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专题03 二次函数图象问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数图象与各项系数的关系
题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题
题型3、用图象法确定方程的根
题型4、利用二次函数图象对称轴求解
题型5、平移后的二次函数图象问题
题型6、旋转后的二次函数图象问题
题型7、对称后的二次函数图象
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
研究二次函数图象的问题，核心在于把图象特征与解析式中的系数建立对应关系；要紧紧抓住开口方
向、对称轴、顶点、与坐标轴交点以及特殊点函数值等关键量，利用数形结合思想分析图象变换前后解析
式与图象的联系；解题中必须注意平移、旋转、对称等变换规律，以及分类讨论与临界状态，所有结果均
需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、二次函数图象与各项系数的关系
典例1 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，二次函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过点( 1,2)
−
，
且与x 轴交点的横坐标分别为
1x ，
2x 且
1
2
x
x
．下列结论：①
0
abc
；②
2
8
4
b
a
ac
+
；③
1
a
c
+ ；④若
m ，(
)
n m
n
是方程
2
(
2)
ax
b
x
x
c
+
+
=
−
的两个根，则
1
m
−
，
0
n
．其中正确的结论有（ ）
目 录
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型模版
1.特征：题目给出抛物线图象或部分信息，要求判断 a、b、c 及相关代数式的符号或范围．
2.方法：由开口方向定 a 的符号，对称轴位置定 b 的符号及 2a+b、2a-b 等关系，与 y 轴交点定 c；结
合特殊点函数值、判别式综合判断，注意赋值验证．
变式1-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
图象的对称轴为直线
1
x = −，部分图象如图所示，下列结论中：
①
0
abc
；②
2
0
b
a
−
= ；③3
0
a
c
+
；④若m 为任意实数，则有
2
a
bm
am
b
−
+ ；⑤当图象经过点1 ,2
2
时，方程
2
2
ax
bx
c
+
+
=
的两根为
(
)
1
2
1
2
1
2
,
,
3
1
x x
x
x
x
x
+
= −，其中正确的结论有（ ）
A．①②③
B．②③⑤
C．②④⑤
D．②③④
变式1-2 （25-26 九年级上·全国·期中）二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的部分图象如图所示，有下列结论：
①
0
abc
；
②
2
4
0
b
ac
−
；
③2
0
a
b
+
=
；
④9
3
0
a
b
c
+
+
；
⑤对任意实数m，不等式
2
am
bm
a
b
+
+ 总成立．
其中正确的结论有__________.( 填序号)
变式1-3 （25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，直线y
kx
c
=
+
与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 都经过y 轴上
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的点D，抛物线与x 轴交于A，B 两点，其对称轴为直线
1
x = ，且OA
OD
=
，直线y
kx
c
=
+
与x 轴交于点C
（点C 在点B 的右侧），则下列命题中正确的_________．
①
0
abc
，②
0
a
b
+
，③1
0
k
−
，④k
a
b
+
．
题型2、一次函数与二次函数图象的交点问题
典例2 函数
2
(
0)
y
ax
bx a
=
+
与y
ax
b
=
+
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型模版
1.特征：两个函数图象相交、相切或无交点，要求确定参数取值范围或交点坐标．
2.方法：联立一次函数与二次函数解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数；结合图象趋势、临
界位置列不等式并回代检验．
变式2-1 已知a，b 是非零实数，且a
b
，在同一个坐标系中，二次函数
2
y
ax
bx
=
+
与一次函数y
ax
b
=
+
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-2 若
0
a
，已知一次函数y
ax
b
=
+
的图象经过(
)
1,m
−
和(
)
, 1
m −
两点，则二次函数
2
y
ax
bx
m
=
+
+
的图
象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2-3 （25-26 九年级上·湖北荆州·期中）二次函数
2
2
3
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图像如图所示，那么一次函数
y
ax
b
=
−
的图像大致是（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型3、用图象法确定方程的根
典例3 （25-26 九年级上·安徽安庆·阶段检测）三个关于x 的方程：(
)(
)
1
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，
(
)(
)
2
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，
(
)(
)
3
1
2
1
a
x
x
+
−
= ，已知常数
1
2
3
0
a
a
a
，若
1x 、
2x 、
3x 分别是按上顺序对应三个方程的正根，则下列
判断正确的是（ ）
A．
1
2
3
x
x
x
B．
1
2
3
x
x
x
C．
1
3
2
x
x
x
D．
1
2
3
x
x
x
=
=
题型模版
1.特征：不直接解方程，而是借助二次函数图象与 x 轴或水平直线的交点来确定方程的根或其近似值、范
围．
2.方法：将方程变形为两个函数相等的形式，画出相关函数图象；交点的横坐标即为方程的根；利用对称轴、
区间端点函数值估算根的分布．
变式3-1 小亮在学习了利用二次函数的图象估计一元二次方程的根一课后，尝试利用图象求方程
2
2
3
x
x
n
−
−
=
的根，他发现方程有四个不等实数根，则n 的值可能是（ ）
A．0
B．1
C．4
D．5
变式3-2 （25-26 九年级上·北京海淀·期中）小君在课后探究学习中遇到一个函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
．她类比二
次函数对其进行探究，请回答下列问题：
(1)函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的自变量x 的取值范围是___________；
(2)小君写出该函数x 与y 的部分对应值如下表：
x
…
1
−
1
2
−
0
1
2
1
3
2
2
9
4
…
y
…
1
−
m
0
5
16
−
1
−
63
48
−
0
459
…
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①m 的值为___________；
②小君发现该函数的图象关于y 轴对称，并用软件画出了该函数在
0
x
时的图象，请在平面直角坐标系
xOy 中补全该函数的图象；
(3)写出方程
4
2
1
4
9
3
3
10
x
x
−
= −
最小的解的近似值：___________（精确到0.1）；
(4)过点(
)
0,n 作垂直于y 轴的直线l ，若直线l 与函数
4
2
1
4
3
3
y
x
x
=
−
的图象有两个公共点，则n 的取值范围是
___________．
变式3-3 （25-26 九年级上·山东临沂·阶段检测）操作与探究：已知点P 是抛物线
2
2
3
y
x
x−
=
+
上的一个动
点．
(1)在如图的平面直角坐标系xOy 中画出函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
的图象；
(2)仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值
0
y
时，自变量x 的取值范围是______；
②方程
1
2
x
x
−
= −的根是______（结果保留一位小数）；
③当x
m
时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是______；
④当2
x
n
−
时，函数值4
3
y
−
−，直接写出n 的取值范围______．
x
3
−
2
−
1
−
0
1
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y
0
3
−
4
−
3
−
0
题型4、利用二次函数图象对称轴求解
典例4 （24-25 九年级上·湖南岳阳·阶段检测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，则下列说法中正确的是（ ）
①当
0
ac
时，则方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个不同的实数根；
②若二次函数的图象过点(
)
2,c ，则该图象的对称轴为直线
1
x = −；
③当
0
a
时，若二次函数的图象与x 轴负半轴交于
(
)
,0
A m
和
(
)
,0
B n
，且m
n
，方程
2
3x
ax
bx
c
−
=
+
+
的
解为
1x
p
=
，
2x
q
=
，若p
q
，则有m
p
q
n
．
④当
1
a = −时，二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 图象与一次函数y
x
=
图象有两个交点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
，且
1
2
2
x
x
，则2
4
b
c
+
．
A．①②
B．①④
C．①③
D．③④
题型模版
1.特征：题目涉及抛物线上对称点的函数值比较、最值或参数范围，要求利用对称轴性质．
2.方法：先由解析式或两点对称关系求出对称轴；利用对称点到对称轴距离相等时函数值相等的性质，把各
点转化到同侧比较；结合开口方向与单调性求解．
变式4-1 （2025·浙江杭州·一模）已知二次函数
(
)
2
2
1
3
y
mx
m
x
=
+
+
+ 的图象上有四个点：
(
)
(
)
(
)
,
,
A a
p
B b
p
C c
q
，
，
，
，
(
)
D d
q
，
，其中p
q
，则下列结论一定不正确的是（ ）
A．若
1
m ，则
0
a
b
c
d
+ + +
B．若
1
m ，则d
a
b
c
C．若
1
m
−
，则
0
a
b
c
d
+ + +
D．若
1
m
−
，则c
b
a
d
变式4-2 （25-26 九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的y 与x 的部分对应值如表：
x
4
−
3
−
1
−
1
4
y
0
5
9
5
16
−
下列结论：
①对称轴为直线
1
x = −；
②方程
2
9
0
ax
bx
c
−
+
−
=
有两个不相等的实数根；
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③若点(
)
1
,
m y
，(
)
2
2,
m
y
−
−
均在二次函数图象上，则
1
2
y
y
=
；
④满足
(
)
2
2
8
ax
b
x
c
+
+
+
−的x 的取值范围是<
4
x −
或
4
x
．
其中正确结论的序号为______．
变式4-3 （25-26 九年级上·山东济宁·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，点(
)
4,3 在抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+
（
0
a
）上．
(1)①该抛物线的对称轴为_______；
②若该抛物线与x 轴没有交点，求a 的取值范围；
(2)已知
0
m
，当2
2
2
m
x
m
−
+
时，y 的取值范围是1
3
y
−
，求a，m 的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在实数n，当
2
n
x
n
−
时，y 的取值范围是3
3
3
5
n
y
n
−
+ ，若存在，求出n
的值，若不存在，请说明理由．
题型5、平移后的二次函数图象问题
典例5 已知抛物线
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ （a 为常数）．
(1)若抛物线经过点(
)
2, 1
−
．
①求a 的值；
②将抛物线向右平移b(
0
b
)个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于点A，若点A 的横坐标为4，求b
的值；
(2)若点
(
)
1,
B
m ，
(
)
2,
C
n 都在抛物线
2
2
3
y
x
ax
=
−
+ 上，
3
m
n
，求a 的取值范围．
题型模版
1.特征：抛物线按某方向平移若干单位后，要求新图象的解析式、顶点、与坐标轴交点或参数范围．
2.方法：平移遵循“左加右减、上加下减”原则，先确定原顶点，再按平移向量得到新顶点，从而写出新解析
式；也可直接在解析式中用 x±h、y±k 替换，注意自变量范围．
变式5-1 （25-26 九年级上·浙江杭州·期末）若抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a 是常数，
0
a
）经过点(
)
1,0
−
，(
)
3,0 ．
(1)求a 与b 之间的关系式．
(2)若将此抛物线向上平移1 个单位长度，该抛物线与x 轴没有交点，求a 的取值范围．
(3)已知点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
在抛物线上，满足
2
1
1
x
x
．当对于任意的
1x ，
2x 满足
2
1
1
x
x
−
= 时，都有
2
1
4
y
y
−
．求证：
4
a
．
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变式5-2 （25-26九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ （b，c为常数）的图象经过点
(
)
3,9
A −
，
对称轴为直线
1
2
x = −
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点
(
)
1,7
B
向下平移4 个单位长度，向左平移
(
)
0
m m
个单位长度后，恰好落在
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的图象上，
求m 的值；
(3)当3
x
n
−
时，二次函数
2
y
x
bx
c
=
+
+ 的最大值与最小值的差为25
4 ，求n 的取值范围．
变式5-3 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线为
2
4
3
1
y
ax
ax
a
=
−
+
+ ．（a 为常数，
0
a
）
(1)当
1
a = −时，求抛物线的顶点坐标；
(2)将抛物线向下平移1个单位后与x 轴交于A，B 两点，求AB 的长．
(3)当
2
t
x
t
+
（0
1
t
）时，y 的最大值与最小值之差为5，求a 的取值范围．
题型6、旋转后的二次函数图象问题
典例6 （25-26 九年级上·浙江金华·期中）定义：将函数C 的图像绕点
(
)
0,
P
n 旋转180，得到新的函数
1
C 的
图像，我们称函数
1
C 是函数C 关于点P 的相关函数．例如：当
1
n = 时，函数
(
)
2
1
6
3
2
y
x
=
−
+ 关于点
(
)
0,1
P
的相关函数为
(
)
2
1
6
1
2
y
x
= −
+
−．
(1)当
0
n =
时，①二次函数
2
y
x
=
关于点P 的相关函数为________________．
②点
(
)
2,3
A
在二次函数
(
)
2
2
0
y
ax
ax
a a
=
−
+
关于点P 的相关函数的图像上，求a 的值．
(2)函数
2
5
2
3
y
x
= −
+
关于点P 的相关函数是
2
7
2
4
y
x
=
−
，求点P 的坐标．
(3)当3
3
1
3
4
4
n
x
n
−
+ 时，二次函数
2
2
9
2
8
y
x
nx
n
= −
+
−
的相关函数的最小值为3，求n 的值．
题型模版
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1.特征：抛物线绕某点旋转 180° 后，开口方向、顶点、对称轴均发生变化．
2.方法：旋转 180° 后开口方向相反，a 变号，顶点变为关于旋转中心的对称点；根据新顶点和新开口方向
写出解析式；注意旋转后定义域与图象范围的变化．
变式6-1 （25-26 九年级上·上海·阶段检测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
经过点
(
)
3,4
A −
，
直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为
(
)
5
0
y
kx
k k
=
−
，BC
OB
=
．
(1)直接写出点B 坐标；
(2)若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图像绕点(
)
,0
P m
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图像，
2
C 图
像的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，且
1
2
6
y
y
−
=
，求
2
C 的解析式并直接写出m 的值．
变式6-2 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
经过点
(
)
3,4
A −
，直线l 与x 轴相交于点B ，与
AOB
的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为
5 (
0)
y
kx
k k
=
−
，BC
OB
=
．
(1)直接写出B 点坐标；
(2)若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；
(3)在（2）的条件下，把抛物线
2
1 :
C
y
ax
bx
=
+
的图象绕点
(
)
0
P m,
旋转180，得到相关抛物线
2
C 图象，
2
C 图
象的对称轴与x 轴交点坐标为(
)
,0
t
，当
1
2
x
t
−
时，函数
1
C 最大值为
1y ，最小值为
2y ，且
1
2
6
y
y
−
=
，求
2
C 的解析式．
变式6-3 （24-25 九年级上·湖南长沙·阶段检测）在平面直角坐标系中，若关于x 的函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c x
=
+
+
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的图像记为
1
Q ，将
1
Q 的图像绕着原点旋转180得到图像
2
Q ，我们把
1
Q 和
2
Q 合起来的总图像称为
²
y
ax
bx
c
=
+
+
的“青一对称”图像．
(1)若
(
)
1010,
A
m
−
在
2
4
y
x
=
+
的“青一对称”图像上，则 m = ；
(2)若
(
)
,7
B n
在
2
4
5
y
x
x
=
−
−的“青一对称”图像上，求n 的值；
(3)当二次函数
2
2
y
x
x
t
=
−
+ 的“青一对称”图像与直线
1
y
x
=
+ 有且只有三个交点时，请求出t 的值或取值范
围．
题型7、对称后的二次函数图象
典例7 抛物线
2
2
y
x
bx
c
= −
+
+ 过
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
两点，交y 轴于点C ，连结BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，若OCB
以每秒2 5 个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，设运动时间为t ，点O，B ，C 的
对应点分别为D ，P ，Q ，DP交抛物线于点M ．当点M 为DP的中点时，求t 的值；
（3）如图2，将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，直接写出点E 的坐标．
题型模版
1.特征：抛物线关于 x 轴、y 轴或某条竖直线对称后，求新解析式或利用对称性质求参数．
2.方法：关于 x 轴对称：a、c 变号，对称轴不变；关于 y 轴对称：b 变号，对称轴相反；关于直线 x=m
对称：顶点横坐标变为 2m−h，开口方向不变；结合图象验证．
变式7-1 已知抛物线
2
5
6
y
x
x
= −
+
−
，在1
5
x
之间的部分记为图象
1T ，将图象
1T 沿直线
1
x = 对折得到图
象
2T ，图象
1T 和
2
T 合成图象T .若过y 轴上的点
(
)
0
M
m
，
且与y 轴垂直的直线l 与图象T 有且只有两个公共
点，则m 的取值范围是____________．
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变式7-2 在平面直角坐标系中，抛物线
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ 与x 轴相交于点
(
)
1,0
A −
和点B ．
(1)求a 的值；
(2)定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于其横坐标的2 倍，我们称这个点为“倍值点”．求
抛物线
2
2
3
y
ax
x
=
+
+ 上的“倍值点”的坐标；
(3)如图1，将此抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴折叠到x 轴上方，这部分图象与原抛物线剩余的部分组成新
函数的图象（如图2）记为M ．
①直接写出新函数图象M 对应的函数解析式；
②当0
x
m
时，图象M 上函数的最小值是
1
2
t
−
，最大值是9
2
t
−，求m 的取值范围．
变式7-3 （25-26 九年级上·江苏无锡·阶段检测）对于某一函数给出如下定义：对于任意实数m ，当自变量x
≥m 时，函数y 关于x 的函数图象为
1
G ，将
1
G 沿直线x
m
=
翻折后得到的函数图象为
2
G ，函数G 的图象由
1
G
和
2
G 两部分共同组成，则函数G 为原函数的“对折函数”，如函数
(
)
2
y
x x
=
的对折函数为
(
2)
4(
2)
x x
y
x
x
= −+
．
(1)求函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
的对折函数；
(2)若点
( ,4)
P m
在函数
2
(
2)
16(
2)
y
x
x
=
−
−
−
的对折函数的图象上，求m 的值；
(3)当函数
2
(
2)
16(
)
y
x
x
n
=
−
−
的对折函数与x 轴有两个不同的交点时，直接写出n 的取值范围为 ．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
29．
（25-26 九年级上·安徽黄山·阶段检测）在同一平面直角坐标系中，一次函数y
bx
a
=
−（,a b 为常数，
0
ab
）
的图像与二次函数
2
y
ax
bx
c
=
−
+ 的图像可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
30．如图，抛物线
2
3
y
ax
bx
=
+
+ 与x，y 轴的交点分别为点A 和点B，其对称轴为直线
1
x = ，点P 是其对称
轴上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2
0
a
b
+
=
；②
3
x =
是
2
3
0
ax
bx
+
+
=
的一个根；③
PAB
周长的最小值是10
3
+ ；④此函数的最大值为5．其中正确的是（ ）
A．①②③④
B．①②③
C．①②
D．②③④
31．已知抛物线
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象关于直线
0
x
x
=
对称．若该抛物线与直线y
x
=
交于点
(
)
1
1
,
A x y
，
(
)
2
2
,
B x
y
，且
1
2
1
0
x
x
a
，则下列说法正确的是（ ）
A．
1
0
2
x
x
B．
1
2
0
2
2
x
x
x
C．
2
0
2
2
x
x
x
D．
0
2
x
x
32．（25-26 九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与对称
轴直线x
m
=
交于点A，与x、y 轴交于B、C、D 三点，下列命题正确的是（ ）
①
0
abc
；
②若OD
OC
=
，则
1
0
ac
b
+ + =
；
③对于任意
0x （
0x
m
），始终有
2
2
0
0
ax
bx
am
bm
+
+
；
④若OB
m
=
，
1x ，
2x （
1
2
x
x
）为方程(
)(
)
3
3
0
a x
m
x
m
+
−
−
=
的两个根，则
1x
m
−
且
2
3
x
m
．
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A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
33．如图所示，已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直
线
1
x = ，直线y
x
c
= −+ 与抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 交于C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，则下列
结论：①2
0
a
b
c
+ +
；②
0
a b
c
−+ =
；③(
)
x ax
b
a
b
+
+ ；④
1
a
−
．其中正确的有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
34．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
）的对称
轴为直线
1
x = −，且该抛物线与x 轴相交于点
(
)
1,0
A
，与y 轴的交点B 在(
)
0, 2
−
和(
)
0, 3
−
之间（不含端点），
有下列结论：①
0
abc
；②9
3
0
a
b
c
−
+
；③2
1
3
a
；④若方程
2
1
ax
bx
c
x
+
=
+
+
两根为m ，(
)
n m
n
，
则3
1
m
n
−
．其中正确的是（ ）
A．④
B．③④
C．①②④
D．①③④
35．（25-26 九年级上·浙江杭州·阶段检测）如下表格是抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 上部分点(
)
,x y 的横、纵坐标信
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息．
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
…
y
…
m
p
1
q
n
t
…
(1)若
0
m
t
= =
，请求出抛物线的表达式；
(2)若m
n
=
，且p
t
，该函数有最大值还是最小值？请作出判断并写出最值；
(3)若
1
t = ，且对于符合
1
1
0
x
−
，
2
4
5
x
的任意实数
1x ，
2x ，其对应的函数值
1y ，
2y 始终满足
1
2
0
y y
，
求a 的值．
36．（2025·浙江台州·一模）已知二次函数
2
2
3
y
ax
ax
a
=
+
−
（常数
0
a
）．
(1)求该函数图象的对称轴；
(2)若2
5
x
−
．
①当
0
a
时，该函数的最小值为8
−，求a 的值；
②当a 分别取
(
)
1
2
1
2
a
a
a
a
，
时，两个函数的最小值相等，求
1
2
，
a
a 的数量关系．
37．（2025 九年级·浙江·学业考试）在直角坐标系中，设函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a，b，c 是常数，
0
a
）．
(1)若
2
a = −，且函数图象经过( 1,0)
−
和(3, 8)
−
两点，求函数y 的表达式及其图象的对称轴；
(2)若将函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象先向左平移(
)
0
h h
个单位长度，再向上平移2 个单位长度得到函数
2
2
y
x
=
的图象，求ab
c
+ 的最小值；
(3)若函数图象经过点(
) (
)
1,
,
4,
m
n
−
−
和( , )
t c ，且
,
0
c
n
m t
，求t 的取值范围．
38．抛物线
2
2
8
y
x
x
= −
+
+ 交x 轴于A，B 两点(A 在B 的左边)，交y 轴于点C．
(1)直接写出A，B，C 三点的坐标；
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(2)如图（1），作直线
(
)
0
4
x
t
t
=
，分别交x 轴，线段BC ，抛物线于D，E，F 三点，连接CF ，若BDE
与CEF
相似，求t 的值；
(3)如图（2），将抛物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点G，求点G 的坐标．
39．小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数
2
1
1
1
y
a x
b x
c
=
+
+
（
1
0
a
，
1a ，1b ，1c 是常数）与
2
2
2
2
y
a x
b x
c
=
+
+
（
2
0
a
，
2a ，
2b ，
2c 是常数）满足
1
2
0
a
a
+
=
，
1
2
b
b
=
，
1
2
0
c
c
+
=
，则称这两个函数互为“旋转函数”．求
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
函数
的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
函数可知
1
1
a = −，1
3
b =
，1
2
c = −，根据
1
2
0
a
a
+
=
，1
2
b
b
=
，1
2
0
c
c
+
=
求出
2a ，
2b ，
2c ，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面的问题：
(1)写出函数
2
3
2
y
x
x
= −
+
−
的“旋转函数”；
(2)若函数
2
1
4
3
n
y
x
x
n
=
−
+
与
2
2
3
y
x
mx
= −
+
−互为“旋转函数”，求
2023
(
)
m
n
+
的值；
(3)已知函数
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
的图象与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C ，点A、B 、C 关于原点的对
称点分别是
1A 、
1
B 、
1
C ．试证明经过点
1A 、
1
B 、
1
C 的二次函数与函数
1 (
1)(
4)
2
y
x
x
=
−
+
互为“旋转函数”．
40．（24-25 九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象
与x 轴交于
(
)
1,0
A −
、(
)
3,0
B
两点，与y 轴交于点C ，且抛物线的顶点D 的坐标为(
)
1,4 ，连接BC ，拋物线
的对称轴与BC 交于点H ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上B 、D 两点之间的部分（不包含B 、D 两点），是否存在点G ，使得
3
BGH
DGH
S
S
=
△
△
，若存在，
求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由；
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(3)如图②，将拋物线在BC 上方的图象沿BC 折叠后与y 轴交于点E ，M 为直线x =1 上一个动点，在平面
内是否存在一个点N ，使得以B 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，求出N 点
坐标，若不存在，请说明理由．
41．在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点B 的坐标为（2，4），抛物线y=-2x2+bx+c 经过A、C 两点，
与x 轴的另一个交点为点D．
（1）如图1，求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，连接AC、AD，将△ABC 沿AC 折叠后与AD、y 轴分别交于点交于E、G，求OG 的长度；
（3）如图3，将抛物线在AC 上方的图象沿AC 折叠后与y 轴交于点F，求点F 的坐标．
42．（25-26 九年级上·河北唐山·期末）如图1，已知抛物线
2
1 :
2
3
L
y
x
x
m
=
−
+
+ ，把此抛物线沿x 轴折叠，
得到抛物线
2L ．
(1)当抛物线
1L 经过原点时，直接写出m 的值；
(2)当抛物线
1L 和
2L 有且只有一个公共点，求m 的值；
(3)若抛物线
1L 经过(
)
2, 3
−
．
①求抛物线
2L 的函数解析式和顶点坐标；
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②直线
3 :
L
y
n
=
与
1L 、
2L 分别交于点P 、Q 、M 、N ，如图2，直接写出
2
PQ
MN
=
时n 的值．
43．二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
（
0
m
）的图象交x 轴于原点O及点A．
(1)求点A的坐标．
(2)若二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
（
0
m
）的图象经过(1, 3)
−
，求该二次函数的解析式．
(3)在（2）的条件下，二次函数
2
4
y
mx
mx
=
−
(
0,
4)
m
x
的图象记为
1L ，将
1L 绕点A旋转180后的图象记
为
2L ，将
1L ，
2L 合起来得到的图象记为L ，完成以下问题：
①抛物线
2L 的函数解析式为______（不用写自变量x 的取值范围）．
②若直线y
t
= 与L 有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为
1
2
x
x
，
与
3x ，且
1
2
3
25
2
x
x
x
+
+
=
，
求t 的值．
③若点
1
( ,
)
a y ，
2
(
2,
)
a
y
+
在L 上，且
1
2
y
y
，请直接写出a 的取值范围．
