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1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形的内角与外角 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形内角和定理的证明 题型02 运用三角形内角和定理求角的角度 题型03 直角三角形的性质 题型04 直角三角形的判定 题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 题型06 三角形折叠中的角度问题 题型07 三角板放置中的角度计算 题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 题型09 三角形中的新定义问题 题型10 双角角平分线模型的角度探究 题型11 不规则图形内角和问题探究 ▌题型01 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一 个平角．在转化中借助平行线. 【典例1】如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内错 角相等 2 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：A、如图， ∵𝑙∥𝐴𝐵， ∴∠𝐴= ∠2, ∠𝐵= ∠1， ∵∠1 + ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠2 = 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意； B、如图， ∵𝑙∥𝐴𝐵， ∴∠𝐵= ∠3,∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠3 = 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意； C、如图， ∵𝑙∥𝐴𝐶， ∴∠𝐴= ∠5, ∠𝐶= ∠4， ∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠4 + ∠5 = 180°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意； D、无法证明三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项符合题意 【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法． ①过点C 作𝐸𝐹∥𝐴𝐵 ②延长𝐴𝐶到点F， 过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵 3 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ③过𝐴𝐵上一点D 作𝐷𝐸∥𝐵𝐶， 𝐷𝐹∥𝐴𝐶 ④过点C 作𝐶𝐷⊥ 𝐴𝐵于点D 回答下列问题： (1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是__________（请填写序号）； (2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明． 【答案】(1)①②③ (2)证明见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得 答案． 【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是180°”的方法是①②③； （2）解：①∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐵， ∵∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐹𝐶𝐵= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°， 故①能证明“三角形内角和是180°”； ②∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵， ∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐴，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐵， ∵∠𝐹𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°， 故②能证明“三角形内角和是180°”； ③∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐴，∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐹， ∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹， ∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°， 故③能证明“三角形内角和是180°”； ④∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°， 故④不能证明“三角形内角和是180°”． 【变式1-2】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A 作直线l平行于△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论． 4 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边𝐴𝐵上的任意一点P”，过点P 分别作△𝐴𝐵𝐶另外两边的平行线，那 么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．请你先作出辅助线，再完成 这个证明过程． 已知，如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点P 是边𝐴𝐵上的任意一点．求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°． (2)如图3，是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在 B 岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵呢？ 【答案】(1)见解析 (2)从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是60 度，从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是90 度 【知识点】三角形内角和定理的证明、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题、根据平行线判定 与性质证明 【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以 及三角形内角和是180°是正确解答的关键． （1）过点P 作𝑃𝐸∥𝐵𝐶，𝑃𝐹∥𝐶𝐴，由平行线的性质及平角的定义可得出答案； （2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点P 作𝑃𝐸∥𝐵𝐶，𝑃𝐹∥𝐶𝐴， ∵𝑃𝐹∥𝐴𝐶， ∴∠𝑃𝐹𝐵= ∠𝐶，∠𝐴= ∠𝐵𝑃𝐹， ∵𝑃𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐹𝐵= ∠𝐸𝑃𝐹， ∴∠𝐶= ∠𝐸𝑃𝐹， ∵∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐵𝑃𝐹= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°； （2）解：∵C 岛在A 岛的北偏东50°方向， ∴∠𝐷𝐴𝐶= 50°， ∵C 岛在B 岛的北偏西40°方向， ∴∠𝐶𝐵𝐸= 40°， 5 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°， ∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向， ∴∠𝐷𝐴𝐵= 80°， ∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 80° −50° = 30°， ∵𝐷𝐴∥𝐸𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°， 即∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴+ ∠𝐶𝐵𝐸= 180°， ∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −(∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴) = 90°， ∠𝐴𝐵𝐶= 90° −30° = 60°； 答：从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是60 度，从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是90 度． ▌题型02 运用三角形内角和定理求角的度数 1．定理表述 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。 几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。 【典例2】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 130°，∠𝐶𝐸𝐷= 80°，则∠𝐷的度数为（ ） A．70° B．65° C．60° D．50° 【答案】D 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到∠𝐶= 50°，再根据是三角形内角和 求出∠𝐷的度数． 【详解】∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴+ ∠𝐶= 180°， ∵∠𝐴= 130°， ∴∠𝐶= 50°， 6 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐷= 180° −∠𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 180° −80° −50° = 50°， 故选：D． 【变式2-1】将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中∠𝐶= 30°，若 ∠𝐴𝐷𝐸= 50°，则∠𝐹𝐵𝐶的度数是( ) A．10° B．15° C．20° D．25° 【答案】C 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐹𝐵，根 据邻补角求得∠𝐵𝐹𝐶，由三角形内角和定理可求出∠𝐹𝐵𝐶的度数． 【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 50°，𝐷𝐸∥𝐵𝐹， ∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸= 50°， ∴∠𝐶𝐹𝐵= 180° −50° = 130°， ∵∠𝐶= 30°， ∴∠𝐹𝐵𝐶= 180° −∠𝐶𝐹𝐵−∠𝐶= 180° −130° −30° = 20°． 故选：C． 【变式2-2】如图，𝐴𝑃∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点O，交𝐴𝑃于点P，且∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°，求∠𝑃的 度数． 【答案】35° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出∠𝐴𝐵𝐶= 70°，再根据角平分线 得到∠𝐶𝐵𝑃= 35°，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可． 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −80° −30° = 70°， ∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶， 7 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°． ∵𝐴𝑃∥𝐵𝐶， ∴∠𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 35°． 【变式2-3】如图，已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷于点𝐸，𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，𝐸𝑀平 分∠𝐺𝐸𝐹交𝐹𝐺于点𝑀，过点𝐺作𝑁𝐺⊥𝐺𝐹，𝐺为垂足，交直线𝐸𝐹于点𝑁． (1)若∠𝐸𝐺𝐹= 27°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数． (2)求证：∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁． 【答案】(1)54°； (2)证明：∵𝐸𝑀平分∠𝐺𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°， ∴∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹+ 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷= 1 2 (∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷) = 90°， ∴∠𝐸𝑀𝐹= 180° −(∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺) = 180° −90° = 90°， ∴𝐸𝑀⊥𝐺𝐹， ∵𝑁𝐺⊥𝐺𝐹， ∴𝐸𝑀∥𝑁𝐺 ∴∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀，∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀， ∴∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁． 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究 角的关系、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据平行线的性质求出∠𝐷𝐹𝐺，再由角平分线的定义求出∠𝐸𝐹𝐷，最后由平行线的性质即可求 解； （2）由角平分线的定义得到∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷，由平行线的性质得到∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，因此∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 90°，从而可推出𝐸𝑀⊥𝐺𝐹，从而得到𝐸𝑀∥𝑁𝐺，因此∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀， ∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀，通过等量代换得证结论． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= 27°， ∴∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐺𝐹= 27° ∵𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， 8 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐷𝐹𝐺= 2 × 27° = 54°， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= 54°． （2）略 ▌题型03 直角三角形的性质 直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可 以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余 几何语言： ∵在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。 【典例3】一个直角三角形，两个锐角度数的比是1: 2，这个三角形最小的内角是（ ） A．10° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据一个直角三角形，两个锐角度数的比是1: 2，进行列式计算， 即可作答． 【详解】解：∵一个直角三角形，两个锐角度数的比是1: 2， ∴(180° −90°) × 1 1+2 = 30°， 即这个三角形最小的内角是30°， 故选：B． 【变式3-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，点D 在𝐴𝐶边上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐴𝐷𝐸= 155°，求∠𝐵的度数． 【答案】65° 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 9 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出∠𝐶的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠𝐵的度数． 【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 155°， ∴∠𝐸𝐷𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐸= 180° −155° = 25°， ∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 25°， 又∵∠𝐴= 90°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐶= 65°． 【变式3-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点F． (1)若∠𝐶𝐴𝐷= 40°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数； (2)求证：∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸． 【答案】(1)70° (2)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°， ∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷， ∵∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸． 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）求出∠𝐵𝐴𝐷的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐷的度数，接着根据角平分 线的定义求出∠𝐴𝐵𝐸的度数即可得到答案； （2）由角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，由直角三角形两锐角互余得到∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，则可证明∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷，再由∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷，即可证明∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸． 【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐷= 40°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 50°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， 10 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐷= 180° −∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐵𝐴𝐷= 40°， ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐷= 20°， ∴∠𝐴𝐸𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐵𝐴𝐸= 70°，即∠𝐴𝐸𝐹= 70°； （2）略 【变式3-3】如图，𝐴𝐵∥𝑀𝑁，点𝐶为𝑀𝑁上一点，且𝐵𝐶⊥𝑀𝑁，点𝑃为直线𝑀𝑁上一动点，∠𝐴𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐷 交𝐴𝐶于点𝐷． (1)若∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，求证：𝐴𝐶∥𝐵𝑃； (2)设∠𝐶𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐸交𝑀𝑁于点𝐸． ①若点𝑃在射线𝐶𝑁上运动的过程中，∠𝐷𝐵𝐸的大小是否发生变化？如果不变，求∠𝐷𝐵𝐸的度数，如果变化， 请说明理由； ②若∠𝐵𝑃𝐶= 68°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数． 【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝑃的平分线， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷， ∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝑃𝐵𝐷， ∴𝐴𝐶∥𝐵𝑃； (2)①不变，∠𝐷𝐵𝐸= 45°；②∠𝐷𝐵𝐶= 34°或∠𝐷𝐵𝐶= 56° 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平 分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷，即可解答； （2）①设∠𝑃𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 𝑥，利用角平分线的定义即可解答； ②分两种情况，即点𝑃在𝐵𝐶上方或点𝑃在𝐵𝐶下方，分别计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：①不变， ∵𝐵𝐸是∠𝐶𝐵𝑃的角平分线， ∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐸， 设∠𝑃𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 𝑥， 11 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐵𝑃= 2𝑥， ∵𝐴𝐵∥𝑀𝑁，𝐵𝐶⊥𝑀𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝑁= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90° + 2𝑥， ∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝑃的平分线， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃= 45° + 𝑥， ∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐷−∠𝑃𝐵𝐸= 45°； ②如图，点𝑃在𝐵𝐶上方， ∵∠𝐵𝑃𝐶= 68°, ∠𝐵𝐶𝑃= 90°， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 22°， ∴∠𝐶𝐵𝐸= 1 2 ∠𝑃𝐵𝐶= 11°， ∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐶𝐵𝐸= 34°； 如图，点𝑃在𝐵𝐶下方， ∵∠𝐵𝑃𝐶= 68°,∠𝐵𝐶𝑃= 90°， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 22°， ∴∠𝐶𝐵𝐸= 1 2 ∠𝑃𝐵𝐶= 11°， ∵𝐴𝐵∥𝑀𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝑁= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑃𝐵𝐶= 68°， ∴∠𝐷𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃= 34°， ∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 56°， 综上，∠𝐷𝐵𝐶= 34°或∠𝐷𝐵𝐶= 56° ▌题型04 直角三角形的判定 12 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形 几何语言： ∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形 【典例4】具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ） A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶 B．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶 C．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶 D．∠𝐴= ∠𝐵+ 30° = ∠𝐶+ 60° 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理．根据∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶得到∠𝐶= 90°， 得到具备条件A 的△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；根据三角形内角和等于180°，∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，得到∠𝐴= 1080° 11 ， 得到具备条件B 的△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；根据∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶，得到∠𝐴= 90°，得到具备条件C 的△𝐴𝐵𝐶是 直角三角形；根据𝐴𝐵: 𝐵𝐶: 𝐴𝐶= 5: 12: 13，设𝐴𝐵= 5𝑘，𝐵𝐶= 12𝑘，𝐴𝐶= 13𝑘，根据勾股定理的逆定理，得 到具备条件D 的△𝐴𝐵𝐶是直角三角形． 【详解】解：A、由∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶及∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°可得∠𝐶= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合 题意； B、由∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，设∠𝐴= 6𝑘，∠𝐵= 3𝑘，∠𝐶= 2𝑘，根据∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，可得6𝑘+ 3𝑘+ 2𝑘= 180°，解得𝑘= 180° 11 ，最大角∠𝐴= 1080° 11 ，△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故符合题意； C、由∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶及∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°可得∠𝐴= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合题意； D、由∠𝐴= ∠𝐵+ 30° = ∠𝐶+ 60°，设∠𝐶= 𝑘，∠𝐵= 𝑘+ 30°，∠𝐴= 𝑘+ 60°，∴𝑘+ 60° + 𝑘+ 30° + 𝑘= 180°， 故𝑘= 30°，∠𝐴= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合题意．故选：B． 【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，E 是𝐴𝐵边上一点，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点M，且∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸．求 证：△𝐴𝐸𝑀是直角三角形． 【答案】 13 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 证明：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°． ∵∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸， ∴∠𝐴𝑀𝐸+ ∠𝑀𝐴𝐸= 90°， ∴△𝐴𝐸𝑀是直角三角形． 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，得∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°；再由∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸，即可得结论成立． 【详解】略 【变式4-2】已知：如图，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶交𝐵𝐹于点𝐸，𝐵𝐹交𝐶𝐷于点𝐹, ∠1 = ∠3． (1)请说明𝐴𝐵∥𝐶𝐷的理由； (2)若∠2 = 25°，求∠3的度数； (3)若∠𝐴𝐵𝐷= 140°，求证：∆𝐵𝐸𝐷为直角三角形． 【答案】(1)见解析； (2)65° (3)见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与平行线有 关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结 合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐹= ∠1，等量代换得到∠𝐴𝐵𝐹= ∠3，由内错角相等，两直线平行即可求 解； （2）根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐷𝐹= 2∠2 = 50°，由三角形内角和定理即可求解； （3）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，结合角平分线的定义得到 1 2 ∠𝐴𝐵𝐷+ 1 2 ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠1 + ∠2 = 90°，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠1． 14 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠1 = ∠3， ∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠3， ∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷： （2）解：∵𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶，∠2 = 25°， ∴∠𝐵𝐷𝐹= 2∠2 = 50°， ∵∠𝐵𝐷𝐹+ ∠1 + ∠3 = 180°, ∠1 = ∠3， ∴∠3 = 1 2 (180° −∠𝐵𝐷𝐹) = 65°； （3）证明：由(1)得𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180° ∴ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐷+ 1 2 ∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷, 𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶， ∴∠1 + ∠2 = 90°， ∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°， ∴∆𝐵𝐸𝐷为直角三角形 【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵上一点，∠𝐴= ∠2，∠1 = ∠𝐵． (1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状； (2)判断𝐶𝐷是否与𝐴𝐵垂直． 【答案】(1)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形 (2)𝐶𝐷⊥𝐴𝐵 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解 题的关键，（1）证出∠𝐴𝐶𝐵= 90°即可得到结论，（2）求出∠𝐶𝐷𝐵= 90°，可得出𝐶𝐷⊥𝐴𝐵． 【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下： ∵∠𝐴= ∠2，∠1 = ∠𝐵， ∴∠𝐴+ ∠2 + ∠1 + ∠𝐵= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形． （2）解：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，理由如下： ∵∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，∠𝐴= ∠2， 15 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠2 + ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°， ∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵． ▌题型05 利用三角形外角的性质计算与证明 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角， 其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． 三角形外角的性质 ①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴+ ∠𝐵） ②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐴；∠𝐴𝐶𝐷> ∠𝐵.） ③三角形的外角和为360°（∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐵𝐹+ ∠𝐴𝐶𝐷= 360°） （三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和） 【典例5】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知𝐵𝐶∥𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，∠𝐴𝐷𝐸= 70°．则∠𝐶的 度数为（ ） A．30° B．45° C．50° D．55° 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 16 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹， ∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 70°， ∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐴= 70° −20° = 50°． 【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，F 是𝐴𝐸延长线上一点，且𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于点D，∠𝐵= 28°， ∠𝐹= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶=（ ） A．88° B．85° C．65° D．72° 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐸𝐹，根据对顶角相等得到∠𝐴𝐸𝐶，再利用三角形外角性质求出 ∠𝐵𝐴𝐸，最后根据角平分线定义计算即可． 【详解】解：∵𝐹𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐹𝐷𝐸= 90°， ∵∠𝐹= 18°， ∴∠𝐷𝐸𝐹= 90° −∠𝐹= 72°， ∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹， ∴∠𝐴𝐸𝐶= 72°， ∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵= 28°， ∴∠𝐵𝐴𝐸= 72° −28° = 44°， ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 88°． 【变式5-2】如图，已知：在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶且交𝐴𝐶于𝐷． 17 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，求∠𝐵𝐷𝐶的度数； (2)若𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶且交𝐵𝐷于𝐸，求∠𝐴𝐸𝐷的度数． 【答案】(1)65° (2)45° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查角平分线和外角： （1）根据∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷，即可求得答案； （2）根据∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷，即可求得答案． 【详解】（1）∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= 40°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 90° −40° = 50°． ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 25°． ∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐷= 40° + 25° = 65°． （2）∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐷= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 20°． ∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶−∠𝐸𝐴𝐷= 65° −20° = 45°． 【变式5-3】已知线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷，𝐵𝐶． (1)如图1，若∠𝐴+ ∠𝐷= 85°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________，∠𝐵+ ∠𝐶的度数为__________； (2)如图2．若∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷，求证：∠𝐵= 2∠𝐷； (3)如图3，若∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃，∠𝐵+ ∠𝐷= 90°，求∠𝑃的度数． 【答案】(1)95°，85° (2)证明：在△𝐴𝑂𝐸与△𝐶𝑂𝐵中，∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶= 180°， ∵∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐶+ ∠𝐵， ∵∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵， ∵∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷，∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝑂= 2∠𝐷， 18 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵= 2∠𝐷； (3)45° 【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐶+ ∠𝐵，则有∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵，然后根据三角形 外角的性质可进行求证； （3）由（1）得∠1 + ∠𝐷= ∠3 + ∠𝑃，∠4 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝑃，然后可得∠𝐵+ ∠𝐷= 2∠𝑃，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在△𝐴𝑂𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐷= 180°，且∠𝐴+ ∠𝐷= 85°， ∴∠𝐴𝑂𝐷= 180° −(∠𝐴+ ∠𝐷) = 95°， ∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶= 95°， ∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶= 180°， ∴∠𝐵+ ∠𝐶= 85°； （2）略 （3）解：如下图， ∵∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃， ∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4， 由（1）得∠1 + ∠𝐷= ∠3 + ∠𝑃，∠4 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝑃， 两式相加，得∠1 + ∠4 + ∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2 + ∠3 + 2∠𝑃， 即∠𝐵+ ∠𝐷= 2∠𝑃， ∴∠𝑃= 1 2 (∠𝐵+ ∠𝐷) = 1 2 × 90° = 45°． ▌题型06 三角形折叠中的角度问题 三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定 理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题. 【典例6】如图，将直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶的直角𝐶沿𝐸𝐹折叠，点𝐶落到纸片内部的点𝐶′处．如果∠𝐹𝐸𝐶′ = 40°， 那么∠𝐵𝐹𝐶′等于多少度？ 19 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】∠𝐵𝐹𝐶′ = 80° 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°， ∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸，再根据三角形的内角和求出∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸= 180° −∠𝐶′ −∠𝐹𝐸𝐶′ = 50°，最后根据平角 数为定义即可求解． 【详解】解：∵ △𝐹𝐶′𝐸由△𝐹𝐶𝐸翻折得到，∠𝐶= 90°， ∴ ∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸， ∴ ∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸= 180° −∠𝐶′ −∠𝐹𝐸𝐶′ = 180° −90° −40° = 50°， ∴ ∠𝐵𝐹𝐶′ = 180° −∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐶′𝐹𝐸= 180° −50° −50° = 80°． 【变式6-1】如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°， 则∠𝐴=（ ） A．25° B．20° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】根据平角的性质得到∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 + ∠2 = 180° + 360° = 540°根据题意，得到 ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°再由图形翻折变换的性质得到∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 150°，根据三角形的内角 和即可得出结论． 【详解】解：∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 + ∠2 = 180° + 360° = 540° ，∠1 + ∠2 = 240°， ∴∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°， 根据折叠的性质可得：∠𝐴𝐷𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐴1,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐴1， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐷𝐴1 + ∠𝐴𝐸𝐷= 150°， ∴∠𝐴= 180° −(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 180° −150° = 30° ． 20 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式6-2】如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶, ∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对 折，使点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，∠𝐵𝐴𝐷的度数为___________． 【答案】25°或115° 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解． 【详解】解：由折叠的性质得：∠𝐴𝐷𝐵′ = ∠𝐴𝐷𝐵； ∵𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐵𝐷𝐵′ = 90°； ①当𝐵′在𝐵𝐶下方时，如图， ∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ + ∠𝐵𝐷𝐵′ = 360°， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 1 2 × (360° −90°) = 135°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 180° −∠𝐵−∠𝐴𝐷𝐵= 25°； ②当𝐵′在𝐵𝐶上方时，如图， ∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 90°， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 1 2 × 90° = 45°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 180° −∠𝐵−∠𝐴𝐷𝐵= 115°； 综上，∠𝐵𝐴𝐷的度数为25°或115°； 21 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：25°或115°． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论． 【变式6-3】如图，点𝐷, 𝐸, 𝐹分别在三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐵．将三角形𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸 翻折，使得点𝐵落在点𝐵′处，沿𝐷𝐹翻折，使得点C 落在点𝐶′处．若∠𝐵′𝐷𝐶′ = 30°，求∠𝐴的度数． 【答案】75° 【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设∠𝐸𝐷𝐵= 𝑥°，再结合 轴对称的性质与平行线的性质表示∠𝐶𝐷𝐹= 1 2 ∠𝐶𝐷𝐶′ = 110° −𝑥°，∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 𝑥°，再结合三角形的内角 和定理与平行线的性质可得答案． 【详解】解：设∠𝐸𝐷𝐵= 𝑥°， ∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折， 使得点B 落在 𝐵′处， ∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐵′ = 𝑥°， ∵∠𝐵′𝐷𝐶′ = 30°， ∴∠𝐸𝐷𝐶′ = 𝑥° −30°， ∴∠𝐶𝐷𝐶′ = 180° −𝑥° −𝑥° + 30° = 210° −2𝑥°， ∵沿𝐷𝐹翻折，使得点C 落在𝐶′处． ∴∠𝐶𝐷𝐹= 1 2 ∠𝐶𝐷𝐶′ = 105° −𝑥°， ∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶， ∴∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 𝑥°， ∴∠𝐷𝐹𝐶= 180° −𝑥° −(105° −𝑥°) = 75°， ∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵， ∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐶= 75°， ▌题型07 三角板放置中的角度问题 利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题. 22 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例7】小华将一副三角板（∠𝐶= ∠𝐷= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐸= 45°）按如图所示的方式摆放，其中𝐴𝐵∥𝐸𝐹， 则∠1的度数为（ ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】根据平行线的性质得出∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐹= 45°，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：设𝐴𝐵、𝐹𝐷交于点𝐺， ∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹， ∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐹= 45°， ∵∠𝐴= 60°， ∴∠1 = 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐺𝐹= 180° −60° −45° = 75°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【变式7-1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1的度数是（ ） 23 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．105° B．135∘ C．150° D．165° 【答案】D 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：∠𝐷𝐸𝐶= 45°, ∠𝐴𝐵𝐶= 60°， ∴∠𝐸𝐵𝐹= 180° −∠𝐴𝐵𝐶= 120°， ∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐹= 45° + 120° = 165°． 故选：D 【变式7-2】一副直角三角板如图摆放，其中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐸= 30°，若点𝐶是𝐷𝐸上 一点，且𝐵𝐶∥𝐴𝐷，则∠𝐶𝐴𝐸的大小为（ ） A．15° B．18° C．20° D．25° 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐸= 30°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 45°，∠𝐷𝐴𝐸= 60° ∵𝐵𝐶∥𝐴𝐷， ∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵= 45°， 24 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 60° −45° = 15° 【变式7-3】已知∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐷= 45°． (1)如图①，当∠𝐵𝐶𝐷= 15°时，请判断𝐴𝐵与𝐶𝐸之间的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，求∠𝐵𝐶𝐷的度数． 【答案】(1)𝐴𝐵∥𝐶𝐸．理由见解析 (2)75° 【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据内错角相等两直线平行可求解； （2）延长线段𝐸𝐶交𝐴𝐵于点H，由平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：𝐴𝐵∥𝐶𝐸．理由如下： ∵∠𝐸= 90°，∠𝐷= 45°， ∴∠𝐷𝐶𝐸= 180° −∠𝐸−∠𝐷= 45°， ∵∠𝐵𝐶𝐷= 15°， ∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30°， ∵∠𝐵= 30°， ∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐵， ∴ 𝐴𝐵∥𝐶𝐸； （2）解：如图，延长线段𝐸𝐶交𝐴𝐵于点H， ∵𝐸𝐶⊥𝐴𝐵， 25 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐻𝐵= 90°． ∵∠𝐵= 30°， ∴∠𝐻𝐶𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐸𝐻𝐵= 60°． ∵∠𝐸= 90°，∠𝐷= 45°， ∴∠𝐸𝐶𝐷= 45°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 180° −∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐻𝐶𝐵= 75°． ▌题型08 三角形与角平分线、高线综合运用 解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合 解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键 【典例8】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠1 = 35°，∠2 = 22°，则∠𝐵=________． 【答案】42°/42 度 【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义，得到∠1 = ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠2，求出∠𝐸𝐴𝐷的度数，再利用垂直的定义和三角形内 角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠1 = ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠2， ∵∠1 = 35°，∠2 = 22°， ∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠1 −∠2 = 35° −22° = 13°， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠1 + ∠𝐸𝐴𝐷= 35° + 13° = 48°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 90° −48° = 42°． 【变式8-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，且∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸作 26 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 𝐸𝐹∥𝐴𝐶，分别交𝐴𝐵、𝐴𝐷于点𝐹、𝐺，则下列结论正确的是________． ①∠𝐵𝐴𝐶= 90°；②∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷；③∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴；④∠𝐴𝐸𝐹= 30°． 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和 问题、角平分线的有关计算 【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即 可． 【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°， ∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°， 故①正确； ∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷， ∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷， 故②正确； ∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴， 故③正确； ∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸， 27 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐴𝐷= 2∠𝐴𝐸𝐹， ∵∠𝐶𝐴𝐷不一定等于60°， ∴∠𝐴𝐸𝐹不一定等于30°， 故④不成立； 综上所述，结论正确的是①②③． 【变式8-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为F，交𝐵𝐶于点E，若∠𝐵𝐴𝐸= 33°，∠𝐵= 37°， 求∠𝐸𝐴𝐶的度数． 【答案】∠𝐸𝐴𝐶的度数为70° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角定理，利用垂线、角平分 线的定义得到对应角的关系是解题的关键． 首先根据垂直线、角平分线的性质得到对应角的关系，再通过三角形的内角和定理得出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶，最 后利用三角形外角和定理求出∠𝐴𝐸𝐶的度数即可得出∠𝐸𝐴𝐶的度数． 【详解】解：∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 90°， ∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐸𝐶𝐹， ∵∠𝐴𝐹𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°， ∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐹= 180°， ∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶， ∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 70°， ∴∠𝐸𝐴𝐶= 70°． 【变式8-3】已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶> ∠𝐵． 【特例探究】 (1)如图（a），𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，若∠𝐵= 35°，∠𝐶= 65°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为________； 28 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【一般推导】 (2)如图（b），点𝑃在线段𝐴𝐸上，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶，垂足为𝐺．请写出∠𝐸𝑃𝐺与∠𝐵，∠𝐶之间的数量关系： __________． 【拓展应用】 (3)如图（c），在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐸𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐴𝐶𝑀，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延 长线于点𝐺．若∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝑃𝐺= 2 3 (∠𝐵+ ∠𝐶𝑃𝐸)，求∠𝐵的度数． 【答案】(1)15° (2)∠𝐸𝑃𝐺= 1 2 ∠𝐶− 1 2 ∠𝐵 (3)36° 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶，然后由角平分线求出∠𝐵𝐴𝐸，然后求出∠𝐵𝐴𝐷，进而 求解即可； （2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到∠𝐵𝐴𝐸= 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶，然后由三角形外角的性质得到 ∠𝑃𝐸𝐺= 90° + 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶，然后利用直角三角形两锐角互余求解； （3）设∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼，得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 2𝛼，根据角平分线的定义得到∠𝑃𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐴𝐸𝑀，∠𝑃𝐶𝑀= 1 2 ∠𝐴𝐶𝑀，表示出∠𝐶𝑃𝐺= 60° − 4 3 𝛼，得到∠𝑃𝐶𝐺= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 45° + 1 2 𝛼，利用∠𝑃𝐶𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺= 90°列方程求 解即可． 【详解】（1）解：∵∠𝐵= 35°，∠𝐶= 65°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐵−∠𝐶= 80° ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 40° ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90° ∴∠𝐵𝐴𝐷= 90° −∠𝐵= 55° ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 55° −40° = 15°； （2）解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 (180° −∠𝐵−∠𝐶) = 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶 ∴∠𝑃𝐸𝐺= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵+ 90° − 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶= 90° + 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶， ∵𝑃𝐺⊥𝐵𝐶 ∴∠𝑃𝐺𝐸= 90° ∴∠𝐸𝑃𝐺= 90° −∠𝑃𝐸𝐺= 90° −(90° + 1 2 ∠𝐵− 1 2 ∠𝐶) = 1 2 ∠𝐶− 1 2 ∠𝐵； （3）解：设∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼， ∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 2𝛼， 29 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= 4𝛼，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= 3𝛼， ∵∠𝐴𝐷𝐸= 90°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐵𝐴𝐷= 90° −3𝛼， ∵𝐸𝑃、𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐴𝐶𝑀， ∴ ∠𝑃𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐴𝐸𝑀，∠𝑃𝐶𝑀= 1 2 ∠𝐴𝐶𝑀， ∴∠𝐸𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝑀−∠𝑃𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐴𝐶𝑀− 1 2 ∠𝐴𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐸𝐴𝐶= 𝛼， ∴∠𝐶𝑃𝐺= 2 3 (∠𝐵+ ∠𝐶𝑃𝐸) = 2 3 (90° −3𝛼+ 𝛼) = 60° − 4 3 𝛼， ∵∠𝑃𝐶𝐺= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 1 2 (∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶) = 1 2 (90° −3𝛼+ 4𝛼) = 45° + 1 2 𝛼， ∵𝑃𝐺⊥𝐵𝐶， ∴∠𝑃𝐶𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺= 90°， ∴45° + 1 2 𝛼+ 60° − 4 3 𝛼= 90°， ∴𝛼= 18°， ∴∠𝐵= 90° −3𝛼= 36°． ▌题型09 三角形中的新定义问题 理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题 【典例9】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，过点𝐴的直线交𝐵𝐶于点𝐷，若∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵，我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶 的形似线，其中∠𝐵𝐴𝐷= 𝑚∠𝐶𝐴𝐷，那么我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的𝑚倍形似线．已知直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍 形似线，则∠𝐵=______度． 【答案】22.5 【知识点】直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍形似线，所以∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，从而 可得∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵，又∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵= 90°，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍形似线， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷， 30 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵， ∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵， ∵∠𝐶= 90°， ∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐵+ 2∠𝐵+ ∠𝐵= 90°， ∴∠𝐵= 22.5°， 故答案为：22.5． 【变式9-1】1．（25-26 八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足2𝛼+ 𝛽= 90°， 那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若△𝐴𝐵𝐶是“奇妙互余三角形”，∠𝐶> 90°，∠𝐴= 40°，求∠𝐶 的度数． 【答案】115°或130° 【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分∠𝐴+ 2∠𝐵= 90°和2∠𝐴+ ∠𝐵= 90°， 两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是“奇妙互余三角形”， ∠𝐶> 90°，∠𝐴= 40°， ①当∠𝐴+ 2∠𝐵= 90°时， 40° + 2∠𝐵= 90°， ∴∠𝐵= 25°， ∴∠𝐶= 180° −40° −25° = 115° ②当2∠𝐴+ ∠𝐵= 90°时， 80° + ∠𝐵= 90° ∴∠𝐵= 10°， ∴∠𝐶= 180° −40° −10° = 130°． 故∠𝐶的度数为115°或130°． 【变式9-2】定义：如果一个三角形的两个内角𝛼与𝛽满足：𝛼+ 2𝛽= 90°．那么我们称这样的三角形为“准互 余三角形”． (1)若△𝐴𝐵𝐶是“准互余三角形”，∠𝐶> 90°, ∠𝐵= 60°，则∠𝐴的度数为__________； (2)如图，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°． 31 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ①若𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点𝐸是边𝐵𝐶上一点，△𝐴𝐵𝐸是“准互余三角形”，∠𝐵= 24°，求∠𝐸𝐴𝐶的度数． 【答案】(1)15° (2)①△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”；②∠𝐸𝐴𝐶的度数是24°或33° 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，∠𝐵+ 2∠𝐴= 90°，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷，再根据直角三角形的性质可得2∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°，符 合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐸= 90°和2∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°，分别求出∠𝐵𝐴𝐸，再根据直角三角形的性质 即可得解． 【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是“准互余三角形”，∠𝐶> 90°,∠𝐵= 60°， ∴∠𝐵+ 2∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 15°； （2）解：①△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”，理由如下：如下图， ∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷， ∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°， ∴∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐷= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：∠𝐴𝐸𝐵>90°， ∵△𝐴𝐵𝐸是“准互余三角形”， 当∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐸= 90°时， ∵∠𝐵= 24°， ∴∠𝐵𝐴𝐸= 33°， ∴∠𝐸𝐴𝐶= 90° −∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐸= 33°； 小学 初中 32 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 当2∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°时， ∵∠𝐵= 24°， ∴∠𝐵𝐴𝐸= 42°， ∴∠𝐸𝐴𝐶= 90° −∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐸= 24°； 综上所述，∠𝐸𝐴𝐶的度数是24°或33°． 【变式9-3】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这 个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”， △𝐴𝐵𝐶为“友爱三角形”． (1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90° ①则∠𝐴=_________，∠𝐵=__________． ②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是 否为“友爱三角形”，并说明理由． (2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿𝐶𝐷 翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数． 【答案】(1)①30°；60°；②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由见解析 (2)27°或30°或42°或45° 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°， 则可证明∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴，据此可得结论； （2）由折叠的性质得到∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵则∠𝐴𝐵′𝐷= 108°；再分∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴， ∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′，∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′和∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴四种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 90°； ∵∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴）， ∴∠𝐵= 2∠𝐴， ∴∠𝐴+ 2∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 30°， ∴∠𝐵= 60°； ②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由如下： 33 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由折叠的性质可得∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶， ∵∠𝐵′𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°， ∴∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴−∠𝐴𝐷𝐶= 60°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴， ∴△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”； （2）解：由折叠的性质可得∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵′𝐷= 180° −∠𝐶𝐵′𝐷= 108°； ∵△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”， ∴当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴时，则∠𝐴= 54°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 54°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 27°； 当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，则∠𝐴𝐷𝐵′ = 54°， ∴∠𝐴= 180° −54° −108° = 18°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 90°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 45°； 当∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180° −∠𝐴𝐵′𝐷= 72°， ∴2∠𝐴𝐷𝐵′ + ∠𝐴𝐷𝐵′ = 72°， ∴∠𝐴𝐷𝐵′ = 24°， ∴∠𝐴= 48°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 60°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°； 当∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180° −∠𝐴𝐵′𝐷= 72°， ∴2∠𝐴+ ∠𝐴= 72°， ∴∠𝐴= 24°， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 84°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 42°； 综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为27°或30°或42°或45° ▌题型10 双角角平分线模型的角度探究 34 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例10】如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为________． 【答案】125° 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】先利用三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 110°，再利用角平分线的定义得到∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶, ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，求出∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 55°，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵∠𝐴= 70°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 110°， ∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)， ∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 55°， ∵∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 180°， ∴∠𝐵𝑂𝐶= 180° −(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180° −55° = 125°． 【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，𝐴、𝐵分别为𝑥轴、𝑦轴正半轴上两动点，∠𝐵𝐴𝑂的平分线和与∠𝑂𝐵𝐴 相邻的外角的平分线所在直线交于点𝐶，则∠𝐶的度数随𝐴、𝐵运动的变化情况正确的是（ ） A．点𝐵不动，在点𝐴向右运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小 35 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 B．点𝐴不动，在点𝐵向上运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小 C．在点𝐴向左运动，点𝐵向下运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐增大 D．在点𝐴、𝐵运动的过程中，∠𝐶的度数不变 【答案】D 【知识点】坐标与图形综合、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得 ∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵= 90°，再由角平分线的定义可得∠𝑂𝐵𝐶= 90° − 1 2 ∠𝑂𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 ∠𝑂𝐴𝐵，据此利用三角 形内角和定理求出∠𝐶的度数即可得到答案． 【详解】解：∵∠𝐴𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵= 90°， ∵∠𝐵𝐴𝑂的平分线和与∠𝑂𝐵𝐴相邻的外角的平分线所在直线交于点𝐶， ∴∠𝑂𝐵𝐶= 180°−∠𝑂𝐵𝐴 2 = 90° − 1 2 ∠𝑂𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶= 1 2 ∠𝑂𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐵𝐴= 90° + 1 2 ∠𝑂𝐵𝐴， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐶 = 180° −90° −1 2 ∠𝑂𝐵𝐴−1 2 ∠𝑂𝐴𝐵 = 180° −90° −1 2 (∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵) = 180° −90° −45° = 45°， 故选：D． 【变式10-2】如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶、内角∠𝐴𝐵𝐶、外角∠𝐴𝐶𝐹．以 下结论：①𝐴𝐷∥𝐵𝐶；②∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵；③∠𝐴𝐷𝐶= 90° −∠𝐴𝐵𝐷；④𝐵𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶．其中正确的结论有 _____________ 【答案】①②③ 【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用．根据 角平分线的定义得出∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐷𝐶𝐹，根据三角形的内角和 定理得出∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，根据三角形外角性质得出∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 36 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐸𝐴𝐶， ∴∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐷， 又∵∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶， ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故①正确； ∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵， ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵， ∴∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵，故②正确； 在△𝐴𝐷𝐶中， ∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°， ∵𝐶𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹， ∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐹，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷= 180° ∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90° −∠𝐴𝐵𝐷，故③正确； ∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶， ∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 90° − 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵不一定等于∠𝐶𝐷𝐵，故④错误； 【变式10-3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝑃与𝐶𝑃相交于点P． (1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶= 80°，∠𝐴𝐶𝐵= 50°，求∠𝑃的度数； 37 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图2，延长𝐴𝐵至M，延长𝐴𝐶至N，∠𝑀𝐵𝐶与∠𝑁𝐶𝐵的角平分线相交于点Q，若∠𝐴= 𝛼(0° < 𝛼< 180°)． ①用含𝛼的代数式表示∠𝑃的大小为__________°； ②用含𝛼的代数式表示∠𝑄的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长𝐵𝑃、𝑄𝐶交于点R．在△𝐵𝑄𝑅中，除∠𝑅𝐵𝑄外，若一个内角是另一个内角 的3 倍，直接写出∠𝐴的大小． 【答案】(1)115° (2)①∠𝑃= 90° + 1 2 α；②∠𝑄= 90° − 1 2 α (3)∠𝐴= 45°或135° 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 25°，再利用三角形内角 和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −𝛼，进而得到∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 180° + 𝛼；①② 利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长𝐵𝐶至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得∠𝑅= 1 2 ∠𝐴，再结合∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴， 然后分∠𝑄= 3∠𝑅和∠𝑅= 3∠𝑄两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 80°，∠𝐴𝐶𝐵= 50°，点P 是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线的交点， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 25°， ∵∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 180°， ∴∠𝑃= 180° −∠𝐵𝐶𝑃−∠𝑃𝐵𝐶= 180° −40° −25° = 115°． （2）解：∵∠𝐴= 𝛼， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 180° −𝛼，∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 360° −(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 360° −(180° − 𝛼) = 180° + 𝛼， ①∵∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝑃与𝐶𝑃相交于点P， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1 2 (180° −𝛼) = 90° − 1 2 𝛼， ∵∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 180°， ∴∠𝑃= 180° −(∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶) = 180° −(90° − 1 2 𝛼) = 90° + 1 2 𝛼． ②∵∠𝑀𝐵𝐶与∠𝑁𝐶𝐵的角平分线相交于点Q， ∴∠𝑄𝐵𝐶= 1 2 ∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝑁𝐶𝐵， ∴∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 (∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) = 1 2 (180° + 𝛼) = 90° + 1 2 𝛼， ∵∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄+ ∠𝑄𝐶𝐵= 180°， ∴∠𝑄= 180° −(∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵) = 180° −(90° + 1 2 𝛼) = 90° − 1 2 𝛼． 38 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）解：如图：延长𝐵𝐶至D， ∵𝐶𝑄为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝑁𝐶𝐵的角平分线， ∴∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝑁𝐶𝑄, ∵∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝐷𝐶𝑅，∠𝑁𝐶𝑄= ∠𝐴𝐶𝑅, ∴∠𝐴𝐶𝑅= ∠𝐷𝐶𝑅, ∴𝐶𝑅是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝑅𝐶𝐷， ∵𝐵𝑅平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝑅𝐵𝐶， ∵∠𝑅𝐶𝐷= ∠𝑅𝐵𝐶+ ∠𝑅， ∴2∠𝑅𝐶𝐷= 2∠𝑅𝐵𝐶+ 2∠𝑅，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ 2∠𝑅， 又∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴， ∴∠𝐴= 2∠𝑅，即∠𝑅= 1 2 ∠𝐴； 由（2）可知∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴 ∵在△𝐵𝑄𝑅中，除∠𝑅𝐵𝑄外，若一个内角是另一个内角的3 倍， ∴①当∠𝑄= 3∠𝑅时，即90° − 1 2 ∠𝐴= 3 × 1 2 ∠𝐴，解得：∠𝐴= 45°； ②当∠𝑅= 3∠𝑄时，即 1 2 ∠𝐴= 3 × (90° − 1 2 ∠𝐴)，解得：∠𝐴= 135°； 综上所述，∠𝐴的度数是45°或135°． ▌题型11 不规则图形内角和问题探究 利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题 【典例11】如图，∠𝐵𝑂𝐹= 100°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹=__________． 39 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】200° 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】利用三角形的外角性质将分散的角∠𝐴, ∠𝐶和∠𝐵, ∠𝐷分别转化为∠1和∠2，再结合∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角形外角的性质可知∠𝐴+ ∠𝐶= ∠1，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2，∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°， ∴∠1 + ∠𝐸+ ∠2 + ∠𝐹= 200°， 即∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 200°． 【变式11-1】如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°． 【答案】240 40 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，即得∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，进而即可求解，正确识图是解题的 关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 120° + 120° = 240°， 故答案为：240． 【变式11-2】探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了 如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整． (1)解：∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷． ∴ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷． ∵ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹=________°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸=________°， ∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸=________°． (2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠𝐴，∠𝐵，∠𝐶， ∠𝐷，∠𝐸的和． (3)应用：如图③．小明将图②中的点𝐴落在𝐵𝐸上，点𝐶落在𝐵𝐷上，若∠𝐵= ∠𝐷= 36∘，则∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸=________°． 【答案】(1)180°，180°，36° (2)180° (3)108° 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 41 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； （3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可； 【详解】（1）∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷． ∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷． ∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°， ∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= 36°； （2）∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷． ∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷． ∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°， ∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°； （3）∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸= 180° −∠𝐸𝐴𝐷= 180° −∠𝐵−∠𝐷= 108°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于180°和三角形的一个 外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
