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专题 02 与三角形的角有关的三种题型
类型一、与角平分线有关的内角和问题
例．如图， 中， ， 平分 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，那么 ，然后利用 分别表示 ， ， ，最
后利用三角形内角和定理建立方程解决问题．
【详解】解：∵ 中， ，
∴设 ，那么 ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，同时也利用了角平分线的定义，解题的关键
是熟练使用三角形内角和定理．
【变式训练1】如图，在 ， 、 分别是高和角平分线，点 在 的延长线上，
交 于 ，交 于 ，下列结论：① ；② ；
③ ；④ ，正确的是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】①根据 ， ，以及 即可推出 ；②根
据角平分线的定义和三角形外角的性质证明即可；③证明 ，由①知：
即可证明 ；④由同角的余角相等证明 ，
再根据三角形外角的性质及角平分线的性质即可推出 ．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故①正确；
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故②正确；
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．∴ ．
由①知： ，
∴ ．
故③正确；
∵ ， ，
∴ ， ．
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故④正确；
综上可知，正确的有①②③④，共4个，
故选D．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，同角的余角相等等知
识，正确运用三角形的高、角平分线的概念以及三角形的内角和定理是解题的关键．
【变式训练2】如图， 中， ， ， 平分 ， 于 ，
，则 的度数=
【答案】 /70度
【分析】先求出 ，再根据角平分线的定义得出 ，根据垂直的定义
得出 ，求出 ，进而求出
，再得出 ，根据三角形内角和定理求出答案．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义，掌握这些知识点是
解题的关键．
【变式训练3】如图，在 中，线段 平分 ，交 边于点 ，过点 作
于点 ，若 ，则 度．
【答案】
【分析】由三角形内角和定理结合已知条件得出 ，由角平分线的定义
得出 ，进而得出 ，得出 ，由垂线的定义
求出 ，再利用三角形内角和定理即可求出 的度数．
【详解】解： ， ，
， ，
平分 ， ，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，角平分线的定义，
垂直的定义是解决问题的关键．
类型二、折叠问题例．如图，将 沿 折叠，使 、 与边 分别相交于点 、 ，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】可得 ， ，可求 ，从
而可求 ，由 ， ，即可求解．
【详解】解：由翻折得：
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握性质
及定理是解题的关键．
【变式训练1】如图，将 纸片沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分
平分 ，若 ，则 ．【答案】 /80度
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得 ，进而可得
，再根据三角形的外角性质和折叠的性质可得 ，
即可求解.
【详解】解：连接 ．
∵ 平分 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线
的定义等知识，熟练掌握折叠的性质、得出 是解题的关键.
【变式训练2】在 中， ， ，将 、 按照如图所示折叠，若
，则 °
【答案】
【分析】先根据折叠的性质求出 ， ， ，再根据三角形内角和定理求出 ， ，进而求出 ，然后求出四边
形内角和，进而得出 ，即可得出答案．
【详解】根据折叠性质得 ， ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
在四边形 中， .
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：265．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，折叠的性质，四边形的内角和等，确定各角
之间的数量关系是解题的关键．
【变式训练3】如图，在 中， ， ，点D是 上的一点，将
沿 翻折得到 ，边 交 于点F，若 ，则 的度数为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得出 ，根据平行线的性质
得出 ，求出 ，根据 ，
即可得出答案．
【详解】解：∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
根据折叠可知， ，
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是
求出 ．
类型三、多边形角度问题
例．一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是（ ）边形
A．四 B．五 C．六 D．八
【答案】A
【分析】先求出多边形的外角度数，再根据多边形的外角和等于 求出边数即可．
【详解】解： 一个多边形的每个外角都等于和它相邻的内角，
这个多边形的每一个外角的度数为 ，
多边形的边数为 ，
即多边形是四边形，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和外角，能根据多边形的外角和求出多边形的边数是即
此题的关键，注意：边数为 的多边形的内角和 ，多边形的外角和等于 ．
例2.（1）如图1所示， ；
（2）如果把图1称为二环三角形，它的内角和为 ；图2称
为二环四边形，它的内角和为 ，则二环四边形的
内角和为 ；二环五边形的内角和为 ；二环n边形的内角和为
．【答案】 360° 720° 1080°
【分析】（1）结合题意，根据对顶角和三角形内角和的知识，得
，再根据四边形内角和的性质计算，即可得到答案；
（2）连接 ， 交 于点M，根据三角形内角和和对顶角的知识，得
；结合五边形内角和性质，得
；结合（1）的结论，根据数字规
律的性质分析，即可得到答案．
【详解】（1）如图所示，连接AD， 交 于点M
∵ ， ，
∴ ；
故答案为：360°
（2）如图，连接 ， 交 于点M∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴二环四边形的内角和为：
∵二环三角形的内角和为：
二环四边形的内角和为：
∴二环五边形的内角和为：
∴二环n边形的内角和为：
故答案为： ， ， ．
【点睛】本题考查了多边形内角和、对顶角、数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三
角形内角和、多边形内角和、数字规律的性质，从而完成求解．
【变式训练1】若一个多边形的每个外角都是 ，则这个多边形的边数是 ．
【答案】八/8
【分析】利用任何多边形的外角和是 ，用 除以一个外角度数即可求出答案．
【详解】解：多边形外角个数： ，
所以多边形的边数为 ，
故答案为：八．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．
外角和定理是解题的关键．
【变式训练2】如图所示，已知 ，试求 的度数．【答案】
【分析】连接AD．由四边形ABCD的内角和定理可推得 ，然后证明
，则可证 ．
【详解】解：连接 ．设 与 相交于点O．
由四边形的内角和可得： ，
∵ ，
∴ ．
在 与 中，
∴
即
即 (注： ， )
【点睛】本题考查了三角形与多边形内角和求法，解题的关键是灵活运用所学的多边形内
角和定理将所求的角集中在一起．
【变式训练3】根据题意解答：
(1)如图1，点 、 、 、 在同一直线上， 平分 ， ，若 为
度，求 的度数（用关于 的代数式表示），并说明理由．
(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示， 地面 ， 地面 ，求的度数，并说明理由．
(3)如图3，若 ， ， ，则 __________度．
【答案】(1) ，理由见解析；
(2) ，理由见解析；
(3) ．
【分析】（1）根据平角定义表示 ，由角平分线定义得：
，最后根据平行线性质得结论；
（2）作平行线，根据平行线的性质得： 和 ，所以
；
（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和 列式后可得结论．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：过 作 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
（3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，由三角形外角定理得： ，
，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题
的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四
边形的内角和为 ．
课后训练
1．如图，在 中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转得到 ．若点
恰好落在 边上，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得： ， ，从而利用等腰三角形的性
质可得 ，然后利用三角形内角和定理可得 ，即可解答．
【详解】由旋转得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故选： ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
2．如图，点 在同一平面内，连接 ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接 ，根据三角形内角和求出 ，再利用四边形内角和减去
和 的和，即可得到结果．
【详解】解：连接 ，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角
形和四边形．
3．如图在五角星中， 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形外角的性质可得 ， ，再根据三角形内角
和的性质求解即可．
【详解】解：利用三角形外角的性质可得 ， ，
再根据三角形内角和的性质可得： ，
故选：A
【点睛】此题考查了三角形外角的性质和三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关
基础性质．
4．一副三角板如图方式摆放， 平分 ， 平分 ，则 的度数为
．
【答案】
【分析】首先根据三角板的性质得到 ， ，然后利用角平分线的概
念得到 ， ，最后利用三角形内角和定理求
解即可．
【详解】∵一副三角板如图方式摆放，
∴ ， ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了三角板中角的运算，角平分线的概念，三角形内角和定理的运用等知
识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．5．把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ，
， ，则 ．
【答案】
【分析】根据三角形外角性质得出 ， ，再根据三角形的
内角和定理和解答即可．
【详解】解：如图可知： ， ，
， ，
，
故答案为： ．
【点睛】此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．
6．如图，在 中， ， 的平分线交于点 ， 是 与 平分线
的交点， 是 的两外角平分线的交点，若 ，则 的度数 ．
【答案】 /10度
【分析】利用角平分线的定义，可得出 ， ，结合
，可得出 的度数，再利用三角形的外角性质，即可求出
的度数．
【详解】解： 平分 ， 平分 ， ， ，
，，
又 ，
．
， ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
，
，故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，牢记“三角形的一个外角等
于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
7．如图，在 中 ．若 ， ，则 °．
【答案】
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出 ，
再根据 整理即可得证 ，最后根据三角形的内角和即可得出答
案．
【详解】 是 的一个外角
即
是 的一个外角
即故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形的内角和和外角的定义，根据图形找到角之间的关系是解题的
关键．
8．探究与发现：
(1)如图1，在 中， ， 分别平分 和 ．
①若 ，则 ______；
②若 ，用含有 的式子表示 的度数为______；
(2)如图2，在四边形 中， ， 分别平分 和 ，试探究 与
的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在六边形 中， ， 分别平分 和 ，请直接写出
与 的数量关系．
【答案】(1)① ；②
(2) ，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定
义，可求得 与 的度数之和，进而可求得 ．
（2）利用四边形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定义，可求
得 与 的度数之和，进而可求得 ．
（2）利用六边形内角和，可求得 与 度数之和，根据角平分线的定义，可求
得 与 的度数之和，进而可求得 ．
【详解】（1）解① ，
．
， 分别平分 和 ，
， ．．
．
② ，
．
， 分别平分 和 ，
， ．
．
．
故答案为：① ；② ；
（2）解： ，理由如下：
根据题意，得 ．
， 分别平分 和 ，
， ．
．
；
（3）解： ．
理由如下：
根据题意，得 ．
， 分别平分 和 ，
， ．
．
∴
．
【点睛】本题主要考查多边形内角和以及角平分线的定义，熟记多边形内角和公式，即边形内角和等于 ，及角平分线的定义是解题的关键．
