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专题01 等腰三角形重难点八大题型汇编
常考题型·精准突破
◆题型1 腰和底不明时需分类(高频)
1．
【答案】B
【详解】解：当8cm为腰长时，底边长为36 −2 × 8 = 20，
∵8 + 8 < 20，不能构成三角形，
∴此情况不成立；
当8cm为底边长时，腰长为
36−8
2
= 14，
∵8 + 14 > 14，能构成三角形，
∴腰长为14cm.
2．
【答案】A
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，周长为23cm，𝐵𝐶= 4cm，分两种情况讨论：
情况1：若𝐵𝐶为腰，则另一腰长为4cm，底边长为23 −4 −4 = 15cm，
∵4 + 4 = 8 < 15，不满足三角形三边关系，
∴此情况不成立，舍去；
情况2：若𝐵𝐶为底，则两腰长相等，
∴腰长为
23−4
2
= 9.5cm，此时三边长为4cm，9.5cm，9.5cm，满足三角形三边关系，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，
∴△𝐷𝐸𝐹的边长与△𝐴𝐵𝐶对应相等，
∴△𝐷𝐸𝐹必有一条边等于9.5cm或4cm，
综上，△𝐷𝐸𝐹必有一条边等于9.5cm或4cm，没有一条边等于15cm，
故选项A 符合题意．
3．
【答案】B
【详解】解：∵三角形内角和为180°，若120°为底角，则两个底角的和为120° + 120° = 240° > 180°，
不符合三角形内角和定理，
∴∠𝐴= 120°只能是等腰△𝐴𝐵𝐶的顶角，
∴底角为
180°−120°
2
= 30°．
4．
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【答案】17
【详解】解：∵(𝑎−3)2 + |7 −𝑏| = 0，且平方与绝对值均为非负数，
∴𝑎−3 = 0，7 −𝑏= 0，
解得𝑎= 3，𝑏= 7，
分两种情况讨论：① 当3为腰长时，三角形三边长分别为3，3，7，
∵3 + 3 < 7，不满足三角形三边关系，不能组成三角形，故此情况舍去；
② 当7为腰长时，三角形三边长分别为3，7，7，
3 + 7 > 7，满足三角形三边关系，能组成三角形，
此时三角形的周长为3 + 7 + 7 = 17
◆题型2 顶角和底角不明时需讨论(重点)
5．
【答案】A
【详解】解：分两种情况讨论：
若100°为底角，则两个底角和为100° × 2 = 200°，∵三角形内角和为180°，200° > 180°，不符合题意，
舍去；
若100°为顶角，∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，∴底角度数为
1
2 (180° −100°) = 40°；
综上，该等腰三角形的底角度数为40°．
6．
【答案】D
【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为𝑥、4𝑥，
情况1：当顶角为𝑥时，两个底角均为4𝑥，
∵三角形内角和为180°，
∴𝑥+ 4𝑥+ 4𝑥= 180°，
解得𝑥= 20°，即顶角度数为20°；
情况2：当顶角为4𝑥时，两个底角均为𝑥，
∵三角形内角和为180°，
∴4𝑥+ 𝑥+ 𝑥= 180°，
解得𝑥= 30°，4𝑥= 120°，即顶角度数为120°；
因此该等腰三角形的顶角度数为20°或120°．
7．
【答案】B
【详解】解：①当顶角的外角为110°时， 则顶角为180° −110° = 70°，
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∴等腰三角形的底角度数为
180°−70°
2
= 55°；
②当底角的外角为110°时， 则底角为180° −110° = 70°；
综上所述，底角可能为55°或70°．
8．
【答案】C
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角为40°，未说明是顶角还是底角，因此分两种情况讨论；
①当40°为顶角时，∵三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，
∴另外两个底角的度数都为
180°−40°
2
= 70°，即另外两个内角为70°，70°；
②当40°为底角时，另一个底角为40°，
∴顶角为180° −2 × 40° = 100°，即另外两个内角为40°，100°；
综上，另外两个内角为40°，100°或70°，70°．
9．
【答案】D
【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，
∴分两种情况讨论：
①当80°为顶角时，顶角度数即为80°．
②当80°为底角时，顶角度数为180° −2 × 80° = 20°．
综上，该等腰三角形的顶角度数为80°或20°．
10．
【答案】B
【详解】解：分两种情况讨论：
①当高在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的内部时，如图，
由题意，得：∠𝐴𝐷𝐵= 90°，∠𝐴𝐵𝐷= 25°，
∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝐵𝐷= 65°；
②当高在等腰三角形𝐴𝐵𝐶的外部时，如图：
由题意，得：∠𝐴𝐷𝐵= 90°, ∠𝐴𝐵𝐷= 25°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐷= 115°；
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综上所述，顶角的度数为65°或115°．
故选：B．
◆题型3 涉及腰高位置的讨论
11．
【答案】C
【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 50°，即顶角为50°；
当等腰三角形为钝角三角形时，
，
∵𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵𝐴𝐷= 130°，即顶角为130°；
综上所述，其顶角为50°或130°，
故选：C．
12．
【答案】D
【详解】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
由题意得：∠𝐴𝐵𝐷= 56°，𝐵𝐷⊥𝐴𝐶，
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∴∠𝐴= 90° −56° = 34°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为34°；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
由题意得：∠𝐴𝐵𝐷= 56°，𝐵𝐷⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −56° = 34°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −34° = 146°，
∴此等腰三角形的顶角的度数为146°；
综上所述，此等腰三角形的顶角的度数为146°或34°，
故选：D．
13．
【答案】C
【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐷= 50°，𝐵𝐷是腰上的高，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 90° −50° = 40°，
①如图1，若∠𝐴为顶角，
则∠𝐴= 40°，两底角为70°，
此时三角形的三个内角为：40°，70°，70°，
②如图2，∠𝐵𝐴𝐶为顶角，
则顶角为∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐷= 140°，
此时三角形的三个内角为：140°，20°，20°，
③如图3，若∠𝐵𝐶𝐴为顶角时，
∠𝐴= 90° −∠𝐴𝐵𝐷= 40°，
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝐶= 40°，
即顶角∠𝐵𝐶𝐴= 100°，
此时三角形的三个内角为：100°，40°，40°，
顶角的度数可能有100°，140°，40°，
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故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，对三角形进行分类讨论是解题的关键．
◆题型4 等腰三角形个数的讨论(重点)
14．
【答案】B
【详解】解：由题意知，𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝐶= 35°，
在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 70°，∠𝐶= 35°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −70° −35° = 75°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐶+ ∠𝐷𝐴𝐶= 70° = ∠𝐵，
∴等腰三角形有△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐵𝐷两个．
15．
【答案】C
【详解】解：如图所示，
当点C 在𝐶1或𝐶2或𝐶3或𝐶4的位置上时，𝐴𝐶= 𝐵𝐶，
当点C 在𝐶5或𝐶6位置上时，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，
∴满足条件的格点C 的个数有6 个．
16．
【答案】C
【详解】解：如图：分情况讨论：①𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶底边时，符合条件的𝐶点有0 个；
②𝐴𝐵为等腰直角△𝐴𝐵𝐶其中的一条腰时，符合条件的𝐶点有3 个．
故共有3 个点，
故选：C．
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◆题型5 等腰三角形中动点引起的分类(难)
17．
【答案】
20
3
【详解】解：设运动时间为𝑡秒，由题意，得：𝐵𝑃= 2𝑡cm,𝐴𝑄= 𝑡cm，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝐵−𝐵𝑃= (20 −2𝑡)cm，
∵∠𝐵𝑃𝑄= ∠𝐶𝑄𝑃，
∴180° −∠𝐵𝑃𝑄= 180° −∠𝐶𝑄𝑃，
∴∠𝐴𝑃𝑄= ∠𝐴𝑄𝑃，
∴𝐴𝑃= 𝐴𝑄，
∴20 −2𝑡= 𝑡，
∴𝑡=
20
3 ；
故答案为：
20
3 ．
18．
【答案】11 或12
【详解】解：设运动时间为t 秒．
由题意可知，当点P 运动到点B 时两点停止运动，则0 ≤𝑡≤16，
当点Q 在边𝐶𝐴上运动时，此时6 ≤𝑡≤16，
①当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为底边的等腰三角形时：𝐵𝑄= 𝐶𝑄，如图所示，
则∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝑄，
∵∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐴𝐵𝑄= 90°，∠𝐴+ ∠𝐶= 90°．
∴∠𝐴= ∠𝐴𝐵𝑄，
∴𝐵𝑄= 𝐴𝑄，
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∴𝐶𝑄= 𝐴𝑄=
1
2 𝐴𝐶= 10(cm)，
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 22(cm)，
∴𝑡= 22 ÷ 2 = 11(s)；
②当△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝑄为底边的等腰三角形时：𝐶𝑄= 𝐵𝐶，如图所示，
则𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 24(cm)，
∴𝑡= 24 ÷ 2 = 12(s)．
故答案为：11 或12．
19．
【答案】60°或105°
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 30°．
当△𝐴𝐷𝐸为等腰三角形时分三种情况：①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 180° −∠𝐴𝐷𝐸−∠𝐴𝐸𝐷= 120°．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 120°，点𝐷不与点𝐵，𝐶重合，
∴不合题意；
②当𝐷𝐴= 𝐷𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴
= 1
2 (180° −∠𝐴𝐷𝐸)
= 75°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵
= 30° + 75°
= 105°；
③当𝐸𝐴= 𝐸𝐷时，∠𝐴𝐷𝐸= 30°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐸𝐷𝐴= 30°，
∴∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵
= 30° + 30°
= 60°．
综上所述，∠𝐶𝐷𝐴为60°或105°．
故答案为：60°或105°．
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20．
【答案】110°或80°
需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为180°求解角度即可．
【详解】解：∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐵= ∠𝐶= 40°，∠𝐵𝐴𝐶= 100°，
①当𝐴𝐷= 𝐴𝐸时，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐸𝐷= 40°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 100°，此时不符合；
②当𝐷𝐴= 𝐷𝐸时，即∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐸𝐴=
1
2 × (180° − 40°) = 70°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 100° −70° = 30°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= 180° −30° −40° = 110°；
③当𝐸𝐴= 𝐸𝐷时，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 100° −40° = 60°，
∴∠𝐵𝐷𝐴= 180° −60° −40° = 80°；
综上所述，当△𝐴𝐷𝐸是等腰三角形时，
∠𝐵𝐷𝐴的度数是110°或80°．
故答案为：110°或80°．
21．
【详解】（1）解：∵设运动的时间为𝑡秒，其中点𝑃从点𝐴开始沿𝐴→𝐵的方向运动，且速度为1cm/s，
点𝑄从点𝐵开始沿𝐵→𝐶→𝐴的方向运动，且速度为2cm/s，𝑃，𝑄两点同时出发，
∴𝐴𝑃= 𝑡，𝐵𝑃= (16 −𝑡)cm，𝐵𝑄= 2𝑡cm
故答案为：𝐵𝑃= (16 −𝑡)cm， 𝐵𝑄= 2𝑡cm；
（2）①当点𝑄在边𝐵𝐶上运动时，△𝑃𝑄𝐵是等腰三角形时，则𝐵𝑃= 𝐵𝑄
∴16 −𝑡= 2𝑡
解得：𝑡=
16
3 ；
∴出发
16
3 秒后；
②略
（3）当点𝑄在边𝐶𝐴上运动时，
①若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶为底边的等腰三角形
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则𝐵𝑄= 𝐶𝑄= 𝐴𝑄=
1
2 𝐴𝐶= 10
∴𝐵𝐶+ 𝐶𝑄= 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶−𝐴𝑄
∴2𝑡= 32 −10
解得：𝑡= 11
②若△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝑄为底边的等腰三角形
则𝐵𝐶= 𝐶𝑄= 12
2𝑡= 12 + 12
解得：𝑡= 12
综上所述：𝑡为11 秒或12 秒时，△𝐵𝐶𝑄是以𝐵𝐶或𝐵𝑄为底边的等腰三角形.
◆题型6 等边三角形中动点综合问题(难)
22．
【详解】（1）解：∵边长为18 的等边△𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶= 18，∠𝐵= ∠𝐶= 60°，
∵𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，
∴𝐵𝐷=
1
3 𝐴𝐵= 6，𝐴𝐷= 12，
∵点P 运动到点C 时，点Q 恰好到达点D，
∴
18
2 𝑎= 18 + 12，
∴𝑎=
10
3 ；
（2）解：成立；
由（1）知：∠𝐵= ∠𝐶= 60°，𝐵𝐷= 6，
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∴当𝐵𝑃= 𝐶𝑃, 𝐵𝐷= 𝐶𝑄时，△𝐵𝑃𝐷≌△𝐶𝑃𝑄，
∴𝐵𝑃=
1
2 𝐵𝐶= 9，𝐶𝑄= 6，
∴𝑡=
9
2，𝑎= 6 ÷
9
2 =
4
3．
23．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是边长为10cm的等边三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 10cm，
由题意可得：𝐵𝑃= 3𝑡cm，𝐶𝑄= 2𝑡cm，
∴𝐵𝑄= (10 −2𝑡)cm；
（2）解：∵△𝐵𝑃𝑄是等边三角形，
∴𝐵𝑄= 𝐵𝑃．
当点𝑃在𝐴𝐵边上时（此时点𝑄在𝐵𝐶边上），
有10 −2𝑡= 3𝑡，解得𝑡= 2；
当点𝑃在𝐵𝐶边上时（此时点𝑄在𝐴𝐵边上），
有30 −3𝑡= 2𝑡−10，解得𝑡= 8．
综上所述，当△𝐵𝑃𝑄是等边三角形时，𝑡的值为2 或8．
24.
【详解】（1）证明：∵点𝑃、点𝑄是同时以相同的速度运动，
∴ 𝐴𝑃= 𝐵𝑄，
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐴𝐵= 𝐶𝐴，∠𝐵= ∠𝑃𝐴𝐶= 60°，
∴ △𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃(SAS)；
（2）解：不改变，
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理由：∵ △𝐴𝐵𝑄≌△𝐶𝐴𝑃，
∴ ∠𝐵𝐴𝑄= ∠𝐴𝐶𝑃，
∵ ∠𝐴𝑀𝐶= 180° −(∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐴𝐶𝑃) = 180° −(∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑄)，
∵ ∠𝑃𝐴𝐶= ∠𝐶𝐴𝑀+ ∠𝐵𝐴𝑄= 60°，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= 180° −60° = 120°；
（3） 解：∠𝐴𝑀𝐶的度数不改变 ，
∵点𝑃、点𝑄是同时以相同的速度运动，
∴ 𝐵𝑃= 𝐶𝑄，
∵ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴ 𝐵𝐶= 𝐶𝐴，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴ ∠𝑃𝐵𝐶= ∠𝑄𝐶𝐴= 120°，
∴ △𝑃𝐵𝐶≌△𝑄𝐶𝐴(SAS)，
∴ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐶𝐴𝑄，∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝐴𝑄𝐶即∠𝐵𝑃𝐶= ∠𝑀𝑄𝐶，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝑀𝐶𝑄= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃= ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑄，
∵ ∠𝐴𝑄𝐶+ ∠𝐶𝐴𝑄= 180° −∠𝑄𝐶𝐴= 60°，
∴ ∠𝐴𝑀𝐶= 60°．
◆题型7 等边三角形-截长补短法解决动点综合问题(高频)
25．
【详解】（1）证明：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐸𝐷𝐶都是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐴𝐵，𝐶𝐸= 𝐶𝐷，∠𝐵𝐶𝐴= ∠𝐸𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180° −∠𝐵𝐶𝐴−∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷 = 60° + 60° = 120°，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐴𝐶𝐷中
{
𝐵𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷
𝐶𝐸= 𝐶𝐷
，
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷（SAS），
（2）解：𝐵𝑀= 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀；
理由如下：
如图，在𝐷𝐴上取点F，使𝐷𝐹= 𝑀𝐸，连接𝐶𝐹，
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∵△𝐵𝐶𝐸≌△𝐴𝐶𝐷，
∴𝐵𝐸= 𝐴𝐷，∠𝐵𝐸𝐶= ∠𝐴𝐷𝐶，
∴∠𝑀𝐸𝐶= ∠𝐹𝐷𝐶，
同理可证：△𝑀𝐸𝐶≌△𝐹𝐷𝐶（SAS），
∴𝑀𝐶= 𝐹𝐶，∠𝑀𝐶𝐸= ∠𝐹𝐶𝐷，
∴∠𝑀𝐶𝐹= ∠𝑀𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐹𝐶𝐷+ ∠𝐸𝐶𝐹 = ∠𝐸𝐶𝐷 = 60°，
∴△𝑀𝐶𝐹是等边三角形，
∴𝐶𝑀= 𝑀𝐹，
∴𝐵𝑀= 𝐵𝐸−𝑀𝐸 = 𝐴𝐷−𝐷𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝑀𝐹 = 𝐴𝑀+ 𝐶𝑀．
26．
【答案】(1)证明：①∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 𝛼，𝛼= 120°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵ 𝐴𝐵= 𝐵𝐸，
∴ △𝐴𝐵𝐸是等边三角形，
∴ ∠𝐸= 60°，
∴ ∠𝐸= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴ 𝐵𝐸∥𝐴𝐶；
②如图，在𝐴𝐸上取一点H，使𝐴𝐻= 𝐴𝐵，连接𝐵𝐻，
由（1）知∠𝐵𝐴𝐸= 60°，
∴ △𝐴𝐵𝐻是等边三角形，
∴ 𝐵𝐻= 𝐵𝐴= 𝐴𝐻，∠𝐵𝐻𝐴= 60°，
∴ ∠𝐵𝐻𝐸= 180° −∠𝐵𝐻𝐴= 120° = ∠𝐵𝐴𝐶，
∵ ∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶= 60°，
∴ 180° −∠𝐵𝐷𝐸−∠𝐸𝐵𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐸𝐴𝐶，
即∠𝐸= ∠𝐶，
在△𝐵𝐻𝐸和△𝐵𝐴𝐶中，
{
∠𝐵𝐻𝐸= ∠𝐵𝐴𝐶
∠𝐸= ∠𝐶
𝐵𝐻= 𝐵𝐴
，
∴ △𝐵𝐻𝐸 ≌△𝐵𝐴𝐶(AAS)，
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∴ 𝐻𝐸= 𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝐸= 𝐴𝐻+ 𝐻𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶；
（2）解：如图，连接𝐴𝐶′，作𝐴𝑀⊥𝐵𝐹于点M，𝐴𝑁⊥𝐹𝐶交𝐹𝐶的延长线于点N，
∵点𝐶与𝐶′关于射线𝐴𝐷对称，
∴ 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶，𝐹𝐶′ = 𝐹𝐶= 3，∠𝐹𝐴𝐶′ = ∠𝐹𝐴𝐶=
1
2 ∠𝐶𝐴𝐶′，𝑆△𝐹𝐴𝐶′ = 𝑆△𝐹𝐴𝐶= 7，
∴
1
2 𝐹𝐶′ ⋅𝐴𝑀=
1
2 𝐹𝐶⋅𝐴𝑁= 7，
∴ 𝐴𝑀= 𝐴𝑁=
2𝑆△𝐴𝐶𝐹
𝐹𝐶
=
2×7
3 =
14
3 ，
∵ 𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐶′ = 𝐴𝐶，
∴ 𝐴𝐶′ = 𝐴𝐵，
∵ 𝐴𝑀⊥𝐵𝐹，
∴ 𝑀𝐶′ = 𝑀𝐵，∠𝑀𝐴𝐶′ = ∠𝑀𝐴𝐵=
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶′，
∴ ∠𝑀𝐴𝐶′ + ∠𝐹𝐴𝐶′ =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶′ +
1
2 ∠𝐶𝐴𝐶′ =
1
2 ∠𝐵𝐴𝐶=
1
2 × 90° = 45°，
∴ △𝐴𝑀𝐹是等腰直角三角形，
∴ 𝐴𝑀= 𝑀𝐹=
14
3 ，
∴ 𝑀𝐶′ = 𝑀𝐹−𝐹𝐶′ =
14
3 −3 =
5
3，
∴ 𝑀𝐵= 𝑀𝐶′ =
5
3，
∴ 𝐵𝐹= 𝐵𝑀+ 𝑀𝐹=
5
3 +
14
3 =
19
3 ．
27．
【答案】
【详解】（1）解：∵𝐴𝐹平分∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, 𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
在△𝐴𝐶𝐹和△𝐴𝐸𝐹中，
{
𝐴𝐸= 𝐴𝐶
∠𝐸𝐴𝐹= ∠𝐶𝐴𝐹
𝐴𝐹= 𝐴𝐹
，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹(SAS)，
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∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐵= ∠𝐴𝐵𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹；
∴与∠𝐴𝐵𝐸相等的角是∠𝐴𝐸𝐵和∠𝐴𝐶𝐹
（2）①图略；
②如图2，在𝐹𝐵上截取𝐵𝑀= 𝐶𝐹，连接𝐴𝑀，
∵△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹，
∴𝐸𝐹= 𝐶𝐹, ∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝑀，
在△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝐶𝐹中，
{
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐵𝑀= ∠𝐴𝐶𝐹
𝐵𝑀= 𝐶𝐹
，
∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐶𝐹(SAS)，
∴𝐴𝑀= 𝐴𝐹, ∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐶𝐴𝐹，∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝑀𝐴𝐹= ∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝑀𝐴𝐶+ ∠𝐵𝐴𝑀= ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∵𝐴𝑀= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝑀𝐹为等边三角形；
∴∠𝐴𝑀𝐹= 60°
∴∠𝐴𝑀𝐵= 120°
∵∠𝐴𝑀𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°
由（1）可得△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝐹𝐶= 120°
∴∠𝐶𝐹𝐸= 360° −∠𝐴𝐹𝐶−𝐴𝐹𝐸= 120°
（3）证明：如图3，延长𝐵𝐴、𝐶𝐹交于N，
∵𝐴𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹= 22.5°, ∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
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∴由（1）可得△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐸𝐹
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐸= ∠𝐴𝐵𝐹= 22.5°,𝐶𝐹= 𝐸𝐹
∴∠𝐵𝐹𝐶= 180° −22.5° −45° −22.5° = 90°，
∴∠𝐵𝐹𝑁= ∠𝐵𝐹𝐶= 90°，
在△𝐵𝐹𝑁和△𝐵𝐹𝐶中，
{
∠𝑁𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐵𝐹= 𝐵𝐹
∠𝐵𝐹𝑁= ∠𝐵𝐹𝐶
，
∴△𝐵𝐹𝑁≌△𝐵𝐹𝐶(ASA)，
∴𝐶𝐹= 𝐹𝑁，
即𝐶𝑁= 2𝐶𝐹= 2𝐸𝐹，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝑁𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝑁中，
{
∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐶𝑁
𝐴𝐵= 𝐴𝐶
∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝑁
，
∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝑁(ASA)，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝑁，
∴𝐵𝐷= 2𝐸𝐹．
28．
【答案】(1)解：选择方法1，证明如下：
如图所示，在𝐵𝐶上截取𝐵𝑀= 𝐵𝐴，连接𝐷𝑀，
∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑀𝐵𝐷，
又∵𝐵𝐴= 𝐵𝑀, 𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐴𝐵𝐷≌△𝑀𝐵𝐷(SAS)，
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∴𝐷𝐴= 𝑀𝐷, ∠𝐴= ∠𝐵𝑀𝐷，
∵∠𝐴+ ∠𝐶= 180°, ∠𝐵𝑀𝐷+ ∠𝐷𝑀𝐶= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝑀𝐶，
∴𝐷𝑀= 𝐷𝐶，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
选择方法2，证明如下：
如图所示，延长𝐵𝐴到点N，使得𝐵𝑁= 𝐵𝐶，连接𝐷𝑁，
∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝑁𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐷，
又∵𝐵𝑁= 𝐵𝐶, 𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴△𝐵𝐷𝑁≌△𝐵𝐷𝐶(SAS)，
∴𝐷𝑁= 𝐷𝐶, ∠𝐶= ∠𝐷𝑁𝐵，
∵∠𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°, ∠𝐷𝐴𝑁+ ∠𝐷𝐴𝐵= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐷𝐴𝑁，
∴∠𝐷𝐴𝑁= ∠𝐷𝑁𝐴，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝑁，
∴𝐷𝐴= 𝐷𝐶；
(2)解：𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶，理由如下：
如图所示，在𝐵𝐷上截取𝐵𝐹= 𝐴𝐵，连接𝐴𝐹，
由（1）得𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∵∠𝐷𝐴𝐶= 60°，
∴△𝐴𝐶𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷, ∠𝐴𝐷𝐶= 60°；
∵∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷= 180°,∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐷= 360°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐶= 360°，
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又∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 120°，
∵对角线𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
又∵𝐵𝐹= 𝐴𝐵，
∴△𝐴𝐵𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐹= 𝐴𝐵, ∠𝐵𝐴𝐹= 60° = ∠𝐷𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐹−∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐹，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，
∴△𝐵𝐴𝐶≌△𝐹𝐴𝐷(SAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐷𝐹，
∵𝐵𝐷= 𝐵𝐹+ 𝐷𝐹，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶；
(3)𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸
(4)4 或18
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，过点D 作𝐷𝐹⊥𝐵𝐴交𝐵𝐴的延长线于点F，连接𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶= 180°，∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐹𝐴𝐷= 180°，
∴∠𝐶= ∠𝐹𝐴𝐷，
∵𝐷𝐹⊥𝐵𝐴，𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹= ∠𝐷𝐸𝐵= ∠𝐷𝐸𝐶= 90°，
又∵𝐷𝐴= 𝐷𝐶，
∴△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐷𝐹= 𝐷𝐸，𝐴𝐹= 𝐶𝐸；
又∵𝐵𝐷= 𝐵𝐷，
∴Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐷𝐹(HL)，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝐸，
∵𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 𝐶𝐸+ 𝐶𝐸= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸，即𝐵𝐶= 𝐴𝐵+ 2𝐶𝐸；
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（4）解：如图所示，
∵𝐷𝐸⊥𝐶𝐸, 𝐷𝐸= 8, 𝐶𝐸= 6，
∴𝑆△𝐶𝐷𝐸=
1
2 𝐷𝐸⋅𝐶𝐸= 24，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷: 𝑆△𝐶𝐸𝐷= 5: 3，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 40；
由（3）可得△𝐷𝐹𝐴≌△𝐷𝐸𝐶，Rt △𝐵𝐷𝐸≌Rt △𝐵𝐷𝐹，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐹= 𝑆△𝐶𝐷𝐸= 24，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 𝑆△𝐵𝐷𝐹= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐹= 64，
∴
1
2 𝐵𝐸⋅𝐷𝐸= 64，
∴𝐵𝐸= 16，
∴𝐵𝐶= 𝐵𝐸+ 𝐶𝐸= 22；
∵𝑆△𝐵𝑃𝐷=
1
2 𝐵𝑃⋅𝐷𝐸= 32，
∴𝐵𝑃= 8，
∴当点P 从B 向点C 运动时，则𝑡=
8
2 = 4，
当点P 从点C 向点B 运动时，则𝑡=
22×2−8
2
= 18，
综上所述，t 的值为4 或18．
◆题型8 等边三角形-作平行线法解决动点综合问题(难)
29．
【详解】（1）解：𝐵𝐷= 𝐷𝐸，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，点D 在边𝐴𝐶的中点，
∴∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐴𝐷= 𝐶𝐷，且𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 30°，∠𝐷𝐶𝐸= 120°
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐸，
∴∠𝐸=
180°−120°
2
= 30°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐸= 30°，
∴𝐵𝐷= 𝐷𝐸；
(2)证明：如图2，过点𝐷作𝐷𝐹∥𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
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∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°, ∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐷𝐹= 60°，
∴△𝐴𝐹𝐷是等边三角形，
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹= 𝐴𝐹，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵−𝐴𝐹= 𝐴𝐶−𝐴𝐷，
∴𝐹𝐵= 𝐶𝐷，
∵𝐴𝐷= 𝐶𝐸，
∴𝐷𝐹= 𝐶𝐸，
又∵∠𝐴𝐹𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∴∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷= 180° −60° = 120°．
在△𝐹𝐵𝐷和△𝐶𝐷𝐸中，
𝐹𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷𝐹𝐵= ∠𝐸𝐶𝐷，𝐷𝐹= 𝐶𝐸，
∴△𝐹𝐵𝐷≌△𝐶𝐷𝐸(SAS)，
∴𝐷𝐵= 𝐸𝐷；
(3)结论：
𝐴𝐶= 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁证明：过𝑀作𝑀𝐹∥𝐴𝐶交𝐴𝐵于𝐹，
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴同理可得△𝐵𝑀𝐹是等边三角形，
∴𝐵𝐹= 𝐵𝑀, 𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 𝐴𝐶, ∠𝐵= 60°，
∴𝐴𝐵−𝐵𝐹= 𝐵𝐶−𝐵𝑀，
∴𝐴𝐹= 𝐶𝑀，
∵在△𝐴𝐵𝑀中，∠𝑀𝐴𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐴𝑀𝐵，∠𝑁𝑀𝐶= 180° −∠𝐴𝑀𝑁−∠𝐴𝑀𝐵，∠𝐵= ∠𝐴𝑀𝑁= 60°，
∴∠𝑁𝑀𝐶= ∠𝑀𝐴𝐹，
∵𝐶𝑁平分∠𝐴𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝑁=
180°−60°
2
= 60°，
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∴∠𝑀𝐶𝑁= ∠𝐴𝐶𝑁+ ∠𝐴𝐶𝐵= 120°,∠𝐴𝐹𝑀= 180° −∠𝐵𝐹𝑀= 120°，
∴∠𝑀𝐶𝑁= ∠𝐴𝐹𝑀，
在△𝐴𝐹𝑀与△𝑀𝐶𝑁中，{
∠𝑀𝐴𝐹= ∠𝑁𝑀𝐶
𝐴𝐹= 𝑀𝐶
∠𝐴𝐹𝑀= ∠𝑀𝐶𝑁
，
∴△𝐴𝐹𝑀≌△𝑀𝐶𝑁(ASA)，
∴𝐹𝑀= 𝐶𝑁= 𝐵𝑀，
∴𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐶𝑀+ 𝐵𝑀= 𝐶𝑀+ 𝐶𝑁．
30．
【答案】(1)=
(2)如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐴𝐶于点𝐹，
则∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∵∠𝐴= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐹𝐸= 𝐴𝐹，∠𝐴𝐹𝐸= 60°，
∴∠𝐸𝐹𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸= 120°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐸= 𝐴𝐹，
∴𝐵𝐸= 𝐶𝐹，
∵𝐸𝐹∥𝐵𝐶，
∴∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹，
∵𝐸𝐷= 𝐸𝐶，
∴∠𝐷= ∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐶𝐸𝐹，
在△𝐷𝐵𝐸和△𝐸𝐹𝐶中，
{
∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐸𝐹𝐶
∠𝐷= ∠𝐶𝐸𝐹
𝐵𝐸= 𝐹𝐶
，
∴△𝐷𝐵𝐸≌△𝐸𝐹𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐹𝐸，
∴𝐵𝐷= 𝐴𝐸；
(3)不发生变化，证明如下：
如图，过点𝐸作𝐸𝐹∥𝐵𝐶交𝐶𝐴的延长线于点𝐹，
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∴∠1 = ∠𝐹，∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐹= 180°，
∵∠𝐵= ∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐴𝐹= ∠2 = ∠𝐹= 60°，
∴△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐹，∠𝐹= ∠𝐵= 60°，
∵𝐷𝐸= 𝐶𝐸，
∴∠3 = ∠𝐵𝐶𝐸，
∵∠3 + ∠4 = 180°，
∴∠4 = ∠𝐶𝐸𝐹，
在△𝐵𝐷𝐸与△𝐹𝐸𝐶中，
{
∠4 = ∠𝐶𝐸𝐹
∠𝐵= ∠𝐹
𝐷𝐸= 𝐶𝐸
，
∴△𝐵𝐷𝐸≌△𝐹𝐸𝐶(AAS)，
∴𝐵𝐷= 𝐸𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐷．
31．
【答案】
问题思考：证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 60°，𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∵△𝐵𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐹，∠𝐸𝐵𝐹= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐸𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹，
在△𝐴𝐵𝐸和△𝐶𝐵𝐹中，
{
𝐸𝐵= 𝐵𝐹
∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐴𝐵= 𝐵𝐶
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(𝑆𝐴𝑆)，
∴𝐴𝐸= 𝐶𝐹，
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∴𝐶𝐷= 𝐶𝐵= 𝐶𝐴= 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
类比探究：作𝐷𝐺//𝐴𝐵交𝐴𝐶于点𝐺，如图所示：
∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 60°，
∵𝐷𝐺//𝐴𝐵
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐴= 60°
∴∠𝐺𝐷𝐶= ∠𝐷𝐺𝐶= ∠𝐺𝐶𝐷= 60°
∴△𝐶𝐷𝐺是等边三角形，
∴𝐷𝐺= 𝐷𝐶= 𝐶𝐺，
∵△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹= 60°，
∴∠𝐺𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐶𝐷𝐹+ ∠𝐸𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹，
在△𝐷𝐸𝐺和△𝐶𝐷𝐹中，
{
𝐺𝐷= 𝐶𝐷
∠𝐺𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐹
𝐷𝐸= 𝐷𝐹
∴△𝐺𝐷𝐸≌△𝐶𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)
∴𝐺𝐸= 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐷= 𝐶𝐺= 𝐶𝐸+ 𝐸𝐺= 𝐶𝐸+ 𝐶𝐹，
∴𝐶𝐸+ 𝐶𝐹= 𝐶𝐷；
综合攻坚·知能拔高
1．
【答案】B
【详解】解：∵𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷，𝐵𝐶= 𝐵𝐷+ 𝐶𝐷
∴𝐴𝐷= 𝐷𝐶，
∵点𝐸是𝐴𝐶的中点，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，
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∵∠𝐶= 50°，
∴∠𝐶𝐷𝐸= 90° −50° = 40°．
2．
【答案】A
【详解】解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐸𝐶
由作图得，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
∴∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐶𝐴𝐸
∴𝐶𝐸= 𝐴𝐶= 5
∴△𝐴𝐶𝐸的周长为𝐴𝐶+ 𝐶𝐸+ 𝐴𝐸= 5 + 5 + 6 = 16．
3．
【答案】C
【详解】解：如图，连接𝐵𝐷，
∵∠𝐵𝐶𝐸= 120°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐶𝐷= 𝐵𝐶，
∴△𝐵𝐶𝐷为等边三角形，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 60cm．
4．
【答案】C
【详解】解：∵ ∠𝐵𝐴𝐶= 50°，𝐵𝐸、𝐶𝐷为△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴ ∠𝐶𝐵𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝐴𝐶= 130°，
∴ ∠𝐵𝐹𝐶= 180° −(∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐵𝐶𝐹) = 180° −
1
2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 115°，故①正确；
∵ 𝐹𝐺平分𝐵𝐶交𝐵𝐶于点G，
∴𝐵𝐺= 𝐶𝐺，
∴𝑆△𝐵𝐹𝐺= 𝑆△𝐶𝐹𝐺，故②正确；
已知𝐵𝐹公共边，∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐹（𝐵𝐸是角平分线），
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但题目没有给出𝐵𝐷= 𝐵𝐺或∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐵𝐺𝐹这类条件，故无法证明全等，故③错误；
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
又∵𝐵𝐸、𝐶𝐷是底角的角平分线，
∴ ∠𝐶𝐵𝐹=
1
2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝐹=
1
2 𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐶𝐵𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐹，
又𝐺是𝐵𝐶的中点，
∴𝐹𝐺⊥𝐵𝐶，故④正确．
5．
【答案】𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶 或 ∠𝐴= 60° 或∠𝐵= 60°或∠𝐶= 60°
【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填𝐴𝐵= 𝐵𝐶或𝐴𝐶= 𝐵𝐶；
根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，也可以填∠𝐴= 60°或∠𝐵= 60°或∠𝐶= 60°．
6．
【答案】16
【详解】解：由作图可知，𝐴𝐷= 𝐴𝐶，
∵𝐴𝐶= 6，
∴𝐴𝐷= 6，
由作图可知，直线𝑀𝑁是𝐵𝐷的垂直平分线，
∵点𝐸在直线𝑀𝑁上，
∴𝐸𝐵= 𝐸𝐷，
𝐶△𝐴𝐷𝐸= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐷𝐸，
将𝐷𝐸= 𝐸𝐵代入得，𝐶= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐸+ 𝐸𝐵= 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵，
∵𝐴𝐵= 10，𝐴𝐷= 6，
∴𝐶△𝐴𝐷𝐸= 6 + 10 = 16．
7．
【答案】①②④⑤
【详解】解：∵△𝐷𝐴𝐶和△𝐸𝐵𝐶都是等边三角形，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，𝐴𝐶= 𝐷𝐶, 𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵= 120°，
在△𝐴𝐶𝐸与△𝐷𝐶𝐵中，
{
𝐴𝐶= 𝐷𝐶
∠𝐴𝐶𝐸= 𝐷𝐶𝐵
𝐶𝐵= 𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)，故①正确；
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∵∠𝐷𝐶𝐵= 120°，∠𝐸𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐷𝐶𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐶= 180°，
∴𝐷𝐶∥𝐸𝐵，故②正确；
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶，
∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸= 60°, 𝐴𝐶= 𝐶𝐷，
在△𝐴𝐶𝑀和△𝐷𝐶𝑁中 ，
{
∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐶
𝐷𝐶= 𝐴𝐶
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸
，
∴△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁(ASA)，
∴𝐴𝑀= 𝐷𝑁，
根据三角形外角性质得到∠𝐴𝑀𝐶> ∠𝑀𝐶𝐸，则∠𝐴𝑀𝐶> ∠𝐴𝐶𝑀，
∴𝐴𝐶> 𝐴𝑀，
∴𝐴𝐶> 𝐷𝑁，故③错误；
∵由②中△𝐴𝐶𝑀≌△𝐷𝐶𝑁，
可得𝐴𝑀= 𝐷𝑁，
∵△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵 ，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐵，
∴𝐸𝑀= 𝐵𝑁，故④正确；
⑤∠𝐶𝑀𝑁= 60°，𝐶𝑀= 𝐶𝑁，∠𝑀𝐶𝑁= 60°，
因此△𝐶𝑀𝑁是等边三角形，∠𝐶𝑀𝑁= 60°，⑤正确；
综上，正确结论为①②④⑤．
8．
【答案】①②③
【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸+ ∠𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐵，
又∵𝐶𝐷= 𝐶𝐴，𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐵(SAS)，
∴∠𝐶𝐸𝐴= ∠𝐶𝐵𝐷，即∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶，故①正确；
若C 是𝐴𝐵的中点，则𝐴𝐶= 𝐵𝐶= 𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐸𝐴，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐶𝐵𝐷，
又∵∠𝐴𝐶𝐺= ∠𝐵𝐶𝐻，
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∴△𝐴𝐶𝐺≌△𝐵𝐶𝐻(ASA)，
∴𝐶𝐺= 𝐶𝐻，故②正确；
若𝐴𝐷∥𝐶𝐸，则∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵𝐶𝐴= 𝐶𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐷𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐶𝐷𝐴= ∠𝐴𝐶𝐷= 60°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐶𝐸= 𝐶𝐵，
∴△𝐶𝐵𝐸是等边三角形，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 60° = ∠𝐴𝐶𝐷，
∴𝐶𝐷∥𝐵𝐸，故③正确；
若∠𝐴𝐶𝐷= 40°，则∠𝐵𝐶𝐸= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 180° −40° = 140°，
∵∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐴= 180°，∠𝐶𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐹𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐶𝐸= 140°，故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
9．
【答案】(1)证明：∵∠𝐴𝐷𝐹是△𝐴𝐵𝐷的外角，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠1 + ∠4，
∵∠𝐷𝐴𝐹= ∠2 + ∠3，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐷𝐴𝐹，
∴𝐴𝐹= 𝐷𝐹，
∴△𝐴𝐷𝐹是等腰三角形．
(2)证明：由（1）得𝐴𝐹= 𝐷𝐹，
∵𝐸𝐹⊥𝐴𝐷，
∴𝐴𝐸= 𝐷𝐸．
10．
【答案】(1)解：如图，线段𝐴𝐸与𝐵𝐹的数量关系：𝐴𝐸= 𝐵𝐹．
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理由：∵𝐵𝐴= 𝐵𝐶，∠𝐸𝐵𝐷= 60°，
∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵= 𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶= 120°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐹，
在△𝐴𝐶𝐸与△𝐵𝐶𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹
∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐹𝐵𝐶
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐵𝐶𝐹(AAS)，
∴𝐴𝐸= 𝐵𝐹；
(2)证明：如图，在𝐵𝐸上截取𝐵𝐻= 𝐵𝐷，连接𝐷𝐻，
∵∠𝐸𝐵𝐷= 60°，𝐵𝐻= 𝐵𝐷，𝐵𝐴= 𝐵𝐶，
∴△𝐵𝐷𝐻、△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐵𝐻−𝐴𝐵= 𝐵𝐷−𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐻𝐵= ∠𝐷𝐵𝐻= 60°，𝐴𝐻= 𝐶𝐷，
∴∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹= 120°，
∵𝐷𝐸= 𝐷𝐹，
∴∠𝐸= ∠𝐹，
在△𝐷𝐻𝐸与△𝐷𝐵𝐹中，
{
∠𝐸= ∠𝐹
∠𝐷𝐻𝐸= ∠𝐷𝐵𝐹
𝐷𝐻= 𝐷𝐵
，
∴△𝐷𝐻𝐸≌△𝐷𝐵𝐹(AAS)，
∴𝐻𝐸= 𝐵𝐹，
∴𝐴𝐸= 𝐸𝐻+ 𝐴𝐻= 𝐵𝐹+ 𝐶𝐷．
11．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐸= 90°
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐷．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，
{
∠𝐵= ∠𝐸
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐷
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
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∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐴𝐵= 𝐶𝐸= 3，𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 4，
∴𝐵𝐸= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐸= 7；
（2）解：过𝐷作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延长线于点𝐸，如图，
∵𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，𝐶𝐷⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐸= ∠𝐴𝐶𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸．
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝐷中，
{
∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐸= 90∘
∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐶𝐷𝐸
𝐴𝐶= 𝐶𝐷
，
∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐶𝐸𝐷(AAS)，
∴𝐵𝐶= 𝐸𝐷= 4，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐵𝐶⋅𝐷𝐸= 8；
（3）解：过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷于点𝐸，过点𝐵作𝐵𝐹⊥𝐷𝐶交𝐷𝐶的延长线于点𝐹，如图，
∵△𝐴𝐶𝐷的面积为12，𝐶𝐷的长为6，
∴
1
2 × 6 × 𝐴𝐸= 12，
∴𝐴𝐸= 4．
∵∠𝐴𝐷𝐶= 45°，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，
∴△𝐴𝐷𝐸是等腰直角三角形，
∴𝐷𝐸= 𝐴𝐸= 4，
∴𝐶𝐸= 𝐶𝐷−𝐷𝐸= 2．
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸= 90° −∠𝐵𝐶𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹．
∵𝐴𝐶= 𝐶𝐵，
∴{
∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐹
∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐶𝐵𝐹
𝐴𝐶= 𝐵𝐶
，
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∴△𝐴𝐶𝐸≌△𝐶𝐵𝐹(AAS)，
∴𝐵𝐹= 𝐶𝐸= 2，
∴𝑆△𝐵𝐶𝐷=
1
2 𝐶𝐷⋅𝐵𝐹= 6．
12．
【详解】（1）解：①∵等腰直角△𝐴𝐷𝐹，𝐴𝐷为直角边，
∴𝐴𝐷= 𝐴𝐹, ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐹= 90° −∠𝐶𝐴𝐷，
又∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，∠𝐵= ∠𝐴𝐶𝐵= 45°
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐷, ∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐵= 45°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷；
②理由如下：
同①法可得：△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷(SAS)，
∴𝐶𝐹= 𝐵𝐷，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐹𝐶，
设𝐴𝐷, 𝐶𝐹交于点𝐸，则∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐹，
∴∠𝐹𝐶𝐷= ∠𝐷𝐴𝐹= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷；
②成立，画图如下：
(2)解：𝐶𝐹⊥𝐵𝐶，理由如下：
作𝐴𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，则∠𝐶𝐴𝐸= 90° = ∠𝐷𝐴𝐹，
∴∠𝐶𝐴𝐹= ∠𝐷𝐴𝐸= 90° −∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐵𝐶𝐴= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 45° = ∠𝐴𝐶𝐵，
∴𝐴𝐶= 𝐴𝐸，
又∵𝐴𝐷= 𝐴𝐹，
∴△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐸𝐶= 45°，
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∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴𝐶𝐹⊥𝐵𝐷.
【分析】（1）①证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷，即可得出结论；②根据题意，补全图形，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐵𝐷，
即可得出结论；
（2）作𝐴𝐸⊥𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐸，证明△𝐴𝐶𝐹≌△𝐴𝐷𝐸(SAS)，推出∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐴𝐶𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，即可.
