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25.3 实际问题一元二次方程
知识点一 实际问题与一元二次方程
用一元二次方程解实际问题时的基本步骤：
1. 审题：
圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、工作总量、物品单价、长度等）；
明确各个数量之间的关系，例如𝐴比𝐵多/长（或少/短）𝑚个/米/元（𝑚为正数），𝐴是
𝐵的𝑚倍（或是𝑚倍还要多𝑛）；
找到存在的等量关系式，并用语言文字和数学符号表示出来，例如：𝐴的路程+𝐵的路
程=总路程、涨价前的销售总额+涨价后的销售总额=总销售额等等，我们可以称该关
系式为语言关系表达式；
2. 设未知数：
灵活假设未知数，一般选择两者之间数量较少的进行假设，例如：当题干表述的数量
关系为𝐴比𝐵多/长（或少/短）𝑚个/米/元时，可以假设𝐵为𝑥，𝐴为（𝑥+ 𝑚）；
或数量关系为𝐴是𝐵的𝑚倍（或是𝑚倍还要多𝑛）时，可以假设𝐵为𝑥，𝐴为（𝑚𝑥+ 𝑛），
这种假设可以避免式子出现过于复杂或难解的情况；
3. 列方程：根据第1 步中找到的存在的等量关系式，将各自表示出的分量代入到语
言关系表达式中；
4. 解方程：对方程进行整合、化简，按照直接开平方法、配方法或公式法等解方程；
5. 检验：非常重要且关键的一步，求出的解必须检验，看是否符合等式，必须保证等
号左右两侧的值相等；此外，还有以下几点需要额外注意：
①若列出的初始方程为分式方程，需要检验分母不为“0”；
②若列出的初始方程中含有根式，需要检验根号下的式子不小于“0”；
③若该方程是建立在实际问题的基础上得到的，则在验证以上两条的基础之上，还
需要验证方程的解是否符合实际意义，例如：人数不能为小数或分数，增长率不能小
于0，篱笆某一侧长度不能超过对应墙面的长度，长度（高度、面积、体积）、速度、
时间、重量，所有包含有实际物理意义的量，均不可小于“0”；
6. 答：应用题一定要以“答”收尾，切记检查题目中给的数量单位，与解答的单位是
否一致，若不一致，需要换算单位。
第二十五章
一元二次方程
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归纳总结
列一元二次方程解应用题的步骤：①审；②设；③列；④解；⑤验；⑥答
易错点 1 设元不当，导致方程复杂难解
•
错例：题目要求“求长和宽”，直接设长为𝑥、宽为𝑦，列出二元方程组，增加了
解题难度
•
错因：习惯“问什么设什么”，受到小学列方程（一元一次）和简单应用题的影
响，形成“问题中有几个未知量就设几个未知数”的思维惯性
•
规避方法：先将题目中类似于“长比宽多…米”或“𝐴的数量是𝐵的𝑛倍”表述数
量关系的句子，整合成数学符号表述，再利用题目中的关系，用同一个未知数表示两
个量。
易错点 2 增长率问题混淆“增加到”与“增加了”
•
错例：某商品原价100 元，两次涨价后为144 元，设平均增长率为𝑥。可能会列成
100(1 + 2𝑥) = 144（错误理解为“增加了2𝑥倍”）
•
错因：对“增长率”的数学本质理解不透——增长率是指数增长的连续累乘，而
非一次性累加
•
规避方法：“增长到”是连乘，“增加了”是加和。
易错点 3 缺少检验——只验代数，不验实际
•
错例：对于求线段长度的题目，解得𝑥1 = 10，𝑥2 = −3，直接写“答：边长为10
或-3”，忘了舍去负数；或解出𝑥= 8.5（人数），直接作答
•
错因：解出方程后，大脑自动释放“完成信号”，认为算出数就等于做完了。即
使验算，也只是机械地代回方程看看是否等于0，懒得再去读一遍题目
•
规避方法：双重检验，可以选择代入方程验算，也可以代入实际问题：边长> 0，
人数为整数，增长率≥0等。
易错点 4 单位不统一，直接列式
•
错例：长3 米，长比宽多了𝑥厘米，表示面积。直接将面积表示为3(3 −𝑥)
•
错因：缺乏量纲意识，不清楚数学中的数必须带上“单位标签”才有实际意义。
本质上是对物理量“可加/乘性”的理解不深，不同单位的量不能直接运算
•
规避方法：列式前先将题干中表示单位的地方全部圈出来，若不统一，则需要先
统一单位（全化为米或全化为厘米）再列方程
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易错点 5 利润问题中“售价”与“利润”混为一谈
•
错例：某商品进价40 元，售价𝑥元，每天卖出(100−2𝑥)件，日利润为600 元。可
能会列成 𝑥(100 −2𝑥) = 600（错把售价当利润）
•
错因：对“总利润”的生成逻辑理解不清，没有形成“单件利润 × 数量 = 总利
润”的三层链条结构（售价→单利→总利），导致列式时直接拿“售价”当“单利”使
用
•
规避方法：熟记公式“利润=单件利润×数量=（售价−进价）×数量”
•
题型一：传播问题
方法技巧
特征：一人/物传播给若干人，经两轮传播后，总数已知。
方法：设每轮每单位传染𝑥人。第一轮后共(1+𝑥)人（初始1 人）或𝑎(1 + 𝑥)人（初
始𝑎人），第二轮后共𝑎(1 + 𝑥)2人。列方程𝑎(1 + 𝑥)2 =总数，解出𝑥，舍去负根。
关键：弄清初始人数，分清“传播后总数”是否包含最初源头。
通用公式：初始数量× (1 + 传播数)传播轮数=传播总数
1.（25-26 九年级上·北京·阶段检测）有5 个人患了流感，经过两轮传染后共有245 个人患
了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？
【答案】6
【分析】根据题意列一元二次方程解答即可．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，初始有5 个人患流感，第一轮传染
后，总患病人数为5(1
)
x
+
，第二轮传染后，总患病人数为
2
5(1
)x
+
，
根据题意列方程得：
2
5(1
)
245
x
+
=
，
解得
1
6
x =
，
2
8
x = −（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染6 人．
2.（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染
后，共有169 人患上流感．按这样的传染速度，若4 人患上流感，则第一轮传染后患流感
的人数共有多少人？
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【答案】52 人
【分析】设每轮传染中平均每人传染x 人，根据题意列出一元二次方程求解．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x 人，根据题意得，
(
)
2
1
169
x +
=
解得
1
2
12,
14
x
x
=
= −
（舍去），
第一轮传染后患流感的人数共有4
4 12
52
+
=
（人），
答：第一轮传染后患流感的人数共有52 人．
3.（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI 智能体进行数字传播闯关游戏．AI
智能体给出规则：游戏开始时有6 名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码
的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6 名同学失去密
码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114 名同学持有通关密码．求
每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
【答案】4 名
【分析】先设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，根据题意列出一元二次方程，求
出解，舍去不合题意的即可．
【详解】解：设每一轮传播中，1 名同学传给x 名新同学，
根据题意，得(
)(
)
6
6
6 1
6
114
x
x
+
−
+
−
=
．
解得
1
4
x =
，
2
5
x = −（不合题意，舍去）．
答：每一轮传播中，1 名同学传给4 名新同学．
4.（25-26 九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生
病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感
染了该病毒，经过两轮传播后，共有25 人感染．
(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？
(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？
【答案】(1)每轮感染中平均一人传染4 人
(2)三轮后共有125 人被感染
【分析】（1）设每轮平均传染给x 人，刚开始1 人，第一轮传染给x 人，第二轮传染给
(
)1
x
x
+
人，根据经过两轮传播后，共有25 人感染，列出方程，解方程即可；
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（2）根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】（1）解：设每轮平均传染给x 人，刚开始1 人，第一轮传染给x 人，第二轮传染
给(
)1
x
x
+
人，根据题意得：
(
)
1
1
25
x
x
x
+
+
+
=
，
解得
1
4
x =
，
2
6
x = −（舍去），
答：每轮感染中平均一人传染4 人．
（2）解：25 25 4
125
+
=
人
答：三轮后共有125 人被感染．
5.（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活
动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲
后共有81人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
【答案】(1)8人
(2)729 人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设这种宣讲活动，一个人会给x 人宣讲，根据题意列方程求解即可；
（2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接
受宣讲的人数．
【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给x 人宣讲，
依题意，得
(
)
1
1
81
x
x x
+
+
+
=
即(
)
2
1
81
x
+
=
，
解得
1
8
x = ，
2
10(
x = −
舍去) ，
故这种宣讲活动，一个人会给8人宣讲；
（2）解：81 8 81
729
+
=
（人），
故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有729 人．
题型二：增长率问题
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方法技巧
特征：初始量从𝑎经过两次相同增长率𝑥变为𝑏。
方法：列方程𝑎(1 ± 𝑥)2 = 𝑏（增长用+，下降用−）。注意区分“增长到𝑏”与“增长了
𝑏−𝑎”。解方程后，负数根或增长率< −100%舍去。
关键：看清起始量和终止量，连续变化用平方。
通用公式：初始量× (1 + 增长率)增长轮数= 最后总量
初始量× (1 −下降率)下降轮数= 最后总量
1.（25-26 九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室
气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（Carbon）一词作为代表．虽然并不准确，但
作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大
量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装
为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的
325 辆增加到两年后的637 辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率．
【答案】
这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是40%
【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为x ，根据该市将使全市的这种环
保汽车由目前的325 辆增加到两年后的637 辆，列出方程解答即可．
【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为x ，
依题意得：
(
)
2
325 1
637
x
+
=
，
解得
1
0.4
40%
x =
=
，
2
2.4
x = −
（舍去）．
答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为40%．
2.（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼
盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40 元/盒，售价为70 元/盒．已知该礼
盒4 月份销售100 盒，受端午节日氛围带动，6 月份销量增至144 盒．
(1)若4 月份到6 月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长
率；
(2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7 月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：
以6 月份的销量144 盒为基数，售价每降低1 元，月销售量就会增加8 盒．若要使7 月份
这款礼盒的总利润达到4600 元，且降价后的单盒利润不低于24 元，该茶叶礼盒的售价应
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降价多少元？
【答案】(1)这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为20%．
(2)该茶叶礼盒的售价应降价5 元．
【分析】（1）设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，根据“该礼盒4 月份销售100 盒，
受端午节日氛围带动，6 月份销量增至144 盒”列方程求解即可；
（2）设该茶叶礼盒的售价应降价a 元，根据“7 月份这款礼盒的总利润达到4600 元”列方
程求解，再结合降价后的单盒利润不低于24 元取合适的解即可．
【详解】（1）解：设这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为x，
由题意得，
(
)
2
100 1
144
x
+
=
，
解得
1
0.2
x =
，
2
2.2
x = −
（不合题意，舍去）．
答：这款茶叶礼盒销量的月平均增长率为20%．
（2）解：设该茶叶礼盒的售价应降价a 元，
由题意得，(
)(
)
70
40
144
8
4600
a
a
−
−
+
=
，
化简，得
2
12
35
0
a
a
−
+
=
，
解得
1
5
a =
，
2
7
a =
．
因为降价后的单盒利润不低于24 元，
所以70
40
24
a
−
−
，即
6
a
，
所以
2
7
a =
不合题意，舍去．
答：该茶叶礼盒的售价应降价5 元．
3.（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐
年降低．2024年这种药剂价格为100元，2026年该药剂价格为49 元．
(1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2027年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与2024年到2026年的平均
下降率相同，求该药剂在2027年的价格．
【答案】(1)
2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为30%
(2)
该药剂在2027年的价格为34.3元
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【分析】（1）设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x ，根据题意列方程求解
即可；
（2）根据题意列出算式求解即可．
【详解】（1）解：设2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为x ，
(
)
2
100 1
49
x
−
=
(
)
2
1
0.49
x
−
=
1
0.7
x
−
=
解得
1
0.3
30%
x =
=
，
2
1.7
x =
（不符合题意，舍去） ．
答：2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率为30%．
（2）解：
(
)
49
1 30%
34.3
−
=
（元）
答：该药剂在2027年的价格为34.3元．
4.（2026·四川雅安·一模）综合与实践：
【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案
【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模
块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．
【项目成果】请解答任务1，任务2．
【项目实施】
(1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026 年1 月该款迷你无人机的销量为1100 架，
2026 年3 月该款迷你无人机的销量为1331 架，若2026 年1 月至3 月该款迷你无人机的月
平均增长率相同，求此月平均增长率．
(2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80 元且售价定为每架120 元
时，每天能销售20 架，且售价每降低1 元，每天可多销售2 架．
①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200 元，则每架迷你无人机的售价应降低多
少元？
②要想获得利润最大，售价应定为多少元？
【答案】(1)此月平均增长率为10%
(2)
①每架迷你无人机的售价应降低20 元；②要想获得利润最大，售价应定为105元．
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【分析】（1）设此月平均增长率为x，根据1 月和3 月的销量建立方程求解即可；
（2）①设每架迷你无人机的售价应降低m 元，根据利润= （售价−进价）销售量建立方
程求解即可；②设获得的利润为W 元，每架迷你无人机的售价应降低n 元，根据利润=
（售价−进价）销售量列出W 关于n 的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即
可．
【详解】（1）解：设此月平均增长率为x，
由题意得，
(
)
2
1100 1
1331
x
+
=
，
解得
0.1 10%
x =
=
或
2.1
x = −
（舍去），
答：此月平均增长率为10% ；
（2）解：①设每架迷你无人机的售价应降低m 元，
由题意得，(
)(
)
120
80
20
2
1200
m
m
−
−
+
=
，
整理得
2
30
200
0
m
m
−
+
=
，
解得
10
m =
或
20
m =
，
∵需要尽量减少库存，
∴
20
m =
，
答：每架迷你无人机的售价应降低20 元；
②设获得的利润为W 元，每架迷你无人机的售价应降低n 元，
由题意得，
(
)(
)
120
80
20
2
W
n
n
=
−
−
+
(
)(
)
40
20
2
n
n
=
−
+
2
2
60
800
n
n
= −
+
+
(
)
2
2
15
1250
n
= −
−
+
，
∵2
0
−
，
∴当
15
n =
时，W 有最大值，最大值为1250，
此时120
105
n
−
=
，
答：要想获得利润最大，售价应定为105元．
5.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨
批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真
挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至6 月初，《给阿嬷的情书》票房已超16
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亿元．
(1)已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100 万，第三天
日票房为3024万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？
(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板
桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活
动，据统计，当扛标旗单价定为8元时，每天约有300名游客参与，当扛标旗单价每上涨一
元时，参与的游客数量减少20 人，经涨价后发现每天营收增加了200 元，则扛标旗单价上
涨了多少元？
【答案】(1)这三天票房的平均增长率为20%；
(2)扛标旗单价上涨了2 元或5 元．
【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为x ，根据题意列方程解答即可；
（2）设单价上涨了a 元，根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为x
2
2100(1
)
3024
x
+
=
解得：
1
0.2
x =
，
2
2.2
x = −
（舍去）
答：这三天票房的平均增长率为20%．
（2）解：设单价上涨了a 元，
(
)(
)
8
300
20
8 300
200
a
a
+
−
=
+
解得：
1
2
2,
5
a
a
=
=
，
答：扛标旗单价上涨了2 元或5 元．
题型三：几何问题
方法技巧
特征：涉及矩形面积、镶边、小路、围栏等。
方法：①用𝑥表示边长；
②周长/面积公式列方程；
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关键：边长> 0舍负根，注意墙是否够长、单位是否统一。
1.（25-26 八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践
如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有
可用的篱笆总长为20m．设边AB 长为m
x
，请列方程解决下列问题．
(1)若矩形菜园的面积为
2
48m ，求AB 的长；
(2)矩形菜园的面积有可能是
2
55m 吗？若有，求x 的值；若无，说明理由；
(3)当x 取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积．
【答案】(1) AB 的长为4m或6m
(2)矩形菜园的面积不可能是
2
55m ，理由如下：
根据题意得，(
)
20
2
55
x
x
−
=
，
整理得，
2
2
20
55
0
x
x
−
+
=
，
∴
(
)
2
Δ
20
4 2 55
40
0
= −
−
= −
，
∴方程无实数解，
∴矩形菜园的面积不可能是
2
55m ；
(3)当
5
x = 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为
2
50m
【分析】（1）设边AB 长为m
x
，则
(
)
20
2
m
BC
x
=
−
，根据矩形菜园的面积为
2
48m 列方程
求解即可；
（2）根据题意得到(
)
20
2
55
x
x
−
=
，整理后利用判别式判断即可；
（3）设矩形菜园的面积为S，根据题意表示出S，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设边AB 长为m
x
，则
(
)
20
2
m
BC
x
=
−
，
∵矩形菜园的面积为
2
48m ，
∴(
)
20
2
48
x
x
−
=
，
整理得，
2
10
24
0
x
x
−
+
=
，
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解得
1
4
x =
，
2
6
x = ，
∵20 2
0
x
−
，
0
x
，
∴0
10
x
，
∴AB 的长为4m或6m；
（2）略
（3）解：设矩形菜园的面积为S，
根据题意得，
(
)
(
)
2
2
20
2
2
20
2
5
50
S
x
x
x
x
x
=
−
= −
+
= −
−
+
，
∵2
0
−
，
∴当
5
x = 时，矩形菜园的面积最大，最大面积为
2
50m ．
2.（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙
MN ，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙
相对的一面木栏需开一扇宽为2 米的门，门不消耗木栏，设AB 长为x 米．
(1)如图①，当AD
MN
时，
①AD =___________米（用含x 的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长．
(2)如图②，当
AD
MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由．
【答案】(1)①(
)
22
2x
−
；②7 米
(2)养蜂场的面积不能达到70 平方米．理由如下：
假设养蜂场的面积可以达到70 平方米，
∵AB 长为x 米，
∴
20
2 10
2
16
2
x
BC
x
+ +
−
=
=
−，
依题意，得：(
)
16
70
x x
−
=
，
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整理得：
2
16
70
0
x
x
−
+
=
，
∵
(
)
2
16
4 1 70
24
0
= −
−
= −
，
∴原方程没有实数根，
∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到70 平方米．
【分析】（1）①利用“ AD的长= BC 的长= 木栏总长+ 门的宽度2 AB
−
的长”，可用含x 的
代数式表示出AD的长；
②根据“围成的养蜂场面积为56平方米”可列出关于x 的一元二次方程，解之可得出x 的
值，再结合AD
MN
，即可确定结论；
（2）假设养蜂场的面积可以达到70 平方米，由AB 长为x 米，可得出BC 长为(
)
16
x
−
米，
根据“围成的养蜂场面积为70 平方米”可列出关于x 的一元二次方程，由根的判别式
24
0
= −
，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确．
【详解】（1）解：①依题意，得：
(
)
20
2
2
22
2
AD
BC
x
x
=
=
+
−
=
−
（米）；
②依题意，得：(
)
22
2
56
x x
−
=
，
解得：
1
4
x =
，
2
7
x =
，
当
4
x = 时，22 2
22 2 4
14
10
x
−
=
−=
，不符合题意，舍去；
当
7
x =
时，22 2
22 2 7
8 10
x
−
=
−=
，符合题意，
∴AB 的长为7 米；
（2）略．
3.（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地
游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引
入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题．
探索果园土地规划和销售利润问题
素
材
1
该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD，图
1 是果园的平面图，其中
200
AB =
米，
300
BC =
米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路
的宽度都为2x 米，左右两条纵向道路的宽度都为x
米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考
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虑，道路宽度x 不超过12 米，且不小于5 米．
素
材
2
经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐
观．若每平方米的草莓销售平均利润为100 元，每
月可销售5000 平方米的草莓．受天气诸多因素影
响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价
销售．若每平方米草莓平均利润下调5 元，每月可
多销售500 平方米草莓．果园每月的承包费为2 万
元．
问题解决：
(1)若中间种植的面积是
2
44800 m ，则路面设置的宽度是否符合要求．
(2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52 万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多
少元？
(3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60 万元的预期目标？
【答案】(1)路面设置的宽度符合要求
(2)从购买草莓客户的角度应该降价40 元
(3)该合作社不能实现每月60 万元的预期目标
【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为(
)
300
2x
−
米、宽为(
)
200
2 2x
−
米的长方形，根据中间种植的面积列出关于x 的一元二次方程，解
之可得出x 的值，取其符合题意的值，再对照x 的取值范围，即可得出结论；
（2）设每平方米草莓平均利润下调y 元，则每平方米草莓平均利润为(
)
100
y
−
元，每月可
售出(
)
5000 100y
+
平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y 的一元二次
方程，解之可得出y 的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论．
（3）假设该专业合作社能实现每月总利润60 万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式
得到
2
50
1200
0
y
y
−
+
=
，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得(
)(
)
300
2
200
2 2
44800
x
x
−
−
=
，
整理得
2
200
1900
0
x
x
−
+
=
，
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解得
1
10
x =
，
2
190
x =
当
190
x =
时，300 2
300 380
80
0
x
−
=
−
= −
（不符合题意，舍去），
故
10
x =
5
12
x
，
路面设置的宽度符合要求；
（2）解：设每平方米草莓平均利润下调y 元，则每平方米草莓平均利润为(
)
100
y
−
元，每
月可售出
(
)
5000
500
5000 100
5
y
y
+
=
+
平方米草莓，
根据题意得(
)(
)
100
5000 100
20000
520000
y
y
−
+
−
=
，
整理得
2
50
400
0
y
y
−
+
=
，
解得
1
10
y =
，
2
40
y =
，
又 要让利于顾客，
40
y
=
．
答：每平方米草莓平均利润下调40 元．
（3）解：根据题意得(
)(
)
100
5000 100
20000
600000
y
y
−
+
−
=
，
整理得
2
50
1200
0
y
y
−
+
=
则
(
)
2
Δ
50
4 1 1200
2500
4800
2300
0
= −
−
=
−
= −
∴方程在实数范围内无解
该合作社不能实现每月60 万元的预期目标．
4.（25-26 八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长
10m、宽8m 的矩形劳动实践基地ABCD扩建为矩形AEFG ，使其总面积达到
2
110m ．经规
划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1:2（即
:
1:2
DG BE =
）．
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(1)求长和宽各增加了多少米？
(2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为1m的十字形小路，剩余
部分为试验园地，求试验园地的面积．
【答案】(1)长增加了1m，宽增加了2m
(2)
2
90m
【分析】（1）设
m
DG
x
=
，则
2 m
BE
x
=
，根据扩建后总面积达到
2
110m ，列方程求解即
可；
（2）根据平移的性质将试验园地的面积变为矩形求解即可；
【详解】（1）解：设
m
DG
x
=
，由
:
1:2
DG BE =
得
2 m
BE
x
=
，
扩建后矩形AEFG 的长为(10
)m
x
+
，宽为(8
2 )m
x
+
，
根据总面积列方程：(
)(
)
10
8
2
110
x
x
+
+
=
，整理得：
2
14
15
0
x
x
+
−
=
，
解得：
1
1
x = ，
2
15
x = −
（长度不能为负，舍去），
因此
1m
DG =
，
2m
BE =
，
即长增加了1m，宽增加了2m；
（2）解：由（1）得，扩建后矩形的长为10 1 11m
+ =
，宽为8
2
10m
+
=
，
将十字小路平移到矩形边缘，剩余试验园地为矩形，长和宽各减少小路宽度1m，
因此试验园地面积为：(
) (
)
2
11 1
10 1
10 9
90m
−
−
=
=
．
5.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．
材料：一张长为80 cm，宽为60 cm 的长方形硬纸板．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方
形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF 和GH 两边恰好重合且无重叠部分．
(1)任务一：若收纳盒的高BF 为10 cm ，求该收纳盒底面ABCD的两邻边AB 和BC 的长
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度；
(2)任务二：若收纳盒底面ABCD的面积为
2
400 cm ，求该收纳盒的高BF ；
(3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为20 cm ，宽为15 cm ，高为25 cm 的长方体
礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中BF 的取值范围；如果不能，请说明理
由．
【答案】(1)
40 cm
AB =
；BC = 30 cm
(2)
20 cm
BF =
(3)能，15 cm
17.5 cm
BF
【分析】（1）根据图形列式计算即可；
（2）设
cm
BF
x
=
，用x 分别表示
,
AB BC 的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x 的一元
二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（3）设
cm
BF
x
=
，则
(
)
60
2
cm
AB
x
=
−
，
(
)
40
cm
BC
x
=
−
，根据长、宽、高的要求分情
况进行讨论，取符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：
10 cm
BF =
，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相
同的小长方形，
(
)
60
2 10
40 cm
AB
=
−
=
．
根据折叠后正好重合可知
(
)
80
2 10
30 cm
2
BC
−
=
=
．
（2）解：设
cm
BF
x
=
，则
(
)
60
2
cm
AB
x
=
−
，
(
)
80
2
40
cm
2
x
BC
x
−
=
=
−
，
由题意得(
)(
)
60
2
40
400
x
x
−
−
=
，
解得
1
20
x =
，
2
50
x =
（不合题意，舍去）
20 cm
BF
=
．
（3）解：能．
设
cm
BF
x
=
，则
(
)
60
2
cm
AB
x
=
−
，
(
)
40
cm
BC
x
=
−
，由题意得
①
15
60
2
20
40
25
x
x
x
−
−
，解得
15
20
15
x
x
x
，
15
x =
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②
15
60
2
25
40
20
x
x
x
−
−
，解得
15
17.5
20
x
x
x
，15
17.5
x
；
③
60
2
15
20
40
25
x
x
x
−
−
，解得
22.5
20
15
x
x
x
，不符合舍去；
④
60
2
15
40
20
25
x
x
x
−
−
，解得
22.5
20
25
x
x
x
，不符合舍去；
⑤
40
15
20
60
2
25
x
x
x
−
−
，解得
25
20
17.5
x
x
x
，不符合舍去；
⑥
40
15
60
2
20
25
x
x
x
−
−
，解得
25
20
25
x
x
x
，不符合舍去；
综上得，15 cm
17.5 cm
BF
．
题型四：数字问题
方法技巧
特征：月历表上框出相邻数字、多位数数位关系。
方法：①用𝑥表示最小数，同行相邻+1，同列相邻+7；
②根据“乘积”或“和”列方程。
关键：验证解是否符合月历实际位置（如行末数不能+1）。
1.（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4 个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x 的代数式表示）
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(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4 个数之和为45．小颖认为小丽一定算错
了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
【答案】(1)
8
x +
(2)
小颖的说法正确，理由如下：
设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为
1,
7,
8
m
m
m
+
+
+ ，
∵框出的4 个数之和为45，
∴
1
7
8
45
m
m
m
m
+
+ +
+ +
+ =
，
解得：
29
4
m =
，
根据题意得：m 为整数，
∴
29
4
m =
不符合题意，
∴小丽一定算错了，小颖的说法正确．
(3)7
【分析】（1）根据月历表的特点列式即可；
（2）设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为
1,
7,
8
m
m
m
+
+
+ ，根据题意
列出方程，解方程即可得到答案；
（3）设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为
8
y +
，根据题意可得方程
(
)
8
105
y y +
=
，解方程即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意得，圈出的4 个数中最小的数为x ，则最大的数为
1 7
8
x
x
+ +
=
+ ；
（2）略
（3）解：设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为
8
y +
，
∴(
)
8
105
y y +
=
，
∴
2
8
105
0
y
y
+
−
=
，
∴(
)(
)
7
15
0
y
y
−
+
=
，
∴
7
0
y−
=
或
15
0
y +
=
，
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解得
7
y =
或
15
y = −
（舍去），
∴这4 个数中最小的数为7．
2.（2026·湖北荆州·三模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)如图，若圈出的4 个数a 、b 、c 、d 中，最小的数a
x
=
，则
1
b
x
=
+ ，c = ________，
d =________．（用含x 的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad
bc
−
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
【答案】(1)
7
x+
，
8
x + ；
(2)证明如下：
∵ad
bc
−
(
) (
)(
)
8
1
7
x x
x
x
=
+
−
+
+
2
2
8
8
7
x
x
x
x
=
+
−
−
−
7
= −，
∴ad
bc
−
的差恒为常数；
(3)7．
【分析】（1）直接根据日历表作答即可；
（2）直接计算ad
bc
−
的值即可；
（3）由（1）知最小的数a
x
=
，最大的数
8
d
x
=
+ ，根据“最大的数与最小的数的乘积为
105”求出x 的值即可．
【详解】（1）解：根据日历表可知，
7
7
a
x
c =
+
=
+ ，
8
7
b
x
d =
+
=
+ ；
（2）略；
（3）解：由题意得：(
)
8
105
x x +
=
，
变形整理得：
2
8
105
0
x
x
+
−
=
，
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解得：
1
7
x =
，
2
15
x = −
（舍去），
即这个最小的数是7．
3.（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4 个数中最小的数为x ，则最大的数为 ．（用含x 的代数式表示）
(2)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
(3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269 吗？若能，请直接写出最小
的数；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
8
x +
(2)7
(3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，
理由如下：设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为
1
7
8
m
m
m
+
+
+
，
，
，
∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269，
∴
(
)
8
1
7
8
269
m m
m
m
m
m
+
+
+
+ +
+
+
+
=
，
∴
2
8
1
7
8
269
0
m
m
m
m
m
m
+
+
+
+ +
+
+
+
−
=
，
∴
2
12
253
0
m
m
+
−
=
，
∴(
)(
)
11
23
0
m
m
−
+
=
，
∴
11
0
m−
=
或
23
0
m+
=
，解得
11
m =
或
23
m = −
（舍去），
当
11
m =
，即圈出的最小的数为11 时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数，
∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269．
【分析】（1）根据月历的特点列式即可；
（2）设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为
8
y +
，根据题意可得方程
(
)
8
105
y y +
=
，解方程即可得到答案；
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（3）设圈出的4 个数中最小的数为m，则其他三个数分别为
1
7
8
m
m
m
+
+
+
，
，
，根据题
意可得方程
(
)
8
1
7
8
269
m m
m
m
m
m
+
+
+
+ +
+
+
+
=
，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，若圈出的4 个数中最小的数为x ，则最大的数为
1 7
8
x
x
+ +
=
+ ；
（2）解：设圈出的4 个数中最小的数为y ，则最大的数为
8
y +
，
∴(
)
8
105
y y +
=
，
∴
2
8
105
0
y
y
+
−
=
，
∴(
)(
)
7
15
0
y
y
−
+
=
，
∴
7
0
y−
=
或
15
0
y +
=
，
解得
7
y =
或
15
y = −
（舍去），
∴这4 个数中最小的数为7；
（3）略
题型五：营销问题
方法技巧
特征：售价/进价、降价多销、总利润已知。
方法：①单件利润=售价−进价；
②销量=原销量±降价/涨价引起的变动量；
③列方程：单利×销量=总利润。
关键：区分“售价”与“利润”，“降价”后销量增加公式要正确。
1.（25-26 八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进
价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在
销售价120 元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发
现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元．
(1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并
化为最简形式）
(2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少
元？
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【答案】(1)(
)
20
2x
+
，(
)
40
x
−
(2)每件童装应该降价20 元
【分析】（1）根据“每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件”列出代数式即可；
（2）根据总利润= 销售量单件利润，列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结
果．
【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x
元，
∴采取降价措施后，每天可销售(
)
20
2x
+
件，每件盈利(
)
(
)
120
80
40
x
x
−
−
=
−
元
（2）解：由题意得(
)(
)
20
2
40
1200
x
x
+
−
=
，
整理得
2
30
200
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
10
x =
，
2
20
x =
，
∵要使优惠力度最大，
∴
20
x =
，
∴每件童装应该降价20 元．
2.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践
【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系．
【素材呈现】
素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶．
素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础
上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个．
素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润．
【问题解决】
(1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元；
(2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价；
(3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请
说明理由．
【答案】(1)200，2000
(2)该玩偶的售价为44 元
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(3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元；理由：
设该玩偶的售价为x(
)
30
50
x
元，此时利润能达到2500 元，
由题意可得：(
)
(
)
30
10 50
100
2500
x
x
−
−
+
=
，
整理得：
2
90
2050
0
x
x
−
+
=
，
∵
(
)
2
Δ
90
4 1 2050
100
0
= −
−
= −
，
∴该一元二次方程没有实数根，∴
商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500 元．
【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可；
（2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可；
（3）设利润能达到2500 元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答．
【详解】（1）解： ∵当售价定为50 元时，每天卖出100 个，售价每降1 元多卖10 个．
∴当售价为40 元时，降价金额为50
40
10
−
=
元，增加玩偶的数量为：10 10 100
=
个，商店
每天卖出该玩偶的数量是100 100
200
+
=
个，
∴每天的利润为(
)(
)
100 100
40
30
2000
+
−
=
元．
（2）解：设该玩偶的售价为x(
)
30
50
x
元，
由题意可得：(
)
(
)
30
10 50
100
2240
x
x
−
−
+
=
，
整理得：
2
90
2024
0
x
x
−
+
=
，解得：
2
1
44,
46
x
x
=
=
，均符合30
50
x
．
所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46
元.
答：该玩偶的售价为44 元．
（3）解：略．
3.（25-26 八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为
当地特色农产品．
(1)某农户计划采摘120 斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2 倍，并提前1 小时完
成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？
(2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25 元，当售价为每斤50 元时，日均售出
200 斤；市场调研发现，售价每上涨1 元，日均少卖5 斤，若要每日获利5250 元，且让销
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量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？
【答案】(1)该农户原计划每小时采摘花椒20 斤
(2)花椒售价应每斤涨价5元
【分析】（1）设该农户原计划每小时采摘花椒x 斤，则实际每小时采摘花椒1.2x 斤，根据
题意列分式方程求解即可；
（2）设花椒售价应每斤涨价y 元，根据题意列一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设该农户原计划每小时采摘花椒x 斤，则实际每小时采摘花椒1.2x 斤，
根据题意，得120
120
1
1.2
x
x
−
=
解得
20
x =
经检验，
20
x =
是所列方程的解且符合题意，
答：该农户原计划每小时采摘花椒20 斤；
（2）解：设花椒售价应每斤涨价y 元，
根据题意，得(
)(
)
50
25
200
5
5250
y
y
+
−
−
=
解得
1
5
y =
，
2
10
y =
，
∵要让销量更高，
∴
5
y =
，
答：花椒售价应每斤涨价5 元．
4.（21-22 八年级下·浙江金华·阶段检测）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300 元，
若售价为420 元，则平均每天可售出20 件．经调查发现，每件衬衫每降价10 元，商场平
均每天可多售出1 件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措
施．设每件衬衫降价x 元
(1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含x 的代数式表
示）
(2)若商场每天要盈利1920 元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
【答案】(1)(
)
120
x
−
元，(
)
20
0.1x
+
件
(2)每件衬衫应降40 元
【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据总利润= 单件利润件数，列出关于x 的一元二次方程，解方程即可得出结果．
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【详解】（1）解：设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫的盈利为(
)
(
)
420
300
120
x
x
−
−
=
−
元，每天可售出的衬衫
(
)
20
1
20
0.1
10
x
x
+
=
+
件；
（2）解：由题意可得，(
) (
)
0.1
20
120
1920
x
x
+
−
=
，
解得，
1
120
x = −
（舍去），
2
40
x =
，
故每件衬衫应降40 元．
5.（2022·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪
肉粽的进价每盒便宜10 元，某商家用8000 元购进的猪肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数
相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50 元时，每天可售出100 盒；每盒售价提高
1 元时，每天少售出2 盒，设猪肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润
（单位：元）．
(1)猪肉粽每盒的进价为__________元；
(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350 元？
(3)若x 满足50
65
x
，求商家每天的最大利润．
【答案】(1)40
(2)55 元
(3)1750 元
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价(
)
10
a −
元，根据商家用8000 元
购进的猪肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）根据利润率得到x 的取值范围，再根据每盒利润销乘以销售量列出方程，解方程即
可；
（3）列出每天销售猪肉粽的利润与猪肉粽每盒售价x 元的函数关系式，根据二次函数的性
质及x 的取值范围求利润的最大值．
【详解】（1）解：设猪肉粽每盒进价a 元，则豆沙粽每盒进价(
)
10
a −
元，
8000
6000
10
a
a
=
−
，解得
40
a =
，
检验：当
40
a =
时，分式方程分母
0
a
，
10
0
a−
，所以
40
a =
是方程的解，
答猪肉粽每盒的进价为40 元．
（2）解：每盒利润率不超过50%，即
40 100%
50%
40
x −
，
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解得
60
x
，
由题意，得 (
)
(
)
40
100
2
50
1350
x
x
−
−
−
=
，
解得：
1
85
x =
（舍去），
2
55
x =
，
答：猪肉粽价格为55 元时，商家每天获利1350 元．
（3）解：设猪肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润，
则：
(
)
(
)
2
40
100
2
50
2
280
8000
y
x
x
x
x
=
−
−
−
= −
+
−
，
配方得：
(
)
2
2
70
1800
y
x
= −
−
+
，
∴当
70
x
时， y 随着x 的增大而增大，
∴当
65
x =
时，
(
)
2
2
65
70
1800
1750
y = −
−
+
=
（元），
答：商家每天的最大利润是1750 元．
题型六：工程问题
方法技巧
特征：两队合作/单独完成工作量，效率变化。
方法：①设效率或时间；
②利用“效率×时间=工作量”列方程；
③总工作量常看作“1”。
关键：实际效率变化后，工作时间也会变化，分清“原计划”与“实际”。
1.（25-26 九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型
号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小
时能分拣400 件快递，乙分拣机每小时能分拣500 件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11 小时，要确保分拣的快递
总数不少于5000 件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小
时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8 小时．为提升分拣效率，中心对机器进行
了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a 件（
0
a
），
且每天比原计划少工作2a 小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100 件，每天比原计划少
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工作a 小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000 件，求a 的值．
【答案】(1)乙分拣机至少工作6 小时
(2) a 的值为2
【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际
应用是解题的关键．
（1）设乙分拣机工作x 小时，则甲分拣机工作(11
)
x
−
小时，根据题意，列出不等式
(
)
400 11
500
5000
x
x
−
+
，求解即可；
（2）根据题意，列出方程(
)(
)
(
)
400 100
8
2
600 8
6000
a
a
a
+
−
+
−
=
，求解即可．
【详解】（1）解：设乙分拣机工作x 小时，则甲分拣机工作(
)
11
x
−
小时，
根据题意列不等式，
(
)
400 11
500
5000
x
x
−
+
解得
6
x
答：乙分拣机至少工作6 小时；
（2）根据题意，甲分拣机实际效率为(
)
400 100a
+
件/小时，实际工作时间为(
)
8- 2a 小时；
乙分拣机实际效率为600件/小时，实际工作时间为(
)
8
a
−
小时，
根据题意列方程，(
)(
)
(
)
400 100
8
2
600 8
6000
a
a
a
+
−
+
−
=
，
解得
2
5
a
a
=
= −
，
（不符合题意，故舍去），
答：a 的值为2 ．
2.（25-26 九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量
是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊
肉礼盒的工人少20 人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m 名加工乙种腊肉礼盒，其余
的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以
前增加m 个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加2m 个．已知该厂每天加工的
甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求m 的值．
【答案】(1)360 个；240 个
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(2)80
【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用：
（1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x 个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒1.5x 个，
根据题意列分式方程，解方程即可．
（2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共
36000 个，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒x 个，则每名工人每日加工甲种腊肉
礼盒1.5x 个．
根据题意，得14400
14400
20
1.5
x
x
−
=
．
化为整式方程，得14400 1.5 14400
20 1.5x
−
=
，
解方程，得
240
x =
．
经检验，
240
x =
是原方程的解．
则1.5
360
x =
．
答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360 个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240 个．
（2）解：工人总数为：14400
14400
100
240
360
+
=
（人）．
根据题意，得(
)(
)
(
)
100
360
2
240
36000
m
m
m
m
−
+
+
+
=
．
整理得
2
80
0
m
m
−
=
．
解得
1
80
m =
，
2
0
m =
（舍去）．
答：m 的值为80．
3.（25-26 九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋
节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时
开工，甲组加工10天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天加工的月饼数量比乙
组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高
了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均
每天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工
的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
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【答案】(1)甲组平均每天能加工200 盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼
(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单
【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关
键．
（1）设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，根据题意找到两个
等量关系列方程再求解即可；
（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意列出方程
求解并保留符合题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x 盒月饼，乙组平均每天能加工y 盒月饼，
根据题意，得
10
8
3200
3
2
300
x
y
x
y
+
=
−
=
，
解得
200
150
x
y
=
=
，
答：甲组平均每天能加工200 盒月饼，乙组平均每天能加工150盒月饼；
（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a 天完成了这笔订单，根据题意，得
(
) (
)(
)
(
)
2
200 150
200 100
10
2
150 8
2
3200
500
a
a
a
+
+
+
−
−
+
−
−
=
+
，
整理得
2
2
9
10
0
a
a
−
+
=
，
解得
1
2
a =
，
2
5
2
a =
（不符合题意，舍去），
答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2 天完成了这笔订单．
4.（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加
工厂拥有A，B 两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400 个，B 生产线每小
时加工粽子500个．
(1)若生产线A，B 一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B 生产线至少加
工多少小时？
(2)原计划A，B 生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A
生产线每小时比原计划多生产100a 个（
0
a
），B 生产线每小时比原计划多生产100
个．若A生产线每天比原计划少工作2a 小时，B 生产线每天比原计划少工作a 小时，这样
一天恰好生产粽子6000 个，求a 的值．
【答案】(1)B 生产线至少加工6 小时
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(2)a 的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键
是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解．
( )
1 设B 生产线加工x 小时，则A生产线加工(11
)
x
−
小时，根据生产线A，B 一共加工11小
时，且生产粽子总数量不少于5000个，列不等式求解即可；
( )
2 根据一天恰好生产了6000 个粽子，可列关于a 的一元二次方程，解方程即可求出a 的
值．
【详解】（1）解：设B 生产线加工x 小时，则A生产线加工(11
)
x
−
小时，
根据题意可得：500
400(11
)
5000
x
x
+
−
，
解得：
6
x
答：B 生产线至少加工6 小时；
（2）解：由题意可得：
0
(400 100 )(8
2 )
(500 100)
)
(8
600
a
a
a
−
=
+
−
+
+
，
整理得：
2
3
10
0
a
a
+
−
= ，
解得
1
2
a =
，
2
5
a = −（不符合题意，舍去），
答：a 的值为2 ．
5.（23-24 九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，
是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程
队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100 米，甲、乙分别从隧道两端向中间施
工，计划每天各施工6 米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1 米隧道施工所需成本
不一样．甲每合格完成1 米隧道施工成本为8 万元；乙每合格完成1 米隧道施工成本为9
万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3
2 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每
合格完成1 米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖2
m 米，乙在施工成本不变的情况
下，比计划每天少挖3
m 米，若最终每天实际总成本比计划多(
)
9
2
m −
万元，求m 的值．
【答案】(1)甲最多施工900 米
(2) m 的值为2
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【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题
意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x 米，则乙工程队施工(
)
2000
x
−
米，根据不等关系“工程结算时乙总
施工成本不低于甲总施工成本的3
2 ”列出关于x 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即
可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多(
)
9
2
m −
万元”即可得出关于m 的一元二次方程求
解即可．
【详解】（1）解：设甲施工x 米，
由题意可得：(
)
3
9 2100
8
2
x
x
−
，
解得：
900
x
．
答：甲最多施工900 米．
（2）解：由题意可得：(
)
(
)
8
6
9 6
9
2
6
8
9
2
3
m
m
m
m
+
+
+
−
=
−
+
+
，
整理得
2
4
4
0
m
m
−
+
=
，
解得
1
2
2
m
m
=
=
．
答：m 的值为2．
题型七：行程问题
方法技巧
特征：速度、时间、路程，常结合勾股定理（方位/距离）。
方法：①画示意图；
②利用𝑠= 𝑣𝑡列式；
③相遇/追及问题用“路程相等”或“时间相等”建立方程。
关键：单位统一，勾股定理求距离时注意直角三角形的构建。
1.（2026·贵州贵阳·一模）如图，某海军基地位于A处，在其正南方向20 海里处有一重要
目标B ，在B 的正西方向20 海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补
给码头；一艘军舰从A出发，经B 到C 匀速直线巡航．
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(1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C
处，求军舰原来的速度是多少？
(2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一
批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给
船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
【答案】(1)军舰原来的速度是20 海里/h；
(2)补给船航行了12.5海里．
【分析】（1）设原来的速度为v 海里/h，则调整后的速度为1.5v 海里/h，先求出总路程，
再根据题意列分式方程求解即可；
（2）连接DF 交BC 中点于F，则DF 是ABC
的中位线，可知
10
DF =
海里，
10
BF =
海
里，
90
CFD
=
，设相遇时补给船航行了x 海里，则
(
)
30
3
EF
x
=
−
海里，根据勾股定理
列方程求解即可．
【详解】（1）解：设原来的速度为v 海里/h，则调整后的速度为1.5v 海里/h，
由题意可知
20
AB =
海里，
20
BC =
海里，
则总路程为20
20
40
+
=
（海里），
∵军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C 处，
∴40
40
2
1.5
3
v
v
=
+
，
解得：
20
v =
，
经检验，
20
v =
是原分式方程的解，
∴军舰原来的速度是20 海里/h；
（2）解：取BC 的中点F ，连接DF ，
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则DF 是ABC
的中位线，
∴
10
DF =
海里，
10
BF =
海里，
90
CFD
=
，
设相遇时补给船航行了x 海里，即DE
x
=
海里，
∵军舰航行的总路程是补给船的3 倍，
∴军舰路程为
3
AB
BE
x
+
=
海里，
则
(
)
3
20
BE
x
=
−
海里，
∴
(
)
(
)
10
3
20
30
3
EF
BF
BE
x
x
=
−
=
−
−
=
−
海里，
在Rt
DEF
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
DE
DF
EF
=
+
，
即
2
2
2
10
(30
3 )
x
x
=
+
−
，
解得：
1
10
x =
，
2
12.5
x =
，
当
10
x =
时，E 与F 重合，DE 为正南方向，不符合“南偏东”的条件，舍去，
∴补给船航行了12.5海里．
2.（2026·重庆北碚·模拟预测）国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系
列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C 馆在A 馆的正北
方向，游客中心D 在A 馆的北偏东30方向，B 馆在A 馆的北偏西75方向相距400 米处，
C 馆在B 馆的东北方向，且C 馆在游客中心D 的南偏西75方向．（参考数据：
2
1.41
，3
1.73
，6
2.45
，37
6.08
）
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(1)求B 馆和C 馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B 馆出发沿B C
−
路线行走，小红从A 馆出
发沿A
D
−
路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，当小明
到A 馆的距离恰好是小红到A 馆的距离的2 倍时，求小红与游客中心D 之间的距离．（结
果保留整数）
【答案】(1) B 馆和C 馆之间的距离是(
)
200
200 3
+
米
(2)小红与游客中心D 之间的距离是493米
【分析】（1）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，过点B 作BM
AC
⊥
于点M ，则
90
AEB
AEC
AMB
=
=
=
，结合方向角的定义，可知
45
ACB
=
，
60
ABC
=
，然
后在Rt
ABE
△
中可求得BE、AE ，进而在Rt ACE
中可求得CE ，即可解答；
（2）设小红到A馆的距离是x 米，则小明到A馆的距离是2x 米，此时小明，小红分别在
P ，Q 处，连接AP ，则
2
AP
x
=
，AQ
x
=
，
1.5
BP
x
=
，得到
1.5
200
EP
x
=
−
，然后在
Rt
AEP
△
中，利用勾股定理建立方程，解得AQ ，过点C 作CF
AD
⊥
，垂足为F ，结合
2
AC
AE
=
，在Rt
ACF
△
中可求得AF ，在Rt
CFD
△
中可求得DF ，最后由
DQ
AF
DF
AQ
=
+
−
，即可解答．
【详解】（1）解：过点A作AE
BC
⊥
于点E ，过点B 作BM
AC
⊥
于点M ，
则
90
AEB
AEC
AMB
=
=
=
，
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由题意得
75
BAM
=
，
45
MBC
=
，
90
15
ABM
BAM
=
−
=
，
90
45
ACB
MBC
=
−
=
，
ABC
MBC
ABM
=
+
45
15
=
+
60
=
，
在Rt
ABE
△
中，
60
ABC
=
，
400
AB =
米，
cos60
200
BE
AB
=
=
（米），
sin60
200 3
AE
AB
=
=
（米），
在Rt ACE
中，
45
ACE
=
，
200 3
EC
AE
=
=
米，
(
)
200
200 3
BC
BE
CE
=
+
=
+
米；
（2）解：设小红到A馆的距离是x 米，则小明到A馆的距离是2x 米，
如图，此时小明，小红分别在P ，Q 处，连接AP ，
则
2
AP
x
=
米，AQ
x
=
米，
小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，
1.5
BP
x
=
米，
由（1）可知，
200
BE =
米，
(
)
1.5
200
EP
BP
BE
x
=
−
=
−
米，
在Rt
AEP
△
中，
90
AEP
=
，
2
2
2
EP
AE
AP
+
=
，
即(
)
(
)
(
)
2
2
2
1.5
200
200 3
2
x
x
−
+
=
，
解得
1
1200
400 37
7
x
−
+
=
，
2
1200
400 37
7
x
−
−
=
（负值舍去），
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1200
400 37
7
AQ
−
+
=
米，
过点C 作CF
AD
⊥
，垂足为F ，
由（1）可知，
2
200 6
AC
AE
=
=
（米），
在Rt
ACF
△
中，
30
CAF
=
，
cos30
300 2
AF
AC
=
=
（米），
sin30
100 6
FC
AC
=
=
（米），
在Rt
CFD
△
中，
45
CDF
=
，
100 6
DF
CF
=
=
米，
DQ
AF
DF
AQ
=
+
−
1200
400 37
300 2
100 6
7
−
+
=
+
−
1200
400 37
300 2
100 6
7
−
=
+
+
493
（米）．
【点睛】本题以动物园平面图为实际背景，核心是通过作垂线将不规则图形转化为含
30、45、60的直角三角形，结合三角函数、勾股定理求解线段长度，小问2 还融入了
行程与方程思想，充分体现了“化斜为直”的几何转化思路与数形结合、方程建模的解题方
法，是解三角形在实际场景中的典型应用。
3.（25-26 九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛D 在码头A正东方向的80 海里
处．已知当轮船甲从码头A出发以40 海里/ 小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从
小岛D出发以50海里/ 小时的速度向码头A行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，
此时行驶到C 处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物
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质补充．若两艘轮船在上午7 时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船
甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
【答案】(1)1或39
41 小时；
(2)上午8时．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的
关键．
（1）设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与码头A的距离
为40t 海里，轮船乙与码头A的距离为(
)
80
50t
−
海里，根据题意得可
(
)
(
)
2
2
2
80
50
40
50
t
t
−
+
=
，然后解方程即可；
（2 ）设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
50
CD
x
=
海里，
(
)
CD
80
50
AC
AD
x
=
−
=
−
海里，
40
AB
x
=
海里，
(
)
50
9
7
BC
x
=
−
−
海里，根据勾股定理
得得
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，则有(
)
(
)
(
)
2
2
2
40
80 50
50
9
7
x
x
x
+
−
=
−−
，然后解方程并检验即
可．
【详解】（1）解：设轮船出发t 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里，则轮船甲与
码头A的距离为40t 海里，轮船乙与码头A的距离为(
)
80
50t
−
海里，
根据题意得可(
)
(
)
2
2
2
80
50
40
50
t
t
−
+
=
，
解得：1
1
t = ，2
39
41
t =
，
答：两艘轮船出发1或39
41 小时后，两艘轮船之间的直线距离为50海里；
（2）解：设轮船甲出发x 小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则
50
CD
x
=
海里，
(
)
CD
80
50
AC
AD
x
=
−
=
−
海里，
40
AB
x
=
海里，
(
)
50
9
7
BC
x
=
−
−
海里，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
AB
AC
BC
+
=
，
即(
)
(
)
(
)
2
2
2
40
80 50
50
9
7
x
x
x
+
−
=
−−
，
整理，得
2
4
5
9
0
x
x
+
−
=
，
解得，
1
2
9
1,
4
x
x
=
= −
（不符合题意．舍去）．
∴7 1 8
+ = ，
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答：轮船甲在上午8时向轮船乙发出需要补充物质的指令．
4.（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以
0
8m/s
v =
的速度开始向前滚动，并且
均匀减速，4s后停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒少 m/s．
(2)已知小球滚动12m用了t 秒．（温馨提示：
tv 表示小球滚动t 秒时的瞬时速度，平均速度
0
2
t
v
v
v
+
=
，滚动路程=
s
v t ）
①求这段时间内小球的平均速度v （用含t 的整式表示）
②求t 值．
【答案】(1)2
(2)①(
)
8
m/s
t
−
，②
2
t =
【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．
（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一
步求解即可.
（2）①利用
0
2
t
v
v
v
+
=
列代数式即可；
②利用=
s
v t 建立一元二次方程求解即可.
【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时
间，
即
(
)
8
4
2 m/s
=
，
故小球的滚动速度平均每秒减少2m/s．
（2）解：①这段时间内小球的平均速度
(
)
8 8
2
8
m/s
2
t
v
t
+ −
=
=
−
；
②由题意得：(
)
8
12
t
t
−
=
，
整理得：
2
8
12
0
t
t
−
+
=
，
解得：1
2
t =
，2
6
t =
，
∵
4
t
，
∴2
6
t =
不符合题意，
∴
2
t =
.
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5.（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾：
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度
为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第5min到
第10min 汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为
(
)
12
60
36 km / h
2
+
=
，该时间段行驶的路程为
(
)
10
5
36
3 km
60
−
=
如图①，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第min
x
时的速度为km / h
y
，图中的折线表示
她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从10min 到
30min 共行驶______km．
（2）知识应用：
如图②，一条河宽度100m，小明欲从A处游到对岸，水流速度为1m/s ，小明游泳速度
1.5m/s
V =
．（注：
x
V 表示小明在水平方向上的速度，
y
V 表示小明在垂直方向上的速度，
V 表示小明斜向游泳的速度，且
2
2
2
x
y
V
V
V
+
=
），小明为了游到正对岸B 的位置，心里想：
我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与
河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为______ ，最终到达点B ，所用的时间是______．
（3）实际情况下，如图③小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减0.01m，
为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸BC 垂直的方向游泳．
①小明的游泳轨迹可能是______（选择1l ，2l ，3l ，4l 其中一个）
②小明可以游到B 的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的
位置C 与B 的距离．
【答案】（1）17 ；（2）
5 m / s
2
，40 5s ；（3）①
2l ；②不可以，100m
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法以及勾股定理的应用，正确理解物理量与数
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学之间的关系是本题解题的关键．
（1）计算10
30min
内每段的平均速度，根据路程= 平均速度时间，进行计算即可；
（2）根据
x
V
V
=
水，用勾股定理求出
y
V ，根据时间=路程速度求解时间即可；
（3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往
右，据此判断；
②因为小明的速度方向一直垂直BC ，而水流速度平行BC ，所以他们的和速度一定不垂直
BC ，所以他到不了B 的位置，先计算小明游到对岸所用的时间，然后乘水流速度，就是
BC 的距离；
【详解】（1）10min
20min
中，速度
(
)
60 km/h
y =
，
她行驶的距离为：
(
)
1
60
10 km
6
=
，
20min
30min
中，平均速度为：
(
)
60
24
42 km/h
2
+
=
，
她行驶的距离为：
(
)
1
42
7 km
6
=
，
她行驶的总距离为：
(
)
10
7
17 km
+
=
；
故答案为：17；
（2）
x
V
V
=
水，
(
)
2
2
5 m/s
2
y
x
V
V
V
=
−
=
，
到达B 所用的时间为：
( )
5
100
40 5 s
2
=
，
故答案为：
5 m/s
2
，40 5s ；
（3）①因为水速恒定，所以水平速度恒定，而竖直速度逐渐减少，说明轨迹越来越往
右，
小明的游泳轨迹可能是2l ，
故答案为：2l ；
②不可以，
设小明到达对岸所用时间为t ，则小明到达对岸时的速度为
1.5
0.01
y
t
=
−
，
小明的平均速度为：1.5 1.5 0.01
1.5 0.005
2
t
t
+
−
=
−
，
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小明有用的竖直距离为：(
)
1.5
0.005
100
t t
−
=
，
解得：
200
t =
或100，
1.5 0.01
0
t
−
，
100
t
=
，
(
)
1 100
100 m
BC
=
=
．
题型八：握手循环赛问题
方法技巧
特征：每两队/两人之间比赛一次（单循环）或两次（双循环）。
方法：设有𝑛个队，单循环场数为
𝑛(𝑛−1)
2
，双循环场数为𝑛(𝑛−1)。列方程求解，𝑛为
正整数，舍去负数或非整数解。
关键：分清“单循环”还是“双循环”。
1.（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题
某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，求参加此次
比赛的球队数．
【答案】参加此次比赛的球队数是9 队
【分析】设参加此次比赛的球队数为x 队，根据球赛问题模型列出一元二次方程即可求
解．
【详解】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得
(
)
1
1
36
2 x x −
=
，
化简，得
2
72
0
x
x
−
−
= ，
解得
1
9
x =
，
2
8
x = −（舍去），
答：参加此次比赛的球队数是9 队．
2.（26-27 九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要
比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9 天，每天安排5 场比赛．比赛组织者
应邀请多少个队参赛．
【答案】10
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【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为9 5
45
=
场，再设邀请x 个 队参赛，根据题意
总共的比赛场数为(
)
1
2
x x −
，列一元二次方程进行求解即可，
【详解】解：∵赛程计划安排9 天，每天安排5 场比赛，
总比赛场数为9 5
45
=
场，
设比赛组织者应邀请x 个队参赛，
参赛的每两个队之间都要比赛一场，
比赛总场数为(
)
1
2
x x −
， 由此可得方程：(
)1
45
2
x x −
=
，
解得
1
2
10
9
x
x
=
= −
，
（不符合题意，舍去），
比赛组织者应邀请10 个队参赛．
3.（25-26 九年级上·云南昆明·期末）“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，
本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8 个月，赛制为单循环形式（每两队
之间都赛一场），赛事主办方计划安排120 场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？
【答案】16 个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解
即可．
【详解】解：设共有x 个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一
场，
∴总比赛场次为1 (
1)
2 x x −
，
∵赛事主办方计划安排120 场比赛
∴1 (
1)
120
2 x x −
=
，
∴(
16)(
15)
0
x
x
−
+
=
，
解得
1
16
x =
，
2
15
x = −
；
∵代表队的数量不能为负数，
∴舍去
2
15
x = −
，
答：共有16 个州市代表队参加比赛．
4.（25-26 九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队
之间都赛一场）．
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(1)设有n 个球队参加比赛，比赛的场次数为m ，则m 与n 的关系是 ；（用含n 的代数式表
示m ）
(2)若学校计划安排21场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
【答案】(1)
2
1
1
2
2
m
n
n
=
−
；
(2)学校应安排7 个球队参加比赛．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．
（1）利用比赛的总场数= 参赛球队支数（参赛球队支数1
−）2
，即可得m 与n 的关系；
（2）根据题意可得
21
m =
，解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：根据题意可得
2
(
1)
2
1
1
2
2
m
n
n
n
n
−
=
=
−
，
故答案为：
2
1
1
2
2
m
n
n
=
−
；
（2）解：∵根据题意可得
21
m =
，
∴根据题意列一元二次方程得，
2
1
1
21
2
2
n
n
−
=
，
解得
7
n =
，
6
n
−
=
（舍）．
答：学校应安排7 个球队参加比赛．
5.（25-26 九年级上·江西赣州·期末）2025 年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹
非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比
赛），若小组赛一共进行了156 场比赛，则共有多少个球队参加比赛？
【答案】13 个
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系．
设共有x 个球队参加比赛，则可得方程(
)1
156
x x −
=
，再解方程即可．
【详解】解：设共有x 个球队参加比赛．
(
)1
156
x x −
=
．
整理得：
2
156
0
x
x
−
−
=
．
解得：
1
2
13
12
x
x
=
= −
，
（不合题意，舍去）
答：共有13 个球队参加比赛．
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题型九：动态几何问题
方法技巧
特征：动点在边上运动，求面积何时等于某值。
方法：①用𝑡表示动点移动后的线段长度；
②用面积公式表示面积𝑆(𝑡)；
③令𝑆(𝑡) =给定值，解方程求𝑡。
关键：注意𝑡的范围（动点何时到终点），面积表达式随𝑡变化可能分段。
1.（25-26 九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在ABC
中，
90
B
=
，
5
AB
cm
=
，
7
BC
cm
=
，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1
/
cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC
边向点C 以2
/
cm s 的速度移动．若P，Q 两点同时出发，当点Q 运动到点C 时，P，Q 两
点同时停止运动．
求：
(1)几秒后，PBQ
的面积等于
2
4cm ？
(2) PBQ
的面积能否等于
2
7cm ？说明理由．
【答案】(1)当出发1 秒后，PBQ
的面积等于
2
4cm ；
(2)解：不能，
理由：假设经过t 秒后，PBQ
的面积等于
2
7cm ，即1
7
2 BP
BQ
=
，
∴(
)
1 5
2
7
2
t
t
−
=
，
整理得：
2
5
7
0
t
t
−
+
=
，
由于
(
)
2
2
4
5
4 1 7
3
0
b
ac
−
= −
−
= −
，
则方程没有实数根，
∴PBQ
的面积不能等于
2
7cm ．
【分析】（1）设出发t 秒时，则
cm
AP
t
=
，
(
)
5
cm
BP
AB
AP
t
=
−
=
−
，
2 cm
BQ
t
=
，根据
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2
1
4cm
2
PBQ
S
BP
BQ
=
=
， 解方程即可求解；
（2）令
7
PQB
S
=
，根据三角形的面积公式列出方程，再根据
2
4
0
b
ac
−
得出方程没有实
数根，从而得出PBQ
的面积不能等于
2
7cm ．
【详解】（1）解：设出发
7
0
2
t
t
秒时，则
cm
AP
t
=
，
(
)
5
cm
BP
AB
AP
t
=
−
=
−
，
2 cm
BQ
t
=
．
∴
(
)
1
1 5
2
4
2
2
PBQ
S
BP BQ
t
t
=
=
−
=
即
2
5
4
t
t
−
+
=
解得：
1
t = 或
4
t =
（不符合题意，舍去），
∴当出发1 秒后，PBQ
的面积等于
2
4cm ；
（2）略
2.（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，点P
从A开始沿AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的
速度移动，P ，Q 两点分别从A，B 同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，PBQ
的面积等于
2
8cm ？
②PBQ
的面积能否等于
2
10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿
射线BC 方向运动，直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，
第几秒PBQ
的面积等于
2
6cm ？
【答案】(1)①经过2 秒或4 秒后，PBQ
的面积等于
2
8cm ；②PBQ
的面积不能等于
2
10cm ；
(2)当t 为(
)
3
3
秒或(
)
3
15
+
秒，PBQ
的面积等于
2
6cm ．
【分析】（1）①设运动时间为x 秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可；
②设运动时间为x 秒，PBQ
的面积等于
2
10cm ，根据三角形面积公式构建方程，解方程
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即可判断；
（2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案．
【详解】（1）解：①设运动时间为x 秒，则
cm
AP
x
=
，
2 cm
BQ
x
=
，
又
6cm
AB =
，
∴
(
)
6
cm
BP
x
=
−
，
根据题意，得(
)
1 6
2
8
2
x
x
−
= ，
解得
1
2
x =
，
2
4
x =
．
∴经过2 秒或4 秒后，PBQ
的面积等于
2
8cm ；
②设运动时间为x 秒，PBQ
的面积等于
2
10cm ，
根据题意，得(
)
1 6
2
10
2
x
x
−
=
，
整理得
2
6
10
0
x
x +
=
−
，
∴
(
)
2
Δ
6
4 10
4
0
= −
−
= −
，
∴方程无解，
∴PBQ
的面积不能等于
2
10cm ；
（2）解：设运动的时间为t 秒，
①当0
6
t
时，
6
,
2
PB
t BQ
t
=
−
=
，
由题意，得(
)
1 6
2
6
2
t
t
−
=
，
解得：1
3
3
t =
+
，2
3
3
t =
−
；
②当6
12
t
时，
6,
2
PB
t
BQ
t
= −
=
，
由题意，得
(
)
1
2
6
6
2
t
t
−
=
，
解得：1
3
15
t =
+
，2
3
15
t =
−
（舍去），
综上所述，当t 为(
)
3
3
秒或(
)
3
15
+
秒时，PBQ
的面积等于
2
6cm ．
3.（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，
10
OA =
，
5
OC =
，点D从点C 出发，沿射线CO方向以每秒2 个单位长的速度移动，点E 从点O出
发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E 的运动时间为t 秒．
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(1)如图1，当t 为何值时，
CDE
△
的面积为1；
(2)当CE 是
OEB
的角平分线时，求出此时点E 的坐标；
(3)当t 为何值时，
CDE
△
是等腰三角形？
【答案】(1)1
(2)(
)
10 5 3,0
−
或(
)
10 5 3,0
+
(3)
5 3
3
t =
或10
5 3
+
或10
5 3
−
或5
【分析】（1）用含t 的式子表示三角形底CD与高OE ，代入面积公式列方程，舍去负根即
可求出t 的值；
（2）利用长方形对边平行得到
BCE
OEC
=
，结合角平分线条件推导出
BCE
BEC
=
，得到
10
BE
BC
=
=
，用t 表示AE ，在Rt ABE
中利用勾股定理列出关于t
的方程求解，即可得到点E 坐标；
(3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出CD、CE 、DE 三条边长代数式，分
CD
CE
=
、CD
DE
=
、CE
DE
=
三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即
可得到所有符合条件的t 的值．
【详解】（1）解：如图，由题意得
2
CD
t
=
，OE
t
= ，
2
1
1
2
2
2
CDE
S
CD OE
t t
t
=
=
=
，
当
CDE
△
的面积为1时，
2
1
t = ，解得
1
t = 或
1
t = −（不合题意，舍去），
即当
1
t = 时，
CDE
△
的面积为1；
（2）解：如图，
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∵四边形OABC是长方形，
∴
5
AB
OC
=
= ，
10
BC
OA
=
=
，
90
OAB
=
，
//
OA BC ，
∴
BCE
OEC
=
，
∵CE 平分
OEB
，
∴
BEC
OEC
=
，
∴
BCE
BEC
=
，
∴
10
BE
BC
=
=
，
∵OE
t
= ，
10
OA =
，
∴
10
AE
OA OE
t
=
−
=
−，
在Rt ABE
中，
2
2
2
AE
AB
BE
+
=
，
∴(
)
2
2
2
10
5
10
t
−
+
=
，
解得
10
5 3
t =
−
或
10
5 3
t =
+
，
即
10
5 3
OE =
−
或10
5 3
+
，
∴此时点E 的坐标为(
)
10 5 3,0
−
或(
)
10 5 3,0
+
；
（3）解：由题意得
(
)
0,5
C
，
(
)
0,5
2
D
t
−
，
(
)
,0
E t
，
∴
2
CD
t
=
，
(
)
(
)
2
2
2
0
5
0
25
CE
t
t
=
−
+
−
=
+
，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
0
5
2
0
5
2
DE
t
t
t
t
=
−
+
−
−
=
+
−
，
CDE
△
是等腰三角形，可分三种情况讨论：
①CD
CE
=
，则
2
2
25
t
t
=
+
，
解得
5 3
3
t =
或
5 3
3
t = −
（不合题意，舍去）；
②CD
DE
=
，则
小学
初中
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(
)
2
2
2
5
2
t
t
t
=
+
−
，
解得
10
5 3
t =
+
或
10
5 3
t =
−
；
③CE
DE
=
，则
(
)
2
2
2
25
5
2
t
t
t
+
=
+
−
，
解得
5
t =
或
0
t =
（不合题意，舍去）；
综上，
5 3
3
t =
或10
5 3
+
或10
5 3
−
或5．
4.（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图1，在ABC
中，
90
C
=
，CA
CB
=
，
16cm
AB =
．在矩形DEFG 中，
20cm
EF =
，
8cm
DE =
．ABC
在矩形DEFG 的左侧，
AB 与EF 在一条直线上，点B 与点E 重合．现ABC
以1cm/s的速度从左向右匀速运动
（矩形DEFG 保持不动），直到点A运动到与点F 重合时运动停止．如图2，设运动时间为
t （s ），当8
16
t
时，若满足ABC
与矩形DEFG 重叠部分的面积为
2
56cm 时，求运动时
间t 的值．
【答案】
12
t =
【分析】过点C 作CM
AB
⊥
于点M ，标记AC 与DE 交于点H ，由题意求得，
8cm
CM =
，进而可得到
2
1
64cm
2
ABC
S
AB CM
=
=
，分析可得
cm
BE
t
=
，
(
)
16
cm
AE
EH
t
=
=
−
，从而求得
(
)
2
1
1
16
2
2
AEH
S
AE
EH
t
=
=
−
，根据ABC
与矩形
DEFG 重叠部分的面积为
2
56cm ，得到
(
)
2
1
64
16
56
2
t
−
−
=
，求解即可．
【详解】解：如图，过点C 作CM
AB
⊥
于点M ，标记AC 与DE 交于点H ，
在ABC
中，
∵
90
C
=
，CA
CB
=
，
16cm
AB =
，
∴点C 到AB 的距离
1
1 16
8cm
2
2
CM
AB
=
=
=
，即ABC
的高为8cm ，
∵
8cm
DE =
，
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∴点C 刚好在矩形DEFG 的上边DG 所在直线上，
∴
2
1
1 16 8
64cm
2
2
ABC
S
AB CM
=
=
=
，
当8
16
t
时，点A进入矩形左侧，
∴
cm
BE
t
=
，
(
)
16
cm
AE
t
=
−
，
∵ABC
为等腰直角三角形，
∴AEH
为等腰直角三角形，
∴
(
)
16
cm
AE
EH
t
=
=
−
，
∴
(
)
2
1
1
16
2
2
AEH
S
AE
EH
t
=
=
−
，
∵ABC
与矩形DEFG 重叠部分的面积为
2
56cm ，
∴
(
)
2
1
64
16
56
2
t
−
−
=
，
解得1
12
t =
，2
20
t =
，
∵8
16
t
，
∴
12
t =
．
5.（22-23 八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，平行四边形ABCD中
60
A
=
，
6cm
AB =
，
3cm
AD =
，点E 以1cm/s 的速度从点A 出发沿A
B C
−
−
向点C 运动，同时点
F 以1cm/s 的速度从点A 出发沿A
D
C
−
−
向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也
停止运动，设运动的时间为( )
t s ．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)当AEF
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
3 时，求t 的值；
(3)求AEF
面积的最大值．
【答案】(1)
2
9 3cm
(2)t 的值为4 或9
33
2
+
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(3)
2
9 3
2 cm
【分析】（1）过点D作DG
AB
⊥
于点G ，由直角三角形的性质得出平行四边形的高，然后
利用平行四边形公式求解；
（2）首先求出AEF
的面积为
2
3 3cm ，分点E 在线段AB 上，点F 在线段AD上，点E 在
线段AB 上，点F 在线段CD上和点E 在线段BC 上，点F 在线段CD上，三种情况计算即
可；
（3）根据题意分三种情况讨论，结合（2）表示出AEF
的面积，然后分别求出最大值比
较即可．
【详解】（1）解：如图，过点D 作DG
AB
⊥
于点G ，
∵
60
A
=
，
∴
90
30
ADG
A
−
=
=
，
∴
1
3
2
2
AG
AD
cm
=
=
，
∴
(
)
2
2
3 3
2
DG
AD
AG
cm
−
=
=
，
∴平行四边形ABCD的面积为：
(
)
2
3 3
6
9 3
2
AB DG
cm
=
=
；
（2）解：由（1）知，平行四边形ABCD的面积为
2
9 3cm ，
当AEF
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
3 时，
∴AEF
的面积为
2
1
9 3
3 3
3
cm
=
，
当点E 在线段AB 上运动t 秒时，点F 在AD上运动t 秒时，0
3
t
，
AE
tcm
=
，AF
tcm
=
，过点F 作FH
AB
⊥
于点H，
同（1）可得，
(
)
3
3
2
2
FH
AF
t cm
=
=
，
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∴1
3
3 3
2
2
t
t
=
，
∴
2 3
t
−
=
（舍）或
2 3
3
t =
，不符合题意；
当点E 在线段AB 上时，点F 在CD上，3
6
t
，如图，
∴1
3 3
2 AE DG
=
，即1
3 3
3 3
2
2
t
=
，
∴
4
t =
；
当点E 在线段BC 上，点F 在线段CD上，6
9
t
，
如图，过点E 作IJ
AB
⊥
交AB 的延长线于点I，交CD于点J，
根据题意得，AB
BE
t
+
= ，AD
DF
t
+
= ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
60
DAB
=
，
∴AD
BC
，
6cm
CD
AB
=
=
，
3cm
AD
BC
=
=
，
∴
I
60
CB
DAB
=
=
，
3
DF
t−
=
，
6
BE
t−
=
，
∴
I
90
60
30
CEJ
BE
−
=
=
=
，
(
)
3
6
9
EC
BC
BE
t
t
−
−
−
=
=
−
=
，
(
)
6
3
9
FC
DC
DF
t
t
−
−
−
=
=
−
=
，
∴
1
1
I
3
2
2
B
BE
t−
=
=
，
1
9
1
2
2
2
JC
EC
t
=
=
−
，
∴
2
2
3
I
3 3
2
E
BE
BI
t
−
−
=
=
，
2
2
9 3
3
2
2
JE
CE
JC
t
−
=
=
−
，
∵
ABCD
ABE
CEF
ADF
AEF
S
S
S
S
S
−
−
−
=
∴
(
)
(
)
1
3
1
9 3
3
1
3 3
9 3
6
3 3
9
3
3 3
2
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
−
−
−
−
−
−
−
=
整理得，
2
9
12
0
t
t
−
+
=
54 / 54
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解得1
9
33
2
t
+
=
，2
9
33
2
t
−
=
（舍去）
综上所述，t 的值为4 或9
33
2
+
；
（3）解：设AEF
的面积为S，
当点E 在线段AB 上运动t 秒时，点F 在AD上运动t 秒时，0
3
t
，
由（2）得，
2
1
3
3
2
2
4
S
t
t
t
=
=
∴当
3
t =
时，S 取得最大值为
2
2
3
9 3
3
4
4 cm
=
；
当点E 在线段AB 上时，点F 在CD上，3
6
t
，
由（2）得，
1
3 3
3 3
2
2
4
S
t
t
=
=
∵3 3
0
4
∴S 随t 的增大而增大
∴当
6
t =
时，S 取得最大值为
2
3 3
9 3
6
4
2 cm
=
；
当点E 在线段BC 上，点F 在线段CD上，6
9
t
，
由（2）得，
(
)
(
)
2
1
3
1
9 3
3
1
3 3
3
9
81 3
9 3
6
3 3
9
3
2
2
2
2
2
2
2
4
2
16
S
t
t
t
t
t
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
+
∵6
9
t
∴3
9
9
2
2
2
t−
∴
2
9
9
81
4
2
4
t−
∴
2
81 3
3
9
9 3
16
4
2
16
t
−
−
−
−
∴
2
3
9
81 3
9 3
0
4
2
16
2
t
−
−
+
，即
9 3
0
2
S
，
综上所述，AEF
面积的最大值为
2
9 3
2 cm ．
