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专题02 一次函数与反比例函数
常考题型·精准突破
题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断（重）
题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
题型3 一次函数与反比例函数的交点问题（高频）
题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用（难）
题型5 一次函数与反比例函数的实际应用（重）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 一次函数与反比例函数图象综合判断
1．（2026·四川巴中·中考真题）函数y
kx
k
=
−与
k
y
x
=
（
0
k
）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据k 的符号分两种情况讨论，结合函数图象经过的象限进行判断即可．
【详解】解：分两种情况讨论：①当
0
k 时，则
0
k
−
，
反比例函数
k
y
x
=
的图象在第一、三象限，一次函数y
kx
k
=
−的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当
0
k
时，则
0
k
−
，
反比例函数
k
y
x
=
的图象在第二、四象限，一次函数y
kx
k
=
−的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
2．（25-26 八年级下·湖南衡阳·期末）在同一平面直角坐标系中，函数
1
y
kx
= −
+ 与
k
y
x
=
(
)
0
k
的图象大致
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是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分类讨论，当
0
k 时，故
1
y
kx
= −
+ 经过第一、二、四象限，
(
)
0
k
y
k
x
=
经过第一、三象限，或
当
0
k
时，
1
y
kx
= −
+ 经过第一、二、三象限，且进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：依题意，当
0
k 时，则
0
k
−
，
∴
1
y
kx
= −
+ 经过第一、二、四象限，
此时得
(
)
0
k
y
k
x
=
经过第一、三象限，
故A 选项符合题意，B、D 选项都不符合题意；
当
0
k
时，则
0
k
−
，
∴
1
y
kx
= −
+ 经过第一、二、三象限，
故C 选项不符合题意；
综上，只有选项A 符合题意．
3．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）函数
k
y
x
=
与
0
y
kx
k k
= −
+
（
）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据一次函数y
kx
k
=
+
的图象经过的象限判断k 的取值范围，再根据k 的取值范围判断反比例函数
经过的象限是否符合要求．
【详解】解：A 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、三象限，
0
k
−
，即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的负半轴，
故A 选项错误；
B 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、四象限，
0
k
−
，即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的正半轴，
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反比例函数
k
y
x
=
应在第一、三象限，
故B 选项正确；
C 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、二、四象限，
0
k
−
即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的正半轴，
反比例函数
k
y
x
=
应在第一、三象限，
故C 选项错误；
D 选项：一次函数y
kx
k
= −
+
的图象经过第一、三、四象限，
0
k
−
即
0
k
，
一次函数y
kx
k
= −
+
的图象与y 轴的交点(
)
0,k 应在y 轴的负半轴，
反比例函数
k
y
x
=
应在第二、四象限，
故D 选项错误．
◆题型2 正比例函数与反比例函数的交点问题
4．（25-26 八年级下·河南洛阳·期中）已知直线y
x
=
与双曲线
4
y
x
=
的一个交点为(
)
2,2 ，则另一个交点坐标
为______．
【答案】(
)
2, 2
−
−
【分析】根据正比例函数和反比例函数的性质得到它们的交点关于原点中心对称，据此求解即可．
【详解】解：直线y
x
=
是过原点的正比例函数，双曲线
4
y
x
=
是反比例函数，两个函数的图象都关于原
点中心对称，
它们的交点也关于原点中心对称，
已知一个交点为(
)
2,2 ，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，
另一个交点为(
)
2, 2
−
−
．
5．
（25-26 九年级上·广西梧州·期末）如图，已知反比例函数
1k
y
x
=
的图象与一次函数
2
y
k x
=
的图象交于A
B
、
两点，若点A的坐标为(
)
2 1，，则点B 的坐标为___________
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【答案】(
)
2
1
−
−
，
【分析】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题的知识点，注意反比例函数图象的中心对称性，
即两点关于原点对称．根据点A的坐标为(
)
2 1，，可得
1
2
k =
，即可求解.
【详解】解：根据反比例函数与正比例函数的交点关于中心对称，
∵点A的坐标为(
)
2 1，，
∴
1
2
k =
，
∴反比例函数在第一、三象限，
∴点B 的坐标为(
)
2
1
−
−
，
，
故答案为：(
)
2
1
−
−
，
.
6．（25-26 九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数y
ax
=
与反比例函数
6
a
y
x
−
=
相交于点A和点B ．若A的横坐标为1，则B 的坐标为__________．
【答案】(
)
1, 3
−−
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据A的横坐标为1，求出a 的值，进而求出A
点坐标，再根据对称性求出点B 的坐标即可．
【详解】解：令
6
a
ax
x
−
=
，
∵同一平面直角坐标系下的正比例函数y
ax
=
与反比例函数
6
a
y
x
−
=
相交于点A和点B ，A的横坐标为1，
∴
6
1
1
a
a
−
=
，
∴
3
a = ，
∴
3
y
x
=
，
∴当
1
x = 时，
3
3
y
x
=
=
，
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∴
(
)
1,3
A
，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点
,
A B 关于原点对称，
∴
(
)
1, 3
B −−
；
故答案为：(
)
1, 3
−−
．
◆题型3 一次函数与反比例函数的交点问题
7．（25-26 八年级下·山西长治·期末）如图，一次函数
1y
x
b
= −+ 的图象与反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象交
于
(
)
1,2
A −
，
(
)
2, 1
B
−
两点，则关于x 的不等式
k
x
b
x
−+
的解集是________．
【答案】
1
x
−
或0
2
x
【分析】找出一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即可得出结果．
【详解】解：∵一次函数
1y
x
b
= −+ 的图象与反比例函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
1,2
A −
，
(
)
2, 1
B
−
两点，
∴结合函数图象得关于x 的不等式
k
x
b
x
−+
的解集是
1
x
−
或0
2
x
．
8．
（25-26 八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数y
kx
b
=
+
的图象与反比例函数
m
y
x
=
的图象交于(
)
1,3
A
，
(
)
3,
B
n 两点，k ，b ，m 为常数．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)根据图象直接写出不等式
m
kx
b
x
+
的解集为__________；
(3)点P 为x 轴上一点，若PAB
的面积为2，请直接写出点P 的坐标．
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【答案】(1)一次函数的关系式为
4
y
x
−
=
+
，反比例函数的关系式为
3
y
x
=
(2)
0
x
或1
3
x
(3)(
)
2,0 或(
)
6,0
【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B 的坐标，再利用待定系数法求出一
次函数的关系式即可；
（2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）设直线AB 交x 轴于点D，求出点D 的坐标，根据
2
PAB
PAD
PBD
S
S
S
=
−
=
建立方程求出PD的长即可
得到答案．
【详解】（1）解：把点A 的坐标代入
m
y
x
=
得3
1
m
=
，解得
3
m =
，
∴反比例函数的关系式为
3
y
x
=
，
把点B 的坐标代入
3
y
x
=
得
3
1
3
n =
= ，
∴
(
)
3,1
B
，
把点A 和点B 的坐标代入y
kx
b
=
+
得
3
3
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
1
4
k
b
= −
=
，
∴一次函数的关系式为
4
y
x
−
=
+
；
（2）解：由（1）和函数图象可得不等式
m
kx
b
x
+
的解集为
0
x
或1
3
x
；
（3）解：如图所示，设直线AB 交x 轴于点D，
在
4
y
x
−
=
+
中，当
0
y =
时，
4
x = ，
∴
(
)
4,0
D
；
∵
2
PAB
PAD
PBD
S
S
S
=
−
=
，
∴1
1
2
2
2
A
B
PD y
PD y
−
=
，
∴1
1
3
1
2
2
2
PD
PD
−
=
，
∴
2
PD =
，
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∴点P 的横坐标为4 2
2
−=
或4
2
6
+
=
，
∴点P 的坐标为(
)
2,0 或(
)
6,0 ．
9．
（25-26 八年级下·江苏南京·期末）如图，一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 与反比例函数
k
y
x
=
的图象相交于点
(
)
2,
A
a 、
(
)
, 1
B b −
．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)请直接写出关于x 的不等式1
1
2
k
x
x
+
的解集；
(3)若点P 是y 轴上的一点，ABP
的面积是12，求点P 的坐标．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2) 4
0
x
−
或
2
x
(3)(
)
0, 3
−
或(
)
0,5
【分析】（1）先将点A坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点A完整坐标，再把A点坐标代入反比例函数
求出k 值，即可写出反比例函数表达式；
（2）先把点B 坐标代入一次函数求出b ，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于
反比例函数图象上方对应的x 取值范围；
（3）设直线AB 与y 轴交于点M ，求出点M 坐标，设
(
)
0,
P
p ，将ABP
面积拆分为APM
与BPM
面积
之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点P 坐标．
【详解】（1）解：把
(
)
2,
A
a 代入
1
1
2
y
x
=
+ ，得
1
2 1
2
2
a =
+ =
，
∴
(
)
2,2
A
，
把
(
)
2,2
A
代入
k
y
x
=
，得
2
2
k
=
，解得
4
k =
，
∴反比例函数的表达式为
4
y
x
=
；
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（2）解：把
(
)
, 1
B b −
代入
1
1
2
y
x
=
+ ，得
1
1
1
2 b + = −，解得
4
b = −，
∴
(
)
4, 1
B
−
−
；
又
(
)
2,2
A
，
由图可知，1
1
2
k
x
x
+
的解集为4
0
x
−
或
2
x
；
（3）解：如图，设直线AB 与y 轴交于点M ，
令
0
x =
，则
1
0 1 1
2
y =
+ = ，
∴
(
)
0,1
M
，
设
(
)
0,
P
p ，则
1
PM
p
=
−，
∵
1
1
2
4
3
12
2
2
ABP
APM
BPM
S
S
S
PM
PM
PM
=
+
=
+
=
=
，
∴3
1
12
p −
=
，
解得
3
p = −或
5
p =
，
∴点P 的坐标为(
)
0, 3
−
或(
)
0,5 ．
◆题型4 一次函数与反比例函数的其他综合应用
10．（25-26 八年级下·山东济南·期末）直线y
x
b
−
=
+ 与双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）交于点
(
)
1,6
A −
，与x 轴交于
点B，点C 是线段AB 上一点．
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(1)求k，b 的值；
(2)如图，过点C 作y 轴的垂线l，l 与
k
y
x
=
（
0
x
）的图象交于点D，当线段
10
CD =
时，求点D 的坐标；
(3)双曲线
k
y
x
=
（
0
x
）上是否存在点E，使得
COE
△
是以OC 为直角边的等腰直角三角形，若存在，求
出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
6
k
−
=
，
5
b =
(2)
(
)
6,1
D −
(3)存在；E 点的坐标为
6 ,5
5
−
或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
【分析】（1）把点A 的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解；
（2）设
(
)
5
,
C
m m
−
，由
10
CD =
可得
(
)
5
,
D
m m
−−
，由点D 在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式
中即可求解；
（3）设
(
)
,
5
C n
n
−+
；分两种情况：当点C 为直角顶点时；当点O 为直角顶点时，利用全等三角形的判定
与性质即可求解．
【详解】（1）解：将
(
)
1,6
A −
代入y
x
b
−
=
+ 得6
1 b
= +
，
解得
5
b =
，
将
(
)
1,6
A −
代入
k
y
x
=
，得
6
1
k =
−
，即
6
k
−
=
，
（2）解：
l
：
5
y
x
−
=
+ ，
5
x
y
=
−
，
设
(
)
5
,
C
m m
−
，
10
CD =
，
10
C
D
x
x
−
=
，
∴
10
5
10
5
D
C
x
x
m
m
=
−
=
−
−
= −−
，
(
)
5
,
D
m m
−−
，
∵点D 在双曲线上，
(
)
5
6
m
m
−
−
= −，
解得
1
1
m = ，
2
6
m = −（舍去），
(
)
6,1
D
−
；
（3）解：存在．
设
(
)
,
5
C n
n
−+
，
①当C 为直角顶点时，过点C 作x 轴的垂线CN ，垂足为N，过点E 作EM
CN
⊥
，垂足为M，则
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90
EMN
ONM
=
=
，
90
ECO
=
，
90
ECM
OCN
+
=
，
90
EMC
=
，
90
MEC
ECM
+
=
，
OCN
MEC
=
，
又∵等腰直角三角形ECO中，CE
CO
=
，
(
)
AAS
EMC
CNO
≌
，
CM
ON
n
=
=
，
5
E
C
y
y
n
=
+
=
，
1
6 ,5
5
E
−
；
②当O 为直角顶点时，过点C 作CN
x
⊥
轴，垂足为N，过点E 作EM
x
⊥
轴，垂足为M，同理可得
EMO
ONC
△
≌△
，
EM
ON
n
=
=
，
5
OM
CN
n
=
= −，
(
)
5,
E n
n
−
，
(
)
5
6
n
n
−
= −，解得
1
2
n =
，
2
3
n =
，
此时
(
)
2
3,2
E
−
，
(
)
3
2,3
E
−
，
综上所述：满足条件的E 点的坐标为
6 ,5
5
−
或(
)
3,2
−
或(
)
2,3
−
．
11．（2026·广东广州·三模）如图，反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
与一次函数
2 = −+
y
x
a的图象交于点A，B，且B
点坐标为(
)
6,1 ．
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(1)求反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
和一次函数
2 = −+
y
x
a的解析式；
(2)点P 为线段AB 上的一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为H，PH 与反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
的图象交于点
C，当点C 为PH 中点时，求点C 的坐标．
【答案】(1)反比例函数的解析式为：
(
)
1
6
0
y
x
x
=
，一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
(2)
(
)
2,3
C
或3 ,4
2
【分析】（1）运用待定系数法，将
(
)
6,1
B
分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式中，即可求出它
们的函数解析式；
（2）设点P 的纵坐标为m，由点P 为线段AB 上的一点，则有
(
)
7
,
P
m m
−
，由已知可得，
(
)
0,
H
m ，根据
点C 为PH 中点，可得
7
,
2
m
C
m
−
，最后由点C 在反比例函数图象上，将点C 坐标代入反比例函数解析式
中，求出m 的值，即可求得点C 的坐标．
【详解】（1）解：∵反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
与一次函数
2 = −+
y
x
a的图象交于点A，B，B 点坐标为(
)
6,1 ，
∴将
(
)
6,1
B
代入反比例函数
(
)
1
0
k
y
x
x
=
中，
得：1
6
k
=
，
解得：
6
k =
，
∴反比例函数的解析式为：
(
)
1
6
0
y
x
x
=
；
同理，将
(
)
6,1
B
代入一次函数
2 = −+
y
x
a中，
得：1
6
a
= −+
，
解得：
7
a =
，
∴一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
；
（2）解：设点P 的纵坐标为m，
∵点P 为线段AB 上的一点，一次函数的解析式为：
2
7
y
x
= −+
，
∴
(
)
7
,
P
m m
−
，
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∵过P 作y 轴的垂线，垂足为H，
∴
(
)
0,
H
m ，
∵点C 为PH 中点，
∴
7
,
2
m
C
m
−
，
∵点C 在反比例函数图象上，
∴7
6
2
m
m
−
=
，
整理得：
2
7
12
0
m
m
−
+
=
，
解得：
3
m =
或
4
m =
，
∴
(
)
2,3
C
或3 ,4
2
．
12．
（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
x
b
= −
+
与反比例函数
k
y
x
=
的图象交于
(
)
4,2
A −
、B 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点B 的坐标；
(2)直线
2
y
x
b
= −
+
与y 轴交于点E ，在x 轴上找一点P ，使得PE
PB
+
最小，求P 点坐标，并求出最小值；
(3)如图2，C 为第二象限内反比例函数图象上的点，且C 点在A点右侧，连接AC 、BC ，当ABC
的面积
为30 时，求点C 的坐标．
【答案】(1)
8
y
x
= −
，
(
)
1, 8
B
−
(2) 3 ,0
7
，197
(3)(
)
1,8
−
【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为
2
6
y
x
= −
−
，反比例函数的解析式为
8
y
x
= −
，
再联立求解即可；
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（2）先求出
(
)
0, 6
E
−
，作点E 关于x 轴的对称点E，则
(
)
0,6
E
，根据轴对称性质，PE
PE
=
，则
PE
PB
PE
PB
+
=
+
．当E、P、B 三点在一条直线上时，PE
PB
+
的值最小，最小值为线段E B的长度．结
合勾股定理计算即可得出PE
PB
+
的最小值为197 ．求出直线E B的方程为
14
6
y
x
= −
+
，令
0
y =
，得
0
14
6
x
= −
+
，解得
3
7
x =
，即可得出结果；
（3）过C 作CT
y
∥轴交AB 于点T，设
8
,
C c
c
−
，则( , 2
6)
T c
c
−
−
，表示出
8
2
6
CT
c
c
= −
+
+ ，再结合三角
形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：将
(
)
4,2
A −
代入直线
2
y
x
b
= −
+
得，2 ( 4)
2
b
−−
+
=
，
解得
6
b = −，
∴一次函数的解析式为
2
6
y
x
= −
−
，
再将
(
)
4,2
A −
代入
k
y
x
=
得，
4 2
8
k = −= −，
∴反比例函数的解析式为
8
y
x
= −
，
联立
2
6
8
y
x
y
x
= −
−
= −
，得
2
2
6
8
0
x
x
+
−
=
，
解得：
1
4
x = −（舍去），
2
1
x = ，
∴
(
)
1, 8
B
−
；
（2）解：在
2
6
y
x
= −
−
中，当
0
x =
时，
6
y = −，则
(
)
0, 6
E
−
，
作点E 关于x 轴的对称点E，则
(
)
0,6
E
，
根据轴对称性质，PE
PE
=
，
∴PE
PB
PE
PB
+
=
+
．
当E、P、B 三点在一条直线上时，PE
PB
+
的值最小，最小值为线段E B的长度．
(
)
(
)
2
2
1 0
8
6
197
E B =
−
+ −−
=
，
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∴PE
PB
+
的最小值为197 ．
设直线E B的方程为y
mx
c
=
+ ．
将
(
)
0,6
E
和
(1, 8)
B
−
代入y
mx
c
=
+ 得
8
6
m
c
c
−=
+
=
，
解得
14
6
m
c
= −
=
．
∴直线E B的方程为
14
6
y
x
= −
+
令
0
y =
，得0
14
6
x
= −
+
，解得
3
7
x =
．
∴点P 的坐标为3 ,0
7
．
（3）解：如图，过C 作CT
y
∥轴交AB 于点T，
设
8
,
C c
c
−
，则( , 2
6)
T c
c
−
−
，
∴
8
2
6
CT
c
c
= −
+
+ ，
∴
(
)
1
1
8
2
6
5
30
2
2
ABC
ACT
BCT
B
A
S
S
S
CT
x
x
c
c
=
+
=
−
=
−
+
+
=
，
解得
1
1
c = −，
2
4
c =
（舍去），
∴点C 的坐标为(
)
1,8
−
．
◆题型5 一次函数与反比例函数的实际应用
13．（25-26 八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在
一节数学课中的注意力指数y 随上课时间x （分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，
第2 分钟时注意力指数为40，前10 分钟内y 是x 的一次函数；10 分钟以后y 与x 成反比例．根据图中所提
供的信息，回答下列问题：
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(1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？
(2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这
道题的用时最多为多少分钟？
【答案】(1)上课10分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是80
(2)本节课讲解这道题的用时最多为12分钟
【分析】（1）利用待定系数法求出前10分钟内y 与x 的函数关系式为
5
30
y
x
=
+
，再结合一次函数的性质计
算即可得出结果；
（2）由（1）可得前10分钟内的函数解析式为
5
30
y
x
=
+
，当
50
y =
时，求得
4
x = ，求出10分钟后y 与x 的
函数关系式为
800
y
x
=
，当
50
y =
时，求得
16
x =
，从而可得注意力指数不低于50的持续时间，即可得出结
果．
【详解】（1）解：设前10分钟内y 与x 的函数关系式为
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，
将(
)
0,30 和(
)
2,40 代入解析式得
2
40
30
k
b
b
+
=
=
，
解得
5
30
k
b
=
=
，
∴前10分钟内y 与x 的函数关系式为
5
30
y
x
=
+
，
∵5
0
，
∴y 随着x 的增大而增大，
∵当
10
x =
时，
5 10
30
80
y =
+
=
，
∴上课10分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是80；
（2）解：由（1）可得前10分钟内的函数解析式为
5
30
y
x
=
+
，
当
50
y =
时，5
30
50
x +
=
，
解得
4
x = ，
设10分钟后y 与x 的函数关系式为
(
)
0
m
y
m
x
=
，
将(
)
10,80 代入解析式得80
10
m
=
，
∴
800
m =
，
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∴10分钟后y 与x 的函数关系式为
800
y
x
=
，
当
50
y =
时，800
50
x =
，
解得
16
x =
，
∴注意力指数不低于50的持续时间为16
4
12
−
=
（分钟），
∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为12分钟．
14．（2026·贵州安顺·二模）图1 是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升16 C
，加热到100 C
时，
停止加热，水温开始下降，此时水温(
)
y ℃是通电时间(
)
min
x
的反比例函数．若在水温为20 C
时开始加热，
水温y 与通电时间x 之间的函数关系如图2 所示．
(1)将水从20 C
加热到100 C
需要________min ；
(2)在水温下降的过程中，求水温y 关于通电时间x 的函数表达式；
(3)加热一次，水温不低于50 C
的时间有多长？
【答案】(1)5
(2)
(
)
500
5
y
x
x
=
(3)
(
)
65 min
8
【分析】（1）由时间=温差÷升温速度，求出加热至100 C
时间；
（2）由（1）得当
5
x = 时，
100
y =
，因为降温过程为反比例函数，所以将(
)
5,100 代入
(
)
0
k
y
k
x
=
中，求
出k ，最后写出解析式；
（3）分升温、降温两段，分别算出两段水温不低于50 C
时对应的起止时间，整理得15
10
8
x
，最后求总
时长．
【详解】（1）解：升温总温差：100
20
80 C
−
=
，
用时：
(
)
80 16
5 min
=
；
（2）由（1）得停止加热点坐标为(
)
5100
，
，
∵降温时，水温(
)
oC
y
是通电时间(
)
min
x
的反比例函数，
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∴设降温过程中，即
5
x
时，水温y 关于通电时间x 的函数表达式为
(
)
0
k
y
k
x
=
，
把(
)
5,100 代入
(
)
0
k
y
k
x
=
中得：100
5
k
=
，
解得：
500
k =
，
∴在水温下降的过程中，水温y 关于通电时间x 的函数表达式为
(
)
500
5
y
x
x
=
；
（3）在升温段，即0
5
x
＜时，
∵水温从20 C
升到50 C
时所用时间为
(
)
50
20
15 min
16
8
−
=
，
∴当15
5
8
x
＜时，水温不低于50 C
，
在降温段，即
5
x
时，
∵当
50
y =
时，
500
10
50
x =
=
，
∴当5
10
x
时，水温不低于50 C
，
综上所述：当15
10
8
x
时，水温不低于50 C
，
∴水温不低于50 C
的时长为
(
)
15
65
10
min
8
8
−
=
．
15．（2026·河南·模拟预测）打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻
造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看
了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题：
打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由20℃烧到1000℃后立即开始锻造操作，当材料温度低于500℃
时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（℃）与时间x（min ）
成一次函数关系，第一次锻造时温度y（℃）与时间x（min ）成反比例函数关系．
(1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式；
(2)求第一次锻造操作的时长；
(3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1min ）．
【答案】(1)
98
20
y
x
=
+
（0
10
x
）；
10000
y
x
=
（10
20
x
）
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(2)10min
(3)25.1min
【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为y
kx
b
=
+
与
m
y
x
=
，再结合图象找出其经
过的点，最后利用待定系数法求解即可；
（2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出
500
y =
与
1000
y =
时的自变量取值，再作差
求解即可；
（3）设第二次煅烧时的函数解析式为y
ax
n
=
+ ，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到
98
a =
，再结合
图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当
1000
y =
时，自变量的值，即可解题．
【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（℃）与时间x（min ）成一次函数关系，
设此时函数解析式为y
kx
b
=
+
，由图象可知，该函数经过(
)
0,20 和(
)
10,1000 两点，
即
0
20
10
1000
b
k
b
+
=
+
=
，解得
20
98
b
k
=
=
，
即
98
20
:
B y
x
A
=
+
（0
10
x
），
第一次锻造时温度y（℃）与时间x（min ）成反比例函数关系，
设此时函数解析式为
m
y
x
=
，
由图象可知，该函数经过(
)
10,1000 点，即1000
10
m
=
，解得
10000
m =
，
即
10000
:
BC y
x
=
（10
20
x
）；
（2）解：当
500
y =
时，
10000
500
x =
，解得：
20
x =
，
当
1000
y =
时，
10
x =
，
20 10
10
−
=
（min ），
所以第一次锻造操作的时长是10min ；
（3）解：每次煅烧温度上升的速度相同，
设第二次煅烧时温度y（℃）与时间x（min ）的函数解析式为y
ax
n
=
+ ，
由题意得
98
a =
，即函数解析式为
98
y
x
n
=
+
，此函数经过(
)
20,500 点，
代入可得，500
98 20
n
=
+
，
1460
n
= −
，即
98
1460
y
x
=
−
，
当
1000
y =
时，
25.1min
x
，
所以第二次开始锻造的时间约为第25.1min ．
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综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（2026·江苏南通·三模）在平面直角坐标系xOy 中，过点O的直线与
(
0)
k
y
k
x
=
的图象交于
(
)
2,
A
a 和
(
)1
B b,
两点，则a
b
+
的值为（ ）
A．1
−
B．1
C．3
−
D．3
【答案】C
【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质以及关于原点对称的点的坐标特征求解．
【详解】解：∵反比例函数图象双曲线关于原点对称，直线AB 关于原点对称，
∴点
(
)
2,
A
a 与点(
)1
B b,
关于原点对称，
∴
2,
1
b
a
= −
= −，
∴
3
a
b
+
= −．
2．（25-26 八年级下·山东东营·期末）已知
0
k
，则反比例函数
k
y
x
=
和一次函数
2
3
y
kx
= −
+ 的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分
0
k
和
0
k
两种情况，进行讨论，判断即可.
【详解】解：当
0
k
时，则2
0
k
−
，则双曲线过一、三象限，
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∵2
0
k
−
，3
0
，则直线过一、二、四象限；
当
0
k
时，则2
0
k
−
，则双曲线过二、四象限，
∵2
0
k
−
，3
0
，则直线过一、二、三象限；
观察可知，只有选项C 的图象符合题意.
3．
（25-26 八年级下·河南周口·期末）如图，一次函数
1y
x
b
=
+ 与函数
(
)
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点
(
)
1,2
M
，
(
)
2,
N
n
−
．下列说法错误的是（ ）
A．两图象的交点N 的坐标为(
)
2, 1
−
−
B．若
1
2
y
y
，则x 的取值范围是2
0
x
−
或
1
x
C．一次函数
1y 与反比例函数
2y 都随x 的增大而增大
D．连接OM ，ON ，则
MON
△
的面积是3
2
【答案】C
【分析】由题意易得一次函数的解析式为
1
1
y
x
=
+ ，反比例函数的解析式为
2
y
x
=
，然后根据一次函数及反
比例函数的图象与性质进行排除选项即可．
【详解】解：由题意可把
(
)
1,2
M
代入一次函数
1y
x
b
=
+ 得：2
1 b
= +
，解得：
1
b = ，
∴一次函数的解析式为
1
1
y
x
=
+ ，
∵
(
)
1,2
M
在反比例函数图象上，
∴
1 2
2
k = =
，
∴反比例函数的解析式为
2
y
x
=
，
∵
(
)
2,
N
n
−
在一次函数
1
1
y
x
=
+ 上，
∴
2 1
1
n = −+ = −，
∴点N 的坐标为(
)
2, 1
−
−
，故A 正确；
由图象可知：若
1
2
y
y
，则x 的取值范围是2
0
x
−
或
1
x ，故B 正确；
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∵1
0,2
0
，
∴一次函数
1y 随x 的增大而增大，反比例函数
2y 在每个象限内，
2y 随x 的增大而减小，故C 错误；
由一次函数
1
1
y
x
=
+ 可知：其函数图象与y 轴的交点坐标为(
)
0,1 ，
∴
(
)
1
3
1
1 2
2
2
MON
S
=
+
=
△
，故D 正确．
4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已
知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度(
)
mg
y
与时间(
)
min
x
成正比例，喷雾结束后y 与x 成反比例．当
每立方厘米药液浓度低于1.6mg 时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（ ）
A．喷洒阶段的函数解析式为
5
8
y
x
=
B．喷洒完成后，当
20min
x =
时，药液浓度为1mg
C．土壤表层药液浓度为4mg 的时间点只有1个
D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25min
【答案】D
【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可.
【详解】解：设喷洒阶段的函数解析式为y
kx
=
，喷洒完成后的函数解析式为
m
y
x
=
，
把(
)
5,8 分别代入，得
8
5
k =
，
5 8
40
m = =
，
∴喷洒阶段的函数解析式为
8
5
y
x
=
，喷洒完成后的函数解析式为
40
y
x
=
，故选项A 错误；
当
20
x =
时，
40
2
20
y =
=
，故喷洒完成后，当
20min
x =
时，药液浓度为2mg ，故选项B 错误；
由图象可知土壤表层药液浓度为4mg 的时间点有2 个，故选项C 错误；
当
8
1.6
5
y
x
=
=
时，
1
x = ；当
40
1.6
y
x
=
=
时，
25
x =
，
从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过25 1 1
25min
−+ =
；故选项D 正确.
5．（25-26 九年级上·全国·单元测试）已知函数
(
)
1
2
9
0 ,
(
0)
y
x x
y
x
x
=
=
的图象如图所示．给出下列结论：
①两函数图象的交点A的坐标为(
)
3,3 ；
②当
3
x 时，
2
1
y
y
；
③
8
BC = ；
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④当x 逐渐增大时，
1y 随x 的增大而增大，
2y 随x 的增大而减小．
其中，正确的是（ ）．
A．①②
B．②
C．①④
D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答
问题．根据题意可以求得两函数图象的交点A 的坐标，从而可以判断①；根据点A 的坐标可以判断②；根
据点B 的横坐标可以分别求出点B、C 的坐标，从而可以得到BC 的值，从而可以判断③；根据函数图象可
以判断④．
【详解】解：由题意可得，
(
)
9
0
x
x
x
=
，
解得，
3
x = ，
将
3
x = 代入
1y
x
=
，得
1
3
y =
，
∴两函数图象的交点A 的坐标为(
)
3,3 ，故①正确；
由图象可知，当
3
x 时，
1
2
y
y
，故②错误；
将
1
x = 代入
1y
x
=
得，
1
1
y = ，
将
1
x = 代入
2
9 (
0)
y
x
x
=
得，
2
9
y =
，
∴
9 1
8
BC = −= ，故③正确；
由图象可知，当x 逐渐增大时，
1y 随x 的增大而增大，
2y 随x 的增大而减小，故④正确；
故选：D．
二、填空题
6．（2026·江苏徐州·二模）函数
(
)
1
1
0
y
k x k
=
和函数
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
的图象相交于A、B 两点，如果点A的
坐标是(
)
3,2
−
，那么点B 的坐标是________．
【答案】(
)
3, 2
−
【分析】两个函数的图象均关于原点中心对称，则两交点关于原点中心对称，再利用关于原点对称的点的
坐标特征即可求解．
【详解】解：正比例函数
(
)
1
1
0
y
k x k
=
与反比例函数
(
)
2
2
0
k
y
k
x
=
的图象都关于原点中心对称，
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两函数图象的交点A、B 关于原点中心对称，
关于原点中心对称的点的横、纵坐标互为相反数，点A的坐标为(
)
3,2
−
，
点B 的坐标为(
)
3, 2
−
．
7．（2026·广东深圳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点(
)
,
P m n ，则代数式1
1
m
n
−
的值为__________．
【答案】
1
4
−
/ 0.25
−
【分析】由题意，得到
8
2
mn
n
m
−
−
=
=
，对代数式恒等变形后代入已知代数式计算即可．
【详解】解：反比例函数
(
)
8
0
y
x
x
=
的图象与一次函数
2
y
x
=
−
的图象交于点
(
)
,
P m n ，
8
2
n
m
n
m−
=
=
，则
8
2
mn
n
m
−
−
=
=
，
1
1
2
1
8
4
n
m
m
n
mn
−
−
−
−
=
=
=
．
8．
（2026·陕西安康·模拟预测）在第一象限有一点D 在直线
4
y
x
=
+ 上，且点D 到两坐标轴的距离之和为6．将
点D向上平移2 个单位长度后恰好落在双曲线
k
y
x
=
上，则k 的值为________．
【答案】7
【分析】设
(
)
,
4
D m m +
，根据点D 到两坐标轴的距离之和为6，列出方程求出m 的值，进而求出D 点坐标，
再求出平移后点的坐标，代入函数解析式，即可得出结果．
【详解】解：∵点D在直线
4
y
x
=
+ 上，
∴设
(
)
,
4
D m m +
，
∵点D在第一象限且点D到两坐标轴的距离之和为6，
∴
4
6
m
m
+
+
=
，
∴
1
m = ，
∴
(
)
1,5
D
，
∵点D向上平移2 个单位长度后的坐标为(
)
1,5
2
+
，即(
)
1,7 ，
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∴
1 7
7
k = =
．
9．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫
双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2 所示的轴对称图形，四边形ABCD是一个矩形，以AB 所在直
线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，其中曲线DE 和曲线CF 分别是两个反比例函数图
象的一部分，若冷却塔的高度为110m，
20m
BC =
，上口宽
16
EF =
m ，则底部直径AB 的长为____ m ．
【答案】88
【分析】设反比例函数的解析式为
(
0)
k
y
x
x
=
，代入
(
)
8,110
F
得出反比例函数的解析式为：
880 (
0)
y
x
x
=
，
当
20
y =
时得出
44
x =
，得出
(
)
44,20
C
，得出
44
OB
m
=
，由对称的性质，得
44
OA
OB
m
=
=
，进而求得AB
的长．
【详解】根据题意可知，
(
)
8,110
F
．
设反比例函数的解析式为
(
0)
k
y
x
x
=
将点
(
)
8,110
F
代入，得
8 110
880
k =
=
．
反比例函数的解析式为：
880 (
0)
y
x
x
=
∵
20
BC =
m ，
∴当
20
y =
时，880
20
x =
．
解得
44
x =
．经检验，
44
x =
是分式方程的解．
∴
(
)
44,20
C
．
∴
44
OB
m
=
．
由对称的性质，得
44
OA
OB
m
=
=
．
∴
( )
44
44
88
AB
OA
OB
m
=
+
=
+
=
10．（2025·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
y
x
= −+ 与两坐标轴分别交于A，B 两
点，C 为线段AB 的中点，点P 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
=
的图象上，则CP 的最小值为________．
小学
初中
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【答案】
2
2 3
2
−
【分析】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键．
先求出
(
)
(
)
0,1 ,
1,0
A
B
，根据中点坐标公式求出
1 1
,
2 2
C
，根据轴对称图形的性质确定点P 位置，并求出点
P 的坐标，再求出
,
OP OC 的长即可．
【详解】解：∵一次函数
1
y
x
= −+ 与两坐标轴分别交于A，B 两点，
当
0
x =
时，
1
y = ，当
0
y =
时，
1
x =
∴
(
)
(
)
0,1 ,
1,0
A
B
，
∴
1
OA
OB
=
= ，
∵C 为线段AB 的中点，
∴点
1 1
,
2 2
C
，
∵直线y
x
=
是第一象限的角平分线，且OA
OB
=
，
∴直线y
x
=
垂直直线
1
y
x
= −+ ，
∵对于y
x
=
，当
1
2
x =
时，
1
2
y =
，
∴
1 1
,
2 2
C
在直线y
x
=
上，
∴当CP
AB
⊥
时，线段CP 最小，此时点P 在直线y
x
=
上，
∵点P 在反比例函数
(
)
6
0
y
x
x
=
的图象上，
联立
(
)
6
0
y
x
x
=
与y
x
=
得：
6
x
x
=
，解得：
6
x =
或
6
−
，
∴点(
)
6, 6
P
，
∴
(
)
(
)
2
2
6
6
2 3
OP =
+
=
，
2
2
1
1
2
2
2
2
OC
=
+
=
，
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∴CP 的最小值为
2
2 3
2
−
．
故答案为：
2
2 3
2
−
三、解答题
11．（2025·甘肃陇南·三模）如图，正比例函数y
x
=
与反比例函数
(
)
0
k
y
k
x
=
的图象相交于点A，其中点A
的横坐标为2，点C 是双曲线上点A 右侧的一点（不与点A 重合），过点C 分别作CD
OA
⊥
，CE
x
⊥
轴，
垂足分别为点D，点E．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如果
4
OE = ，求点D 的坐标．
【答案】(1)
4
y
x
=
(2)点D的坐标为5 5
,
2 2
【分析】（1）根据点A 在y
x
=
上，且横坐标为2，求出点
(2,2)
A
，再代入
(
)
0
k
y
k
x
=
即可求解．
（2）根据题意求出点
(4,1)
C
，在Rt OCE
中，求出
2
OC ，设
( ,
)
D m m ，表示出
2
2
2
OD
m
=
，
2
2
2
(
4)
(
1)
OC
m
m
=
−
+
−
，在Rt
OCD
△
中，根据
2
2
2
OD
CD
OC
+
=
，列出方程求出
5
2
m =
，即可求解．
【详解】（1）解：点A 在y
x
=
上，且横坐标为2，
(
)
2,2
A
，
把
(
)
2,2
A
代入
(
)
0
k
y
k
x
=
得，
2
2
4
k
xy
=
=
=
，
反比例函数的表达式为
4
y
x
=
；
（2）
CE
x
⊥
轴，且
4
OE = ，
点C 的横坐标为4，
在
4
y
x
=
中，令
4
x = ，则
(
)
1,
4,1
y
C
=
，
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在Rt OCE
中，
4,
1
OE
CE
=
= ，
2
2
2
2
2
4
1
17
OC
OE
CE
=
+
=
+
=
．
点D在直线y
x
=
上，设
(
)
,
D m m ，
2
2
2
2
2
2
2
(
0)
(
0)
2
,
(
4)
(
1)
OD
m
m
m CD
m
m
=
−
+
−
=
=
−
+
−
，
在Rt OCD
中，
2
2
2
OD
CD
OC
+
=
，
即
2
2
2
2
(
4)
(
1)
17
m
m
m
+
−
+
−
=
，整理得
2
2
5
0
m
m
−
=
，
解得：
0
m =
（舍去，不符合题意），
5
2
m =
，
5
2
m
=
，
点D的坐标为5 5
,
2 2
．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾
股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
12．（2026·四川南充·一模）如图，直线y
kx
b
=
+
与双曲线
(
)
0
m
y
x
x
=
交于
1
, 2
A a
，(
)
1,4
B −
两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)点P 在线段AB 上，过P 作PC
y
⊥轴，与双曲线交于D，若POD
的面积为3，求点P 的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为
1
9
y
x
2
2
=
+
，双曲线的解析式为
(
)
4
0
y
x
x
= −
(2)(
)
5,2
−
或
5
4, 2
−
【分析】（1）先利用待定系数法求出双曲线的解析式，再求出点A 的坐标，最后利用待定系数法求直线的
解析式即可；
（2）设
1
9
, 2
2
P p
p
+
，根据题意可得
4
2
2
COD
S
−
=
=
△
，
1
9
2
2
CP
p
OC
p
= −
=
+
，
，则
5
COP
COD
POD
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
再根据三角形的面积公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把点B 的坐标代入
(
)
0
m
y
x
x
=
得4
1
m
= −，
∴
4
m = −，
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∴双曲线的解析式为
(
)
4
0
y
x
x
= −
，
把点A 的坐标代入
(
)
4
0
y
x
x
= −
得1
4
2
a
= −
，
∴
8
a
−
=
，
∴
1
8, 2
A
−
，
把点A 和点B 的坐标代入y
kx
b
=
+
得
1
8
2
4
k
b
k
b
−
+
=
−+
=
，
∴
1
2
9
2
k
b
=
=
，
∴直线的解析式为
1
9
y
x
2
2
=
+
；
（2）解：设
1
9
, 2
2
P p
p
+
，
∵PC
y
⊥轴，即CD
y
⊥
轴，且点D 在双曲线
(
)
4
0
y
x
x
= −
上，
∴
4
2
2
COD
S
−
=
=
△
，
1
9
2
2
CP
p
OC
p
= −
=
+
，
，
∴
5
COP
COD
POD
S
S
S
=
+
=
△
△
△
，
∴
(
)
1
1
9
5
2
2
2
p
p
−
+
=
，
解得
4
p = −或
5
p = −，
当
4
p = −时，1
9
5
2
2
2
p +
=
，
当
5
p = −时，1
9
2
2
2
p +
=
，
∴点P 的坐标为(
)
5,2
−
或
5
4, 2
−
．
13．
（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，已知一次函数
1
1
4
2
y
x
= −
+
的图象与反比例函数
2
k
y
x
= （
0
k
，
0
x
）的图象相交于点A和点B （点A在点B 的左侧），且点B 与点A的横坐标之差是4，设点A的横坐标
为a ．
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(1)点A的坐标为________，点B 的坐标为________；（用含有a 的代数式表示）
(2)求反比例函数的关系式；
(3)直接写出不等式
1
4
2
k
x
x
−
+
的解集为________．
【答案】(1)
1
,
4
2
a
a
−
+
，
1
4,
2
2
a
a
+
−
+
(2)
2
6
y
x
=
；
(3)2
6
x
【分析】（1）点A的横坐标为a ，则纵坐标为
1
4
2 a
−
+ ，求得点B 的横坐标为
4
a+
，则纵坐标为
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
−
+
+
= −
+ ，据此求解即可；
（2）由题意得
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
a
a
−
+
=
+
−
+
，据此求解即可；
（3）求得点A的坐标为(
)
2,3 ，点B 的坐标为(
)
6,1 ，根据函数图象求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为a ，
∴纵坐标为
1
4
2 a
−
+ ，
∴点A的坐标为
1
,
4
2
a
a
−
+
，
∵点B 与点A的横坐标之差是4，
∴点B 的横坐标为
4
a+
，
∴纵坐标为
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
−
+
+
= −
+ ，
∴点B 的坐标为
1
4,
2
2
a
a
+
−
+
；
（2）解：∵反比例函数
2
k
y
x
=
的图象经过点A和点B ，
∴
(
)
1
1
4
4
2
2
2
a
a
a
a
−
+
=
+
−
+
，
解得
2
a =
，
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∴点A的坐标为(
)
2,3 ，
∴
2 3
6
k = =
，
∴反比例函数的关系式为
2
6
y
x
=
；
（3）解：由（2）得点A的坐标为(
)
2,3 ，点B 的坐标为(
)
6,1 ，
∴不等式
1
4
2
k
x
x
−
+
的解集为2
6
x
．
14．（2026·上海黄浦·二模）下图是通过实验测得的一种抗过敏药物服用后，随时间的变化其有效成分含量
在人体血液中的变化情况，在最初30 分钟含量会直线上升，然后在30 分钟至200 分钟间稳定在饱和状态，
人体血液中含量恒为100 个计量单位，之后就会逐步下降，下降过程中人体血液中有效成分含量y 个计量单
位与时间x 分钟之间大致符合函数
6
2
10
k
y
x
=
（1
10
k
，k 为常数）．
(1)求k 的值；
(2)如果这种抗过敏药物在人体血液中的含量低于40 个计量单位时，就会失去抗过敏的效果，那么第二次服
用这种抗过敏药物需要隔多少时间（结果精确到1 小时）．
（参考数据：2
1.414
，5
2.236
，10
3.163
）
【答案】(1)
4
k =
(2)这种抗过敏药物约隔5 小时需服用一次
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出上升段的表达式，然后把
40
=
y
代入求出时间，再把
40
=
y
代入（1）中的函数表达式求出时间，
即可求出时间差．
【详解】（1）解：由题意得，
6
2
10
100
200
k
=
，
∴
4
k =
；
（2）解：设上升段的表达式为
(
)
0
y
mx m
=
，代入(
)
30,100 可得，30
100
m =
，
解得
10
3
m =
，
∴上升段的表达式为
(
)
10
0
30
3
y
x
x
=
，
当
40
=
y
时，则
12
x =
；
由（1）得下降过程中的函数
6
2
4 10
y
x
=
，
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在
6
2
4 10
y
x
=
中，当
40
=
y
时，
6
2
4 10
40
x
=
，
解得
100 10
316.3
x =
或
100 10
316.3
x = −
−
（舍去），
∴
(
)
( )
316.3 12
304.3 min
5 h
t =
−
=
答：隔5 小时需服用第二次．
15．（25-26 九年级上·辽宁丹东·阶段检测）如图1，点
(
)
(
)
,6 ,
6,1
A a
B
是一次函数
1y
kx
b
=
+ 的图象与反比例
函数
(
)
2
0
m
y
x
x
=
图象的两个交点．已知直线AB 交坐标轴于点M 、N ，连接OA、OB ．
(1)a = ．反比例函数表达式 ，并求出一次函数的表达式；
(2)直接写出当x 为何值时，
1
2
y
y
．
(3)求AOB
的面积：
(4)如图2，E 是线段AB 上一点，作AD
x
⊥
轴于点D，过点E 作EF
AD
∥
，交反比例函数图象于点F ，若
1
3
EF
AD
=
，求出点E 的坐标．
【答案】(1)1；
2
6
y
x
=
；
1
7
y
x
= −+
(2)1
6
x
(3) 35
2
(4) E 的坐标为(
)
2,5 或(
)
3,4
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、一次函数与反比例函数的综
合以及一元二次方程的求解等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．
（1）把点B 的坐标代入函数解析式即可求出m ，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出a ，根据待定系
数法求出直线AB 的解析式；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）先得点M 的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可；
（4）设点E 的坐标为(
)
,
7
n
n
−+
，用含n 的式子表示出EF ，然后利用
1
3
EF
AD
=
建立关于n 的方程，解方
程即可求出答案．
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【详解】（1）解：将
(
)
6,1
B
的坐标代入
2
m
y
x
=
，得
6
m =
．
反比例函数的解析式为
2
6
y
x
=
．
将
(
)
,6
A a
的坐标代入
6
y
x
=
，得
1
a = ．
把
(
)
1,6
A
和
(
)
6,1
B
代入
1y
kx
b
=
+
，得：
6
6
1
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
1
7
k
b
= −
=
，
故直线AB 的解析式为：
1
7
y
x
= −+
，
（2）解：由（1）知
(
)
1,6
A
和
(
)
6,1
B
，
结合图象可得，当1
6
x
时，
1
2
y
y
．
（3）解：令
0
x =
，
1
7
7
y
x
= −+
=
，令
1
0
y =
，
7
x =
，
(
)
(
)
0,7 ,
7,0
M
N
，
1
1
1
2
2
2
AOB
MON
AOM
BON
A
B
S
S
S
S
OM
ON
OM
x
ON
y
=
−
−
=
−
−
1
1
1
7 7
7 1
7 1
2
2
2
=
−
−
35
2
=
．
（4）解：设E 点的坐标为(
)
,
7
n
n
−+
，则点F 的坐标为
(
)
6
,
1
6
n
n
n
，
6
7
EF
n
n
= −+
−
．
1
3
EF
AD
=
，
6
AD =
，
6
1
7
6
3
n
n
−+ −
=
，
整理得：
2
5
6
0
n
n
−
+
=
．
解得：
1
2
2,
3
n
n
=
= ，
E
的坐标为(
)
2,5 或(
)
3,4 ．
16．（25-26 八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n
）相交于A、
B 两点，点C 在
1
m
y
x
=
上，点A、C 均在第一象限，且点C 在点A的左上方，直线AC 、BC 与y 轴分别交
于点F 、G ．
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(1)如图1，已知点
(3,1)
A
，点
(1,3)
C
，
直接写出：①点B 的坐标是 ；②CG 与CF 的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点A坐标不变，随着点C 的变化，判断（1）中的“CG 与CF 的数量关系”是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线AC 、BC 与x 轴分别交于点E 、D ，经过探索发现：随着点A、C 的变化，DE 与FG 的乘
积只与m 的取值有关，请用只含m 的代数式表示DE 与FG 的乘积．
【答案】(1)(
)
3, 1
−
−
，相等，
(2)解：CG
CF
=
成立，理由如下：
反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）过
(3,1)
A
，点C ，
∴
3
m =
，即
1
3
y
x
=
，
设
3
,
C t t
，设直线BC 为y
kx
b
=
+
，
∵
(
)
3, 1
B −
−
，
∴
3
1
3
k
b
tk
b
t
−
−
+
=
+
=
，解得：
1
3
1
k
t
b
t
=
=
−
，
∴直线BC 为
1
3 1
y
x
t
t
=
+
−，
∴
3
0,
1
G
t
−
，
∵
(3,1)
A
，
3
,
C t t
，
同理可得直线AC 为：
1
3 1
y
x
t
t
= −
+
+ ，
∴
3
0,
1
F
t
+
，
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∴
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CG
t
t
t
t
=
−
+
−
+
=
+
，
(
)
2
2
2
2
3
3
0
1
1
CF
t
t
t
t
=
−
+
−
−
=
+
，
∵
0
CG
，
0
CF
，
∴CG
CF
=
.
(3)4m
【分析】（1）由反比例函数的性质可得(
)
3, 1
−
−
，分别求解直线BC 为
2
y
x
=
+
，直线AC 为
4
y
x
−
=
+
，进
一步结合勾股定理求解；
（2）设
3
,
C t t
，求解直线BC 为
1
3 1
y
x
t
t
=
+
−，直线AC 为：
1
3 1
y
x
t
t
= −
+
+ ，进一步结合勾股定理求解；
（3）设点
, m
A a a
，点
,
m
B
a
a
−
−
，点
, m
C t t
，求解直线AC 的解析式为： 直线BC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数
1
m
y
x
=
（
0
m
）和正比例函数
2y
nx
=
（
0
n
）相交于
(3,1)
A
、B 两点，
∴
(
)
3, 1
B −
−
，
设直线BC 为y
ex
f
=
+
，而点
(1,3)
C
，
∴
3
3
1
e
f
e
f
−
+
=
−
+
=
，
解得：
1
2
e
f
=
=
，
∴直线BC 为
2
y
x
=
+
，
∴
(
)
0,2
G
，
∵
(3,1)
A
，
(1,3)
C
，
同理可得直线AC 为
4
y
x
−
=
+
，
∴
(
)
0,4
F
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
4
2
CF =
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
2
2
1 0
3
2
2
CG =
−
+
−
=
，
∴CF
CG
=
.
（2）略
（3）解：设点
, m
A a a
，点
,
m
B
a
a
−
−
，点
, m
C t t
，
同理可得：直线AC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
+
，
当
0
x =
，
m
m
y
a
t
=
+
，
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当
0
y =
，
0
m
m
m
x
at
a
t
−
+
+
=
，
解得：x
a
t
=
+ ，
∴点
0, m
m
F
t
a
+
，点
(
)
,0
E a
t
+
，
同理可得：直线BC 的解析式为：
m
m
m
y
x
at
a
t
−
=
+
，
同理：点
0, m
m
G
t
a
−
，点
(
)
,0
D t
a
−
，
∴
2
DE
a
=
，
2m
FG
a
=
，
DE 与FG 的乘积
4m
=
．
