文档内容
专题 17 圆锥曲线的综合应用
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置判断
设直线方程为 ，椭圆方程为
联立 消去y得一个关于x的一元二次方程
① 直线和椭圆相交 直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
② 直线和椭圆相切 直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③ 直线和椭圆相离 直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆相交的弦长公式
（1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
（2）求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x，y)，(x，y)，
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则弦长公式为：
知识点2 直线与双曲线的位置关系
1、直线与双曲线的位置关系判断将双曲线方程 与直线方程 联立消去 得到关于 的一元二次方程
，
（1）当 ，即 ，直线 与双曲线的渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点；
（2）当 ，即 ，设该一元二次方程的判别式为 ，
若 ，直线与双曲线相交，有两个公共点；
若 ，直线与双曲线相切，有一个公共点；
若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切.
2、直线与双曲线弦长求法
若直线 与双曲线 （ ， ）交于 ， 两点，
则 或 （ ）．（具体同椭圆相同）
知识点3 直线与抛物线的位置关系
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况
相交（有两个公共点或一个公共点）；
相切（有一个公共点）；
相离（没有公共点）.
2、以抛物线 与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ，
若 ，直线与抛物线有两个交点；
若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若 ，直线与抛物线没有交点.
（2）直线的斜率 存在.
设直线 ，抛物线 ，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数，
即二次方程 （或 ）解的个数.
①若 ，
则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 时，直线与抛物线相切，有个公共点；当 时，直线与抛物线相离，无公共点.
②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点.
3、直线与抛物线相交弦长问题
（1）一般弦长
设 为抛物线 的弦， ， ，弦AB的中点为 .
①弦长公式： （ 为直线 的斜率，且 ）.
② ,
推导：由题意，知 ，① ②
由①-②，得 ，故 ，即 .
③直线 的方程为 .
（2）焦点弦长
如图， 是抛物线 过焦点 的一条弦，
设 ， ， 的中点 ，
过点 ， ， 分别向抛物线的准线 作垂线，垂足分别为点 ， ， ，
根据抛物线的定义有 ， ，
故 .
又因为 是梯形 的中位线，所以 ，
从而有下列结论；
①以 为直径的圆必与准线 相切.
② (焦点弦长与中点关系)
③ .
④若直线 的倾斜角为 ，则 .
⑤ ， 两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即 ， .
⑥ 为定值 .重难点01 求解圆锥曲线中的定点问题的两种方法
1、特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关．
2、直接推理法：①选择一个参数建立直线系方程，一般将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)中的
常量当成变量，将变量x，y当成常量，将原方程转化为kf(x，y)＋g(x，y)＝0的形式(k是原方程中的
常量)；②根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组③以②中
方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点，若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
【典例1】（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知离心率为 的椭圆 的右焦点为 ，
点 为椭圆上第一象限内的一点，满足 垂直于 轴，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 的斜率存在，交椭圆 于 两点， 三点不共线，且直线 和直线 关于直线 对称，
证明：直线 过定点.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，点 在椭圆 上，
代入椭圆方程，有 ，解得 ，
且 ，可得
所以椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，由
消去 ，整理得 ，
因为直线 交椭圆 于 两点，所以 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，所以 ，
1 1 2 2
因为直线 和直线 关于直线 对称，y y kx +m kx +m 2kx x +(m−k)(x +x )−2m
所以k +k = 1 + 2 = 1 + 2 = 1 2 1 2 =0，
AF BF x −1 x −1 x −1 x −1 (x −1)(x −1)
1 2 1 2 1 2
所以 ，
所以 ，
解得 .
所以直线 的方程为 ，
所以直线 过定点 .
【典例2】（23-24高三下·江西九江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，点
在 上．
(1)求双曲线 的方程；
(2)直线 与双曲线 交于不同的两点 ， ，若直线 ， 的斜率互为倒数，证明：直线 过定点．
【答案】(1) ;(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得 ， ，所以 ，
又点 在 上，故 ，解得 ， ，
所以双曲线 的方程为： ．
（2）当 斜率不存在时，显然不满足条件．
当 斜率存在时，设其方程为 ，与方程联立 联立，消去 得 ，
由已知得 ，且 ，
设 ， ，则 ， ，直线 ， 的斜率分别为 ， ，
由已知 ，故 ，
即 ，
所以 ，
化简得 ，又已知 不过点 ，故 ，
所以 ，即 ，
故直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
【典例3】（24-25高三上·湖北·开学考试）已知平面内一动圆过点 ，且在y轴上截得弦长为4，动
圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点 的直线l与曲线C交于点M，N，问：以MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这
个定点；若不过定点，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)过定点，定点为原点.
【解析】（1）设动圆圆心 ，
当 时，依题意， ，即 ；
当 时，点C的轨迹为点 ，满足 ，
所以点C的轨迹方程为 .
（2）依题意，直线 不垂直于 轴，设直线l方程为： ， ，
由 消去x并整理得 ， 恒成立，
则 ，令圆心为 ，则 ， ， ，
直径 ，
则圆 的方程为 ，
当 时， ，
因此对于 ，圆 恒过原点，
所以存在定点 ，以MN为直径的圆过定点 .重难点02 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
1、求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；
2、求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简变形求
得；
3、求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简变形即可求得．
【典例1】（24-25高二上·江苏南通·月考）已知椭圆 的右焦点为 ，斜率不为0的直线 与
交于 两点.
(1)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(2)若直线 经过点 （点 在点 之间），直线 与直线 的斜率分别为 ，求证：
为定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）设 ，则有 ，
且 ，作差可得 ，
所以 ，
由点斜式得， ，
整理得 即为直线 的方程.
（2）不妨设 的直线方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，由韦达定理得，
所以 ，
因为 ，
所以 为定值.
【典例2】（23-24高三下·河南郑州·月考）已知双曲线 的右焦点为 ，双曲线
的上焦点为 ，直线 ，且 既是 的渐近线也是 的渐近线．
(1)求 的方程；
(2)过 作与 轴不垂直的直线与 的右支交于点 ，若点 在 轴上，且 ，求证： 为定
值，并求出该定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析， ．
【解析】（1）双曲线 的渐近线方程为 ，
由题意得直线 的斜率为负，又直线 ，则 的方程为 ，
故直线 的斜率为 ，
所以 ， ， ，
又 ，所以 ，
所以 ， ， 的方程为 ；
（2）证明：由（1）知 ，设直线 的方程为 （ 且 ），与 联立得 ，
设P(x ,y )，Q(x ,y )， 中点为 ，
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则 ， ， ，
设 ，由 得点 在线段 的垂直平分线上，
所以 ， ，
，
所以 ，
所以 为定值 ．
【典例3】（23-24高三下·重庆·模拟预测）已知抛物线 ： 与双曲线 ： 相交于点
．
(1)若 ，求抛物线 的准线方程；
(2)记直线l： 与 、 分别切于点M、N，当p变化时，求证： 的面积为定值，并求出该
定值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析， .【解析】（1）由 ，得 ，将其代入 ，得 ，
所以抛物线 的方程为 ，其准线方程为 .
（2）由 ，得 ，
由直线 与 相切，得 ，解得 ，切点 ，
由 ，得 ，
由直线 与 相切，得 ，解得 ，切点 ，
于是 ，令 ，则直线 的方程为 ，
点 ，由 ，得 ，
所以 ，
点 到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 的面积为定值，该定值为 .
重难点03圆锥曲线中的定直线问题
一般需要根据题中条件，设出所需直线方程，联立直线与圆锥曲线方程，根据根与系数的关系以及题中条件，求出动点的坐标满足的关系，从而可确定结果(一般得到动点横坐标或纵坐标为定值)．
【典例1】（23-24高三下·河北衡水·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
是 上一点，且点 到点 的距离之和为 .
(1)求 的方程；
(2)斜率为 的直线 与 交于 两点，则 的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；
若不在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2)存在，
【解析】（1）由题意，得 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2） 的外心在定直线 0上.理由如下：
由题意设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
即 ，且 .
设 的中点为 ，
则 ，
所以，
即直线 与 的斜率互为相反数.
设直线 的方程为 ，即 .
联立 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 ，
即 ①.
直线 的方程为 ，同理可得线段 的垂直平分线的方程为
②
联立①②，得 ，
得 ，
故 的外心在定直线 上.
【典例2】（24-25高三上·江西南昌·开学考试）已知双曲线 的焦距为4，过右焦
点 且垂直 轴的直线交曲线 的右支于 两点（ 在 轴上方）， ，过右焦点 的动直线交
的左支于点 ，交 的右支于点 ，直线 和 的交点为 .(1)求双曲线 的标准方程；
(2)证明点 在定直线上，并求出该定直线的方程.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【解析】（1）由双曲线焦距为4可得， ，即 ①.
故右焦点为 ，由 ，
令 ，得 ，则 ②，
联立①②解得， .
故双曲线 的标准方程为 ；
（2）由题意知，过右焦点的动直线若与左、右两支都相交，故直线斜率存在，
可设方程为 ，
联立 ，消 得 ，
则由题意， 且 ，
设 ，
由韦达定理知， ，
由直线与左、右两支都相交，则 ，得 .
又 ，
直线 的方程为 ③，
直线 的方程为 ④，④ ③得， ，
由
，
故 ，解得 ，
当 时，不论 取何值，点 横坐标为常数 ，
即直线 和 的交点为 在定直线 上.
【典例3】（23-24高三下·河北保定·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的
直线 ，分别与 交于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形
的面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
【答案】(1) ；(2)证明见解析.
【解析】（1）当直线 的倾斜角等于 时，直线 的倾斜角等于 ，
直线 的方程为 ，由抛物线的对称性知 ，
所以 ，得 ．
联立方程组 ，消去 得 ．
设 两点的横坐标分别为 ，则 ， ．
又 ，所以 ，所以 的方程为 ．
（2）由（1）知F(1,0)，依题意，可设直线 的方程为y=k(x−1) ，则直线 的方程为 ．
联立方程组 消去 得 ，显然 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ．
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设 ，同理可得 ，
所以 ，同理可得 ．
直线 的方程为 ，
即 ．
同理，直线 的方程为
．
两直线方程联立得 ，解得 ，
即直线 与 的交点 在定直线 上．
重难点04 圆锥曲线中的范围、最值问题的解题方法
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上一点 到左焦点的距离的最小值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，求△OMN面积的取值范围.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）依题意，设椭圆 的标准方程为 ，半焦距为 ，
由椭圆 的离心率为 ，得 ，则 ，
设 ，则 ，椭圆 的左焦点 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，因此 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 不垂直于坐标轴时，直线 的斜率存在且不为0，设其方程为 ，
由 消去 得 ，则 ，
直线 ，同理 ，
则△OMN的面积
，
令 ， ，
当直线 垂直于坐标轴时，由对称性，不妨令 ， ，
所以△OMN面积的取值范围是 .【典例2】（23-24高三下·江西·一模）已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线的倾斜角
为 ，C的右焦点F到该渐近线的距离为 .
(1)求C的方程；
(2)若过F的直线与C的左、右支分别交于点A，B，与圆 交于与A，B不重合的M，N两点.
（ⅰ）求直线AB斜率的取值范围；
（ⅱ）求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】（1）因为C的一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ， ，
则C的一条渐近线的方程为 ，
因为 ，
所以右焦点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ， ，所以C的方程为 .
（2）（ⅰ）由（1）知， ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
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由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设直线AB的方程为 ，
与 联立得 ，
所以 ， ， ， ，
又A，B两点在x轴同一侧，所以 .此时 ，即 .又圆O的方程为 ，点O到直线AB的距离 ，
由 得 ，由 得 ，所以 或 ，
因为直线AB的斜率 ，所以直线AB斜率的取值范围是 .
（ⅱ）由弦长公式得
，
由垂径定理得 ，
所以 ，
其中 ，设 ， ，
则 ，
所以 的取值范围是 .
【典例3】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知双曲线 的焦距为 ，过点
的直线 与 交于A，B两点，且当 与 轴平行时， ．
(1)求 的方程；
(2)记 的右顶点为 ，若点A，B均在 的左支上，直线AT，BT分别与 轴交于点M，N，且 ，
，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) ．【解析】（1）由题可知双曲线 过点 ，
则 ．解得 ， ，
所以双曲线 的方程为 ．
（2）若 的斜率不存在，此时 与双曲线无交点，舍去，
根据题意设直线 ，A(x ,y )， ， ，
1 1
联立 ，得 ．
则 ，且 ，
由 ， ，可得 ，所以 ．
由（1）可知 ．
则直线AT的方程为 ．
令 ，得 ，所以 ，同理可得 ．
所以 ， ， ．
由 ， ．
得 ， ，
所以 ， ，
所以，
因为 ，所以 ．
所以 ，所以 ．
所以 的取值范围为 ．
重难点05 圆锥曲线中的证明问题
圆锥曲线中的证明问题，常见的有位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如
存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直
接法证明，但有时也会用到反证法．
【典例1】（24-25高三上·北京海淀·开学考试）已知椭圆 的离心率为 ．
(1)求椭圆E的方程和短轴长；
(2)设直线 与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 的直线 与椭圆E交于不
同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明： ．
【答案】(1)椭圆E的方程为 ，短轴长为 ；(2)证明见解析
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆E的方程为 ，短轴长为 ；
（2）由 ，消y得 ①，
由 ，得 ，
此时方程①可化： ，解得： （由条件可知： 异号），
设P(x ,y )，则 ， ，
0 0
即 ，所以 ，
因为 ，所以可设直线 ： （ ， ），
由 ，消y得 ，
当 时，方程有两个不相等的实根，
设A(x ,y )，B(x ,y )，
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则 ， ，
因为 两点关于原点对称，所以 ，
所以 ，
所以 ，即 .
【典例2】（24-25高三上·浙江·月考）已知双曲线 与过点 ，
的直线有且只有一个公共点 ，且双曲线 的离心率 ．
(1)求直线 和双曲线 的方程；
(2)设 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为线段 的中点，求证： ．
【答案】(1) ， ；(2)证明见解析
【解析】（1）因为双曲线的离心率 ，所以 ，解得 ，
设双曲线方程 .
直线 过点 ， ，所以直线 方程为 ，即 ，
代入双曲线方程 ，得 ，
由题意， ，解得
所以双曲线 的方程： ．
（2）因为 ，于是 即 ，
所以 ，代入 得 ，
则 ，又 ，所以 ，
因为 为线段 的中点，所以 ，
所以 ．
又 ，所以 ，故 ．
【典例3】（23-24高三下·广西来宾·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知F为抛物线C：
的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上一点，直线MF的斜率为 ， 的面积为
4．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线交C于A，B两点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线与C
的另一交点为E，AE的中点为G，证明：G，B，D三点纵坐标相等．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）设准线l与x轴的交点为N，∵直线MF的斜率为 ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ．
故抛物线C的方程为： ．
（2）证明：设直线AB的方程为 ，设点A(x ,y )，B(x ,y )，
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联立 ，得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
又因为直线AO的方程为 ，
将 代入，可得 ，即点 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以直线AE的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，故 ， ，
故G，B，D三点纵坐标相等.
重难点06 圆锥曲线中的探索性问题
存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
（1）当条件和结论不唯一时，要分类讨论；
（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
（3）当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．
【典例1】（24-25高三上·云南昆明·月考）动点 到直线 与直线 的距离之积等
于 ，且 ．记点M的轨迹方程为 ．
(1)求 的方程；
(2)过 上的点P作圆 的切线PT，T为切点，求 的最小值；
(3)已知点 ，直线 交 于点A，B， 上是否存在点C满足 ？若存
在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ；(2)2；(3)
【解析】（1）根据 到直线 与直线 的距离之积等于 ，
可得 ，化简得 ，
由于 ，故 ，即 .
（2）设 ， ，
故当 时， 最小值为2（3）联立 与 可得 ，
设 ，
则 ，
故
设存在点C满足 ，则 ，
故 ，
由于 在 ，故 ，
化简得 ，即 ，解得 或 （舍去），
由于 ，解得 且 ，
故 符合题意，由于 ，故 ，
故 ,故 ，
故存在 ，使得【典例2】（23-24高三下·河南·月考）已知椭圆 与双曲线 的焦点
与 的焦点间的距离为 .
(1)求 与 的方程；
(2)过坐标轴上的点 可以作两条 与 的公切线.
（i）求点 的坐标.
（ii）当点 在 轴上时，是否存在过点 的直线 ，使 与 均有两个交点？若存在，请求出 的方程；
若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)（i） 或 或 或 ；（ii）不存在，理由见解析
【解析】（1）由题意可得 ，解得 .
所以 .
（2）（i）显然公切线的斜率存在且不为0，设公切线 ，
联立 得 ，
则 ，
即 ①
联立 得 ，
则 ，即
②联立①②得 ，所以公切线为 或 .
公切线的交点即点 的坐标，
由 ，解得 ，由 ，解得 ，
由 ，解得 ， ，解得 ，
综上所述： 或 或 或 .
（ii）当点 在 轴上时， ，
假设存在直线 与 均有两个交点，
由（i）知 ，不等式组无解，
所以不存在过点 的直线 与 均有两个交点.
一、直线与圆锥曲线位置关系判断
1、直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到
一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直
线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
2、直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，
或直线与圆锥曲线相切．
【典例1】（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线 与椭圆 相交，则C的长轴长
的取值范围是 ．【答案】
【解析】将 代入 ，得 ，
则 ，解得 ．
因为C的长轴长为 ，所以C的长轴长的取值范围是 ．
故答案为： .
【典例2】（23-24高三下·福建漳州·三模）写出过点 且与抛物线 有唯一公共点的一条直
线方程 .
【答案】 （写对一个方程即可）
【解析】如图，当直线 斜率为0时，与抛物线 有唯一公共点，此时方程为 ；
当斜率不为0时，设 的方程为 ，
联立 消去 ，整理得： ，
因为直线 与抛物线 有唯一公共点，所以 ，
解得 或 ，所以 为 或 ，
即 或 .
综上，过点 且与抛物线 有唯一公共点的直线方程为：
或 或 .
故答案为： （或 或 ）.【典例3】（23-24高三下·四川绵阳·月考）过双曲线 ： 左焦点为 和点 直线 与双
曲线 的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由题意得双曲线 ： 左焦点为 ，
则直线l的斜率为 ，
故直线l的方程为 ，而双曲线的渐近线方程为 ，
故直线l与 平行，且l过双曲线的左焦点，
故直线 与双曲线 的交点个数是1，故选：B
二、直线与圆锥曲线的弦长问题
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率， 为直线倾斜角．
【典例1】（23-24高三下·安徽芜湖·模拟预测）已知椭圆 ，一组斜率 的平行直线与椭圆相交，
则这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设斜率 的平行直线与椭圆相交于 ，且中点为 ，
可得 .
由 ，两式相减得 ，
整理得 ，可得 ，
即这些直线被椭圆截得的段的中点所在的直线方程为 .故选：C.
【典例2】（23-24高三下·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线 与双曲线 交
于 两点，点 是弦 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【解析】设 ，则 ，且 ，
所以 ，整理得到： ，
因为 是弦 的中点，
所以 ，所以 即
所以 ，故选：A.【典例3】（23-24高三下·贵州黔南·二模）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，过焦点 作直
线 交抛物线 于 两点， 为抛物线 上的动点，且 的最小值为1.
(1)抛物线 的方程；
(2)若直线 交抛物线 的准线于点 ，求线段 的中点的坐标.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意可知：抛物线 的焦点 ，准线为 ，
设 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）由题意可知：直线 与抛物线 必相交（斜率不为0），
设A(x ,y ),B(x ,y )，线段 的中点 ，
1 1 2 2
且直线 过点 和F(1,0)，
则直线 的方程 ，即 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，可知 ，
将y =2代入 可得 ，
M
所以线段 的中点的坐标为 .
三、圆锥曲线的中点弦问题1、解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
（1）根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系
数的关系及中点坐标公式求解．
（2）点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 ， ，将这两点坐标分别代入
圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜率有关的式子，可以大大减
少计算量．
2、点差法常用结论
已知 ， 为圆锥曲线 上的两点， 的中点为 ，直线 的斜率为 ．
若 的方程为 ，则 ；
若 的方程为 ，则 ；
若 的方程为 ，则 ．
【典例1】（24-25高三上·云南·月考）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，
直线 与 交于 两点，则 .
【答案】6
【解析】
如图，设动圆 的圆心M(x,y)，由题意得 ，
两边取平方， ，化简得 ，故圆心 的轨迹方程为 .
联立方程 ，消去 整理得，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 .
故答案为：6.【典例2】（23-24高三下·安徽·一模）已知双曲线C： 的离心率为2.且经过点 .
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且 （点O为坐标原点），求 的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故双曲线方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，可设 ，
则 ，
将其代入双曲线方程 ，
又 ，解得 ，
此时 ，
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
故 ，
则
，
化简得 ，此时 ，
所以，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
，故 ，
因此 ，
综上可得 .
【典例3】（23-24高三下·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
点 为椭圆 上一点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故椭圆 的标准方程为 ；
（2） ，故可设 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2联立 ，消去 可得 ，
，即 ，
， ，
则 ，
则当 时，|AB|有最大值，且其最大值为 .
四、圆锥曲线中三角形的面积问题
利用三角形面积公式求解
（1） (一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；
（2） ．
【典例1】（23-24高三下·湖南郴州·模拟预测）已知抛物线 ，从抛物线内一点 发出平行于
轴的光线经过扡物线上点 反射后交抛物线于点 ，则 的面积为 .
【答案】
【解析】由抛物线的光学性质知，直线 与 轴的交点为抛物线的焦点，
的焦点为 ，故 与 轴的交点横坐标为 ，
根据题意，画出草图，如下图所示，令 得 ，解得 ，又 过焦点，
所以 方程为： ，
即 ，联立 ，
得 ，解得 或 ，所以
∴ 的 边上的高为 ，
又 ，
所以 ，
故答案为： .
【典例2】（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆 的左右焦点分别为 ， ，
点 在C上，且 轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点 作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求 的周长和面积．
【答案】(1) ；(2)周长为 ，面积为
( √2)
【解析】（1）由已知 轴且P 1, ，知 ， ，
2
由椭圆的定义 ，
所以 ， ， 的方程为 .
（2）可知直线 的斜率 ， 的方程为 .设A(x ,y ),B(x ,y )，联立方程组 ， 消去 得 ，
1 1 2 2
可得 ，
可得 ，
点F (1,0)到直线 的距离 ，
2
所以 的周长为 ， .
【典例3】（24-25高三上·江西南昌·月考）已知双曲线 的右顶点 ，点 到
双曲线 一条渐近线的距离为 .若过双曲线 上一点 作直线 与两条渐近线相交，交点为 ，且分
别在第一象限和第四象限
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）依题意， ，双曲线 的渐近线为 ，则 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）显然直线 不垂直于 轴，设直线 方程为 ，则直线 交 轴于点 ，
由（1）知，双曲线 的渐近线为 ，设 ，由 消去 得 ，
则 ， ，
有 ，由 ，得 为线段 中点，点 ，
而点 在双曲线 ： 上，于是 ，整理得 ，
又 ，
所以 的面积 .
五、圆锥曲线中四边形的面积问题
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点(尤其是有
平行条件的时候)，可将面积的关系转化，降低计算量，特殊的，对角线互相垂直的四边形，面积=对角线
长度乘积的一半．
【典例1】（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知椭圆 的左、右焦点为 ，
离心率为 ，点 为椭圆 上任意一点，且 的周长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与直线 分别交椭圆 于 和 两点，求四边形 的面积．
【答案】(1) ；(2) ．【解析】（1）由题意知 ，解得 ，
则椭圆 的方程为 ．
（2）易知四边形 为平行四边形，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线 与椭圆 消去 并整理得 ，
由韦达定理得
，
因为 与 平行，所以这两条直线的距离 ，
则平行四边形 的面积 ．
【典例2】（24-25高三上·湖南·月考）已知双曲线 的焦点在 轴上，离心率为 ，点 在双曲线
上，点 分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求 的方程；
(2)过 作两条相互垂直的直线 和 ，与双曲线的右支分别交于 ， 两点和 两点，求四边形
面积的最小值.
【答案】(1) ；(2)【解析】（1）因为 ，又由题意得 ，则有 ，
又点 在双曲线 上，故 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2）
根据题意，直线 的斜率都存在且不为 ，
设直线 ，其中 ，
因为 均与 的右支有两个交点，所以 ，所以 ，
将 的方程与 联立，可得 .
设 ，则 ，
所以
，
同理 ，
所以 .
令 ，所以 ，
则 ，当 ，即 时，等号成立.
故四边形 面积的最小值为 .
【典例3】（23-24高三下·广东·二模）已知抛物线C： ，焦点为F，准线为l，点Q在准线
l上.倾斜角为 的直线经过点F与抛物线C交于A，B两点，且点A在第一象限.
(1)若Q在x轴上，证明：直线 的斜率等于 ；
(2)已知 ，线段 的垂直平分线经过点Q，并与x轴交于点M，四边形 的面积为 ，求p.
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】（1）证明：过点A作 轴，垂足为H，
过点A作 ，垂足为E，则四边形 为矩形.
而 ，而 ，
由抛物线的定义， ，而 ，故 ，从而 .
（2）由题得，直线 的方程为 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去y，可得 ，
易知 ，故 ，从而 ， .
于是线段 的中点为 .又 ，所以直线 的斜率为 ，
故可得直线 的方程为 ，即 .
令 ，得 ，故 ，
令 ，得 ，故 .
于是 .
因为 ，故四边形 的面积为 ，解得 .
易错点1 忽视直线与双曲线相交的特殊性
点拨：直线与双曲线的位置关系分为：相交、相离、相切三种。其判定方法有两种
一是将直线方程与双曲线的方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程 ，
（1）若 ，直线与双曲线相交，有两个交点；若 ，直线与渐进线平行，有一个交点
（2）若 ，直线与双曲线相切，有且只有一个公共点；
（3）若 ，直线与双曲线相离，没有公共点；
二是可以利用数形结合的思想
【典例1】（23-24高三下·浙江绍兴·模拟预测）双曲线 ，过点 作直线 ，与双曲线只
有一个交点M，则 的斜率为 .
【答案】 或
【解析】双曲线渐近线斜率为 ，
当直线l与双曲线渐近线平行时，直线l和双曲线只有一个交点；
当直线 与双曲线渐近线不平行时，令直线 ，
联立双曲线可得 ，则 ，
此时直线 与双曲线只有一个交点，则 ，可得 ；综上， 的斜率为 或 .
故答案为： 或 .
【典例2】（24-25高三上·江苏镇江·月考）已知直线 的方程为 ，双曲线 的方程为 若
直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设，有 ，得 ，
因为直线 与双曲线 的右支交于不同的两点，
故 ，解得 ，故选：D.
【典例3】（23-24高三上·重庆南岸·月考）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√2，且过
点 .
(1)求双曲线的方程；
(2)直线 与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围.
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）双曲线的中心在原点,焦点在 轴上,设双曲线的方程为
由 ,可得 ,
由双曲线过点 ,可得 ，解得 ,
则双曲线的标准方程为 ;（2）联立直线与双曲线方程 ，
化简得 ，则 ，
假设 ,
则 ，解得 .
易错点2 忽视特殊性误判直线与抛物线的位置关系
点拨：在直线与抛物线的位置关系中存在特殊情况，即直线与抛物线对称轴平行时只有一个交点。在解题
时要注意，不要忘记其特殊性．
【典例1】（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知抛物线 过点 ，则（ ）
A．拋物线 的标准方程可能为
B．挞物线 的标准方程可能为
C．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点 与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【解析】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为 ，
将 代入抛物线 中得 ，则拋物线 的方程为 ，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为 ，
将 代入拋物线 中得 ，则抛物线 为 ，故B正确；
对于C、D选项，过点 与对称轴平行的直线，
以及抛物线在点 处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.故选：ABD.
【典例2】（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线 的焦点为 ，以 和 的准线上的两
点为顶点可以构成边长为 的等边三角形．(1)求 的方程；
(2)讨论过点 的直线 与 的交点个数．
【答案】(1) ；(2)答案见解析
【解析】（1）由题意得焦点 ，准线方程为 ，
以焦点和 的准线上的两点为顶点可以构成边长为 的等边三角形 ，
而这个等边三角形的高为 ，
即焦点到准线的距离 ，解得 （负值舍去），
所以 的方程为 ．
（2）若直线 的斜率存在，设 的方程为 ．
由方程组 可得 ．
（Ⅰ）当 时，解得 ，此时方程只有一个实数解， 与 只有一个公共点；
（Ⅱ）当 时，方程的根的判别式为 ，
（ⅰ）由 ，解得 或 ，此时方程有两个相等的实数解， 与 只有一个公共点；
（ⅱ）由 ，解得 或 ，此时方程有两个不等的实数解， 与 有两个公共点；
（ⅲ）由 ，解得 ，或 ，此时方程没有实数解， 与 没有公共点；
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 ，易知 与 没有公共点．
综上，当 的方程为 或 的斜率 或 时， 与 的交点个数为0；
当 的斜率 或 1或 时， 与 的交点个数为1；当 的斜率 时， 与 的交点个数为2．
易错点3 解决直线与圆锥曲线位置关系时忽视对直线斜率不存在的讨论
点拨：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为
方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方
程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【典例1】（23-24高三下·广东·模拟预测）已知 ，直线 交于点 ，且直线
的斜率之积为 ，点 的轨迹记为曲线 ．
(1)求 的方程．
(2)不过点 的直线 与 交于 两点，且直线 与 的斜率之和为 ，试问直线 是否过定点？
若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1) ；(2)直线 过定点 ，理由见解析.
【解析】（1）设 ，则 ， ，
由题意得， ，整理得 ，
∴曲线 的方程为 .
（2）设 ，
当 斜率存在时，设 ，
由 得， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵直线 与 的斜率之和为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，整理得 ，
∵ ，∴ ，
∴直线 方程为 ，恒过定点 .
当直线 斜率不存在时， ，
∵直线 与 的斜率之和为 ，
∴ ，
∴ ，此时直线 ，恒过定点 .
综上得，直线 过定点 .
【典例2】（24-25高三上·广西南宁·月考）已知双曲线 的两条渐近线方程为
为 上一点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与 仅有1个公共点，求 的方程；
(3)过双曲线 的右焦点 作两条互相垂直的直线 ， ，且 与 交于 两点，记 的中点 与
交于 两点，记 的中点为 ．若 ，求点 到直线 的距离的最大值．
【答案】(1) ；(2) ， ， ；(3)
【解析】（1）由题意可得， ，解得 ，所以双曲线 的方程为 .
（2）当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
代入 可得 ，
当 时，即 时，直线 与双曲线的渐近线平行，只有一个公共点，即直线 的方程为 ， ；
当 时， ，
即 ，可得 ，此时直线 与双曲线相切，
直线 的方程为 ；
显然，当直线 斜率不存在时，直线 与双曲线有两个公共点，不满足；
综上所述，与双曲线 仅有1个公共点的直线有3条：
， ， .
（3）当直线 的斜率不存在时，则 与 重合，又 ，即 ，
所以 ， ，此时直线 的方程为 ，
则 到 的距离为0；
当直线 的斜率为0时，则 与 重合， ， ，
此时直线 的方程为 ，则 到 的距离为0；
当直线 的斜率存在且不为0时，设 的方程为 ，
设 ，
直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
联立 可得 ，，
由韦达定理可得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
则
， ，
所以直线 的方程为 ，
即 ，
所以 ，即 ，
故直线 过定点 ，
当 时，直线 与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当 时，直线 与双曲线的渐近线平行，故与双曲线只有一个交点，舍去；
当 时， 的横坐标均为 ，此时，直线 的方程为 ，
过点 ；
综上所述，直线 过定点 .
所以点 到直线 的距离的最大值为 .
