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专题 03 新知识学习型&新定义问题之求函数的解析式
（解析版）
通用的解题思路：
求一次函数解析式：①老方法：已知两个点的坐标，一令 ，二代：将两个点的坐标代入，计算
出 ，三作答；②压轴题中的新方法，用求k公式 来先求出k，再代入一个点来求出b，当
求垂线的解析式或者点的坐标含参数时，用新方法更合适。
求二次函数解析式：①一般式： ，压轴题中一般不用一般式来求二次函数解析式；
②顶点式： ，告诉二次函数的顶点时，优先选用顶点式；
③一般式： ，告诉二次函数与x轴的两交点时，优先选用交点式。
1．（长沙中考）若抛物线L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛
物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L
的 “带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x2﹣2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y= 的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x﹣4，求此“路
线”L的解析式；
（3）当常数k满足 ≤k≤2时，求抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三
角形面积的取值范围．
【详解】解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，即直线与y轴的交点为（0，1）；
将（0，1）代入抛物线y=x2﹣2x+n中，得n=1．∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，得：0=m+1，解得：m=﹣1．
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（2）将y=2x﹣4代入到y= 中有，2x﹣4= ，即2x2﹣4x﹣6=0，解得：x =﹣1，x =3．
1 2
∴该“路线”L的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．令“带线”l：y=2x﹣4中x=0，则y=﹣4，
∴“路线”L的图象过点（0，﹣4）．设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）2﹣6或y=n（x﹣3）2+2，
由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6或﹣4=n（0﹣3）2+2，解得：m=2，n=﹣ ．
∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）2﹣6或y=﹣ （x﹣3）2+2．
（3）令抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k中x=0，则y=k，即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．
抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的顶点坐标为（﹣ ， ），
设“带线”l的解析式为y=px+k，∵点（﹣ ， ）在y=px+k上，
∴ =﹣p +k，解得：p= ．∴“带线”l的解析式为y=
x+k．
令∴“带线”l：y= x+k中y=0，则0= x+k，解得：x=﹣ ．
即“带线”l与x轴的交点为（﹣ ，0），与y轴的交点为（0，k）．
∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S= |﹣ |×|k|，∵ ≤k≤2，∴ ≤ ≤2，
∴S= ，
当 =1时，S有最大值，最大值为 ；当 =2时，S有最小值，最小值为 ．
故抛物线L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为 ≤S≤
．
2.（青竹湖）规定：我们把一个函数关于某条直线或者某点作对称后形成的新函数，称之为原函数的
“对称函数”．
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（1）已知一次函数y＝﹣2x+3的图象，求关于直线y＝﹣x的对称函数的解析式；
（2）已知二次函数y＝ax2+4ax+4a﹣1的图象为C ；
1
①求C 关于点R（1，0）的对称函数图象C 的函数解析式；
1 2
②若两抛物线与y轴分别交于A、B两点，当AB＝16时，求a的值；
（3）若直线y＝﹣2x﹣3关于原点的对称函数的图象上的存在点P，不论m取何值，抛物线y＝mx2+（m﹣
）x﹣（2m﹣ ）都不通过点P，求符合条件的点P坐标．
【详解】（1）取y=-2x+3上两点（0，3），（ ，0）两点关于y=-x对称点为（-3，0），（0，- ）
设y=x+b，则 ，解得 ，则 ，
（2）①设C 上的点为（x，y），其关于（1，0）的对称点为（2-x，-y），(2-x，-y)在C 上，则
2 1
，C2: ，
②C1关于y轴交于（0，4a-1）， C2关于y轴交于（0，-16a+1），
AB=｜(4a-1)-(-16a+1)｜=16，｜2a-2｜=16，解得a= 或- ，
（3）y=-2x-3关于原点对称函数为y=-2x+3，
抛物线: ，令 ，得x=1，x=-1，
1 2
则抛物线经过（1， ），（-2， ） ，令x=1，y=-2x-3=1，令x=-2，y=-2x+3=7，
点（1，1）（-2，7）在y=-2x+3上，由于函数值的唯一性，上述两点不可能在抛物线上，
故P为(1，1)或(-2，7)．
3.（青竹湖）定义：将点P关于原点对称的点绕原点顺时针旋转 后得到的点 称为P的反转点，连接
形成的直线称为反转线，当直线 与函数L的图象有交点时的反转线称为完美直线，它们的交点Q叫完
美点.
（1）已知函数L的觝析式为 ，点P的坐标为 ，试求出点P变换后得到的反转线；
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（2）已知函数L的解析式为 ，点P为x轴上异于原点的一点，经过变换后可以得到完美直线，且
完美点Q与原点间的距离为 ，求这条完美直线的解析式；
（3）已知P为直线 上一动点，函数L的解析式为 ，点P经过变换后得到的反转线
是完美直线，且有两个完美点 ， ，当 时，求点P横坐标的取值范围.
【解答】解：（1）∵点P的坐标为（5，0），关于原点的对称点坐标是（﹣5，0），∴点P的反转点
P′的坐标是（0，5），设反转线的解析式是y＝kx+b，把P（5，0），P′（0，5）代入y＝kx+b，得
，
∴ ，∴点P变换后得到的反转线的解析式是y＝﹣x+5．
（2）设P（m，0）（m≠0）则它的反转点P′（0，m），∴直线PP′的解析式是y＝﹣x+m，
解方程组 得 ，∴点Q的坐标是（ ， ），
∴ + ＝OQ2＝ ＝40，∴m＝4或m＝﹣4，
∴完美直线的解析式是y＝﹣x+4或y＝﹣x﹣4．
（3）∵P是直线y＝3x上的一点，∴设P（n，3n）（n≠0），∴P′的坐标是（﹣3n，n），
设完美直线PP′的解析式是y＝ux+v，把P（n，3n），P′（﹣3n，n）代入得 ，
∴ ，∴PP′的解析式是y＝ x+ n，由 得x2+2x﹣2﹣5n＝0，
∵P经过变换后得到的反转线是完美直线，且有两个完美点 Q ，Q ，∴Δ＝22﹣4×（﹣2﹣5n）＝
1 2
12+20n＞0，∴n＞﹣ ，设Q （x ，y ），Q （x ，y ），∴x +x ＝﹣2，x x ＝﹣2﹣5n，y ﹣y ＝
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
（x ﹣x ），
1 2
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∴Q Q ＝ ＝ ＝ ，
1 2
∴Q Q ＝ ＝ ，∵ ≤Q Q ≤2 ，∴ ≤
1 2 1 2
≤2 ，∴﹣ ≤n≤ ，∴点P横坐标的取值范围是﹣ ≤n≤ ．
4.（博才）规定：我们把直线 叫做抛物线 的“温暖直线”.若该直线与该抛物线
的图象还有两个不同的交点，则两个交点叫做“幸福点”，并且称直线 l与抛物线L具备“温暖而幸福关
系”，否则称直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”.
（1）已知直线 是抛物线 的“温暖直线”，请判断直线 l与抛物线L是否具备
“温暖而幸福关系”，若具备，请求出“幸福点”的坐标，若不具备，请说明理由；
（2）已知直线 与抛物线 不具备“温暖而幸福关系”，当 时，抛物线
的最小值是 ，求直线l的解析式；
（3）已知直线 是抛物线L的“温暖直线”.将抛物线L进行左右平移得到新抛物线 ，抛物线
满足：对于抛物线上的任意两点 ， ，若 ，则 始终成立.抛
物线 与直线l相交于 ，B两点，若以AB为直径的圆恰好与x轴相切，求a的值.
【解答】解：（1）∵直线l：y＝ax﹣4是抛物线L：y＝2x2+bx的“温暖直线”，∴a＝2，b＝﹣4，
∴直线l：y＝2x﹣4，抛物线L：y＝2x2﹣4x，由2x﹣4＝2x2﹣4x，得：x＝1或x＝2，∴“幸福点”的坐标
为（1，﹣2），（2，0）；
（2）∵直线l与抛物线L不具备“温暖而幸福关系”，∴方程ax+b＝ax2+bx，即ax2+（b﹣a）x﹣b＝0无
解或有两个相等的实数根，∴（b﹣a）2+4ab＝（a+b）2≤0，∴b＝﹣a，∴直线l：y＝ax﹣a，抛物线L：y
＝ax2﹣ax＝a（x﹣ ）2﹣ a，当a＞0时，抛物线开口向上，∴当0≤x＜ 时，y随x的增大而减小，当
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＜x≤2时，y随x的增大而增大，∴﹣ a＝﹣6，解得：a＝24，∴b＝﹣24，∴直线l的解析式为y＝24x
﹣24；
当a＜0时，抛物线开口向下，∴当0≤x＜ 时，y随x的增大而增大，当 ＜x≤2时，y随x的增大而减
小，∴当x＝2时，y最小值 ＝4a﹣2a＝﹣6，解得：a＝﹣3，∴b＝3，∴直线l的解析式为y＝﹣3x+3；
∴直线l的解析式为y＝24x﹣24或y＝﹣3x+3；
（3）∵（x ﹣ ）（x ﹣ ）＞0，则y ≠y 始终成立，∴x＝ 是L 的对称轴，∵y＝ax2+bx＝a（x+ ）2
1 2 1 2 1
﹣ ，平移后变为y＝a（x﹣ ）2﹣ ，将点A（1，1）代入y＝a（x﹣ ）2﹣ ，
∴ a﹣ ＝1①，∵A（1，1）在直线y＝ax+b上，∴a+b＝1②，由①②解得
设B（c，d），联立方程组 ，∴ax2﹣6ax+ a﹣b﹣ ＝0，∴6＝1+c，∴c＝5，
∴d＝5a+b，∵A（1，1），B（5，5a+b），∴AB的中点（3， ），AB＝ ＝
，∵以AB为直径的圆恰好与x轴相切，∴ ＝ ，
∴5a+b＝4，∵5a+b＝a（5﹣ ）2﹣ ，∴ a﹣ ＝4②，联立①②得a＝ ．
5.（2022•庐阳区三模）在数学活动课上，小明兴起小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次
函数，y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上的点A（x，y）的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，
就会得到的一个新的点A （x，x+y）．他们把这个点A：定义为点A的“简朴”点．他们发现：二次函
1
数y＝ax2+bx+c（a≠0）所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为 y＝ax2+bx+c
（a≠0）的“简朴曲线”．例如，二次函数y＝x2+x+1的“简朴曲线”就是y＝x2+x+1+x＝x2+2x+1，请
按照定义完成：
（1）点P（1，2）的“简朴”点是 ；
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（2）如果抛物线y＝ax2﹣7x+3（a≠0）经过点M（1，﹣3），求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线y＝x2+bx+c图象上的点B（x，y）的“简朴点”是B （﹣1，1），若该抛物线的“简
1
朴曲线”的顶点坐标为（m，n），当0≤c≤3时，求n的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得点P（1，2）的“简朴”点是（1，1+2），即（1，3），故答案为：（1，
3）．
（2）将（1，﹣3）代入y＝ax2﹣7x+3得﹣3＝a﹣7+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣7x+3，
∴抛物线y＝x2﹣7x+3的“简朴曲线”为y＝x2﹣7x+3+x＝x2﹣6x+3．
（3）∵点B（x，y）的“简朴点”是B（﹣1，1），∴ ，解得 ，∴点B坐标为（﹣1，
2），
∴1﹣b+c＝2，即b＝c﹣1，∴y＝x2+（c﹣1）x+c，
∴该抛物线的“简朴曲线”为y＝x2+cx+c＝（x+ ）2+c﹣ ，
∵该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为（m，n），∴m＝﹣ ，n＝c﹣ ＝﹣ （c﹣2）2+1，
∴c＝2时，n＝1为最大值，把c＝0代入n＝c﹣ 得n＝0，把c＝3代入n＝c﹣ 得n＝ ，
∴当0≤c≤3时，0≤n≤1．
6．（2022•岳麓区校级模拟）我们定义：若点P在一次函数y＝ax+b（a≠0）图象上，点Q在反比例函
数 （c≠0）图象上，且满足点P与点Q关于y轴对称，则称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数y＝
ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，点P称为“基点”，点Q称为“靶点”．
（1）若二次函数y＝x2+2x+1是一次函数y＝ax+b与反比例函数 的“衍生函数”，则a＝ ，b＝
，c＝ ；
（2）若一次函数y＝x+b和反比例函数 的“衍生函数”的顶点在x轴上，且“基点”P的横坐标为
1，求“靶点”的坐标；
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（3）若一次函数y＝ax+2b（a＞b＞0）和反比例函数 的“衍生函数”经过点（2，6）．①试说
明一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；②设一次函数y＝ax+2b图象上两个不同的“基
点”的横坐标为x 、x ，求|x ﹣x |的取值范围．
1 2 1 2
【解答】解：（1）由定义可知，a＝1，b＝2，c＝1，故答案为：1，2，1；
（2）由题意可知，“衍生函数”为y＝x2+bx+c，∵顶点在x轴上，∴4c＝b2，∴一次函数为y＝x+b，
∵“基点”P的横坐标为1，∴P（1，1+b），∵点P与点Q关于y轴对称，∴Q（﹣1，1+b），
∵反比例函数为y＝ ，∴﹣ b2＝1+b，解得b＝﹣2，∴“靶点”的坐标（﹣1，﹣1）；
（3）证明：①由题意可知“衍生函数”为y＝ax2+2bx﹣2，∵经过点（2，6），∴a+b＝2，
∵a＞b＞0，∴a＞2﹣a＞0，∴1＜a＜2，设“靶点”Q（t，﹣ ），则P（﹣t，﹣ ），
∴﹣ ＝at+2（2﹣a），整理得at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴Δ＝4（a﹣1）2+12＞0，∴方程有两个不同的实
数根，∴一次函数y＝ax+2b图象上存在两个不同的“基点”；
②解：由①可知，at2﹣4t+2at﹣2＝0，∴x +x ＝ ﹣2，x •x ＝﹣ ，
1 2 1 2
∴|x ﹣x |＝ ＝ ，∵1＜a＜2，∴2＜ ＜4，∴2＜|x ﹣x |＜2 ．
1 2 1 2
8．定义：将函数C 的图象绕点P（m，0）旋转180o，得到新的函数C 的图象，我们称函数C 是函数
1 2 2
C 关于点P的相关函数．
1
例如：当m＝1时，函数y＝（x﹣3）2+9关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x+1）2﹣9．
（1）当m＝0时，
①一次函数y＝﹣x+7关于点P的相关函数为 ．
②点A（5，﹣6）在二次函数y＝ax2﹣2ax+a（a≠0）关于点P的相关函数的图象上，求a的值．
（2）函数y＝（x﹣2）2+6关于点P的相关函数是y＝﹣（x﹣10）2﹣6，则m＝ ．
（3）当m﹣1≤x≤m+2时，函数y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数的最大值为8，求m的
值．
【解答】解：（1）①根据相关函数的定义，y＝﹣x+7关于点P（0，0）旋转变换可得相关函数为
y＝﹣x﹣7，故答案为：y＝﹣x﹣7；
②y＝ax2﹣2ax+a＝a（x﹣1）2，∴y＝ax2﹣2ax+a关于点P（0，0）的相关函数为y＝﹣a（x+1）2，
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∵点A（5，﹣6）在二次函数y＝﹣a（x+1）2的图象上，∴﹣6＝﹣a（5+1）2，解得：a＝ ；
（2）y＝（x﹣2）2+6的顶点为（2，6），y＝﹣（x﹣10）2﹣66的顶点坐标为（10，﹣6）；
∵两个二次函数的顶点关于点P （m，0）成中心对称，∴m＝ ＝6，故答案为：6；
（3）y＝x2﹣6mx+4m2＝（x﹣3m）2﹣5m2，
∴y＝x2﹣6mx+4m2关于点P（m，0）的相关函数为y＝﹣（x+m）2+5m2．
①当﹣m≤m﹣1，即m≥ 时，当x＝m﹣1时，y有最大值为8，∴﹣（m﹣1+m）2+5m2＝8，
解得m ＝﹣2﹣ （不符合题意，舍去），m ＝﹣2+ ；
1 2
②当m﹣1＜﹣m≤m十2，即﹣1≤m＜ 时，当x＝﹣m时，y有最大值为8，∴5m2＝8，
解得：m＝± （不合题意，舍去）；
③当﹣m＞m+2，即m＜﹣1时，当x＝m+2，y有最大值为8，∴﹣（m+2+m）2+5m2＝8，
解得：m＝4﹣2 或，m＝4+2 （不符合题意，舍去），综上，m的值为﹣2+ 或4﹣2 ．
9.（2022•武侯区校级模拟）【阅读理解】
定义：在平面直角坐标系xOy中，对于一个动点P（x，y），若x，y都可以用同一个字母表示，那么点
P的运动路径是确定的．若根据点P坐标求出点P运动路径所对应的关系式是函数，则称由点坐标求函
数表达式的过程叫做将点“去隐”．
例如，将点M（m+1，﹣m+1）（m为任意实数）“去隐”的方法如下：
设x＝m+1①，y＝﹣m+1②
由①得m＝x﹣1③
将③代入②得y＝﹣（x﹣1）+1，整理得y＝﹣x+2
则直线y＝﹣x+2是点M的运动路径．
【迁移应用】
在平面直角坐标系xOy中，已知动点Q（﹣a，﹣ a2﹣a+3）（a为任意实数）的运动路径是抛物线．
（1）请将点Q“去隐”，得到该抛物线表达式；
（2）记（1）中抛物线为W（如图），W与x轴交于点A，B（A在B的左侧），其顶点为点C，现将W
进行平移，平移后的抛物线W'始终过点A，点C的对应点为C'．
ⅰ）试确定点C'运动路径所对应的函数表达式；
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ⅱ）在直线x＝﹣2的左侧，是否存在点C'，使△ACC'为等腰三角形？若存在，求出点C'的坐标；若不
存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设x＝﹣a①，y＝﹣ a2﹣a+3②，由①得a＝﹣x③，
∴y＝﹣ x2+x+3；
（2）∵y＝﹣ x2+x+3＝﹣ （x﹣2）2+4，∴C（2，4），令y＝0，则﹣ x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或x
＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），
ⅰ）设抛物线W'的解析式为y＝﹣ （x﹣h）2+k，∴C'（h，k），∵经过点A（﹣2，0），
∴k＝ （2+h）2，令x＝h，y＝k＝ （2+h）2，∴y＝ （x+2）2；
ⅱ）存在点C'，使△ACC'为等腰三角形，理由如下：∵C（2，4）在y＝ （x+2）2上，
∴C点关于直线x＝﹣2的对称点为C'（﹣6，4），此时AC＝AC'，△ACC'为等腰三角形；
设C'（m， m2+m+1），当AC'＝CC'时，（m+2）2+（ m2+m+1）2＝（m﹣2）2+（ m2+m+1﹣4）2，
解得m＝﹣4﹣2 或m＝﹣4+2 （舍），∴C（﹣4﹣2 ，6+2 ）；
当CA＝CC'时，C'只能在x＝﹣2右侧，此时不符合题意；
综上所述：（﹣6，4）或（﹣4﹣2 ，6+2 ）．
10．（立信）关于x的方程 （ ）两根分别为x 和x ，若一个根是另一个根的两倍，则
1 2
称这样的方程为“立信二倍方程”，若直线l与抛物线C相交于A、B两点，其中一点的横坐标等于另一点
横坐标的2倍，则称这样的直线l与抛物线C互为“立信二倍函数”.
（1）若 是“立信二倍根方程”，求 的值；
（2）直线 ： 与抛物线 互为“立信二倍函数”求抛物线的解析式；
（3）直线 ： 与抛物线 ： （ ）互为“立信二倍函数”，若直线 与抛物
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线 相交于 ， 、 ， 两点，且 ，求 的取值范围．
【解答】解：（1） ， ，当 时，即 ，解得： ，
当 时，即 ，解得： ，故 或-4；
（2）由题意得： ，整理得： ，则 ， ，
①当 ，解得： ，抛物线解析式为 .
①当 ，解得： ，抛物线解析式为
（3） ，整理得： ，
， ，设： ，整理得： ， ，
， ，则 ，
，即 ，即 ，即 ．
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