文档内容
重难点突破14 阿基米德三角形
目录
如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的切线交
于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．y
B
F
A
O x
P
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为
．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图 1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点 C，D，则
.
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分
别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．图1
题型一：定点问题
例1．（2023·山西太原·高二山西大附中校考期末）已知点 ， ，动点 满足
．记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求 的方程；
（2）设 为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点分别是 ， ．证明：直线 过定点．
【解析】（1）设 ，则 ， ，
， ，
所以， 可以化为 ，
化简得 ．
所以， 的方程为 ．
（2）由题设可设 ， ， ，
由题意知切线 ， 的斜率都存在，
由 ，得 ，则 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，即 ，①
因为 在 上，所以 ，即 ，②
将②代入①得 ，
所以直线 的方程为
同理可得直线 的方程为 ．
因为 在直线 上，所以 ，
又 在直线 上，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
故直线 过定点 ．
例2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆 恒过定点 ，圆心 到直线的距离为 ．
(1)求 点的轨迹 的方程；
(2)过直线 上的动点 作 的两条切线 ，切点分别为 ，证明：直线 恒过定点．
【解析】（1）设 ，则 ，
因为 ，即 ，
当 ，即 时，则 ，整理得 ；
当 ，即 时，则 ，
整理得 ，不成立；
综上所述： 点的轨迹 的方程 .
（2）由（1）可知：曲线 ： ，即 ，则 ，
设 ，
可知切线 的斜率为 ，所以切线 ： ，
则 ，整理得 ，
同理由切线 可得： ，
可知： 为方程 的两根，则 ，
可得直线 的斜率 ，
设 的中点为 ，则 ，
即 ，
所以直线 ： ，整理得 ，
所以直线 恒过定点 .例3．（2023·全国·高二专题练习）已知平面曲线 满足：它上面任意一定到 的距离比到直线
的距离小1.
(1)求曲线 的方程；
(2) 为直线 上的动点，过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ，证明：直线 过定点；
(3)在（2）的条件下，以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求四边形
的面积.
【解析】（1）思路一：由题意知，曲线 是一个以 为焦点，以 的抛物线，
故 的方程为： .
思路二：设曲线 上的点为 ，则 ，
由题意易知， ，整理得， .
（2）设 ，则 .
又因为 ，所以 .则切线 的斜率为 ，
故 ，整理得 .
设 ，同理得 .
都满足直线方程 .
于是直线 过点 ，而两个不同的点确定一条直线，
所以直线 方程为 ，即 ，
当 时等式恒成立.所以直线 恒过定点 .
（3）思路一：利用公共边结合韦达定理求面积
设 的中点为 ，则 ，
.
由 ，得 ，
将 代入上式并整理得 ，
因为 ，所以 或 .
由（1）知 ，所以 轴，
则
（设 ）.
当 时， ，即 ；
当 时， ，
即 .
综上，四边形 的面积为3或 .
思路二：利用弦长公式结合面积公式求面积
设 ，由（1）知抛物线的焦点 的坐标为 ，准线方程为 .
由抛物线的定义，得 .
线段 的中点为 .
当 时， 轴， ，
；
当 时， ，由 ，得 ，即 .所以 ，直线 的方程为 .
根据对称性考虑点 和直线 的方程 即可.
到直线 的距离为 ，
到直线 的距离为 .
所以 .
综上，四边形 的面积为3或 .
思路三：结合抛物线的光学性质求面积
图5中，由抛物线的光学性质易得 ，又 ，所以 .
因为 ，所以 ≌ ，
所以 .
同理 ≌ ，所以 ，即点 为 中点.
图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长 于点 .
因为 ，所以 .
又因为 分别为 的中点，所以 ，
故 为平行四边形，从而 .
因为 且 ，所以 为 的中点，
从而 .
.
当直线 平行于准线时，易得 .
综上，四边形 的面积为3或 .
思路四：结合弦长公式和向量的运算求面积
由（1）得直线 的方程为 .由 ，可得 ，
于是
设 分别为点 到直线 的距离，则 .
因此，四边形 的面积 .
设 为线段 的中点，则 ，
由于 ，而 与向量 平行，所以 ，解得 或 .
当 时， ；当 时
因此，四边形 的面积为3或 .
变式1．（2023·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且 ，
，D为垂足，点D的坐标为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 ， ，其中P，Q为切点，试证明
直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
【解析】（1）设点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，
因为 ，所以 ，则直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去y，整理得 ，
所以有 ， ，又 ，得 ，
整理得 ，解得 ．
所以C的方程为 ．
（2）由 ，得 ，所以 ，
设过点E作抛物线C的切线的切点为 ，
则相应的切线方程为 ，即 ，
设点 ，由切线经过点E，得 ，即 ，
设 ， ，则 ， 是 的两实数根，
可得 ， ．
设M是 的中点，则相应 ，
则 ，即 ，
又 ，
直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 恒过定点 ．
变式2．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三
角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C： 给出如下三个条件：①焦点为 ；②准线
为 ；③与直线 相交所得弦长为2．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；
(2)已知 是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交
点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请
说明理由．
【解析】（1）C： 即C： ，其焦点坐标为 ，准线方程为 ，
若选①，焦点为 ，则 ，得 ，
所以抛物线的方程为 ；
若选②，准线为 ，则 ，得 ，
所以抛物线的方程为 ；
若选③，与直线 相交所得的弦为2，
将 代入方程 中，得 ，
即抛物线与直线 相交所得的弦长为 ，
解得 ，所以抛物线的方程为 ；
（2）设 ， ， ，切线 ： ，
将其与C： 联立得 ，
由 得 ，
故切线 ： ，即 ；
同理 ：
又点 满足切线 ， 的方程，
即有
故弦AB所在直线方程为 ，其过定点 ．
变式3．（2023·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线 （a是常数）过
点 ，动点 ，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(2)当 时，求直线AB的方程；
(3)证明：直线AB过定点．【解析】（1）由点P代入得 ，所以C的焦点为 ，准线方程为 ；
（2）设 ，此时 ，则 ，
因为 ，所以切线DA的斜率 ，即 ，
所以 （1）
同理可得 （2）
所以由（1）、（2）可得直线AB的方程为 ；
法二：设其中一条切线的斜率为k（显然存在），则切线方程为 ，
由 得 ，
所以由 得 ，
不妨设 ，
可解得
所以AB的斜率 ，
得直线AB的方程为 即
（3）由（2）知： ，所以 ，
同理可得 ，
显然直线AB经过定点 ．
变式4．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点 的距离比到x轴的距
离大1.
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）若点Q是直线 上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试
证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.
【解析】（1）设点 ，则 ，即化简得
∵ ∴ .
∴点 的轨迹方程为 .
（2）对函数 求导数 .
设切点 ，则过该切点的切线的斜率为 ，
∴切线方程为 .
即 ，
设点 ，由于切线经过点Q，
∴
设 ，则两切线方程是 ， ，
所以过 两点的直线方程是 ，
即
∴当 ， 时，方程 恒成立.
∴对任意实数t，直线 恒过定点 .
题型二：交点的轨迹问题
例4．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到直线
的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ， 为切点，求直线
的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切线 ， ，求 ，
交点 满足的轨迹方程．
【解析】（1）设抛物线的方程为 ，
∵抛物线 的焦点 到直线 的距离为 ，
∴ ，解得 或 （舍去 ，
∴ ， ，∴抛物线 的方程为 ．
（2）设 ， ，设切点为 ，曲线 ， ，
则切线的斜率为 ，化简得 ，
设 ， ， ，则 ， 是以上方程的两根，
则 ， ，
，
直线 的方程为： ，整理得 ，
∵切线 的方程为 ，整理得 ，且点 ， 在切线 上，
∴ ，即直线 的方程为： ，化简得 ，
又∵ ，∴ ，
故直线 过定点 ．
（3）设 ， ， ，
过 的切线 ，过 的切线 ，
则交点 ，
设过 点的直线为 ，
联立 ，得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∴点 满足的轨迹方程为 ．
例5．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 、
两点；椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)经过 、 两点分别作抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 ．证明：点 定在直线 上；
(3)椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），使得直线
过点 ？若存在，求出切线 、 的方程；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ．由已知有 ，
， ， ，解得 ， ．
∴椭圆 的方程为 ．
（2）显然直线 的斜率存在，否则直线 与抛物线 只有一个交点，不合题意，
故可设直线 的方程为 ， , , ，
与抛物线方程联立，消去 ，并整理得， ，则 ．
抛物线的方程为 ，求导得 ，
过抛物线上 ， 两点的切线方程分别是 ， ，即 ，
解得两条切线的交点 的坐标为 ， ，
点 在直线 上.
（3）假设存在点 满足题意，
由（2）知： 必在直线 上，又直线 与椭圆有唯一交点，故 的坐标为 , ，
设过 且与抛物线 相切的切线方程为 ，其中 , 为切点．
令 ， 得， ，解得 或 ，
故不妨取 , , ，即直线 过 ．
综上，椭圆 上存在 ，经过 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），能使直线
过 ．
此时，两切线的方程分别为 和 ．
例6．（2023·全国·高三专题练习）已知动点 在 轴上方，且到定点 距离比到 轴的距离大 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，点 ， 分别异于原点 ，在曲线 的 ， 两点处
的切线分别为 ， ，且 与 交于点 ，求证： 在定直线上.【解析】（1）设 ，
则有 ，化简得 ，
故轨迹 的方程为 .
（2）由题意可知，直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 的方程为 与
联立得 ，
设 ， ，
则 ， ，
又 ，所以 ，
所以切线 的方程为 ，
即 ，
同理切线 的方程为
联立得 ， .
两式消去 得 ，
当 时， ， ，
所以交点 的轨迹为直线 ，去掉 点.
因而交点 在定直线上.
变式5．（2023·全国·高三专题练习）已知动点P与定点 的距离和它到定直线 的距离之比为
，记P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点 的直线与曲线C交于 两点， 分别为曲线C与x轴的两个交点，直线 交于点
N，求证:点N在定直线上．
【解析】（1）设动点 ，
∵动点P与定点 的距离和它到定直线 的距离之比为 ，
∴ ，整理得 ，
∴曲线C的方程为 ；（2）设 ， ， ，直线方程 ，
与椭圆方程联立 ，整理得： ，
，
由韦达定理得： ，化简得： ，
由已知得 , ,
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立直线 和 ： ，代入 ， 、 可得：
，化简可得： ，
所以N点在一条定直线上．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）已知点 为抛物线 的焦点，点 、 在抛物线上，
且 、 、 三点共线.若圆 的直径为 .
（1）求抛物线 的标准方程；
（2）过点 的直线 与抛物线交于点 ， ，分别过 、 两点作抛物线 的切线 ， ，证明直线 ，
的交点在定直线上，并求出该直线.
【解析】（1）由题可知 中点为 ，设 、 到准线的距离分别为 ， . 到准线的距离为 ，
则 ，由抛物线定义得 ， ，所以 ，
所以 ，即 .
所以抛物线 的标准方程为 .
（2）设 ， ，由 ，得 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立 ， 方程得 ，即 ， 的点坐标为 .
因为 过焦点 ，
由题可知直线 的斜率存在，所以设直线 方程为 ，
与抛物线 联立得 ，
所以 ， ，
所以直线 ， 的交点在定直线 上.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀
请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整．
(1)圆 上点 处的切线方程为 ．理由如下： ．
(2)椭圆 上一点 处的切线方程为 ；
(3) 是椭圆 外一点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线 的
方程是 ．这是因为在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ．
两切线都过 点，所以得到了 和 ，由这两个“同构方程”得到了直线 的方程；
(4)问题（3）中两切线 ， 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 ，由
，得 ，化简得 ，得 ．
若 ，则由这个方程可知 点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ．
（5）抛物线 上一点 处的切线方程为 ；
（6）抛物线 ，过焦点 的直线 与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛物线的两条切
线 和 ，设 ， ，则直线 的方程为 ．直线 的方程为 ，设 和
相交于点 ．则①点 在以线段 为直径的圆上；②点 在抛物线 的准线上．【解析】（1）圆 上点 处的切线方程为 ．
理由如下：
①若切线的斜率存在，设切线的斜率为 ，则 ，
所以 ，
又过点 ，
由点斜式可得， ，
化简可得， ，
又 ，
所以切线的方程为 ；
②若切线的斜率不存在，则 ，
此时切线方程为 ．
综上所述，圆 上点 处的切线方程为 ．
（2）①当切线斜率存在时, 设过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，得 ，
，即 ，
，
又 ，
把 代入 中，得 ，
，
化简得 .
②当切线斜率不存在时，过 的切线方程为 ，满足上式.
综上，椭圆上一点 的切线方程为： .（3）在 ， 两点处，椭圆 的切线方程为 和 ，
因为两切线都过 点 ，
所以得到了 和 ，
由这两个“同构方程”得到了直线 的方程为 ；
（4）问题（3）中两切线 ， 斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 ，
由 ，可得 ，
由 ，可得 ，
因为 ，
则 ，
所以 式中关于 的二次方程有两个解，且其乘积为 ，
则 ，
可得 ，
所以圆的半径为2，且过原点，其方程为 ．
题型三：切线垂直问题
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点
分别为 .
（1）若点 坐标为 ，求切线 的方程；
（2）若点 是抛物线 的准线上的任意一点，求证：切线 和 互相垂直.
【解析】（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为 ，
点 坐标为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，
由 ，解得 ，
所以切线 的方程分别为 和 ，
即切线方程分别为 和 ；
（2）设点 坐标为 ，切线斜率为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，消去 ，得 ，由 ，得 ，记关于 的一元二次方程 的两根为 ，
则 分别为切线 的斜率，由根与系数的关系知 ，
所以切线 和 互相垂直.
例8．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，点 是抛物线 的准线上的任意一点，
过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，点 是 的中点.
（1）求证：切线 和 互相垂直；
（2）求证：直线 与 轴平行；
（3）求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在.
设点 坐标为 ，切线斜率为 ，过点 的切线方程为 ，
联立方程， ，
消去 ，得 ，
由 ，得 ，
记关于 的一元二次方程 的两根为 ，
则 分别为切线 的斜率，由根与系数的关系知 ，
所以切线 和 互相垂直.
（2）设点 ，由 ，知 ，则 ，
所以过点 的切线方程为 ，
将点 代入，化简得 ，
同理可得 ，
所以 是关于 的方程 的两个根，
由根与系数的关系知 ，
所以 ，即 中点 的横坐标为 ，
而点 的横坐标也为 ，所以直线 与 轴平行.
（3）点 ，则 ，
则 ，由（2）知， ，
则 ， ，
，
当 时， 面积的最小值为4.
例9．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离
心率为 ，抛物线 的顶点为原点.
(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 为切点.设直
线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
【解析】（1）设椭圆 和抛物线 的方程分别为 ， ， ，
椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 的离心率为 ，
，解得 ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
（2）由题意知过点 与抛物线 相切的直线斜率存在且不为0，设 ，则切线方程为
，
联立 ，消去 ，得 ，
由 ，得 ，
直线 ， 的斜率分别为 ， ， ，为定值．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 过
点 ，抛物线 的顶点为原点．
求椭圆 和抛物线 的方程；
设点P为抛物线 准线上的任意一点，过点P作抛物线 的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
设直线PA，PB的斜率分别为 ， ，求证： 为定值；
若直线AB交椭圆 于C，D两点， ， 分别是 ， 的面积，试问： 是否有最
小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由．
【解析】 设椭圆 和抛物线 的方程分别为 和 ， ，
中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点 ，椭圆 过点 ，
抛物线 的顶点为原点．
，解得 ， ， ，
椭圆 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．
证明： 设 ，过点P与抛物线 相切的直线方程为 ，
由 ，消去x得 ，
由 得， ，即 ，．
设 ，
由 得 ， ，则 ， ，
直线BA的方程为 ，即 ，
直线AB过定点 ．
以A为切点的切线方程为 ，即 ，
同理以B为切点的切线方程为 ，
两条切线均过点 ，
，
则切点弦AB的方程为 ，即直线AB过定点
设P到直线AB的距离为d，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为 ，
设 ， ， ， ，
由 ，得 ， 时 恒成立．
．
由 ，得 ， 恒成立．
．
．
当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为 ，此时， ， ，
．
综上， 有最小值 ．
变式9．（2023·全国·高三专题练习）抛物级 的焦点 到直线 的距离为2.
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线 交抛物线于 ， 两点，分别过 ， 两点作抛物线的两条切线，
两切线的交点为 ，求证： .
【解析】（1）由题意知： ，
则焦点 到直线 的距离为： ，
所以抛物线的方程为： ；
（2）证明：
把直线 代入 消 得： ，
又 ，
利用韦达定理得 ，
由题意设切线 的斜率为 ，切线 的斜率为 ，点 坐标为 ，
由（1）可得： ，
则 ，
所以 ，
则切线 的方程为： ，切线 的方程为： ，
则 ，
利用韦达定理化简整理得： ，
把 代入 整理得：，
则 ，
，
则
变式10．（2023·河南驻马店·校考模拟预测）已知抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上，
直线 ： 与 相离．若 到直线 的距离为 ，且 的最小值为 ．过 上两点 分
别作 的两条切线，若这两条切线的交点 恰好在直线 上．
（1）求 的方程；
（2）设线段 中点的纵坐标为 ，求证：当 取得最小值时， ．
【解析】（1）由题意，得 ，且 的最小值等于点 到直线 的距离，
即 ，解得 （负值舍去），
∴抛物线 的方程为 ．
（2）由 ，得 ，故 ，设 ， ，
则切线方程分别为 ， ，
设两切线的交点为 ，
代入切线方程并整理可得： ， ，
即 ， 是方程 的实数根．
则 ， ，
则线段 中点纵坐标为
，
∴当 时， 取最小值 ．
此时， ， ， ， ，
则．
∴ ．
解法二：（同解法一）
∴当 时， 取最小值 ．
此时， ，由 得 ，
故 ，
∴ ．
题型四：面积问题
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ，点 是抛物线上的一点，
且到抛物线焦点的距离为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）点 为直线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，求 面积的
最小值．
【解析】本题考查直线与抛物线位置关系的应用．
（1）设抛物线焦点为 ，由题意可得 ，故 ，
∴抛物线的方程为 ．
（2）设 ，由题可知切线的斜率存在且不为0，
故可设切线方程为 ， ．
联立 ，消去 得 ．
由直线与抛物线相切可得 ，
∴ ，即 ．
∴ ，解得 ，
可得切点坐标为 ，故可设 ， ．
由 ，可得 ， ，
∴ ，∴ 为直角三角形，∴ 的面积 ．
令切点 到点 的距离为 ，
则
，
∴ ， ，
∴
，
当 ，即点 的坐标为 时， 的面积 取得最小值1．
例11．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 上一点 到其焦点 的距离为 ．
（1）求抛物线的方程；
（2）如图，过直线 上一点 作抛物线的两条切线 ， ，切点分别为 ， ，且直线 与
轴交于点 ．设直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，求四边形 面积的最小值．
【解析】（1）由 ，得 ，所以抛物线的方程为 ．
（2）设 ， ，可知在点 处的切线方程为： ，即 ，
同理，在点 处的切线方程为： ，
可得 ，又两切线均过点 ，所以 ，
于是 的方程为 ，
所以点 ．
将 与 联立可得 ，
则 ， ，
记四边形 面积为 ，则
（当且仅当 时，等号成立）
所以 ．
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点到原点的距离等于直线
的斜率.
（1）求抛物线C的方程及准线方程；
（2）点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求 面积的最小值.
【解析】（1）由题意， ，即 ，可知抛物线方程为 ，其准线方程为 .
（2） ，则切线 ： ，即 ；
同理 ： .
分别代入点 可得 ，对比可知直线 的方程为： .(即切点弦方程)联解 ，可知 ，
点 到直线 的距离为 ，
因此， ，
而 ，故 .
当且仅当 ，即 时， 的最小值为 .
变式11．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知抛物线 上的点R的横坐标为1，焦点
为F，且 ，过点 作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D
作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.
(1)求抛物线C的方程；
(2)（i）求证： 为定值；
（ii）设 ， 的面积分别为 ，求 的最小值.
【解析】（1）抛物线 的焦点 ，准线
则 ，则 ，抛物线C的方程为
（2）（i）设直线AP：
由 ，可得
则 ，解得则 ，解得
不妨令直线AP： ，直线BP： ，则
设 ，设直线
由 ，可得
由 ，可得 或 （舍）
则 ，直线
由 ，可得
故 ，为定值.
（ii）由（i）得 ，
，
则 ，
故 ，令
则
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增
则 ，故 的最小值为6.
变式12．（2023·全国·高三专题练习）已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，
且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣2，点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C 的轨迹方程；
（2）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．
【解析】（Ⅰ）设 ，由题意得 ，化简可得曲线 的方程为 ； （Ⅱ）
设 ，切线方程为 ，与抛物线方程联立互为 ，由于直线与抛物线相切可得 ，解得 ，可切点 ，由
，利用韦达定理，得到 ，得到 为直角三角形，得出三角形面积的表达式，即可求解三角形
的最小值．
试题解析：（1）设M（x，y），由题意可得： ，
化为x2=4y．
∴曲线C 的轨迹方程为x2=4y且（x≠±4）．
（2）联立 ，化为x2﹣4kx+4（km+1）=0，
由于直线与抛物线相切可得△=0，即k2﹣km﹣1=0．
∴x2﹣4kx+4k2=0，解得x=2k．可得切点（2k，k2），
由k2﹣km﹣1=0．∴k+k=m，k•k=﹣1．
1 2 1 2
∴切线QD⊥QE．
∴△QDE为直角三角形， |QD|•|QE|．
令切点（2k，k2）到Q的距离为d，
则d2=（2k﹣m）2+（k2+1）2=4（k2﹣km）+m2+（km+2）2=4（k2﹣km）+m2+k2m2+4km+4=（4+m2）
（k2+1），
∴|QD|= ，
|QE|= ，
∴ （4+m2） = ≥4，
当m=0时，即Q（0，﹣1）时，△QDE的面积S取得最小值4．
变式13．（2023·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测）已知点 ，平面上的动点S
到F的距离是S到直线 的距离的 倍，记点S的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过直线 上的动点 向曲线C作两条切线 ， ， 交x轴于M，交y轴于N， 交x轴
于T，交y轴于Q，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最小值．
【解析】（1）设 是所求轨迹 上的任意一点，
由题意知动点 到 的距离是 到直线 的距离的 倍，可得 ，整理得 ，
即曲线C的方程为 .
（2）设直线 的方程分别为 ，
可得 ，
所以
，
联立方程组 ，整理得 ，
则 ，
整理得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
代入上式，可得 ，
令 ，
，
当且仅当 时，即 时，即 时， 的最小值为 .题型五：外接圆问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）已知P是抛物线C： 的顶点，A，B是C上的两个动点，且
．
（1）试判断直线 是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由；
（2）设点M是 的外接圆圆心，求点M的轨迹方程．
【解析】（1）因为点 是抛物线 的顶点，所以点 的坐标为 ，
由题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为： ， ， ， ， ，
故 ，
因为 ，则 ，
又 、 是抛物线 上的两个动点，所以 ， ，故 ，
即 ，解得 ，
由 ，消去 可得 ，则有 ，
所以 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，
所以直线经过一个定点 ．
（2）线段 的中点坐标为 ，又直线 的斜率为 ，
所以线段 的垂直平分线的方程为 ，①
同理，线段 的垂直平分线的方程为 ，②
由①②解得 ，
设点 ，则有 ，消去 ，得到 ，
所以点 的轨迹方程为 ．
例14．（2023·高二单元测试）已知点 是抛物线 的顶点， ， 是 上的两个动点，且
.（1）判断点 是否在直线 上？说明理由；
（2）设点 是△ 的外接圆的圆心，点 到 轴的距离为 ，点 ，求 的最大值.
【解析】（1）设直线方程 ，
根据题意可知直线斜率一定存在，
则
则
由
所以
将 代入上式
化简可得 ，所以
则直线方程为 ，
所以直线过定点 ，
所以可知点 不在直线上.
（2）设
线段 的中点为
线段 的中点为
则直线 的斜率为 ，
直线 的斜率为可知线段 的中垂线的方程为
由 ，所以上式化简为
即线段 的中垂线的方程为
同理可得：
线段 的中垂线的方程为
则
由（1）可知：
所以
即 ，所以点 轨迹方程为
焦点为 ，
所以
当 三点共线时， 有最大
所以
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知点 是抛物线 的顶点， ， 是 上的两个动点，
且 .
（1）判断点 是否在直线 上？说明理由；
（2）设点 是△ 的外接圆的圆心，求点 的轨迹方程.
【解析】(1) 点 在直线 上.理由如下，
由题意, 抛物线 的顶点为
因为直线与抛物线有2个交点，所以设直线AB的方程为
联立 得到 ，
其中 ，
所以 ，
因为
所以
，
所以 ，
解得 ，
经检验，满足 ，
所以直线AB的方程为 ，恒过定点 .
（2）因为点 是 的外接圆的圆心，所以点 是三角形 三条边的中垂线的交点，
设线段 的中点为 ，线段 的中点为为 ，
因为 ，设 ， ， ，
所以 ， ， ， ， ， ，
所以线段 的中垂线的方程为： ，
因为 在抛物线上，所以 ，
的中垂线的方程为： ，即 ，
同理可得线段 的中垂线的方程为： ，联立两个方程 ，解得 ，
由（1）可得 ， ，
所以 ， ，
即点 ，所以 ，
即点 的轨迹方程为： ．
题型六：最值问题
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图已知 是直线 上的动点，过点 作抛物线 的
两条切线，切点分别为 ，与 轴分别交于 .
（1）求证：直线 过定点，并求出该定点；
（2）设直线 与 轴相交于点 ，记 两点到直线 的距离分别为 ；求当 取最大值时
的面积.
【解析】（1）设过点 与抛物线相切的直线方程为： ，
由 ，得 ，
因为相切，所以 ，即 得 ，
设 是该方程的两根，由韦达定理得： ，
分别表示切线 斜率的倒数，且每条切线对应一个切点，所以切点 ，
所以 ，所以直线 为： ，得 ，
直线 方程为： ，
所以 过定点 .
（2）由（1）知 ，
由（1）知点 坐标为 ， ，所以直线 方程为： ，
即： ，所以 ，
分居直线两侧可得
，
所以
，
∴
∴当且仅当 等号成立，
又由 ，令 得： ，
.
例17．（2023·湖南·高三校联考阶段练习）在直角坐标系 中，已知抛物线 ， 为直
线 上的动点，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，当 在 轴上时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)求点 到直线 距离的最大值.
【解析】（1）当 在 轴上时，即 ，由题意不妨设 则 ，
设过点 的切线方程为 ，与 联立得 ，
由直线和抛物线相切可得 ， ，所以由 得 ，∴ ， ，
由 可得 ，解得 ，
∴抛物线 的方程为 ；
（2） ，∴ ，
设 ， ，则 ，又 ，所以
即 ，同理可得 ，
又 为直线 上的动点，设 ，
则 ， ，
由两点确定一条直线可得 的方程为 ，
即 ，∴直线 恒过定点 ，
∴点 到直线 距离的最大值为 .
例18．（2023·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线
的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，这一
性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线 ，从点 发出的平行于y轴的光线
照射到抛物线上的D点，经过抛物线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和EB，切点分别
为A、B，求 的取值范围．
【解析】（1）由题设，令 ， ，根据抛物线性质知：直线 必过焦点 ，
所以 ，则 ，整理得 ， ，则 ，所以抛物线C的方程为 .
（2）由题意， ，且 ， ， ，
所以 ，
而 ，
令 ，则 ，
所以 ， ，
综上， ，
又 ， ，若 ，则 ，
由 ，当 ，即 时 ，无最大值，
所以 ，即 ，故 ， ，
令 ，则 ，
令 ， 在 上恒成立，即 递减，所以 .
变式14．（2023·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线 上的点 到其焦点 的距
离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 在直线 ： 上，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，直线 与直线 交于
点 ，过抛物线 的焦点 作直线 的垂线交直线 于点 ，当 最小时，求 的值.
【解析】（1）因为点 在抛物线 上，可得 ，又因为点 到其焦点 的距离为 ，
由抛物线的性质可得 ，解得 ，即抛物线 的方程为 .
（2）由题意可设 ，且 ， ，
因为 ，所以 ，可得 ，所以 ，整理得 ，
设点 ，同理可得 ，
则直线 方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 方程为 ，
令 ，可得 ，即点 ，
所以 ，当且仅当 时，即 时上式等号成立，
即 的最小值为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，
则
所以 .
变式15．（2023·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习）已知抛物线 ，点P为直线
上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点 到直线AB的距离的最大
值为（ ）
A．1 B．4 C．5 D．
【答案】D
【解析】设 ，切点 ，
由题意知在点A处的切线斜率存在且不为0，设在点A处切线斜率为
在点A处切线方程可设为由 ，可得
由 ，可得
则在点A处切线方程可化为 ，即
由题意知在点B处的切线斜率存在且不为0，设在点B处切线斜率为
在点B处切线方程可设为
由 ，可得
由 ，可得
则在点B处切线方程可化为 ，即
又两条切线均过点P，则 ，
则直线AB的方程为 ，即
则直线AB恒过定点
点 到直线AB的距离的最大值即为点 到 的距离
故点 到直线AB的距离的最大值为 .
故选：D
题型七：角度相等问题
例19．设抛物线 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过P作抛物线C的两条切线
PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
【解析】（1）设切点 ， 坐标分别为 和 ，
切线 的方程为： ；切线 的方程为： ；
由于 既在 又在 上，所以 解得 ，
所以 的重心 的坐标为 ，，
所以 ，由点 在直线 上运动，从而得到重心 的轨迹方程为：
，即 ．
（2）方法1：因为 ， ， ．
由于 点在抛物线外，则 ．
，
同理有
，
．
方法2：①当 时，由于 ，不妨设 ，则 ，所以P点坐标为 ，则P点到直线
AF的距离为： ；而直线 的方程： ，
即 ．所以P点到直线BF的距离为： 所
以 ，即得 ．
②当 时，直线AF的方程： ，即 ，
直线 的方程： ，即 ，
所以P点到直线AF的距离为：，
同理可得到P点到直线BF的距离
，因此由 ，可得到 ．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是椭圆 的上、下焦点，直线 过点
且垂直于椭圆长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 的垂直平分线交 于点 ，点 的轨迹为 .
(1)求轨迹 的方程；
(2)若动点 在直线 上运动，且过点 作轨迹 的两条切线 、 ，切点为A、B，试猜想
与 的大小关系，并证明你的结论的正确性.
【解析】（1） ， ，
椭圆半焦距长为 ， ， ，
，
动点 到定直线 与定点 的距离相等，
动点 的轨迹是以定直线 为准线，定点 为焦点的抛物线，
轨迹 的方程是 ；
（2）猜想
证明如下：由（1）可设 ，
，
，则 ，
切线 的方程为：
同理，切线 的方程为：
联立方程组可解得 的坐标为 ，
在抛物线外，， ，
同理
例21．（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆 与抛物
线 交于点M，N（异于原点O），MN恰为该圆的直径，过点E（0，2）作直线交抛物线
于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P．
(1)求证：点P的纵坐标为定值；
(2)若F是抛物线C的焦点，证明： ．
【解析】（1）由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，
代入抛物线方程可得2p=1，
所以抛物线的方程为x2=y，
设A ，B ，
所以 ，
所以直线AB的方程为 ，
即 ，
因为直线AB过点C(0，2)，
所以 ，所以 ①.
因为 ，所以直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，
直线PA的方程为 ，
即 ，
同理直线PB的方程为 ，
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.
（2） ， ，注意到两角都在 内，
可知要证 ， 即证 ，
， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
同理 式得证.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线l：
上运动，过P作抛物线C的两条切线 ， ，切点分别为A，B，求证： .
【解析】证明：设切A、B的坐标分别为 和 （ ）.
可得切线 的方程为 ；切线 的方程为 ，
解得点P的坐标为 ， .
则 ， ， .
由于点P在抛物线外，即 .∴ .
同理有 ，
所以
综上可知： .
变式17．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛
物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，
过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
【解析】（1）以OC为直径的圆为x2+(y-1)2=1.
由题意可知该圆与抛物线交于一条直径，
由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)
代入抛物线方程可得2p=1.
所以抛物线的方程为x2=y.
设A ，B ，
所以
所以直线AB的方程为 ，
即
因为直线AB过点C(0，2)，
所以 ，所以 ①.
因为 ，所以直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为
直线PA的方程为 ，
即 ，
同理直线PB的方程为
联立两直线方程，可得P
由①可知点P的纵坐标为定值-2.（2） ， ，
注意到两角都在 内，
可知要证 ， 即证 ，
， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
同理 式得证.
