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1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ 1 2∠C）；高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ 1 2∠C，外外为90°- 1 2∠C）；高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期中）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O． 目 录 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 52 A = ，求 BOC 的度数； (2)把（1）中 52 A = 这个条件去掉，试探索 BOC 和 A 之间有怎样的数量关系． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1． （25-26 八年级上·山东滨州·期中）如图，在ABC 中，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，若 60 A = ， 则 D 的度数为______． 变式1-2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）在ABC 中，BAC ABC ，三个内角的平分线交于点O． (1)填空：如图1，若 70 ACB = ，则 AOB 的大小为______度； (2)如图1，过点O作OD OC ⊥ ，交AC 于点D ，证明： ADO AOB = ； (3)如图2 ，CO的延长线交AB 于点E ．点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥ 于 点N ，请直接写出 AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系． 变式1-3． （25-26 七年级下·河南驻马店·期末） 【问题原型】如图①，在ABC 中， 66 A = ，BD平分 ABC ， CD平分 ACB ，求 D 的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解： 180 A ABC ACB + + = ，且 66 A = ． 180 114 ABC ACB A + = −= ． BD 平分 ABC ，CD平分 ACB ， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在ABC 中，A = ，BE、BF 是 ABC 的三等分线（即 ABF FBE = = EBC ）， CE 、CF 是 ACB 的三等分线，则 E =_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若 249 E F + = ， F 的度数为_________． ②当 48 ACB = 时， BFC 的一条边的所在直线与ABC 的某一边的所在直线垂直时， A =_________． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD 在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式2-1．（25-26 七年级上·全国·寒假作业）如图，在ABC 中，BO，CO分别平分 ABC ，ACB ，且BO， CO交于点O，CE 为外角 ACD 的平分线，交BO的延长线于点E．已知 25 E = ，则 BOC 的度数为______． 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2．（25-26 七年级下·四川资阳·期中）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作 // DE BC ，交AC 于点E ，DP平分 ADE ，交 ACB 的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF 的平分线CQ 与DP的 延长线相交于点Q ． (1)若 50 A = ， 60 B = ，求 DPC 与 Q ； (2)若 A x = 时，求 DPC 与 Q ； (3)若PCQ 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的 A 的度数． 变式2-3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．若 90 C = ，求 E 的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = ______ BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． CBD = ______ BAC + ， 1 2 E C = = ______度． 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．设 C 的度数为m ，求 E 的度数．（用含m 的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在ABC 中，C 为锐角，BAC 内部的射线AE 与外角 CBD 内部的射线BE交于点E（ E 为 锐角）．若 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ，设 C 的度数为m ，则 E 的大小为______．（用含m 的 代数式表示） 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ，BF 平分外角 CBD ，CF 平分外 角 BCE ，BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ，求 G 的度数． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知ABC 中， 40 B = ，与 BAC ， ACB 相邻的外角 的角平分线交于点D，则 D 的度数为_______． 变式3-2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三 角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之 间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图1， ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． ① ACD ， CAE 与 B 之间的数量关系是________，并加以证明； ②若 ACD ，CAE 的平分线CN ，AM 相交于点O，直接写出 AOC 与 B 之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图2 ， DAE ， DCF 是四边形ABCD的两个外角． ① DAE ， DCF 与 B ， D 之间的数量关系是________； ②如图3， DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O，若 60 B = ， 136 D = ，则 AOC 的度数是 ________． 变式3-3．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26 八年级下·重庆南岸·期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线． (1)若 70 B = ， 30 C = ，求 AEC 和 DAE 的度数； (2)若 B = ， C = ，且 ，直接写出 AEC 和 DAE 的度数（用含，的代数式表示）． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和 求解。 变式4-1． （24-25 八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，已知AF 平分 BAC ，过F 作 ⊥ FD BC ，若 60 B = ， 96 BAC = ，则 F = ______． 变式4-2．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，CD是ABC 的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF AB ⊥ 于点F ，连接BE． (1)若 36 A = ， 66 ABC = ，求 DEF 的度数； (2)若 8 BD = ， 6 EF = ，求BCE 的面积． 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-3．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC 中，C B ，AE 是边BC 上的高，AD是 BAC 的平分线． (1)如图①，若 20 DAE = ， 30 B = ，求 C 的度数； (2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG BC ⊥ 于点G ，试探究 F 与 C ，B 之间的数量关系，并说 明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 八年级下·江西吉安·期中）如图，P 为ABC 内一点，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，且 100 A = ， 则 BPC 的度数是（ ） A．100 B．110 C．140 D．130 2．（25-26 八年级上·河南信阳·期末）如图，在ABC 中， 30 , 80 C ABC = = ，若BE是ABC 的高，AF 是ABC 的角平分线，BE与AF 相交于点O，则 EOF 的度数为（ ） A．100 B．125 C．135 D．150 3．（25-26 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中， 230 D C + = ， DAB 的平分线与外角 CBE 的平分线相交于点F ，则 F 的度数为（ ） 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．10 B．15 C．25° D．30 4．（25-26 七年级下·重庆·阶段检测）如图，AB CD ，点P 在平行线 , AB CD 之间．连接PA并延长，与直 线BD交于点E ；连接PC 并延长，与直线BD交于点F ， PCD 与 ABD 的角平分线交于点Q ，且 BQ PE ∥ ．若 Q P − = ， PEF = ，则 PFE 一定等于（ ） A．180 2 − − B．90 + − C． + D．2 2 − 二、填空题 5．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，ABC 的外角平分线AE 与 ABC 的平分线BD相交于点P， 80 C = ，则 APB 的度数是___． 6．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图， DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点，若 42 D = ， 38 B = ，那么 P 的度数是___． 7． （2025 七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形ABCD中，E，F 分别是两组对边延长线的交点，EG ， 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 FG 分别平分 AEB ， AFD ，已知 88 ABC = ， 72 ADC = ，则 EGF 的度数为______． 8． （25-26 七年级下·甘肃白银·期中）如图，在ABC 中，已知 60 A = ，点O为ABC 内一点，且 140 = BOC ， 其中 1 BO 平分 ABO ∠ ， 1 CO 平分 ACO ， 2 BO 平分 1 ABO ， 2 CO 平分 1 ACO ， n BO 平分 1 n ABO − ， n CO 平分 1 n ACO − ，…，以此类推，则 1 100 BOC = ， 2025 BO C = ________． 三、解答题 9．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①， ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的角平分线，CD 为 ACE 的角平分线，且BD、CD相交于点D． (1)猜想 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 ACB 的角平分线CO交BD于点O， 48 DOC = ，求 D 的度数． 10．（25-26 八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形ABC 中，AD是角平分线， B C ． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图（1），AE 是高， 35 , 65 B C = = ，求 DAE 的度数； (2)如图（2），点E 在AD上，EF BC ⊥ 于F，试探究 DEF 与 , B C 的大小关系，并说明理由； (3)如图（3），点E 在AD的延长线上，EF BC ⊥ 于F，则 DEF 与 , B C 的大小关系是_________（直接 写出结论，不需说明理由）． 11．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)如图1， 55 A = ，BO平分 ABC ，CO平分 ACB ，则 BOC = 度． (2)如图2， 60 A = ，BO，CO分别是 ABC ，ACB 的三等分线（即 1 3 = OBC ABC ， 1 3 = OCB ACB ） 求 BOC 的度数． (3)在ABC 中，BO，CO分别是 ABC ， ACB 的n 等分线（即 1 OBC ABC n = ， 1 OCB ACB n = ），试 说明 BOC 与 A 的关系． 12．（17-18 八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，P 是ABC 的内角 ABC 与 ACB 的平分线BP和CP 的交点，若 70 A = ，则 BPC = ____________度： 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)探究2：如图2，P 是ABC 的外角 DBC 与外角 ECB 的平分线BP和CP 的交点，求 BPC 与 A 的数 量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD的外角 EBC 与 BCF 的平分线BP和CP 的交点，设 A D + = ． ①直接写出 BPC 与的数量关系； ②根据的值的情况，判断BPC 的形状（按角分类）． 13．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 求 F 的度数． (3)如图3，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点，连 接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
