文档内容
清单 02 二次函数（14 个考点梳理+题型解读+核心素养提升
+中考聚焦）
【知识导图】
【知识清单】
考点一．二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其
中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c
是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后
再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变
量的取值范围还需使实际问题有意义．
【例1】．（2022秋•金华期末）下列函数中，是二次函数的有（ ）
① ；
② ；
③y＝3x（1﹣3x）；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把各关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【解答】解：①y＝1﹣ x2＝﹣ x2+1，是二次函数；
②y＝ ，分母中含有自变量，不是二次函数；③y＝3x（1﹣3x）＝﹣9x2+3x，是二次函数；
④y＝（1﹣2x）（1+2x）＝﹣4x2+1，是二次函数．
二次函数共三个．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟知一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，
叫做二次函数是解题的关键．
【变式】．（2022秋•定远县期末）已知 是二次函数，则m的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由 是二次函数，得
，
解得m＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的定义，形如y＝ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．
考点二．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取
三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛
物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画
另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| |个单位，再向上或向下平移| |个单位得到的．
【例2】．（2022秋•石城县期末）某同学将如图所示的三条水平直线 m ，m ，m 的其中一条记为x轴
1 2 3
（向右为正方向），三条竖直直线m ，m ，m 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平
4 5 6
面内画出了二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A．m ，m B．m ，m C．m ，m D．m ，m
1 4 2 5 3 6 2 4
【分析】由已知求得顶点坐标为（1，1﹣a），再结合a＜0，即可确定坐标轴的位置．
【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a，
∴顶点坐标为（1，1﹣a），
∵a＜0，
∴抛物线与m 的交点为顶点，
5
∴m 为y轴，
4
∵1﹣a＞1，
∴m 为x轴，
2
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，平面直角坐标系中坐标轴
与点的位置关系是解题的关键．
【变式】．（2022秋•襄都区校级期末）在同一平面直角坐标系中，函数 y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是
常数，且a≠0）的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口
向上，对称轴x＝﹣ ＜0，故选项错误；
B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴
x＝﹣ ＜0，故选项正确；
C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选
项错误；
D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选
项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数的图象和性质，熟知函数与系数的关系，一次函数、二次函数
的性质是解题的关键．
考点三．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣ ， ），对称轴直线x＝﹣ ，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣ 时，y随x的增大而减小；x＞﹣ 时，
y随x的增大而增大；x＝﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣ 时，y随x的增大而增大；x＞﹣ 时，y随x的增大而减小；x＝﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣ |个单位，再向上或
向下平移| |个单位得到的．
【例3】．（2022秋•张店区期末）下列关于抛物线y＝x2﹣6x+7的说法，正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣3
C．顶点坐标是（﹣3，1）
D．x＜3时，y随x的增大而减小
【分析】由题意已知抛物线解析式为顶点式，进而根据顶点式的特点判断顶点坐标，对称轴，开口方向
及增减性分别进行判断即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2，a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标是（3，﹣2），当x＜3时，y随x的增大而减小．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
【变式】．（2022秋•钟山区期末）二次函数y＝2（x﹣3）2+5的图象的顶点坐标为（ ）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣3，﹣5）
【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+5知，该函数的顶点坐标是：（3，5）．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的三种形式．解答该题时，需熟悉二次函数的顶点式方
程y＝a（x﹣h）2+k中的h、k所表示的意义．
考点四．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．
（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
④抛物线与x轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣
4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【例4】．（2022秋•滕州市期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图
所示，给出以下结论：①abc≥0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正确
的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，
【解答】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为﹣ ，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为﹣ ，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，故③错误；④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；
⑤由图象可知：当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故⑤正确，
综上所述，正确的结论是：④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解
题的关键．
【变式】．（2022秋•丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若 +bx ＝ +bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵ +bx ＝ +bx ，
1 2
∴ +bx ﹣ ﹣bx ＝0，
1 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
而x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，即x +x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∵b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，
1 2
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 2a与b的关系，以及二次函数
与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
考点五．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣ ， ）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣ 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x ，0），（x ，0），则其对称轴为x＝
1 2
．
【例5】．（2023秋•瑞安市期末）若A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）为二次函数y＝x2+2x+c图
1 2 3
象上的三点，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ≤y ＜y
2 1 3 1 2 3 3 1 2 1 3 2
【分析】根据解析式求得抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性可得到 y ，
1
y ，y 的大小关系．
2 3
【解答】解：∵y＝x2+2x+c＝（x+1）2+c﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∵A（﹣4，y ），B（﹣3，y ），C（3，y ）为二次函数y＝x2+2x+c图象上的三点，
1 2 3
∴C（3，y ）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣5，y ）在二次函数y＝x2+2x+c图象上，
3 3
∵﹣5＜﹣4＜﹣3＜﹣1，
∴y ＞y ＞y ，
3 1 2
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解
答．
【变式】．（2022秋•鄂伦春自治旗期末）点P （﹣2，y ），P （2，y ），P （4，y ）均在二次函数y＝
1 1 2 2 3 3
﹣x2+2x+c的图象上，则y ，y ，y 的大小关系是
1 2 3
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为 x＝1，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的
水平距离越近，函数值越大，可判断y ，y ，y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c，﹣1＜0，
∴对称轴为x＝1，开口向下，
∵1﹣（﹣2）＝3，2﹣1＝1，4﹣1＝3，
∴y ＞y ＝y ．
2 1 3
故答案为：y ＞y ＝y ．
2 1 3
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减
性，解题的关键是利用对称性求解．
考点六．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求
出解析式．
【例6】．（2022秋•大田县期末）若抛物线y＝x2平移后的顶点坐标为（2，1），则在平移后的抛物线上
的点是（ ）
A．（3，2） B．（2，3） C．（0，﹣1） D．（﹣1，0）
【分析】根据抛物线平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+1，然后再逐项判断即可
求解．
【解答】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），且平移后的顶点坐标为（2，1），
∴平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，
A、当x＝3时，y＝（3﹣2）2+1＝2，
∴点（3，2）在平移后的抛物线上，符合题意；
B、当x＝2时，y＝（2﹣2）2+1＝1，
∴点（2，3）不在平移后的抛物线上，不符合题意；
C、当x＝0时，y＝（0﹣2）2+1＝5，
∴点（0，﹣1）不在平移后的抛物线上，不符合题意；
D、当x＝﹣1时，y＝（﹣1﹣2）2+1＝10，
∴点（﹣1，0）不在平移后的抛物线上，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据二次函数平移的性质得到平移后的抛物线的解
析式是解题的关键．
【变式】．（2022秋•大余县期末）抛物线y＝x2+4x+3是由某个抛物线向左平移1个单位长度，再向下平
移2个单位长度得到的，则原抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣1
C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2+1
【分析】把抛物线y＝x2+4x+3向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线的解析式．
【解答】解：y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，将其向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线
的解析式为：y＝（x+2﹣1）2﹣1+2，即y＝（x+1）2+1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律
求函数解析式．
考点七．二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝ 时，y＝ ．
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝ 时，y＝ ．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从
而获得最值．
【例7】．（2022秋•姜堰区期末）若x+y＝2，则xy+1的最大值为 ．
【分析】根据题意可得x＝2﹣y，代入可得xy+1＝﹣（y﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：∵x+y＝2，
∴x＝2﹣y，
∴xy+1＝（2﹣y）y+1＝﹣y2+2y+1＝﹣（y﹣1）2+2，
∴当y＝1时，xy+1的最大值为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键．
【变式1】．（2022秋•路南区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是抛物线y＝x2+3上任意一点，
则OA长的最小值为 ．
【分析】根据二次函数的性质求解即可．
【解答】解：∵y＝x2+3，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，3），
∴OA长的最小值为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次函数y＝ax2+k（a，h，k为常数，a≠0）的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2+k
的性质是解答本题的关键．y＝ax2+k是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是
（0，k），对称轴是y轴．
【变式2】．（2022秋•河西区校级期末）如图，四边形ABCD是正方形，AB＝6，四边形EFGH也是正方
形．点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上．点E在AB边上移动时，正方形EFGH面积也
随之改变，当AE的长度为多少时，正方形EFGH的面积最小？并求出最小面积．【分析】设AE＝x，则BE＝6﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的
长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【解答】解：设AE＝x，则BE＝6﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，
，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝6﹣x
∴EF2＝BE2+BF2＝（6﹣x）2+x2，
∴正方形EFGH的面积S＝EF2＝（6﹣x）2+x2＝2（x﹣3）2+18，
即：当AE＝3（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为18．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，
难度中等．
【变式3】．（2023•墨玉县一模）如图，在△ABC中，AC＝24cm，BC＝7cm，点P在BC上，从点B向点
C运动（不包括点C），速度为2cm/s；点Q在AC上，从点C向点A运动（不包括点A），速度为5cm/s．若点P，Q分别从点B，C同时运动，且运动时间记为ts，请解答下面的问题，并写出探索的主
要过程．
（1）当t为何值时，P，Q两点的距离为 ？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【分析】（1）根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，便可求出经过1s后，P、Q两点的距离为5 cm；
（2）根据三角形的面积公式S△PCQ ＝ ×PC×CQ便可求出经过2或1.5s后，S△PCQ 的面积为15cm2；
（3）根据三角形的面积公式S△PCQ ＝ ×PC×CQ以及二次函数最值便可表示出△PCQ的面积，进而求
出四边形BPQA的面积最小值．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC＝24cm，BC＝7cm，
∴AB＝25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2＝PQ2，
代入数据（7﹣2t）2+（5t）2＝（5 ）2；
解得t＝1或t＝﹣ （不合题意舍去）；
（2）设经过ts后，S△PCQ 的面积为15cm2，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
S△PCQ ＝ ×（7﹣2t）×5t＝15，
解得t ＝2，t ＝1.5，
1 2经过2或1.5s后，S△PCQ 的面积为15cm2；
（3）设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC＝7﹣2t cm，CQ＝5t cm，
四边形BPQA的面积为：S△ABC ﹣S△PCQ ＝ ×7×24﹣ ×PC×CQ
＝84﹣ ×（7﹣2t）×5t
＝84﹣ ×（﹣2t2+7t）
＝84+5（t2﹣ t）
＝5（t﹣ ）2+ ，
∴四边形BPQA的面积最小值为： （cm2），
当点P运动 秒时，四边形BPQA的面积最小为 cm2．
【点评】本题主要考查了勾股定理和三角形面积公式的求法以及二次函数的应用，是各地中考的热点，
属于中档题．
考点八．待定系数法求二次函数解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，
a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0）；
1 2
（2）用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入
数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当
已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x轴有两个交点时，可选
择设其解析式为交点式来求解．
【例8】．（2022秋•石城县期末）计算：
（1）解方程：x2+2x﹣24＝0；
（2）已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，求该抛物线的解析式．
【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解，然后解方程即可；
（2）把A（﹣1，0）、B（3，0）代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可得到答
案．【解答】解：（1）∵（x+6）（x﹣4）＝0，
∴x ＝﹣6，x ＝4；
1 2
（2）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝x2+bx+c，
得 ，
解得 ，
∴y＝x2﹣2x﹣3．
【点评】本题主要考查了利用“十字相乘法”解一元二次方程，待定系数法求二次函数的解析式，熟练
掌握运算方法是解题的关键．
【变式】．（2022秋•梁平区期末）定义感知：若抛物线的顶点为P，与y轴的交点为Q，则称直线PQ是
该抛物线的“随形线”．
（1）初步运用：判断下列判断是否正确？正确的在题后括号内写“正确”，错误写“错误”；
①对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”（ ）；
②抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是直线y＝3x+2（ ）；
（2）拓展延伸：若直线y＝﹣3x+3是某抛物线的“随形线”，该“随形线”与y轴交于点Q，且抛物线
顶点P与点Q相距 个单位长度．试求该抛物线的解析式．
【分析】（1）①根据过两点有且只有一条直线即可判断；②把抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”求出
即可判断．
（2）当x＝0时，y＝3，即点Q（0，3），设顶点P（m，﹣3m+3），利用 结合勾股定理可求
得点P的坐标，分两种情况：①当P（2，﹣3）时，②当P（﹣2，9）时，设抛物线的解析式为顶点
式，利用待定系数法即可求解．
【解答】解：（1）①过两点有且只有一条直线，故对称轴不是y轴的抛物线有且只有一条“随形线”
正确，
②y＝x2﹣4x+2整理得：y＝（x﹣2）2﹣2，则抛物线的顶点为：（2，﹣2），
当x＝0时，y＝x2﹣4x+2＝2，则抛物线与y轴的交点为：（0，2），
设抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是y＝kx+b，将点（2，﹣2）和（0，2）代入得：
，
解得： ，∴抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是直线y＝﹣2x+2，故抛物线y＝x2﹣4x+2的“随形线”是直线y＝
3x+2错误，
故答案为：正确；错误；
（2）当x＝0时，y＝3，即点Q（0，3），
设顶点P（m，﹣3m+3），
由 ，得 ，
解得：m ＝2，m ＝﹣2，
1 2
当m ＝2时，即点P（2，﹣3），
1
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣3，
将点Q（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得：4a﹣3＝3，
解得： ，
∴ ，
当m ＝﹣2时，即点P（﹣2，9），
2
设抛物线的解析式为：y＝a（x+2）2+9，
将点Q（0，3）代入y＝a（x+2）2+9得：4a+9＝3，
解得： ，
∴ ，
综上所述：抛物线的解析式为： 或 ．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，利用直线的性质，待定系数法求函数解析式，利用分类讨论
思想，把抛物线的解析式设为顶点式是解题的关键．
考点九．二次函数的三种形式
二次函数的解析式有三种常见形式：
①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与
y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是
能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得
1 2
到抛物线与x轴的两个交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2【例9】．（2022秋•东湖区校级期末）把二次函数y＝﹣ x2﹣x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式
时，应为（ ）
A．y＝﹣ （x﹣2）2+2 B．y＝﹣ （x﹣2）2+4
C．y＝﹣ （x+2）2+4 D．y＝﹣（ x﹣ ）2+3
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转
化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣ x2﹣x+3＝﹣ （x2+4x+4）+1+3＝﹣ （x+2）2+4．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
【变式】．（2022秋•梁平区期末）将二次函数y＝2x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝
．
【分析】直接利用配方法整理即可解答．
【解答】解：y＝2x2﹣4x+5
＝2（x2﹣2x）+5
＝2（x2﹣2x+1）+5﹣2
＝2（x﹣1）2+3
故答案为：2（x﹣1）2+3．
【点评】本题主要考查了将二次函数的一般式转为顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．
考点十．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x
的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；
△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；
△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x ）（x﹣x ）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的
1 2
交点坐标（x ，0），（x ，0）．
1 2
【例10】．（2022秋•蒙自市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，图象与x轴的一个
交点为（﹣1，0），关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为（ ）
A．﹣3和1 B．﹣1和﹣3 C．﹣1和3 D．﹣1和1
【分析】由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），可得图象与x
轴的另一个交点坐标为（3，0），再进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0的两个根分别为﹣1和3，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决
本题的关键．
【变式】．（2022秋•肇庆期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴两交点间的距离是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，即可根据坐标求出两点间的距离．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得（x+1）（x﹣3）＝0，
x ＝﹣1，x ＝3．
1 2
与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
则抛物线与x轴两交点间的距离为3﹣（﹣1）＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，令y＝0，将函数转化为关于x的一元二次方程是解题的关键．
考点十一．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；（2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
【例11】．（2022秋•保德县校级期末）下表为二次函数y＝x2﹣x﹣1.1的自变量x与函数值y的部分对应
值，利用图象可以判定x2﹣x﹣1.1＝0的一个近似解x为1.7（精确到0.1），解题过程中运用了（ ）
x 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
y＝x2﹣x ﹣0.71 ﹣0.54 ﹣0.35 ﹣0.14 0.09 0.34 0.61
﹣1.1
A．类比探究法 B．数形结合法
C．分类讨论法 D．整体思想法
【分析】根据表格中的数据，结合图象判断出方程的近似解，可得方法．
【解答】解：通过表格中的数据，结合了图象求解，
故运用了数形结合法．
故选：B．
【点评】此题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．
【变式】．（2022秋•如皋市期末）如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可
以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x 的范围为（ ）
1
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x ＜1.3 B．1.3＜x ＜1.4
1 1
C．1.4＜x ＜1.5 D．1.5＜x ＜1.6
1 1
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．”由此即可得出
结论．
【解答】解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x 的范围为1.4＜x ＜1.5．
1 1
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方
法是解题的关键．
考点十二．根据实际问题列二次函数关系式
根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是
实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定．
①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，
再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；
有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．
【例12】．（2022秋•龙沙区期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库
存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x
（元）的函数关系为（ ）
A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x）
C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）
【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为（300+20x），根据售
价乘以销量得出销售额，据此即可求解．
【解答】解：依题意，每星期的销售额 W（元）与降价 x（元）的函数关系为 W＝（60﹣x）
（300+20x），
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
【变式】．（2022秋•长春期末）用总长为20米的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃，若花圃垂直
于墙的一边长为x米，花圃的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式．
【分析】求出花圃平行于墙的一边长为（20﹣2x）米，再根据矩形的面积公式可求出花圃的面积，最后
求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵花圃垂直于墙的一边长为x米，围栏总长为20米，且一面靠墙，
∴花圃平行于墙的一边长为（20﹣2x）米，
∴花圃的面积为（20﹣2x）x．
∵20﹣2x＞0，
∴x＜10，
∴y＝（20﹣2x）x＝﹣2x2+20x（0＜x＜10）．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．求出花圃平行于墙的一边长是解题关键．
考点十三．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次
函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数
的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到
平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
【例13】．（2022秋•玉林期末）如图，一位跳水运动员在进行某次10m跳台跳水训练时，测得身体（看
成一点）在空中的运动路线是抛物线 （图中标出的数据为已知条件）．
（1）运动员在空中运动的最大高度离水面为多少m？
（2）如果运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出
现失误．在一次试跳中，运动员在空中调整好入水姿势时，测得距池边的水平距离为 ，问此次跳
水会不会失误？并通过计算说明理由．
【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式求得顶点坐标为 ，进而可求得最大距离；也可根
据顶点坐标公式 求得顶点的纵坐标即可求解；
（2）求得距池边的水平距离为 时对应的y值，进而求得距离水面的高度即可得出结论．
【解答】解：（1）解法一：∵抛物线 的顶点坐标为 ，
∴ ，
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为 ；解法二：∵ ，
∴ ，
∴运动员在空中运动的最大高度离水面为 ．
（2）当运动员距池边的水平距离为 时，即 时，
∴ ，
此时，运动员距水面的高为： ，
因此，此次试跳不会出现失误．
【点评】本题考查二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
【变式】．（2022秋•芝罘区期末）某文具店以8元/支的进价购进一批签字笔进行销售，经市场调查后发
现，日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系图象如图所示，其中8≤x≤16．
（1）求出日销量y（支）与零售价x（元）之间的关系；
（2）当零售价定为多少时，该文具店每天销售这种签字笔获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设每天利润为w元，根据利润＝（零售价﹣进价）×数量列出w关于x的二次函数关系，利用二次
函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的关系式为y＝kx+b，
把（8，60）和（16，20）代入y＝kx+b得 ，
∴ ，
∴y＝﹣5x+100；（2）设每天利润为w元，
由题意得w＝（x﹣8）（﹣5x+100）＝﹣5x2+40x+100x﹣800＝﹣5（x﹣14）2+180，
∵﹣5＜0，8≤x≤16，
∴当x＝14时，w的最大值为180，
∴当零售价定为14元时，每天销售利润最大，最大利润是180元．
【点评】本题主要考查了求一次函数解析式，二次函数的实际应用，正确计算是解题的关键．
考点十四．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符
号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数
问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些
隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下
的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意
义．
【例14】．（2022秋•大余县期末）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）和点B，交y轴
于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图2，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，当△ADC面积有最大值
时，求D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，在抛物线对称轴上找一点M，使DM+AM的值最小，求出此时M的坐标．
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）求出直线AC的解析式为y＝x+4，设D（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），可得DQ＝（﹣t2﹣3t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，故S△ADC ＝ DQ•|x
A
﹣x
C
|＝ ×（﹣t2﹣4t）×4＝﹣2t2﹣8t＝﹣2（t+2）
2+8，根据二次函数性质可得答案；
（3）连接BD交对称轴于M，可知AM＝BM，故DM+AM＝DM+BM，当D，M，B共线时，DM+AM最
小，求出抛物线对称轴为直线x＝﹣ ，B（1，0），直线BD函数表达式为y＝﹣2x+2，在y＝﹣2x+2
中，令x＝﹣ 即可得M的坐标为（﹣ ，5）．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中得：
，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）如图：
由A（﹣4，0）、C（0，4）得直线AC的解析式为y＝x+4，
设D（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），
∴DQ＝（﹣t2﹣3t+4）﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，
∴S△ADC ＝ DQ•|x
A
﹣x
C
|＝ ×（﹣t2﹣4t）×4＝﹣2t2﹣8t＝﹣2（t+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，S△ADC 取最大值8，
∴﹣t2﹣3t+4＝﹣4+6+4＝6，
∴D的坐标为（﹣2，6）；
（3）连接BD交对称轴于M，如图：∵M在抛物线对称轴上，
∴AM＝BM，
∴DM+AM＝DM+BM，
∴当D，M，B共线时，DM+AM最小，
由y＝﹣x2﹣3x+4＝﹣（x+ ）2+ 知抛物线对称轴为直线x＝﹣ ，
在y＝﹣x2﹣3x+4中，令y＝0得0＝﹣x2﹣3x+4，
解得x＝1或x＝﹣4，
∴B（1，0），
由D（﹣2，6），B（1，0）得直线BD函数表达式为y＝﹣2x+2，
在y＝﹣2x+2中，令x＝﹣ 得y＝﹣2×（﹣ ）+2＝5，
∴M的坐标为（﹣ ，5）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，轴对称变换等知识，解题的关
键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
【变式】．（2022秋•开州区期末）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B
（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作
PM∥y轴交BC于点M，过点Q作QN∥y轴交BC于点N，求PM+QN的最大值及此时点Q的坐标；
（3）如图3，将抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y′，在y′的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四
边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答；
（2）设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4），进而得到M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2）；再表
示出PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答；
（3）分以BC为矩形一边和对角线两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质、平移和矩形的判定定
理解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C点的坐标为（0，﹣3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B、C点的坐标代入得：
，
解得： ，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
点P、Q为直线BC下方抛物线上的两点，设P（a，a2﹣2a﹣3），则Q（a+1，a2﹣4）．
∴M（a，a﹣3），N（a+1，a﹣2），
∴PM＝﹣a2+3a，QN＝﹣a2+a+2，
∴PM+QN＝﹣2a2+4a+2＝﹣2（a﹣1）2+4，
当a＝1时，（PM+QN） ＝4，
max
∴Q（2，﹣3）；
（3）由题意可得：y′＝（x﹣1）2﹣2（x﹣1）﹣3﹣1＝x2﹣4x﹣1＝（x﹣2）2﹣5，
∴y′的对称轴为x＝2
∵抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与y轴交于点C．
∴C（0，﹣3），
∵B（3，0），∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°；
如图3.1：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作DF⊥y轴，
∵D在y′的对称轴为x＝2，
∴FD＝2，
∴CF＝FD＝2，OF＝3+2＝5，即点D（2，﹣5），
∴点C向右平移2个单位、向下平移3个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移3个单
位可得到E（5，﹣3）；
如图3.2：当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y′的对称轴为x＝2与x轴交于F，
∵D在y′的对称轴为x＝2，
∴FO＝2，
∴BF＝3﹣2＝1，
∵∠CBO＝45°，即∠DBO＝45°，
∴BF＝FD＝3﹣2＝1，即点D（2，1），
∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单
位可得到点E（﹣1，﹣2）；
如图3.3：当BC为矩形对角线时，设D（2，d），E（m，n），∴BC的中点F的坐标为 ，依题意得：
，
解得： ，
又∵DE＝BC，
∴（2﹣1）2+（d﹣n）2＝32+32，
解得： ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 或 ．
综上，存在E（﹣1，﹣2）或（5，﹣2）或 或 使以点B、C、D、E为
顶点的四边形是矩形．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综
合等知识点，掌握二次函数的性质和矩形的判定定理是解答本题的关键．
【核心素养提升】
1直观想象——利用数形结合思想解决问题1．（2023上·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线
上的一个动点．过点P作 轴，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则 的最小值是________；
(3)求 的最大值；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先求出点C的坐标为 ，根据 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，得
出 ，根据 ，两点之间线段最短，当点A、M、C在同一直线上时，
最小，即 最小，求出最小值即可；
（3）求出直线 的解析式为 ，设 ，其中 ，则 ，求
出 ，得出当 时， 取得最大值 ．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
将点A， 的坐标代入 ，得
，
解得： ，
∴ ．
（2）解：把 代入 得： ，
∴点C的坐标为 ，
∵ 、B关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线的对称轴上，
∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴当点A、M、C在同一直线上时， 最小，即 最小，
∴ 的最小值为 的长，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
（3）解：设直线 的解析式为 ，将点A， 的坐标代入，得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，其中 ，
则 ，
∴ ，
∴当 时， 取得最大值 ，
即 的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，
解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
2分类讨论思想
2.（2023•舟山三模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B
（0，3）．点P在此抛物线上，其横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，则d的取值范围是 ．
（3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求
m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（1，0），点B（0，3），
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2，当x＝2时，函数有最小值﹣1．令y＝8，则x2﹣4x+3＝8，
解得：x＝﹣1或x＝5．
∵当﹣1≤x≤d时，﹣1≤y≤8，当x＝2时，函数有最小值﹣1，
∴当﹣1≤x≤d时，函数要取得最小值，
∴2≤d≤5．
故答案为：2≤d≤5；
（3）∵P在此抛物线上，其横坐标为m，
∴P（m，m2﹣4m+3）．
①当点P在对称轴的右侧时，m＞2，抛物线的顶点最低，即最小值为﹣1，此时图象G的最大值为m2
﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3﹣（﹣1）＝5，
∴m2﹣4m﹣1＝0．
解得：m＝2+ 或m＝2﹣ （不合题意，舍去），
∴m＝2+ ；
②点P在抛物线的顶点与点之间时，此时最小值为﹣1，最大值为0，
∴图象G的最大值和最小值差不可能为5，此种情形不存在；
③点P在点A的左侧，m＜1，点A处最低，即最小值为0，此时图象G的最大值为m2﹣4m+3，
∵图象G的最大值和最小值差是5，
∴m2﹣4m+3＝5，
解得：m＝2+ （不合题意，舍去）或m＝2﹣ ．
∴m＝2﹣ ．
综上，当图象G的最大值和最小值差是5时，m的值为2+ 或2﹣ ．
3．（2022秋•诸暨市期末）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3）．
（1）求b，c的值；
（2）当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差；
（3）当k﹣4≤x≤k时，若y的最大值与最小值之差为8，求k的值．
【分析】（1）（0，3）是与y轴的交点，可得c＝3，再将（6，3）代入求值，可求得b的值；
（2）根据二次函数的解析式y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6；当0≤x≤4时，仅当x＝0时，y取得最大值；仅当x＝3时，y取得最小值；再计算y的最大值与最小值之差；
（3）分类讨论：①k﹣4≤x≤k≤3，k≤3；②当k﹣4≤3且k≥3时，即 3≤k≤7；③当3≤k﹣
4≤x≤k时，即k≥7；根据函数特点，计算求出符合题意k的值．
【解答】解：（1）∵函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，3），（6，3），
∴c＝3，y＝x2+bx+3，
将点（6，3）代入可得：3＝62+6b+3，解得：b＝﹣6，
∴b＝﹣6，c＝3；
（2）y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
当0≤x≤4时，
①仅当x＝3时，y取得最小值，此时y＝（3﹣3）2﹣6＝﹣6；
②仅当x＝0时，y取得最大值，此时y＝（0﹣3）2﹣6＝3；
3﹣（﹣6）＝9，
∴当0≤x≤4时，求y的最大值与最小值之差为9；
（3）当k﹣4≤x≤k时，y＝x2﹣6x+3＝（x﹣3）2﹣6，
①当k﹣4≤x≤k≤3时，即k≤3，
仅当x＝k，y取得最小值，此时y＝k2﹣6k+3；仅当x＝k﹣4，y取得最大值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k
﹣4）+3；
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（k2﹣6k+3）＝8，解得：k＝4，
∵k≤3，
∴k＝4不符合题意；
②当k﹣4≤3且k≥3时，即3≤k≤7，此时最小值为y＝﹣6，
当x＝k﹣4取得最大值，即3﹣（k﹣4）≥k﹣3时，k≤5，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3，
（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3﹣（﹣6）＝8，
解得：k＝7±2 ，
∵3≤k≤5，7+2 ＞7，
∴k＝7+2 不符合题意；
∴k＝7﹣2 ；
当x＝k取得最大值，即3﹣（k﹣4）≤k﹣3时，k≥5，此时y＝k2﹣6k+3，k2﹣6k+3﹣（﹣6）＝8，解得：k＝3±2 ，
∵5≤k≤7，5＜3+2 ＜7，3﹣2 ＜5，
∴k＝3+2 符合题意，k＝3﹣2 不符合题意，
∴k＝3+2 ；
③当3≤k﹣4≤x≤k时，即k≥7，
仅当x＝k﹣4，y取得最小值，此时y＝（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3；仅当x＝k，y取得最大值，此时y＝k2
﹣6k+3；
k2﹣6k+3﹣[（k﹣4）2﹣6（k﹣4）+3]＝8，解得：k＝6，
∵k≥7，
∴k＝6不符合题意；
综上所述，k的值为7﹣2 或3+2 ．
【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的特点，并用分类讨论思想分析计算求值是解
本题的关键，综合性较强，难度适中．
3数学建模
4．（2022秋•腾冲市期末）我市某公司用800万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金 1600万
元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费 40元．经过市场调研发
现：该产品的销售单价需要定在200元到300元之间较为合理．销售单价x（元）与年销售量y（万件）
之间的变化可近似的看作是如下表所反应的一次函数：
销售单价x（元） 200 230 250
年销售量y（万件） 14 11 9
（1）请求出y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是
多少？
【分析】（1）利用待定系数法求解可得；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”求出其函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，
根据题意，得： ，解得： ，
∴y＝﹣0.1x+34（200≤x≤300）；
（2）盈利160万元，
由题意可知，W＝（x﹣40）（﹣0.1x+34）＝﹣0.1x2+38x﹣1360，
其对称轴x＝﹣ ＝190，
∵200≤x≤300，a＝﹣0.1＜0，
∴x＝200时，W取得最大值，最大值为2240万元，
∴800+1600﹣2240＝160（万元），
∴赚了160万元．
【点评】本题主要考查了二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们
首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．
5．（2022秋•大余县期末）某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，
经过市场调查发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相
应减少20个，设每个背包的售价为x元．
（1）月均销量为 个；（直接写出答案）
（2）当x为何值时，月销售利润为3120元？
（3）求月销售利润的最大值．
【分析】（1）根据各数量之间的关系，列出代数式；
（2）根据每个背包的利润×销售量＝3120列出方程，解方程即可；
（3）根据每个背包的利润×销售量＝月销售利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，
则月均销量为280﹣ ×20＝（680﹣10x）个．
故答案为：（680﹣10x）；
（2）依题意得：（x﹣30）（680﹣10x）＝3120，
整理得：x2﹣98x+2352＝0，
解得：x ＝42，x ＝56．
1 2
答：当该这种书包销售单价为42元或56元时，销售利润是3120元；
（3）设月销售利润为w元，
根据题意得：w＝（x﹣30）（680﹣10x）＝﹣10x2+980x﹣20400＝﹣10（x﹣49）2+3610，
∵﹣10＜0，∴当x＝49时，w有最大值，最大值为3610元．
答：月销售利润的最大值为3610元．
【点评】本题考查了二次函数、一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量
之间的关系，用含x的代数式表示出月均销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）
找准等量关系，正确列出函数解析式．
【中考热点聚焦】
热点1.利用图形分析问题
6．（2023•天津）如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的
三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为6m；②AB的长有
两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2；③菜园ABCD面积的最大值为200m2．其中，正确结论的
个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】设AD边长为xm，则AB边长为长为 m，根据AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根据
x取值范围判断①；根据矩形的面积＝192．解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为
ym2，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【解答】解：设AD边长为xm，则AB边长为长为 m，
当AB＝6时， ＝6，
解得x＝28，
∵AD的长不能超过26m，
∴x≤26，
故①不正确；
∵菜园ABCD面积为192m2，
∴x• ＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，
解得x＝24或x＝16，
∴AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192m2，
故②正确；
设矩形菜园的面积为ym2，
根据题意得：y＝x• ＝﹣ （x2﹣40x）＝﹣ （x﹣20）2+200，
∵﹣ ＜0，20＜26，
∴当x＝20时，y有最大值，最大值为200．
故③正确．
∴正确的有2个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解
析式和方程是解题的关键．
热点2.二次函数图象的平移
7．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数 y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向
下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所
得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．
故选：B．
8．（2023•广西）将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4
【解答】解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是
y＝（x﹣3）2+4．
故选：A．
热点3.二次函数图象的对称性
9．（2022•毕节市）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5
个结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．
其中正确的有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法错误，
∵﹣ ＝1，
∴2a＝﹣b，
∴2a+b＝0，
∴②说法错误，
由图象可知点（﹣1，0）的对称点为（3，0），
∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴当x＝3时，y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴③说法错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
∴④说法正确；
当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，
∴⑤说法正确，
∴正确的为④⑤，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解
题的关键．
10．（2022•齐齐哈尔）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴的交点在（0，1）与（0，2）
之间，对称轴为x＝﹣1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b＝2a；②﹣3＜a＜﹣2；
③4ac﹣b2＜0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a＝m﹣4（a≠0）有两个不相等的实数根，则m＞
4；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断①，由抛物线顶点坐标可得a与c的关系，由抛物线与
y轴交点位置可判断c的取值范围，从而判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线与直线
y＝m交点个数判断④，由图象可得x＜﹣1时，y随x增大而增大，从而判断⑤．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，4），
∴a﹣b+c＝﹣a+c＝4，
∴a＝c﹣4，
∵抛物线与y轴交点在（0，1）与（0，2）之间，
∴1＜c＜2，
∴﹣3＜a＜﹣2，②正确．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，③正确．
∵a＝c﹣4，∴ax2+bx+a＝m﹣4可整理为ax2+bx+c＝m，
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
∴m＜4时，抛物线与直线y＝m有两个不同交点，④错误．
由图象可得x＜﹣1时y随x增大而增大，
∴⑤错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于
点P（x ，y ），Q（x ，y ），下列结论错误的是（ ）
1 1 2 2
A．b2＞﹣8a
B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm
C．3a﹣2＞0
D．当y＞﹣2时，x •x ＜0
1 2
【分析】根据函数图象可知a＞0，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出b＝2a，也可得出函数
的最小值，在x＝﹣1处取到，由此可判断B；令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣
2），根据函数图象可直接判断D；C没有直接条件判断．
【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴b2＞0，﹣8a＜0，
∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，
∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合
题意；
∵l∥x轴，∴y ＝y ，
1 2
令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），
∴当y ＝y ＞﹣2时，x ＜0，x ＞0．
1 2 1 2
∴当y ＝y ＞﹣2时，x •x ＜0．故D正确，不符合题意；
1 2 1 2
∵a＞0，
∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关
键．
热点4.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
12．（2023•衡阳）已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x ，x （x ＜x ），关于x的方
1 2 1 2
程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x ，x （x ＜x ）．则下列结论正确的是（ ）
3 4 3 4
A．x ＜x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x ＜x
3 1 2 4 1 3 4 2
C．x ＜x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x ＜x
1 2 3 4 3 4 1 2
【解答】解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，
关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，
如图：
由图可知，x ＜x ＜x ＜x ，
1 3 4 2
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程与二次函数的关系，解题的关键是画出图象，数形结合解决问题．
13．（2023•云南）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精
确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数
形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．
在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y＝（4a+2）
x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象为图象T．
（1）求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请
说明理由．
【解答】（1）证明：当a＝﹣ 时，函数表达式为y＝12x+6，
令y＝0得x＝﹣ ，
∴此时函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
当a≠ 时，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4为二次函数，
∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，
∴函数y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（实数a为常数）的图象与x轴有交点；
综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；
（2）解：存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点，理由如下：
当a＝﹣ 时，不符合题意；
当a≠ 时，
在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，
解得x＝﹣ 或x＝ ，
∵x＝ ＝2﹣ ，a是整数，
∴当2a+1是6的因数时， 是整数，
∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，
解得a＝﹣ 或a＝﹣2或a＝﹣ 或a＝﹣1或a＝0或a＝ 或a＝1或a＝ ，
∵a是整数，
∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．热点5.二次函数在实际问题中的应用
14．（2023•长春）2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步．12
时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的
礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似
看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水
柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防
车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇
点H'距地面 1 9 米．
【解答】解：由题意可知：A （﹣40，4）、B （40，4）．H （0，20），
设抛物线解析式为：y＝ax2+20，
将 A （﹣40，4）代入解析式 y＝ax2+20，
解得：a＝﹣ ，
∴y＝﹣ +20，
消防车同时后退10米，即抛物线 y＝﹣ +20向左平移后的抛物线解析式为：y＝﹣ +20，
令x＝0，
解得：y＝19，
故答案为：19．
15．（2023·内蒙古）随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中，某公司推出一款新型扫地机器人，
经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化、设该产品2022
年第 （ 为整数）个月每台的销售价格为 （单位：元）， 与 的函数关系如图所示（图中 为一
折线）．(1)当 时，求每台的销售价格 与 之间的函数关系式；
(2)设该产品2022年第 个月的销售数量为 （单位：万台），m与 的关系可以用 来描述，求
哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入 每台的销售价格 销售数量）
【答案】(1)
(2)第5个月的销售收入最多，最多为3375万元
【详解】（1）解：当 时，设每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
∵图象过 两点，
，解得
∴当 时，每台的销售价格 与 之间的函数关系式为 ．
（2）设销售收入为 万元，
①当 时， ，
，当 时， （万元）．
②当 时， ，
，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时， （万元）．
，∴第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
16．（2023•黄石）某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是z＝
，其中x是正整数．当x＝16时，z＝14；当x＝20时，z＝13．
（1）求m，n的值；
（2）设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，且y与x满足关系式y＝5x+20．
①当12＜x≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？
②当0＜x≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝16时，z＝14；x＝20时，z＝13代入y＝mx+n得：
，
解得m＝﹣ ，n＝18；
（2）①设第x个生产周期创造的利润为w万元，
由（1）知，当12＜x≤20时，z＝﹣ x+18，
∴w＝（z﹣10）y＝（﹣ x+18﹣10）（5x+20）＝（﹣ x+8）（5x+20）＝﹣ x2+35x+160＝﹣ （x﹣
14）2+405，
∵﹣ ＜0，12＜x≤20，
∴当x＝14时，w取得最大值，最大值为405，
∴工厂第14个生产周期获得的利润最大，最大的利润是405万元；
②当0＜x≤12时，z＝15，
∴w＝（15﹣10）（5x+20＝25x+100，
∴w＝ ，
则w与x的函数图象如图所示：由图象可知，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，
∴当x＝13，15时w＝403.75，
当x＝12，16时，w＝400，
∴a的取值范围400＜a≤403.75．
17．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高
于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关
系，部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量 … 36 34 32 …
y/件
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由所给函数图象可知：
，
解得： ，
故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；
（2）根据题意得：
（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，
解得：x ＝18，x ＝22
1 2
又∵10≤x≤19，
∴x＝18，
答：销售单价应为18元．
（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200
∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线 x＝20，
∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，
∴当 x＝19 时，w有最大值，W最大 ＝198．
答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．
热点6.与二次函数有关的综合题
18．（2023•贵州）如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物
造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与水平线OA
垂直，OC＝9，点A在抛物线上，且点A到对称轴的距离OA＝3，点B在抛物线上，点B到对称轴的距
离是1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，为更加稳固，小星想在OC上找一点P，加装拉杆PA，PB，同时使拉杆的长度之和最短，
请你帮小星找到点P的位置并求出坐标；
（3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为y＝﹣x2+2bx+b﹣1（b＞0），当4≤x≤6
时，函数y的值总大于等于9．求b的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+9，
把点A（3，0）代入，得：
9a+9＝0，
解得：a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+9；
（2）作A点关于y轴的对称点A′（﹣3，0），连接A′B交OC于点P，则P点即为所求；把x＝1代入y＝﹣x2+9，得：
y＝8，
∴B（1，8）
设直线A′B的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得： ，
∴y＝2x+6，
令x＝0，得y＝6，
∴P点的坐标为（0，6）；
（3）y＝﹣x2+2bx+b﹣1＝﹣（x﹣b）2+b2+b﹣1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝b，顶点坐标为（b，b2+b﹣1），
当0＜b≤4时，得：
﹣62+12b+b﹣1≥9，
解得： ，
∴ ≤b≤4，
当4＜b＜6时，
由b﹣4＞6﹣b，得：
b＞5，
∴﹣62+12b+b﹣1≥9，
∴5＜b＜6；
由b﹣4≤6﹣b，得：
b≤5，
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，解得： ，
∴4＜b≤5；
∴当4＜b＜6时，都成立；
当b≥6时，得：
∴﹣42+8b+b﹣1≥9，
解得： ，
∴b≥6都成立；
综上所述，b的取值范围为 ．
