文档内容
猜想 03 轴对称（易错必刷 40 题 13 种题型专项训练）
一．线段垂直平分线的性质（共4小题） 二．等腰三角形的性质（共9小题）
三．等腰三角形的判定（共3小题） 四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
五．等边三角形的性质（共1小题） 六．等边三角形的判定与性质（共2小题）
七．含30度角的直角三角形（共3小题） 八．生活中的轴对称现象（共1小题）
九．轴对称的性质（共2小题） 十．轴对称图形（共2小题）
十一．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共8小题） 十二．作图-轴对称变换（共1小题）
十三．轴对称-最短路线问题（共2小题）
一．线段垂直平分线的性质（共4小题）
1．（2023春•定边县校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，分别交BC、AB于D、E，连接
CE，BF平分∠ABC，交CE于F，若BE＝AC，∠ACE＝20°，则∠EFB的度数为（ ）
A．56° B．58° C．60° D．63°
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得EB＝EC，从而可得∠EBC＝∠ECB，再根据已知可得CE＝
AC，从而利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A＝∠AEC＝80°，然后利用三角形的外角
性质可得∠EBC＝∠ECB＝40°，再利用角平分线的定义∠FBC＝20°，最后利用三角形的外角性质进行计
算即可解答．
【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵BE＝AC，
∴CE＝AC，
∵∠ACE＝20°，
∴∠A＝∠AEC＝ （180°﹣∠ACE）＝80°，
∵∠AEC＝∠EBC+∠ECB＝80°，
∴∠EBC＝∠ECB＝40°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠FBC＝ ∠EBC＝20°，
∴∠EFB＝∠FBC+∠ECB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．2．（2022秋•涟源市期末）如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备
在足球场内放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可解答．
【解答】解：如图，在足球场内，A，B，C表示三个足球运动员，为做折返跑游戏，现准备在足球场内
放置一个足球，使它到三个运动员的距离相等，则足球应放置在AC，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理是解题的关键．
3．（2022秋•吉林期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点
F．若∠B+∠C＝70°，则∠EAF的度数是（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】先利用三角形的内角和定理求出∠BAC＝110°，再利用线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，FA
＝FC，从而可得∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，然后利用等量代换可得∠BAE+∠FAC＝70°，最后利用角的
和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：∵∠B+∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°，
∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，
∴EA＝EB，FA＝FC，
∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，
∴∠BAE+∠FAC＝70°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
4．（2022秋•怀化期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于
点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可
得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计
算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．等腰三角形的性质（共9小题）
5．（2022秋•门头沟区期末）一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（ ）
A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，当等腰三角形的腰长为5cm，底边
长为2cm时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，
∵2+2＝4＜5，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，
∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，
综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
6．（2022秋•番禺区校级期末）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为14，则它的周长为（ ）
A．26 B．26或34 C．34 D．20
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时；当等腰三角形的腰长为14，底边长为
6时，然后分别进行计算即可解答．【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为6，底边长为14时，
∵6+6＝12＜14，
∴不能组成三角形；
当等腰三角形的腰长为14，底边长为6时，
∴它的周长＝14+14+6＝34；
综上所述：它的周长为34，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
7．（2022秋•南开区校级期末）等腰三角形的一个外角是70°，则它的顶角的度数为（ ）
A．70° B．70°或40° C．110° D．110°或40°
【分析】利用平角定义，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：在△ABC中，AB＝AC，
当∠DAC＝70°时，
∴∠BAC＝180°﹣∠DAC＝110°，
∴等腰三角形的顶角的度数为110°，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．（2022秋•聊城期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 50°，则这个等腰三角形的底角的度数
为（ ）
A．20° B．50°或70° C．70° D．20°或70°
【分析】分两种情况讨论：①若该等腰三角形为钝角三角形；②若该等腰三角形为锐角三角形；先求出
顶角∠BAC，即可求出底角的度数．
【解答】解：①如图1，当该等腰三角形为钝角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝ （90°﹣50°）＝20°，
②如图2，当该等腰三角形为锐角三角形时，
∵一腰上的高与另一腰的夹角是50°，
∴底角＝ [180°﹣（90°﹣50°）]＝70°．
故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．
9．（2022秋•平谷区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BA延长线上一点，且∠DAC＝100°，则∠C＝
50° ．
【分析】利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再利用三角形的外角性质可得∠DAC＝∠B+∠C＝
100°，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠DAC是△ABC的一个外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10．（2022秋•衡山县期末）已知等腰三角形的两边长分别为10和4，则三角形的周长是 2 4 ．
【分析】分两种情况：当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，当等腰三角形的腰长为4，底边长为
10时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形的腰长为10，底边长为4时，
∴这个等腰三角形的周长＝10+10+4＝24；
当等腰三角形的腰长为4，底边长为10时，
∵4+4＝8＜10，
∴不能组成三角形；
综上所述：这个等腰三角形的周长为24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
11．（2022秋•东昌府区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的是中点，AD＝AE，∠BAD＝30°，求∠EDC的度数．
【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，然后再利用等腰三
角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠ADE＝∠AED＝75°，从而利用角的和差关系进行计算即可解
答．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC的是中点，
∴∠ADC＝90°，∠BAD＝∠CAD＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝ （180°﹣∠CAD）＝75°，
∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝15°，
∴∠EDC的度数为15°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
12．（2022秋•忠县期末）如图△ABC中，点D在AB上，已知AD＝BD＝CD．
（1）求∠ACB的大小；
（2）若∠A＝30°，AB＝4，求△BCD的周长．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，然后利用三角形的内角和定理，
进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论，在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BC＝ AB＝2，然后再
根据已知可得AD＝BD＝CD＝2，从而利用三角形的周长公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵AD＝BD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，
∵∠A+∠ACD+∠BCD+∠B＝180°，
∴2∠ACD+2∠BCD＝180°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝90°；
（2）∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，AB＝4，
∴BC＝ AB＝2，
∵AD＝BD＝CD，∴AD＝BD＝CD＝ AB＝2，
∴△BCD的周长为6．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性
质，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
13．（2022秋•开封期末）已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用三角形的三边关系可得：20﹣8＜2m﹣2＜20+8，然后进行计算即可解答；
（2）分两种情况：当AB＝AC＝20时；当BC＝AC＝8时，然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．
∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，
解得：7＜m＜15；
∴m的取值范围为：7＜m＜15；
（2）∵△ABC是等腰三角形，
∴分两种情况：
当AB＝AC＝20时，
∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；
当BC＝AC＝8时，
∵8+8＝16＜20，
∴不能组成三角形；
综上所述，△ABC的周长为48．
【点评】本题考查了三角形三边关系，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形三边关系，以及等腰三角形
的性质是解题的关键．
三．等腰三角形的判定（共3小题）
14．（2022秋•平桥区校级期末）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一
点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据题意可得，以点B为圆心，BA长为半径画圆，圆与格点的交点即为符合条件的点C．
【解答】解：如图所示：使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，
所以所有符合条件的点C的个数是6个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定．
15．（2022秋•卧龙区校级期末）如图，正方形的网格中，点A，B是小正方形的顶点，如果C点是小正方
形的顶点，且使△ABC是等腰三角形，则点C的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】当AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等
腰三角形；当AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的
格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：如图，分情况讨论：
①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
所以△ABC是等腰三角形，点C的个数为8个，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨
论思想是数学解题中很重要的解题思想．
16．（2022秋•邳州市期末）如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果
C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等
腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点
都可以作为点C，然后相加即可得解．
【解答】解：①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；
②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分AB是腰长与底边两种情况讨论求解．
四．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2022秋•潢川县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点
E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证△MEB和△NEC是等腰三角形，从而可得MB＝ME，
NE＝NC，然后利用等量代换可得△AMN的周长＝AB+AC，进行计算即可解答．
【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABE＝∠EBC，∠ACE＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠MEB＝∠EBC，∠NEC＝∠ECB，
∴∠ABE＝∠MEB，∠ACE＝∠NEC，
∴MB＝ME，NE＝NC，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN
＝AM+ME+EN+AN
＝AM+MB+CN+AN
＝AB+AC
＝3+4
＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰
三角形是解题的关键．
18．（2022秋•荆门期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，
若FG＝4，ED＝8，求EB+DC＝ 1 2 ．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBG和△DFC是等腰三角形，从而可得EB＝EG，
DF＝DC，进而可得EB+DC＝ED+FG，然后进行计算即可解答．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴∠EGB＝∠GBC，∠DFC＝∠FCB，
∵BG平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABG＝∠CBG，∠ACF＝∠FCB，
∴∠EBG＝∠EGB，∠DFC＝∠ACF，∴EB＝EG，DF＝DC，
∵FG＝4，ED＝8，
∴EB+DC＝EG+DF
＝ED+FG
＝12，
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线
的性质可证等腰三角形是解题的关键．
五．等边三角形的性质（共1小题）
19．（2022秋•睢阳区期末）已知△ABC为等边三角形，AB＝10，M在AB边所在直线上，点N在AC边所
在直线上，且MN＝MC，若AM＝16，则CN的长为 4 或 3 6 ．
【分析】分两种情形：①当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．②当点M在BA的延长线上时，
作MD⊥CN于D．分别求解即可．
【解答】解：由题意可知，BM＝AN＝6，
①如图，当点M在AB的延长线上时，作MD⊥AC于D．
在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠A＝60°，AM＝16，
∴AD＝ AM＝8，
∴CD＝AC﹣AD＝2，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝4．
②如图，当点M在BA的延长线上时，作MD⊥CN于D，在Rt△AMD中，
∵∠ADM＝90°，∠DAM＝60°，AM＝16，
∴AD＝ AM＝8，
∴CD＝AD+AC＝18，
∵MN＝MC，MD⊥CN，
∴DN＝CD，
∴CN＝2CD＝36，
故答案为：4或36．
【点评】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考
问题，学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
六．等边三角形的判定与性质（共2小题）
20．（2022秋•岳麓区校级期末）如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，
DE＝2，则BC＝ 7 ．
【分析】作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM为等边三角形，得出BM＝EM＝BE＝5，从而
得出BN的长，进而求出答案．
【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，如图，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∵∠EBC＝∠DEB＝60°，
∴△BEM为等边三角形，
∴BM＝EM＝BE＝5，∠EMB＝60°，
∵DE＝2，
∴DM＝3，
∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝30°，
∴NM＝ DM＝ ，
∴BN＝BM﹣MN＝5﹣ ＝ ，
∴BC＝2BN＝7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质等知
识，根据题意构造含30°的直角三角形是解题的关键．
21．（2022秋•东洲区期末）如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，
把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续
以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是 40 0 ．
【分析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第 n个图形中大等边三角形有2n个，小等
边三角形有2n个，据此求出第100个图形中等边三角形的个数．
【解答】解：如图①
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝ BC，
∴B′O＝ AB，CO＝ AC，
∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．
又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，
第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，
第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…
依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．
故第100个图形中等边三角形的个数是：2×100+2×100＝400．
故答案为：400．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．
七．含30度角的直角三角形（共3小题）
22．（2022秋•白云区校级期末）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是
（ ）
A．75°或15° B．75° C．15° D．75°和30°
【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；然后分别进行计
算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形为锐角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝ AB，
∴∠BAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝ （180°﹣∠A）＝75°，
∴这个等腰三角形的底角是75°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝ AB，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝ ∠BAD＝15°，
∴这个等腰三角形的底角是15°；
综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
23．（2022秋•洪山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD⊥BC．则下列等式成
立的是（ ）
A．BD＝3DC B．AD＝2DC C．AB＝4DC D．BD＝2AC
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD＝3DC，BD＝ AC，BC＝
4DC，AC＝2DC．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC，
∴B不符合要求；
∴BC＝4DC，
∴C不符合要求；
∴BD＝3DC，
∴A符合要求；
∵AC＝2DC，BC＝4DC
∴BD＝ AC，
∴D不符合要求；
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，
点明斜边，是解题的关键．
24．（2022秋•杨浦区期末）已知，如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD＝ BC，AE⊥BC．
（1）求证：∠CAE＝∠B；
（2）若∠CAE＝30°，CE＝2，求AB的长．【分析】（1）根据三角形的中线定义可得BD＝DC＝ BC，从而可得AD＝DC＝BD，然后利用等腰三角
形的性质可得∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，再利用三角形的内角和定理可得∠B+∠C＝90°，最后根据垂
直定义可得∠AEC＝90°，从而可得∠CAE+∠C＝90°，进而根据同角的余角相等即可解答；
（2）在Rt△AEC中，利用含30度角的直角三角形的性质求出AC的长，然后在Rt△ABC中，利用含30
度角的直角三角形的性质即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝ BC，
∵AD＝ BC，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，
∵∠B+∠BAD+∠DAC+∠C＝180°，
∴2（∠B+∠C）＝180°，
∴∠B+∠C＝90°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE+∠C＝90°，
∴∠CAE＝∠B；
（2）解：∵∠AEC＝90°，∠CAE＝30°，CE＝2，
∴AC＝2CE＝4，
∵∠B+∠C＝90°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝90°，
∵∠B＝∠CAE＝30°，
∴AB＝ AC＝4 ，
∴AB的长为4 ．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
八．生活中的轴对称现象（共1小题）
25．（2022秋•高阳县校级期末）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子，我
们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步，已知点
A为乙方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）A．2步 B．3步 C．4步 D．5步
【分析】根据题意，结合图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【解答】解：观察图形可知：先向右跳行，在向左，最后沿着对称的方法即可跳到对方那个区域，所以
最少是3步．
故选B．
【点评】此题考查轴对称的基本性质，注意：对称轴垂直平分对应点的连线．通过对称的性质找到最短
的路线是解题的关键．
九．轴对称的性质（共2小题）
26．（2022秋•大连期末）如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，在格纸中能画出
与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形（不包括△ABC本身），这样的三角形共有 3 个
【分析】依据大正方形的对称轴，即可画出与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形．
【解答】解：如图所示，与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有3个：
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，
这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．
27．（2022秋•华容区期末）如图，四边形ABCD中，AB＝AD，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
若∠BAD＝ ，则∠ACB的度数为（ ）
αA．45° B． ﹣45° C． D．90°﹣
【分析】连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝∠B'AC，∠DAE＝∠B'AE，即可得出∠CAE
α α α
＝ ∠BAD＝ ，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣ ．
【解答】解：如图，连接AB'，BB'，过A作AE⊥CD于E，
∵点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，
∴AC垂直平分BB'，
∴AB＝AB'，
∴∠BAC＝∠B'AC，
∵AB＝AD，
∴AD＝AB'，
又∵AE⊥CD，
∴∠DAE＝∠B'AE，
∴∠CAE＝ ∠BAD＝ ，
又∵∠AEB'＝∠AOB'＝90°，
∴四边形AOB'E中，∠EB'O＝180°﹣ ，
∴∠ACB'＝∠EB'O﹣∠COB'＝180°﹣ ﹣90°＝90°﹣ ，
∴∠ACB＝∠ACB'＝90°﹣ ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是
作辅助线构造四边形AOB'E，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应
点所连线段的垂直平分线．
一十．轴对称图形（共2小题）
28．（2022秋•海安市期末）观察如图的网络图标，其中可以看成轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这
条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以是轴对称图形，
选项A、B、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重
合，所以不是轴对称图形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重
合．
29．（2023•岳麓区校级三模）“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，
常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽
图案是轴对称图形的是（ ）
A． 清华大学 B． 北京大学
C． 中国人民大学 D． 浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，
这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是
轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
一十一．关于x轴、y轴对称的点的坐标（共8小题）
30．（2022秋•天河区校级期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0
C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2）
D．点C（﹣3，2）在第一象限内
【分析】分别根据点的几何意义；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不
变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可．
【解答】解：A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是|﹣5|＝5，故本选项不合题意；
B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意；C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2），故本选项符合题意；
D．C（﹣3，2）在第二象限内，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解
答本题的关键．
31．（2022秋•广宗县期末）若点A（a，3），B（2，﹣b）关于y轴对称，则点M（a，b）所在的象限是（
）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，即可得到结论．
【解答】解：∵点A（a，3）、点B（2，﹣b）关于y轴对称，
∴a＝﹣2，﹣b＝3，
解得：a＝﹣2，b＝﹣3，
∴点M（a，b）在第三象限，
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标以及各点所在象限的性质，解决本题的关键是掌握好
对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，
纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
32．（2022秋•扶沟县校级期末）已知点M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a﹣b＝ ﹣ 7 ．
【分析】直接利用关于y轴对称点的性质（横坐标互为相反数，纵坐标不变）得出 a，b的值，进而得出
答案．
【解答】解：∵点M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，
∴a＝﹣4，b＝3，
∴a﹣b＝﹣4﹣3＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．
33．（2022秋•灵宝市期末）在平面直角坐标系中，点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣1，2）关于y轴对称，则
m+n＝ ﹣ 1 ．
【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．直接利用关于 y轴对称点的性
质得出m，n的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣1，2）关于y轴对称，
∴m+1＝1，1﹣n＝2，
解得：m＝0，n＝﹣1，
∴m+n＝0﹣1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的特征，点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，
y）．
34．（2022秋•辛集市期末）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，
一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字
0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 A（﹣2，3）按序列
“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到A （﹣1，3），再将A （﹣1，3）关于x轴对称得到
1 1A （﹣1，﹣3），再将A （﹣1，﹣3）关于y轴对称得到A （1，﹣3）…依次类推．点（1，1）经过
2 2 3
“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（ ）（注：“012”算3次变换）
A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣1，﹣1）
【分析】根据变换的定义解决问题即可．
【解答】解：点B（1，1）按序列“012”作变换，表示点B先向右平移一个单位得到B （2，1），再将
1
A （2，1）关于x轴对称得到B （2，﹣1），再将B （2，﹣1）关于y轴对称得到B （﹣2，﹣1）…依
1 2 2 3
次类推，点（1，1）经过“012”变换得到点（﹣2，﹣1），点（﹣2，﹣1）经过“012”变换得到点
（1，1），说明经过6次变换回到原来的位置，
100÷6＝16……4，
所以点（1，1）经过“012012012…”100次变换后得到点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选：D．
【点评】本题考查规律型：点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
35．（2022秋•金牛区校级期末）已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序
数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若
有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．﹣
【分析】根据新定义可得：有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），并根据y
轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．
【解答】解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴ ，
解得：k＝﹣ ．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，新定义“k阶结伴数对”的理解和运用，能根据题意列出方程组
是解此题的关键．
36．（2022秋•宁波期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，
则应把点A（ ）
A．向左平移6个单位 B．向右平移6个单位
C．向下平移8个单位 D．向上平移8个单位【分析】关于y轴成轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，那么向右平移两个横坐标差的绝
对值即可．
【解答】解：∵点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴轴对称，
