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专题02 平面直角坐标系的综合应用
（题型突破·举一反三）
题型01 坐标系中的新定义问题
题型02 坐标系中的面积问题
题型03 平面直角坐标系中的规律探究
▌题型01 坐标系中的新定义问题
面对新定义问题，应先仔细阅读题目，领会其中所给出的新定义的内涵，再结合坐标系的规律加以解答。
【典例1】（25-26 八年级上·山东滨州·期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于任意一点𝑃(𝑥, 𝑦)的“绝对距离”，
给出如下定义：若|𝑥| ≥|𝑦|，则点P 的“绝对距离”为|𝑥|；若|𝑥| < |𝑦|，则点P 的“绝对距离”为|𝑦|．例如：点
𝑃(−4,1)，因为|−4| > |1|，所以点𝑃(−4,1)的“绝对距离”为|−4| = 4．当点𝑃(𝑥, 𝑦)的“绝对距离”为2 时，所有
满足条件的点P 组成的图形为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【变式1-1】（25-26 八年级上·福建福州·期中）定义：𝑓(𝑥，𝑦) = (−𝑥，−𝑦)，𝑔(𝑎，𝑏) = (𝑏，𝑎)，例如：𝑓(1，
2) = (−1，−2)，𝑔(2，3) = (3，2)，则g(f(5，-2))=（ ）
A．(2， -5)
B．(-2，5)
C．(-5，2)
D．(-2，-5)
【变式1-2】（25-26 八年级上·浙江金华·期中）对点(𝑥, 𝑦)的一次操作变换记为𝑃1(𝑥, 𝑦)，定义其变换法则如
下：𝑃1(𝑥, 𝑦) = (𝑥−𝑦, 𝑥+ 𝑦)；且规定𝑃𝑛(𝑥, 𝑦) = 𝑃1[𝑃𝑛−1(𝑥, 𝑦)]（n 为大于1 的整数）．如𝑃1(1,2) = (−1,3)，
𝑃2(1,2) = 𝑃1[𝑃1(1,2)] = 𝑃1(−1,3) = (−4,2)，𝑃3(1,2) = 𝑃1[𝑃2(1,2)] = 𝑃1(−4,2) = (−6,−2)．则𝑃2021(−1,1)为
（ ）
A．(0, −21010)
B．(21011, 0)
C．(−21010, 0)
D．(0,21011)
【变式1-3】在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，对于点𝑃(𝑎, 𝑏)和点𝑄(𝑎, 𝑏′)，给出下列定义：若𝑏′ = { 𝑏(𝑎≥1)
−𝑏(𝑎< 1)
，则
称点𝑄为点𝑃的限变点，例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,3)，点(−2,5)的限变点的坐标是(−2,−5)，如果
一个点的限变点的坐标是(√3,−1)，那个这个点的坐标是（ ）
A．(−1,√3)
B．(−√3,−1)
C．(√3, −1)
D．(√3, 1)
【变式1-4】（25-26 八年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点𝐴，𝐵，𝐶的
“矩面积”，给出如下定义：“水平底”𝑎指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ指任意两点纵坐标差的最大
值，“矩面积”𝑆= 𝑎ℎ．例如：𝐴(1，2)，𝐵(−3，1)，𝐶(2，−2)则“水平底”𝑎= 5，“铅垂高”ℎ= 4，“矩面积”𝑆=
𝑎ℎ= 20．若𝐷(1，2)，𝐸(−2，1)，𝐹(0，𝑡)三点的“矩面积”为18，则𝑡的值为 ．
【变式1-5】（25-26 八年级上·安徽阜阳·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点M 到x 轴、y 轴的
距离的较大值称为点M 的“长距”，点N 到x 轴、y 轴的距离相等时，称点N 为“完美点”．
(1)若点
(
)
2
1, 1
P
m −
−
是“完美点”求m 的值；
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(2)若点
(
)
3
1, 4
Q
n +
−
的“长距”为5，且点Q 在第三象限内，点D 的坐标为(
)
5,1
2n
−
−
，试说明点D 是“完美点”．
【变式1-6】（25-26 八年级上·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的
距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q 到x 轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“龙沙点”．
(1)点
(
)
1 4
A −，的“长距”为________；
(2)若点B （2
6
a −
，
3
a+ ）是“龙沙点”，求a 的值；
(3)若点
(
)
3 3
2
C
b
−
−
，
的长距为4，且点C 在第二象限内，试说明点
(
)
9
2
5
D
b
−
−
，
是“龙沙点”．
【变式1-7】（25-26 八年级上·福建莆田·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P 到x 轴、y 轴的
距离的较大值称为点P 的“长距”，点Q 到x 轴、y 轴的距离相等时，称点Q 为“完美点”．
(1)点
(
)
5,3
A −
的“长距”为 ；
(2)若点
(
)
4
1,7
B
a −
是“完美点”，求a 的值；
(3)若点
(
)
9
2 ,
5
D
b
−
−
是“完美点”，求点
(
)
5,3
2
C
b
−
−
的长距．
【变式1-8】（25-26 八年级上·广西河池·期中）新定义：在平面直角坐标系中，过某一点分别作坐标轴的垂
线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积数值相等，则这个点叫做“恒等点”．例如，如图①，②，过P 点
分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积数值相等，则点P 是“恒等点”．
(1)点
(
)
1,2
M
________“恒等点”（填“是”或“不是”）．
(2)点
(
)
4,
N
y
−
是“恒等点”，求y 的值．
(3)如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 、OP ，若“恒等点” (
)
,3
P a
，a 是正数，且
3
OBE
OEP
S
S
=
+
△
△
，
求点E 的坐标．
【变式1-9】（25-26 八年级上·北京密云·期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于
1
1
( ,
)
P x y
，
2
2
(
,
)
Q x
y
两点，
给出如下定义：若
1
2
1
2
2
y
y
x
x
−
=
−
，则称P，Q 两点互为“ 2 阶依附点”．例如，点
(2,5)
M
，点
(3,5
2)
N
−
即互为“ 2 阶依附点”．
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(1)已知点A 的坐标为(1,4 2)．
①在
1(2,
2)
P
，
2(3,6 2)
P
，
3( 4, 2 2)
P −
−
三个点中，与点A 互为“ 2 阶依附点”的是____________；
②若点B 在y 轴上，且点B 与点A 互为“ 2 阶依附点”，直接写出点B 的坐标．
(2)已知点
(1,0)
C
，点D 与点C 互为“ 2 阶依附点”，若三角形COD的面积为2 ，求点D 的坐标．
▌题型02 坐标系中的面积问题
常见的求面积问题，都可以转化为求三角形的面积，而求三角形的面积，需要知道底和高的长度。
坐标系中，平行于坐标轴的线段长度求法：
1.若AB∥x 轴，A(a,n)，B(b,n)，则AB=｜a-b｜
2.若AB∥y 轴，A(m,a)，B(m,b)，则AB=｜a-b｜
常用的求面积的方法包括：分割法，补形法，铅垂法
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，𝐴(0,4), 𝐵(−4,5), 𝐶(−5,0),𝐷(2,0)，则四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是
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【变式2-1】（25-26 八年级上·山东滨州·期中）在平面直角坐标系中，已知O(0，0)，B(1，3)．
(1)若点A 在x 轴上，且𝑆△𝐴𝑂𝐵=4，求满足条件的点A 的坐标；
(2)若点A 在y 轴上，且𝑆△𝐴𝑂𝐵=5，求满足条件的点A 的坐标；
(3)若点A 在坐标轴上，且𝑆△𝐴𝑂𝐵=2，直接写出点A 的坐标．
【变式2-2】如图在平面直角坐标系中，已知𝐴(𝑎, 0)，𝐵(𝑏, 0)，𝑀(−1.5, −2)，其中a、b 满足|𝑎+ 1| + (𝑏−3)2 =
0．
(1)求a、b 的值；
(2)求△𝐴𝐵𝑀的面积；
(3)在x 轴上求一点P，使得△𝐴𝑀𝑃的面积与△𝐴𝐵𝑀的面积相等．
【变式2-3】（25-26 八年级上·山西运城·期中）已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．
方法二：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．
方法三：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
现给出三点坐标：𝐴(2, −1), 𝐵(4,3), 𝐶(1,2)，
(1)请你选择一种方法计算△𝐴𝐵𝐶的面积．
(2)△𝐴𝐵𝐶的周长为___________________．
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【变式2-4】
（25-26 八年级上·湖北鄂州·期中）如图，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点位置分别是𝐴(1,0)，𝐵(−2,3)，𝐶(−3,0)．
(1)求△𝐴𝐵𝐶的面积；
(2)若点𝐴、𝐶的位置不变，当点𝑃在𝑦轴上什么位置时，使𝑆△𝐴𝐶𝑃= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶？
(3)若点𝐵、𝐶的位置不变，当点𝑄在𝑥轴上什么位置时，使𝑆△𝐵𝐶𝑄= 2𝑆△𝐴𝐵𝐶？
【变式2-5】（25-26 八年级上·福建漳州·期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴(4,0)，点𝐵(0, −3)，点𝐶在坐
标轴上，若△𝐴𝐵𝐶的面积为12，则符合题意的点C 有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式2-6】如图，𝐴(−2,0)、𝐵(0,3)、𝐶(2,4)、𝐷(3,0)，点P 在x 轴上，直线𝐶𝑃将四边形𝐴𝐵𝐶𝐷面积分成1: 2两
部分，求𝑂𝑃的长度（ ）．
A．
5
4
B．1
C．
1
2
D．
5
4或
1
2
【变式2-7】如图所示，点𝐴(1,0)、B(-1，1)、𝐶(2,2)，则△𝐴𝐵𝐶的面积是 ．
【变式2-8】在直角坐标系中，三角形𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(−2,0)，𝐵(2,4)，𝐶(5,0)．
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(1)求三角形𝐴𝐵𝐶的面积．
(2)若P 是x 轴上一动点，若三角形𝐴𝐵𝑃的面积等于三角形𝐴𝐵𝐶面积的一半，求点P 的坐标．
【变式2-9】如图，已知点𝐴(−3,1)，𝐵(1, −3)，𝐶(3,4)，求三角形𝐴𝐵𝐶的面积．
▌题型03 平面直角坐标系中的规律探究
对于平面直角坐标系中的规律探究，需要先以平面直角坐标系中的性质为基础，结合题目中的要求进行判断。
常用的性质有以下几条：
1.坐标轴上的点坐标特征
①x 轴上的点，纵坐标等于0；（x，0）
②y 轴上的点，横坐标等于0；（0，y）
③原点位置的点，横、纵坐标都为0.（0,0）
2.与坐标轴平行的直线上点的坐标特征
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①在与x 轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；
点A、B 的纵坐标都等于m ；
②在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
点C、D 的横坐标都等于n ；
3.平面直角坐标系点的平移规律
4.坐标系中点的对称
点P（a，b）关于x 轴的对称点坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y 轴的对称点坐标为（-a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点坐标为（-a，-b）
【典例3】（25-26 八年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标，纵坐标均为整
数的点，其顺序按图中“→”方向依次排列：(1,0) →(2,0) → (2,1) →(1,1) →(1,2) →(2,2) →⋅⋅⋅根据这个规律，
第2023 个点的坐标为（ ）
X
Y
A
B
m
X
Y
C
D
n
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A．(45,1)
B．(45,2)
C．(45,3)
D．(45,4)
【变式3-1】（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期中）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每
当小球碰到正方形OAB C 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1 次碰到正方形的边时的点为
P1（2，0），第2 次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n 次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2018 的坐标
是（ ）
A．（1，4）
B．（4，3）
C．（2，4）
D．（4，1）
【变式3-2】如图，直线y＝x+1 与x 轴和y 轴分别交于B0，B1 两点，将B1B0 绕B1 逆时针旋转135°得B1B0′，
过点B0'作y 轴平行线，交直线y＝x+1 于点B2，记△B1B0B2 的面积为S1；再将B2B1 绕B2 逆时针旋转135°得
B2B1'，过点B1'作y 轴平行线，交直线y＝x+l 于点B3，记△B2B1'B3 的面积为S2…以此类推，则△BnBn﹣1'Bn+1 的
面积为Sn＝（ ）
A．（√2）n
B．（√2）n﹣1
C．2n
D．2n﹣1
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【变式3-3】如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依
次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1，A2，A3，A4，…表示，则顶点A55 的坐标是（ ）
A．（13，13）
B．（﹣13，﹣13）
C．（14，14）
D．（﹣14，﹣14）
【变式3-4】（25-26 八年级上·山东济宁·期中）如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，
第1 次从原点运动到点（−1，1），第2 次接着运动到点（−2，0），第3 次接着运动到点（−3，2），…，
按这样的运动规律，经过第2022 次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A．（2022，0）
B．（−2022，0）
C．（−2022，1）
D．（−2022，2）
【变式3-5】（25-26 八年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，将点A（-1，0）做如下
的连续平移，A（-1，0）→A1（-1，1）→A2（2，1）→A3（2，-4）→A4（-5，-4）→A5（-5，5）…，按此规
律平移下去，则A102的点坐标是（ ）
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A．(100,101)
B．(101,100)
C．(102,101)
D．(103,102)
【变式3-6】（25-26 八年级上·山东临沂·期中）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P（x，y）我们把点P（﹣
y+1，x+1）叫做点P 伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…这样
依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为（2，4），点A2021的坐标为（ ）
A．（﹣3，3）
B．（﹣2，﹣2）
C．（3，﹣1）
D．（2，4）
【变式3-7】（25-26 八年级上·广东东莞·期中）如图，平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦内，动点𝑃第1 次从点𝑃0(−3,4)运
动到点𝑃1(−2,2)，第2 次运动到点𝑃2(−1,1)，第3 次运动到点𝑃3(0, −1)，……按这样的规律，第2023 次运动
到点𝑃2023的坐标是（ ）
A．(2020,4)
B．(2020,2)
C．(2020,1)
D．(2020,−1)
【变式3-8】（25-26 八年级上·甘肃武威·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1 个单位长度的
半圆O1、O2、O3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
𝜋
2个单
位长度，则第2019 秒时，点P 的坐标是（ ）
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A．（2018，0） B．（2019，﹣1）
C．（2018，1）
D．（2019，0）
【变式3-9】（25-26 八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知A1（1，0），A2（1，-1），A3（-1，-1），A4（-1，
1），A5（2，1），…，则点A20 的坐标是 ．
