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专题02 隐圆6 大模型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型一、定点定长
模型二、定弦定角
模型三、直角圆周角
模型四、动点定长
模型五、四点共圆
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
隐圆模型解题核心是挖掘题目隐藏的定点定长、定弦定角、对角互补、定角定高这些圆的生成条件，
识别出动点的运动轨迹为圆或圆弧，再转化为圆的相关性质，借助圆的半径、圆心、直径、圆周角、点圆
距离、求解线段最值、角度、存在性问题，解题时先找不变的定点与不变量确定隐圆的圆心和半径，画出
轨迹圆，再结合几何图形位置关系分析临界点，避开漏看圆弧范围导致的错误，把几何问题转化成圆的计
算完成求解。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型一、定点定长
典例1 如图，
60
AB
BC
BD
=
=
=
，
90
ABC
=
，
2
DP
AP
=
，则线段CP 的最小值为（ ）
目 录
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A．35
B．20 2
6
+
C．30 5
30
−
D．20 13
20
−
模型模版
1.特征：有一个定点，动点到该定点距离始终不变，动点轨迹为圆。
2.方法：识别定点与定长，画出隐形圆，借助圆的性质求解角度、最值、线段长度。
变式1-1 如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P 为CA 上的动点，连BP，过点A 作AM⊥BP
于M．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）
A．√2
2 π
B．√2π
C．√3π
D．2π
变式1-2（2025·湖南永州·三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学
准备了一张长方形纸片ABCD，如图：
12
AB =
，
10
BC =
，他在边BC 上取中点N，又在边AB 上任取一点
M，再将BMN
沿MN 折叠得到
B MN
△
，连结AB．AB达到最小值时，求BM = ．
变式1-3 如图，在四边形ABCD中，
60
DAB
=
，
30
ABC
=
，
4
AB =
，
2
CD = ，点M 为CD的中点，
连接AM 、BM ，则ABM
的面积的最小值是 ．
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模型二、定弦定角
典例2 如图△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，𝐵𝐶= √5，D 为平面内一点，且∠BDA＝∠C，过点B 作
BE⊥BD，与DA 的延长线相交于点E，则△BDE 面积的最大值为（ ）
A．√5
B．
9√5
5
C．2√5
D．
18√5
5
题型模版
1.特征：线段长度固定，线段所对的角大小固定，角的顶点在一段圆弧上运动。
2.方法：以定弦为弦作出隐圆，利用圆周角、圆心角性质求角度或者线段最值。
变式2-1 如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8√3，∠ACB＝60°，过点A 作BC 的平行线l，P 为直线l 上一
动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为 2 ．
变式2-2 如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，边长为4，正方形内有一动点𝐸，∠𝐵𝐸𝐶= 135°．连接𝐴𝐸，则线段𝐴𝐸的
最小值为 ．
变式2-3 如图，正方形ABCD中，
2
AB =
，点E 为正方形ABCD内部一点，连接AE ，BE ，CE ，且
ABE
DAE
=
，当BCE
为等腰三角形时，AE 的长为 ．
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模型三、直角圆周角
典例3 如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，
则线段CP 长的最小值是_________．
题型模版
1.特征：定线段为斜边，直角顶点不断变化，直角顶点的轨迹是以该线段为直径的圆。
2.方法：运用对角互补、外角等于内对角，实现角度之间的转换计算。
变式3-1 图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 3，点𝐷在边𝐴𝐵上，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为点𝐸，
则
𝐶𝐷
𝐷𝐸的最小值是 ．
变式3-2 如图，在
ABC
中，
90
4
3
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，点D 在边AB 上（不与A，B 重合），过点A 作
AE
CD
⊥
，垂足为点E ，则CD
DE 的最小值是 ．
P
A
B
C
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变式3-3 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD
的垂线，交射线AD 于点E．若CD＝1，则AE 的最大值为 2√2 + 1 ，最小值为 2√2 −1 ．
模型四、动点定长
典例4 如图，在正方形ABCD中，
4
=
AD
，动点E ，F 分别在边DC ，CB 上移动，且满足DE
CF
=
．连
接AE 和DF ，交于点P ．点E 从点D 开始运动到点C 时，点P 也随之运动，求点P 的运动路径长．
题型模版
1.特征：动点到某个定点的距离保持定值，动点轨迹形成隐形圆。
2.方法：找准定点与定长确定隐圆半径，利用圆的性质处理线段最值、角度计算。
变式4-1 如图，在菱形ABCD中，
60 ,
6
ABC
AD
=
=
，点E 在边CD上，且
4
DE =
，F 是边AD上一动点，
将DEF
沿直线EF 折叠，点D 落在点N 处，当点N 在四边形ABCD内部（含边界）时，DF 的长度的最大
值是（ ）
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A．2 13
2
−
B．2 13
2
+ B．4 2
2
− D．4 2
2
+
变式4-2 如图，⊙O 的直径AB 为8，P 是AB 上一动点，半径OC 垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P
从A 运动到B 的过程中，点H 运动的路径长为（ ）
A．2π
B．2√2𝜋
C．4π
D．4√2𝜋
变式4-3 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D 在AC 上，且AD=2，E 是AB 上的
动点，连结DE，F，G 分别是BC，DE 的中点，连结AG，FG，当AG=FG 时，线段DE 的长为（ ）
A．√13
B．5√2
2
C．√41
2
D．4
题型五、四点共圆
典例5 如图，在
中，
，
，
，点P 为平面内一点，且
，过C
作
交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
题型模版
1.特征：四个点满足对角互补或外角等于内对角，四点同在一个圆周上。
2.方法：识别角度条件判定四点共圆，套用圆周角、圆内接四边形性质倒角算边长。
变式5-1 如图，四边形
中，
，
．若四边形
面积的最大值为
，
则对角线
的长为___________．
变式5-2 如图，四边形ABCD 中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC 于点E，EA 平分∠BED．
（1）CD 的长是_____；
（2）当点F 是AC 中点时，四边形ABCD 的周长是_____．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1.如图，在矩形ABCD 中，AD＝5，AB＝3√3，点E 在AB 上，
𝐴𝐸
𝐸𝐵=
1
2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝
60°，则线段PD 的最小值为（ ）
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A．2√7 −2
B．2√13 −4
C．4
D．2√3
2．如图，AB 是半圆O 的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B，不含端
点C），连接AD，过点C 作CE⊥AD 于E，连接BE，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是（ ）
A．√13 −2 < 𝐵𝐸≤9
5
B．√13 −2 ≤𝐵𝐸< 3
C．9
5 ≤𝐵𝐸< 3
D．√13 −9
5 ≤𝐵𝐸< 3
3．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O，线段EF 不经过点O，且EF∥BC，EF 分别与边AB，CD 交
于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O 在线段AE 的垂直平分线上，则 AG·GB 是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
4.△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B在△ABC
内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为 ．
5．如图，四边形ABCD中，
3
AB = ，
6
BC =
，
60
ABC
=
，且四边形ABCD的面积为27 3
4
，连接AC
BD
、
，
则
ADC
△
的面积为 ；在BD上取点E ，使
BAE
ADB
=
，则CE 最小值为 ．
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6.如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AB =
，点P 在射线BC 上，且
2
3
AC
PB =
，则AP 的最小值为 ．
7．【图形感知】
如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90
∘，𝐴𝐷= 2，𝐴𝐵= 4．
（1）求𝐶𝐷的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段𝐶𝐷上取一点𝐸，连接𝐵𝐸.将四边形𝐴𝐵𝐸𝐷沿𝐵𝐸翻折得到四边形𝐴′𝐵𝐸𝐷′，其中𝐴′，𝐷′分别是𝐴，
𝐷的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点𝐷′恰好落在边𝐵𝐶上，延长𝐴′𝐷′交𝐶𝐷于点𝐹，如图2.判断四边形𝐷𝐵𝐴′𝐹的形状，并说明理由；
②乙：点𝐴′恰好落在边𝐵𝐶上，如图3.求𝐷𝐸的长；
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（3）如图4，连接𝐷𝐷′交𝐵𝐸于点𝑃，连接𝐶𝑃.当点𝐸在线段𝐶𝐷上运动时，线段𝐶𝑃是否存在最小值？若
存在，直接写出；若不存在，说明理由．
8．（1）提出问题：如图1，在
ABC
中，
120
A
=
，
100
BC =
，则
ABC
的外接圆的半径是___________．
（2 ）问题拓展：如图2 ，在等边
ABC
中有一点P ，
3
AP =
，
5
BP =
，
4
CP = ，求
APC
的度数？
（3）问题应用：某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图3所示、
睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形ABCD中有E 、F 两点，E 在
ABC
内，F 在ACD
内，
测量
60
AB =
米、
80
BC =
米、AE
AF
=
，
240
E
F
+
=
，
60
ECF
=
，在四边形AECF 中种植普罗旺斯
薰衣草，每平方米的费用是300元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？
9．（1）如图1，已知线段
5
AB =
，平面内有一动点C ，且
2
CA =
，则BC 的最小值为______．
（2）如图2，Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
AB
AC
=
=
，点D 为BC 的中点，点E 为
ABC
内一动点，
2
DE =
，
连接CE ，过点E 作EF
CE
⊥
，且EF
CE
=
，连接AF ，求AF 的长．
（3）某工厂计划加工如图3 所示的
ABC
零件，要求
6
BC =
分米，
30
A
=
，在AB 上有一点
1
,
3
P BP
AC
=
，
连接CP ，请你帮工人师傅计算CP 是否存在最小值，若存在，请求出CP 的最小值；若不存在，请说明理由．
10．真实问题情境
（1）【问题提出】
如图①，直线m∥n，m，n 之间的距离为12，点 P 在直线m 上，点 E，F 在直线n 上，若∠EPF=45°，
求EF 的最小值；
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（2）【问题解决】
如图②，四边形ABCD 为某运动场馆外的广场草坪设计示意图.在四边形 ABCD 中， 𝐴𝐷𝐵𝐶, 𝐴𝐷=
1
3 𝐵𝐶,AD 与 BC 之间的距离为12 米，且∠A+∠D=240°.已知种植草坪的成本为每平方米20 元.为了节省
费用，四边形 ABCD 的面积是否存在最小值?若存在，求出此时四边形ABCD 面积的最小值，并预估
此种情况下种植草坪的成本(成本的计算结果保留整数)；若不存在，请说明理由.(参考数据： √3 ≈1.73)
