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1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形中的倒角模型之A 字、8 字、燕尾的三种模型 常考题型·精准突破 题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型（难） 题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型（难） 题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形中的倒角模型之“A”字模型 1． 【答案】（1）解：如图所示： 1 90 , 2 90 A EFA EFA A AEF AEF = + = + = + = + ∴ ( ) ( ) 1 2 90 90 180 EFA AEF EFA AEF + = + + + = + + ∵ABC 为直角三角形， 90 A = ∴ 180 90 EFA AEF A + = −= ， ∴1 2 180 90 270 += + = ， 故答案为：270； （2）如图所示： 在AEF 中，由外角性质可知： 1 , 2 A EFA A AEF = + = + ； 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 60 A = ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 A EFA A AEF A EFA AEF A + = + + + = + + + 180 60 = + 240 = 故答案为：240 （3）解：由(1)、(2 )中思路，由三角形外角性质可知： 1 A EFA = + ， 2 A AEF = + ； ∴ ( ) ( ) 1 2 A EFA A AEF + = + + + ( ) A EFA AEF A = + + + 180 A = +， ∴1 2 +与 A 的关系是：1 2 180 A += +， 故答案为：1 2 180 A += +； （4）1 2 2 A += ． 理由：连接AP ． ∵EFP 是由EFA 折叠得到的， ∴ AFE PFE = ， AEF PEF = ， ∴1 180 2 AFE = − ， 2 180 2 AEF = − ， ∴ ( ) ( ) ( ) 1 2 180 2 180 2 360 2 AFE AEF AFE AEF + = − + − = − + ， 又∵ 180 AFE AEF A + = −， ∴ ( ) 1 2 360 2 180 2 A A + = − − = ， ∴1 2 +与 A 的关系为：1 2 2 A += ． 2． 【答案】（1）解：∵点D 恰好在BC 上， ∴C，D，N 三点在一条直线上， ∴1 MDN ACB = + ， 由折叠可知，MD MC = ， MDN ACB = ， ∴ 1 2 ACB = ∠ ∠ ， 故答案为： 1 2 ACB = ∠ ∠ ． （2）连接CD，如下图所示： 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由折叠可知，MD MC = ， MDC ACD = ， 又∵1 MDC ACD = + ， ∴1 2 ACD = ， 同理可得， 2 2 BCD = ， 又∵ ACD BCD ACB + = ， ∴ ( ) 1 2 2 2 2 2 ACD BCD ACD BCD ACB + = + = + = ， ∵ 35 ACB = ， ∴1 2 2 35 70 += = ． （3） 2 1 2 ACB −= ． 证明：连接CD，如下图所示： 由折叠可知，MD MC = ， ∴ MDC MCD = ， 又∵1 MDC MCD = + ， ∴1 2 MCD = ， 同理可得， 2 2 NCD = ， 又∵ NCD MCD ACB − = ， ∴ ( ) 2 1 2 2 2 2 NCD MCD NCD MCD ACB −= − = − = ， ∴ 2 1 2 ACB −= ． 3． 【答案】（1）证明： 1 与 2 分别为 ABC 的两个外角， 1 4 A = +， 2 3 A = +， 1 2 4 3 A A += +++ 3 4 180 A ++ = ， 1 2 180 A += +． 故答案为： 4 ， 3 ， 4 3 A A +++． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：∵1 2 180 A += +，1 130 = ， ∴ 2 180 1 180 130 50 A −= −= − = ． 故答案为：50． （3）解： 1 90 2 P A = − ，理由如下： ∵BP CP ， 分别为外角 DBC ， ECB 的平分线， ∴ 1 2 PBC DBC = ， 1 2 PCB BCE = ， ∴ ( ) ( ) 1 180 180 2 P PBC PCB DBC BCE = − + = − + ， ∵ 180 DBC BCE A + = +， ∴ ( ) 1 1 180 180 90 2 2 P A A = − + = − ． ◆题型2 三角形中的倒角模型之“8”字模型 4． 【答案】（1）证明： 180 A B AOB ++ = ， 180 C D COD + + = ， AOB COD = ， A B C D + = + ． （2）解：有3 个，分别是 , , ABCD ABED BEDC ． （3） BE 平分 ABC ，DE 平分 ADC ， , ABE CBE CDE ADE = = ． 由（1），同理可证得 A ABE E ADE + = + ， C CDE E CBE + = + ， A ABE C CDE E ADE E CBE + ++ =+ ++ ， 1 ( ) 2 E A C = + ． 5． 【答案】（1）证明： 180 A D AOD C B BOC + + = ++ = ， AOD BOC = ， A D C B + = +； （2） ADC 和 ABC 的平分线DE 和BE 相交于点E ， ADE CDE = ， ABE CBE = ， 由（1）可得 A ADE E ABE + =+ ， C CBE E CDE + = + ， 2 A C E + = ， 28 A = ， 32 C = ， 5 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 E = ； （3） 2 3 A C E + = ． 理由： 1 3 CDE ADC = ， 1 3 CBE ABC = ， 2 ADE CDE = ， 2 ABE CBE = ， 由（1）可得 A ADE E ABE + =+ ， C CBE E CDE + = + ， 2 2 2 2 C CBE E CDE + = + ， 2 2 3 2 A C ADE CBE E ABE CDE + + + = + + ． 6． 【答案】解：（1） AOC DOB = ， 180 A C AOC D B DOB ++ = ++ = ， A C B D + = + ∠ ∠ ∠ ∠ （2）（i）根据（1）可得 C CAE E CDE + = + ①， B BDE E BAE + = + ②， 由 + ① ②得 C CAE B BDE E CDE E BAE + + + = + + + ， AE 平分 CAB ，DE 平分 BDC ， CAE BAE = ， BDE CDE = ， 2 C B E + = ， 30 , 20 C B = = ， 25 E = ． （ii）4 3 E C B = + ．理由如下： 根据（1）可得 C CAE E CDE + = + ， E BAE B BDE + = + 1 4 CAE CAB = ， 1 4 CDE BDC = ， 3 4 BAE CAB = ， 3 4 BDE BDC = ， 1 1 4 4 C CAB E BDC + = + ③， 3 3 4 4 E CAB B BDC + = + ④， 由③3 −④得 1 3 1 3 3 3( 4 4 4 4 C CAB E CAB E BDC B BDC + − + = + − + ， 3 3 C E E B − = − ， 4 3 E C B = + ． ◆题型3 三角形中的倒角模型之燕尾模型 7． 【答案】解：（1）如图1，连接AD并延长至点H． ∴ BDC BDH CDH = + 6 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BAD B CAD C = ++ + BAC B C = ++ 86 34 24 144 = + + = ； （2）如图2，连接AG 并延长至点K． ∵BE CF ， 分别平分 ABD ， ACD ， ∴ 1 1 34 17 2 2 ABE ABD = = = ， 1 1 24 12 2 2 ACF ACD = = = ， ∴ BGC BGK CGK = + ABE BAG CAG ACF = + + + ABE BAC ACF = + + 17 86 12 115 = + + = ， 故答案为：144；115． 8． 【答案】（1）解：方法1：李师傅制作的这一个模具不合格 如图延长BC 交AD于点E ． 84 A = ， 35 B = CED A B = + 84 35 = + 119 = ， 又 30 D = 119 30 149 150 BCD CED D = + = + = 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法2：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接AC 并延长AC 至E ． 7 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 则 BCE B BAC = + ， DCE D DAC = + ． 又 84 BAD = ， 35 B = ， 30 D = BCD BCE DCE = + B BAC D DAC = + + + B D BAD =++ 35 30 84 = + + 149 150 = ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． 方法3：李师傅制作的这一个模具不合格． 如图，连接BD． 在 ABD △ 中， 84 A = ，且 180 A ABD ADB + + = ， 96 ABD ADB + = ， 35 ABC = ， 30 ADC = ， ( ) ( ) CBD CDB ABD ABC ADB ADC + = − + − ABD ADB ABC ADC = + − − 31 = ， 在四边形ABCD中， 180 CBD CDB BCD + + = ， 149 150 BCD = ， 所以，李师傅制作的这一个模具不合格． （2） AB CD ∥ 180 AEF CFE + = 又 AEM = ， CFM = ( ) ( ) ( ) 180 MEF MFE AEF AEM CFE CFM + = − + − = − + 又 EFM 与 FEM 两个角的平分线交于点N 1 2 NEF MEF = ， 1 2 NFE MFE = 8 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 ( ) 90 ( ) 2 2 NEF NFE MEF MFE + = + = − + ( ) ( ) 1 180 90 2 ENF NEF NFE = − + = + + ． 9． 【答案】解：（1） ABC A D C = + + ． 证明：如图，连接DB，并延长至点E ， ∵ = A ADB ABE + ， C CDB CBE + = ， ∵ ABC ABE CBE = + ， ∴ ABC A ADB CDB C = + + + ， ∴ ABC A ADC C = + + ； （2）如图，连接CF ， 由（1）可知 B A AFC BCF = + + ， D E EFC DCF = + + ， ∵ 150 B D + = ， 90 A BCD E + + = ， ∴150 A AFC BCF E EFC DCF = + + ++ + ， ∴150 90 90 AFC EFC AFE = + + = + ， ∴ 60 AFE = ； （3）如图，在直线EN 上取一点P ，连接AP ， 由（2）可知 150 1 3 B D C E + = = ++ ＋ ， ∵ 50 C E + = ， ∴ 1 3 100 += ， ∵AM EN ∥ ， 9 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 3 = ， ∴1 2 100 += °， ∴ 100 MAB = ． 故答案为：100． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 二、填空题 6．115 7．270/270 度 8．30 9．80 10．4 3 P C B = + 三、解答题 11． 【答案】(1)证明：延长CD交AB 于点E，如图， BDC B BED = + ， BDC BED ， BED A C = + ， BED A ， BDC A ； 10 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)证明：延长CD交AB 于点E，如图， BDC B BED = + ， BED A C = + ， BDC B C A = + +． (3) 360 BDC B C BAC +++ = ，证明如下： 连接AD，如图， 180 B BDA BAD + + = ， 180 C CDA CAD + + = ， 360 B BDA BAD C CDA CAD + + ++ + = ， 360 BDC B C BAC +++ = ． 12．（25-26 七年级下·河北承德·期末）已知线段AB 与CD相交于点O，连接AD，BC ． (1)如图1，若 85 A D + = ，则 BOC 的度数为__________， B C + 的度数为__________； (2)如图2．若 EAO C = ， EAD D = ，求证： 2 B D = ； (3)如图3，若 DAP BAP = ， DCP BCP = ， 90 B D + = ，求 P 的度数． 【答案】(1)95，85 (2)证明：在 AOE △ 与 COB △ 中， 180 EAO AEO AOE B C BOC + + = + + = ， ∵ AOE BOC = ， ∴ EAO AEO C B + = +， EAO C = ， 11 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AEO B = ， EAD D = ， AEO EAD D = + ， 2 AEO D = ， 2 B D = ； (3)45 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得 EAO AEO C B + = +，则有 AEO B = ，然后根据三角形 外角的性质可进行求证； （3）由（1）得1 3 D P + = +， 4 2 B P += +，然后可得 2 B D P + = ，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在AOD 中， 180 A D AOD + + = ，且 85 A D + = ， ∴ ( ) 180 95 AOD A D = −+ = ， ∴ 95 AOD BOC = = ， ∵ 180 B C BOC ++ = ， ∴ 85 B C + = ； （2）略 （3）解：如下图， DAP BAP = ， DCP BCP = ， 1 2 =， 3 4 = ， 由（1）得1 3 D P + = +， 4 2 B P += +， 两式相加，得1 4 2 3 2 B D P +++ = ++ ， 即 2 B D P + = ， ( ) 1 1 90 45 2 2 P B D = + = = ． 13．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）【模型认识】如图1，该图形长得像一个飞镖，故曰“飞镖”模型． 【初步探索】 12 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知1 40 = ， 2 25 = ， 3 33 = ，求 4 的度数． 【归纳结论】 (2) 1 、 2 、 3 和 4 的数量关系是________． 【深入探究】 (3)如图2 ，若 5 46 = ， 6 96 = ， 1 2 = 且 3 4 = ，直接写出 7 的度数． 【答案】(1)98 (2) 4 1 2 3 = ++ (3)146 【分析】 （1）连接AC 并延长到点E，由三角形外角的性质可得 2 BCE BAE = + ∠ ∠ ∠ ， 3 DCE DAE = + ∠ ∠ ∠ ， 则可推出 4 1 2 3 = ++，据此代入求解即可； （2）由（1）可得答案； （3）由（1）得 6 1 3 5 = + + ∠ ∠ ∠ ∠， 7 2 4 6 = ++，求出1 3 +的度数，则可得到 2 4 +的度数， 据此可得答案． 【详解】（1）解：如图1 所示，连接AC 并延长到点E， ∴ 2 BCE BAE = + ∠ ∠ ∠ ， 3 DCE DAE = + ∠ ∠ ∠ ， ∴ 4 2 3 1 2 3 BCE DCE BAE DAE = + = + + + = + + ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠， ∵1 40 = ， 2 25 = ， 3 33 = ， ∴ 4 98 = ； （2）解；由（1）可得 4 1 2 3 = ++； （3）解：由（1）得 6 1 3 5 = + + ∠ ∠ ∠ ∠， 7 2 4 6 = ++， ∵ 5 46 = ， 6 96 = ， ∴ 1 3 50 + = ∠ ∠ ， ∵ 1 2 = 且 3 4 = ， ∴ 2 4 1 3 50 += + = ∠ ∠ ， ∴ 7 2 4 6 50 96 146 = ++= + = ． 14．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）如图1，AB 与CD交于点E ， 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求证： A D B C + = + ； (2)如图2 ，AD BC ∥ ，AF CD ∥ ，AE 平分 DAF ，AF BF ⊥ ，求证： 2 C ABF = ； (3)如图3，AD BC ∥ ，AN 平分 BAD ，CN 平分 BCD ，AN 与CN 交于点N ，DM AB ⊥ ，BM CD ⊥ ， DM 与BM 交于点M ，试探究 M 与 N 的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)∵ 180 A D AED + = − ， 180 B C BEC + = − ， 又 AED BEC = ， ∴ A D B C + = + ； (2)设 ABF = ，设BF 与CD交于点G ， ∵AF BF ⊥ ， ∴ 180 90 90 FAB = − − = − ， ∵AE 平分 DAF ， ∴ 90 DAB FAB = = − ， ∵AD BC ∥ ， ∴ 90 ABC DAB = = − ， ∴ 90 2 CBF ABC ABF = − = − ， ∵AF CD ∥ ， ∴ 90 BGE F = = ， ∴ 180 90 BGC BGE = − = ， ∴ 180 90 2 C CBF = − − = ，即 2 C ABF = ； (3) 2 180 M N + = ，理由如下： 设 1 DAN = ， 2 DCN = ， ∵AN 平分 BAD ，CN 平分 BCD ， ∴ 2 1 DAE = ， 2 2 BCE = ， ∵AD BC ∥ ， 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 2 ADE BCE = = ， 由（1）的结论得 DAN ADC DCN N + = + ，即1 2 2 2 N + = + ， ∴ 1 2 N = +， 在AED 中， ( ) ( ) 180 180 2 1 2 AED EAD EDA = − + = − + ， ∵DM AB ⊥ ，BM CD ⊥ ， 由四边形内角和定理知 360 90 90 180 M AEC AEC AED = − − − = − = ， ∴ ( ) 180 2 1 2 M = − + ， ∴ 180 2 M N = − ， ∴ 2 180 M N + = ． 【分析】（1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设 ABF = ，设BF 与CD交于点G ，求得 90 ABC DAB = = − ， 90 2 CBF = − ，根据平行线 的性质结合三角形内角和定理求得 2 C = ，据此计算即可证明； （3）设 1 DAN = ， 2 DCN = ，利用（1）的结论得到 1 2 N = +，在AED 中，求得 ( ) 180 2 1 2 AED = − + ，利用四边形内角和定理求得 M AED = ，据此计算即可得到 2 180 M N + = ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略
