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专题02 勾股定理逆定理
常考题型·精准突破
题型1 勾股树（数）的判定（高频）
题型2 判断三边能否构成直角三角形（高频）
题型3 在网格中判断直角三角形（重）
题型4 利用勾股定理的逆定理求解（重）
题型5 勾股定理逆定理的实际应用（难）
题型6 勾股定理逆定理的拓展问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 勾股树（数）的判定
1．（25-26 八年级上·广东茂名·期中）在下列各组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A．1，1，2
B．3，4 ，5
C．7 ，24，25
D．5，12，13
【答案】A
【分析】验证每组数中较小两数的平方和与最大数的平方是否相等且是否为正整数，即可判断是否为勾股
数．
【详解】解：A．
2
2
2
1
1
2
2
+
=
，不是勾股数；
B、C、D 组分别满足
2
2
2
3
4
5
+
=
，
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
5
12
13
+
=
，均为勾股数．
2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名
的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2 ，3，4
B．4 ，5，6
C．2 ，2 ，4
D．9，12，15
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义，三个正整数中若两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这三个数是勾股
数，据此逐一验证选项即可．
【详解】解： A 选项：
2
2
2
3
4
9
13
+
=
+
=
，
2
4
16
=
，13
16
，不符合勾股数定义，A 错误；
B 选项：
2
2
4
5
16
25
41
+
=
+
=
，
2
6
36
=
，41
36
，不符合勾股数定义，B 错误；
C 选项：2
2
4
+
=
，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不是勾股数，C 错误；
D 选项：
2
2
9
12
81 144
225
+
=
+
=
，
2
15
225
=
，三个数均为正整数，且满足平方和关系，符合勾股数定义．
3．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
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A．
23 ，
2
4 ，
2
5
B．8，24 ，25
C．6 ，8，10
D．0.3，0.4 ，0.5
【答案】C
【分析】勾股数是满足较小两个数的平方和等于最大数的平方的三个正整数，据此逐一判断选项即可．
【详解】解：选项A，三个数为
23
9
=
，2
4
16
=
，25
25
=
，
2
2
9
16
81
256
337
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，337
625
，
不是勾股数，不符合题意；
选项B，
2
2
8
24
64
576
640
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，640
625
，不是勾股数，不符合题意；
选项C，三个数都是正整数，
2
2
6
8
36
64
100
+
=
+
=
，
2
10
100
=
，
2
2
2
6
8
10
+
=
，满足勾股数定义，符合题意；
选项D，0.3，0.4 ，0.5不是正整数，不符合勾股数定义，不符合题意．
◆题型2 判断三边能否构成直角三角形
4．（25-26 八年级下·重庆开州·期末）ABC
三边分别为a 、b 、c ，在下列条件下，ABC
不是直角三角形
的是（ ）
A．
8
a = ，
14
b =
，=17
c
B．
2
2
2
a
b
c
+
=
C．
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
D．
5 12 13
a b c =
∶∶
∶
∶
【答案】A
【分析】若三角形三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形，根据该定理逐
一判断各选项即可．
【详解】解：选项A：
8
a =
，
14
b =
，
17
c =
，
2
2
2
2
8
14
64 196
260
a
b
+
=
+
=
+
=
，
2
2
17
289
c =
=
，
260
289
，即
2
2
2
a
b
c
+
，
ABC
不是直角三角形，符合题意；
选项B：
2
2
2
a
b
c
+
=
，由勾股定理逆定理可知ABC
是直角三角形，不符合题意；
选项C：
3
a =
，
4
b =
，
5
c =
，
2
2
2
2
9 16
25
5
a
b
c
+
=
+
=
=
=
，
ABC
是直角三角形，不符合题意；
选项D：设
5
a
k
=
，
12
b
k
=
，
13
c
k
=
（
0
k
），
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(5 )
(12 )
25
144
169
(13 )
a
b
k
k
k
k
k
k
c
+
=
+
=
+
=
=
=
，
ABC
是直角三角形，不符合题意．
5．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）数学活动课上，老师让同学们用五根长度分别为7，15，20，24，25
的小木棒摆成两个直角三角形，下列摆法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，得出两三角形为斜边相等的直角三角形，
即可解答．
【详解】解：∵
2
2
2
7
24
25
+
=
，
2
2
2
15
20
25
+
=
，
∴长度为7，24，25 的三根小棒构成一个直角三角形，其中长度为25 的小棒是斜边；
长度为15，20，25 的三根小棒构成一个直角三角形，长度为25 的小棒是斜边．
符合条件的图形为选项B．
6．（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）已知a ，b ，c 为ABC
的三条边，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若
5
a =
，
12
b =
，
14
c =
，则ABC
为直角三角形
B．若
2
2
2
a
b
c
−
=
，则ABC
为直角三角形
C．若: :
2:3:4
a b c =
，则ABC
为直角三角形
D．若
9
a =
，
12
b =
，
16
c =
，则ABC
为直角三角形
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形
是直角三角形．
【详解】Ａ、因为
2
2
169
a
b
+
=
，
2
196
c =
，169
196
，所以ABC
不是直角三角形，该命题为假命题；
B、移项得
2
2
2
a
b
c
=
+
，符合勾股定理逆定理，所以ABC
是直角三角形，该命题为真命题；
C、设
2
a
k
=
，
3
b
k
=
，
4
c
k
=
，
0
k ，c 是最大边长，因为
2
2
2
2
2
(2 )
(3 )
13
a
b
k
k
k
+
=
+
=
，
2
2
2
(4 )
16
c
k
k
=
=
，
2
2
13
16
k
k
，
所以ABC
不是直角三角形，该命题为假命题；
D、c 是最大边长，因为
2
2
225
a
b
+
=
，
2
256
c =
，225
256
，所以ABC
不是直角三角形，该命题为假命题．
◆题型3 在网格中判断直角三角形
7．（2026·辽宁朝阳·二模）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点A，B ，
C ，D均是格点，则
AOC
的度数为_____．
【答案】45/45 度
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【分析】将线段CD向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度，至BE，可得
AOC
ABE
=
，证明
AEB
△
为等腰直角三角形即可解答．
【详解】解：如图，将线段CD向右平移1 个单位长度，向上平移1 个单位长度，至BE，
则点D的对应点为点B ，点C 的对应点为E ，CD
BE
∥
，
AOC
ABE
=
，
2
2
2
2
4
20
BE =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AE =
+
=
，
2
2
2
2
6
40
AB =
+
=
，
2
2
2
BE
AE
AB
+
=
，BE
AE
=
，
AEB
△
为等腰直角三角形，
45
AOC
ABE
=
=
．
8．（24-25 八年级下·福建三明·期中）如图是由边长都为1 的小正方形组成的网格，四边形ABCD的四个顶
点均在格点(小正方形的顶点)上．
(1)求四边形ABCD的面积；
(2)求证：
90
BCD
=
．
【答案】(1)14.5
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形的面积；
（1）根据正方形的面积减去4 个三角形的面积以及1 个正方形面积即可求解；
（2）根据已知边长得出
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，进而可得出
90
BCD
=
．
【详解】（1）解：四边形ABCD的面积为：5 5 2 1 2
4 2 2 5 1 2
4 1 2 1 14.5
−−−−−=
．
（2）证明：如图，连接BD．
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∵
2
2
2
3
4
25
BD =
+
=
，
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1
20
5
25
BC
CD
+
=
+
+
+
=
+
=
，
∴
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，
BCD
是直角三角形，且
90
BCD
=
．
9．（25-26 八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，ABC
的三个顶点均在格点
上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段
//
AD BC 且使AD
BC
=
，连接CD；
(2) AD的长为____________；
(3) ACD
为______三角形；
(4)根据所画的图形，可以求出四边形ABCD的面积为______（平方单位）．
【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
(2)5
(3)直角
(4)10
【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可；
（2）利用勾股定理求解即可；
（3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可；
（4）利用割补法求解即可．
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【详解】（1）略
（2）解：由勾股定理和网格的特点可得
2
2
3
4
5
AD =
+
=
；
（3）解：由勾股定理和网格的特点可得
2
2
2
3
4
25
AD =
+
=
，
2
2
2
1
2
5
CD =
+
=
，
2
2
2
2
4
20
AC =
+
=
，
∴
2
2
2
20
5
25
AC
CD
AC
+
=
+
=
=
，
∴ACD
是直角三角形；
（4）解：
1
1
1
1
4 6
3 4
1 2
3 4
1 2
10
2
2
2
2
ABCD
S
= −
−
−
−
=
．
◆题型4 利用勾股定理的逆定理求解
10．
（25-26 八年级下·甘肃庆阳·期末）如图，已知在ABD
中，
8,
17,
90 ,
9,
12
AB
AD
ABD
BC
CD
=
=
=
=
=
，
求BCD
的面积．
【答案】54
【分析】先求解
15
BD =
，再利用勾股定理的逆定理证明
90
C
=
，再进一步求解即可.
【详解】解：
8,
17,
90
AB
AD
ABD
=
=
=
，
在Rt ABD
中，由勾股定理得
2
2
2
2
17
8
15
BD
AD
AB
=
−
=
−
=
，
9,
12
BC
CD
=
=
，
在BCD
中，
2
2
2
2
2
2
9
12
225,
15
225
BC
CD
BD
+
=
+
=
=
=
，
2
2
2
BC
CD
BD
+
=
，
BCD
是直角三角形，
90
C
=
，
BCD
的面积
1
1 12 9
54.
2
2
CD BC
=
=
=
11．（25-26 八年级下·云南·期中）如图，在ABC
中，
5,
12,
13
BC
AC
AB
=
=
=
(1)求证：
90
ACB
=
(2)作CD
AB
⊥
，D 为垂足，求CD的长．
【答案】(1)证明：∵
5,
12,
13
BC
AC
AB
=
=
=
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∴
2
2
2
2
5
12
169
BC
AC
+
=
+
=
，
2
2
13
169
AB =
=
∴
2
2
2
BC
AC
AB
+
=
∴
90
ACB
=
；
(2)
60
13
CD =
【分析】（1）根据勾股定理逆定理证明即可；
（2）根据等面积法得到1
1
2
2
AB CD
AC
BC
=
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
90
ACB
=
，CD
AB
⊥
∴1
1
2
2
AB CD
AC
BC
=
∵
5,
12,
13
BC
AC
AB
=
=
=
∴
60
13
CD =
．
12．（25-26 八年级上·重庆·阶段检测）如图，在ABC
中，
9
AB = ，
12
AC =
，
15
BC =
，
(1)求
A
的度数；
(2)若点P 为线段AC 上一点，连接BP，且BP
CP
=
，求ABP
的面积．
【答案】(1)
90
A
=
(2)189
16
【分析】此题重点考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得到ABC
的形状．
（1）由勾股定理的逆定理得ABC
是直角三角形，即可求解；
（2）由勾股定理得
2
2
2
AB
AP
BP
+
=
，设AP
x
=
，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：在ABC
中，
9
AB = ，
12
AC =
，
15
BC =
，
2
2
2
9
12
225
15
+
=
=
，
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
ABC
是直角三角形，
90
A
=
；
（2）解：设AP
x
=
，则
12
BP
CP
x
=
=
−．
在Rt ABP
中，
2
2
2
AB
AP
BP
+
=
，
2
2
2
9
(12
)
x
x
+
=
−
，
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解得
21
8
x =
．
21
9
189
8
2
2
16
ABP
AP AB
S
=
=
=
．
◆题型5 勾股定理逆定理的实际应用
13．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图是某公园的局部平面图，四边形ABCD为草坪，已知
16
AB =
米，
15
AD =
米，
25
CD =
米，
12
BC =
米，
90
B
=
．
(1)为了让市民去点C 看桃花更方便，公园管理处决定从正门点A处修一条笔直小路通往点C 处，求小路AC
的长度；
(2)求四边形草坪ABCD的面积．
【答案】(1)20 米；
(2)246 平方米．
【分析】（1）利用勾股定理求出AC 的长即可；
（2）先判断出ACD
是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，即可得出结论．
【详解】（1）解：
16,
12,
90
AB
BC
B
=
=
=
，
根据勾股定理可得
2
2
2
2
16
12
20
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
（米），
答：小路AC 的长度为20 米；
（2）解：由（1）知，
20
AC =
，
25,
15
CD
AD
=
=
，
2
2
2
AD
AC
DC
+
=
，
ACD
是直角三角形，且
90
CAD
=
，
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
1
1
2
2
AB BC
AC AD
=
+
1
1
16 12
15 20
2
2
=
+
96 150
=
+
246
=
（平方米）．
答：四边形草坪ABCD的面积是246 平方米．
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14．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）某校为了规范停车，在操场边新建了一个简易自行车棚，其侧面示意
图如图所示，经测量得
0.6m
AB =
，
0.8m
BC =
，
2.6m
CD =
，
2.4m
AD =
，
90
CAD
=
．
(1)求AC 的长度；
(2)施工图纸上标明安装时
ABC
要为90，请你验证该车棚是否符合图纸上的安装要求．
【答案】(1)1m
(2)符合图纸上的安装要求
【分析】（1）由勾股定理直接求解即可；
（2）由勾股定理逆定理求解即可．
【详解】（1）解：在Rt ACD
中，根据勾股定理可得
2
2
2
2
2
2.6
2.4
1
AC
CD
AD
=
−
=
−
= ，
因此
1m
AC =
，即AC 的长度为1m；
（2）解：在ABC
中，
2
2
2
0.36
0.64
1
AB
BC
AC
=
=
=
，
，
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，
∴ABC
是直角三角形，
90
ABC
=
，即该车棚符合图纸上的安装要求．
15．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期中） 如图1， 在三角形ABC 中，AD为BC 边上的高．
(1)若
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
， 求证： AB
AC
⊥
；
(2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足
2
AD
BD CD
=
时，ABC
一定为直角三角形．小明的判断正确
吗？为什么？
(3)如图2 是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3 所示的图形，已
知斜梁BD
AC
⊥
于点 D．经测量，斜梁
5m
AC =
，
2.4m
BD =
，横梁
4m
BC =
．若横梁BC 与竖梁AB 垂直
则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)正确，理由见解析
(3)这个房梁安全，理由见解析
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可；
（2）根据勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
=
−
①，
2
2
2
AD
AB
BD
=
−
②，
+
①
②得：
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2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
=
−
+
−
=
+
−
−
，结合
2
AD
BD CD
=
，化简得
(
)
2
2
2
BD
CD
AC
AB
+
=
+
，即
2
2
2
BC
AC
AB
=
+
，即可得出结论；
（3）根据勾股定理得
(
)
3.2 m
CD =
，再得到
(
)
3 m
AC =
，再进一步即可得出结论．
【详解】（1）解：∵在ABC
中，AD为BC 边上的高，
∴
90
ADB
ADC
=
=
，
∵
2
CD =
，
4
AD =
，
8
BD =
，
∴
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
20,
4
8
80
AC
AD
CD
AB
AD
BD
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
，
10
BC
CD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
100
10
AC
AB
BC
+
=
=
=
，
∴
90
BAC
=
，
∴AB
AC
⊥
；
（2）解：正确，理由如下：
AD
BC
⊥
，
∴在Rt ACD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AC
CD
=
−
①，
在Rt ABD
中，由勾股定理得
2
2
2
AD
AB
BD
=
−
②，
+
①
②得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2AD
AC
CD
AB
BD
AC
AB
CD
BD
=
−
+
−
=
+
−
−
，
2
AD
BD CD
=
，
2
2
2
2
2BD CD
AC
AB
CD
BD
=
+
−
−
，
∴
2
2
2
2
2
BD
BD CD
CD
AC
AB
+
+
=
+
，
∴(
)
2
2
2
BD
CD
AC
AB
+
=
+
，即
2
2
2
BC
AC
AB
=
+
，
ABC
为直角三角形；
（3）解：安全，理由如下：
4m
BC =
，
2.4m
BD =
，BD
AC
⊥
，
在Rt BCD
中，根据勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
4
2.4
3.2 m
CD
BC
BD
=
−
=
−
=
，
∴
5 3.2
1.8
AD = −
=
，
∴
2
2
3
AB
AD
BD
=
+
=
，
∴
2
2
2
2
2
3
4
25
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
ABC
是直角三角形，
∴这个房梁安全．
◆题型6 勾股定理逆定理的拓展问题
16．（25-26 八年级上·江苏泰州·期中）已知：
2
1
a
n
=
+ ，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−．
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(1)当
299
n =
时，a
b
+
的值等于______．（结果用科学记数法表示）
(2)当
4
n =
时，以a，b，c 的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案）
(3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n 取大于1 的
整数时，a，b，c 为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
4
9 10
(2)60
(3)正确，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理
是解题的关键．
（1）根据题意可得
2
2
(
1
2 )
(
1)
a
b
n
n
n
+
=
+ +
=
+
，把
299
n =
代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可；
（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且a 是斜边，再利用三角形的面积公式计算即
可；
（3）先计算
2
2
2
2
2
(2 )
(
1)
b
c
n
n
+
=
+
−
，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
1 2
1
a
b
n
n
n
+
=
+ +
=
+
，
当
299
n =
时，
2
2
4
(299 1)
300
90000
9 10
a
b
+
=
+
=
=
=
；
故答案为：
4
9 10
；
（2）解：
2
1
a
n
=
+
，
2
b
n
=
，
2
1
c
n
=
−，
当
4
n =
时，
2
4
1
17
a =
+ =
，
2 4
8
b = = ，
2
4
1
15
c =
−=
，
2
2
2
289
b
c
a
+
=
=
，
这个三角形是直角三角形，且a 是斜边，
这个三角形的面积是1 8 15
60
2
=
，
故答案为：60 ；
（3）解：小明的发现正确，理由如下：
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
(2 )
(
1)
4
(
)
2
1
(
1)
b
c
n
n
n
n
n
n
a
+
=
+
−
=
+
−
+ =
+
=
，
2
2
2
b
c
a
+
=
，
当n 取大于1 的整数时，a 、b 、c 为一组勾股数．
17．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M 在N 的左侧）把线段AB 分割成AM，
MN，NB．若以AM，MN，NB 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N 是线段AB 的购股分割．
(1)已知M、N 把线段AB 分割成AM，MN，BN，若
1.5
AM =
，
2.5
MN =
，
2.0
BN =
，则点M、N 是线段AB
的勾股分割点吗？请说明理由；
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(2)已知点M、N 是线段AB 的勾股分割点，且AM 为直角边，若
30
AB =
，
5
AM = ，求BN 的长．
【答案】(1)
是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB 为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
(2)BN＝12 或13
【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N 是线段AB 的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM 为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，
②当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分
别列出方程即可解决问题．
【详解】（1）略
（2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，
①当MN 为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25−x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN 为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25−x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12 或13．
18．（25-26 八年级上·江苏徐州·期中）在ABC
中，
,
,
BC
a AC
b AB
c
=
=
=
，设c 为最长边，当
2
2
2
a
b
c
+
=
时，
ABC
是直角三角形；当
2
2
2
a
b
c
+
时，利用代数式
2
2
a
b
+
和
2
c 的大小关系，探究ABC
的形状（按角分类）．
(1)当ABC
三边分别为6、8、9 时，ABC
为________三角形；当ABC
三边分别为6、8、11 时，ABC
为
________三角形；
(2)猜想：当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，ABC
为锐角三角形；当
2
2
a
b
+
________
2
c 时，ABC
为钝角三角形；（填
“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当
5,
12
a
b
=
=
时，
当ABC
为直角三角形时，则c 的取值为________；
当ABC
为锐角三角形时，则c 的取值范围________；
当ABC
为钝角三角形时，则c 的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
；
(3)①
13
c =
；②12
13
c
；③13
17
c
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【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8 时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，
反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出
2
2
13
c
a
b
=
+
=
，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8 时，斜边
2
2
6
8
10
=
+
=
当ABC
三边分别为6、8、9 时，ABC
为锐角三角形
当ABC
三边分别为6、8、11 时，ABC
为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当
2
2
2
a
b
c
+
时，ABC
为锐角三角形；
当
2
2
2
a
b
c
+
时，ABC
为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，
2
2
13
c
a
b
=
+
=
；
当ABC
为锐角三角形时，
2
2
2
a
b
c
+
，
12
13
c
；
当ABC
为钝角三角形时，
2
2
2
a
b
c
+
，
则c 的取值范围为
13
c
，
两边之和大于第三边，
13
17
c
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）下列属于勾股数的是（ ）
A．2 ，4 ，5
B．2 ，5，8
C．5，12，19
D．6 ，8，10
【答案】D
【分析】勾股数是指满足两个较小正整数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一验证即可
得到结果．
【详解】解：选项A，
2
2
2
4
20
+
=
，
25
25
=
，20
25
，
A 不是勾股数；
对选项B，
2
2
2
5
29
+
=
，
2
8
64
=
，29
64
，
B 不是勾股数；
对选项C，
2
2
5
12
169
+
=
，
2
19
361
=
，169
361
，
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C 不是勾股数；
对选项D，
2
2
6
8
36
64
100
+
=
+
=
，
2
10
100
=
，
2
2
2
6
8
10
+
=
，且三个数均为正整数，
D 是勾股数．
2．（25-26 八年级下·吉林·期末）若, ,
a b c 是ABC
的三边长，且满足
2
2
2
a
b
c
+
=
，则下列结论正确的是（ ）
A．
A
是直角
B．
B
是直角
C．
C
是直角
D．无法判断
【答案】C
【详解】解：∵
2
2
2
a
b
c
+
=
，由勾股定理逆定理知c 为斜边，
90
C
=
．
3．（25-26 八年级上·陕西西安·期末）如图，在ABC
中，AD为边BC 上的高，
3
4
5
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
则图中的直角三角形共有（ ）
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】D
【分析】根据
3
4
5
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，得到
2
2
2
2
2
25
5 ,
5
AB
AC
BC
+
=
=
=
，继而得到
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，解
答即可．
本题考查了三角形的高，勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理是解题的关键．
【详解】解：根据
3
4
5
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，得到
2
2
2
2
2
25
5 ,
5
AB
AC
BC
+
=
=
=
，继而得到
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
故BAC
是直角三角形；
又AD为边BC 上的高，
故
,
ADC
ADB
都是直角三角形；
故选：D．
4．（25-26 八年级下·云南昭通·阶段检测）下列命题：
①如果直角三角形的两边是5，12，那么斜边必是13；
②如果a、b、c 为一组勾股数，那么3a 、3b 、3c 仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a
b
c
=
），那么
2
2
2
:
:
2:1:1
a
b
c =
．
其中正确的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】D
【分析】根据勾股定理、勾股定理的逆定理和勾股数的定义，逐一判断每个命题即可得到答案．
【详解】解：对四个命题逐一判断：
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①∵题目未说明5 和12 都是直角边，当12 是斜边时，斜边不是13，∴①错误；
②∵a ，b ，c 是一组勾股数，不妨设
2
2
2
a
b
c
+
=
，
∴
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
(3 )
(3 )
9
9
9
9
(3 )
a
b
a
b
a
b
c
c
+
=
+
=
+
=
=
，
∴3a ，3b ，3c 仍是勾股数，故②正确；
③∵
2
2
12
21
144
441
585
+
=
+
=
，
2
25
625
=
，
2
2
2
12
21
25
+
，不满足直角三角形的条件，
∴该三角形不是直角三角形，故③错误；
④∵等腰直角三角形中a
b
c
=
，a 为斜边，
∴由勾股定理得
2
2
2
b
c
a
+
=
，代入b
c
=
得
2
2
2
a
b
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
:
:
2
:
:
2:1:1
a
b
c
b
b
b
=
=
，故④正确；
综上，正确的命题是②④．
5．（25-26 八年级下·北京·期中）如图，在ABC
中，ABC
的平分线交AC 于点D，E 为线段BD上一动点，
F 为边AB 上一动点，若
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD
DC
=
= ，则AE
EF
+
的最小值为（ ）
A．4
B．2 7
C．10
D．24
5
【答案】D
【分析】在BC 边上取点G 使BG
BF
=
，连接EG ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，证明EBF
EBG
≌
，可得
EF
EG
=
，从而得到AE
EF
AE
EG
+
=
+
，当点A，E，G 三点共线时，AE
EF
+
取得最小值，最小值为AH 的
长，再根据勾股定理的逆定理可得ABD
为直角三角形，且BD
AD
⊥
，然后证明ABD
CBD
≌
，
5
AB
BC
=
=
，
再根据
1
1
2
2
ABC
S
BD
AC
AH
BC
=
=
，即可求解．
【详解】解：如图，在BC 边上取点G 使BG
BF
=
，连接EG ，过点A 作AH
BC
⊥
于点H，
∵
ABC
的平分线交AC 于点D，
∴
EBF
EBG
=
，
∵BG
BF
=
，BE
BE
=
，
∴
(
)
EBF
EBG SAS
≌
，
∴EF
EG
=
，
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∴AE
EF
AE
EG
+
=
+
，
当点A，E，G 三点共线时，AE
EF
+
取得最小值，最小值为AH 的长，
在ABD
中，
5
AB =
，
4
BD =
，
3
AD = ，
∴
2
2
2
BD
AD
AB
+
=
，
∴ABD
为直角三角形，且BD
AD
⊥
，
∴
90
ADB
CDB
=
=
，
∵
,
AD
CD BD
BD
=
=
，
∴
(
)
ABD
CBD SAS
≌
，
∴
5
AB
BC
=
=
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
BD
AC
AH
BC
=
=
，
∴
(
)
1
1
4
3 3
5
2
2 AH
+
=
，
∴
24
5
AH =
．
则AE
EF
+
的最小值为24
5
二、填空题
6．（25-26 七年级下·山东济南·期末）若6 ，a ，10是勾股数，则a 的值是________．
【答案】
8
【分析】勾股数是满足勾股定理的正整数.需分两种情况讨论，分别为a 是最长边，10是最长边，利用勾股
定理计算后，根据勾股数的定义筛选结果即可．
【详解】解：分两种情况讨论：
当a 为最长边时，由勾股定理得，
2
2
2
6
10
36 100
136
a =
+
=
+
=
136
不是完全平方数，a 不是正整数，不符合勾股数定义，舍去；
当10为最长边时，由勾股定理得 ，
2
2
2
10
6
100
36
64
a =
−
=
−
=
0
a
64
8
a
=
=
，8是正整数，符合勾股数定义．
7．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，则ABC
的面积为______．
【答案】24
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【详解】已知在ABC
中，
6
AC =
，
8
BC = ，
10
AB =
，
2
2
2
2
6
8
100
AC
BC
+
=
+
=
，
2
2
10
100
AB =
=
，
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
ABC
是直角三角形，且
90
C
=
，
ABC
的面积为1
1
6 8
24
2
2
AC
BC
=
=
．
8．（25-26 八年级下·四川南充·期末）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮
船从港口O沿北偏东30的方向行30 海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距40 海里的点B
处，若A、B 两地相距50 海里，则渔船从港口O出发的方向为______．
【答案】南偏东60
【分析】先根据OA
OB
AB
、
、
的长度，利用勾股定理的逆定理判断AOB
的形状，确定
AOB
的度数．结
合轮船航行方向是北偏东30，确定正北方向与OA的夹角，再根据
AOB
的度数计算OB 与正南、正东或
正北方向的夹角．根据方向角的定义，确定渔船的航行方向．
【详解】 ∵
30
OA =
海里，
40
OB =
海里，
50
AB =
海里，
∴
2
2
2
2
2
2
30
40
2500
50
OA
OB
AB
+
=
+
=
=
=
，
∴AOB
是直角三角形，
90
AOB
=
．
∵ 轮船OA方向为北偏东30，
90
AOB
=
，
∴OB 与正南方向的夹角为90
30
60
−
=
，
因此渔船从港口O出发的方向为南偏东60．
9．（25-26 八年级下·重庆九龙坡·阶段检测）如图，正方形ABCD的边AB ，CD向外作Rt
ABE
△
，Rt CDF
，
90
AEB
DCF
=
=
，以AE ，EB，CF ，DF 为边向外作正方形，面积分别为6，2，S，11，则S的值为
_______．
【答案】3
【详解】解：在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
AE
BE
AB
+
=
，
∴
2
6
2
8
AB =
+
=
同理可得：
2
2
2
DC
CF
DF
+
=
，
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∴8
11
S
+
=
，
∴
3
S = ．
10．（25-26 八年级下·广东湛江·期末）如果把
2
2
2
a
b
c
+
=
看作a，b，c 的方程，那么满足该方程的正整数解
a，b，c 通常叫做勾股数组，毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式构造出如下勾股
数组：(
)
3,4,5 ，(
)
5,12,13 ，(
)
7,24,25 ，…．分析上面勾股数组可以发现，
(
)
4
1
3 1
=
+
，
(
)
12
2
5 1
=
+
，
(
)
24
3
7
1
=
+
，…，分析其中规律，第10 个勾股数组为________．
【答案】(
)
21,220,221
【分析】由勾股数组：(
)
3,4,5 ，(
)
5,12,13 ，(
)
7,24,25 ，…可知，
(
)
4
1
3 1
=
+
，
(
)
12
2
5 1
=
+
，
(
)
24
3
7
1
=
+
，…
可得第n 个勾股数中间的数为(
)
(
)
2
1 1
2
2
n
n
n
n
+ +
=
+
，据此计算即可得出结论．
【详解】解：由
(
)
4
1
3 1
=
+
，
(
)
12
2
5 1
=
+
，
(
)
24
3
7
1
=
+
，
…
第n 个勾股数组中间的数为(
)
(
)
2
1 1
2
2
n
n
n
n
+ +
=
+
，
第10 组勾股数组中间的数为
(
)
10
2 10
2
220
+
=
，即勾股数组为(
)
21,220,221 ．
三、解答题
11．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，在四边形ABCD中，
6
AB =
，
10
BC =
，
15
CD =
，
17
AD =
，
90
CAB
=
．
(1)求AC 的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)
8
AC =
(2)84
【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求出
90
ACD
=
．再根据
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
=
+
四边形
即可求出答案．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
=
，
6
AB =
，
10
BC =
．
2
2
2
2
10
6
8
AC
CB
AB
=
−
=
−
=
．
（2）解：在ACD
中，
8
AC = ，
15
CD =
，
17
AD =
，
2
2
2
2
8
15
289
AC
CD
+
=
+
=
，
2
2
17
289
AD =
=
．
2
2
2
AC
CD
AD
+
=
．
90
ACD
=
．
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1
1
2
2
ABC
ACD
ABCD
S
S
S
AB AC
CD AC
=
+
=
+
△
△
四边形
1
1
6 8
8 15
84
2
2
=
+
=
．
12．（25-26 八年级下·山西朔州·期末）学习了勾股数后，我们知道(
)
4,3,5 ，(
)
6,8,10 ，(
)
8,15,17 ，…都是勾
股数组．某学习小组分析这些勾股数组发现：4
2 2
= ，
2
3
2
1
=
−；6
2 3
= ，
2
8
3
1
=
−；8
2 4
= ，
2
15
4
1
=
−；…
分析其中的规律，解答下列问题．
(1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数：__________．
(2)根据以上规律猜想：三个正整数中，若一个数为2n（
2
n
，且n 为整数），另外两个数分别为__________，
__________时，则这三个数为勾股数．
请你补充完整猜想并验证猜想．
【答案】(1)（10，24，26）
(2)
2
1
n −，
2
1
n + ，
证明：∵
2
2
2
4
2
2
4
2
(
1)
(2 )
2
1 4
2
1
n
n
n
n
n
n
n
−
+
=
−
+ +
=
+
+ ，(
)
2
2
4
2
1
2
1
n
n
n
+
=
+
+ ，
∴
2
2
2
2
2
(
1)
(2 )
(
1)
n
n
n
−
+
=
+
，
∴
2
2
2 ,
1,
1
n n
n
−
+ 是勾股数．
【分析】（1）通过观察得到下一组勾股数组的前两个数为5 2
10
=
，52 1
24
−=
，利用勾股定理计算或者通
过规律得到第三个数是26；
（2）由观察归纳得到两个数与n 之间的关系，结合代数运算验证猜想的正确性．
【详解】（1）略
（2）略
13．（25-26 八年级下·广西崇左·期末）如图，在ABC
中，E 为AB 边上的一点，连接CE 并延长，过点A 作
AD
CE
⊥
，垂足为D，若
7
AD = ，
20
AB =
，
15
BC =
，
24
DC =
．
(1)判断ABC
的形状，并证明；
(2)记ADE
的面积为
1S ，BCE
的面积为
2
S ，求
2
1
S
S
−
的值．
【答案】(1) ABC
是直角三角形．
证明：∵AD
CE
⊥
，
∴
90
ADC
=
，
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在Rt
ADC
△
中，
7
AD = ，
24
DC =
，
根据勾股定理得，
2
2
25
AC
AD
CD
=
+
=
在ABC
中，
20
15
25
AB
BC
AC
=
=
=
，
，
，
∵
2
2
2
2
2
20
15
625
AB
BC
AC
+
=
+
=
=
，
根据勾股定理的逆定理得，
90
ABC
=
，
∴ABC
是直角三角形；
(2)66
【分析】（1）根据勾股定理可知AC ，进而根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）根据面积公式即可求解
ADC
S
，
ABC
S
，进而表示出
2
1
S
S
−
即可求解．
【详解】（1）略
（2）在Rt
ADC
△
中，
7
24
AD
DC
=
=
，
，
1
84
2
ADC
S
CD AD
=
=
在Rt
ABC
△
中，
20
15
AB
BC
=
=
，
，
1
150
2
ABC
S
BC AB
=
=
(
) (
)
2
1
66
ABC
ACE
ACD
ACE
ABC
ACD
S
S
S
S
S
S
S
S
−
=
−
−
−
=
−
=
．
14．（25-26 七年级下·广东深圳·期末）图1是远光超市的购物车，图2 为其侧面简化示意图，测得支架
8 dm
AC =
，
6 dm
AB =
，两轮中心的距离
10 dm
BC =
．
(1)判断ABC
的形状，并说明理由．
(2)若购物车上篮子的左边缘D 与点A的距离
13 dm
AD =
，
5 dm
AE =
，且AE
DE
⊥
，AE 和BC 都与地面平
行，求购物车上篮子的左边缘D 到BC 的距离．
【答案】(1) ABC
是直角三角形；理由如下：
购物车侧面简化示意图中，支架
8 dm
AC =
，
6 dm
AB =
，两轮中心的距离
10 dm
BC =
，
2
2
2
8
6
10
+
=
，即
2
2
2
AC
AB
BC
+
=
，
ABC
是直角三角形．
(2)16.8dm
【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
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（2）运用勾股定理可得
12 dm
DE =
，运用等面积法可得
4.8 dm
AG =
，由此即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点A作AG
BC
⊥
于点G ，
13dm
AD =
，
5 dm
AE =
，AE
DE
⊥
，
2
2
2
2
13
5
12
DE
AD
AE
dm
=
−
=
−
=
，
由（1）得，ABC
是直角三角形，
1
1
2
2
ABC
S
AB AC
BC AG
=
=
△
，
6 8
4.8
10
AB AC
AG
dm
BC
=
=
=
，
购物车上篮子的左边缘D 到BC 的距离为
12
4.8 16.8
DE
AG
dm
+
=
+
=
．
15．（25-26 七年级上·山东济南·期末）在综合实践课上，甲、乙两组同学分别设计方案，检测背景墙面（如
图所示）边AD和边BC 是否分别垂直于底边AB ．
(1)甲组：
工具：卷尺，测量得边AD长为1m，边AB 长为2.4m，点B 和点D 之间的距离是2.6m．请你依据测量数据
判断：边AD垂直于边AB 吗？说明理由．
(2)乙组：
工具：20 厘米的刻度尺，你能帮他设计一个方案检验边BC 是否垂直于边AB ．
【答案】(1)边AD垂直于边AB ，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断ABD
是直角三角形即可；
（2）在BC 上量取
12cm
BE =
，在AB 上量取
16cm
BF =
，如果
20cm
EF =
，则边BC 垂直于边AB ，否则就
不垂直．
【详解】（1）解：边AD垂直于边AB ，理由如下：
∵
2
2
2
21
2.4
6.76
AD
AB =
=
+
+
，
2
2
2.6
6.76
BD =
=
，
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∴
2
2
2
AD
AB
BD
+
=
，
即ADB
为直角三角形，
90
DAB
=
，
∴AD
AB
⊥
．
（2）解：设计方案如下∶
在BC 上量取
12cm
BE =
，在AB 上量取
16cm
BF =
，
如果
20cm
EF =
，则边BC 垂直于边AB ，否则就不垂直．
16．（25-26 八年级下·广东惠州·期中）如图，在ABC
中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，
10cm
AC =
，动点P 从
点B 出发，沿着ABC
的三条边逆时针走一圈，回到点B 后停止，速度为2cm/s，设运动时间为t 秒．
(1)证明：ABC
是直角三角形；
(2)若ABP
是以AB 为腰的等腰三角形，求t 的值；
(3)另有一动点Q ，从点B 开始，按顺时针方向走一圈回到点B ，且速度为1cm/s ．若P 、Q 两点同时出发，
当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出
．．．．当t 为何值时，直线PQ 把ABC
的周长分成
相等的两部分．
【答案】(1)
解：∵在ABC
中，
2
2
2
2
6
8
36
64
100
AB
BC
+
=
+
=
+
=
，
2
2
10
100
AC
，
∴
2
2
2
AB
BC
AC
+
=
，ABC
是直角三角形；
(2)
3
t =
或
27
5
t =
或
6
t =
(3)
4
t =
或
12
t =
【分析】（1）利用勾股定理逆定理求证即可；
（2）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可；
（3）结合运动轨迹画出图形，分情况讨论即可；
【详解】（1）略
（2）解：①若点P 在BC 上，则
2
BP
t
=
，AB
BP
=
，
∴6
2 ,
3
t t
=
=
；
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②若点P 在AC 上，则
2
8
CP
t
=
−，
18 2
AP
AC
CP
t
=
−
=
−
，
（i）当AB
AP
=
时，6
18
2 ,
6
t t
=
−
=
；
（ii）当AB
BP
=
时，作BD
AC
⊥
于D ，
则
1
1
24
,
2
2
5
ABC
AB BC
S
AB BC
AC BD BD
AC
=
=
=
=
，
∴
2
2
18
5
AD
AB
BD
−
=
=
，
36
2
5
AP
AD
=
=
，
∴36
18
2
5
t
=
−
，解得
27
5
t =
．
综上所述，当
3
t =
或
27
5
t =
或
6
t =
时，ABP
是以AB 为腰的等腰三角形．
（3）解：∵ABC
的周长为
24
AB
BC
AC
+
+
=
cm，24 2 12
=
．
①当0
4
t
时，点P 在BC 上，点Q 在AB 上，
则
2
BP
t
=
，BQ
t
= ，
3
BP
BQ
t
+
=
，
∴3
12
t =
，
解得
4
t =
，
如图所示，此时点P 刚好运动到点C ；
②当4
6
t
时，点P 在AC 上，点Q 在AB 上，
由①得，此时
12
BQ
BC
CP
+
+
，不符合题意；
③当6
12
t
时，点P 、Q 都在AC 上，
10
PQ
AC
=
，10 12
，不符合题意；
④当9
12
t
时，点P 在AB 上，点Q 在AC 上，
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则
2
18
AP
t
=
−
，
6
AQ
t
= −
，
3
24
AP
AQ
t
+
=
−
，
∴3
24
12
t−
=
，
解得
12
t =
，
如图所示，此时点P 刚好回到点B ．
综上所述，当t 为4 或12 时，直线PQ 把ABC
的周长分成相等的两部分．
