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专题02 勾股定理逆定理
常考题型·精准突破
题型1 勾股树（数）的判定（高频）
题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频）
题型3 在网格中判断直角三角形（重）
题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重）
题型5 勾股定理逆定理的实际应用（难）
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 勾股树（数）的判定
1．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1，2
B．3，4 ，5
C．7 ，24，25
D．5，12，13
2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名
的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2 ，3，4
B．4 ，5，6
C．2 ，2 ，4
D．9，12，15
3．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．
23 ，
2
4 ，
2
5
B．8，24 ，25
C．6 ，8，10
D．0.3，0.4 ，0.5
◆题型2 判断三边能否构成直角三角形
4．（25-26 八年级下·重庆开州·期末）ABC
三边分别为a 、b 、c ，在下列条件下，ABC
不是直角三角形
的是（ ）
A．
8
a = ，
14
b =
，=17
c
B．
2
2
2
a
b
c
+
=
C．
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
D．
5 12 13
a b c =
∶∶
∶
∶
5．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25
的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
6．（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知a ，b ，c 为ABC
的三条边，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
5
a =
，
12
b =
，
14
c =
，则ABC
为直角三角形
B．若
2
2
2
a
b
c
−
=
，则ABC
为直角三角形
C．若: :
2:3:4
a b c =
，则ABC
为直角三角形
D．若
9
a =
，
12
b =
，
16
c =
，则ABC
为直角三角形
◆题型3 在网格中判断直角三角形
7．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A，B ，
C ，D均是格点，则
AOC
的度数为_____．
8．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1 的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶
点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求证：
90
BCD
=
．
9．（25-26 八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC
的三个顶点均在格点
上，请按要求完成下列各题：
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(1)画线段
//
AD BC 且使AD
BC
=
，连接CD；
(2) AD的长为____________；
(3) ACD
为______三角形；
(4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为______（平方单位）．
◆题型4 利用勾股定理的逆定理求解
10．
（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在ABD
中，
8,
17,
90 ,
9,
12
AB
AD
ABD
BC
CD
=
=
=
=
=
，
求BCD
的面积．
11．（25-26 八年级下·云南·期中）如图，在ABC
中，
5,
12,
13
BC
AC
AB
=
=
=
(1)求证：
90
ACB
=
(2)作CD
AB
⊥
，D 为垂足，求CD的长．
12．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）如图，在ABC
中，
9
AB = ，
12
AC =
，
15
BC =
，
(1)求
A
的度数；
(2)若点P 为线段AC 上一点，连接BP，且BP
CP
=
，求ABP
的面积．
◆题型5 勾股定理逆定理的实际应用
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13．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形ABCD为草坪，已知
16
AB =
米，
15
AD =
米，
25
CD =
米，
12
BC =
米，
90
B
=
．
(1)为了让市民去点C 看桃花更方便，公园管理处决定从正门点A处修一条笔直小路通往点C 处，求小路AC
的长度；
(2)求四边形草坪ABCD的面积．
14．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意
图如图所示，经测量得
0.6m
AB =
，
0.8m
BC =
，
2.6m
CD =
，
2.4m
AD =
，
90
CAD
=
．
(1)求AC 的长度；
(2)施工图纸上标明安装时
ABC
要为90，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求．
15．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形ABC 中，AD为BC 边上的高．
(1)若
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
， 求证： AB
AC
⊥
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
=
时，ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
⊥
于点 D．经测量，斜梁
5m
AC =
，
2.4m
BD =
，横梁
4m
BC =
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
◆题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
16．（25-26 八年级上·江苏泰州·期中）已知：
2
1
a
n
=
+ ，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−．
(1)当
299
n =
时，a
b
+
的值等于______．（结果用科学记数法表示）
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(2)当
4
n =
时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1 的
整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
17．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的购股分割．
(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM =
，
2.5
MN =
，
2.0
BN =
，则点M、N 是线段AB
的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB =
，
5
AM = ，求BN 的长．
18．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）在ABC
中，
,
,
BC
a AC
b AB
c
=
=
=
，设c 为最长边，当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，
ABC
是直角三角形；当
2
2
2
a
b
c
+
时，利用代数式
2
2
a
b
+
和
2
c 的大小关系，探究ABC
的形状（按角分类）．
(1)当ABC
三边分别为6、8、9 时，ABC
为________三角形；当ABC
三边分别为6、8、11 时，ABC
为
________三角形；
(2)猜想：当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，ABC
为锐角三角形；当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，ABC
为钝角三角形；（填
“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当
5,
12
a
b
=
=
时，
当ABC
为直角三角形时，则c 的取值为________；
当ABC
为锐角三角形时，则c 的取值范围________；
当ABC
为钝角三角形时，则c 的取值范围________．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（ ）
A．2 ，4 ，5
B．2 ，5，8
C．5，12，19
D．6 ，8，10
2．（25-26 八年级下·吉林·期末）若, ,
a b c 是ABC
的三边长，且满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
A
是直角
B．
B
是直角
C．
C
是直角
D．无法判断
3．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）如图，在ABC
中，AD为边BC 上的高，
3
4
5
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
则图中的直角三角形共有（ ）
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A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
4．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）下列命题：
①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；
②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a
b
c
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
5．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，在ABC
中，ABC
的平分线交AC 于点D，E 为线段BD上一动点，
F 为边AB 上一动点，若
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD
DC
=
= ，则AE
EF
+
的最小值为（ ）
A．4
B．2 7
C．10
D．24
5
二、填空题
6．（25-26 七年级下·山东济南·期末）若6 ，a ，10是勾股数，则a 的值是________．
7．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，则ABC
的面积为______．
8．（25-26 八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮
船从港口O沿北偏东30的方向行30 海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40 海里的点B
处，若A、B 两地相距50 海里，则渔船从港口O出发的方向为______．
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9．（25-26 八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形ABCD的边AB ，CD向外作Rt
ABE
△
，Rt CDF
，
90
AEB
DCF
=
=
，以AE ，EB，CF ，DF 为边向外作正方形，面积分别为6，2，S，11，则S的值为
_______．
10．（25-26 八年级下·广东湛江·期末）如果把
2
2
2
a
b
c
+
=
看作a，b，c 的方程，那么满足该方程的正整数解
a，b，c 通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股
数组：(
)
3,4,5 ，(
)
5,12,13 ，(
)
7,24,25 ，…．分析上面勾股数组可以发现，
(
)
4
1
3 1
=
+
，
(
)
12
2
5 1
=
+
，
(
)
24
3
7
1
=
+
，…，分析其中规律，第10 个勾股数组为________．
三、解答题
11．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形ABCD中，
6
AB =
，
10
BC =
，
15
CD =
，
17
AD =
，
90
CAB
=
．
(1)求AC 的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
12．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道(
)
4,3,5 ，(
)
6,8,10 ，(
)
8,15,17 ，…都是勾
股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：4
2 2
= ，
2
3
2
1
=
−；6
2 3
= ，
2
8
3
1
=
−；8
2 4
= ，
2
15
4
1
=
−；…
分析其中的规律，解答下列问题．
(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．
(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n（
2
n
，且n 为整数），另外两个数分别为__________，
__________时，则这三个数为勾股数．
请你补充完整猜想并验证猜想．
13．（25-26 八年级下·广西崇左·期末）如图，在ABC
中，E 为AB 边上的一点，连接CE 并延长，过点A 作
AD
CE
⊥
，垂足为D，若
7
AD = ，
20
AB =
，
15
BC =
，
24
DC =
．
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(1)判断ABC
的形状，并证明；
(2)记ADE
的面积为
1S ，BCE
的面积为
2
S ，求
2
1
S
S
−
的值．
14．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）图1是远光超市的购物车，图2 为其侧面简化示意图，测得支架
8 dm
AC =
，
6 dm
AB =
，两轮中心的距离
10 dm
BC =
．
(1)判断ABC
的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘D 与点A的距离
13 dm
AD =
，
5 dm
AE =
，且AE
DE
⊥
，AE 和BC 都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘D 到BC 的距离．
15．（25-26 七年级上·山东济南·期末）在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如
图所示）边AD和边BC 是否分别垂直于底边AB ．
(1)甲组：
工具：卷尺，测量得边AD长为1m，边AB 长为2.4m，点B 和点D 之间的距离是2.6m．请你依据测量数据
判断：边AD垂直于边AB 吗？说明理由．
(2)乙组：
工具：20 厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边BC 是否垂直于边AB ．
16．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）如图，在ABC
中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，
10cm
AC =
，动点P 从
点B 出发，沿着ABC
的三条边逆时针走一圈，回到点B 后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t 秒．
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(1)证明：ABC
是直角三角形；
(2)若ABP
是以AB 为腰的等腰三角形，求t 的值；
(3)另有一动点Q ，从点B 开始，按顺时针方向走一圈回到点B ，且速度为1cm/s ．若P 、Q 两点同时出发，
当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出
．．．．当t 为何值时，直线PQ 把ABC
的周长分成
相等的两部分．
