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3.3.2 抛物线的简单几何性质（1） -A基础练
一、选择题
1．（2019·湖北东西湖·武汉为明学校高二月考）对抛物线 ，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为
【答案】B
【解析】因为抛物线 ，可知化为标准式为抛物线 ，2p=1/4，故焦点在y轴上，开口
向上，焦点坐标为 ，选B
2．（2020·江苏省上冈高级中学高二期中）在同一坐标系中，方程 与
的曲线大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由 ，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
得 表示焦点在 轴上开口向左的抛物线.故选：D.
3．（2020·全国高二课时练习）若点 在抛物线 上，则下列点中一定在该抛物线上
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线关于x轴对称易知，点 一定在该抛物线上.故选：B
4．（2020·湖北省麻城一中期末）已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，到直线 ：
为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】因为抛物线上的点 到准线的距离等于到焦点 的距离，所以过焦点 作直线
的垂线，则 到直线的距离为 的最小值，如图所示：
所以 故选：B
5．（多选题）（2020·湖北黄石一中高二期末）经过点 的抛物线的标准方程为（ ）A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为 ，又因为抛物线经过点
，所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 .若抛物线的焦点在y轴
上，设抛物线的方程为 ，又因为抛物线经过点 ，所以 ，
解得 ，所以抛物线的方程为 .故选：AC．
6．（多选题）（2020·江苏徐州高二月考）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为
2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．C的准线方程为y＝1 B．线段PQ长度的最小值为4
C．M的坐标可能为(3，2) D． ＝－3
【答案】BCD
【解析】焦点F到准线的距离为p=2，所以抛物线C的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A
错误；当PQ垂直于x轴时长度最小，此时P(1，2)，Q(1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B正确；设
P(x，y)，Q(x，y)，直线PQ的方程为x=my+1，联立x=my+1，y2＝2px，消去y可得x2－
1 1 2 2
(4m2+2)x+1=0，消去x可得y2－4my－4=0，所以x+x=4m2+2，y+y=4m，当m=1时，可得M(3，
1 2 1 2
2)，则选项C正确；又xx=1，yy=－4，所以 ＝xx+yy=－3，则选项D正确；故选：
1 2 1 2 1 2 1 2
BCD
二、填空题
7．（2020·银川市六中期末）抛物线的顶点和椭圆 的中心重合，抛物线的焦点和椭圆
的右焦点重合，则抛物线的方程为 .
【答案】【解析】依题意知，椭圆的右焦点 ，设抛物线的方程为： ，则 ，
． 抛物线的方程为： ．
8．（2020·江西高二月考）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，且|AF|＝5，O为坐
标原点，则△OAF的面积为 .
【答案】 2
【解析】根据题意，抛物线 ： 的焦点为 ，设 ，则 ，
， ， .
9．（2019·武汉为明学校高二月考）设P是曲线y2＝4(x－1)上的一个动点，则点P到点A(0，1)的
距离与点P到y轴的距离之和的最小值是________
【答案】
【解析】因为抛物线方程是y2＝4(x－1)，所以抛物线的焦点坐标是 ，准线方程为： ，
如图所示：
由抛物线的定义得： ，所以 ，当A，P，F共线时取等号，
所以点P到点A(0，1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是 .
10.（2020·东辽县第一高级中学校高二期中）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高 ，水面
宽度 .现有一船只运送一堆由小货箱码成的长方体的货物欲从桥下中央经过，已知长方体
货物总宽6米，若要使船只顺利通过该桥，则长方体货物的顶部离水面的距离应低于______ .【答案】
【解析】以O为原点,过O垂直于 的直线为y轴,建立如图所示平面直角坐标系
设抛物线方程为 ,根据题意知点 在抛物线上.
, , .可设 ,过C作 的垂线,交抛物线于 ,
则 , .
∴长方体货物的顶部离水面的距离应低于 （ ）.
三、解答题
11.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=
√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.
【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x
0
,y
0
),由题意知M(
0,-
p),
2
∵|AF|=3,∴y 0 +p=3,∵|AM|= √17 ,∴ x2+ ( y + p) 2 =17,
2 0 0 2
∴ =8,代入方程 =2py 得,
x2 x2 0
0 08=2p( p),解得p=2或p=4.
3-
2
∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.
12．（2020·伊美区第二中学高二期中）斜率为 的直线l经过抛物线 的焦点 ，且
与抛物线相交于A、B两点．
求该抛物线的标准方程和准线方程；
求线段AB的长．
【解析】
由焦点 ，得 ，解得
所以抛物线的方程为 ，其准线方程为 ，
设 ， 直线 的方程为
l
与抛物线方程联立，得 ，
消去 ，整理得 ，
y由抛物线的定义可知， ．
所以，线段 的长为
AB
