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25.3 实际问题一元二次方程
知识点一 实际问题与一元二次方程
用一元二次方程解实际问题时的基本步骤：
1. 审题：
圈画出题干中已知的数量（比较常见的有人数、工作总量、物品单价、长度等）；
明确各个数量之间的关系，例如𝐴比𝐵多/长（或少/短）𝑚个/米/元（𝑚为正数），𝐴是
𝐵的𝑚倍（或是𝑚倍还要多𝑛）；
找到存在的等量关系式，并用语言文字和数学符号表示出来，例如：𝐴的路程+𝐵的路
程=总路程、涨价前的销售总额+涨价后的销售总额=总销售额等等，我们可以称该关
系式为语言关系表达式；
2. 设未知数：
灵活假设未知数，一般选择两者之间数量较少的进行假设，例如：当题干表述的数量
关系为𝐴比𝐵多/长（或少/短）𝑚个/米/元时，可以假设𝐵为𝑥，𝐴为（𝑥+ 𝑚）；
或数量关系为𝐴是𝐵的𝑚倍（或是𝑚倍还要多𝑛）时，可以假设𝐵为𝑥，𝐴为（𝑚𝑥+ 𝑛），
这种假设可以避免式子出现过于复杂或难解的情况；
3. 列方程：根据第1 步中找到的存在的等量关系式，将各自表示出的分量代入到语
言关系表达式中；
4. 解方程：对方程进行整合、化简，按照直接开平方法、配方法或公式法等解方程；
5. 检验：非常重要且关键的一步，求出的解必须检验，看是否符合等式，必须保证等
号左右两侧的值相等；此外，还有以下几点需要额外注意：
①若列出的初始方程为分式方程，需要检验分母不为“0”；
②若列出的初始方程中含有根式，需要检验根号下的式子不小于“0”；
③若该方程是建立在实际问题的基础上得到的，则在验证以上两条的基础之上，还
需要验证方程的解是否符合实际意义，例如：人数不能为小数或分数，增长率不能小
于0，篱笆某一侧长度不能超过对应墙面的长度，长度（高度、面积、体积）、速度、
时间、重量，所有包含有实际物理意义的量，均不可小于“0”；
6. 答：应用题一定要以“答”收尾，切记检查题目中给的数量单位，与解答的单位是
否一致，若不一致，需要换算单位。
第二十五章
一元二次方程
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归纳总结
列一元二次方程解应用题的步骤：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥
易错点 1 设元不当，导致方程复杂难解
•
错例：题目要求“求长和宽”，直接设长为𝑥、宽为𝑦，列出二元方程组，增加了
解题难度
•
错因：习惯“问什么设什么”，受到小学列方程（一元一次）和简单应用题的影
响，形成“问题中有几个未知量就设几个未知数”的思维惯性
•
规避方法：先将题目中类似于“长比宽多…米”或“𝐴的数量是𝐵的𝑛倍”表述数
量关系的句子，整合成数学符号表述，再利用题目中的关系，用同一个未知数表示两
个量。
易错点 2 增长率问题混淆“增加到”与“增加了”
•
错例：某商品原价100 元，两次涨价后为144 元，设平均增长率为𝑥。可能会列成
100(1 + 2𝑥) = 144（错误理解为“增加了2𝑥倍”）
•
错因：对“增长率”的数学本质理解不透——增长率是指数增长的连续累乘，而
非一次性累加
•
规避方法：“增长到”是连乘，“增加了”是加和。
易错点 3 缺少检验——只验代数，不验实际
•
错例：对于求线段长度的题目，解得𝑥1 = 10，𝑥2 = −3，直接写“答：边长为10
或-3”，忘了舍去负数；或解出𝑥= 8.5（人数），直接作答
•
错因：解出方程后，大脑自动释放“完成信号”，认为算出数就等于做完了。即
使验算，也只是机械地代回方程看看是否等于0，懒得再去读一遍题目
•
规避方法：双重检验，可以选择代入方程验算，也可以代入实际问题：边长> 0，
人数为整数，增长率≥0等。
易错点 4 单位不统一，直接列式
•
错例：长3 米，长比宽多了𝑥厘米，表示面积。直接将面积表示为3(3 −𝑥)
•
错因：缺乏量纲意识，不清楚数学中的数必须带上“单位标签”才有实际意义。
本质上是对物理量“可加/乘性”的理解不深，不同单位的量不能直接运算
•
规避方法：列式前先将题干中表示单位的地方全部圈出来，若不统一，则需要先
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统一单位（全化为米或全化为厘米）再列方程
易错点 5 利润问题中“售价”与“利润”混为一谈
•
错例：某商品进价40 元，售价𝑥元，每天卖出(100−2𝑥)件，日利润为600 元。可
能会列成 𝑥(100 −2𝑥) = 600（错把售价当利润）
•
错因：对“总利润”的生成逻辑理解不清，没有形成“单件利润 × 数量 = 总利
润”的三层链条结构（售价→单利→总利），导致列式时直接拿“售价”当“单利”使
用
•
规避方法：熟记公式“利润=单件利润×数量=（售价−进价）×数量”
•
题型一：传播问题
方法技巧
特征：一人/物传播给若干人，经两轮传播后，总数已知。
方法：设每轮每单位传染𝑥人。第一轮后共(1+𝑥)人（初始1 人）或𝑎(1 + 𝑥)人（初
始𝑎人），第二轮后共𝑎(1 + 𝑥)2人。列方程𝑎(1 + 𝑥)2 =总数，解出𝑥，舍去负根。
关键：弄清初始人数，分清“传播后总数”是否包含最初源头。
通用公式：初始数量× (1 + 传播数)传播轮数=传播总数
1.（25-26 九年级上·北京·阶段检测）有5 个人患了流感，经过两轮传染后共有245 个人患
了流感，则每轮传染中平均一个人传染多少人？
2.（25-26 八年级下·安徽淮北·期中）经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染
后，共有169 人患上流感．按这样的传染速度，若4 人患上流感，则第一轮传染后患流感
的人数共有多少人？
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3.（2026·山西忻州·一模）数学活动课上，同学们与AI 智能体进行数字传播闯关游戏．AI
智能体给出规则：游戏开始时有6 名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码
的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6 名同学失去密
码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114 名同学持有通关密码．求
每一轮传播中，1 名同学传给多少名新同学．
4.（25-26 九年级上·江西赣州·期末）近期，全国多地出现因感染甲型流感病毒导致的学生
病例增多情况，甲流是指甲型流感病毒引起的急性呼吸道感染．某小区有一居民不小心感
染了该病毒，经过两轮传播后，共有25 人感染．
(1)在这两轮感染过程中，平均一人传染多少人？
(2)按照这样的传染速度，经过三轮传播后，共有多少人会被感染？
5.（2025·四川德阳·模拟预测）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活
动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲
后共有81人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
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(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
题型二：增长率问题
方法技巧
特征：初始量从𝑎经过两次相同增长率𝑥变为𝑏。
方法：列方程𝑎(1 ± 𝑥)2 = 𝑏（增长用+，下降用−）。注意区分“增长到𝑏”与“增长了
𝑏−𝑎”。解方程后，负数根或增长率< −100%舍去。
关键：看清起始量和终止量，连续变化用平方。
通用公式：初始量× (1 + 增长率)增长轮数= 最后总量
初始量× (1 −下降率)下降轮数= 最后总量
1.（25-26 九年级下·山东淄博·期末）碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室
气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（Carbon）一词作为代表．虽然并不准确，但
作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大
量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装
为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的
325 辆增加到两年后的637 辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率．
2.（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）茶叶礼盒以春茶品质最佳，每年春季采摘加工成礼
盒．本地茶农线上销售某款茶叶礼盒，该礼盒成本为40 元/盒，售价为70 元/盒．已知该礼
盒4 月份销售100 盒，受端午节日氛围带动，6 月份销量增至144 盒．
(1)若4 月份到6 月份销量的月平均增长率保持不变，求这款茶叶礼盒销量的月平均增长
率；
(2)为了延续端午销售热度，茶农计划在7 月份对这款茶叶礼盒降价促销．市场调研显示：
以6 月份的销量144 盒为基数，售价每降低1 元，月销售量就会增加8 盒．若要使7 月份
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这款礼盒的总利润达到4600 元，且降价后的单盒利润不低于24 元，该茶叶礼盒的售价应
降价多少元？
3.（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐
年降低．2024年这种药剂价格为100元，2026年该药剂价格为49 元．
(1)求2024年到2026年这种药剂价格的年平均下降率；
(2)该制药厂计划2027年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与2024年到2026年的平均
下降率相同，求该药剂在2027年的价格．
4.（2026·四川雅安·一模）综合与实践：
【项目主题】探究新款迷你无人机校园营销案
【项目背景】某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模
块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．
【项目成果】请解答任务1，任务2．
【项目实施】
(1)任务1：从线上旗舰店调研数据知，2026 年1 月该款迷你无人机的销量为1100 架，
2026 年3 月该款迷你无人机的销量为1331 架，若2026 年1 月至3 月该款迷你无人机的月
平均增长率相同，求此月平均增长率．
(2)任务2：校园调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架80 元且售价定为每架120 元
时，每天能销售20 架，且售价每降低1 元，每天可多销售2 架．
①若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200 元，则每架迷你无人机的售价应降低多
少元？
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②要想获得利润最大，售价应定为多少元？
5.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨
批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真
挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至6 月初，《给阿嬷的情书》票房已超16
亿元．
(1)已知5月12日至5月14日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为2100 万，第三天
日票房为3024万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？
(2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板
桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活
动，据统计，当扛标旗单价定为8元时，每天约有300名游客参与，当扛标旗单价每上涨一
元时，参与的游客数量减少20 人，经涨价后发现每天营收增加了200 元，则扛标旗单价上
涨了多少元？
题型三：几何问题
方法技巧
特征：涉及矩形面积、镶边、小路、围栏等。
方法：①用𝑥表示边长；
②周长/面积公式列方程；
关键：边长> 0舍负根，注意墙是否够长、单位是否统一。
1.（25-26 八年级下·浙江衢州·期末）综合与实践
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如图，某农户计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用篱笆围成一个矩形菜园ABCD．现有
可用的篱笆总长为20m．设边AB 长为m
x
，请列方程解决下列问题．
(1)若矩形菜园的面积为
2
48m ，求AB 的长；
(2)矩形菜园的面积有可能是
2
55m 吗？若有，求x 的值；若无，说明理由；
(3)当x 取何值时，矩形菜园的面积最大，并求出最大面积．
2.（25-26 八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙
MN ，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场ABCD，已知木栏总长为20 米，与墙
相对的一面木栏需开一扇宽为2 米的门，门不消耗木栏，设AB 长为x 米．
(1)如图①，当AD
MN
时，
①AD =___________米（用含x 的代数式表示）．
②若围成的养蜂场面积为56平方米，求AB 的长．
(2)如图②，当
AD
MN 时，养蜂场的面积是否可以达到70 平方米？请说明理由．
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3.（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地
游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引
入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题．
探索果园土地规划和销售利润问题
素
材
1
该专业合作社辖区内有一块长方形果园ABCD，图
1 是果园的平面图，其中
200
AB =
米，
300
BC =
米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路
的宽度都为2x 米，左右两条纵向道路的宽度都为x
米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考
虑，道路宽度x 不超过12 米，且不小于5 米．
素
材
2
经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐
观．若每平方米的草莓销售平均利润为100 元，每
月可销售5000 平方米的草莓．受天气诸多因素影
响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价
销售．若每平方米草莓平均利润下调5 元，每月可
多销售500 平方米草莓．果园每月的承包费为2 万
元．
问题解决：
(1)若中间种植的面积是
2
44800 m ，则路面设置的宽度是否符合要求．
(2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52 万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多
少元？
(3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60 万元的预期目标？
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4.（25-26 八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，为深化劳动教育实践，某校计划将原长
10m、宽8m 的矩形劳动实践基地ABCD扩建为矩形AEFG ，使其总面积达到
2
110m ．经规
划测量，确定扩建时长与宽增加的长度之比为1:2（即
:
1:2
DG BE =
）．
(1)求长和宽各增加了多少米？
(2)扩建后，为便于管理，准备在基地内修建一横一纵两条宽均为1m的十字形小路，剩余
部分为试验园地，求试验园地的面积．
5.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒．
材料：一张长为80 cm，宽为60 cm 的长方形硬纸板．
方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方
形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，EF 和GH 两边恰好重合且无重叠部分．
(1)任务一：若收纳盒的高BF 为10 cm ，求该收纳盒底面ABCD的两邻边AB 和BC 的长
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度；
(2)任务二：若收纳盒底面ABCD的面积为
2
400 cm ，求该收纳盒的高BF ；
(3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为20 cm ，宽为15 cm ，高为25 cm 的长方体
礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中BF 的取值范围；如果不能，请说明理
由．
题型四：数字问题
方法技巧
特征：月历表上框出相邻数字、多位数数位关系。
方法：①用𝑥表示最小数，同行相邻+1，同列相邻+7；
②根据“乘积”或“和”列方程。
关键：验证解是否符合月历实际位置（如行末数不能+1）。
1.（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4 个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x 的代数式表示）
(2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4 个数之和为45．小颖认为小丽一定算错
了．小颖的说法正确吗？说明理由．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
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2.（2026·湖北荆州·三模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)如图，若圈出的4 个数a 、b 、c 、d 中，最小的数a
x
=
，则
1
b
x
=
+ ，c = ________，
d =________．（用含x 的代数式表示）
(2)在小组活动中，小轩通过计算，发现ad
bc
−
的差恒为常数，请你证明．
(3)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
3.（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026 年1 月的月历表．在此月历表上可以用一
个正方形框任意圈出4 个数（如2，3，9，10）．
(1)若圈出的4 个数中最小的数为x ，则最大的数为 ．（用含x 的代数式表示）
(2)若圈出的4 个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4 个数中最小的数．
(3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269 吗？若能，请直接写出最小
的数；若不能，请说明理由．
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题型五：营销问题
方法技巧
特征：售价/进价、降价多销、总利润已知。
方法：①单件利润=售价−进价；
②销量=原销量±降价/涨价引起的变动量；
③列方程：单利×销量=总利润。
关键：区分“售价”与“利润”，“降价”后销量增加公式要正确。
1.（25-26 八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进
价为80 元，销售价为120 元时，每天可售出20 件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在
销售价120 元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发
现，如果每件童装降价1 元，那么平均可多售出2 件．设每件童装降价x 元．
(1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x 的代数式表示，并
化为最简形式）
(2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200 元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少
元？
2.（25-26 八年级下·浙江台州·期末）综合与实践
【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系．
【素材呈现】
素材1：世界杯期间，某商店以每个30 元的成本价新进一批玩偶．
素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50 元时，每天可卖出100 个，在此基础
上，售价每降低1 元，该玩偶每天可多卖出10 个．
素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润．
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【问题解决】
(1)若该玩偶的售价定为40 元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元；
(2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240 元，求该玩偶的售价；
(3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500 元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请
说明理由．
3.（25-26 八年级下·重庆·期末）重庆市江津区有“中国花椒之乡”美誉，江津九叶青花椒为
当地特色农产品．
(1)某农户计划采摘120 斤鲜花椒，实际每小时采摘量是原计划的1.2 倍，并提前1 小时完
成采摘，求该农户原计划每小时采摘花椒多少斤？
(2)某加工厂加工销售精品干花椒，每斤成本为25 元，当售价为每斤50 元时，日均售出
200 斤；市场调研发现，售价每上涨1 元，日均少卖5 斤，若要每日获利5250 元，且让销
量更高，则花椒售价应每斤涨价多少元？
4.（21-22 八年级下·浙江金华·阶段检测）某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为300 元，
若售价为420 元，则平均每天可售出20 件．经调查发现，每件衬衫每降价10 元，商场平
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均每天可多售出1 件，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措
施．设每件衬衫降价x 元
(1)每件衬衫的盈利为__________元，每天可售出的衬衫__________件；（用含x 的代数式表
示）
(2)若商场每天要盈利1920 元，请你帮助商场算一算，每件衬衫应降价多少元？
5.（2022·江苏扬州·三模）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上豆沙粽的进价比猪
肉粽的进价每盒便宜10 元，某商家用8000 元购进的猪肉粽和用6000 元购进的豆沙粽盒数
相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50 元时，每天可售出100 盒；每盒售价提高
1 元时，每天少售出2 盒，设猪肉粽每盒售价x 元，y 表示该商家每天销售猪肉粽的利润
（单位：元）．
(1)猪肉粽每盒的进价为__________元；
(2)若每盒利润率不超过50%，问猪肉粽每盒售价为多少元时，商家每天获利1350 元？
(3)若x 满足50
65
x
，求商家每天的最大利润．
题型六：工程问题
方法技巧
特征：两队合作/单独完成工作量，效率变化。
方法：①设效率或时间；
②利用“效率×时间=工作量”列方程；
③总工作量常看作“1”。
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关键：实际效率变化后，工作时间也会变化，分清“原计划”与“实际”。
1.（25-26 九年级上·重庆黔江·期末）某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型
号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小
时能分拣400 件快递，乙分拣机每小时能分拣500 件快递．
(1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11 小时，要确保分拣的快递
总数不少于5000 件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小
时？
(2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8 小时．为提升分拣效率，中心对机器进行
了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a 件（
0
a
），
且每天比原计划少工作2a 小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100 件，每天比原计划少
工作a 小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000 件，求a 的值．
2.（25-26 九年级上·重庆渝北·期末）列方程解下列问题：
某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量
是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5 倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊
肉礼盒的工人少20 人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400 个．
(1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？
(2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：m 名加工乙种腊肉礼盒，其余
的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以
前增加m 个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加2m 个．已知该厂每天加工的
甲、乙两种腊肉礼盒共36000 个，求m 的值．
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3.（25-26 九年级上·陕西咸阳·阶段检测）“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋
节，某月饼厂接到一笔3200盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时
开工，甲组加工10天，乙组加工8 天就能完成这笔订单，且甲组3 天加工的月饼数量比乙
组2 天加工的月饼数量多300盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2 天后，这笔订单临时又增加了500盒月饼，甲组从第3 天起提高
了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均
每天每多加工100盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1 天完成任务，已知甲、乙两组加工
的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
4.（2025·山东临沂·一模）在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加
工厂拥有A，B 两条不同的粽子生产线，A生产线每小时加工粽子400 个，B 生产线每小
时加工粽子500个．
(1)若生产线A，B 一共加工11小时，且生产粽子总数量不少于5000个，则B 生产线至少加
工多少小时？
(2)原计划A，B 生产线每天均工作8小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，A
生产线每小时比原计划多生产100a 个（
0
a
），B 生产线每小时比原计划多生产100
个．若A生产线每天比原计划少工作2a 小时，B 生产线每天比原计划少工作a 小时，这样
一天恰好生产粽子6000 个，求a 的值．
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5.（23-24 九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，
是国家高速G69银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长129.3公里，甲、乙两工程
队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100 米，甲、乙分别从隧道两端向中间施
工，计划每天各施工6 米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1 米隧道施工所需成本
不一样．甲每合格完成1 米隧道施工成本为8 万元；乙每合格完成1 米隧道施工成本为9
万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的3
2 ，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每
合格完成1 米隧道施工成本增加m 万元时，则每天可多挖2
m 米，乙在施工成本不变的情况
下，比计划每天少挖3
m 米，若最终每天实际总成本比计划多(
)
9
2
m −
万元，求m 的值．
题型七：行程问题
方法技巧
特征：速度、时间、路程，常结合勾股定理（方位/距离）。
方法：①画示意图；
②利用𝑠= 𝑣𝑡列式；
③相遇/追及问题用“路程相等”或“时间相等”建立方程。
关键：单位统一，勾股定理求距离时注意直角三角形的构建。
1.（2026·贵州贵阳·一模）如图，某海军基地位于A处，在其正南方向20 海里处有一重要
目标B ，在B 的正西方向20 海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补
给码头；一艘军舰从A出发，经B 到C 匀速直线巡航．
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(1)为提前完成第一次巡航任务，军舰调整速度为原来的1.5 倍，结果提前2 h
3
到达目标C
处，求军舰原来的速度是多少？
(2)在第二次军舰巡航时，一艘补给船同时从D 出发，沿南偏东方向匀速直线航行，欲将一
批物品送达军舰．已知军舰航行的总路程是补给船的3 倍，军舰在由B 到C 的途中与补给
船相遇于E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？
2.（2026·重庆北碚·模拟预测）国庆期间，重庆动物园以“欢度国庆”为主题开展保护教育系
列科普活动，营造欢乐喜庆的科普场景．如图是动物园的平面图，已知C 馆在A 馆的正北
方向，游客中心D 在A 馆的北偏东30方向，B 馆在A 馆的北偏西75方向相距400 米处，
C 馆在B 馆的东北方向，且C 馆在游客中心D 的南偏西75方向．（参考数据：
2
1.41
，3
1.73
，6
2.45
，37
6.08
）
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(1)求B 馆和C 馆之间的距离；（结果保留根号）
(2)小明和小红恰好都在该动物园游玩，小明从B 馆出发沿B C
−
路线行走，小红从A 馆出
发沿A
D
−
路线行走，若小明和小红同时出发，且小明的速度是小红速度的1.5倍，当小明
到A 馆的距离恰好是小红到A 馆的距离的2 倍时，求小红与游客中心D 之间的距离．（结
果保留整数）
3.（25-26 九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛D 在码头A正东方向的80 海里
处．已知当轮船甲从码头A出发以40 海里/ 小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从
小岛D出发以50海里/ 小时的速度向码头A行驶．
(1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为50海里？
(2)若轮船甲给正南方向的小岛B 运送物质，当轮船甲到达小岛B 后，发现运送物质不足，
此时行驶到C 处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿CB 方向前往小岛B 进行物
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质补充．若两艘轮船在上午7 时出发，轮船乙在上午9时到达小岛B ，试通过计算说明轮船
甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？
4.（25-26 九年级上·河北唐山·阶段检测）一个小球以
0
8m/s
v =
的速度开始向前滚动，并且
均匀减速，4s后停止运动．
(1)小球的滚动速度平均每秒少 m/s．
(2)已知小球滚动12m用了t 秒．（温馨提示：
tv 表示小球滚动t 秒时的瞬时速度，平均速度
0
2
t
v
v
v
+
=
，滚动路程=
s
v t ）
①求这段时间内小球的平均速度v （用含t 的整式表示）
②求t 值．
5.（2025·江苏南京·三模）（1）知识回顾：
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度
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为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第5min到
第10min 汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为
(
)
12
60
36 km / h
2
+
=
，该时间段行驶的路程为
(
)
10
5
36
3 km
60
−
=
如图①，小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第min
x
时的速度为km / h
y
，图中的折线表示
她在整个驾车过程中y 与x 之间的函数关系．根据上述方法指导，小丽驾车从10min 到
30min 共行驶______km．
（2）知识应用：
如图②，一条河宽度100m，小明欲从A处游到对岸，水流速度为1m/s ，小明游泳速度
1.5m/s
V =
．（注：
x
V 表示小明在水平方向上的速度，
y
V 表示小明在垂直方向上的速度，
V 表示小明斜向游泳的速度，且
2
2
2
x
y
V
V
V
+
=
），小明为了游到正对岸B 的位置，心里想：
我必须向着上游方向出发，使得游泳的水平速度抵消水流速度；最终通过调整出发方向与
河岸的夹角，小明在竖直方向的速度为______ ，最终到达点B ，所用的时间是______．
（3）实际情况下，如图③小明由于体力消耗，速度会减小，假设速度每秒衰减0.01m，
为了游到对岸，小明改变策略但始终保持和对岸BC 垂直的方向游泳．
①小明的游泳轨迹可能是______（选择1l ，2l ，3l ，4l 其中一个）
②小明可以游到B 的位置吗？如果能，请说明理由；如果不能，请求出小明实际到对岸的
位置C 与B 的距离．
题型八：握手循环赛问题
方法技巧
特征：每两队/两人之间比赛一次（单循环）或两次（双循环）。
方法：设有𝑛个队，单循环场数为
𝑛(𝑛−1)
2
，双循环场数为𝑛(𝑛−1)。列方程求解，𝑛为
正整数，舍去负数或非整数解。
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关键：分清“单循环”还是“双循环”。
1.（2026·西藏拉萨·模拟预测）列方程（组）解应用题
某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，求参加此次
比赛的球队数．
2.（26-27 九年级·全国·暑假作业）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要
比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9 天，每天安排5 场比赛．比赛组织者
应邀请多少个队参赛．
3.（25-26 九年级上·云南昆明·期末）“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，
本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8 个月，赛制为单循环形式（每两队
之间都赛一场），赛事主办方计划安排120 场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？
4.（25-26 九年级上·福建漳州·期末）学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队
之间都赛一场）．
(1)设有n 个球队参加比赛，比赛的场次数为m ，则m 与n 的关系是 ；（用含n 的代数式表
示m ）
(2)若学校计划安排21场比赛，求应有多少个球队参加比赛？
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5.（25-26 九年级上·江西赣州·期末）2025 年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹
非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比
赛），若小组赛一共进行了156 场比赛，则共有多少个球队参加比赛？
题型九：动态几何问题
方法技巧
特征：动点在边上运动，求面积何时等于某值。
方法：①用𝑡表示动点移动后的线段长度；
②用面积公式表示面积𝑆(𝑡)；
③令𝑆(𝑡) =给定值，解方程求𝑡。
关键：注意𝑡的范围（动点何时到终点），面积表达式随𝑡变化可能分段。
1.（25-26 九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在ABC
中，
90
B
=
，
5
AB
cm
=
，
7
BC
cm
=
，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1
/
cm s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC
边向点C 以2
/
cm s 的速度移动．若P，Q 两点同时出发，当点Q 运动到点C 时，P，Q 两
点同时停止运动．
求：
(1)几秒后，PBQ
的面积等于
2
4cm ？
(2) PBQ
的面积能否等于
2
7cm ？说明理由．
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2.（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，
6cm
AB =
，
8cm
BC =
，点P
从A开始沿AB 边向点B 以1cm / s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/ s 的
速度移动，P ，Q 两点分别从A，B 同时出发．
(1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动．
①经过几秒，PBQ
的面积等于
2
8cm ？
②PBQ
的面积能否等于
2
10cm ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由．
(2)若点P 到达B 后不停止，立即以原速沿BA返回；点Q 到达C 后不停止，继续以原速沿
射线BC 方向运动，直到点P 第一次回到A时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，
第几秒PBQ
的面积等于
2
6cm ？
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3.（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形OABC中，
10
OA =
，
5
OC =
，点D从点C 出发，沿射线CO方向以每秒2 个单位长的速度移动，点E 从点O出
发，沿射线OA方向以每秒1个单位长的速度运动，设点E 的运动时间为t 秒．
(1)如图1，当t 为何值时，
CDE
△
的面积为1；
(2)当CE 是
OEB
的角平分线时，求出此时点E 的坐标；
(3)当t 为何值时，
CDE
△
是等腰三角形？
4.（25-26 八年级下·山东济南·期末）如图1，在ABC
中，
90
C
=
，CA
CB
=
，
16cm
AB =
．在矩形DEFG 中，
20cm
EF =
，
8cm
DE =
．ABC
在矩形DEFG 的左侧，
AB 与EF 在一条直线上，点B 与点E 重合．现ABC
以1cm/s的速度从左向右匀速运动
（矩形DEFG 保持不动），直到点A运动到与点F 重合时运动停止．如图2，设运动时间为
t （s ），当8
16
t
时，若满足ABC
与矩形DEFG 重叠部分的面积为
2
56cm 时，求运动时
间t 的值．
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5.（22-23 八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，平行四边形ABCD中
60
A
=
，
6cm
AB =
，
3cm
AD =
，点E 以1cm/s 的速度从点A 出发沿A
B C
−
−
向点C 运动，同时点
F 以1cm/s 的速度从点A 出发沿A
D
C
−
−
向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也
停止运动，设运动的时间为( )
t s ．
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)当AEF
的面积为平行四边形ABCD的面积的1
3 时，求t 的值；
(3)求AEF
面积的最大值．
