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专题02 隐圆6 大模型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型一、定点定长
模型二、定弦定角
模型三、直角圆周角
模型四、动点定长
模型五、四点共圆
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
隐圆模型解题核心是挖掘题目隐藏的定点定长、定弦定角、对角互补、定角定高这些圆的生成条件，
识别出动点的运动轨迹为圆或圆弧，再转化为圆的相关性质，借助圆的半径、圆心、直径、圆周角、点圆
距离、求解线段最值、角度、存在性问题，解题时先找不变的定点与不变量确定隐圆的圆心和半径，画出
轨迹圆，再结合几何图形位置关系分析临界点，避开漏看圆弧范围导致的错误，把几何问题转化成圆的计
算完成求解。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型一、定点定长
典例1 如图，
60
AB
BC
BD
=
=
=
，
90
ABC
=
，
2
DP
AP
=
，则线段CP 的最小值为（ ）
目 录
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A．35
B．20 2
6
+
C．30 5
30
−
D．20 13
20
−
【答案】D
【详解】解：在AB 上取点Q，使得
2
BQ
AQ
=
，∴
1
3
AQ
AB
=
，
∵
2
BP
AP
=
，∴
1
3
AP
AD
=
，∴
1
3
AP
AQ
AD
AB
=
=
，
∵
=
PAQ
DAB ，∴
APQ
ADB
△
∽△
，∴
1
3
PQ
AP
DB
AD
=
=
，
∴
1
1 60
20
3
3
PQ
BD
=
=
=
，∴点P 在以点Q 为圆心，半径为20 的
Q
上运动．
连接CQ ，当点P 为CQ 与AD的交点时，CP 取得最小值，此时CP
CQ
PQ
=
−
，
∵
20
AQ
PQ
=
=
，∴
60
20
40
BQ
AB
AQ
=
−
=
−
=
，
∵
90
ABC
=
，
60
BC =
，∴
2
2
2
2
60
40
20 13
CQ
BC
BQ
=
+
=
+
=
，
∴
20 13 10
CP
CQ
PQ
=
−
=
−
，即CP 的最小值为20 13
20
−
．故选：D
模型模版
1.特征：有一个定点，动点到该定点距离始终不变，动点轨迹为圆。
2.方法：识别定点与定长，画出隐形圆，借助圆的性质求解角度、最值、线段长度。
变式1-1 如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P 为CA 上的动点，连BP，过点A 作AM⊥BP
于M．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为（ ）
A．√2
2 π
B．√2π
C．√3π
D．2π
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【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：设AB 的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，
∴NQ 为△BAM 的中位线，
∵AM⊥BP，
∴QN⊥BN，
∴∠QNB=90°，
∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，
1
4 AB长为半径的圆交CB 于D 的QD
^ ，
∵CA=CB=4，∠ACB=90°，
∴AB = √2CA = 4√2，∠QBD =45°，
∴∠DOQ=90°，
∴QD 为⊙O 的
1
4周长，
∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：90π×1
4×4√2
180
= √2
2 π，
故答案为：A.
【分析】利用等腰直角三角形的性质、中位线定理、圆周角定理以及圆弧长度的计算公式来求解，通过分
析点N 的运动路径，确定其为圆弧的一部分，并计算该圆弧的长度.
变式1-2（2025·湖南永州·三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学
准备了一张长方形纸片ABCD，如图：
12
AB =
，
10
BC =
，他在边BC 上取中点N，又在边AB 上任取一点
M，再将BMN
沿MN 折叠得到
B MN
△
，连结AB．AB达到最小值时，求BM = ．
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【答案】10
3
【详解】解：将BMN
沿MN 折叠得到
B MN
△
，
BN
NB
=
，
点N 为的BC 中点，
10
BC =
，
5
BN
CN
NB
=
=
=
，
当点M 在边AB 上运动时，点B在以N 为圆心，NB 为半径的圆弧上运动，
连接AN ,在AB N
中，AB
AN
NB
−
，
A
B
N
、、
共线时，AB的值最小，如图，
最小为
2
2
2
2
12
5
5
8
AB
AN
NB
AB
BN
NB
=
−
=
+
−
=
+
−
=
；
90
AB M
=
，
设BM
x
=
，
BM
BM
x
=
=
，
12
AM
x
=
−，在直角三角形ABM
中，
由勾股定理得：
2
2
2
M
B A
AM
B
+
=
，
(
)
2
2
2
8
12
x
x
+
=
−
，解得：
10
3
x =
，即
10
3
BM =
，故答案为：10
3 ．
变式1-3 如图，在四边形ABCD中，
60
DAB
=
，
30
ABC
=
，
4
AB =
，
2
CD = ，点M 为CD的中点，
连接AM 、BM ，则ABM
的面积的最小值是 ．
【答案】2 3
2
−
【详解】解：如图，延长AD
BC
、
相交于点E ，连接EM ，
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∵
60
DAB
=
，
30
ABC
=
，∴
90
AEB
=
，
∵点M 为CD的中点，∴
1
1
2
EM
CD
=
= ，∴点M 在以点E 为圆心，1为半径的圆弧上运动，如图所示，
过E 点作EF
AB
⊥
于F ，当EF 与圆弧的交点和点M 重合时，ABM
的边AB 上的高最短，此时ABM
的
面积的最小，如图，∵
60
DAB
=
，∴
30
AEF
=
，
设AF
x
=
，则
2
AE
x
=
，
4
BF
x
=
−
，∴
(
)
2
2
2
2
2
3
EF
AE
AF
x
x
x
=
−
=
−
=
，
∵
30
ABC
=
，∴
2
2 3
BE
EF
x
=
=
，∵
2
2
2
EF
BF
BE
+
=
，∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
4
2 3
x
x
x
+
−
=
，
解得
1
1
x = ，
2
2
x = −（不合，舍去），∴
3
EF =
，∴
3 1
MF
EF
EM
=
−
=
−，
∴ABM
的面积的最小值为
(
)
1
1
·
4
3 1
2 3
2
2
2
AB MF =
−
=
−
，故答案为：2 3
2
−
．
模型二、定弦定角
典例2 如图△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝2，𝐵𝐶= √5，D 为平面内一点，且∠BDA＝∠C，过点B 作
BE⊥BD，与DA 的延长线相交于点E，则△BDE 面积的最大值为（ ）
A．√5
B．
9√5
5
C．2√5
D．
18√5
5
【解答】解：根据题意点D 的运动轨迹在以AC 中点O 为圆心AC 为直径的⊙O 的优弧ADB̂上．
∵∠BDA＝∠C，∠EBD＝∠ABC＝90°，
∴△EBD∽△ABC，
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∴
S△EBD
S△ABC = (
BD
BC)2．
∵S△ABC=
1
2AB•BC= √5，BD 的最大值为⊙O 的直径AC 的长度，AC= √AB2 + BC2 =3，
∴S△EBD 的最大值为S＝（
3
√5）2× √5 =
9√5
5 ．
故选：B．
题型模版
1.特征：线段长度固定，线段所对的角大小固定，角的顶点在一段圆弧上运动。
2.方法：以定弦为弦作出隐圆，利用圆周角、圆心角性质求角度或者线段最值。
变式2-1 如图，在△ABC 中，AC＝6，BC＝8√3，∠ACB＝60°，过点A 作BC 的平行线l，P 为直线l 上一
动点，⊙O 为△APC 的外接圆，直线BP 交⊙O 于E 点，则AE 的最小值为 2 ．
【解答】解：如图，连接CE．
∵AP∥BC，
∴∠PAC＝∠ACB＝60°，
∴∠CEP＝∠CAP＝60°，
∴∠BEC＝120°，
∴点E 在以O'为圆心，O'B 为半径的BĈ上运动，
连接O'A 交BĈ于E′，此时AE′的值最小．此时⊙O 与⊙O'交点为E'．
∵∠BE'C＝120°
∴BĈ所对圆周角为60°，
∴∠BO′C＝2×60°＝120°，
∵△BO′C 是等腰三角形，BC＝8√3，
∴O′B＝O′C＝8，
∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，
∴∠ACO'＝90°
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∴O'A= √O′C2 + AC2 = √82 + 62 =10，
∴AE′＝O'A﹣O'E′＝10﹣8＝2，
故答案为：2．
变式2-2 如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，边长为4，正方形内有一动点𝐸，∠𝐵𝐸𝐶= 135°．连接𝐴𝐸，则线段𝐴𝐸的
最小值为 ．
【答案】2√10 −2√2/−2√2 + 2√10
【分析】先得出动点𝐸在△𝐵𝐶𝐸的外接圆⊙𝑂中的劣弧𝐵𝐶
⌢上，过圆心𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵延长线于点𝐺，连
接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐸，设⊙𝑂的优弧𝐵𝐶
⌢上有一点𝐹，连接𝐵𝐹, 𝐶𝐹，再解直角三角形求出𝑂𝐵, 𝑂𝐺, 𝐵𝐺的长，然后
利用勾股定理可得𝑂𝐴的长，最后根据𝐴𝐸≥𝑂𝐴−𝑂𝐸即可得．
【详解】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，边长为4，
∴𝐴𝐵= 𝐵𝐶= 4, 𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，
∵正方形内有一动点𝐸，∠𝐵𝐸𝐶= 135°，
∴如图，动点𝐸在△𝐵𝐶𝐸的外接圆⊙𝑂中的劣弧𝐵𝐶
⌢上，
过圆心𝑂作𝑂𝐺⊥𝐴𝐵，交𝐴𝐵延长线于点𝐺，连接𝑂𝐴, 𝑂𝐵, 𝑂𝐶, 𝑂𝐸，
设⊙𝑂的优弧𝐵𝐶
⌢上有一点𝐹，连接𝐵𝐹, 𝐶𝐹，
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∴∠𝐹= 180° −∠𝐵𝐸𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 2∠𝐹= 90°，
∵𝑂𝐵= 𝑂𝐶，
∴∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝑂𝐶𝐵= 45°，𝑂𝐵= 𝐵𝐶⋅cos∠𝑂𝐵𝐶= 2√2，
∴𝑂𝐸= 𝑂𝐵= 2√2，
又∵𝑂𝐺⊥𝐴𝐵，𝐵𝐶⊥𝐴𝐵，
∴𝑂𝐺∥𝐵𝐶，∠𝑂𝐵𝐺= 90° −∠𝑂𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝑂𝐵𝐶= 45°，
∴∠𝐵𝑂𝐺= ∠𝑂𝐵𝐺，
∴𝐵𝐺= 𝑂𝐺= 𝑂𝐵⋅sin∠𝑂𝐵𝐺= 2，
∴𝐴𝐺= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐺= 6，
∴𝑂𝐴= √𝐴𝐺2 + 𝑂𝐺2 = 2√10，
由三角形的三边关系可知，𝐴𝐸≥𝑂𝐴−𝑂𝐸（当且仅当点𝐴, 𝐸, 𝑂共线时，等号成立），
∴线段𝐴𝐸的最小值为𝑂𝐴−𝑂𝐸= 2√10 −2√2，
故答案为：2√10 −2√2．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、
正方形的性质等知识，正确得出动点𝐸的运动轨迹是解题关键．
变式2-3 如图，正方形ABCD中，
2
AB =
，点E 为正方形ABCD内部一点，连接AE ，BE ，CE ，且
ABE
DAE
=
，当BCE
为等腰三角形时，AE 的长为 ．
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【答案】2 或2
5
5
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴
90
BAD
ABC
=
=
，∴
90
BAE
DAE
+
=
，
∵
ABE
DAE
=
，∴
90
BAE
ABE
+
=
，∴
90
AEB
=
，∴点E 在以AB 为直径的圆上，
∵BCE
为等腰三角形，当BE
CE
=
时，点E 为正方形对角线AC 的中点，如图，
∵
2
2
2
2
2
2
2 2
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，∴
1
1
2 2
2
2
2
AE
AC
=
=
=
；
当
2
CE
CB
=
=
时，如图，过点C 作CH
BE
⊥
于H ，则
1
2
BH
EH
BE
=
=
，
90
BHC
AEB
=
=
，
∵
90
ABE
BAE
+
=
，
90
ABE
CBH
+
=
，∴
CBH
BAE
=
，
又∵BC
AB
=
，∴
(
)
AAS
BCH
ABE
≌
，∴BH
AE
=
，∴
2
BE
AE
=
，设AE
x
=
，则
2
BE
x
=
，
∵
2
2
2
AE
BE
AB
+
=
，∴
(
)
2
2
2
2
2
x
x
+
=
，∴
2 5
5
x =
，∴
2 5
5
AE =
；
当BE
BC
=
时，如图，仅当点E 和点A 重合时BE
BC
=
，
∵点E 为正方形ABCD内部一点，∴此种情况不符合；综上，AE 的长为2 或2 5
5
，故答案为：2 或2 5
5
．
模型三、直角圆周角
典例3 如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=8，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，
则线段CP 长的最小值是_________．
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【答案】4 2
4
−
【解析】∵∠PBC+∠PBA=90°，∠PBC=∠PAB，∴∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，
∴P 点轨迹是以AB 为直径的圆弧．
当O、P、C 共线时，CP 取到最小值，勾股定理先求OC，再减去OP 即可．
题型模版
1.特征：定线段为斜边，直角顶点不断变化，直角顶点的轨迹是以该线段为直径的圆。
2.方法：把定线段当作直径构造隐圆，借助直径所对圆周角为直角，求解角度、动点最值问题。
变式3-1 图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，𝐴𝐶= 4，𝐵𝐶= 3，点𝐷在边𝐴𝐵上，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为点𝐸，
则
𝐶𝐷
𝐷𝐸的最小值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E 的运动轨迹是解题的关键．根据点D 运动过程中，始终
保持𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，所以点E 在以𝐴𝐶中点为圆心，
1
2 𝐴𝐶长为半径的半圆上，进而分析当𝐵, 𝐷重合时，𝐶, 𝐸重合，
𝐶𝐷
𝐷𝐸
取得最小值，即可求解．
P
A
B
C
O
P
A
B
C
C
B
A
O
P
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【详解】解：∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷
∴∠𝐴𝐸𝐶= 90°
∴点E 在以𝐴𝐶中点为圆心，
1
2 𝐴𝐶长为半径的半圆上，
如图，此时𝐶𝐷> 𝐷𝐸
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°
∴当𝐵, 𝐷重合时，𝐶, 𝐸重合，
此时𝐶𝐷= 𝐷𝐸，则
𝐶𝐷
𝐷𝐸= 1
∴
𝐶𝐷
𝐷𝐸的最小值是1
故答案为：1．
变式3-2 如图，在
ABC
中，
90
4
3
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，点D 在边AB 上（不与A，B 重合），过点A 作
AE
CD
⊥
，垂足为点E ，则CD
DE 的最小值是 ．
【答案】3
【详解】解：作CF
AB
⊥
于点F，作EK
AB
⊥
于点K，
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ABC
中，
90
4
3
ACB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CF
=
?
?
，
4 3
12
5
5
AC BC
CF
AB
=
=
=
．
CF
AB
⊥
，EK
AB
⊥
，
90
EKD
CFD
=
=
，
又
EDK
CDF
=
，EDK
CDF
∽
，CD
CF
DE
EK
=
，
12
5
CF =
，是定值，EK 取最大值时，CD
DE 取最小值；
点D 运动过程中，始终保持AE
CD
⊥
，点E 在以AC 中点O 为圆心，1
2 AC 长为半径的圆上，
当点E，K，O 共线时，即点E 在E位置时，EK 取最大值，
90
AK O
ACB
=
=
，
K AO
CAB
=
，K AO
CAB
∽
，
K O
AO
CB
AB
=
，即
2
3
5
K O
=
，
6
5
K O
=
，
6
4
2
5
5
E K
OE
K O
=
−
=
−
=
，即EK 的最大值为4
5 ，
此时
12
5
3
4
5
CD
CF
DE
EK
=
=
= ，CD
DE 的最小值是3，故答案为：3．
变式3-3 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD 绕点C 在平面内旋转，过点B 作AD
的垂线，交射线AD 于点E．若CD＝1，则AE 的最大值为 2√2 + 1 ，最小值为 2√2 −1 ．
【解答】解：∵BE⊥AE，
∴∠BEA＝90°，
∴点E 是在以AB 为直径的圆上运动，
∵CD＝1，且CD 是绕点C 旋转，
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∴点D 是在以C 为圆心，以1 为半径的圆上运动，
∵AB= √2AC＝3√2，
∴当cos∠BAE 最大时，AE 最大，当cos∠BAE 最小时，AE 最小．
①如图，当AE 与圆C 相切于点D，且D 在△ABC 内部时，∠BAE 最小，AE 最大，
∵∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD= √AC2 −CD2 =2√2，
∵AĈ = AĈ，
∴∠CEA＝∠CBA＝45°，
∴DE＝CD＝1，
此时AE＝2√2 +1，即AE 的最大值为2√2 +1，
②如图，当AE 与圆C 相切于点D，且D 在△ABC 外部时，∠BAE 最大，AE 最小，
同理可得AD＝2√2，DE＝1，
此时AE＝2√2 −1，即AE 的最小值为2√2 −1，
故答案为：2√2 +1；2√2 −1．
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模型四、动点定长
典例4 如图，在正方形ABCD中，
4
=
AD
，动点E ，F 分别在边DC ，CB 上移动，且满足DE
CF
=
．连
接AE 和DF ，交于点P ．点E 从点D 开始运动到点C 时，点P 也随之运动，求点P 的运动路径长．
【答案】（1）①27 ；②见解析；（2）
【详解】（1）①
BAC
是BC 所对的圆心角，而
BDC
是BC 所对的圆周角，
54
BAC
=
，
1
27
2
BDC
BAC
=
=
，故答案为：27 ；
②
90
ABC
=
，
90
ABP
PBC
+
=
PAB
PBC
=
，
90
BAP
ABP
+
=
．
90
APB
=
（定角）．
点P 在以AB （定弦）为直径的
O
上．
又点P 在ABC
内部，点P 在弧BM 上（不包括点B 、点M ）
如图2，连接OC 交
O
于点P ，此时PC 最小，
6
AB =
，
1
3
2
OA
OB
OP
AB
=
=
=
=
，在Rt BOC
中，
90
BOC
=
，
4
BC =
，
2
2
2
2
3
4
5
OC
OB
BC
=
+
=
+
=
，
5 3
2
PC
OC
OP
=
−
= −=
，PC 最小值为2 ；
（2）四边形ABCD是正方形，AD
DC
=
，
90
ADE
DCF
=
=
，
DE
CF
=
，
(
)
SAS
ADE
DCF
≌
，AE
DF
=
，
DAE
FDC
=
，
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90
ADE
=
，
90
ADP
FDC
+
=
，
90
ADP
DAE
+
=
，
(
)
180
90
APD
ADP
DAE
=
−
+
=
，如图4，连接AC ，BD交于点O，
点P 在运动中保持
90
APD
=
，点P 的运动路径是以AD为直径的圆弧
DPO ，
点P 的运动路径长为 90
2
180
=
．
题型模版
1.特征：动点到某个定点的距离保持定值，动点轨迹形成隐形圆。
2.方法：找准定点与定长确定隐圆半径，利用圆的性质处理线段最值、角度计算。
变式4-1 如图，在菱形ABCD中，
60 ,
6
ABC
AD
=
=
，点E 在边CD上，且
4
DE =
，F 是边AD上一动点，
将DEF
沿直线EF 折叠，点D 落在点N 处，当点N 在四边形ABCD内部（含边界）时，DF 的长度的最大
值是（ ）
A．2 13
2
−
B．2 13
2
+ B．4 2
2
− D．4 2
2
+
【答案】A
【分析】根据题意可知，点N 在以E 为圆心，DE 长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点N 落在AD
上时，DF 最短，当点N 落在边BC 上时，DF 最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出DF 的取值，进
而得最大值．
【详解】解：根据题意可知，点N 在以E 为圆心，DE 长为半径的圆上运动，
如图所示：
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当点N 正好落在边AD上时，
,
60
DE
NE
D
ABC
=
=
=
，
DEN
是等边三角形，
4
DE
DN
EN
=
=
=
，
DF
最短，
此时
1
2
2
DF
DN
=
=
；
当点N 落在边BC 上时，DF 最长，
过点N 作NG
AD
⊥
于点G ，分别过点
,
E D 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点
,
H M ．
四边形MNGD 是矩形，
在菱形ABCD中，
60
ABC
=
，
6
AD =
，
点E 在边CD上，且
4
DE =
，
6
CD
AD
AB
=
=
=
，
2
CE =
，AD
BC
∥
，AB
CD
∥
，
60
ABC
DCH
=
=
，
1
,
cos
3
cos
CM
DCH CD
CH
DCH CE
=
=
=
= ，
2
2
3 3
GN
DM
CD
CM
=
=
−
=
，
2
2
3
EH
CE
CH
=
−
=
，
2
HM =
，
在Rt
NEH
△
中，
4
NE
DE
=
=
，
3
EH =
，
13
NH
=
，
13
2
NM
=
+
，
13
2
DG
NM
=
=
+ ，
设DF
x
=
，则NF
x
=
，
13
2
GF
x
=
+ −
，
在Rt NGF
中，
由勾股定理可知，
2
2
2
GN
GF
NF
+
=
，
即(
)
(
)
2
2
2
3 3
13
2
x
x
+
+
−
=
，解得
2 13
2
x =
−
，
2 13
2
2
−
，
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故答案为：A．
【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含30角的直角三角形，勾股定理等知识，得
出点N 的运动轨迹并找到临界点是解题关键．
变式4-2 如图，⊙O 的直径AB 为8，P 是AB 上一动点，半径OC 垂直于AB，AH⊥CP，垂足为H．当点P
从A 运动到B 的过程中，点H 运动的路径长为（ ）
A．2π
B．2√2𝜋
C．4π
D．4√2𝜋
【解答】解：∵AB＝8，
∴OA＝OC＝4，
∵OC⊥AB，
∴AC= √OA2 + OC2 =4√2，
∵AH⊥CP，
∴∠AHC＝90°，
∴点H 是在以AC 为直径的圆上运动，
∵点P 从A 到B，
∴点H 的运动路径为半圆AC，
∴lAC=
1
2πd＝2√2π，
即点H 运动的路径长为2√2π，
故选：B．
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变式4-3 如图所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D 在AC 上，且AD=2，E 是AB 上的
动点，连结DE，F，G 分别是BC，DE 的中点，连结AG，FG，当AG=FG 时，线段DE 的长为（ ）
A．√13
B．5√2
2
C．√41
2
D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：如图所示，过点F 分别作FM ⊥AC、FN ⊥AB，垂足分别为M、N，连接AF、DF、
EF.
∵∠BAC = 90°、DG = EG
∴GA = GD = GE = GF
∴∠DFE = 180° −∠DAE = 90°
∵FN ⊥AB
∴∠FNB = ∠CAB = 90°
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∴FN ∥AC
∴BF
CF = BN
AN = 1
∴AN = BN
∴FN是△BAC的中位线
∴FN = 1
2 AC = 5
2
∵AB = AC = 5、CF = BF
∴∠CAF = ∠BAF、AF ⊥BC
∴FM = FN
∴四边形FMAN 是正方形
∴AM = AN = FN = FM = 5
2 、∠MFN = 90°
∴∠DFM = ∠EFN
∴△DFM ≅△EFN(AAS)
∴DM = EN
∵EN = DM = AM −AD = 5
2 −2 = 1
2
∵AD = 2
∴AE = AN + NE = 5
2 + 1
2 = 3
∴DE = √AD2 + AE2 = √22 + 32 = √13
故答案为：A.
【分析】连接AF，由等腰三角形三线合一知AF 平分∠BAC；过点F 分别作AB、AC 的垂线段FN 和FM，则
由角平分线的性质定理知FM=FN ，此时可判断四边形FMAN 是正方形，则FN 是三角形ABC 的中位线，则
正方形的四条边可知；又由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合已知可得A、D、E、F 四点共圆，
则由圆内接四边形对角互补知∠DFE是直角，再由正方形的性质可得∠MFN是直角，则由同角的余角相等结
合正方形的性质可证△DFM ≅△EFN，则有DM=EN，此时利用AD 和正方形的边长可求出AE 的长，再利用
勾股定理即可求得DE.
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题型五、四点共圆
典例5 如图，在
中，
，
，
，点P 为平面内一点，且
，过C
作
交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，
当PC 最大时CQ 即取最大值．
【详解】解：∵在
中，
，
，
，
∴A、B、C、P 四点共圆，AB 为圆的直径，AB=
∵
∴
∴△ABC∽△PQC
∴
，
，即
∴当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值
∴当PC=AB=5 时，CQ 取得最大值为
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确
定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
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题型模版
1.特征：四个点满足对角互补或外角等于内对角，四点同在一个圆周上。
2.方法：识别角度条件判定四点共圆，套用圆周角、圆内接四边形性质倒角算边长。
变式5-1 如图，四边形
中，
，
．若四边形
面积的最大值为
，
则对角线
的长为___________．
【答案】
【分析】假设线段
为定值，根据已知条件可知
四点共圆，且线段
是圆的直径，根据
，
可知弧
所对的圆心角是
，得到
，再根据两点之间线段最短可知
，当
时，
最大，从而解出答案．
【详解】解： ∵四边形
中，
，
∴四边形
对角互补，
∴
四点共圆，
∵
，
∴线段
是圆的直径，即圆的半径是
，假设线段
长为定值，
如图所示，连接
，以
的中点
为圆心，
长为半径画圆，
，
连接
，分别过点
作
垂直
，垂足分别为点
，
∵
，
∴
，
∵
，
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∴
是等腰直角三角形，则
，
∵
，
又∵两点之间线段最短，
∴
，
∴当
时，
最大，即
最大，如下图所示，
，
此时
，
∴
，解得
，
∴
．
变式5-2 如图，四边形ABCD 中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC 于点E，EA 平分∠BED．
（1）CD 的长是_____；
（2）当点F 是AC 中点时，四边形ABCD 的周长是_____．
【答案】 2 5+
【分析】（1）延长DA，CB 交于点H，由“ASA”可证
≌
，可得
，由平行得相似，
依据相似的性质即可求解；
（2）先证明A，D，C，E 四点共圆，因为F 是AC 中点，依据垂径定理，得到DF 是AC 的中垂线，依据线
段的垂直平分线的性质可求得AD 的长度，作
于H，可证四边形ABCH 是矩形，依据矩形的性质，
结合线段长度，可得
是
的中垂线，由此可得AC 的长度，在三角形ABC 中，依据勾股定理可求得
BC 的长度，只需把各边相加即可得到四边形ABCD 的周长.
【详解】解：（1）如图1 中，延长DA，CB 交于点H，
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∵EA 平分∠BED，
∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，
∴△ADE≌△AHE（ASA）
∴AH＝AD，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB∥CD，
∴△ABH∽△DCH,
∴
，且AB＝1，AH＝AD＝
HD，
∴CD＝2，
（2）如图2 中，作AH⊥CD 于H，
∵∠DAE＝∠DCE＝90°，
∴A，D，C，E 四点共圆，设圆心为O，则点O 是线段DE 的中点，
又∵AF＝CF，
∴DE⊥AC，
∴DA＝DC，
∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，
∴四边形ABCH 是矩形，
∴CH＝AB＝1，
∵CD＝2，
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∴CH＝HD＝1，
又∵AH⊥CD，
∴AD＝AC，
∴AD＝CD＝AC＝2，
∴
，
四边形ABCD 的周长为
．
故答案为：（1）2；（2）
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂径定理，线段的垂直平分线的性质，矩形的判定和性质等
知识，解题的关键是作辅助线，构造中垂线、相似三角形、直角三角形，建立未知线段与已知线段之间等
量的关系．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
1.如图，在矩形ABCD 中，AD＝5，AB＝3√3，点E 在AB 上，
𝐴𝐸
𝐸𝐵=
1
2，在矩形内找一点P，使得∠BPE＝
60°，则线段PD 的最小值为（ ）
A．2√7 −2
B．2√13 −4
C．4
D．2√3
【解答】解：如图，在BE 的上方，作△OEB，使得OE＝OB，∠EOB＝120°，连接OD，过点O 作OQ⊥BE
于Q，OJ⊥AD 于J．
∵∠BPE=
1
2∠EOB，
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∴点P 的运动轨迹是以O 为圆心，OE 为半径的⊙O，
∴当点P 落在线段OD 上时，DP 的值最小，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝3√3，AE：EB＝1：2，
∴BE＝2√3，
∵OE＝OB，∠EOB＝120°，OQ⊥EB，
∴EQ＝BQ= √3，∠EOQ＝∠BOQ＝60°，
∴OQ＝1，OE＝2，
∵OJ⊥AD，OQ⊥AB，
∴∠A＝∠AJO＝∠AQO＝90°，
∴四边形AQOJ 是矩形，
∴AJ＝OQ＝1，
JO＝AQ＝2√3，
∵AD＝5，
∴DJ＝AD﹣AJ＝4，
∴OD= √JD2 + OJ2 = √42 + (2√3)2 =2√7，
∴PD 的最小值＝OD﹣OP＝2√7 −2，
故选：A．
2．如图，AB 是半圆O 的直径，AB＝5cm，AC＝4cm．D 是弧BC 上的一个动点（含端点B，不含端
点C），连接AD，过点C 作CE⊥AD 于E，连接BE，在点D 移动的过程中，BE 的取值范围是（ ）
A．√13 −2 < 𝐵𝐸≤9
5
B．√13 −2 ≤𝐵𝐸< 3
C．9
5 ≤𝐵𝐸< 3
D．√13 −9
5 ≤𝐵𝐸< 3
【答案】B
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【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，取AC中点M，以M为圆心，CM为半径作⊙M，连接BM交⊙M于点E′，过点
M作MF ⊥AB于F，
∵CE ⊥AD，
∴∠AEC = 90°，
∴点E在⊙M的CN
⌢上(不含点C，可含点N)运动，
∴当点E与点E′重合时，BE取得最小值为BE′，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB = 90°，
∵AB = 5，AC = 4，
∴BC = √AB2 −AC2 = 3，AM = ME′ =
1
2 AC = 2，
又∵MF ⊥AB，
∴∠AFM = ∠ACB = 90°，
∵∠FAM = ∠CAB，
∴△AMF~ △ABC，
∴
MF
BC =
AM
AB，
∴
MF
3 =
2
5，
解得：MF =
6
5，
∴AF = √AM2 −MF2 =
8
5，
∴BF = AB −AF =
17
5 ，
∴BM = √AF2 + BF2 = √13，
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∴BE′ = BM −ME′ = √13 −2，
当点E与点C重合时，BE取得最大值为BC，
∵点E与点C不重合，
∴BE＜3，
综上所述，BE的取值范围为√13 −2 ≤BE < 3，
故答案为：B．
【分析】取AC中点M，以M为圆心，CM为半径作⊙M，连接BM交⊙M于点E′，过点M作MF ⊥AB于F，
先求出∠AEC = 90°，由”定角定弦隐圆模型“得点E在⊙M的CN
⌢上(不含点C，可含点N)运动，从而得当
点E与点E′重合时，BE取得最小值为BE′，然后根据直角所对的圆周角是直角以及勾股定理求出BC = 3，
同时求出AM = ME′ = 2，证明△AMF~ △ABC，得
MF
BC =
AM
AB，进而求出MF =
6
5，接下来利用勾股定理求
出AF =
8
5，于是得BF =
17
5 ，则BM = √13，即可求出BE′ = √13 −2，当点E与点C重合时，BE取得最大值
为BC，且根据点E与点C不重合得BE＜3，据此即可得出答案．
3．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O，线段EF 不经过点O，且EF∥BC，EF 分别与边AB，CD 交
于点G，H，EG=FH，连接AE.若AD=2，EF=4，点O 在线段AE 的垂直平分线上，则 AG·GB 是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【知识点】矩形的性质；圆内接四边形的性质；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图， 连接OE、OF、BF， 作直线 OP⟂EF,垂足为P，
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在矩形ABCD 中， OA = OB = OC = OD,直线OP 垂直平分BC，
∵EF∥BC，
∴直线OP 垂直平分GH，
∴PG = PH = 1
2 GH = 1,
∵EF = 4, EG = FH,
∴EG = FH = 1
2 (EF −GH) = 1
2 × (4 −2) = 1
∴EP = FP = 2,
∴OE = OF,
∵点O 在线段AE 的垂直平分线上，
∴OA=OE，
∴OA = OB = OC = OD = OE = OF,
∴点A、E、B、C、F、D 共圆，
∵∠EAG = ∠BFG,∠EGA = ∠BGF,
∴△EGA∽△BGF，
∴AG
GF = EG
BG,
∴AG·GB=GF·EG=3×1=3.
故答案为：B .
【分析】连接OE、OF、BF， 作直线 OP⟂EF,垂足为P， 利用条件证明出点A、E、B、C、F、D 共圆，
再利用条件判定 △EGA ∽△BGF,根据相似三角形性质得到AG·GB=GF·EG=3×1=3 即可.
4.△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，D 是BC 的中点，E 为AB 上一动点，点B 关于DE 的对称点B在△ABC
内（不含△ABC 的边上），则BE 长的范围为 ．
【答案】9
5
5
2
BE
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【分析】首先根据运动特点分析出点B的运动轨迹在以D 为圆心，BD为半径的圆弧上，然后分点B恰好
落在AB 边上和点B恰好落在AC 边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行
求解和证明即可得出两种临界情况下BE 的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B 与B关于DE 对称，
∴BD
BD
=
，则点B的运动轨迹在以D 为圆心，BD为半径的圆弧上，
①如图所示，当点B恰好落在AB 边上时，此时，连接AD和DE ，
由题意及“三线合一”知，AD
BD
⊥
，
1
3
2
BD
BC
=
=
，
∴在Rt ABD
中，
2
2
2
2
5
3
4
AD
AB
BD
=
−
=
−
=
，
此时，根据对称的性质，DE
AB
⊥
，
∴由等面积法，1
1
2
2
AB DE
AD BD
=
，
∴
12
5
DE =
，
在Rt BDE
中，
2
2
9
5
BE
BD
DE
=
−
=
；
②如图所示，当点B恰好落在AC 边上时，连接AD、DE 、BB和DB，
由题意，BD
DB
DC
=
=
，
∴
DBB
DBB
=
，
DB C
DCB
=
，
∴
DBB
DCB
DB B
DB C
+
=
+
，
即：
BCB
CBB
BB C
+
=
，
∴
90
BB C
=
，
即：BB
AC
⊥
，
∵点B 与B关于DE 对称，
∴DE
BB
⊥
，BE
BE
=
，
∴
∥
DE
AC ，
∴
BED
BAC
=
，
DEB
ABE
=
，
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由对称的性质，
BED
DEB
=
，
∴
AB E
BAC
=
，
∴AE
B E
=
，
∴AE
BE
BE
=
=
，
即：此时点E 为AB 的中点，
∴此时，
1
5
2
2
BE
AB
=
=
，
综上，BE 长的范围为9
5
5
2
BE
，
故答案为：9
5
5
2
BE
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动
点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
5．如图，四边形ABCD中，
3
AB = ，
6
BC =
，
60
ABC
=
，且四边形ABCD的面积为27 3
4
，连接AC
BD
、
，
则
ADC
△
的面积为 ；在BD上取点E ，使
BAE
ADB
=
，则CE 最小值为 ．
【答案】 9
3
4
31
1
−
【详解】解：如图，取BC 中点F ，连接AF
AC
、
，∴
3
BF
CF
AB
=
=
=
，
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∵
60
ABC
=
，∴
ABF
△
是等边三角形，∴
60
BAF
AFB
=
=
，
∴
30
FAC
FCA
=
=
，∴
90
BAF
BAF
FAC
=
+
=
，∴
2
2
2
2
6
3
3 3
AC
BC
AB
=
−
=
−
=
，
∴
1
1
9
3 3 3
3
2
2
2
ABC
S
AB
AC
=
=
=
，∴
27
9
9
3
3
3
4
2
4
ADC
ABC
ABCD
S
S
S
=
−
=
−
=
四边形
，
如图，过D作DG
AC
⊥
于点G ，∴
1
9
3
2
4
ADC
S
AC
DG
=
=
，即1
9
3 3
3
2
4
DG
=
，
∴
3
2
DG =
，∴点D在与AC 平行，与AC 距离为3
2 的直线l 上运动，
延长BA交直线l 于点H ，则
3
2
AH
DG
=
=
，∴
9
2
BH
AB
AH
=
+
=
，
∵
BAE
ADB
=
，
ABE
DBA
=
，∴ABE
DBA
∽
，
∴AB
BE
DB
AB
=
，即3
3
BE
DB =
，∴
9
DB BE
=
，取
2
BM =
，则
9
BM
BH
DB BE
=
=
，∴BE
BM
BH
BD
=
，
∵
MBE
HBD
=
，∴BEM
BHD
∽
,∴
90
BEM
BHD
=
=
，
∴点E 在以BM 为直径的圆上运动，取BM 中点O，∴
1
1
2
OB
OE
BM
=
=
= ，
∴
3 1
2
OA
AB OB
=
−
= −=
， 如图，当O
C
E
、、
三点共线时，CE 最小，
∵
(
)
2
2
2
2
2
3 3
31
OC
OA
AC
=
+
=
+
=
，∴CE 最小值为31
1
−，故答案为：9 3
4
，31
1
−．
6.如图，Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，
6
AB =
，点P 在射线BC 上，且
2
3
AC
PB =
，则AP 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”，根据比例关系构造出相似三角形，找到点P 的运动轨迹
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是解题关键．在BC 上方，以PB为边，构造与ABC
相似的三角形，利用相似三角形的性质可以得出，所
构造相似三角形中的点A 的对应点为定点，从而确定点P 的运动轨迹为圆弧，根据点圆最值的确定方法，
即可求出AP 的最小值．
【详解】解：如图，在BC 上方，以PB为边，构造PBD
CAB
∽
．
∴
PBD
CAB
=
，
3
2
BD
PB
AB
CA
=
=
，
90
DPB
ACB
=
=
．
∴
180
90
ABD
ABC
PBD
ABC
CAB
ACB
=
+
=
+
=
−
=
，
3
9
2
BD
AB
=
=
．
∴点P 在以BD为直径的
O
上运动，点O为BD中点．
∴
1
9
2
2
r
BO
BD
=
=
=
．
连接AO ，与
O
的交点即为AP 取得最小值时，点P 的位置．
∴
2
2
15
2
AO
AB
BO
=
+
=
．
∴此时
3
AP
AO
r
=
−=
，即AP 的最小值为3．
故答案为： 3．
7．【图形感知】
如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90
∘，𝐴𝐷= 2，𝐴𝐵= 4．
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（1）求𝐶𝐷的长；
（2）【探究发现】
老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究．
在线段𝐶𝐷上取一点𝐸，连接𝐵𝐸.将四边形𝐴𝐵𝐸𝐷沿𝐵𝐸翻折得到四边形𝐴′𝐵𝐸𝐷′，其中𝐴′，𝐷′分别是𝐴，
𝐷的对应点．
其中甲、乙两位同学的折叠情况如下：
①甲：点𝐷′恰好落在边𝐵𝐶上，延长𝐴′𝐷′交𝐶𝐷于点𝐹，如图2.判断四边形𝐷𝐵𝐴′𝐹的形状，并说明理由；
②乙：点𝐴′恰好落在边𝐵𝐶上，如图3.求𝐷𝐸的长；
（3）如图4，连接𝐷𝐷′交𝐵𝐸于点𝑃，连接𝐶𝑃.当点𝐸在线段𝐶𝐷上运动时，线段𝐶𝑃是否存在最小值？若
存在，直接写出；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵∠BAD = ∠ABC = ∠BDC = 90
∘，
∴AD//BC，
∴∠ADB = ∠DBC，
∴▵ADB ∽▵DBC，
∴
AD
BD =
AB
CD，
∵∠BAD = 90
∘，AD = 2，AB = 4，
∴BD = √22 + 42 = 2√5，
∴
2
2√5 =
4
CD，
∴CD = 4√5；
（2）①四边形DBA′F是矩形，理由如下，
由折叠的性质得∠A = ∠A′ = 90
∘，∠ABD = ∠A′BD′，
∵∠ABD + ∠DBC = ∠ABC = 90
∘，
∴∠A′BD = ∠A′BD′ + ∠DBC = 90
∘，
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∴四边形DBA′F是矩形；
②延长AD和A′D′相交于点Q，连接BQ，
由折叠的性质得∠A = ∠A′ = 90
∘，∠ABD = ∠A′BD′，∠EBD = ∠EBD′，
∵点A′恰好落在边BC上，
∴AB = A′B = 4，∠ABA′ = 90
∘，
∴四边形ABA′Q是矩形，
∵AB = A′B = 4，
∴四边形ABA′Q是正方形，
∵∠ABE = ∠ABD + ∠EBD = ∠A′BD′ + ∠EBD′ = ∠A′BE =
1
2 × 90
∘= 45
∘，
∴点E在对角线BQ上，
∴DQ = AQ −AD = 2，BC = √BD2 + CD2 = √(2√5)
2 + (4√5)
2 = 10，
∵四边形ABA′Q是正方形，
∴AQ//CB，
∴▵DQE ∽▵CBE，
∴
DE
CE =
DQ
BC =
2
10 =
1
5，
∴DE = 1
6 CD = 2√5
3
（3）由折叠的性质得∠EBD = ∠EBD′，BD = BD′，
∴BE是线段DD′的垂直平分线，
∴∠BPD = 90
∘，
∴点P在以BD为直径的⊙O上，连接OC，OP，
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∴CP ≤OC −OP，即点P在OC上时，线段CP存在最小值，
∵OC = √OD2 + CD2 = √(√5)
2 + (4√5)
2 = √85，
∴线段CP的最小值为√85 −√5
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；定点定长辅助圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】
【分析】
（1）由于同旁内角互补两直线平行，则∠BDA = ∠CBD，又∠BAD = ∠BDC = 90°，则△ADB ∽
△DBC，此时可由勾股定理先求出BD，再利用相似比即可求出CD；
（2）①由折叠的性质知，∠A′ = 90°、∠DBE = ∠D′BE、∠ABE = ∠A′BE，则∠DBA′ = ∠ABC = ∠BDC = 90°，
即四边形DBA`F 是矩形；
②如图所示，延长AD 交A`D`于点Q，则由折叠的性质可判定四边形ABA`Q 为正方形，由已知知则点D 恰
好为AQ 的中点，由勾股定理可求得BC = 10，则同正方形的对边平行可判定△DQE ∽△CBE，由相似比可
DE
CE =
DQ
CB =
1
5，即DE =
1
6 CD；
（3）如图所示，取Rt △ABD的斜边BD 的中点O，则点P 在BD 为直径的⊙O上运动，由于点C 是圆外一
定点，点P 是圆上一动点，显然当点P 在线段OC 上时，CP 最小，即CP ⩾OC −OP，此时利用勾股定理求
出OC 的长即可.
8．（1）提出问题：如图1，在
ABC
中，
120
A
=
，
100
BC =
，则
ABC
的外接圆的半径是___________．
（2 ）问题拓展：如图2 ，在等边
ABC
中有一点P ，
3
AP =
，
5
BP =
，
4
CP = ，求
APC
的度数？
（3）问题应用：某校研学旅行安排在秦岭终南山下的薰衣草庄园，庄园内一块矩形薰衣草地如图3所示、
睿智小组给薰衣草地绘制图形并标上字母，在矩形ABCD中有E 、F 两点，E 在
ABC
内，F 在ACD
内，
测量
60
AB =
米、
80
BC =
米、AE
AF
=
，
240
E
F
+
=
，
60
ECF
=
，在四边形AECF 中种植普罗旺斯
薰衣草，每平方米的费用是300元．种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值是多少？
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【答案】（1）100 3
3
；（2 ）150；（3）500000 3 元
【详解】解：如图，设点O为
ABC
的外接圆圆心，连接OB
OC
、
，过点O作OD
BC
⊥
于D ，
则
1
50
2
BD
CD
BC
=
=
=
，
90
ODB
=
，∵
120
A
=
，∴
360
2
360
2 120
120
BOC
A
=
−=
−
=
，
∵OB
OC
=
，∴
30
OBC
OCB
=
=
，∵
cos
cos30
BD
OBD
OB =
=
，
∴
50
100 3
cos30
3
3
2
BD
OB =
=
=
，即
ABC
的外接圆的半径是100 3
3
，故答案为：100 3
3
；
（2 ）∵
ABC
是等边三角形，∴AC
BC
=
，
60
ACB
=
，
如图，将CP 绕点C 逆时针旋转60到CD，连接BD
PD
、
，
则CD
CP
=
，
60
PCD
=
∴
PCD
△
是等边三角形，∴
60
CDP
=
，
4
DP
CP
=
=
，
∵
PCD
ACB
=
，∴
BCD
ACP
=
，∵BC
AC
=
，CD
CP
=
，
∴
(
)
SAS
BCD
ACP
≌
，∴
BDC
APC
=
，
3
BD
AP
=
=
，
又∵
5
BP =
，∴
2
2
2
25
DP
BD
BP
+
=
=
，∴
BDP
△
是直角三角形，
90
BDP
=
，
∴
90
60
150
BDC
BDP
CDP
=
+
=
+
=
，∴
150
APC
BDC
=
=
；
（3）解：∵
60
AB =
米，
80
BC =
米，
90
ABC
=
，∴
2
2
2
2
60
80
100
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
米，
∵
240
E
F
+
=
，
60
ECF
=
，∴
360
60
240
60
EAF
=
−
−
=
，
∵AE
AF
=
，∴把
ACE
△
顺时针旋转60得到AGE
，连接CG ，则
60
GAC
=
，
AEG
F
=
，AG
AC
=
，
AGE
ACF
S
S
=
，∴AGE
是等边三角形，∴
100
CG
AC
=
=
米，
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∴
(
)
1
1
100
100 sin60
100 50 3
2500 3
2
2
ACG
S
=
=
=
平方米，
∵
240
E
F
+
=
，∴
240
AEC
AEG
+
=
，
∴
360
240
120
CEG
=
−
=
，如图，作CEG
的外接圆
O
，
∵
100
CG =
米，
120
CEG
=
，∴点E 在
CG 上运动（不含端点），
连接OE ，设OE 与CG 相交于点M ，当OE
CG
⊥
时，OM 取最小值，EM 的值最大，此时CEG
的面积最
大，∵
ACF
ACE
ACF
AGE
AECF
S
S
S
S
S
=
+
=
+
四边形
，∴
2500 3
ACG
CEG
CEG
AECF
S
S
S
S
=
−
=
−
四边形
，
∴当CEG
的面积最大时，四边形AECF 的面积最小，此时种植普罗旺斯薰衣草的费用最小值，
当OE
CG
⊥
时，如图，则
1
50
2
CM
GM
CG
=
=
=
米，
∵OE
CG
⊥
，CM
GM
=
，∴CE
GE
=
，∴
180
120
30
2
ECG
EGC
−
=
=
=
，
∴
3
50 3
·tan
?tan30
50
3
3
EM
CM
ECM
CM
=
=
=
=
米，
∴
1
50 3
5000 3
2500 3
100
2
3
3
AECF
S
=
−
=
四边形
最小值
平方米，
∴种植普罗旺斯薰衣草费用的最小值为5000 3
300
500000 3
3
=
元．
9．（1）如图1，已知线段
5
AB =
，平面内有一动点C ，且
2
CA =
，则BC 的最小值为______．
（2）如图2，Rt
ABC
△
中，
90 ,
BAC
AB
AC
=
=
，点D 为BC 的中点，点E 为
ABC
内一动点，
2
DE =
，
连接CE ，过点E 作EF
CE
⊥
，且EF
CE
=
，连接AF ，求AF 的长．
（3）某工厂计划加工如图3 所示的
ABC
零件，要求
6
BC =
分米，
30
A
=
，在AB 上有一点
1
,
3
P BP
AC
=
，
连接CP ，请你帮工人师傅计算CP 是否存在最小值，若存在，请求出CP 的最小值；若不存在，请说明理由．
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【答案】（1）3 （2）2 2 （3）存在，2 10
2
−
【分析】（1）C 在以A 为圆心，AC 为半径的圆上运动，根据点圆最值求解即可；
（2）连接AD，由等腰直角三角形的性质和三角函数可得
2
=
2
CD
CE
AC
CF =
，
DCE
ACF
=
，进而可证
∽
DEC
AFC，再由相似的性质求解即可；
（3）如图3，在AB 下方作
PBD
△
，使得
PBD
ACB
=
，
1
2
3
BD
BC
=
=
，证明PBD
ACB
∽
得到
30
BPD
CAB
=
=
，故作
PBD
△
的外接圆，圆心为点O，则当点P 在线段OC 上时，CP 最小，利用圆周
角定理和等边三角形的判定与性质证明OBD
是等边三角形得到
2
OD
OB
BD
=
=
=
，
60
OBD
=
，利用三角
形的内角和定理和角度的运算得到
90
CBO
=
，利用勾股定理求得
2 10
OC =
，进而求得由
CP
OC
OP
=
−
最小
求解即可．
【详解】解：（1）以A 为圆心，AC 为半径，交AB 于C，则
=
2
AC AC
=
，
当C 与C重合时，BC 的值最小，
3
BC
AB
AC
=
−
=
最小
，
故答案为：3；
（2）连接AD，
90 ,
BAC
AB
AC
=
=
，点D 为BC 的中点，
90 ,
45 ,
ADC
DAC
ACD
=
=
=
在Rt
ACD
△
中，
2
cos
=
2
CD
ACD
AC
=
，
,
, E
EF
CE
F
CE
⊥
=
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45
ECF
=
，
在Rt CFE
中，
2
cos
=
2
CE
ECF
CF
=
，
2
=
2
CD
CE
AC
CF
=
，
45
ACD
ECF
=
=
，
DCE
ACF
=
，
DEC
AFC
∽
，
2
=
2
DE
CE
AF
CF
=
，
2 2
2
2
DE
AF
=
=
；
（3）存在．
如图3，在AB 下方作
PBD
△
，使得
PBD
ACB
=
，
1
2
3
BD
BC
=
=
，
∵
1
3
BP
AC
=
，
∴
1
3
BP
BD
AC
BC
=
=
，
∴PBD
ACB
∽
，
∴
30
BPD
CAB
=
=
，
∴作
PBD
△
的外接圆，圆心为点O，则当点P 在线段OC 上时，CP 最小，
如图，
∵OB
OD
=
，
2
60
BOD
BPD
=
=
，
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∴OBD
是等边三角形，
∴
2
OD
OB
BD
=
=
=
，
60
OBD
=
，
∵
30
A
=
，
∴
180
150
ACB
ABC
A
+
=
−=
，
∴
150
PBD
ABC
+
=
，
∴
150
60
90
CBO
=
−
=
，
∴
2
2
2
2
6
2
2 10
OC
BC
OB
=
+
=
+
=
，
∴
2 10
2
CP
OC
OP
=
−
=
−
最小
．
故CP 的最小值为2 10
2
−．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，隐圆问题，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，等边
三角形的性质和判定，圆周角定理等，根据题意作圆，找到CP 取最小值时点P 的位置是解题的关键．
10．真实问题情境
（1）【问题提出】
如图①，直线m∥n，m，n 之间的距离为12，点 P 在直线m 上，点 E，F 在直线n 上，若∠EPF=45°，
求EF 的最小值；
（2）【问题解决】
如图②，四边形ABCD 为某运动场馆外的广场草坪设计示意图.在四边形 ABCD 中， 𝐴𝐷𝐵𝐶, 𝐴𝐷=
1
3 𝐵𝐶,AD 与 BC 之间的距离为12 米，且∠A+∠D=240°.已知种植草坪的成本为每平方米20 元.为了节省
费用，四边形 ABCD 的面积是否存在最小值?若存在，求出此时四边形ABCD 面积的最小值，并预估
此种情况下种植草坪的成本(成本的计算结果保留整数)；若不存在，请说明理由.(参考数据： √3 ≈1.73)
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【答案】（1）解：如解图①，作△PEF 的外接圆⊙O，连接OE，OF，OP.设OE=OF=OP=r，过点O 作OG⊥EF
于点 G，过点 P 作 PH⊥EF 于点 H，由题意得PH=12，
∵∠EPF=45°，∴∠EOF=2∠EPF=90°，
∵OE=OF，∴∠OEF=45°，
∴EG = OG = √2
2 OE = √2
2 r, EF = 2EG = √2r,
∵OG+OP≥PH，即 √2+2
2
r ⩾12,
∴r ⩾24 −12√2,当G 与H 重合时取等号，
∴r 的最小值为 24 −12√2,
∴EF = √2r = 24√2 −24,
∴EF 的最小值为 24√2 −24;
（2）解：存在.
如解图②，过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，作△DEC 的外接圆⊙O，过点 O 作 OH⊥EC 于点H，过点D
作DF⊥EC 于点 F，连接OD，DH，OE，
设⊙O 半径为 R，∴∠A+∠ADE=180°.∵∠A+∠ADC=240°，∴ ∠EDC=240°-180°=60°.
∵OD+OH≥DH≥DF，OH⊥EC，
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∴∠EOH=∠EDC=60°，
∴R + R ⋅cos60∘⩾12, ∴R ⩾
12
1+cos60∘,即R≥8.
∵EC=2EH=2OE·sin∠EOH=2OE· sin 60°= √3R；
∴当D，O，H 三点共线，即点 F 与点 H 重合时，EC 的值最小，此时R=8，EC=8 √3
∵AD∥BE，AB∥DE，
∴四边形ABED 为平行四边形，
∴ S 四边形ABCD=S 平行四边形ABED+S△DEC，
∵AD = 1
3 BC, ∴AD = 1
2 EC = 4√3.
∴四边形 ABCD 面积的最小值为 4√3 × 12 +
1
2 × 8√3 × 12 = 96√3(平方米)，
∴96√3 × 20 ≈96 × 1.73 × 20 ≈3322(元).
答：四边形ABCD 的面积存在最小值，四边形ABCD 面积的最小值为96 √3平方米，种植草坪的成本约为
3322 元.
【知识点】三角形的外接圆与外心；解直角三角形—边角关系；定角定高辅助圆模型；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）作△PEF 的外接圆⊙O，连接OE，OF，OP.设OE=OF=OP=r，过点O 作OG⊥EF 于点 G，
过点 P 作 PH⊥EF 于点 H，由题意得PH=12，根据OG+OP≥PH，求出r 的取值范围解题即可；
（2）过点 D 作 DE∥AB 交 BC 于点 E，作△DEC 的外接圆⊙O，过点 O 作 OH⊥EC 于点H，过点D 作DF⊥EC
于点 F，连接OD，DH，OE，设⊙O 半径为 R，根据OD+OH≥DH≥DF 求出r 的取值范围，然后求出EC 的最
小值，证明四边形ABED 为平行四边形，根据S 四边形ABCD=S 平行四边形ABED+S△DEC 解题即可.
