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1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 平方根与立方根 常考题型·精准突破 题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重） 题型2 利用算术平方根的非负性解题（高频） 题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分（高频） 题型4 平方根与立方根的综合问题（高频） 题型5 与算术平方根有关的规律探索题（难） 题型6 与立方根有关的规律探索题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根 1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）64 25 的算术平方根是____________，0.125 − 的立方根是____________， 9 的平方根是____________． 2．（25-26 七年级下·湖北黄冈·期末）16 的算术平方根是__________；( ) 2 3 − = __________；3 27 − = __________． 3．（25-26 七年级下·广东江门·期中） 3 27 − = _________， 2 ( 6) − 的算术平方根为_________，81 的平方根 为_________． ◆题型2 利用算术平方根的非负性解题 4．（25-26 七年级下·北京·期末）若 3 4 0 a b −+ + = ，则( ) 2026 a b + = __________． 5．（25-26 八年级下·山东东营·期末）已知 2 2 32 x x y − + − + = ，则 xy = ______． 6．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知实数m 和n 满足 10 3 10 6 m m n − + − = −，则 2 2 m n − 的值为 __________． ◆题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a 为7 的整数部分，则a =__________． 8．（25-26 七年级下·云南昭通·阶段检测）已知a 的立方根是3，b 是90 的整数部分，则a b + 的平方根是 ______． 9．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）已知a 是 28 的整数部分，b 是 28 的小数部分，则a 的值是_______； ( ) ( ) 2 2 1 5 a b + + + 的立方根是_______． ◆题型4 平方根与立方根的综合问题 10．（25-26 七年级下·山东德州·期中）已知4 3 a + 的立方根是3，3a b + 的算术平方根是5． (1)求a ，b 的值； (2)求3a b −的平方根． 11．（25-26 七年级下·广西百色·期中）已知正数2 1 a−的算术平方根是3， 1 b −的立方根是2 ． (1)求a ，b 的值； (2)求4 5 a b −+ 的平方根． 12．（25-26 七年级下·云南楚雄·期中）已知3 5 x−的算术平方根是2 ，5 7 x y − 的立方根是4. (1)求x ，y 的值. (2)求2 12 x y − + 的平方根. ◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题 13．（25-26 七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开 探究活动， 【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律， 第1 个等式： 3 1 1 4 2 − = ；第2 个等式： 5 2 1 9 3 − = ；第3 个等式： 7 3 1 16 4 − = ；第4 个等式： 9 4 1 25 5 − = ；…… (1)【规律发现】 19 1 100 − = _____； (2)用含字母n 的式子表示第n 个等式：______（ 1 n 且n 为整数）； (3)【规律应用】计算： 3 5 7 9 29 1 1 1 1 1 4 9 16 25 225 − − − − − = ______； (4)若 2 4049 1 x n − = 符合上述规律，则x 的值为______． 14．（25-26 七年级下·安徽阜阳·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算 式．阅读观察下列算式，探求规律： 3 1 1 4 2 − = ， 5 2 1 9 3 − = ， 7 3 1 16 4 − = ，… 3 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)按照此规律： ①计算： 19 1 100 − = ________； ②第n 个式子是________；（用含n 的式子表示，且n 为正整数） (2)直接写出结果： 3 5 7 89 1 1 1 1 4 9 16 2025 − − − − =________． 15．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 S = + + = + − = ； 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 6 2 3 S = + + = + − = ； 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 4 12 3 4 S = + + = + − = ； 4 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 5 20 4 5 S = + + = + − = ． 请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题： (1) 5 2 2 1 1 1 5 6 S = + + = _______________ = ______________； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m （m 为正整数）表示的等式：___________________； (3)利用上述规律计算： 65 1 64 81 + ； (4)求： 1 2 3 2026 S S S S + + + + ． ◆题型6 与立方根有关的规律探索题 16．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规 律． 已知1 1 = ，则100 10 = ，10000 100 = ；已知9 3 = ，则900 30 = ，90000 300 = ； 已知3 1 1 = ，则3 1000 10 = ，3 1000000 100 = ；已知3 8 2 = ，则3 8000 20 = ，3 8000000 200 = ； (1)根据小明的发现，请填空：若 2.5 a = ，那么100a = ；若3 1.2 b = − ，那么3 1000000b = ． (2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3 8 4 x y + − = ． ①求该长方形的周长C ． ②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值． 17．（25-26 七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … 4 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 a … 0.01 x 1 y 100 … (1)表格中x =________，y =________； (2)从表格中探究a 与 a 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知10 3.16 ，则1000≈________； ②已知3.24 1.8 = ，若 180 a = ，则a =________； (3)拓展：已知3 0.214 0.5981 ，3 2.14 1.289 ，3 21.4 2.776 ，则3 2140 =________． 18．（25-26 七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728 − 的立方根？他 进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为 3 10 1000 = ， 3 100 1000000 = ，所以3 1728 是两位数； ②其次观察了立方数：31 1 = ，3 2 8 = ，33 27 = ，3 4 64 = ，35 125 = ，3 6 216 = ，3 7 343 = ，38 512 = ，3 9 729 = ； 猜想3 1728 的个位数字是2 ； ③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31 1 = ， 3 2 8 = ，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想 3 1728 12 = ，验证得：1728的立方根是12； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3 1728 12 − = − ，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个 数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) 3 3375 − = ； (2)若3 3 5 4 10 x x − = − + ，则x = ； (3)已知3 2 2 x x − + = ，且3 3 1 y −与3 1 2x − 互为相反数，求x ，y 的值． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（25-26 七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（ ） A． 34 6 6 34 − = − B． 16 4 = C． 4.9 0.7 = D．3 64 8 = 2．（25-26 七年级下·贵州遵义·期中）已知a，b 在数轴上的位置如图所示，化简 ( ) 3 2 3 a a b a b − + − − 的结 果是（ ） 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．a B． 2 a b − C． 2 a b −+ D．3a − 3．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y 满足 ( ) 2 1 2 0 x y −+ − = ，则此三角形 第三边的边长为（ ） A．3 B．3 或3 C．3 或5 D．5 或3 4． （25-26八年级下·四川凉山·期末）已知 1 1 1 2 2 − = ； 2 2 2 2 5 5 − = ； 3 3 3 3 10 10 − = ； 4 4 4 4 17 17 − = ； ；按此规律，若 6 6 a a b b − = （a ，b 为正整数），则( ) 2026 6a b − 的值为（ ） A．1 B．1 − C．2026 D．2026 − 5．（25-26 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）图1 是第七届国际数学教育大会( ) 7 ICME − 的会徽图案，它是由 一串有公共顶点O 的直角三角形(如图2 所示)演化而成的．如果图2 中 1 1 2 2 3 7 8 1 OA A A A A A A = = = = = ，那 么 8 OA 的长为( ) A．5 B．6 C．2 2 D．3 二、填空题 6．（25-26 七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）若n 为正整数，且满足 7 1 n n + ，则n =________． 7．（25-26 七年级下·山东德州·期末）16 25 的算术平方根是__________， 1 27 − 的立方根是__________． 8．（25-26 七年级下·四川广安·期末）如果 ( ) 2 1 2 0 a b −+ + = ，则( ) 2026 a b + 的平方根是_________． 9．（25-26 七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是3 2 a −和 14 a+ ，则这个正数是 __________． 10．（25-26 七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下： … 0.0625 0.625 6.25 62.5 625 6250 62500 … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若 25.8 5.08 ，2.58 1.61 ，则0.258 ____________． 三、解答题 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11．（25-26 七年级下·吉林·期末）已知 2 a+ 的立方根是2 ，3 1 a b + −的算术平方根是4 ． (1)求a ，b 的值； (2)求3 6 a b −+ 的平方根． 12．（25-26 八年级上·河南平顶山·阶段检测）观察下列式子： ①3 3 8 8 2 ( 2) 0 + −= + − = ；②3 3 1 1 1 ( 1) 0 + −= + − = ； ③3 3 1000 1000 10 ( 10) 0 + − = + − = ；④3 3 1 1 1 1 0 27 27 3 3 + − = + − = ． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： (1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ； (2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 0 = ， 则3 3 0 a b + = 反之也成立； (3)根据（2）中的结论，解答问题：若3 6 2x − 与3 1 x + 的值互为相反数，求x 的立方根． 13．（25-26 七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律． ① 4 9 6 = ， 4 9 6 = ； ②16 25 20 = ，16 25 20 = ； ③36 49 42 = ，36 49 42 = ； 【规律发现】 (1)计算：9 25 = ________；100 121 = ________； (2)用字母表示你发现的规律________； (3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：27 9 3 9 3 3 3 = = = ．请你试着化简 下面各式：8 =________；18 = ________． 14．（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）观察下表： a 0．0001 0.01 1 100 10000 a 0.01 0.1 1 10 100 (1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应 的向左或向右移动____位； (2)根据你发现的规律填空：①已知5.217 2.284 521.7 22.84 ， ． 则 0.05217 ___________， 52170 − ___________； ②若 0.02284 x ，则x ___________； (3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动 ____位； ①已知3 0.000456 0.07697 ，则 3 456 − ___________； 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ②已知3 3 3 1.442 30 3.107 ， ，则3 3000 ___________． 15．（25-26 七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题： 在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如： 2 2 1 1 1 3 1 1 1 1 2 2 2 + + = + − = ； 2 2 1 1 1 1 7 1 1 2 3 2 3 6 + + = + − = ； 2 2 1 1 1 1 13 1 1 3 4 3 4 12 + + = + − = (1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果： 2 2 1 1 1 13 14 + + = ________ = ________； (2)运用以上你发现的规律计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 99 100 + + + + + + + + + + + ．
