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1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ 1 2∠C）；高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ 1 2∠C，外外为90°- 1 2∠C）；高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期中）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O． 目 录 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 52 A = ，求 BOC 的度数； (2)把（1）中 52 A = 这个条件去掉，试探索 BOC 和 A 之间有怎样的数量关系． 【答案】(1)116 (2) 1 90 2 BOC A = + 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得 128 ABC ACB + = ，根据角平分线的定义得出 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ，求出1 2 64 += ，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得 180 ABC ACB A + = −，根据角平分线的定义得出 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ，求出 1 1 2 90 2 A += − ，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： 52 A = ， 180 180 52 128 ABC ACB A + = −= − = ， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， ( ) 1 1 1 2 128 64 2 2 ABC ACB += + = = ， ( ) 180 1 2 180 64 116 BOC = −+ = − = ． （2） 1 90 2 BOC A = + ，理由如下： 在ABC 中， 180 ABC ACB A + = −， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， ( ) ( ) 1 1 1 1 2 180 90 2 2 2 ABC ACB A A += + = − = − ， ( ) 1 1 180 1 2 180 90 90 2 2 BOC A A = −+ = − − = + ． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）如图，在ABC 中， 112 ADC = ，点D 在ABC 内部，且到三 边的距离相等，则 B =_______． 3 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】44/44 度 【分析】点D 在ABC 内部，且到三边的距离相等，得到DA平分 BAC ，DC 平分 BCA ，根据三角形内 角和求解即可； 【详解】解：∵DA平分 BAC ，DC 平分 BCA ， ∴ 1 1 , 2 2 = = DAC BAC DCA BCA， ∴ ( ) 1 2 DAC DCA BAC BCA + = + ， ∵ 180 BAC BCA B + += ， ∴ 180 BAC BCA B + = −， ∴ 1 90 2 DAC DCA B + = − ， ∵ 180 ADC DAC DCA + + = ， ∴ ( ) 180 DA C DC C D A A + = − ， ∴ 1 1 180 90 90 2 2 ADC B B = − − = + ， 112 ADC = ， ( ) 2 112 90 44 B = − = ； 变式1-2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）在ABC 中，BAC ABC ，三个内角的平分线交于点O． (1)填空：如图1，若 70 ACB = ，则 AOB 的大小为______度； (2)如图1，过点O作OD OC ⊥ ，交AC 于点D ，证明： ADO AOB = ； 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图2 ，CO的延长线交AB 于点E ．点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥ 于 点N ，请直接写出 AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵OA OB OC 、 、 分别是 ABC BAC ACB 、 、 的平分线， ∴ 1 1 , 2 2 OAB BAC ABO ABC = = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 1 180 2 2 2 2 OAB ABO BAC ABC BAC ABC ACB + = + = + = − ， ∴ ( ) ( ) 1 1 180 180 180 90 90 2 2 AOB OAB ABO ACB ACB ACO = − + = − − = + = + ， ∵OD OC ⊥ ，即 90 COD = ， ∴ ( ) 180 90 ODC COD ACO ACO = − + = − ， ∴ ( ) 180 180 90 90 ADO ODC ACO ACO = − = − − = + ， ∴ ADO AOB = ； (3)2 360 AMN ABC BAC = − + 或2 AMN BAC ABC = − 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出 110 BAC ABC + = ，再根据角平分线的定义求得 ( ) 1 55 2 ABO BAO ABC BAC + = + = ，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得 ( ) 1 180 2 OAB ABO ACB − + = ，从而得到 ( ) 180 90 AOB OAB ABO ACO − = + = + ，再由OD OC ⊥ ， 可得 180 90 ADO ODC ACO = − = + ， 即可得出结论； （3）分两种情况：当点M 在线段BE上时；当点M 在线段BE的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ 70 ACB = ， ∴ 180 180 70 110 BAC ABC ACB = + = − = − ， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴OA OB 、 分别是 ABC BAC 、 的平分线， ∴ 1 1 , 2 2 OAB BAC ABO ABC = = ， 1 2 ACO ACB = ， ∴ ( ) 1 1 1 55 2 2 2 OAB ABO BAC ABC BAC ABC + = + = + = ， ∴ ( ) 180 180 55 125 AOB OAB ABO − − = + = = ； 5 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）略 （3）解：如图，当点M 在线段AE 上时， ∵ 180 AEN BEC + = ， 180 ABC BCO BEC + + = ， ∴ 1 2 AEN ABC BCO ABC ACB = + = + ( ) 1 180 2 ABC ABC BAC − − = + 1 1 90 2 2 ABC BAC = − + ， ∵MN CE ⊥ ，即 90 MNE = ， ∵ 180 , 180 AEN MNE EMN AMN EMN + + = + = ， ∴ 1 1 90 90 2 2 AMN AEN MNE ABC BAC = + = − + + ， 即2 360 AMN ABC BAC = − + ； 当点M 在线段BE的延长线上时，如图， 同理 1 1 90 2 2 BEN ABC BAC = − + ， ∵MN CE ⊥ ，即 90 MNE = ， ∴ 1 1 1 1 90 90 90 2 2 2 2 AMN BEN ABC BAC BAC ABC − − − − = = + = 即2 AMN BAC ABC = − ； 综上所述， AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系为2 360 AMN ABC BAC = − + 或 2 AMN BAC ABC = − ． 变式1-3． （25-26 七年级下·河南驻马店·期末） 【问题原型】如图①，在ABC 中， 66 A = ，BD平分 ABC ， CD平分 ACB ，求 D 的度数． 6 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解： 180 A ABC ACB + + = ，且 66 A = ． 180 114 ABC ACB A + = −= ． BD 平分 ABC ，CD平分 ACB ， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在ABC 中，A = ，BE、BF 是 ABC 的三等分线（即 ABF FBE = = EBC ）， CE 、CF 是 ACB 的三等分线，则 E =_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若 249 E F + = ， F 的度数为_________． ②当 48 ACB = 时， BFC 的一条边的所在直线与ABC 的某一边的所在直线垂直时， A =_________． 【答案】(1) ∴ ( ) 1 1 2 57 2 ABC ACB += + = ∴ ( ) 180 1 2 123 D = −+ = (2) 1 120 3 + (3)①106；②69或74或42 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得 1 1 3 ABC = ， 1 2 3 ACB = ，进而根据三角形内角和定理可得 ( ) 1 180 1 2 120 3 E = −+ = + ； （3）①同（2）可得 2 60 3 F = + ，根据已知 249 E F + = ，求得 69 = ，进而求得 F ； ②分情况讨论，当BF AC ⊥ 时，当CF AB ⊥ 时，当BC AB ⊥ 时，分别画出图形，根据三角形内角和定理， 即可求解． 7 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解： 180 A ABC ACB + + = ，且 A = ． 180 180 ABC ACB A + = −= − ． ∵BE、BF 是 ABC 的三等分线，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， 1 1 3 ABC = ， 1 2 3 ACB = ， ∴ ( ) 1 1 1 2 60 3 3 ABC ACB += + = − ∴ ( ) 1 180 1 2 120 3 E = −+ = + （3）解：如图， 同（2）可得 ( ) ( ) 2 2 180 3 3 FBC FCB ABC ACB + = + = − ， ∴ ( ) 2 2 180 180 60 3 3 F = − − = + ， ∵ 249 E F + = ∴ 1 2 120 60 249 3 3 + + + = 解得： 69 = ∴ 2 60 69 106 3 F = + = ②如图，当BF AC ⊥ 时，设垂足为G 8 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 48 ACB = ，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， ∴ 1 16 3 GCF ACB = = ∴ 90 16 74 GFC = − = ∴ 180 106 BFC GFC = − = ∵ 2 60 3 BFC = + ∴ 2 60 106 3 + = 解得： 69 = ，即 69 A = 如图，当CF AB ⊥ 时，设垂足为H ， ∵ 48 ACB = ，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， ∴ 1 16 3 HCA ACB = = ∴ 90 90 16 74 A HCA = − = − = 当BC AB ⊥ 时，如图， ∴ 90 42 A ACB = − = 综上所述， A = 69或74或42． 9 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD 在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 【答案】(1)解：CD平分 ACE ，理由如下： ∵ ACE 是ABC 的一个外角， ∴ ACE ABC A = +， ∵ DCE 是BCD 的一个外角， ∴ DCE CBD D = + ， ∵BD为 ABC 的平分线， ∴ 1 2 CBD ABC = ， ∵ 2 A D = ，即 1 2 D A = ， ∴ 1 1 2 2 DCE ABC A = + ∴ 1 2 DCE ACE = ， ∴CD平分 ACE (2)42 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得 ACE ABC A = +，DCE BCD D = + ，结合BD为 ABC 的 平分线， 2 A D = ，进而证得CD平分 ACE ； （2）由CD平分 ACE ，CO平分 ACB ，可证得 90 OCD = ，利用三角形内角和定理即可解得 DOC 的 度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，CD平分 ACE ，即 1 2 ACD ACE = ， 10 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CO平分 ACB ，即 1 2 ACO ACB = ， 又∵ 180 ACE ACB + = ， ∴ ( ) 1 1 180 90 2 2 ACO ACD ACE ACB + = + = = ， 在OCD 中， 48 D = ， ∴ 90 90 48 42 DOC D = − = − = ． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式2-1．（25-26 七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在ABC 中， 40 A = ∠ ， ABC 的平分线与 ACD 的平分线相交于点E，则 E 的度数为_________． 【答案】20/20 度 【分析】首先根据角平分线的定义可得 1 1 , 2 2 CBE ABC DCE ACD = = ，再结合三角形外角的定义和性 质可得 1 20 2 DCE ABC = + ，然后由 E DCE CBE = − 求解即可． 【详解】解：∵BE平分 ABC ，CE 平分 ACD ， ∴ 1 1 , 2 2 CBE ABC DCE ACD = = ， ∵ 40 A = ∠ ， 40 ACD A ABC ABC = + = + ， ∴ ( ) 1 1 1 40 20 2 2 2 DCE ACD ABC ABC = = + = + ， ∴ 1 1 20 20 2 2 E DCE CBE ABC ABC = − = + − = ． 变式2-2．（25-26 七年级下·四川资阳·期中）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作 // DE BC ，交AC 于点E ，DP平分 ADE ，交 ACB 的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF 的平分线CQ 与DP的 延长线相交于点Q ． 11 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 50 A = ， 60 B = ，求 DPC 与 Q ； (2)若 A x = 时，求 DPC 与 Q ； (3)若PCQ 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的 A 的度数． 【答案】(1) 115 , 25 DPC Q = = ； (2) 90 , 2 2 x x DPC Q = + = ； (3) 45 A = 或60或120或135． 【分析】 （1）根据 50 A = ， 60 B = ，可求出 ACB ，再根据CP 平分 ACB ，DQ 平分 ADE ，DE BC ∥ ， 可求出 PGD ，PDG ，进而可求出 DPC ；再根据CQ 平分 ACF ，可得出 90 PCQ = ，进而求出Q ． （2）根据三角形内角和定理对 ACB 进行表示，再根据CP 平分 ACB ，DQ 平分 ADE ，DE BC ∥ ，可 求出 PGD ，PDG ，再根据三角形外角的性质求出 QPC ，根据 90 PCQ = ，求出Q ，将 A 与Q 相 较即可证明． （3）由（2）可知 1 2 Q A = ， 90 PCQ = ，则PCQ 的内角为90，1 2 A ∠， 1 90 2 A − ，根据题意分类讨 论即可． 【详解】（1）解： 50 A = ， 60 B = ， 180 70 ACB A B = −−= ， CP 平分 ACB ， 1 35 2 BCP ACP ACB = = = ， DE BC ∥ ， 60 ADE B = = ， 35 BCP PGD = = ， DP平分 ADE ， 1 2 30 ADE PDG = = ， 180 115 DPC PDG PGD = − − = ， 180 115 65 QPC = − = ， 12 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 CP 平分 ACB ，CQ 平分 ACF ， 1 2 ACP ACB = ， 1 2 ACQ ACF = ， 180 ACB ACF + = ， 90 ACP ACQ + = ，即 90 PCQ = ， 90 25 Q QPC = − = ． （2）证明：∵ A x = ，则 180 ACB B x += −． DE BC ∵ ∥ ， ADE B = ∴ ， PGD PCB = ， DP 平分 ADE ，CP 平分 ACB ， 1 1 2 2 PDE ADE B = = ， 1 2 PCB ACB PGD = = ， ( ) 180 DPC PDE PGD + = − ( ) 1 180 2 B ACB − + = ( ) 1 180 180 2 x = − − 90 2 x + = ， 1 1 180 90 90 2 2 QPC x x = − + = − ， 180 ACB ACF + = ， 90 ACP ACQ + = ，即 90 PCQ = ， 1 1 90 90 90 2 2 Q QPC x x = − = − − = ， 1 2 2 x Q A = = ． （3）解：设 A = ，则 1 90 2 QPC = − ， 1 2 Q = ． 90 PCQ = ， 分类讨论： ①当 3 PCQ CPQ = 时， 1 90 3 90 2 = − ， 解得 120 = ， 13 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 120 A = ； ②当 3 PCQ Q = 时， 1 1 90 2 3 = ， 解得 60 = ， 60 A = ③当 3 CPQ Q = 时， 1 1 90 3 2 2 − = ， 解得 45 = ， 45 A = ； ④当 3 Q CPQ = 时， 1 1 3 (90 ) 2 2 − = ， 解得 135 = ， 135 A = 综上可知 45 A = 或60或120或135． 答： A 的度数为45或60或120或135． 变式2-3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．若 90 C = ，求 E 的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = ______ BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． CBD = ______ BAC + ， 14 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 2 E C = = ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．设 C 的度数为m ，求 E 的度数．（用含m 的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在ABC 中，C 为锐角，BAC 内部的射线AE 与外角 CBD 内部的射线BE交于点E（ E 为 锐角）．若 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ，设 C 的度数为m ，则 E 的大小为______．（用含m 的 代数式表示） 【答案】(1) E ； C ；45 (2) 1 2 m (3) 3 4 m 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明 3 4 BAE BAC = ， 3 4 DBE CBD = ，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 2 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 45 2 E C = = 度． （2）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 15 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 1 2 2 E C m = = ． （3）解：∵ 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ， ∴ 3 4 BAE BAC = ， 3 4 DBE CBD = ， DBE = E BAE + ， 4 3 3 4 CBD E BAC = + ． 4 3 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴4 3 E BAC C BAC + = + ∴4 3 E C = ，即 3 3 4 4 E C m = = ． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ，BF 平分外角 CBD ，CF 平分外 角 BCE ，BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ，求 G 的度数． 【答案】115 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解 180 80 180 260 DBC ECB A + = + = + = ，进一 步利用角平分线的性质得到 ( ) 1 130 2 FBC FCB DBC ECB + = + = ， ( ) 1 65 2 GBC GCB FBC FCB + = + = ，再利用三角形的内角和定理可得答案. 16 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解： DBC A ACB =+ ， ECB A ABC = + ， DBC ECB A ACB A ABC + = + + + ， 180 ACB A ABC ++ = ， 180 80 180 260 DBC ECB A + = + = + = ， BF 平分外角 DBC ，CF 平分外角 ECB ， 1 2 FBC DBC = ， 1 2 FCB ECB = ， ( ) 1 130 2 FBC FCB DBC ECB + = + = BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ， 1 2 GBC FBC = ， 1 2 GCB FCB = ， ( ) 1 65 2 GBC GCB FBC FCB + = + = ， ( ) 180 180 65 115 G GBC GCB = − + = − = ． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1． （25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，在ABC 中，ABC 和 ACB 的外角平分线相交于点D．若 40 BDC = ，则 A =_________． 【答案】100 【分析】根据三角形的外角性质及三角形的内角和定理得到 180 EBC FCB A ACB A ABC A + = + ++ = +；再由角平分线的定义可得 ( ) 1 180 2 DBC DCB A + = + ，在BCD 中，结合三角形的内角和定理及 BDC 的度数即可求解 A ． 17 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：如图所示， EBC A ACB = + ， FCB A ABC = + ， 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 180 EBC FCB A ACB A ABC A + = + ++ = +， BD 是 ABC 的外角平分线、CD是 ACB 的外角平分线， 1 2 DBC EBC = ， 1 2 DCB FCB = ， ( ) 1 1 1 180 2 2 2 DBC DCB EBC FCB A + = + = + ， ( ) ( ) 1 1 180 180 180 90 2 2 BDC DBC DCB A A = − + = − + = − ， 40 BDC = ， 1 40 90 2 A = − ， 解得 100 A = ． 变式3-2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三 角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之 间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图1， ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． 18 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ACD ， CAE 与 B 之间的数量关系是________，并加以证明； ②若 ACD ，CAE 的平分线CN ，AM 相交于点O，直接写出 AOC 与 B 之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图2 ， DAE ， DCF 是四边形ABCD的两个外角． ① DAE ， DCF 与 B ， D 之间的数量关系是________； ②如图3， DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O，若 60 B = ， 136 D = ，则 AOC 的度数是 ________． 【答案】(1)① 180 ACD CAE B + = + ； 证明：∵ ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． ∴ 180 ACD CAE B BAC B ACB B + = + ++ = + ∴ 180 ACD CAE B + = + ； ② 1 90 2 AOC B = − (2)① DAE DCF ABC ADC + = + ；②38 【分析】（1）①根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理可得 180 ACD CAE B BAC B ACB B + = + ++ = + ，即可得出 180 ACD CAE B + = + ； ②根据角平分线的定义得出 1 2 ACO ACD = ， 1 2 CAO CAE = ，结合①的结论可得 ( ) 1 1 0 2 8 CAO ACO B + = + ，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接BD，根据三角形的外角的性质可得 DAE ABD ADB = + ， DCF CBD CDB = + ，进而 可得 DAE DCF ABC ADC + = + ②根据①的结论得出 2 1 2 1 98 DAE DCF EAO FCO + = + = ， C EAO FCO B AO + + = ，即可求解． 【详解】（1）①略 ② 1 90 2 AOC B = − . 证明如下： 19 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CN ，AM 分别平分 ACD ， CAE ， ∴ 1 2 ACO ACD = ， 1 2 CAO CAE = ， ∴ ( ) 1 2 CAO ACO ACD CAE + = + ， ∵ 180 ACD CAE B + = + ， ∴ ( ) 1 1 0 2 8 CAO ACO B + = + ， ∵在AOC 中， 180 AOC CAO ACO + + = ， ∴ ( ) 180 180 90 1 1 2 2 AOC B B = − + = − . （2）①如图，连接BD， ∵ DAE ， DCF 是ABD ，BCD 的外角 ∴ DAE ABD ADB = + ， DCF CBD CDB = + ∴ DAE DCF ABC AD D C ABD ADB CBD C B + + + = + + = ； 故答案为： DAE DCF ABC ADC + = + ． ②∵ DAE DCF ABC ADC + = + ， =60 B ， 136 D = ∴ 60 136 196 DAE DCF + = + = ∵ DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O， ∴ 2 1 2 1 98 DAE DCF EAO FCO + = + = 由①可得 C EAO FCO B AO + + = ， ∴ 98 60 38 AOC = − = 变式3-3．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： 20 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 【答案】(1) 1 90 2 D A = + ， 理由：∵BD平分 ABC ，CD平分 ACB ， ∴设 DBC DBA = = ， DCB DCA = = ， ∴ ( ) 180 D = − + ， ( ) 180 2 A = − + ， ∴ 180 D + = − ， 1 90 2 A + = − ， ∴ 1 180 90 2 D A − = − ， ∴ 1 90 2 D A = + ． (2) 1 2 = E A (3) 1 90 2 F A = − (4)15 5. 【分析】 （1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出 D 和 A 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 E 与α， β 之间的关系，等量代换得到最终答案； 21 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 F 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ， ∴设 ABE CBE = = ， ACE MCE = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 A = + ， E = + ， ∴ 2 2 A = − ， = − E ， ∴ 1 2 = E A． （3）解：∵BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ， ∴设 PBF CBF = = ， QCF BCF = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 180 A ACB A ABC A + = + + + = + ， 180 F + = − ， ∴ 1 90 2 A + = + ， ∴ 1 90 180 2 A F + = − ， ∴ 1 90 2 F A = − ． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得： 1 90 118 2 D A = + = ， ∴ 1 90 31 2 E D = − = ， ∴ 1 15.5 2 F E = = ． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26 八年级下·重庆南岸·期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线． (1)若 70 B = ， 30 C = ，求 AEC 和 DAE 的度数； (2)若 B = ， C = ，且 ，直接写出 AEC 和 DAE 的度数（用含，的代数式表示）． 22 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 110 AEC = ， 20 DAE = (2) 90 2 AEC − = + ， 2 DAE − = 【分析】（1）先利用三角形内角和求出 BAC ，结合角平分线定义得到 CAE ，再用内角和算出 AEC ； 根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出 DAC ，最后作差得到 DAE ； （2）先用三角形内角和表示出 BAC ，结合角平分线得到 CAE ，代入内角和公式化简求出 AEC ；再由 高线推出 DAC ，通过角度相减化简得到 DAE 的代数式． 【详解】（1）解：在ABC 中，由三角形内角和定理得： 180 180 70 30 80 BAC B C = −− = − − = ， AE 是ABC 的角平分线， 1 1 80 40 2 2 CAE BAC = = = ， 在 AEC △ 中，由三角形内角和定理得： 180 180 30 40 110 AEC C CAE = −− = − − = ， AD 是ABC 的高， 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 90 90 30 60 DAC C = − = − = ， 60 40 20 DAE DAC CAE = − = − = ； （2）解：在ABC 中，由三角形内角和定理得： 180 180 BAC B C = − − = − − ， AE 是ABC 的角平分线， 1 1 180 90 2 2 2 CAE BAC ( ) + = = − − = − ， 在 AEC △ 中，由三角形内角和定理得： 180 180 90 90 2 2 AEC C CAE + − = − − = − − − = + ， AD 是ABC 的高， 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 90 90 DAC C = − = − ， 90 90 2 2 DAE DAC CAE ( ) + − = − = − − − = ． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和 求解。 变式4-1．（2026 七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC 中，E 为ABC 角平分线AM 的延长线上一点， 23 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 过点E 作ED BC ⊥ 于点D，若 45 B = ， 2 = CAE E ，则 C 的度数为________ ． 【答案】75 【分析】由E 为ABC 角平分线AM 的延长线上一点，得 2 BAE CAE E = = ，则 4 BAC E = ∠ ∠ ，因为 45 B = ，所以 45 2 DME E = + ，由ED BC ⊥ 于点D，得 90 EDM = ，则 45 2 90 E E + + = ，求得 15 E = ，所以 4 60 BAC E = = ，则 180 75 C B BAC = − − = ∠ ∠ ∠ ，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵E 为ABC 角平分线AM 的延长线上一点， 2 = CAE E ， ∴ 2 BAE CAE E = = ， ∴ 2 4 BAC CAE E = = ， ∵ 45 B = ， ∴ 45 2 DME B BAE E = + = + ， ∵ED BC ⊥ 于点D， ∴ 90 EDM = ， ∴ 90 E DME + = ， ∴ 45 2 90 E E + + = ， ∴ 15 E = ， ∴ 4 60 BAC E = = ， ∴ 180 75 C B BAC = − − = ∠ ∠ ∠ ． 变式4-2．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，CD是ABC 的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF AB ⊥ 于点F ，连接BE． (1)若 36 A = ， 66 ABC = ，求 DEF 的度数； 24 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)若 8 BD = ， 6 EF = ，求BCE 的面积． 【答案】(1)15 (2)24 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出 ACD ，进而求出 CDB ，利用垂直的定义 进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵CD是ABC 的角平分线， ∴ 1 2 ACD ACB = ， ∵ 180 180 36 66 78 ACB A ABC = −− = − − = ， ∴ 1 1 78 39 2 2 ACD ACB = = = ， ∴ 36 39 75 CDB A ACD = + = + = ， ∵EF AB ⊥ ， ∴ 90 EFB = ， ∴ 90 90 75 15 DEF CDB = − = − = ； （2）解：∵ 8 BD = ， 6 EF = ，EF AB ⊥ ， ∴ 1 1 8 6 24 2 2 EDB S BD EF = = = ， ∵E 是CD的中点， ∴CE ED = ， ∵EDB 的边DE 上的高与BCE 的边CE 上的高相同， ∴ 24 BCE EDB S S = = ． 变式4-3．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC 中，C B ，AE 是边BC 上的高，AD是 BAC 的平分线． (1)如图①，若 20 DAE = ， 30 B = ，求 C 的度数； 25 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG BC ⊥ 于点G ，试探究 F 与 C ，B 之间的数量关系，并说 明理由． 【答案】(1)70 (2) 2 C B F − = ，理由如下： ∵AE 是边BC 上的高， ∴AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 180 90 BAE B AEB B − − − = = ， ∴ 90 BAD BAE DAE B DAE − − − = = ， ∵AD是 ABC 的平分线， ∴ 2 180 2 2 BAC BAD B DAE − − = = ， ∴ 180 2 C B BAC B DAE − − = = + ， ∵FG BC ⊥ ，AE BC ⊥ ， ∴FG AE ∥ ， ∴ F DAE = ， ∴ 2 C B F = + ，即 2 C B F − = ． 【分析】 （1）由AE BC ⊥ 可得 90 AEB = ，利用三角形内角和定理可得 60 BAE = ，从而得到 40 BAD = ， 由角平分线的定义可得 2 80 BAC BAD = = ，最后使用三角形的内角和定理计算出 C ； （2）仿照（1）的解法可得出 2 C B DAE = + ，容易判断FG AE ∥ ，则 F DAE = ，因此 2 C B F − = ． 【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高， ∴ 90 AEB = ， ∴ 180 60 BAE B AEB − − = = ， ∵ 20 DAE = ， ∴ 40 BAD BAE DAE − = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， ∴ 2 80 BAC BAD = = ， ∴ 180 70 C B BAC − − = = ． （2）略 26 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·二模）如图，在ABC 中， 1 3 PBC ABC = ， 1 3 PCB ACB = ，且 72 A = ．则 BPC 的度数为（ ） A．108 B．120 C．144 D．150 【答案】C 【分析】利用三角形内角和求得 + 108 ABC ACB = ，根据题意可得 ( ) 1 + 36 3 PBC PCB ABC ACB = + = ，再利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：在ABC 中， 72 A = ， ∴ + 180 180 72 108 ABC ACB A = −= − = ， ∵ 1 3 PBC ABC = ， 1 3 PCB ACB = ， ∴ ( ) 1 1 1 1 + 108 36 3 3 3 3 PBC PCB ABC ACB ABC ACB = + = + = = ， 在BPC 中， ( ) 180 180 36 144 BPC PBC PCB = − + = − = ． 2．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点O， ACB 的外角 平分线所在直线与 ABC 的平分线相交于点D ，与 ABC 的外角平分线相交于点E ，则下列结论中，错误 的是（） A． 1 2 D A = B． 90 E A = − 27 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C． 1 90 2 BOC A = + D． 90 E DCF ABD + − = 【答案】B 【分析】根据角平分线性质及三角形外角性质分别推导 D 、 E 、 BOC 与 A 的数量关系，并验证选项 D 的等式即可求解． 【详解】解： CD 平分 ACF ，BD平分 ABC ， 1 2 DCF ACF = ， 1 2 DBC ABC = ， ACF A ABC = + ， DCF D DBC = + ， ∴ 1 1 1 ( ) 2 2 2 D DCF DBC A ABC ABC A = − = + − = ， 故A 正确； BE平分 CBG ， ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 EBC CBG ABC ABC = = − − = ， , , D C E 共线，B，C，F 共线， ( ) 1 1 2 2 BCE DCF ACF A ABC = = = + ， 在BCE 中， ( ) 1 1 1 1 180 180 90 90 2 2 2 2 E EBC BCE ABC A ABC A = − + = − − + + = − ，故B 错误； , BO CO 分别平分 , ABC ACB ， 1 2 OBC ABC = ， 1 2 OCB ACB = ， ( ) ( ) ( ) 1 1 1 180 180 180 180 90 2 2 2 BOC OBC OCB ABC ACB A A = − + = − + = − − = + ，故C 正确； 由上可知 1 90 2 E A = − ， ( ) 1 2 DCF A ABC = + ， 1 2 ABD ABC = ， 1 1 1 1 90 90 2 2 2 2 E DCF ABD A A ABC ABC + − = − + + − = ，故D 正确． 3． （25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且 2 2 D E DAC EBC = = = ．若 DAC 的平分线与 ECB 的平分线交于点F ，则 DCE 与 F 的数量关系为（ ） 28 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A． DCE F = B． 3 90 DCE F + = C． 4 180 DCE F + = D． 6 360 DCE F + = 【答案】B 【分析】设 2 2 2 D E DAC EBC = = = = ，根据三角形内角和定理表示出 180 3 DCA ECB = = − ， 根据平角的定义表示出 DCE ，进而根据角平分线的性质以及三角形的外角的性质表示出 F ，结合选项， 即可求解． 【详解】解：∵ 2 2 D E DAC EBC = = = ， 180 DCA D DAC = − − ， 180 ECB E EBC = −− 设 2 2 2 D E DAC EBC = = = = ∴ 180 180 3 DCA ECB D DAC = = − − = − 又∵ 180 180 2 3 6 180 DCE DCA ECB = − − = − = − ∵ DAC 的平分线与 ECB 的平分线交于点F ， ∴ 1 1 2 2 FAC DAC = = ， ( ) 1 1 3 180 3 90 2 2 2 FCB ECB = = − = − ∴ 3 1 90 90 2 2 2 F FCB FAC = − = − − = − ∴ 3 6 180 270 6 90 DCE F + = − + − = 即 3 90 DCE F + = ． 二、填空题 4． （25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC 中， B ABC AC = ∠ ，点D 在射线BC 上，ABC 和 ACD 的角平分线相交于点E ，若 3 ECD E = ，则 A 的度数为______． 【答案】36/36 度 【分析】利用角平分线将角进行等分，结合三角形外角性质推导 E 与 A 的数量关系，再结合已知倍数关 系列方程求解． 【详解】解：∵ CE 平分 ACD ， 29 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 2 ACD ECD = , ∵ 3 ECD E = ， ∴ 6 ACD E = , ∵BE平分 ABC ， ∴ 2 ABC EBC = ． 由三角形外角性质可知， ACD A ABC = + ， = + ECD E EBC , ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 E ECD EBC ACD ABC ACD ABC A = − = − = − = , ∴ 2 A E = , ∵ 6 ACD E = ， ∴ 3 ACD A = , 又∵ ACD A ABC = + , ∴3 A A ABC = + ，即 2 ABC A = , ∵ B ABC AC = ∠ ， ∴ 2 ACB A = , 在 ABC 中，∵ 180 A ABC ACB + + = ， ∴ 2 2 180 A A A + + = ， ∴ 36 A = ． 5． （25-26 七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段AB 和线段CD交于点O，连AC 、BD， 1 4 CAP CAB = ， 1 4 CDP CDB = ，AP 、DP分别交CD，AB 于M 、N ；则 C 、B 、P 之间数量关系是____________ 【答案】4 3 P C B = + 【分析】根据三角形内角和定理和对顶角相等即可列出等式求解. 【详解】解：∵ CMA PMD = ， ∴180 180 CMA PMD − = − ， ∴ C CAP P CDP + = + ， 30 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ CDP CAP C P − = −， 同理： P PAB B BDP + =+ ， ∴ BDP PAB P B − =−， ∵ 1 4 CAP CAB = ， 1 4 CDP CDB = ， ∴ 3 , 3 PAB CAP BDP CDP = = ， ∴( ) 3 CDP CAP P B − = −， ∴( ) 3 C P P B − = −， 即：4 3 P C B = +. 6．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）已知，如图，CD EF ∥ ，点A，B 分别是直线CD，EF 上的点．连接 AB ，分别作 DAB 与 FBA 的平分线 1 AP ， 1 BP 交于点 1P ，如图①；在图（1）基础上继续分别作 1 DAP 与 1 FBP 的平分线 2 AP ， 2 BP 交于点 2P ，如图②；在图（2）基础上按上述作图方法继续分别画角平分线交于 点 3P ，那么 3P 的度数是________． 【答案】22.5 【分析】先根据角平分线的性质以及平行线的性质求得 1 90 APB = ，同理得出 2 45 AP B = ， 3 2 1 22.5 2 P AP B = = ，即可求解． 【详解】解：如图①，过点 1P 作 1PQ EF ∵ 1 AP ， 1 BP 分别是 DAB 与 FBA 的平分线 ∴ 1 2 = ， 3 4 = 31 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CD EF ∥ ∴ 180 DAB ABF + = ∴1 2 3 4 180 +++= ， ∴2 1 2 4 180 + = ∴1 4 90 += ∵ 1PQ EF ∴ 4 6 = ∴CD EF ∥ ， ∴ 1 CD PQ ∴1 5 = ∴ 1 5 6 1 4 90 APB = += += 如图② 同理可得 ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 45 2 2 AP B DAP FBP DAP FBP APB = + = + = = ∴在图（2）基础上按上述作图方法继续分别画角平分线交于点 3P ，那么 3 2 1 22.5 2 P AP B = = 三、解答题 7．（25-26 八年级下·河北保定·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ． (1)如图1，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，求 P 的度数． (2)如图2，BQ 平分 ABC ，CQ 平分外角 ACD ，求Q 的度数． 【答案】(1)130 (2)40 32 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据角平分线的定义可得 1 2 ABP CBP ABC = = ， 1 2 ACP BCP ACB = = ，再结合三角 形内角和定理可得 180 100 ABC ACB A + = −= ，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得 1 2 CBQ ABQ ABC = = ， 1 2 DCQ ACQ ACD = = ，再由三角形外角的 性质可得 A ACD ABC = − ， Q DCQ CBQ = − ，即可求解． 【详解】（1）解：∵BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， ∴ 1 2 ABP CBP ABC = = ， 1 2 ACP BCP ACB = = ． ∵ 180 100 ABC ACB A + = −= ， ∴ ( ) ( ) 1 180 180 130 2 P CBP BCP ABC ACB = − + = − + = ． （2）解：∵BQ 平分 ABC ，CQ 平分外角 ACD ， ∴ 1 2 CBQ ABQ ABC = = ， 1 2 DCQ ACQ ACD = = ． ∵ A ACD ABC = − ， Q DCQ CBQ = − ， ∴ ( ) 1 40 2 Q DCQ CBQ ACD ABC = − = − = ． 8．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． (1)已知：如图1，在ABC 中， 60 A = ，BP，CP 分别平分 ABC 和 ACB ，BPC 的度数是_________． (2)已知：如图2，DBC 与 ECB 分别是ABC 的两个外角，且 210 DBC ECB + = ．则 A =_________． (3)如图3，在四边形ABCD中，F 为四边形ABCD的 ABC 的平分线及外角 DCE 的平分线所在的直线构 成的锐角，若设 A = ， D = ，求 F 的度数．（用含，的式子表示） 【答案】(1)120 (2)30 (3) ( ) 1 90 2 + − 【分析】（1）在ABC 中，根据三角形内角和定理可求得 ABC ACB + ，结合角平分线的含义可得 PBC PCB + ，再进一步利用三角形的内角和定理可得答案； 33 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）先求解 ABC ACB + ，再进一步利用内角和定理可得答案； （3）延长BA，CD交于点Q ，同（2）可得 180 Q = + − ，证明 1 2 FBE QBC = ， 1 2 FCE DCE = ， 结合外角的性质可得 Q DCE QBC = − ，2 2 2 F FCE FBC DCE QBC = − = − ，可得 2 Q F = ， 进一步求解即可； 【详解】（1）解：在ABC 中， 60 A = ， ∴ 180 60 120 ABC ACB − + = = ， ∵BP，CP 分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 1 2 PBC ABC = ， 1 2 PCB ACB = ， ∴ ( ) 1 60 2 PBC PCB ABC ACB + = + = ， ∴ ( ) 180 120 BPC PBC PCB = − + = ； （2）解：∵ DBC 与 ECB 分别是ABC 的两个外角，且 210 DBC ECB + = ， ∴ ( ) 180 180 360 210 150 ABC ACB DBC ECB + = + − + = − = ， ∴ ( ) 180 180 150 30 A ABC ACB = − + = − = ； （3）解：延长BA，CD交于点Q ，如图， ∵ BAD = ， ADC = ， ∴ ( ) ( ) 180 180 360 360 QAD QDA BAD ADC BAD ADC + = − + − = − + = − + ， ∴ ( ) ( ) 180 180 360 180 Q QAD QDA = − + = − − + = + − ， ∵ F 为四边形ABCD的 ABC 的平分线及外角 DCE 的平分线所在的直线构成的锐角， ∴ 1 2 FBC QBC = ， 1 2 FCE DCE = ， ∵ DCE QBC Q = + ， FCE FBC F = + ， ∴ Q DCE QBC = − ，2 2 2 F FCE FBC DCE QBC = − = − ， ∴ 2 Q F = ， 34 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) ( ) 1 1 1 180 90 2 2 2 F Q = = + − = + − ． 9．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图1，在ABC 中，BE平分 ABC ，CE 平分 ACB ．若 80 A = ，则 BEC =_____； 【探究】 (2)如图1，在ABC 中，BE平分 ABC ，CE 平分 ACB ．试猜想 BEC 和 A 有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图2 ，在ABC 中，BD，BE三等分 ABC ，CD，CE 三等分 ACB ，若 A n = ，则 BEC =_____． 【答案】(1)130； (2) 1 90 2 BEC n = + ，理由见解析； (3) 2 60 3 n + ． 【分析】（1）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （2 ）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （3）根据三角形的内角和定理得 180 ABC ACB n + = −，再由BD，BE三等分 ABC ，CD，CE 三等 分 ACB ，得到 2 3 EBC ABC = ∠ ∠ ， 2 3 ECB ACB = ∠ ∠ ，于是 ( ) 2 3 EBC ECB ABC ACB + = + ，再根据三 角形的内角和定理得到 BEC 的大小． 【详解】（1）解：∵ 180 ABC ACB A + += ， 80 A = ， ∴ 100 ABC ACB + = ， ∵BE CE 、 分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 1 2 EBC ABC = ， 1 2 ECB ACB = ， ∴ ( ) 180 BEC EBC ECB = − + ( ) 1 180 2 ABC ACB = − + 35 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 80 0 1 0 2 = − 130 = ， 故答案为：130； （2）解： 1 90 2 BEC n = + ，理由如下， ∵ 180 ABC ACB A + += ， A n = ， ∴ 180 ABC ACB n + = −， ∵BE CE 、 分别平分 ABC 和 ACB ， ∴ 1 2 EBC ABC = ， 1 2 ECB ACB = ， ∴ ( ) 180 BEC EBC ECB = − + ( ) 1 180 2 ABC ACB = − + ( ) 1 180 180 2 n = − − 1 180 90 2 n = − + 1 90 2 n = + ； （3）解：如图2 ， 由三角形的内角和定理得 180 ABC ACB n + = −， ∵BD，BE三等分 ABC ，CD，CE 三等分 ACB ， ∴ 2 3 EBC ABC = ∠ ∠ ， 2 3 ECB ACB = ∠ ∠ ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 180 120 3 3 3 EBC ECB ABC ACB n n + = + = −= − ， ∴ ( ) 2 2 180 180 120 60 3 3 BEC EBC ECB n n = − + = − − = + ． 10．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）已知在ABC 中，AE 平分 BAC ， C B ． 36 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【特例探究】 (1)如图（a），AD BC ⊥ ，垂足为D ，若 35 B = ， 65 C = ∠ ，则 DAE 的度数为___________； 【一般推导】 (2)如图（b），点P 在线段AE 上，过点P 作PG BC ⊥ ，垂足为G ．请写出 EPG 与 B ， C 之间的数量关 系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在ABC 中，AD BC ⊥ ，垂足为D EP CP ， ， 分别平分 AEC 和 ACM ，过点P 作PG BC ⊥ 交 BC 延长线于点G ．若 EAD CAD = ， ( ) 2 3 CPG B CPE = + ，求 B 的度数． 【答案】(1)15 (2) 1 1 2 2 EPG C B = − (3)36 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出 BAC ，然后由角平分线求出 BAE ，然后求出 BAD ，进 而求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到 1 1 90 2 2 BAE B C = − − ，然后由三角形外角的性质得到 1 1 90 2 2 PEG B C = + − ，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设 EAD CAD = = ，得到 2 BAE CAE = = ，根据角平分线的定义得到 1 2 PEM AEM = ， 1 2 PCM ACM = ，表示出 4 60 3 CPG = − ，得到 1 1 45 2 2 PCG ACG = = + ，利用 90 PCG CPG + = 列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 35 B = ， 65 C = ∠ ， ∴ 180 80 BAC B C = −− = ∵AE 平分 BAC ， ∴ 1 40 2 = = = BAE CAE BAC 37 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AD BC ⊥ ∴ 90 ADB = ∴ 90 55 BAD B = −= ∴ 55 40 15 DAE BAD BAE = − = − = ； （2）解：∵AE 平分 BAC ， ∴ ( ) 1 1 1 1 180 90 2 2 2 2 BAE CAE BAC B C B C = = = −− = − − ∴ 1 1 1 1 90 90 2 2 2 2 PEG B BAE B B C B C = + = + − − = + − ， ∵PG BC ⊥ ∴ 90 PGE = ∴ 1 1 1 1 90 90 90 2 2 2 2 EPG PEG B C C B = − = − + − = − ； （3）解：设 EAD CAD = = ， ∵AE 平分 BAC ， 2 BAE CAE = = ， 4 BAC BAE CAE = + = ， 3 BAD BAE DAE = + = ， ∵ 90 ADE = ， ∴ 90 90 3 B BAD − − = = ， EP 、CP 分别平分 AEC 和 ACM ， 1 2 PEM AEM = ， 1 2 PCM ACM = ， 1 1 1 2 2 2 EPC PCM PEM ACM AEM EAC − − = = = = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 4 90 3 60 3 3 3 CPG B CPE = + = − + = − ， ∵ ( ) ( ) 1 1 1 1 90 3 4 45 2 2 2 2 PCG ACG B BAC − = = + = + = + ， PG BC ⊥ ， 90 PCG CPG + = ， ∴ 1 4 45 60 90 2 3 + + − = ， 18 = ， 90 3 36 B − = = ． 38 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11． （25-26 七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3 所示，在ABC 中，ABC 与 ACB 的平分线相交于点P ． (1)如图1 所示，若 42 ABC = ， 48 ACB = ，则 BPC 的度数为 ． (2)如图1 所示，如果 80 A = ，求 BPC 的度数； (3)如图2 所示，作ABC 外角 MBC ， NCB 的平分线交于点 Q ，试探索Q ， A 之间的数量关系； (4)如图3 所示，延长线段BP，QC 交于点E ，在 BQE △ 中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出 A 的度数． 【答案】(1)135 (2)130 (3) 1 90 2 Q A = − (4)45或60或120或135 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出 PBC 和 BCP ，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把 PBC 和 BCP 用 ABC 和 ACB 表示出来，再利用 A 表示出来， 最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出 CBQ 和 BCQ ，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出 EBQ 的度数，然后由（3）求出的Q ，利用三角形内角和求出 E ，再分4 种情 况讨论，求出 A 的度数． 【详解】（1）解： BP CP ， 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线， 42 48 ABC ACB = = ， ， 1 1 21 24 2 2 PBC ABC BCP ACB = = = = ， ， 180 PBC BCP BPC + + = ， 180 135 BPC PBC BCP = − − = ； （2）解： BP CP ， 分别是 ABC 和 ACB 的角平分线， 1 1 2 2 PBC ABC BCP ACB = = ， ， 小学 初中 39 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 180 PBC BCP BPC + + = ， 180 BPC PBC BCP = − − 1 1 180 2 2 ABC ACB = − − ( ) 1 180 2 ABC ACB = − + ( ) 1 180 180 2 A = − − 1 90 2 A = + 1 90 80 2 = + 130 = ； （3）解： BQ CQ ， 分别是 CBM BCN ， 的角平分线， 1 2 CBQ CBM = ， 1 2 BCQ BCN = ， CBM A ACB BCN A ABC = + = + ， ， 1 1 2 2 CBQ A ACB = + ， 1 1 2 2 BCQ A ABC = + ， 180 CBQ BCQ Q + + = ， ( ) 1 1 1 180 2 2 2 A A ABC ACB Q + + + + = ， ( ) 1 180 180 2 A A Q + − + = ， 1 90 2 Q A = − ； （4）解： BP 是 ABC 的角平分线，BQ 是 CBM 的角平分线， 1 1 2 2 PBC ABC CBQ CBM = = ， ， 180 ABC CBM + = ， ( ) 1 90 2 PBC CBQ ABC CBM + = + = ， 90 QBE PBC CBQ = + = ， 由（3）知 1 90 2 Q A = − ， 90 E Q + = ， 1 2 E A = ， 40 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵在 BQE △ 中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍， 90 QBE = ， Q E ， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ① 3 Q E = ， 1 1 90 3 2 2 A A − = ， 2 90 A = ， 45 A = ； ② 3 QBE E = ， 1 3 90 2 A = ， 60 A = ∴ ； ③ 3 QBE Q = ， 1 3 90 90 2 A − = ， 270 1.5 90 A − = ， 120 A = ， ④ 3 E Q = ， 1 1 3 90 2 2 A A − = ， 解之得： 135 A = ， 综上可知： A 的度数为45或60或120或135． 12．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究 角之间数量关系的数学活动，如图，已知直线AB CD ，点P 是直线AB 上方的一个动点，点 , E F 在直线CD 上，连接 , PE PF ，分别交AB 于点G，点H． 41 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，【探索发现】当 P PEF PFE + + =__________°． (2)如图2，“快乐小组”通过尺规作图，作出 PEF 与 PFE 的角平分线，且角平分线相交于点Q，“快乐小 组”发现 1 90 2 EQF EPF = + ，证明“快乐小组”的结论． (3)如图3，【操作探究】在（2）问的条件下，当“智慧小组”连接PQ ，他们惊奇地发现，PQ 平分 EPF ， 并且1 99 5 EQF EPF = − ，“智慧小组”将PQ 延长到K，过K 点作KJ CD ⊥ ，若 5 PKJ = 时，求 PEQ 的 度数． 【答案】(1)180 (2)见解析 (3)15 【分析】（1）过点P 作MN EF ∥ ，通过两直线平行内错角相等以及平角的意义求解即可； （2）先由三角形内角和定理得到 180 PEF PFE P + = −，再由角平分线得到 1 1 , 2 2 QEF PEF QFE PFE = = ，最后在 EQF △ 中运用三角形内角和定理求解； （3）先得到 1 5 495 90 2 EPF EPF − = + 求解 EPF ，然后对 KJT △ 运用内角和定理求解 PTE 的度数， 再对 PET △ 运用三角形内角和定理求解 PEF 的度数，即可求解 PEQ ． 【详解】（1）解：过点P 作MN EF ∥ 42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ , MPE PEF NPF PFE = = ∵ 180 MPE EPF NPF + + = ∴ 180 EPF PEF PFE + + = ； （2）证明：由（1）得 180 P PEF PFE + + = ∴ 180 PEF PFE P + = − ∵ , EQ FQ 平分 , PEF PFE ∴ 1 1 , 2 2 QEF PEF QFE PFE = = ∴ ( ) ( ) 1 1 1 1 180 2 2 2 2 QEF QFE PFE PEF PFE PEF EPF + = + = + = − ∵ 180 EQF QEF QFE + + = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 180 180 180 90 2 2 EQF QEF QFE EPF EPF = − + = − − = + ； （3）解：如图， ∵1 99 5 EQF EPF = − ∴ 5 495 EQF EPF = − 由（2）得， 1 90 2 EQF EPF = + ∴ 1 5 495 90 2 EPF EPF − = + ， 解得 130 EPF = ∵PQ 平分 EPF ， ∴ 1 65 2 EPQ EPF = = ， ∵KJ CD ⊥ 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 90 KJT = ， ∴ 180 180 5 90 85 PTE KTJ K KJT = = − − = −− = ， ∴ 180 30 PEF EPQ PTE = − − = ∵EQ 平分 PEF ， ∴ 1 15 2 PEQ PEF = = ．
