上海八上数学压轴题解题技巧及核心几何模型训练_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027《上海数学•压轴题解题技巧与几何模型训练》6-9年级上册

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上海八上数学压轴题解题技巧
及核心几何模型(训练)
实数及其运算
题型一、无理数的识别
【例1】在3.14，3 3 ，
2 ，0.12 ，22
7 ，3
5
.14

，
3 216

，
4
9
中，无理数有（
）
A．1个
B．2 个
C．3个
D．4 个
【例2】下列说法正确的是（
）
A．π
2 是分数
B．
3
8
5

是分数
C．无限小数都是无理数
D．带根号的数都是无理数
【变式1-1】下列各数：22
7 ，3 9 ，5.12 ，
3 8

，0 ，
0.25，π，
3
2

，2.181181118L （两个8 之间1
的个数逐次多1）其中无理数有（
）个．
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式1-2】在
2
3
2024

，
中，其中无理数的个数共有（
）
A．44 个
B．45 个
C．1979 个
D．1980 个
【变式1-3】在实数3
2 ，5 ，4
，16 ，0.101001 中，比1 大的无理数为______．
题型二、实数的大小比较
【例3】比较大小：3 5 ____________ 3 （“>”“<”或“=”）
【例4】比较大小：
2
1
2
________ 1
4 ．（填写“ ”或“”）
【变式2-1】比较大小：
401
5
4

_____3.75(填，，)

【变式2-2】比较大小：3
π
4

______
5
2
3

（填“ ”或“ ”或“<”）
【变式2-3】已知


2
2
a 

，
|
3 |
b 
，
3
27
c 

，d 是2 的算术平方根．
(1)求a，b，c，d 的值；
(2)将a，b，c，d 的值按照从小到大的顺序用“<”连接．
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题型三、实数的整数与小数部分的计算
【例5】实数2
19

的整数部分是（
）
A．7
B．6
C．5
D．4
【例6】阅读下面的文字，解答问题：大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此
2 的小数
部分我们不可能全部地写出来，但是由于1
2
2


，所以
2 的整数部分为1，将
2 减去其整数部分1，所
得的差就是其小数部分
2
1
，根据以上的内容，解答下面的问题：
(1) 5 的整数部分是________，小数部分是________；
(2)1
2

的整数部分是________，小数部分是________；
(3)若设2
3

整数部分是x ，小数部分是y ，求y
x
的值．
【变式3-1】已知7
14

的小数部分是a，7
14

的小数部分是b，求

2020
a
b

．
【变式3-2】我们把不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
x ，又把

x
x

称为x 的小数部分，
记作
x ，则有

x
x
x


．如：

2.4
2

，

2.4
0.4

，



2.4
2.4
2.4


；

2.4
3

，

2.4
0.6


，



2.4
2.4
2.4



，则1
5




的值是_______．
【变式3-3】先阅读下面的文字，然后解答问题．大家知道
2 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因
此
2 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用
2
1
表示
2 的小数部分，你同意小明的表示方法
吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为
2 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小
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数部分．
如果
2
x
y


，其中x 是整数，且0
1
y

，那么
1
x ，
2
1
y 
．
请解答下列问题：
(1)如果17
a
b


，其中a 是整数，且0
1
b

，那么a ______，b ______；
(2)已知2
17
m
n



，其中m 是整数，且0
1
n

，求m
n

的值．
题型四、程序设计与实数运算
【例7】如图是一个数值转换器的原理图，当输入x 的值为81 时，输出y 的值是（
）
A．2
B．3
C．
2
D．3
【例8】根据以下程序，当输入
20 时，输出结果为（
）
A．6
B．37
C．38
D．
40
【变式4-1】有一个数值转换器，原理如图，当输入的时
256
x 
，输出的y 等于________．
【变式4-2】根据如图所示的计算程序，若开始输入x 的值为
2

，则输出的结果为（
）
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A．
2
5


B．1

C．1
D．3
【变式4-3】如图是一个数值转换器（
25
x 
）
(1)当输入的x 为14

时，输出的y 值是______；
(2)若输入实数x 后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为______；
(3)若输出的y 是5 ，求x 的负整数值．
题型五、新定义下的实数运算
【例9】设a ，b 是实数，定义“★”的一种运算：a
b
ab
a
b



★
，则下列结论：①a
b
b
a

★
★；
②




a
b
a
b


★
★
；③


a
b
c
a
b
a
c



★
★
★；④




a
b
c
a
b
c

★
★
★
★．正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【例10】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T
m
T
n


：
，（其中m 为满足不等式的
最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为( , )
m n ，如1
2
2


，所以
2 的麓
外区间为(1,2) ．
(1)无理数19 的“麓外区间”是_____；
(2)若
2
2
7
b
a
a





，求b 的“麓外区间”．
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【变式5-1】对于实数a、b，定义


max
,a b 的含义为：当a
b

时，


max
,a b
a

；当a
b

时，


max
,a b
b

．例
如：


max 1, 2
1

．已知




max
29,
29,max
29,
a
b
b

，且a 和b 为两个连续正整数，则
2
( 29)
ab
的
立方根为（
）
A．1

B．1
C．2

D．2
【变式5-2】新定义：如果
nx
y

，则规定

,x y
n

，例如：
23
9

，所以

3,9
2

．
(1)填空：

2,8 _______；

3,81

_________；
(2)若

4,5
a

，

4,18
b

，

4,90
c

，试说明a
b
c


．
【变式5-3】新定义：若无理数
a 的被开方数（a 为正整数）满足


2
2
1
n
a
n



（其中n 为正整数），则
称无理数
a 的相邻值为

,
1
n n 
．同理规定无理数
a

的相邻值为

1,
n
n


．例如：因为
2
2
1
2
2


，所
以
2 的相邻值为

1,2 ,
2

的相邻值为

2, 1


．请回答下列问题：
(1) 15 的相邻值为__________；
23

的相邻值为__________；
(2)若实数x，y 满足关系式：


2
4
7
0
x
y




，求
xy 的相邻值．
题型六、实数运算的实际应用
【例11】哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为
2
400m
的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封
妖阵”调整为面积为
2
285m 的长方形，且长与宽之比为5:3．
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(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
【例12】某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：
正面绘制了3 个A 类正方形和4 个B 类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A 类正方形的面积为2，
每个B 类正方形的面积是4．
(1)A 类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A 类正方形和一个B 类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
【变式6-1】如图1 的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2 的杯子中，一共需要____个图2
这样的杯子．（单位：cm）（温馨提示：
2
π
V
r
h


圆柱
）
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【变式6-2】陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠
久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材
涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现
有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为4:3，宣纸面积为
2
588cm ．
(1)求宣纸的周长；
(2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为
2
291cm 的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说
明理由．（取3）
平方根和立方根的综合题型
题型一、求一个数的平方根、算术平方根、立方根
【例1】已知一个正数的两个不同的平方根分别是
3
a 和
1
b ，3a
b

的算术平方根是2．
(1)求a 、b 的值；
(2)求5
1
a
b
的立方根．
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【例2】已知2
1
a 的平方根是3
，5
2
2
a
b


的算术平方根是6 ，求5
2
a
b

的平方根．
【变式1-1】已知2k 和
6
k 
是正数x 的两个不相等的平方根，3
1 3
2
y


，求
8
xy
k

的算术平方根．
【变式1-2】已知2
2
m
的平方根是4
，
1
m
n

的立方根是2，求
m
n

的算术平方根．
【变式1-3】已知
1
a
b
的平方根是4
，1 b

的立方根为2
．
(1)求a 与b 的值；
(2)求5a
b

的算术平方根．
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题型二、算术平方根的非负性
【例3】若

2
2
3
0
x
y




，则x
y

的平方根是（
）
A．1
B．1

C．1

D．0
【例4】已知实数,a b 满足
2
2
5
a
b
b





，则a
b

的值为_____．
【变式2-1】如果
2
1 +
5
0
x
y
x
y





，那么x ___________，y ___________．
【变式2-2】已知实数a，b 满足
2
1
0
a
b
a
b




，则a
b

________．
【变式2-3】已知实数m 和n 满足
10
3 10
6
m
m
n




，则
2
2
m
n

的值为__________．
题型三、算术平方根整数部分与小数部分求解
【例5】若x ，y 为整数，且满足
17
1
x
x


，
2y
x

，则
3
x
y

________．
【例6】已知2
6
a 
的算术平方根是4，5a
b

的立方根是3，c 是19 的整数部分，求3a
b
c
的平方根．
【变式3-1】观察下面表格：
x
16
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
16.7
16.8
2
x
256
259.21
262.44
265.69
268.96
272.25
275.56
278.89
282.24
根据上表回答问题：
270 的整数部分为a ，求4a

的立方根_________．
【变式3-2】已知2
1
a 的平方根是3
± ，25
b

的立方根是3，m 是a
b

的算术平方根．
(1)求a，b，m 的值；
(2)若m 的整数部分是x，小数部分是y，求x
y

的值．
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【变式3-3】已知2
1
a 的平方根是3
± ，3
9
a
b

的立方根是2．
(1)求4a
b

的值．
(2)若
4a
b

的小数部分是x，
71 的整数部分是y，求
5
4
x
y
a
b



的算术平方根．
题型四、与平方根、立方根有关的规律探究题
【例7】已知
1
1
1
2
2


；
2
2
2
2
5
5



；
3
3
3
3
10
10


；
4
4
4
4
17
17



；；按此规律，若
6
6
a
a
b
b



（a ，b 为正整数），则

2026
6a
b

的值为（
）
A．1
B．1

C．2026
D．2026

【例8】在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开探究活动，
【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律，
第1 个等式：
3
1
1
4
2


；第2 个等式：
5
2
1
9
3


；第3 个等式：
7
3
1 16
4


；第4 个等式：
9
4
1
25
5


；……
(1)【规律发现】
19
1 100

_____；
(2)用含字母n 的式子表示第n 个等式：______（
1
n 且n 为整数）；
(3)【规律应用】计算：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225









______；
(4)若
2
4049
1
x
n


符合上述规律，则x 的值为______．
【变式4-1】小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规律．
已知1
1
，则100
10

，10000
100

；已知9
3

，则900
30

，90000
300

；
已知3 1
1
，则3 1000
10

，3 1000000
100

；已知3 8
2

，则3 8000
20

，3 8000000
200

；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a 
，那么100a ；若3
1.2
b 
，那么3 1000000b ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y



．
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①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值．
【变式4-2】先阅读，再解决问题：
在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：
2
2
1
1
1
3
1
1 1
1
2
2
2




；
2
2
1
1
1
1
7
1
1
2
3
2
3
6





；
2
2
1
1
1
1
13
1
1
3
4
3
4
12






(1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：
2
2
1
1
1 13
14


________ ________；
(2)运用以上你发现的规律计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100












．
【变式4-3】阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：
一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39．
【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319 的？
【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？
【分析问题】
因为
3
10
1000

，
3
100
1000000

，
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所以3 59319 是两位数．
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3x
0
1
8
27
64
125
216
343
512
729
3x 的
个位
数字
0
1
8
7
4
5
6
3
2
9
由上表，因为59319 的个位数字是9，所以3 59319 的个位数字是9．
因为
3
30
27000

，
3
40
64000

．所以
3
3
30
59319
40


，即3 59319 的十位数字是3．故3 59319
39

．
【解决问题】阅读上面材料回答问题：
(1)已知103823 是整数的立方，计算3 103823 ___________；
(2)已知7921 是整数的平方，求
7921 的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由．
题型五、利用平方根、立方根解方程
【例9】求下列各式中x 的值：
(1) 

2
4
1
49
x 

；
(2)

3
3
1
64
0
x 


．
【例10】求x 的值：
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(1)

2
2
1
169
0
x 


；
(2)


3
125
2
343
x 

．
【变式5-1】求下列各式中x 的值：
(1)

3
1
27
0
x 


；
(2) 

2
9
1
16
x 

．
【变式5-2】求下列各式中x 的值．
(1)

2
1
4
0
x 


；
(2)
3
8
27
x 
．
【变式5-3】已知正数x 的两个不相等的平方根为m 和m
n

．
(1)当
8
n 
时，求x 的值；
(2)若
2
2
(
)
32
m x
m
n
x



，求x 的值．
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题型六、平方根与立方根综合计算题型
【例11】如果
2
5
a
m
a



是
5
a 的算术平方根，
2
3
2
a
b
n
a
b




是
2
a
b

的立方根，求m
n

的平方根．
【例12】已知2
5
m
的立方根为3，
3
m
n

的算术平方根为4．
(1)求m，n 的值；
(2)若a 和b 是连续的整数，且a
m
n
b




，求

a
b

的值
【变式6-1】已知
2
5
7
x y
a
x
y




是2
5
7
x
y


的算术平方根，
2
3 5
42
x
y
b
x
y




是5
42
x
y

的立方根，试
求b
a

的立方根．
【变式6-2】若实数a ，b 满足3
0
a
b


，请按要求解答下列问题：
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(1)若a ，b 都是整数，请写出两对符合条件的a ，b 的值．
(2)若a ，b 都是分数，请写出一对符合条件的a ，b 的值．
【变式6-3】请认真阅读下面的材料，再解答问题．
我们学习了平方根与立方根后，可以类比平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义．给出四
次方根、五次方根的定义．
比如：若


2
0
x
a a


，则x 叫a 的二次方根：
若
3x
a

，则x 叫a 的三次方根；
若


4
0
x
a a


，则x 叫a 的四次方根．
(1)依照上面的材料，请你给出五次方根的定义；32

的五次方根为_____；
(2)若4
1
a 有意义，则a 的取值范围是______；若3 a 有意义，则a 的取值范围是_____
(3)求x 的值：

4
1 2
4
8
0
2
x 


．
题型七、平方根与立方根的实际应用
【例13】亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1 亩
666.67

平方米．根据下列表格中的数据，面
积为1 亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（
）米
x
25.79
25.80
25.81
25.82
25.83
x²
665.1241
665.6400
666.1561
666.6724
667.1889
A．25.79 ~ 25.80 B．25.80 ~ 25.81
C．25.81~ 25.82
D．25.82
25.83

【例14】团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善．如图，小志打算用一块长为8 2 cm ，宽为4 7 cm 的
矩形布料裁剪出一块面积为
2
81cm 的圆形布料用于制作团扇，请问小志能否裁剪出他需要的圆形布料？（π
取3）
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【变式7-1】已知一个正方体的体积是
3
729cm ，现要在它的8 个角上分别截去1 个大小相同的小正方体，截
去小正方体后余下部分的体积恰好是
3
665cm ，则截去的每个小正方体的棱长是（
）
A．6cm
B．4cm
C．2cm
D．1cm
【变式7-2】物体自由下落的高度h（单位：m ）与下落时间t（单位：s ）的关系：在地球上约为
2
4.9
h
t

，
在月球上约为
2
0.8
h
t

．
(1)物体从地球上离地面90 m 的高空自由下落的时间是多少？
(2)比较物体在哪里自由下落得更快？
【变式7-3】“动手启智慧，课外展风采”．在某次学生课外素质成果展活动中，王明打算利用一张面积为
2
900cm 的正方形卡纸裁出需要的形状进行手工制作．
(1)求正方形卡纸的边长．
(2)按图①的方式裁出一个长方形（图中阴影部分），要求长方形的长与宽的比为4:3，裁出的长方形的面积
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能是
2
768cm 吗？请通过计算说明．
(3)按图②的方式裁出阴影部分，将其沿虚线折叠得到一个正方体，若正方体的体积为
3
216cm ，求该正方体
的表面积．
三角形中的倒角模型之双角平分线模型
模型1.双角平分线模型（双内角）
【典例1】（25-26 八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在
中，
、
的平分线
，
相交
于点
，若
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）如图，
是
的平分线，
是
的平分
线，
与
交于
若
，
，则
的度数为______．
【典例3】（25-26 七年级下·江苏泰州·期中）如图，
是
的平分线，
是
的平分线，
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与
交于G，若
，
，则
为__________．
【典例4】（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在
中，
与
的平分线交
于点
与
的平分线交于
……依次类推，
与
角平分线交于点
，则
的度数为__________
【典例5】（24-25 八年级上·贵州黔南·期中）问题情境：
如图1，在
中，
和
的平分线交于点
．
(1)探索发现：
若
，则
的度数为________；若
，则
的度数为________．
(2)猜想证明：
猜想
与
之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)拓展应用：
如图2，在
中，
和
的平分线交于点
，
和
的平分线交于点
，直接写出
与
之间的数量关系．
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模型2.双角平分线模型（一内角一外角）
【模型运用】
【典例1】（25-26 七年级下·河南驻马店·阶段检测）如图，在四边形
中，
和
的平分
线
相交于点F，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（24-25 七年级下·四川成都·期末）如图，
，E 是线段
上一点，连接
，
的
平分线与
的平分线交于点F．已知
，则
的度数为________．
【典例3】（24-25 八年级上·河南信阳·阶段检测）如图，在
中，
，
的平分线
，
交于点
，
为
的外角
的平分线，
的延长线交
于点
，
，则
的大小为
______
【典例4】（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，在
中，
，
的平分线与
的
平分线交于点
，得
，
的平分线与
的平分线交于点
，得
，……，
的平分
线与
的平分线交于点
，得
，则
=_________．
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…∴
．
【典例5】（25-26 八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在
中，点
在
上，过点
作
，
交
于点
，
平分
，交
的平分线于点
，
与
相交于点
，
的平分线
与
的延长线相交于点
．
(1)若
，
，求
与
；
(2)若
时，则
____________，
____________．
模型3.双角平分线模型（两外角）
【模型运用】
【典例1】（25-26 八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，
，
是射线
上一定点，
是射线
上一动点，
和
的平分线
，
交于点
，则
的度数为（
）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
【典例2】（24-25 七年级下·江苏南京·阶段检测）如图，
平分
交
于点E，
，M、N 分别是
延长线上的点，
和
的平分线交于点F，
的
度数为（
）
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A．
B．
C．
D．不能确定
【典例3】（25-26 八年级上·湖北孝感·期中）如图，已知
的外角
和外角
的平分线相
交于点D，如果
，那么
_____．
【典例4】（25-26 七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3 所示，在
中，
与
的平分线
相交于点
．
(1)如图1 所示，若
，
，则
的度数为．
(2)如图1 所示，如果
，求
的度数；
(3)如图2 所示，作
外角
，
的平分线交于点
，试探索
，
之间的数量关系；
(4)如图3 所示，延长线段
，
交于点
，在
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，请写出
的度数．
【典例5】（25-26 八年级上·湖北·期中）如图，
，
分别是
，
的平分线，
，
分
别是
，
的平分线．
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(1)填空：当
，
时，
，
；
(2)当
时，求
，
的度数；
(3)请你猜想，当
的大小变化时，
的值是否变化？请说明理由．