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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 利用勾股定理求最短路径问题 （题型突破·举一反三） 题型01 几何体表面的最短路径问题 题型02 几何体的多次缠绕问题 题型03 立体图形中的将军饮马问题 题型04 几何体中的空间距离问题 ▌题型01 几何体表面的最短路径问题 1.几何背景：七年级学习过立体图形的平面展开图，常见的有圆柱体、长方体、正方体，其侧面展开图都为 长方形，由此，可以利用勾股定理求得对角线的长度。 2.如下图，对于正方体，从A 到B 的路线，虽然有不同的走法，但是距离相同。而对于长方体，则有3 种距 离不同的走法，解题时需要注意分类讨论。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 小技巧：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c（a>b>c），则从A 到B'的最短距离为√𝑎2 + (𝑏+ 𝑐)2 【典例1】编织一个底面周长为50cm、高为120cm的圆柱形花柱架，需沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根， 如图，则每一根这样的竹条的长度最少是多少厘米？ 【变式1-1】如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一 圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A．10cm B．20cm C．√208cm D．100cm 【变式1-2】如图，圆柱形容器的高17cm，底面周长是24cm，在外侧底面S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱 形容器的上口外侧距开口处1cm点𝐹处有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ） 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．20cm B．8√3cm C．√433cm D．24cm 【变式1-3】（25-26 八年级上·重庆·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U 型池，该U 型池可以看 作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m 的半圆，其边缘AB=CD=20m， 点E 在CD 上，CE=2m，一滑行爱好者从A 点到E 点，则他滑行的最短距离是多少？（边缘部分的厚度可 以忽略不计，结果取整数） 【变式1-4】（25-26 八年级上·河南周口·期中）如图，正方体的棱长为4cm，A 是正方体的一个顶点，B 是 侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点A 爬到点B 的最短路径是（ ） A．2√10 B．4√2 C．2√5 D．6 【变式1-5】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长 方体的表面从点A 爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ） 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．5√21 B．25 C．10√5 D．35 【变式1-6】如图，已知长方体的长为4dm、宽为2dm、高为8dm．一只壁虎如果沿长方体的表面从A 点爬 到𝐵′点，那么最短的路程是多少？ 【变式1-7】如图，在一张长方形纸板𝐴𝐵𝐶𝐷上放着一根长方体木块．已知𝐴𝐷= 12，𝐴𝐵= 8，该木块的长与 𝐴𝐷平行，横截面是边长为1的正方形，求一只蚂蚁从点A 爬过木块到达点C 需要走的最短路程的平方． 【变式1-8】如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A 和B 是这两 个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A 出发经过台阶爬到点B 的最短路线有多长？ 【变式1-9】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18 分米、4 分米． 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如果给台阶表面8 个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432 平方分米，那么每一级台阶的 高为多少分米？ (2)A 和C 是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A 处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食 物，则蚂蚁沿着台阶面从点A 爬行到点C 的最短路程为多少分米？ 【变式1-10】包装纸箱是我们生活中常见的物品．如图1，创意DIY 小组的同学将一个10cm × 30cm × 40cm 的长方体纸箱裁去一部分（虚线为裁剪线），得到图2 所示的简易书架．若一只蜘蛛从该书架的顶点𝐴出发， 沿书架内壁爬行到顶点𝐵处，则它爬行的最短距离为 cm． 【变式1-11】如图，长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，𝐴𝐵= 𝐵𝐵′ = 2，𝐴𝐷= 3，一只蚂蚁从𝐴点出发，沿长方体表 面爬到𝐶′点． (1)请你在所给的网格中，画出蚂蚁爬行的所有不同的直线路径； 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)分别求出这几种路径的距离； (3)求蚂蚁爬行的最短路程是多少？ ▌题型02 几何体的多次缠绕问题 与上一个题型类似，在多次缠绕问题中，也需要将几何体的侧面进行展开，对于多次缠绕的问题，可以用两 种方法进行解决。 方法一：将多次缠绕化为一次缠绕，求出长度后再乘缠绕倍数，如图1 方法二：将底面周长放大缠绕倍数，直接利用勾股定理求解，如图2 图1 图2 【典例2】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上， 五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱 的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤 的最短长度是（ ）尺 A．15 B．20 C．25 D．30 【变式2-1】如图，长方体的底面是边长为1m的正方形，高为6cm．如果从点𝐴开始经过4 个侧面缠绕2 圈 到达点𝐵，则所用细线最短要 ． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-2】有一根底面周长为30cm，高2 米的圆柱形枯木，一条长藤自根部缠绕向上，缠了五周刚好到达 顶部，这条长藤最短有多长？ 【变式2-3】如图，圆柱底面半径为4 𝜋cm，高为18cm，点A，B 分别是圆柱两底面圆周上的点．且A、B 在 同一母线上，用一棉线从A 顺着圆柱侧面绕3 圈到B，则棉线最短为 cm． 【变式2-4】（25-26 八年级上·山东滨州·期中）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A 点绕到正上 方B 点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是 ． 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ▌题型03 立体图形中的将军饮马问题 1.将军饮马问题的背景：如图，在直线l 同侧有点A、B，在直线l 上求一点M，使MA+MB 最小。 做法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B'，（2）连接AB'，交直线l 与点M，则点M 为所求的点。 2.将军饮马问题在立体图形中的应用 由于部分场景中，涉及到几何体的内壁与外壁，因此，就对应了上图的A、B 两点，将几何体展开，找到对 称点，化为将军饮马模型即可解决。 【典例3】如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，在容器内壁离容器底部1.5cm的 点𝐵处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿1.5cm的点𝐴处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行 的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（ ） A．9cm B．12cm C．18cm D．24cm 【变式3-1】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点𝐵处有一滴蜂蜜， 此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点𝐴处，则蚂蚁从外壁𝐴处到内壁𝐵处的最短距离（杯 壁厚度不计）为（ ） 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 【变式3-2】如图甲，笔直的公路上𝐴，𝐵两点相距20km，𝐶，𝐷为两村庄，𝐷𝐴⊥𝐴𝐵于点𝐴，𝐶𝐵⊥𝐴𝐵于点𝐵， 已知𝐷𝐴= 10 km，𝐶𝐵= 5 km，现在计划在公路的𝐴𝐵段上建一个土特产品收购站𝐸． (1)若规划𝐶，𝐷两村到收购站𝐸的距离相等，则收购站𝐸应建在离𝐴点多远处？ (2)若规划𝐶，𝐷两村到收购站𝐸的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站𝐸的位置，计算得到距离的 和最短值为 km． 【变式3-3】如图，河𝐶𝐷的同侧有𝐴、𝐵两个村，且𝐴𝐵= 2√13km，𝐴、𝐵两村到河的距离分别为𝐴𝐶= 2km， 𝐵𝐷= 6km．现要在河边𝐶𝐷上建一水厂分别向𝐴、𝐵两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000 元．请 你在河岸𝐶𝐷上选择水厂位置𝑂，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用𝑤（元）． 【变式3-4】如图，长方形BCFG 是一块草地，折线ABCDE 是一条人行道，BC＝12 米，CD＝5 米．为了避 免行人穿过草地（走虚线BD，践踏绿草，管理部门分别在B、D 处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走 米， 踏之何忍”． 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式3-5】（25-26 八年级上·湖南永州·期中）如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B 处有一滴糖浆， 容器外A 点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A 距底部 1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（ ） A．3√17cm B．√65cm C．5√5cm D．√113cm 【变式3-6】如图是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B （宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少𝑚？ 【变式3-7】如图，小区A 与公路l 的距离AC＝200 米，小区B 与公路l 的距离BD＝400 米，已知CD＝800 米， (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q 到A、B 两小区的路程相等，求CQ 的长； 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P 到A、B 两小区的路程之和最短，求PA+PB 的最小值，并求CP 的 长度． 【变式3-8】某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型： 直线𝑙同旁有两个定点𝐴、𝐵，在直线𝑙上存在点𝑃，使得𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的值最小．解法：作点𝐴关于直线𝑙的对称点𝐴′， 连接𝐴′𝐵，则𝐴′𝐵与直线𝑙的交点即为𝑃，且𝑃𝐴+ 𝑃𝐵的最小值为𝐴′𝐵． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图1，等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶的直角边长为2，𝐸是斜边𝐴𝐵的中点，𝑃是𝐴𝐶边上的一动点， 则𝑃𝐵+ 𝑃𝐸的最小值为 ； （2）几何拓展：如图2，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，∠𝐵𝐴𝐶= 30°，若在𝐴𝐶、𝐴𝐵上各取一点𝑀、𝑁使𝐵𝑀+ 𝑀𝑁的值 最小，求这个最小值 ； （3）代数应用：求代数式√𝑥2 + 1 + √(4 −𝑥)2 + 4(0 ≤𝑥≤4)的最小值 ． ▌题型04 几何体中的空间距离问题 问题背景：在几何体中，除了求表面的最短距离，有时还会涉及到两点之间的直线距离，这个问题也可以通 过构造直角三角形，借助勾股定理进行解决。 如下图，要求A、B 两点的直线距离，都可以构造Rt△ABC，通过求出AC、BC 的长度，进而利用勾股定理 进行求解。 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例4】将一根长为24cm 的筷子，置于底面直径为5cm,高为12cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外 边的长度为h cm,则h 的取值范围为_______cm. 【变式4-1】如图，将一根15cm 长的细木棒放入长宽高分别为4cm,3cm 和12cm 的长方体无盖盒子中，则 细木棒露在外面的最短长度是______cm. 【变式4-2】如图将一根长15cm 的筷子置于地面直径为3cm,高为4cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外 面的长为hcm,则h 的取值范围是________________ 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式4-3】如图所示这是某种牛奶的长方体包装盒，长、宽、高分别为5cm、4cm、12cm,插吸管处的出口 到相邻两边的距离都是1cm,为了设计配套的直吸管，要求插入碰到底面后，外露的吸管长度要在3cm 至5cm 间(包括3cm 与5cm,不计吸管粗细及出口的大小),则设计的吸管总长度L 的范围是( ). A.16cm≤L≤18cm B.16cm≤L≤17cm C.15cm≤L≤18cm D.15cm≤L≤17cm 【变式4-4】如果箱子的长、宽、高分别是4 米、3 米、12 米，那么,能放入箱子内的竹竿的最大长度大约是 多少米? 【变式4-5】如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm²,剪去盖子后，插入一根长为5cm 的细木棒，则细木棒 露在外面的最短长度是多少? 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式4-6】（25-26 八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm， 8cm，30cm． (1)在AB 的中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？
