x
的反比例函数，
∴设降温过程中，即
5
x
时，水温y 关于通电时间x 的函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
把(
)
5,100 代入
(
)
0
k
y
k
x
=
中得：100
5
k
=
，
解得：
500
k =
，
∴在水温下降的过程中，水温y 关于通电时间x 的函数表达式为
(
)
500
5
y
x
x
=
；
（3）在升温段，即0
5
x
＜时，
∵水温从20 C
升到50 C
时所用时间为
(
)
50
20
15 min
16
8
−
=
，
∴当15
5
8
x
＜时，水温不低于50 C
，
在降温段，即
5
x
时，
∵当
50
y =
时，
500
10
50
x =
=
，
∴当5
10
x
时，水温不低于50 C
，
综上所述：当15
10
8
x
时，水温不低于50 C
，
∴水温不低于50 C
的时长为
(
)
15
65
10
min
8
8
−
=
．
15．
【答案】(1)
98
20
y
x
=
+
（0
10
x
）；
10000
y
x
=
（10
20
x
）
(2)10min
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(3)25.1min
【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（℃）与时间x（min ）成一次函数关系，
设此时函数解析式为y
kx
b
=
+
，由图象可知，该函数经过(
)
0,20 和(
)
10,1000 两点，
即
0
20
10
1000
b
k
b
+
=
+
=
，解得
20
98
b
k
=
=
，
即
98
20
:
B y
x
A
=
+
（0
10
x
），
第一次锻造时温度y（℃）与时间x（min ）成反比例函数关系，
设此时函数解析式为
m
y
x
=
，
由图象可知，该函数经过(
)
10,1000 点，即1000
10
m
=
，解得
10000
m =
，
即
10000
:
BC y
x
=
（10
20
x
）；
（2）解：当
500
y =
时，
10000
500
x =
，解得：
20
x =
，
当
1000
y =
时，
10
x =
，
20 10
10
−
=
（min ），
所以第一次锻造操作的时长是10min ；
（3）解：每次煅烧温度上升的速度相同，
设第二次煅烧时温度y（℃）与时间x（min ）的函数解析式为y
ax
n
=
+ ，
由题意得
98
a =
，即函数解析式为
98
y
x
n
=
+
，此函数经过(
)
20,500 点，
代入可得，500
98 20
n
=
+
，
1460
n
= −
，即
98
1460
y
x
=
−
，
当
1000
y =
时，
25.1min
x
，
所以第二次开始锻造的时间约为第25.1min ．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．C
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3．C
4．D
5．D
二、填空题
6．(
)
3, 2
−
7．
1
4
−
/ 0.25
−
8．7
9．88
10．
2
2 3
2
−
三、解答题
11．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)点D的坐标为5 5
,
2 2
【详解】（1）解：点A 在y
x
=
上，且横坐标为2，
(
)
2,2
A
，
把
(
)
2,2
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
得，
2
2
4
k
xy
=
=
=
，
反比例函数的表达式为
4
y
x
=
；
（2）
CE
x
⊥
轴，且
4
OE = ，
点C 的横坐标为4，
在
4
y
x
=
中，令
4
x = ，则
(
)
1,
4,1
y
C
=
，
在Rt OCE
中，
4,
1
OE
CE
=
= ，
2
2
2
2
2
4
1
17
OC
OE
CE
=
+
=
+
=
．
点D在直线y
x
=
上，设
(
)
,
D m m ，
2
2
2
2
2
2
2
(
0)
(
0)
2
,
(
4)
(
1)
OD
m
m
m CD
m
m
=
−
+
−
=
=
−
+
−
，
在Rt OCD
中，
2
2
2
OD
CD
OC
+
=
，
即
2
2
2
2
(
4)
(
1)
17
m
m
m
+
−
+
−
=
，整理得
2
2
5
0
m
m
−
=
，
解得：
0
m =
（舍去，不符合题意），
5
2
m =
，
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5
2
m
=
，
点D的坐标为5 5
,
2 2
．
12．
【答案】(1)直线的解析式为
1
9
y
x
2
2
=
+
，双曲线的解析式为
(
)
4
0
y
x
x
= −
(2)(
)
5,2
−
或
5
4, 2
−
【详解】（1）解：把点B 的坐标代入
(
)
0
m
y
x
x
=
得4
1
m
= −，
∴
4
m = −，
∴双曲线的解析式为
(
)
4
0
y
x
x
= −
，
把点A 的坐标代入
(
)
4
0
y
x
x
= −
得1
4
2
a
= −
，
∴
8
a
−
=
，
∴
1
8, 2
A
−
，
把点A 和点B 的坐标代入y
kx
b
=
+
得
1
8
2
4
k
b
k
b
−
+
=
−+
=
，
∴
1
2
9
2
k
b
=
=
，
∴直线的解析式为
1
9
y
x
2
2
=
+
；
（2）解：设
1
9
, 2
2
P p
p
+
，
∵PC
y
⊥轴，即CD
y
⊥
轴，且点D 在双曲线
(
)
4
0
y
x
x
= −
上，
∴
4
2
2
COD
S
−
=
=
△
，
1
9
2
2
CP
p
OC
p
= −
=
+
，
，
∴
5
COP
COD
POD
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
∴
(
)
1
1
9
5
2
2
2
p
p
−
+
=
，
解得
4
p = −或
5
p = −，
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当
4
p = −时，1
9
5
2
2
2
p +
=
，
当
5
p = −时，1
9
2
2
2
p +
=
，
∴点P 的坐标为(
)
5,2
−
或
5
4, 2
−
．
13．
【答案】(1)
1
,
4
2
a
a
−
+
，
1
4,
2
2
a
a
+
−
+
(2)
2
6
y
x
=
；
(3)2
6
x
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为a ，
∴纵坐标为
1
4
2 a
−
+ ，
∴点A的坐标为
1
,
4
2
a
a
−
+
，
∵点B 与点A的横坐标之差是4，
∴点B 的横坐标为
4
a+
，
∴纵坐标为
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
−
+
+
= −
+ ，
∴点B 的坐标为
1
4,
2
2
a
a
+
−
+
；
（2）解：∵反比例函数
2
k
y
x
=
的图象经过点A和点B ，
∴
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
a
a
−
+
=
+
−
+
，
解得
2
a =
，
∴点A的坐标为(
)
2,3 ，
∴
2 3
6
k = =
，
∴反比例函数的关系式为
2
6
y
x
=
；
（3）解：由（2）得点A的坐标为(
)
2,3 ，点B 的坐标为(
)
6,1 ，
∴不等式
1
4
2
k
x
x
−
+
的解集为2
6
x
．
14．
【答案】(1)
4
k =
(2)这种抗过敏药物约隔5 小时需服用一次
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【详解】（1）解：由题意得，
6
2
10
100
200
k
=
，
∴
4
k =
；
（2）解：设上升段的表达式为
(
)
0
y
mx m
=
，代入(
)
30,100 可得，30
100
m =
，
解得
10
3
m =
，
∴上升段的表达式为
(
)
10
0
30
3
y
x
x
=
，
当
40
=
y
时，则
12
x =
；
由（1）得下降过程中的函数
6
2
4 10
y
x
=
，
在
6
2
4 10
y
x
=
中，当
40
=
y
时，
6
2
4 10
40
x
=
，
解得
100 10
316.3
x =
或
100 10
316.3
x = −
−
（舍去），
∴
(
)
( )
316.3 12
304.3 min
5 h
t =
−
=
答：隔5 小时需服用第二次．
15．
【答案】(1)1；
2
6
y
x
=
；
1
7
y
x
= −+
(2)1
6
x
(3) 35
2
(4) E 的坐标为(
)
2,5 或(
)
3,4
【详解】（1）解：将
(
)
6,1
B
的坐标代入
2
m
y
x
=
，得
6
m =
．
反比例函数的解析式为
2
6
y
x
=
．
将
(
)
,6
A a
的坐标代入
6
y
x
=
，得
1
a = ．
把
(
)
1,6
A
和
(
)
6,1
B
代入
1y
kx
b
=
+
，得：
6
6
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
1
7
k
b
= −
=
，
故直线AB 的解析式为：
1
7
y
x
= −+
，
（2）解：由（1）知
(
)
1,6
A
和
(
)
6,1
B
，
结合图象可得，当1
6
x
时，
1
2
y
y
．
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（3）解：令
0
x =
，
1
7
7
y
x
= −+
=
，令
1
0
y =
，
7
x =
，
(
)
(
)
0,7 ,
7,0
M
N
，
1
1
1
2
2
2
AOB
MON
AOM
BON
A
B
S
S
S
S
OM
ON
OM
x
ON
y
=
−
−
=
−
−
1
1
1
7 7
7 1
7 1
2
2
2
=
−
−
35
2
=
．
（4）解：设E 点的坐标为(
)
,
7
n
n
−+
，则点F 的坐标为
(
)
6
,
1
6
n
n
n
，
6
7
EF
n
n
= −+
−
．
1
3
EF
AD
=
，
6
AD =
，
6
1
7
6
3
n
n
−+ −
=
，
整理得：
2
5
6
0
n
n
−
+
=
．
解得：
1
2
2,
3
n
n
=
= ，
E
的坐标为(
)
2,5 或(
)
3,4 ．
16．
【答案】（1）解：∵反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n
）相交于
(3,1)
A
、B 两点，
∴
(
)
3, 1
B −
−
，
设直线BC 为y
ex
f
=
+
，而点
(1,3)
C
，
∴
3
3
1
e
f
e
f
−
+
=
−
+
=
，
解得：
1
2
e
f
=
=
，
∴直线BC 为
2
y
x
=
+
，
∴
(
)
0,2
G
，
∵
(3,1)
A
，
(1,3)
C
，
同理可得直线AC 为
4
y
x
−
=
+
，
∴
(
)
0,4
F
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
4
2
CF =
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
2
2
CG =
−
+
−
=
，
∴CF
CG
=
.
(2)解：CG
CF
=
成立，理由如下：
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反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）过
(3,1)
A
，点C ，
∴
3
m =
，即
1
3
y
x
=
，
设
3
,
C t t
，设直线BC 为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
3, 1
B −
−
，
∴
3
1
3
k
b
tk
b
t
−
−
+
=
+
=
，解得：
1
3
1
k
t
b
t
=
=
−
，
∴直线BC 为
1
3 1
y
x
t
t
=
+
−，
∴
3
0,
1
G
t
−
，
∵
(3,1)
A
，
3
,
C t t
，
同理可得直线AC 为：
1
3 1
y
x
t
t
= −
+
+ ，
∴
3
0,
1
F
t
+
，
∴
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CG
t
t
t
t
=
−
+
−
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CF
t
t
t
t
=
−
+
−
−
=
+
，
∵
0
CG
，
0
CF
，
∴CG
CF
=
.
（3）解：设点
, m
A a a
，点
,
m
B
a
a
−
−
，点
, m
C t t
，
同理可得：直线AC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
+
，
当
0
x =
，
m
m
y
a
t
=
+
，
当
0
y =
，
0
m
m
m
x
at
a
t
−
+
+
=
，
解得：x
a
t
=
+ ，
∴点
0, m
m
F
t
a
+
，点
(
)
,0
E a
t
+
，
同理可得：直线BC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
，
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同理：点
0, m
m
G
t
a
−
，点
(
)
,0
D t
a
−
，
∴
2
DE
a
=
，
2m
FG
a
=
，
DE 与FG 的乘积
4m
=
．
