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1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ 1 2∠C）；高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ 1 2∠C，外外为90°- 1 2∠C）；高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期中）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O． 目 录 2 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 52 A = ，求 BOC 的度数； (2)把（1）中 52 A = 这个条件去掉，试探索 BOC 和 A 之间有怎样的数量关系． 【答案】(1)116 (2) 1 90 2 BOC A = + 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得 128 ABC ACB + = ，根据角平分线的定义得出 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ，求出1 2 64 += ，结合三角形内角和定理即可求解； （2）根据三角形内角和定理求得 180 ABC ACB A + = −，根据角平分线的定义得出 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ，求出 1 1 2 90 2 A += − ，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解： 52 A = ， 180 180 52 128 ABC ACB A + = −= − = ， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， ( ) 1 1 1 2 128 64 2 2 ABC ACB += + = = ， ( ) 180 1 2 180 64 116 BOC = −+ = − = ． （2） 1 90 2 BOC A = + ，理由如下： 在ABC 中， 180 ABC ACB A + = −， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， ( ) ( ) 1 1 1 1 2 180 90 2 2 2 ABC ACB A A += + = − = − ， ( ) 1 1 180 1 2 180 90 90 2 2 BOC A A = −+ = − − = + ． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1． （25-26 八年级上·山东滨州·期中）如图，在ABC 中，BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，若 60 A = ， 则 D 的度数为______． 3 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】120/120 度 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的性质，熟知三角形内角和定理是解题的关键． 先根据三角形内角和定理求出 ACB ABC + 的度数，再由BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，得出 DBC DCB + 的度数，进而可得出结论． 【详解】解： 60 A = ， 180 60 120 ACB ABC + = − = ， BD 平分 ABC ，CD平分 ACB ， DBC DCB + ( ) 1 2 ACB ABC = + 1 120 2 = 60 = ， ( ) 180 D DBC DCB − = + 180 60 = − 120 = ． 故答案为：120． 变式1-2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）在ABC 中，BAC ABC ，三个内角的平分线交于点O． (1)填空：如图1，若 70 ACB = ，则 AOB 的大小为______度； (2)如图1，过点O作OD OC ⊥ ，交AC 于点D ，证明： ADO AOB = ； (3)如图2 ，CO的延长线交AB 于点E ．点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥ 于 4 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点N ，请直接写出 AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵OA OB OC 、 、 分别是 ABC BAC ACB 、 、 的平分线， ∴ 1 1 , 2 2 OAB BAC ABO ABC = = ， ∴ ( ) ( ) 1 1 1 1 180 2 2 2 2 OAB ABO BAC ABC BAC ABC ACB + = + = + = − ， ∴ ( ) ( ) 1 1 180 180 180 90 90 2 2 AOB OAB ABO ACB ACB ACO = − + = − − = + = + ， ∵OD OC ⊥ ，即 90 COD = ， ∴ ( ) 180 90 ODC COD ACO ACO = − + = − ， ∴ ( ) 180 180 90 90 ADO ODC ACO ACO = − = − − = + ， ∴ ADO AOB = ； (3)2 360 AMN ABC BAC = − + 或2 AMN BAC ABC = − 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出 110 BAC ABC + = ，再根据角平分线的定义求得 ( ) 1 55 2 ABO BAO ABC BAC + = + = ，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得 ( ) 1 180 2 OAB ABO ACB − + = ，从而得到 ( ) 180 90 AOB OAB ABO ACO − = + = + ，再由OD OC ⊥ ， 可得 180 90 ADO ODC ACO = − = + ， 即可得出结论； （3）分两种情况：当点M 在线段BE上时；当点M 在线段BE的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵ 70 ACB = ， ∴ 180 180 70 110 BAC ABC ACB = + = − = − ， ∵三个内角的平分线交于点O， ∴OA OB 、 分别是 ABC BAC 、 的平分线， ∴ 1 1 , 2 2 OAB BAC ABO ABC = = ， 1 2 ACO ACB = ， ∴ ( ) 1 1 1 55 2 2 2 OAB ABO BAC ABC BAC ABC + = + = + = ， ∴ ( ) 180 180 55 125 AOB OAB ABO − − = + = = ； （2）略 5 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：如图，当点M 在线段AE 上时， ∵ 180 AEN BEC + = ， 180 ABC BCO BEC + + = ， ∴ 1 2 AEN ABC BCO ABC ACB = + = + ( ) 1 180 2 ABC ABC BAC − − = + 1 1 90 2 2 ABC BAC = − + ， ∵MN CE ⊥ ，即 90 MNE = ， ∵ 180 , 180 AEN MNE EMN AMN EMN + + = + = ， ∴ 1 1 90 90 2 2 AMN AEN MNE ABC BAC = + = − + + ， 即2 360 AMN ABC BAC = − + ； 当点M 在线段BE的延长线上时，如图， 同理 1 1 90 2 2 BEN ABC BAC = − + ， ∵MN CE ⊥ ，即 90 MNE = ， ∴ 1 1 1 1 90 90 90 2 2 2 2 AMN BEN ABC BAC BAC ABC − − − − = = + = 即2 AMN BAC ABC = − ； 综上所述， AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系为2 360 AMN ABC BAC = − + 或 2 AMN BAC ABC = − ． 变式1-3． （25-26 七年级下·河南驻马店·期末） 【问题原型】如图①，在ABC 中， 66 A = ，BD平分 ABC ， CD平分 ACB ，求 D 的度数． 6 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 解： 180 A ABC ACB + + = ，且 66 A = ． 180 114 ABC ACB A + = −= ． BD 平分 ABC ，CD平分 ACB ， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在ABC 中，A = ，BE、BF 是 ABC 的三等分线（即 ABF FBE = = EBC ）， CE 、CF 是 ACB 的三等分线，则 E =_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若 249 E F + = ， F 的度数为_________． ②当 48 ACB = 时， BFC 的一条边的所在直线与ABC 的某一边的所在直线垂直时， A =_________． 【答案】(1) ∴ ( ) 1 1 2 57 2 ABC ACB += + = ∴ ( ) 180 1 2 123 D = −+ = (2) 1 120 3 + (3)①106；②69或74或42 【分析】（1）根据题意补全过程，即可求解； （2）根据三等分线的定义可得 1 1 3 ABC = ， 1 2 3 ACB = ，进而根据三角形内角和定理可得 ( ) 1 180 1 2 120 3 E = −+ = + ； （3）①同（2）可得 2 60 3 F = + ，根据已知 249 E F + = ，求得 69 = ，进而求得 F ； ②分情况讨论，当BF AC ⊥ 时，当CF AB ⊥ 时，当BC AB ⊥ 时，分别画出图形，根据三角形内角和定理， 即可求解． 7 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）略 （2）解： 180 A ABC ACB + + = ，且 A = ． 180 180 ABC ACB A + = −= − ． ∵BE、BF 是 ABC 的三等分线，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， 1 1 3 ABC = ， 1 2 3 ACB = ， ∴∠1+∠2= 1 3（∠ABC+∠ACB）=60°− 1 3 𝛼 ∴ ( ) 1 180 1 2 120 3 E = −+ = + （3）解：如图， 同（2）可得 ( ) ( ) 2 2 180 3 3 FBC FCB ABC ACB + = + = − ， ∴ ( ) 2 2 180 180 60 3 3 F = − − = + ， ∵ 249 E F + = ∴ 1 2 120 60 249 3 3 + + + = 解得： 69 = ∴ 2 60 69 106 3 F = + = ②如图，当BF AC ⊥ 时，设垂足为G 8 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 48 ACB = ，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， ∴ 1 16 3 GCF ACB = = ∴ 90 16 74 GFC = − = ∴ 180 106 BFC GFC = − = ∵ 2 60 3 BFC = + ∴ 2 60 106 3 + = 解得： 69 = ，即 69 A = 如图，当CF AB ⊥ 时，设垂足为H ， ∵ 48 ACB = ，CE 、CF 是 ACB 的三等分线， ∴ 1 16 3 HCA ACB = = ∴ 90 90 16 74 A HCA = − = − = 当BC AB ⊥ 时，如图， ∴ 90 42 A ACB = − = 综上所述， A = 69或74或42． 9 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD 在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 【答案】(1)解：CD平分 ACE ，理由如下： ∵ ACE 是ABC 的一个外角， ∴ ACE ABC A = +， ∵ DCE 是BCD 的一个外角， ∴ DCE CBD D = + ， ∵BD为 ABC 的平分线， ∴ 1 2 CBD ABC = ， ∵ 2 A D = ，即 1 2 D A = ， ∴ 1 1 2 2 DCE ABC A = + ∴ 1 2 DCE ACE = ， ∴CD平分 ACE (2)42 【分析】（1）利用三角形外角和定理可得 ACE ABC A = +，DCE BCD D = + ，结合BD为 ABC 的 平分线， 2 A D = ，进而证得CD平分 ACE ； （2）由CD平分 ACE ，CO平分 ACB ，可证得 90 OCD = ，利用三角形内角和定理即可解得 DOC 的 度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，CD平分 ACE ，即 1 2 ACD ACE = ， 10 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CO平分 ACB ，即 1 2 ACO ACB = ， 又∵ 180 ACE ACB + = ， ∴ ( ) 1 1 180 90 2 2 ACO ACD ACE ACB + = + = = ， 在OCD 中， 48 D = ， ∴ 90 90 48 42 DOC D = − = − = ． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式2-1．（25-26 七年级上·全国·寒假作业）如图，在ABC 中，BO，CO分别平分 ABC ，ACB ，且BO， CO交于点O，CE 为外角 ACD 的平分线，交BO的延长线于点E．已知 25 E = ，则 BOC 的度数为______． 【答案】115/115 度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角 之和是解题的关键． 根据角平分线的定义可得 1 1 , 2 2 ACO ACB ACE ACD = = ，进而得到 90 ACO ACE + = ，再利用 OCE △ 的外角 BOC OCE E = + 即可解答． 【详解】解：∵CO平分 ACB ， 1 2 ACO BCO ACB = = ， ∵CE 为外角 ACD 的平分线， 1 2 ACE ECD ACD = = ， 180 ACB ACD + = ， 1 1 1 1 ( ) 180 90 2 2 2 2 ACO ACE ACB ACD ACB ACD + = + = + = = ， 90 OCE = ， 11 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 又 25 E = ， 90 25 115 BOC OCE E = + = + = ， 故答案为：115． 变式2-2．（25-26 七年级下·四川资阳·期中）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作 // DE BC ，交AC 于点E ，DP平分 ADE ，交 ACB 的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF 的平分线CQ 与DP的 延长线相交于点Q ． (1)若 50 A = ， 60 B = ，求 DPC 与 Q ； (2)若 A x = 时，求 DPC 与 Q ； (3)若PCQ 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的 A 的度数． 【答案】(1) 115 , 25 DPC Q = = ； (2) 90 , 2 2 x x DPC Q = + = ； (3) 45 A = 或60或120或135． 【分析】 （1）根据 50 A = ， 60 B = ，可求出 ACB ，再根据CP 平分 ACB ，DQ 平分 ADE ，DE BC ∥ ， 可求出 PGD ，PDG ，进而可求出 DPC ；再根据CQ 平分 ACF ，可得出 90 PCQ = ，进而求出Q ． （2）根据三角形内角和定理对 ACB 进行表示，再根据CP 平分 ACB ，DQ 平分 ADE ，DE BC ∥ ，可 求出 PGD ，PDG ，再根据三角形外角的性质求出 QPC ，根据 90 PCQ = ，求出Q ，将 A 与Q 相 较即可证明． （3）由（2）可知 1 2 Q A = ， 90 PCQ = ，则PCQ 的内角为90，1 2 A ∠， 1 90 2 A − ，根据题意分类讨 论即可． 【详解】（1）解： 50 A = ， 60 B = ， 180 70 ACB A B = −−= ， CP 平分 ACB ， 1 35 2 BCP ACP ACB = = = ， 12 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 DE BC ∥ ， 60 ADE B = = ， 35 BCP PGD = = ， DP平分 ADE ， 1 2 30 ADE PDG = = ， 180 115 DPC PDG PGD = − − = ， 180 115 65 QPC = − = ， CP 平分 ACB ，CQ 平分 ACF ， 1 2 ACP ACB = ， 1 2 ACQ ACF = ， 180 ACB ACF + = ， 90 ACP ACQ + = ，即 90 PCQ = ， 90 25 Q QPC = − = ． （2）证明：∵ A x = ，则 180 ACB B x += −． DE BC ∵ ∥ ， ADE B = ∴ ， PGD PCB = ， DP 平分 ADE ，CP 平分 ACB ， 1 1 2 2 PDE ADE B = = ， 1 2 PCB ACB PGD = = ， ( ) 180 DPC PDE PGD + = − ( ) 1 180 2 B ACB − + = ( ) 1 180 180 2 x = − − 90 2 x + = ， 1 1 180 90 90 2 2 QPC x x = − + = − ， 180 ACB ACF + = ， 90 ACP ACQ + = ，即 90 PCQ = ， 1 1 90 90 90 2 2 Q QPC x x = − = − − = ， 1 2 2 x Q A = = ． 13 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：设 A = ，则 1 90 2 QPC = − ， 1 2 Q = ． 90 PCQ = ， 分类讨论： ①当 3 PCQ CPQ = 时， 1 90 3 90 2 = − ， 解得 120 = ， 120 A = ； ②当 3 PCQ Q = 时， 1 1 90 2 3 = ， 解得 60 = ， 60 A = ③当 3 CPQ Q = 时， 1 1 90 3 2 2 − = ， 解得 45 = ， 45 A = ； ④当 3 Q CPQ = 时， 1 1 3 (90 ) 2 2 − = ， 解得 135 = ， 135 A = 综上可知 45 A = 或60或120或135． 答： A 的度数为45或60或120或135． 变式2-3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．若 90 C = ，求 E 的度数． 14 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = ______ BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． CBD = ______ BAC + ， 1 2 E C = = ______度． 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．设 C 的度数为m ，求 E 的度数．（用含m 的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在ABC 中，C 为锐角，BAC 内部的射线AE 与外角 CBD 内部的射线BE交于点E（ E 为 锐角）．若 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ，设 C 的度数为m ，则 E 的大小为______．（用含m 的 代数式表示） 【答案】(1) E ； C ；45 (2) 1 2 m (3) 3 4 m 【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可； （3）先说明 3 4 BAE BAC = ， 3 4 DBE CBD = ，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可． 【详解】（1）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 2 CBD E BAC = + ， 15 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 45 2 E C = = 度． （2）解： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = E BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． 2 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴2 E BAC C BAC + = + 1 1 2 2 E C m = = ． （3）解：∵ 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ， ∴ 3 4 BAE BAC = ， 3 4 DBE CBD = ， DBE = E BAE + ， 4 3 3 4 CBD E BAC = + ． 4 3 CBD E BAC = + ， CBD = C BAC + ， ∴4 3 E BAC C BAC + = + ∴4 3 E C = ，即 3 3 4 4 E C m = = ． 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ，BF 平分外角 CBD ，CF 平分外 角 BCE ，BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ，求 G 的度数． 16 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】115 【分析】利用三角形的外角的性质与内角和定理先求解 180 80 180 260 DBC ECB A + = + = + = ，进一 步利用角平分线的性质得到 ( ) 1 130 2 FBC FCB DBC ECB + = + = ， ( ) 1 65 2 GBC GCB FBC FCB + = + = ，再利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解： DBC A ACB =+ ， ECB A ABC = + ， DBC ECB A ACB A ABC + = + + + ， 180 ACB A ABC ++ = ， 180 80 180 260 DBC ECB A + = + = + = ， BF 平分外角 DBC ，CF 平分外角 ECB ， 1 2 FBC DBC = ， 1 2 FCB ECB = ， ( ) 1 130 2 FBC FCB DBC ECB + = + = BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ， 1 2 GBC FBC = ， 1 2 GCB FCB = ， ( ) 1 65 2 GBC GCB FBC FCB + = + = ， ( ) 180 180 65 115 G GBC GCB = − + = − = ． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知ABC 中， 40 B = ，与 BAC ， ACB 相邻的外角 的角平分线交于点D，则 D 的度数为_______． 17 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】70/70 度 【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关 系，结合角平分线表示出相关角的度数． 先根据三角形外角的性质，用 B 表示出 BAC 与 ACB 的外角和；再结合角平分线的定义，求出 D 所在 三角形的内角和，进而得出 D 的度数． 【详解】解：在ABC 中， 40 B = ， 故 180 40 140 BAC ACB + = − = ∴ (180 ) (180 ) 360 140 220 MAC NCA BAC ACB + = − + − − = = ， ∵AD CD 、 是外角平分线， 1 1 , 2 2 DAC MAC DCA NCA = = ， ∴ ( ) 1 1 220 110 2 2 DAC DCA MAC NCA + = + = = ， 故 ( ) 180 180 110 70 D DAC DCA = − + = − = ． 故答案为：70． 变式3-2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三 角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之 间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图1， ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． 18 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ① ACD ， CAE 与 B 之间的数量关系是________，并加以证明； ②若 ACD ，CAE 的平分线CN ，AM 相交于点O，直接写出 AOC 与 B 之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图2 ， DAE ， DCF 是四边形ABCD的两个外角． ① DAE ， DCF 与 B ， D 之间的数量关系是________； ②如图3， DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O，若 60 B = ， 136 D = ，则 AOC 的度数是 ________． 【答案】(1)① 180 ACD CAE B + = + ； 证明：∵ ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． ∴ 180 ACD CAE B BAC B ACB B + = + ++ = + ∴ 180 ACD CAE B + = + ； ② 1 90 2 AOC B = − (2)① DAE DCF ABC ADC + = + ；②38 【分析】（1）①根据三角形外角的性质以及三角形的内角和定理可得 180 ACD CAE B BAC B ACB B + = + ++ = + ，即可得出 180 ACD CAE B + = + ； ②根据角平分线的定义得出 1 2 ACO ACD = ， 1 2 CAO CAE = ，结合①的结论可得 ( ) 1 1 0 2 8 CAO ACO B + = + ，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）①连接BD，根据三角形的外角的性质可得 DAE ABD ADB = + ， DCF CBD CDB = + ，进而 可得 DAE DCF ABC ADC + = + ②根据①的结论得出 2 1 2 1 98 DAE DCF EAO FCO + = + = ， C EAO FCO B AO + + = ，即可求解． 【详解】（1）①略 ② 1 90 2 AOC B = − . 证明如下： 19 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵CN ，AM 分别平分 ACD ， CAE ， ∴ 1 2 ACO ACD = ， 1 2 CAO CAE = ， ∴ ( ) 1 2 CAO ACO ACD CAE + = + ， ∵ 180 ACD CAE B + = + ， ∴ ( ) 1 1 0 2 8 CAO ACO B + = + ， ∵在AOC 中， 180 AOC CAO ACO + + = ， ∴ ( ) 180 180 90 1 1 2 2 AOC B B = − + = − . （2）①如图，连接BD， ∵ DAE ， DCF 是ABD ，BCD 的外角 ∴ DAE ABD ADB = + ， DCF CBD CDB = + ∴ DAE DCF ABC AD D C ABD ADB CBD C B + + + = + + = ； 故答案为： DAE DCF ABC ADC + = + ． ②∵ DAE DCF ABC ADC + = + ， =60 B ， 136 D = ∴ 60 136 196 DAE DCF + = + = ∵ DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O， ∴ 2 1 2 1 98 DAE DCF EAO FCO + = + = 由①可得 C EAO FCO B AO + + = ， ∴ 98 60 38 AOC = − = 变式3-3．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： 20 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 【答案】(1) 1 90 2 D A = + ， 理由：∵BD平分 ABC ，CD平分 ACB ， ∴设 DBC DBA = = ， DCB DCA = = ， ∴ ( ) 180 D = − + ， ( ) 180 2 A = − + ， ∴ 180 D + = − ， 1 90 2 A + = − ， ∴ 1 180 90 2 D A − = − ， ∴ 1 90 2 D A = + ． (2) 1 2 = E A (3) 1 90 2 F A = − (4)15 5. 【分析】 （1）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形内角和定理推出 D 和 A 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （2）根据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 E 与α， β 之间的关系，等量代换得到最终答案； 21 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）据角平分线的定义得出两对相等的角并设为α、β，进而通过三角形外角的性质推出 A 和 F 与α，β 之间的关系，等量代换得到最终答案； （4）根据（1）（2）（3）中的结论求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ， ∴设 ABE CBE = = ， ACE MCE = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 A = + ， E = + ， ∴ 2 2 A = − ， = − E ， ∴ 1 2 = E A． （3）解：∵BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ， ∴设 PBF CBF = = ， QCF BCF = = ， 由三角形外角的性质可得：2 2 180 A ACB A ABC A + = + + + = + ， 180 F + = − ， ∴ 1 90 2 A + = + ， ∴ 1 90 180 2 A F + = − ， ∴ 1 90 2 F A = − ． （4）解：由（1）（2）（3）的结论可得： 1 90 118 2 D A = + = ， ∴ 1 90 31 2 E D = − = ， ∴ 1 15.5 2 F E = = ． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26 八年级下·重庆南岸·期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线． (1)若 70 B = ， 30 C = ，求 AEC 和 DAE 的度数； (2)若 B = ， C = ，且 ，直接写出 AEC 和 DAE 的度数（用含，的代数式表示）． 22 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】(1) 110 AEC = ， 20 DAE = (2) 90 2 AEC − = + ， 2 DAE − = 【分析】（1）先利用三角形内角和求出 BAC ，结合角平分线定义得到 CAE ，再用内角和算出 AEC ； 根据高线得到直角，利用直角三角形两锐角互余求出 DAC ，最后作差得到 DAE ； （2）先用三角形内角和表示出 BAC ，结合角平分线得到 CAE ，代入内角和公式化简求出 AEC ；再由 高线推出 DAC ，通过角度相减化简得到 DAE 的代数式． 【详解】（1）解：在ABC 中，由三角形内角和定理得： 180 180 70 30 80 BAC B C = −− = − − = ， AE 是ABC 的角平分线， 1 1 80 40 2 2 CAE BAC = = = ， 在 AEC △ 中，由三角形内角和定理得： 180 180 30 40 110 AEC C CAE = −− = − − = ， AD 是ABC 的高， 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 90 90 30 60 DAC C = − = − = ， 60 40 20 DAE DAC CAE = − = − = ； （2）解：在ABC 中，由三角形内角和定理得： 180 180 BAC B C = − − = − − ， AE 是ABC 的角平分线， 1 1 180 90 2 2 2 CAE BAC ( ) + = = − − = − ， 在 AEC △ 中，由三角形内角和定理得： 180 180 90 90 2 2 AEC C CAE + − = − − = − − − = + ， AD 是ABC 的高， 90 ADC = ， 在Rt ADC △ 中， 90 90 DAC C = − = − ， 90 90 2 2 DAE DAC CAE ( ) + − = − = − − − = ． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和 求解。 变式4-1． （24-25 八年级上·四川德阳·阶段检测）如图，已知AF 平分 BAC ，过F 作 ⊥ FD BC ，若 60 B = ， 23 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 96 BAC = ，则 F = ______． 【答案】18 【分析】本题考查了角的计算，垂线，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题 的关键．根据角平分线的定义可得： 48 BAE = ，再根据三角形内角和定理可得 72 AEB = ，然后利用对 顶角相等可得 72 DEF AEB = = ，再根据垂直定义可得 90 FDE = ，从而利用直角三角形的两个锐角互 余可得： 18 F = ，即可解答． 【详解】解：∵AF 平分 BAC ， 96 BAC = ， ∴ 1 48 2 BAE BAC = = ∠ ， ∵ 60 B = ， ∴ 180 72 AEB B BAE = −− = ， ∴ 72 DEF AEB = = ， ∵ ⊥ FD BC， ∴ 90 FDE = ， ∴ 90 18 F DEF = − = ， 故答案为：18． 变式4-2．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，CD是ABC 的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF AB ⊥ 于点F ，连接BE． (1)若 36 A = ， 66 ABC = ，求 DEF 的度数； (2)若 8 BD = ， 6 EF = ，求BCE 的面积． 【答案】(1)15 24 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)24 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出 ACD ，进而求出 CDB ，利用垂直的定义 进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵CD是ABC 的角平分线， ∴ 1 2 ACD ACB = ， ∵ 180 180 36 66 78 ACB A ABC = −− = − − = ， ∴ 1 1 78 39 2 2 ACD ACB = = = ， ∴ 36 39 75 CDB A ACD = + = + = ， ∵EF AB ⊥ ， ∴ 90 EFB = ， ∴ 90 90 75 15 DEF CDB = − = − = ； （2）解：∵ 8 BD = ， 6 EF = ，EF AB ⊥ ， ∴ 1 1 8 6 24 2 2 EDB S BD EF = = = ， ∵E 是CD的中点， ∴CE ED = ， ∵EDB 的边DE 上的高与BCE 的边CE 上的高相同， ∴ 24 BCE EDB S S = = ． 变式4-3．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC 中，C B ，AE 是边BC 上的高，AD是 BAC 的平分线． (1)如图①，若 20 DAE = ， 30 B = ，求 C 的度数； (2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG BC ⊥ 于点G ，试探究 F 与 C ，B 之间的数量关系，并说 明理由． 25 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）解：∵AE 是边BC 上的高， ∴ 90 AEB = ， ∴ 180 60 BAE B AEB − − = = ， ∵ 20 DAE = ， ∴ 40 BAD BAE DAE − = = ， ∵AD是 BAC 的平分线， ∴ 2 80 BAC BAD = = ， ∴ 180 70 C B BAC − − = = ． (2) 2 C B F − = ，理由如下： ∵AE 是边BC 上的高， ∴AE BC ⊥ ， 90 AEB = ， ∴ 180 90 BAE B AEB B − − − = = ， ∴ 90 BAD BAE DAE B DAE − − − = = ， ∵AD是∠BAC 的平分线， ∴ 2 180 2 2 BAC BAD B DAE − − = = ， ∴ 180 2 C B BAC B DAE − − = = + ， ∵FG BC ⊥ ，AE BC ⊥ ， ∴FG AE ∥ ， ∴ F DAE = ， ∴ 2 C B F = + ，即 2 C B F − = ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1． （25-26 八年级下·江西吉安·期中）如图，P 为ABC 内一点，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，且 100 A = ， 则 BPC 的度数是（ ） 26 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．100 B．110 C．140 D．130 【答案】C 【分析】先根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + 的度数，再由角平分线的性质求出 PBC PCB + 的度 数，进而可得出结论． 【详解】解：∵在ABC 中， 100 A = ， ∴ 180 100 80 ABC ACB + = − = ． ∵BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ， ∴ ( ) 1 1 80 40 2 2 PBC PCB ABC ACB + = + = = ， ∴ 180 40 140 BPC = − = ． 2．（25-26 八年级上·河南信阳·期末）如图，在ABC 中， 30 , 80 C ABC = = ，若BE是ABC 的高，AF 是ABC 的角平分线，BE与AF 相交于点O，则 EOF 的度数为（ ） A．100 B．125 C．135 D．150 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义，三角形内角和定理和外角的性质，由三角形内角和定理得 70 BAC = ， 由角平分线定义得 1 35 2 CAF BAC = = ，求得 55 AOE = ， 65 AFB FAC C = + = ，由对顶角相等得 55 BOF AOE = = ，由三角形外角的性质可得 EOF 的度数． 【详解】解：∵ 180 ABC C BAC + + = ， 30 , 80 C ABC = = ， ∴ 180 180 80 30 70 BAC ABC C = − − = − − = ， ∵AF 平分 BAC , ∴ 1 35 2 CAF BAC = = ， ∵BE是ABC 的高， ∴ 90 BEA = ， ∵ 180 OEA EAO EOA + + = ， ∴ 180 180 35 90 55 AOE OAE OEA = − − = − − = ， 27 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 55 BOF AOE = = ， 又 35 CAF = ， 30 C = ， ∴ 35 30 65 AFB CAF C = + = + = ， ∴ 180 180 55 65 60 OBF BOF OFB = − − = − − = ， ∴ 60 65 125 EOF OBF OFB = + = + = ． 故选：B． 3．（25-26 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中， 230 D C + = ， DAB 的平分线与外角 CBE 的平分线相交于点F ，则 F 的度数为（ ） A．10 B．15 C．25° D．30 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻 的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出 180 130 50 G = − = ，再利用 1 2 F G = 即可求解． 【详解】解：如图，延长AD和BC 交于点G， ∵ 230 ADC DCB + = ， ∴ GDC GCD + 180 180 ADC DCB = − + − ( ) 360 ADC DCB = − + 360 230 = − 130 = ， ∴ 180 130 50 G = − = ， ∵ DAB 的平分线与外角 CBE 的平分线相交于点F ， ∴ 1 1 , 2 2 FBE CBE FAB GAB = = ， ∴ ( ) 1 1 1 1 25 2 2 2 2 F FBE FAB CBE GAB CBE GAB G = − = − = − = = 28 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故选：C． 4．（25-26 七年级下·重庆·阶段检测）如图，AB CD ，点P 在平行线 , AB CD 之间．连接PA并延长，与直 线BD交于点E ；连接PC 并延长，与直线BD交于点F ， PCD 与 ABD 的角平分线交于点Q ，且 BQ PE ∥ ．若 Q P − = ， PEF = ，则 PFE 一定等于（ ） A．180 2 − − B．90 + − C． + D．2 2 − 【答案】D 【分析】过点P 作PM AB ∥ ，过点Q 作QN AB ∥ ，设 PCQ = ，根据平行线的性质及角平分线得到， 180 2 APC = − + ， 180 BQC = − + ，再根据 BQC APC − = ，得到 = ，由三角形内角和即 可求得 PFE ． 【详解】解：如图，过点P 作PM AB ∥ ，过点Q 作QN AB ∥ ， 设 PCQ = ， BQ PE ∥ ， PEF QBD = = ， EAB ABQ = ． PCD 与 ABD 的角平分线交于点Q ， 29 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 EAB ABQ QBD = = = ， PCQ QCD = = ． 2 PCD = ． PM AB ∥ ，AB CD ， PM AB CD ∥ ∥ ． EAB APQ = = ， 180 QPC PCD + = ． 180 180 2 QPC PCD = − = − ． 180 2 APC APQ CPQ = + = − + ． QN AB ∥ ，AB CD ， QN AB CD ∥ ∥ ． ABQ BQN = = ， 180 NQC QCD + = ． 180 NQC = − ． 180 BQC = − + ． BQC APC − = ， ( ) 180 180 2 − + − − + = ． = ． 180 2 APC = − + ． ( ) 180 180 180 2 2 2 PFE APC PEF = − − = − − + − = − ． 二、填空题 5．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，ABC 的外角平分线AE 与 ABC 的平分线BD相交于点P， 80 C = ，则 APB 的度数是___． 【答案】40 【分析】本题考查的是三角形外角平分线与内角平分线相交形成的角度计算，考查三角形内角和定理、外 角性质以及角平分线的定义．先设出相关角，利用角平分线的性质表示出半角，再通过三角形外角与内角 的关系建立方程，解方程求得角度即可． 30 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：设 2 ABC x = ，∵BD平分 ABC ，∴ ABP PBC x = = ． 设ABC 的外角为 FAC ，则 2 80 FAC ABC C x = + = + ． ∵AE 平分外角 FAC ，∴ 1 40 2 FAP FAC x = = + ． 又∵ FAP 是ABP 的外角，∴ FAP APB ABP = + ． 代入得 40 x APB x + = + ，化简得 40 APB = ． 故答案为：40． 6．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图， DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点，若 42 D = ， 38 B = ，那么 P 的度数是___． 【答案】40/40 度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和 得到1 3 D AMD P PMC + + = ++ ，再利用对顶角得到得到 AMD PMC = ，所以 1 3 D P + = +①，同理可得 4 2 B P += +②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到 2 P B D =+ ，从而可确定 P 的度数． 【详解】解：∵1 3 D AMD P PMC + + = ++ ， 而 AMD PMC = ， ∴1 3 D P + = +①， 同理可得 4 2 B P += +②， + ① ②得1 4 2 3 2 D B P ++ += ++ ， ∵ DAB 和 BCD 的平分线AP 和CP 相交于P 点， ∴ 1 2 = ， 3 4 = ， ∴2 P B D =+ ， 31 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴2 38 42 P = + ， 解得 40 P = ． 故答案为：40． 7． （2025 七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在四边形ABCD中，E，F 分别是两组对边延长线的交点，EG ， FG 分别平分 AEB ， AFD ，已知 88 ABC = ， 72 ADC = ，则 EGF 的度数为______． 【答案】100/100 度 【分析】本题考查了三角形内角和以及角平分线的定义，连接EF ，根据角的和差关系，得 GFE AFE AFG GEF AEF AEG = − = − ， ，再代入 ( ) 180 EGF GFE GEF = − + ，化简即可作答． 【详解】解：如图所示，连接EF ， ∵EG ，FG 分别平分 AEB ， AFD ， 88 ABC = ， 72 ADC = ， ∴ ( ) 180 EGF GFE GEF = − + ( ) 180 AFE AFG AEF AEG = − − + − ( ) ( ) 180 AFE AEF AFG AEG = − + + + ( ) 1 1 180 180 2 2 A AFD AEB = − − + + ( ) 1 2 A AFD AEB = + + ( ) 1 180 180 2 A A ADC A ABC = + −− + −− ( ) 1 360 2 88 72 2 A A = + −− − 32 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 100 = ， 故答案为：100． 8． （25-26 七年级下·甘肃白银·期中）如图，在ABC 中，已知 60 A = ，点O为ABC 内一点，且 140 = BOC ， 其中 1 BO 平分 ABO ∠ ， 1 CO 平分 ACO ， 2 BO 平分 1 ABO ， 2 CO 平分 1 ACO ， n BO 平分 1 n ABO − ， n CO 平分 1 n ACO − ，…，以此类推，则 1 100 BOC = ， 2025 BO C = ________． 【答案】 2025 80 60 2 + 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根 据三角形的内角和定理可得 ABO ACO + 的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出 1 BOC 的度数，同样的方法求出 2 BO C 的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵ 140 = BOC ， ∴1 2 180 40 BOC += − = ， ∵ 60 A = ， ∴ 180 60 120 ABC ACB − + = = ， ∴ 1 2 120 40 80 ACO ABC ACB ABO = + −−= − = + ∠ ， ∵ 1 BO 平分 ABO ∠ ， 1 CO 平分 ACO ， ∴ 1 1 2 ABO ABO = ∠ ， 1 1 2 ACO ACO = ， ∴ ( ) 1 1 1 180 BO C O BC O CB = − + ( ) 1 1 180 ABC ACB ABO ACO = − + − − 1 1 180 120 2 2 ABO ACO = − − − ( ) 1 180 120 2 ABO ACO = − + + 1 60 80 2 = + 33 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 100 = ， 同理可得 ( ) 2 2 2 180 BO C O BC O CB = − + ( ) 2 2 180 ABC ACB ABO ACO = − + − − 1 1 1 1 180 120 2 2 ABO ACO = − − − ( ) 1 1 1 180 120 2 ABO ACO = − + + ( ) 1 1 60 2 2 ABO ACO = + + 2 1 60 80 2 = + 80 = ， 归纳类推得 1 60 80 2 n n BO C = + ，其中n 为正整数， ∴ 2025 2025 80 60 2 BO C = + ． 三、解答题 9．（25-26 八年级上·辽宁沈阳·期末）如图①， ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的角平分线，CD 为 ACE 的角平分线，且BD、CD相交于点D． (1)猜想 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若 ACB 的角平分线CO交BD于点O， 48 DOC = ，求 D 的度数． 【答案】(1) 2 A D = ，理由见解析 (2) 42 D = 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、 角平分线的定义等知识，正确理解和应用三角形内角和定理及其推论是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义得 2 ABC DBC = ， 2 ACE DCE = ，再根据外角的定义得 ABC A ACE += ，则2 2 DBC A DCE += ， ( ) 2 A DCE DBC = − ，进而可得结论； 34 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）根据外角的定义得 48 DOC DBC OCB = + = ，根据角平分线的定义得 2 ABC DBC = ， 2 ACB OCB = ，则 ( ) 2 96 ABC ACB DBC OCB + = + = ，根据三角形内角和定理求出 A ，再结合（1） 的结论即可求解． 【详解】（1）解： 2 A D = ，理由如下： ∵BD为 ABC 的角平分线，CD为 ACE 的角平分线 ∴ 2 ABC DBC = ， 2 ACE DCE = ， ∵ ABC A ACE += ， ∴2 2 DBC A DCE += ， ∴ ( ) 2 A DCE DBC = − ， ∵ DBC D DCE + = ， ∴ D DCE DBC = − ， ∴ 2 A D = ； （2）解：∵ DOC 为BOC 的一个外角， 48 DOC = ， ∴ 48 DOC DBC OCB = + = ， ∵BD平分 ABC ，CO平分 ACB ， ∴ 2 ABC DBC = ， 2 ACB OCB = ， ∴ ( ) 2 96 ABC ACB DBC OCB + = + = ， 在ABC 中， ( ) 180 84 A ABC ACB = − + = ， 由（1）得 2 A D = ， ∴ 42 D = ． 10．（25-26 八年级上·浙江台州·阶段检测）在三角形ABC 中，AD是角平分线， B C ． (1)如图（1），AE 是高， 35 , 65 B C = = ，求 DAE 的度数； (2)如图（2），点E 在AD上，EF BC ⊥ 于F，试探究 DEF 与 , B C 的大小关系，并说明理由； 35 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图（3），点E 在AD的延长线上，EF BC ⊥ 于F，则 DEF 与 , B C 的大小关系是_________（直接 写出结论，不需说明理由）． 【答案】(1) 15 DAE = (2) 2 C B DEF − = ，见解析 (3) 2 C B DEF − = 【分析】（1）依据角平分线的定义以及垂线的定义，即可得到 1 2 CAD BAC = ， 90 CAE C = − ，进而 得出 ( ) 1 2 DAE C B = − ，由此即可解决问题； （2）过A作AG BC ⊥ 于G ，依据平行线的性质可得 DAG DEF = ，依据（1）中结论即可得到 ( ) 1 2 DEF C B = − ； （3）过A作AG BC ⊥ 于G ，依据平行线的性质可得 DAG DEF = ，依据（1）中结论即可得到 ( ) 1 2 DEF C B = − 不变． 【详解】（1）解：如图1 所示： AD 平分 BAC ， 1 2 CAD BAC = ， AE BC ⊥ ， 90 CAE C = − ， DAE CAD CAE = − ( ) 1 90 2 BAC C = − − ( ) ( ) 1 180 90 2 B C C = −− − − 1 1 2 2 C B = − ( ) 1 2 C B = − ， 35 B = ， 65 C = ∠ ， 36 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 1 65 35 15 2 DAE = − = ； （2）解：结论 ( ) 1 2 DEF C B = − ． 理由如下：过A作AG BC ⊥ 于G ，如图2 所示： EF BC ⊥ ， AG EF \ ∥ ， DAG DEF = ， 由（1）可得 ( ) 1 2 DAG C B = − ， ( ) 1 2 DEF C B = − ； （3）解：结论仍成立． 过A作AG BC ⊥ 于G ，如图3 所示： EF BC ⊥ ， AG EF \ ∥ ， DAG DEF = ， 由（1）可得 ( ) 1 2 DAG C B = − ， ( ) 1 2 DEF C B = − ． 11．（25-26 七年级下·陕西西安·期中）探究不同情境，回答下面问题： 37 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1， 55 A = ，BO平分 ABC ，CO平分 ACB ，则 BOC = 度． (2)如图2， 60 A = ，BO，CO分别是 ABC ，ACB 的三等分线（即 1 3 = OBC ABC ， 1 3 = OCB ACB ） 求 BOC 的度数． (3)在ABC 中，BO，CO分别是 ABC ， ACB 的n 等分线（即 1 OBC ABC n = ， 1 OCB ACB n = ），试 说明 BOC 与 A 的关系． 【答案】(1)117.5 (2)140 (3) 1 1 180 n BOC A n n − = + 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + ，根据平分线求出 OBC OCB + ，根据三角形 的内角和定理得出 180 ( ) BOC OBC OCB = − + ，代入求出即可； （2）先根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + ，根据三等分线求出 OBC OCB + ，根据三角形的内 角和定理得出 180 ( ) BOC OBC OCB = − + ，代入求出即可； （3）先根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + ，根据n 等分线求出 OBC OCB + ，根据三角形的内角 和定理得出 180 ( ) BOC OBC OCB = − + ，代入求出即可； 【详解】（1）解： 55 A = ， 180 125 ABC ACB A + = −= ， ∵BO平分 , ABC CO 平分 ACB ， 1 1 , 2 2 OBC ABC OCB ACB = = ， 1 125 62.5 2 OBC OCB + = = ， ( ) 180 180 62.5 117.5 BOC OBC OCB = − + = − = ； （2）解：∵ 60 A = ， 180 60 120 ABC ACB + = − = ， 38 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ , BO CO 分别是 , ABC ACB 的三等分线， 1 1 , 3 3 OBC ABC OCB ACB = = ， ( ) 1 1 120 40 3 3 OBC OCB ABC ACB + = + = = ， 180 ( ) 140 BOC OBC OCB = − + = ． （3）解：∵ 180 , , ABC ACB A BO CO + = − 分别是 , ABC ACB 的n 等分线， ∴ 1 OBC ABC n = ， 1 OCB ACB n = ， ( ) ( ) 1 1 1 1 180 OBC OCB ABC ACB ABC ACB A n n n n + = + = + = − 180 ( ) BOC OBC OCB \ ? ? ? ? ( ) 1 180 180 A n = − − 1 1 180 n A n n − = + ． 12．（17-18 八年级上·全国·课后作业）请你参与下面探究过程，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，P 是ABC 的内角 ABC 与 ACB 的平分线BP和CP 的交点，若 70 A = ，则 BPC = ____________度： (2)探究2：如图2，P 是ABC 的外角 DBC 与外角 ECB 的平分线BP和CP 的交点，求 BPC 与 A 的数 量关系？并说明理由． (3)拓展：如图3，P 是四边形ABCD的外角 EBC 与 BCF 的平分线BP和CP 的交点，设 A D + = ． ①直接写出 BPC 与的数量关系； ②根据的值的情况，判断BPC 的形状（按角分类）． 【答案】(1)125 (2) 1 90 2 BPC A = − ，理由见解析 小学 初中 39 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)① 1 180 2 BPC = − ；②当0 180 时，则BPC 是钝角三角形；当 180 = 时，则BPC 是直角三 角形；当 180 时，则BPC 是锐角三角形. 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形 的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键. （1）先根据三角形内角和定理求出 ABC ACB + 的度数，再根据角平分线的性质求出 PBC BCP + 的度 数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义、三角形外角性质、三角形内角和定理可得 ( ) 1 180 2 PBC PCB A + = + ，然后 根据三角形内角和定理即可得解； （3）①延长BA CD ， 交于点Q，由（2）可知， 1 90 2 BPC Q = − ，则 180 2 Q BPC = − ，又由 180 180 180 2 360 2 BAD CDA Q BPC BPC + = + = + − = − 即可得到 1 180 2 BPC = − ；②根据α 的值的情况，得到 BPC 的取值范围，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ 70 A = ， ∴ 180 110 ABC ACB A + = −= . ∵P 是ABC 的内角 ABC 与 ACB 的平分线BP和CP 的交点， ∴ 1 1 , 2 2 PBC ABC BCP ACB = = ， ∴ ( ) 1 55 2 PBC BCP ABC ACB + = + = ∵ 180 PBC BCP BPC + + = ， ∴ 125 BPC = ． （2） 1 90 2 BPC A = − ； 理由：∵P 是ABC 的外角 DBC 与外角 ECB 的平分线BP和CP 的交点， ∴ PBC PCB + ( ) 1 2 DBC ECB = + ( ) 1 2 A ACB A ABC = + ++ ( ) 1 180 2 A = + ， 在 PBC △ 中， 40 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( ) 180 BPC PBC PCB = − + ( ) 1 180 180 2 A = − + 1 90 2 A = − ； （3）① 1 180 2 BPC = − ， 如图，延长BA CD ， 交于点Q， 由（2）可知， 1 90 2 BPC Q = − ， ∴ 180 2 Q BPC = − ， ∴ 180 180 180 2 360 2 BAD CDA Q BPC BPC + = + = + − = − ， ∴ 1 180 2 BPC = − ； ②当0 180 时，则 1 180 90 2 BPC = − ，则BPC 是钝角三角形； 当 180 = 时，则 1 180 90 2 BPC = − = ，则BPC 是直角三角形； 当 180 时，则 1 180 90 2 BPC = − ， ∵P 是四边形ABCD的外角 EBC 与 BCF 的平分线BP和CP 的交点， ∴ 1 1 90 , 90 2 2 PBC EBC PCB BCF = = ， ∴BPC 是锐角三角形． 13．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的平分线交于 1A ． 41 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，若 70 A = ，则 1A = ． (2)如图2 ，四边形ABCD中，ABC 的角平分线及外角 DCE 的角平分线相交于点F ，若 230 A D + = ， 求 F 的度数． (3)如图3，ABC 中， ABC 的角平分线与外角 ACD 的角平分线交于 1A ，若E 为BA延长线上一动点，连 接EC ， AEC 与 ACE 的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论： 1 Q A + ① 的值为定值； 1 Q A − ② 的值为定值； 其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)35 (2)25 (3)正确的结论是①，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义得到 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ，再由三角形外角的性质得到 ( ) 1 1 2 A ACD ABC = − ， 70 ACD ABC BAC − = = ，由此即可得到结论； （2）根据角平分线的定义 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ，根据三角形外角的性质得到 ( ) 1 2 F DCE ABC = − ，利用四边形内角和定理得到 130 ABC BCD + = ，则 50 DCE ABC − = ，由 此即可求出 25 F = ； （3）同理可得 1 1 2 A BAC = ， 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ，利用三角形内角和定理得到 ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ，再由三角形外角的性质得到 BAC AEC ACE = + ，即可得到 1 180 2 Q BAC = − ，由此即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ 1 BA 平分 1 ABC CA ， 平分 ACD ， 42 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 1 1 1 2 2 A BC ABC ACD ACD = = ， ， ∵ 1 1 1 A ACD ABC = − ， ∴ ( ) 1 1 1 1 2 2 2 A ACD ABC ACD ABC = − = − ， ∵ 70 BAC = ， ∴ 70 ACD ABC BAC − = = ， ∴ 1 1 70 35 2 A = = ， 故答案为：35； （2）解：∵BF 平分 ABC CF ， 平分 DCE ， ∴ 1 1 2 2 FBC ABC FCE DCE = = ， ， ∴ ( ) 1 2 F FCE FBC DCE ABC = − = − ， ∵ 230 A D + = ， ∴ ( ) 360 130 ABC BCD A D + = −+ = ， ∴ ( ) 180 130 ABC DCE + − = ， ∴ 50 DCE ABC − = ， ∴ ( ) 1 25 2 F DCE ABC = − = ； （3）解：正确的结论是①，理由如下： 同（1）可得 1 1 2 A BAC = ， ∵EQ 平分 AEC CQ ， 平分 ACE ， ∴ 1 1 2 2 QEC AEC QCE ACE = = ， ， ∵ ( ) 180 Q QEC QCE = − + ， ∴ ( ) 1 180 2 Q AEC ACE = − + ， ∵ BAC AEC ACE = + ， ∴ 1 180 2 Q BAC = − ， ∵ 1 1 2 A BAC = ， 43 / 43 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 1 1 1 180 180 2 2 Q A BAC BAC + = − + = ， ∴ 1 Q A + 的值为定值，①正确，其值是180．
