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【考前必背完整版（基础+压轴全覆盖）】
二次函数知识清单超全精讲
一、二次函数核心定义（选择题必考）
1. 定义
形如：𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐（𝑎、𝑏、𝑐为常数，𝒂≠𝟎）叫做二次函数。
易错必考：只要a=0 就不是二次函数，直接变成一次函数。
2. 自变量取值范围
一般全体实数；应用题要根据实际情况取值（长度、面积>0）。
二、二次函数三种解析式（做题最关键，必须背熟）
1. 一般式（万能通用）
𝒚= 𝒂𝒙𝟐+ 𝒃𝒙+ 𝒄(𝒂≠𝟎)
适用：已知任意三个点坐标，代入解方程求a、b、c。
各字母作用：
•
a：决定开口方向、开口大小
•
b：和a 一起决定对称轴位置
•
c：抛物线与y 轴交点纵坐标，交点：(0,𝑐)
2. 顶点式（压轴题最常用）
𝒚= 𝒂(𝒙― 𝒉)𝟐+ 𝒌(𝒂≠𝟎)
顶点坐标：(𝒉,𝒌)
对称轴：直线 𝒙= 𝒉
适用：已知顶点坐标、最值、对称轴，优先设顶点式，计算最快。
3. 交点式（与x 轴交点专用）
𝒚= 𝒂(𝒙― 𝒙𝟏)(𝒙― 𝒙𝟐)(𝒂≠𝟎)
𝑥1、𝑥2：抛物线与x 轴两个交点的横坐标。
与x 轴交点坐标：(𝑥1,0)、(𝑥2,0)
适用：题目已知两个与x 轴交点，直接设交点式，一步到位。
选式口诀：已知三点设一般，已知顶点设顶点，已知交点设交点。
三、二次函数图像与a、b、c、Δ 符号判断（选择填
空必考压轴）
1. a 的符号：看开口方向
•
𝑎> 0：开口向上，有最小值，无最大值
•
𝑎< 0：开口向下，有最大值，无最小值
•
|a|越大：开口越窄；|a|越小：开口越宽
2. c 的符号：看与y 轴交点
•
交点在y 轴正半轴：𝑐> 0
•
交点在原点：𝑐= 0
•
交点在y 轴负半轴：𝑐< 0
3. a、b 联合符号：看对称轴位置
对称轴公式：𝒙= ― 𝒃
𝟐𝒂
•
对称轴在y 轴左侧：a、b 同号（左同）
•
对称轴在y 轴右侧：a、b 异号（右异）
•
对称轴是y 轴：𝑏= 0
口诀：左同右异b 为零在中间。
4. Δ 判别式符号：看与x 轴交点个数
𝚫= 𝒃𝟐― 𝟒𝒂𝒄
•
Δ > 0：与x 轴2 个交点
•
Δ = 0：与x 轴1 个交点（顶点在x 轴上）
•
Δ < 0：与x 轴无交点
5. 特殊代数式符号判断（高频压轴小题）
•
𝑥= 1时：𝑦= 𝑎+ 𝑏+ 𝑐
•
𝑥= ―1时：𝑦= 𝑎― 𝑏+ 𝑐
•
𝑥= 2时：𝑦= 4𝑎+2𝑏+ 𝑐
•
𝑥= ―2时：𝑦= 4𝑎― 2𝑏+ 𝑐
做题直接看图上对应x 位置的y 值正负，秒判断。
四、对称轴、顶点坐标、最值（必背公式）
1. 由一般式快速求
对称轴：𝒙= ― 𝒃
𝟐𝒂
顶点纵坐标（函数最值）：𝒚= 𝟒𝒂𝒄―𝒃𝟐
𝟒𝒂
2. 函数最值规律
•
𝑎> 0开口向上：顶点处是最小值，没有最大值
•
𝑎< 0开口向下：顶点处是最大值，没有最小值
大题求最值不用配方，直接套公式，省时不犯错。
五、二次函数平移、对称变换（必考选择填空）
1. 平移规律（顶点式最好记）
口诀：左加右减，上加下减
•
左右平移：只变括号里x，左加右减
•
上下平移：只变末尾k，上加下减
平移a 永远不变，开口大小方向都不变。
2. 对称变换规律
•
关于x 轴对称：a 变号，x 不变，y 全部变相反数
•
关于y 轴对称：a 不变，b 变号，c 不变
•
关于顶点旋转180°：a 变号，顶点坐标不变
六、二次函数增减性（取值范围必考）
核心：以对称轴为分界线，左右增减相反
1. a>0 开口向上
•
对称轴左侧（𝑥< ℎ）：y 随x 增大减小
•
对称轴右侧（𝑥> ℎ）：y 随x 增大增大
2. a<0 开口向下
•
对称轴左侧（𝑥< ℎ）：y 随x 增大增大
•
对称轴右侧（𝑥> ℎ）：y 随x 增大减小
注意：题目给x 的取值范围，一定要先看对称轴在不在范围内，再判断最值。
七、二次函数与方程、不等式关系（中考高频）
1. 与一元二次方程关系
𝑦= 0时，二次函数变成一元二次方程，根就是抛物线与x 轴交点横坐标。
2. 二次函数不等式看图解法
•
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐> 0：看图像在x 轴上方对应的x 范围
•
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐< 0：看图像在x 轴下方对应的x 范围
不用解方程，直接看图写解集，最快最准。
八、二次函数中考压轴三大必考题型（解题套路直接
背）
题型1：求解析式+顶点坐标+与坐标轴交点
解题步骤：
1.
根据已知条件选对解析式
2.
代入点坐标列方程求a、b、c
3.
套公式求对称轴、顶点
4.
令x=0 求y 轴交点，令y=0 求x 轴交点
题型2：面积最值、线段最值问题（大题压轴核心）
通用套路：
1.
设动点横坐标为x
2.
用二次函数表示底和高/线段长
3.
列出面积二次函数关系式
4.
求顶点处最值，写答案
所有最值问题：最后全都转化成求二次函数顶点最值。
题型3：二次函数动点存在性问题（等腰、直角、平行四边
形）
通用方法：
1.
设点坐标
2.
用两点距离公式表示边长
3.
根据图形性质列方程
4.
解方程，舍去不符合点
九、二次函数高频易错点（扣分必看）
•
二次函数一定不能丢a≠0
•
求最值要看清：是全体实数还是有取值范围
•
增减性判断必须先找对称轴，不能直接看a
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平移只变h、k，a 永远不变
•
符号判断题：看图说话，不要瞎猜
