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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形的内角与外角 常考题型·精准突破 题型1 三角形内角和定理的证明（重） 题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重） 题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频） 题型4 与三角形折叠中的角度问题（难） 题型5 三角形内角和定理的应用（重） 题型6 三角形的外角的定义与性质（高频） 题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形内角和定理的证明 1．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过 撕、拼的方法，而是在ABC 的顶点A处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明 180 A B C ++ = (1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程． 如图，在ABC 中，过点A作直线MN BC ∥ ， 根据_____________________________ 得到 B = _________， C = _________， 根据平角定义，_________ BAC + +_________ = _________， 因此， 180 B BAC C + + = ，即 180 A B C ++ = ． 2．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）问题解决 问 题 三角形内角和为什么等于180 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 问 题 提 出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实 验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和 等于180呢？ 思 路 启 迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？ 尝 试 思 考 请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和 等于180．要求如下： 1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添 加辅助线的操作进行描述． 逻 辑 说 理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180的理由． 触 类 旁 通 小华同学通过思考，发现在ABC 边AB 上任意取一点P （不与点A、B 重合）．如 图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”． (1)完成“尝试思考”中的操作与描述； 方法一：如图2，延长BA至点D ，过点A作___________、利用平行线的性质得到 B DAE C EAC = = 、 即可求解． 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 方法二：如图3，过点A作DE BC ∥ ，利用平行线的性质得到___________． 再利用平角定义和等量代换可得结论：_________． (2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下： (3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程） 3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角 形内角和为180，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过ABC 的顶点A作BC 的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180． 证明：∵BC ED ∥ ， ∴ EAB B =， DAC =______（依据是：______） ∵ 180 EAB BAC DAC + + = （平角的定义） ∴______ ______ 180 BAC + + = （等量代换） 即三角形的内角和为180． 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用】 (2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图2 ，其中 // AB CD ，请你求 AEC ， EAB ， ECD 这三个角的关系； 【学以致用】 (3)如图3是超市购物车，图4 是其侧面示意图，已知 // AB CD ，FD CD ⊥ ，测量得知 70 ABE = ， 90 BEF = ， 则 DFE =______． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题 4． （25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD中，点G 是BC 上一点，过点G 作 , GE AB GF CD ∥ ∥ ， 若 123 A D + = ，则 EGF = °． 5．（25-26 七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形ABC 中，CD平分 ACB 交AB 于点D ，过点D 作 DE BC ∥ 交AC 于点E，DG 平分 BDE 交BC 于点G ，点F 为线段CG 上一点．若 30 DCE = ，则 EDC = ；若 DFC DEC = ， A = ，则 GDC = ． 6．（25-26 七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，BF 平分 ABD ，DE 平分 BDC 交BF 于点E ，BF 交CD 于点 , 1 3 F = ． (1)请说明AB CD ∥ 的理由； (2)若 2 25 = ，求 3 的度数； (3)若 140 ABD = ，求证：DE BF ⊥ ． ◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题 7．（25-26 八年级上·全国·假期作业）如图，在△ABC 中，点O是 ABC 内部 ABC 的平分线上一点，连接 OC ，点P 是 BOC 、 OCB 平分线的交点，若 100 P = ，则 ABC 的度数为 °． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知 ABC 中， 40 B = ，与 BAC ， ACB 相邻的外角的角 平分线交于点D，则 D 的度数为 ． 9．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图， DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多 个“和谐8 字形”，若 42 D = ， 38 B = ，那么 P 的度数是 ． ◆题型4 与三角形折叠中的角度问题 10．（25-26 八年级上·山西朔州·期中）如图，在 ABC 中， ABC 、 ACB 的平分线交于点P，将 ABC 沿 DE 折叠使得点A 与点P 重合，若 76 BDP CEP + = ，则 BPC 的度数是 ． 11．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC， 30 B = ， 50 C = ，D 是AB 边上 的固定点（ 1 2 BD AB ）．E 为BC 上一点，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），使点B 落在点F 处，EF 与三角 形ABC 的一边平行．此时 BED 的度数为 ． 12．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 别在边AB，AC 上．将 ABC 沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合． (1)若 35 , 60 B C = = ，求 A 的度数． (2)若 70 A = ，求1 2 +的度数． ◆题型5 三角形内角和定理的应用 13．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含30，45角的直角三角板叠放在一起，30角的 顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果 115 ADF = ，那么 BMD 为 度． 14．（25-26 八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷 针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直： 如图2，日晷所处纬度为39.8，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60，则太阳光和该晷面所夹锐角 角度为 ． 15．（24-25 七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O 并垂直于反射面的 直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角i 叫做入射角，反射光线与法线的夹角r 叫做反射角，反射角 ．．．r = 入射角 ．．．i，这就是光的反射定律．一束光线m 射到平面镜PQ 上，被PQ 反射后的光线为n，则入射光线m、 反射光线n 与平面镜PQ 所夹的锐角为1 和 2 ． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)①实验证明，1 2 = ，请你用数学知识 ．．．．解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们 制作了潜望镜． ②图2 是潜望镜工作原理示意图，AB 、CD是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m 进入潜望镜，最 后沿直线n 射出，求证：m n ∥． (2)显然，改变两面平面镜AB 、CD之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m 与反射光线n 之间的位 置关系会随之改变． 如图3，一束光线m 射到平面镜AB 上，被AB 反射到平面镜CD上，又被CD反射．若被CD反射出的光线 n 和光线m 平行，且1 48 = ，则 6 =______°， ABC = ______°． (3)请你猜想：图3 中，当两平面镜AB 、CD的夹角 ABC = ______°时，可以使任何入射光线m 经过平面镜 AB 、CD的两次反射后，与反射光线n 平行． ◆题型6 三角形的外角的定义与性质 16．（25-26 七年级上·河南周口·期末）如图，点D 在线段BC 的延长线上，CE 平分 ACD ，若 60 A = ， AB CE ∥ ，则 B 的度数是 ． 17．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图， ABC ADE △ ≌△ ，BC 的延长线交DA于F ，交DE 于G ， 若 25 D = ， 105 E = ， 20 DAC = ，则 DGB = 度． 18．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图， DBC 与 ECB 是 ABC 的外角， 1 OBC DBC n = ， 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 OCB ECB n = ，若 A = ，则 O = ．（用含n 、的式子表示） ◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题 19． （25-26 八年级上·河北衡水·期中）在 ABC 中，D 是BC 边上的一点，1 2 = ，3= 4 ， 75 BAC = ． (1)求 DAC 的度数； (2)若BC a = ，DC b = ，试用a、b 表示 ADC △ 的周长． 20．（25-26 八年级上·江西上饶·月考）如图1，点A，B 分别在射线OM ，ON 上运动（不与点O重合），AC ， BC 分别是 BAO 和 ABO 的平分线，延长BC 交OM 于点G ． (1)若 60 O = ，求 ACG 的度数； (2)如图2，若 72 O = ，过点C 作CF OA ∥ 交AB 于点F ，求 BGO 与 ACF 的数量关系． 21．（25-26 八年级上·全国·期末）如图， ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 求 F 的度数． (3)如图3， ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点， 连接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在Rt ABC 中， 90 , 54 C B = = ，则 A 的度数是（ ） A．56 B．46 C．36 D．26 2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）如图，在ABC 中， 100 A = ， 1 2 = ， 3 4 = ．则 1 4 + 的值 为（ ） A．45 B．60 C．50 D．40 3．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹 的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图， AB CD ， 87 CDE = ， 35 DEB = ，则 ABE 的度数为（ ） 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．58 B．87 C．121 D．122 4．（25-26 七年级下·北京·期末）如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD 表示赤道，点P 表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是23（ 23 BOD ＝ ），该市的纬度是北纬37 （ 37 POD ＝ ），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O），则该市冬至正午 时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角的度数是（ ） A．23 B．29 C．30 D．36 5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片ABC 中， 20 B = ， 60 C = ，点D 在AB 上且 1 2 BD AB ．若在BC 上找一点E ，将纸片沿DE 折叠，点B 落在点F 处，EF 恰好与三角形ABC 的一边平行， 则满足所有平行条件的 BDE 度数为（ ） A．40或80 B．50或130 C．50或80或130 D．40或80或130 二、填空题 6．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在ABC 中， 50 A = ，点D 在BC 的延长线上， 95 ACD = ，则 B = _____． 7．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角与满足2 90 + = ，那么我们称这样 的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片ABC 中， 110 A = ∠ ， B C = ，将纸片沿着DE 折叠，使 得点C 落在AB 边上的点F 处．若BEF 和ADF 都是“倍角三角形”，则 BEF 的度数为___________． 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8．（25-26 七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在ABC 中， 80 A = ， 60 ACB = ，点D 为边BC 延长线上 一点，BF 平分 ABC ，点E 为直线BF 上一点．若直线AE 垂直于ABC 的一边，则 AEB 的度数为________． 9．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）定义：有两个内角的差为90的三角形叫作“反直角三角形”，在ABC 中， 40 B C = = ，点P 为直线BC 上一点，若ABP 为“反直角三角形”，则 PAC 的度数为__________． 10．（25-26 七年级下·天津河东·期末）如图1 光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从PO入射到平面镜 上时沿OQ 反射出去，其中经过入射点O且垂直于反射面的直线ON 称为法线，根据光线反射规律可以得到 AOP BOQ = ． （I）若 40 NOQ = ，则 AOP =________度； （II）如图2，OA，OB 为两面有一定夹角的平面镜，当光线PC 平行于镜面OB 入射时，在点C 、D 、E 处 经过三次平面镜反射后沿EQ 射出，若 36 AEQ = ， AOB =________度． 三、解答题 11．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是180”，四名同学给出了如图所 示四种作辅助线的方法． ①过点C 作 EF AB ∥ ②延长AC 到点 F，过点C 作 CE AB ∥ 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③过AB 上一点D 作DE BC ∥ ， DF AC ∥ ④过点C 作 CD AB ⊥ 于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 12．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）ABC 是锐角三角形，点D 在线段AC 上，ED BC 交AB 于点E，点 F 在线段AB 上（点F 不与点A，E，B 重合），连接DF ，过点F 作FG FD ⊥ 交射线CB 于点G（点G 不与 点B 重合） (1)如图1，当点F 在线段BE上时， 100 B BFG + = ，求 EDF 的度数； (2)当点F 在线段AE 上时，请在备用图中探究下列问题： ①直接写出 EDF 与 BGF 之间满足的数量关系 ； ②若 EDF 与 BGF 的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出 DPG 的度数． 13．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 14．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三 个内角的数量关系”进行了探究： 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，在ABC 中， ABC 与 ACB 的平分线交于点P ， 62 A = ，则 BPC = ______． (2)如图2，ABC 的内角， ACB 的平分线与ABC 的外角， ABD 的平分线交于点E ，其中 58 A = ，求 BEC 的度数； (3)如图3，CBM 、BCN 为ABC 的外角，CBM 、BCN 的平分线交于点Q ，其中 A = ．求 BQC = _________（用表示）； 15． （25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍， 则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105 60 15 , , 的三角形是“和谐三角形”．如图①， 60 MON = ，点A 在边OM 上，过点A 作AB OM ⊥ 交ON 于点B，以A 为端点作射线AD，交线段OB 于 点C（点C 不与O，B 重合） (1) ABO ∠ 的度数为_______，AOB _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． (2)若 84 ACB = ，试说明：AOC 是“和谐三角形”． (3)如图②，点D 在ABC 的边AB 上，连结DC ，作 ADC 的平分线交AC 于点E，在DC 上取点F，使 180 EFC BDC + = ，∠DEF B = ．若BCD 是“和谐三角形”，直接写出 B 的度数． 16．（25-26 七年级下·山东日照·期末）操作与探究 【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬， 置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即KO l ⊥），反 射光线OB 、入射光线AO 分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即 3 4 = ）． (1)【观察图形】试判断1 和 2 的数量关系，并说明理由； (2)【结论应用】如图2，直线MN PQ ，点A在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，光线AC 被PQ 反射后再 次被MN 反射，入射光线AC 经过两次反射的光线为BD，其中点B 在直线MN 上．利用（1）中发现的结论， 试探究BD与AC 的位置关系，并说明理由； (3)【深度探究】如图3，将支架平面镜CD（可调节角度）放置在水平地面MN 上，激光笔在点A处发出的 光束AE 经过镜面CD反射后与天花板PQ 形成的点记为F ，光束AE 与水平天花板PQ 所成的锐角为30， 支架平面镜与地面的夹角 DCM = （20 70 ）．若 20 = ，求反射光束EF 与天花板所形成的角 AFE 的度数．
