1 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
专题02 抛物线与直线的交点问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、抛物线与x 轴的交点问题
题型2、抛物线与y 轴交点距离
题型3、抛物线与平行于x 轴的直线的交点问题
题型4、抛物线与平行于x 轴的线段的交点问题
题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题
题型6、抛物线与一次函数交点问题
题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决抛物线与直线的交点问题，核心在于联立方程组，把几何交点问题转化为一元二次方程根的判别
式、根与系数关系问题；要紧紧抓住抛物线解析式与直线解析式，通过消元得到关于自变量的一元二次方
程，利用判别式判断交点个数，借助数形结合确定参数范围；解题中必须注意讨论二次项系数、直线斜率
是否存在以及交点是否在给定区间或线段上等临界状态，所有结果均需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、抛物线与x 轴的交点问题
典例1 如图是抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，其顶点为(
)
1,n ，且与x 轴的一个交点在点(
)
3,0 和(
)
4,0 之间，
则下列结论正确的有（ ）
目 录
2 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
①若抛物线与x 轴的另一个交点为(
)
,0
k
，则2
1
k
−
−； ②c
a
n
−
=
；③若x
m
时，y 随x 的增大而增
大，则
1
m = ；④若
0
x
时，
(
)
2
2
0
ax
b
x
+
+
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型模版
1.特征：题目给出抛物线解析式或含参解析式，要求判断抛物线与x 轴的交点个数、交点坐标或求参数范围．
2.方法：令 y=0 得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式判断交点个数；求根公式或因式分解得交点横
坐标；含参时根据交点个数要求列判别式不等式，注意二次项系数不为零并回代检验．
变式1-1 （25-26 九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知函数
2
2
2
y
mx
x
m
=
+
−
+
，解答下列问题：
（1）此函数必过的固定点是______．
（2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则m = ______．
变式1-2 如图，直角坐标系中，抛物线
(
)
2
2
2
0
y
ax
ax
a
a
=
−
−
+
分别交y 轴于点C ，交x 轴于点A，B（点
A在点B 的左侧），D 为顶点，G 为线段OC 上一点，过点G 作x 轴的平行线分别交抛物线于点E ，F（点E
在点F 的左侧）．
(1)求该抛物线的对称轴及GF
GE
−
的长．
(2)当
2
OG
CG
=
时，点D 关于EF 的对称点H 恰好落在x 轴上，求此时AB 的长．
变式1-3 （25-26 九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过点
(
)
0,3
A
和
3 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
点
(
)
3,0
B −
．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)将抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 向上平移m 个单位长度后与x 轴交于M，N 两点，若
6
MN
，求m 的取值范围；
(3)当
1
t
x
t
+ 时，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的最大值和最小值的差为3 t
−，求t 的值．
题型2、抛物线与y 轴交点距离
典例2 （25-26 九年级上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线
(
)(
)
2
4
y
a x
x
=
+
−
与x 轴交于点A B
，（点A在点
B 的左侧），与y 轴交于点C ，点
(
)(
)
0,
1
2
P
t
t
−
为y 轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点
M
N M
、（
与N 不重合）．
(1)求点C 的坐标（用含a 的式子表示）；
(2)当
0
a
时，若
17
BC =
，求MN 的最大值；
(3)对于(
)
0
a a
的每一个确定的值，MN 有最小值m ，若
2
m
，请直接写出a 的取值范围___________．
题型模版
1.特征：题目关注抛物线与 y 轴交点的位置、两交点间距离或与坐标轴围成图形的面积等．
2.方法：令 x=0 求出抛物线与 y 轴交点纵坐标；若涉及两个函数图象与 y 轴交点距离，则求出两交点纵
坐标之差的绝对值；结合几何意义列方程或不等式求解．
变式2-1 已知抛物线
2
1
2
y
ax
ax
c
=
−
+ （a ，c 为常数且
0
a
），当
1
x 时
1
2
y
．若抛物线
(
)
(
)
2
2
2
y
a x
m
a x
m
c
=
+
−
+
+ 与y 轴的交点位于最高位置时，则
2y 的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
变式2-2 （25-26 九年级上·江西宜春·期中）定义：抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴交于A，B 两点（点
A 在点B 的左侧），它的顶点为P ，若A，B ，P 三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线
叫作“完美抛物线”．
(1)理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号）
①
2
3
y
x
x
=
−
②
(
)(
)
1
3
y
x
x
=
−
+
③
(
)
2
1
9
y
x
= −
−
+
(2)应用：若“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点坐标为(
)
3,5 ，且
4
AB =
，求该抛物线的解析式．
(3)拓展：已知“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点P 坐标为(
)
,
2
n n +
，且
4
AB =
，与y 轴的交点为C ．若该
“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与抛物线
2
2
y
x
=
开口大小一样，求点C 的纵坐标．
变式2-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
−
+
（
0
a
）．
(1)直接写出抛物线的对称轴x =________；
(2)如图1，已知点
(
)
1,2
A −
，点
(
)
4,2
B
，若抛物线与线段AB 有公共点时，求a 的取值范围；
(3)如图2，抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
−
+
与x 轴负半轴交于点D ，与y 轴交于点C ，直线y
kx
b
=
+
与抛物线交于
点E ，F 两点（点E 在第三象限），直线ED交y 轴于点N ，直线DF 交y 轴于点M ，当CM
NC
=
，请判断
a
k 是否为一个定值，并说明理由．
题型3、抛物线与平行于x 轴的直线的交点问题
典例3 （25-26 九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知两个二次函数
2
1y
x
bx
c
=
+
+ 和
2
2y
x
m
=
+
，对于函数
1y ，
当
2
x =
时，该函数取最小值．
(1)求b 的值．
(2)若函数
1y 的图象与坐标轴只有2 个不同的公共点，求这两个公共点间的距离．
5 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)若函数
1y 、
2y 的图象都经过点(
)
1, 2
−
，过点(
)
0,a （a 为实数）作x 轴的平行线，与函数
1y 、
2y 的图象共
有4 个不同的交点，写出a 的取值范围．
题型模版
1.特征：直线 y=k（k 为常数）与抛物线相交，要求交点个数、交点坐标或参数范围．
2.方法：联立 y=k 与抛物线解析式，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程；利用判别式或求根公式分析交
点；结合抛物线顶点、开口方向与对称轴画图辅助判断．
变式3-1 关于二次函数
2
4
5(
0)
y
ax
ax
a
=
+
−
，有下列四个结论：
①对任意实数m，都有
1
1
x
m
= −
−与
2
3
x
m
=
−对应的函数值相等；
②若4
1
x
−
−
≤
≤
时，对应的y 的整数值有4 个，则
3
1
4
a
−
−
或3
1
4
a
；
③若抛物线与x 轴交于A、B 两点，且
6
AB
，则
1
a 或
5
4
a −
；
④若
5
n −，则一元二次方程
2
4
5
0
ax
ax
n
+
−−
=
一定有两个实数根．
以上结论，正确的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④
变式3-2 已知二次函数
(
)(
)
1
2
y
a x
x
x
x
=
−
−
与x 轴的交点是(1 0)
,
和(3,0) ，关于x 的方程(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
m
−
−
= （其
中
0
m
）的两个解分别是1
−和5，关于x 的方程(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
n
−
−
=
（其中0
n
m
）也有两个整数解，这
两个整数解分别是______．
变式3-3 （25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴的两个交点的距离为
1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数
2
5
6
y
x
x
=
−
+
与x 轴的两个交点分别是(
)
2,0 ，(
)
3,0 ，
两点的距离为1，则此函数
2
5
6
y
x
x
=
−
+
是“邻交函数”
(1)判断二次函数
2
4
1
y
x
=
-
是不是“邻交函数”
(2)若二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
是“邻交函数”，求a 的值．
(3)若二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
a
=
+
+
是“邻交函数”，令
2
10
t
a
b
=
−
，求t 的最大值．
题型4、抛物线与平行于x 轴的线段的交点问题
典例4 在平面直角坐标系中有两点
(
)
2,4
A −
、(
)
2,4
B
，若二次函数
(
)
2
2
3
0
y
ax
ax
a a
=
−
−
的图象与线段AB 只
6 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
有一个交点，则（ ）
A．a 的值可以是
4
3
−
B．a 的值可以是3
5
C．a 的值不可能是1.2
−
D．a 的值不可能是1
题型模版
1.特征：在直线 y=k 基础上限定 x 的取值范围（线段），讨论抛物线与线段有一个、两个或无交点的情况．
2.方法：先求抛物线与直线 y=k 的交点，再判断交点横坐标是否落在线段范围内；或利用函数值范围、对
称轴与区间位置关系，结合端点值与临界状态列不等式组．
变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ．若二次函数
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
的图象与线段AB 有交点，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标n 的取值范围是（ ）．
A．2
6
n
−
B．2
10
n
−
C．
5
9
2
n
−
D．
9
10
4
n
−
变式4-2 （24-25 九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，B 的坐标分别为(2
3)
−
，
和(5
3)
−
，
，抛物线
(
)
2
y
a x
m
n
−
=
+
的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C
D
、
两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值
为1
−，则点D 的横坐标最大值为（ ）
A．3
B．5
C．8
D．10
变式4-3 已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ （b ，c 为常数）经过点(
)
0, 3
−
，(
)
4,5 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)过点
(
)
,2
M m
与y 轴平行的直线交抛物线于点N ，交x 轴于点K ，且K 为线段MN 的中点，求m 的值．
(3)若
0
t
，当
4
t
x
t
+
时，该二次函数的最大值是最小值的3 倍，求t 的值．
7 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题
典例5 ①抛物线
(
)
3
y
x x
= −
−
向上平移________个单位得到抛物线
(
)
3
2
y
x x
= −
−
+
；
②一段抛物线
(
)
(
)
3
0
3
y
x x
c
x
= −
−
+
与直线
2
y
x
=
+
有唯一公共点，则c 的范围是________ ．
题型模版
1.特征：一次函数图象为射线、线段或折线的一部分，要求与抛物线的交点情况．
2.方法：分段联立解析式，注意自变量取值范围；画出关键端点、转折点与抛物线相对位置；通过方程根的
分布或端点函数值比较确定参数范围．
变式5-1 在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
（a 为常数）经过点
(
)
1,
A
m
−
，
(
)
3,
B
n ．
(1)当m
n
=
时，求该函数表达式；
(2)若点A，B 都在直线y
x
b
−
=
+ 上，求a 的值；
(3)当3
4
x
时，都有n
y
m
，求a 的取值范围．
变式5-2 定义：对于y 关于x 的函数，在
(
)
a
x
b a
b
范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数
2
1
y
x
=
+ ，在0
3
x
的范围内，分别求出M 和m 的值．
(2)对于二次函数
2
2
3
y
x
x
=
−
−，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0
3
x
的范围内，
0
M =
，
3
m
−
=
．”
乙同学说：“在0
x
t
的范围内，若
4
M
m
−
= ，则
0
M =
，
4
m = −．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断
．．．．．．，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
变式5-3 在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
的图象经过点(
)
4,6
A −
，交y 轴于点C ，且与二
次函数
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a a
=
+
+
图象的对称轴交于点(
)
,4
B m
．
(1)求m 的值和二次函数图象与x 轴的交点个数；
8 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(2)当二次函数图象恰好经过
(
)
, ,
,
6,8
A B C D −
四个点中的某两点时，请指出是哪两个点，并求出b 的值；
(3)若二次函数的图象与线段AC 有两个交点，求a 的取值范围．
题型6、抛物线与一次函数交点问题
典例6 （25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
2
2
1
1
5
4
=
−
+
−
y
x
ax
a
的顶点在一次函数
2
5
=
+
−
y
ax
ab
上，且当
3
1
2
x
时，都有
1
2
y
y
，a 的取值范围是（ ）
A．
2
3
a
B．
3
a
C．1
2
a
D．
1
a 或
2
a
题型模版
1.特征：直线 y=kx+b 与抛物线相交，讨论交点个数、交点坐标及由交点条件求参数．
2.方法：联立两解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数，用韦达定理求交点横纵坐标关系；结
合图象分析直线过定点、与抛物线相切等临界状态．
变式6-1 已知抛物线
2
3
y
x
ax
=
−
+ （a 为常数）经过点
(
)
1,0
A
．
(1)求a 的值．
(2)若抛物线向左平移n（
0
n
）个单位后仍经过点A，求n 的值．
(3)过点(
)
,0
P m
作x 轴的垂线，交抛物线
2
3
y
x
ax
=
−
+ 于点M，交直线y
kx
=
(
0
k )于点N．当1
3
m
时，
MN 的长度随AP 的长度增大而增大，求k 的取值范围．
变式6-2 抛物线
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
和点B ，与y 轴交于点C ．点P 在直线BC 上，设点P 的
横坐标为t ．
(1)求c 的值；
(2)如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当
1
t = 时，求点H 的坐标；
(3)点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
2 2
PQ =
．过点P ，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条垂线围
9 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
成四边形PEQF ．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N ，记M ，N 的纵坐标之和为f ．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当
11
2
f = −
时，直接写出t 的值．
变式6-3 【阅读理解】若抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点落在直线y
x
=
上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如
2
4
6
y
x
x
=
−
+ 的顶点为(
)
2,2 落在直线y
x
=
上，是平衡抛物线．
【提出问题】
若抛物线
2
1
1
1
1
4
y
x
b x
c
=
+
+
，
2
2
2
2
1
4
y
x
b x
c
= −
+
+
都是平衡抛物线，抛物线
1y 的对称轴为直线
3
x
−
=
，抛物线
2y 的对称轴为直线
1
x = ．点
(
)
,
A m p 在抛物线
1y 上，点
(
)
2
,
B
m q
−
在抛物线
2y 上，点C 与点B 关于直线
1
x =
对称．设d
p
q
−
=
．
【解决问题】
(1)求抛物线
1y 的解析式；
(2)判断线段AC 的中点M 是否一定落在直线y
x
=
上？请你作出判断并说明理由；
(3)当4
4
m
−
时，求d 的取值范围．
题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题
典例7 将抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新
图像与直线y
x
m
=
+
有4 个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．
5
m −
B．
21
5
4
m
−
−
C．
21
3
4
m
−
−
D．
3
m −
题型模版
1.特征：抛物线沿某条直线或某点折叠后，与新直线（或原直线）产生交点，涉及对称变换．
10 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2.方法：先求折叠后抛物线的解析式（关于对称轴或对称中心对称），再与原直线联立；利用对称性把交点
问题转化为原抛物线与对称直线的问题，注意折叠后定义域与图象范围的变化．
变式7-1 （2025·山东泰安·三模）我们规定形如
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的函数叫做“元宝型函数”．已知函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线
2
x =
对称；②关于x 的不等式
2
4
3
0
x
x
−
+
的解是
1
x 或
3
x ；③当
1
k 时，关于x 的方程
2
4
3
x
x
k
−
+
=
有三个实数解；④当
1
x 时
函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的y 值随x 值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
变式7-2 已知关于x 的方程
2
4
0
x
x
t
+
−=
，在5
2
x
−
的范围内，该方程有2 个不同的实数根，则t 的取值
范围是_____．
变式7-3 已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ．
(1)若
0
ac
，求证：二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点；
(2)若二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象过点(
)
,
A n m ，
(
)
6,
B n
m
+
，且
3
n −．
①当
0
m =
时，求b
c
a
+
的最小值；
②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线:
2
6
l x
n
=
+ 右侧的部分沿直线l 翻折得到的图形与原函数图
象组合成新图形W ．若对于m 的每一个值，直线AB 与图形W 总有三个不同的交点，求n 的取值范围．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
29．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 的图象与一次函数
(
)
2
1 0
3
y
x
x
=
+
的
图象只有一个交点，则c 的最大值与最小值的差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
30．已知抛物线
2
3
1
y
x
bx
=
+
+ 与直线
2
y
x
=
+
相交于A、B 两点，则线段AB 长的最小值为（ ）
11 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
A．
26
3
B．
6
3
C．2 6
3
D．2 13
3
31．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数
1
2
y
x
a
=
+ （a 为实数）和二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
，
对任意0
4
x
，总有
1
2
y
y
，则a 的取值范围是（ ）
A．
2
a −
B．2
4
2 5
a
−
−+
C．4
2 5
4
2 5
a
−−
−+
D．
4
2 5
a −+
32．（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
2
y
x
bx
= −
+
+ 与x 轴交
于
(
)
(
)
4,0 ,
1,0
A
B
−
两点，与y 轴交于点C．将抛物线位于点A，C 之间的部分（包含端点）记为图象G，若
直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与图象G 有两个交点，则b = _____，k 的取值范围是________________．
33．-【上好课】2024-2025 学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））将抛物线
(
)
2
1
1
2
y
x
= −
+
的图像位
于直线
2
y = −以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线y
x
m
=
+
与此图像有四个交点；求m 的取值范
围．
34．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
2
4
1
0
y
x
x
m
m
=
−
+
与y 轴交于点A，它的顶点为点B ．
(1)点A的坐标为_________，点B 的坐标为_________（用m 表示）；
(2)已知射线
(
)
4
0
y
x
=
，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求m 的取值范围．
35．已知抛物线
2
4
y
x
x
c
=
−
+ （c 为常数）经过点
(
)
3,0
A
．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点A向左平移(
)
0
k k
个单位长度，再向上平移(
)
0
t t
个单位长度后，恰好落在抛物线上．当
3
t
时，
求k 的最大值．
(3)点
(
)
,
C m n 在抛物线上（不与点A重合），过点C 作直线l
x
∥
轴，若直线l 与抛物线上A，C 两点之间的
部分（包含点A，C ）只有一个交点时，求m 的取值范围．
36．（24-25 九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ （a ，b 是常数，
0
a
）．
(1)若该函数的图象经过(
)
1,0 和(
)
4,1 两点，则函数的表达式为________．
(2)当
2
a =
时，写出一个b 的值，使函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ 图象的顶点坐标始终在直线
1
y
−
=
的下方，并说明理
12 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
由．
(3)当
1
a = ，
2
b = 时，函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ 图象上有点
(
)
1
,
M t y
，直线
1
1
2
y
x
=
+ 上有点
(
)
2
,
N t y
，若
3
2
MN
，
试求t 的取值范围．
37．已知二次函数
(
) (
)(
)
y
x x
c
x
c
x
d
=
−
+
−
−
，其中c，d 为两个不相等的实数，与y 轴交点坐标为(
)
0,n ．
(1)当
3
4
c
d
=
=
，
时，求n 的值；
(2)当
3
0
d
c
=
时，点
(
)
3
1,
C
y
，(
)
4
2,
D
y
在该函数图像上，且
3
4
y
y
，求整数n 的值；
(3)若
3
n = −，对于该函数图像的顶点坐标(
)
1
1
,
x
y
，满足
1
1
x ，求
1y 的取值范围．
38．（2025·河南周口·二模）已知抛物线
2
2
3
=
−
−
y
ax
ax
与x 轴交于点
(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式及对称轴．
(2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象；
②在同一坐标系中画出直线
3
y
x
=
−
，并根据图象直接写出关于x 的不等式
2
2
3
3
ax
ax
x
−
−
−的解集．
(3)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
ax
ax
t
−
−
= 在1
4
x
−
的范围内有实数根，请结合图象直接写出t 的取值范
围．
39．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x
m
=
，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关
于直线x
m
=
的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新
函数叫做原函数关于直线x
m
=
的“镜面函数”．例如：图① 是函数
1
y
x
=
+ 的图象，则它关于直线
0
x =
的“镜
面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为
(
)
1
0
1(
0)
x
x
y
x
x
−
+
=
+
，也可以写成
1
y
x
=
+ ．
13 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)在图③ 中画出函数
2
1
y
x
= −
+ 关于直线
1
x = 的“镜面函数”的图象．
(2)函数
2
2
2
y
x
x
=
+
−
关于直线= 1
x −的“镜面函数”与直线y
x
m
= −+
有三个公共点，求m 的值．
(3)已知
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
3, 2
C
−
，
(
)
1, 2
D −−
，函数
2
2
2(
0)
y
x
nx
n
=
−
+
关于直线
0
x =
的“镜面函数”
图象与矩形ABCD的边恰好有4 个交点，求n 的取值范围．
40．（24-25 九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知抛物线
2
1
1
2
4
2
y
x
x
= −
+
+
与x 轴交于点A 和点B，与y 轴
交于点C，过点C 作CD
x
∥轴交抛物线于点D．
(1)则点C 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ；
(2)若点Q 是抛物线上在y 轴右侧
．．的一个动点，其横坐标为t，点Q 到抛物线对称轴和直线CD的距离分别是
1d ，
2
d ，且
1
2
d
d
d
=
−
．
①求d 关于t 的函数解析式；
②当0
1
d
≤时，直接写出
．．．．t 的取值范围．
41．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图像过
5
( 5,0), 0,
,(1,6)
2
−
三点，直线
l 解析式为
2
3
y
x−
=
，
(1)求二次函数解析式
(2)求证：此抛物线与直线l 无公共点
14 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(3)若与l 平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P 点坐标
(4)若
(
)
,
Q x y 是直线l 上的一个动点，求P、Q 两点距离的最小值
42．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 的图象和性质进行了探究，在经
历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．
请根据函数图象完成以下问题：
(1)观察发现：
①写出该函数的一条性质_________________；
②函数图象与x 轴有_________个交点，所以对应的方程
2
2|
| 1
0
x
x
−
+ =
有________个实数根；
(2)分析思考：
③方程
2
2|
| 1 1
x
x
−
+ = 的解为__________________；
④关于x 的方程
2
2|
| 1
x
x
n
−
+ =
有4 个实数根时，n 的取值范围是_________；
(3)延伸探究：
⑤将函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 的图象经过怎样的平移可以得到函数
(
)
2
2
2|
2| 3
y
x
x
=
+
−
+
−的图象，直接写出平
移过程．
43．（24-25 九年级下·江苏泰州·阶段检测）一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象与x 轴交于点A，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过点A、原点O和一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 图象上的点
5
, 4
B m
．
15 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数
1
9 ,
1
2
16
y
x
n n
n
=
+
−
与二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象交于点
(
)
1
1
,
C x
y
、
(
)(
)
2
2
1
2
,
D x
y
x
x
，过点C 作直线1l
x
⊥
轴于点E ，过点D 作直线2l
x
⊥
轴，过点B 作
2
BF
l
⊥
于点F ．
①
1x =________，
2x = ________（分别用含n 的代数式表示）；
②证明：AE
BF
=
；
(3)如图2，二次函数
(
)
2
2
1
2
y
a x
=
−
+ 的图象是由二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象平移后得到的．点M
是二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象上的点，设点M 的横坐标为
3
4
m m
，过点M 平行于x 轴的直线
交函数
1y 的图像于点N ，交函数
2y 的图像于点P 、Q （P 在Q 点右侧），
①当
2
MN
PQ
=
时，求M 点的坐标；
②直接写出Q 点是PN 的中点时的m 的值
