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跟踪训练 06 抛物线
一．选择题（共15小题）
1．已知圆 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线的准线交于 ，
两点，若四边形 是矩形，则 等于
A． B． C． D．
2．已知抛物线 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．
若 ， ，则
A．5 B．4 C．3 D．2
3．设抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点．
设线段 的中点为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ．已知 的面积为
2，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
4．已知圆 与 轴相交于 ， 两点，与抛物线 相交于 ，
两点，若抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 的另一个交点为 ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
5．抛物线 的顶点为坐标原点，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点， 的准线交 轴于点 ，若 ，则 的方程为
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，延长 交准
线于点 ，分别过点 ， 作准线的垂线，垂足分别记为 ， ，若 ，则
的面积为
A． B．4 C． D．2
7．已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点，点 为双曲线的
渐近线和抛物线的一个公共点，若 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
8．已知点 ， 在抛物线 上， 为坐标原点， 为等边三角形，则
的面积为
A． B． C． D．
9．焦点为 的抛物线 的对称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且
在第一象限，在 中， ，则直线 的斜率为
A． B． C．1 D．
10．抛物线 上一点 的纵坐标为2，则点 与抛物线焦点 的距离为A．2 B． C．3 D．4
11．已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 ， 两点，以 为直
径的圆与 轴交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
12．设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，点 为圆 任一点，
则 的最小值为
A． B．2 C．3 D．4
13．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光
线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它
的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系
中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线 的方程为 ，平行于
轴的光线从点 射出，经过 上的点 反射后，再从 上的另一点 射出，则
A．6 B．8 C． D．29
14．点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是
A．0 B． C．1 D．
15．已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线 在第一象限的一点，过 作 的准
线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ，若直线 经过点 ，则直线 的斜率为
A．1 B．2 C． D．3
二．多选题（共5小题）
16．设 为抛物线 的焦点，点 在 上且在 轴上方，点 ，
，若 ，则
A．抛物线 的方程为 B．点 到 轴的距离为8
C．直线 与抛物线 相切 D． ， ， 三点在同一条直线上
17．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为 上位于直线 右侧的
一个动点， 为坐标原点，则下列说法正确的是 表示斜率， 表示面积）
A．若 ， ， ，则
B．若 满足 ，则
C．若直线 交 于另一点 ，则 ，
D．若直线 交 于 ， 两点，且 ，则
18．已知抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过 的直线与 在第一象限内自下而上依次交于 ， 两点，过 作 于 ，则
A． 的方程为 B．当 ， ， 三点共线时，
C． D．当 时，
19．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 交于 ， ，
， 两点，则下列说法正确的是
A．对任意实数 ，均有
B．存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则 ， 中点 到 轴的距离是3
20．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
三．填空题（共5小题）
21．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，
与准线交于 点， 为 的中点，且 ，则 ．
22．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 的直线与抛物
线 相交于 ， 两点，若 ，则 ．
23．已知 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，点 是抛物线 上的点，且，则 的面积为 ．
24．抛物线 的焦点到准线的距离是 ．
25．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交
于 ， 两点，若 ，则 ．
四．解答题（共3小题）
26．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，
当 平行于 轴时， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线
与抛物线 的另一交点为 ， 的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
27．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，直线 经过
抛物线 的焦点．
（1）求抛物线 的方程；（2）若直线 与抛物线 相交于 、 两点，过 、 两点分别作抛物线 的切线，两
条切线相交于点 ，求 面积的最小值．
28．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线相交于 ， 两点，
（1）当 时，求直线 的方程；
（2）求证：以 为直径的圆与抛物线 的准线相切．
