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专题02 平方根与立方根
常考题型·精准突破
题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根（重）
题型2 利用算术平方根的非负性解题（高频）
题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分（高频）
题型4 平方根与立方根的综合问题（高频）
题型5 与算术平方根有关的规律探索题（难）
题型6 与立方根有关的规律探索题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 求一个数的算术平方根、平方根、立方根
1．（25-26 七年级下·河南周口·期末）64
25 的算术平方根是____________，0.125
−
的立方根是____________，
9 的平方根是____________．
【答案】 8
5
0.5
−
3
±
【详解】解：64
25 的算术平方根是8
5 ，0.125
−
的立方根是0.5
−
，9
3
=
的平方根是
3
±
．
2．（25-26 七年级下·湖北黄冈·期末）16 的算术平方根是__________；(
)
2
3
−
= __________；3
27
−
=
__________．
【答案】 2 3
3
−
【详解】解：16
4
=
的算术平方根为4
2
=
；
2
( 3)
9
3
−
=
= ；
3
27
3
−
= −.
3．（25-26 七年级下·广东江门·期中）
3 27
−
= _________，
2
( 6)
−
的算术平方根为_________，81 的平方根
为_________．
【答案】 3 6
3
±
【分析】本题依次根据立方根的定义，绝对值的性质.有理数乘方的意义，算术平方根的定义，平方根的定
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义逐步计算，即可得到结果．
【详解】解：
3
27
3
3
−
= −=
；
∵
2
( 6)
36
−
=
，36
6
=
，
∴
2
( 6)
−
的算术平方根为6；
∵81
9
=
，9的平方根为3
± ；
∴81 的平方根为3
± ．
◆题型2 利用算术平方根的非负性解题
4．（25-26 七年级下·北京·期末）若
3
4
0
a
b
−+
+
=
，则(
)
2026
a
b
+
= __________．
【答案】1
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，分别求出a 和b 的值，代入即可求解．
【详解】解：
3
4
0
a
b
−
+
+
=
，
3
0
a −=
，
4
0
b+
=
，
3
a = ，
4
b = −，
(
)
(
)
(
)
2026
2026
2026
3
4
1
1
a
b
+
=
−
= −
= ．
5．（25-26 八年级下·山东东营·期末）已知
2
2
32
x
x
y
−
+
−
+
=
，则
xy = ______．
【答案】8
【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出x 的取值，再求出y 的值，最后代入计算
xy 即可．
【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：
2
0
x −
且2
0
x
−
，
解得
2
x =
，
将
2
x =
代入原等式
2
2
32
x
x
y
−
+
−
+
=
，得0
0
32
y
+
+
=
，
即
32
y =
，
将
2,
32
x
y
=
=
代入
xy ，得
2 32
64
8
xy =
=
=
．
6．（25-26 七年级下·湖南长沙·期末）已知实数m 和n 满足
10
3 10
6
m
m
n
−
+
−
=
−，则
2
2
m
n
−
的值为
__________．
【答案】8
【分析】利用算术平方根的非负性，先求出m 的取值，再代入等式求出n 的值，最后代入所求式子计算即可
得到结果．
【详解】解：∵
10
3 10
6
m
m
n
−
+
−
=
−，
∴
10
0
m−
，10
0
m
−
，
∴
10
m =
，
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即10 10
3 10 10
6
n
−
+
−
=
−，
解得
6
n =
，
将
10,
6
m
n
=
=
代入
2
2
m
n
−
，得
2
2
10
6
100
36
64
8
−
=
−
=
=
．
◆题型3 求算术平方根的整数部分和小数部分
7．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）a 为7 的整数部分，则a =__________．
【答案】2
【分析】先估算7 的大小，确定7 介于哪两个连续整数之间，即可得到7 的整数部分，即a 的值．
【详解】解：
2
2
4
=
，
23
9
=
，且4
7
9
，
4
7
9
，即2
7
3
，
7
的整数部分为2 ，即
2
a =
．
8．（25-26 七年级下·云南昭通·阶段检测）已知a 的立方根是3，b 是90 的整数部分，则a
b
+
的平方根是
______．
【答案】6
【分析】先根据立方根的定义求出a 的值，再估算无理数90 的取值范围得到整数部分b 的值，计算a
b
+
后，
根据平方根的定义求解最终结果．
【详解】解：
a
的立方根是3，
33
27
a
=
=
，
81
90
100
，
81
90
100
，即9
90
10
，
b
是
90 的整数部分，
9
b
=
，
27 9
36
a
b
+ =
+ =
，
又(
)
2
6
36
=
，
36
的平方根为6
，即a
b
+
的平方根是6
．
9．（25-26 七年级下·湖北武汉·期中）已知a 是
28 的整数部分，b 是
28 的小数部分，则a 的值是_______；
(
)
(
)
2
2
1
5
a
b
+
+
+
的立方根是_______．
【答案】 5 4
【分析】先估算无理数
28 的取值范围，确定其整数部分a ，再得到其小数部分b ，将a ，b 代入所求代数
式计算结果，最后求出结果的立方根，即可解题．
【详解】解：
25
28
36
，
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25
28
36
，即5
28
6
，
28
的整数部分
5
a =
，小数部分
28
5
b =
− ，
将
5
a =
，
28
5
b =
− 代入(
)
(
)
2
2
1
5
a
b
+
+
+
得：
(𝑎+ 1)2 + (𝑏+ 5)2 = (5 + 1)2 + (√28 −5 + 5)2
2
2
6
( 28)
=
+
36
28
=
+
64
=
，
3
4
64
=
，
64
的立方根是4 ．
◆题型4 平方根与立方根的综合问题
10．（25-26 七年级下·山东德州·期中）已知4
3
a + 的立方根是3，3a
b
+ 的算术平方根是5．
(1)求a ，b 的值；
(2)求3a
b
−的平方根．
【答案】(1)
6
a =
，
7
b =
(2)
11
【详解】（1）解：
4
3
a+
的立方根是3，3a
b
+ 的算术平方根是5，
3
4
3
3
27
a
+
=
=
，
2
3
5
25
a
b
+
=
=
，
6
a
=
，
7
b =
；
（2）解：
6
a =
，
7
b =
，
3
18 7
11
a
b
−
=
−
=
，
3a
b
−的平方根为
11
．
11．（25-26 七年级下·广西百色·期中）已知正数2
1
a−的算术平方根是3，
1
b −的立方根是2 ．
(1)求a ，b 的值；
(2)求4
5
a
b
−+ 的平方根．
【答案】(1)
5
9
a
b
=
=
，
(2)± 4
【分析】（1）根据平方根和立方根的定义可得
2
3
2
1
3
9
1
2
8
a
b
−=
=
−=
=
，
，解方程即可得到答案；
（2 ）根据（1）所求求出4
5
a b
−+ 的值，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，
2
3
2
1
3
9
1
2
8
a
b
−=
=
−=
=
，
，
5
9
a
b
=
=
，
；
（2）解：
5
9
a
b
=
=
，
，
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4
5
4 5 9 5 16
a b
−+ = −+ =
，
4
5
a b
−+ 的平方根为4
．
12．（25-26 七年级下·云南楚雄·期中）已知3
5
x−的算术平方根是2 ，5
7
x
y
−
的立方根是4.
(1)求x ，y 的值.
(2)求2
12
x
y
−
+
的平方根.
【答案】(1)
3
7
x
y
=
= −
(2) 5
【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知
2
3
5
2
x −
=
、
3
5
7
4
x
y
−
=
，据此求解可得；
（2）将x 、y 的值代入2
12
x
y
−
+
，再根据平方根的定义计算可得．
【详解】（1）解：∵3
5
x−的算术平方根是2 ，5
7
x
y
−
的立方根是4，
∴
2
3
3
5
2
5
7
4
x
x
y
−
=
−
=
，
解得：
3
7
x
y
=
= −
；
（2）解：
(
)
2
12
2 3
7
12
25
x
y
−
+
=
−−
+
=
，
则2
12
x
y
−
+
的平方根为5
．
◆题型5 与算术平方根有关的规律探索题
13．（25-26 七年级下·湖北荆门·期末）在第八章《实数》的复习课上，张老师鼓励学生对下面一个问题展开
探究活动，
【观察思考】仔细观察下列等式特征，探索规律，
第1 个等式：
3
1
1
4
2
−
=
；第2 个等式：
5
2
1
9
3
−
=
；第3 个等式：
7
3
1 16
4
−
=
；第4 个等式：
9
4
1
25
5
−
=
；……
(1)【规律发现】
19
1 100
−
= _____；
(2)用含字母n 的式子表示第n 个等式：______（
1
n 且n 为整数）；
(3)【规律应用】计算：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225
−
−
−
−
−
= ______；
(4)若
2
4049
1
x
n
−
=
符合上述规律，则x 的值为______．
【答案】(1) 9
10
(2)
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+
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(3) 1
15
(4) 2024
2025
【分析】（1）根据发现的规律即可求解；
（2）根据发现的规律即可用代数式表示；
（3）根据规律计算出每个因数，再相乘即可；
（4）根据规律计算出等式左边的结果，可求得n 的值，即可求得x 的值．
【详解】（1）解：
19
9
1 100
10
−
=
；
（2）解：第1 个等式：
2
3
2 2 1
1
1
1
4
2
2
−
−
=
−
=
；
第2 个等式：
2
5
2 3 1
2
1
1
9
3
3
−
−
=
−
=
；
第3 个等式：
2
7
2 4 1
3
1
1
16
4
4
−
−
=
−
=
；
第4 个等式：
2
9
2 5 1
4
1
1
25
5
5
−
−
=
−
=
；
……，
第n 个等式：
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
−
=
+
+
；
（3）解：
3
5
7
9
29
1
1
1
1
1
4
9
16
25
225
−
−
−
−
−
1
2
3
4
14
2
3
4
5
15
=
1
15
=
；
（4）解：∵
2
4049
1
x
n
−
=
，
∴
2
2
4049
2
1
1
1
1
n
n
n
n
n
−
−
−
=
−
=
，
即2
1
4049
n−=
，
解得
2025
n =
，
∴
2025 1
2024
2025
2025
x
−
=
=
．
14．（25-26 七年级下·安徽阜阳·期末）学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算
式．阅读观察下列算式，探求规律：
3
1
1
4
2
−
=
，
5
2
1
9
3
−
=
，
7
3
1 16
4
−
=
，…
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(1)按照此规律：
①计算：
19
1 100
−
= ________；
②第n 个式子是________；（用含n 的式子表示，且n 为正整数）
(2)直接写出结果：
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
=________．
【答案】(1)①9
10 ；②
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+
(2) 1
45
【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从
而得出答案；
②总结前几个式子的规律求解即可；
（2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可．
【详解】（1）解：①
19
9
1 100
10
−
=
；
②第1 个式子为：
2
3
1
1
1
4
2
2 1 1
2
+
−
=
−
=
，
第2 个式子为：
2
5
2 2 1
2
1
1
9
3
3
+
−
=
−
=
，
第3 个式子为：
2
7
3
1
1
16
4
2 3 1
4
+
−
=
−
=
，
第4 个式子为：
2
9
4
1
1
25
5
2 4 1
5
+
−
=
−
=
，
…
∴第n 个式子是
(
)
2
2
1
1
1
1
n
n
n
n
+
−
=
+
+
；
（2）解：
3
5
7
89
1
1
1
1
4
9
16
2025
−
−
−
−
1
2
3
4
43
44
2
3
4
5
44
45
=
1
45
=
．
15．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式：
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
S =
+
+
= +
−
=
；
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2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
2
3
S =
+
+
= +
−
=
；
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
12
3
4
S =
+
+
= +
−
=
；
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
20
4
5
S =
+
+
= +
−
=
．
请你根据上面四个等式提供的信息，解答下列问题：
(1)
5
2
2
1
1
1
5
6
S =
+
+
= _______________ = ______________；
(2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用m （m 为正整数）表示的等式：___________________；
(3)利用上述规律计算：
65
1
64
81
+
；
(4)求：
1
2
3
2026
S
S
S
S
+
+
+
+
．
【答案】(1)
1
1
1
5
6
+
−
；
1
130
(2)
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
S
m
m
m
m m
m
=
+
+
= +
−
= +
+
+
+
(3)
1
172
(4)
2026
2026 2027
【分析】（1）根据已知等式的规律可得结论；
（2）根据已知等式的规律可得结论；
（3）先将
65
1
64
81
+
化为
2
2
1
1
1
8
9
+
+
，再根据已知等式的规律可得答案；
（4）运用
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
m
S
m
m
m
m
=
+
+
= +
−
+
+
进行计算即可．
【详解】（1）解：
5
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
5
6
5
6
30
S =
+
+
= +
−
=
，
（2）解：
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
S =
+
+
= +
−
=
；
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
6
2
3
S =
+
+
= +
−
=
；
3
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
3
4
12
3
4
S =
+
+
= +
−
=
；
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
4
5
20
4
5
S =
+
+
= +
−
=
．
……
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(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
S
m
m
m
m m
m
=
+
+
= +
−
= +
+
+
+
；
（3）解：
65
1
64
81
+
1
1
1
64
81
=
+
+
2
2
1
1
1
8
9
=
+
+
1
1
8 9
= +
1
172
=
．
（4）解：
1
2
3
2026
S
S
S
S
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
2026
2027
= + −
+ +
−
+ +
−
+
+ +
−
= 1 + 1 + ⋯+ 1
⏟
2026 个
+ 1 −
1
2027 + (−1
2 + 1
2) + (−1
3 + 1
3) + ⋯+ (−
1
2026 +
1
2026)
2026
2026 2027
=
．
◆题型6 与立方根有关的规律探索题
16．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）小明想要探究被开方数末尾带“0”时，算术平方根与立方根的变化规
律．
已知1
1
= ，则100
10
=
，10000
100
=
；已知9
3
=
，则900
30
=
，90000
300
=
；
已知3 1
1
= ，则3 1000
10
=
，3 1000000
100
=
；已知3 8
2
=
，则3 8000
20
=
，3 8000000
200
=
；
(1)根据小明的发现，请填空：若
2.5
a =
，那么100a = ；若3
1.2
b = −
，那么3 1000000b = ．
(2)现有一个长方形，其长和宽分别用x ，y 来表示，且满足3
8
4
x
y
+
−
=
．
①求该长方形的周长C ．
②若将长方形的周长扩大为原来的100 倍，得到新的周长C，请利用（1）中所得规律，求出C的值．
【答案】(1)25；120
−
(2)①144；②120
【分析】（1）观察可知，被开平方的数的小数点每向右移动两位，那么其算术平方根的小数点就向右移动
一位，被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么其立方根的小数点就向右移动一位，据此可得答案；
（2）①根据立方根的定义可得
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，求出x
y
+
的值即可得到答案；②根据（2）①所求可得
C的值，求出C 的算术平方根，即可求出C的算术平方根．
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【详解】（1）解：由题意得，若
2.5
a =
，那么100
25
a =
；
若3
1.2
b = −
，那么3 1000000
120
b = −
；
（2）解：①∵3
8
4
x
y
+
−
=
，
∴
3
8
4
64
x
y
+
−
=
=
，
∴
72
x
y
+
=
，
∴(
)
2
144
x
y
+
=
，
∴该长方形的周长C 为144；
②由（2）①得
14400
C=
，
∵
144
12
C =
=
，
∴
14400
120
C =
=
．
17．（25-26 七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题：
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
a
…
0.01
x
1
y
100
…
(1)表格中x =________，y =________；
(2)从表格中探究a 与
a 数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知10
3.16
，则1000≈________；
②已知3.24
1.8
=
，若
180
a =
，则a =________；
(3)拓展：已知3 0.214
0.5981
，3 2.14
1.289
，3 21.4
2.776
，则3 2140 =________．
【答案】(1)0.1；10；
(2)①31.6；②32400；
(3)12.89
【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系．
【详解】（1）解：
0.01
0.1
x =
=
；
100
10
y =
=
．
（2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位．
被开方数从10到1000，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位．
10
3.16
，
1000
31.6
≈
．
②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位．
算术平方根从1.8变成180．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位．
3.24
1.8
=
，
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32400
a
=
．
（3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位．
3 2.14
1.289
，
∵被开方数从2.14 变为2140，小数点向右移动三位，
立方根小数点向右移动一位，
∴3 2140
12.89
．
18．（25-26 七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出1728
−
的立方根？他
进行了如下步骤：
①首先进行了估算：因为
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，所以3 1728 是两位数；
②其次观察了立方数：31
1
= ，3
2
8
=
，33
27
=
，3
4
64
=
，35
125
=
，3
6
216
=
，3
7
343
=
，38
512
=
，3
9
729
=
；
猜想3 1728 的个位数字是2 ；
③接着将1728往前移动3位小数点后约为1，因为31
1
= ，
3
2
8
=
，所以3 1728 的十位数字应为1，于是猜想
3 1728
12
=
，验证得：1728的立方根是12；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到3
1728
12
−
= −
，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个
数的立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) 3
3375
−
= ；
(2)若3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，则x = ；
(3)已知3
2
2
x
x
−
+
=
，且3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求x ，y 的值．
【答案】(1)
15
-
(2)
5
(3)
1
2
3
x
y
=
=
或
2
4
3
x
y
=
=
或
3
2
x
y
=
=
【分析】（1）依照题干中的解题思路求出3 3375 ；
（2）由3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
可得关于x 的一元一次方程，解方程即可求出x 的值；
（3）根据3
2
2
x
x
−
+
=
可得3
2
2
x
x
−
=
−，由立方根等于它本身的数有0 和1
，可得：
2
x =
或3或1，分
别求出当
2
x =
或3或1时，3 1 2x
−
的值，再根据3 3
1
y −与3 1 2x
−
互为相反数，求出y 的值．
【详解】（1）解：
3
10
1000
=
，
3
100
1000000
=
，1000
3375 1000000
，
3 3375
是两位数，
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35
125
=
，
3 3375
的个位数字应是5，
将3375的小数点向前移动3后约为3，
31
1
=
，
3
2
8
=
，
3 3375
的十位数字应为1，
3 3375
15
=
，
依据“负数的立方根是负数”得到：3
3375
15
−
= −
；
（2）解：
3
3
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
(
)
5
4
10
x
x
−
= −
+
，
解得：
5
x = ；
（3）解：
3
2
2
x
x
−
+
=
，
3
2
2
x
x
−
=
−
，
(
)
3
2
2
x
x
−
=
−，
2
0
x
−
=
或1或1
−，
2
x
=
或3或1，
当
1
x = 时，可得：
3
3 1 2
1
1
x
−
=
−= −，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3 3
1
1
y
−
= ，
解得：
2
3
y =
，
即
1
2
3
x
y
=
=
；
当
2
x =
时，可得：3
3
3
1 2
3
3
x
−
=
−= −
，
3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
3
y
−=
，
即3
1
3
y −=
，
解得：
4
3
y =
，
即
2
4
3
x
y
=
=
；
当
3
x = 时，可得：3
3
3
1 2
5
5
x
−
=
−= −
，
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3 3
1
y −
与3 1 2x
−
互为相反数，
3
3 3
1
5
y
−=
，
即3
1
5
y −=
，
解得：
2
y =
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·广东广州·期末）下列计算正确的是（ ）
A．
34
6
6
34
−
=
−
B．
16
4
=
C．
4.9
0.7
=
D．3 64
8
=
【答案】A
【分析】本题考查绝对值、平方根、算术平方根与立方根的计算，根据相关定义和性质逐一判断选项即可．
【详解】解：A、∵
25
25
=
，
2
6
36
=
，
∴5
34
6
，
∴34
6
0
−
，
根据绝对值的性质，负数的绝对值等于它的相反数，可得
34
6
6
34
−
=
−
，A 计算正确；
B、
16
4
4
=
，B 计算错误；
C、
2
0.7
0.49
4.9
=
，故
4.9
0.7
，C 计算错误；
D、∵
34
64
=
，∴3 64
4
8
=
，D 计算错误．
2．（25-26 七年级下·贵州遵义·期中）已知a，b 在数轴上的位置如图所示，化简
(
)
3
2
3
a
a
b
a
b
−
+
−
−
的结
果是（ ）
A．a
B．
2
a
b
−
C．
2
a
b
−+
D．3a
−
【答案】C
【分析】先根据图示判断出
0
a
，
0
b
，
0
a
b
+
，然后化简进行计算即可．
【详解】解：∵a 在0 的左边，b 在0 的右边，且a
b
，
∴
0
a
，
0
b
，
0
a
b
+
，
∴
(
)
3
2
3
a
a
b
a
b
−
+
−
−
,
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(
) (
)
a
a
b
a
b
= −+
+
−
−
,
a
a
b
a
b
= −+ + −+ ,
2
a
b
= −+
．
3．（25-26 八年级下·安徽马鞍山·期末）若一直角三角形的两边长x，y 满足
(
)
2
1
2
0
x
y
−+
−
=
，则此三角形
第三边的边长为（ ）
A．3
B．3 或3
C．3 或5
D．5 或3
【答案】D
【分析】先利用非负数的性质求出x 和y 的值，再分两种情况结合勾股定理计算第三边，需要考虑已知两边
均为直角边，或较长边为斜边两种情况．
【详解】解：∵
1
0
x −
，
2
(
2)
0
y −
，且
2
1
(
2)
0
x
y
−+
−
=
∴
1
0
x −=
，
2
(
2)
0
y −
=
，
解得
1
x = ，
2
y =
分两种情况计算第三边：
(1)当x ，y 都为直角边时，第三边为斜边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
1
2
5
=
+
=
，
(2)当y 为斜边，x 为直角边时，第三边为另一条直角边，由勾股定理得：
第三边长
2
2
2
1
3
=
−
=
，
∴此三角形第三边的边长为5 或3 ．
4．
（25-26八年级下·四川凉山·期末）已知
1
1
1
2
2
−
=
；
2
2
2
2
5
5
−
=
；
3
3
3
3
10
10
−
=
；
4
4
4
4
17
17
−
=
；
；按此规律，若
6
6
a
a
b
b
−
=
（a ，b 为正整数），则(
)
2026
6a
b
−
的值为（ ）
A．1
B．1
−
C．2026
D．2026
−
【答案】A
【分析】先观察已知等式总结a 和b 的变化规律，再求出,a b 的值，代入式子计算即可．
【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数n ，有
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
−
=
+
+
，
对比
6
6
a
a
b
b
−
=
，可得
6
a =
，
2
1
b
a
=
+ ，
∵
6
a =
，
∴
2
6
1
37
b =
+ =
，
∴6
6 6 37
1
a b
−= −
= −，
∴
2026
2026
(6
)
( 1)
1
a
b
−
= −
= ．
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5．（25-26 八年级下·贵州铜仁·阶段检测）图1 是第七届国际数学教育大会(
)
7
ICME −
的会徽图案，它是由
一串有公共顶点O 的直角三角形(如图2 所示)演化而成的．如果图2 中
1
1
2
2
3
7
8
1
OA
A A
A A
A A
=
=
=
=
=
，那
么
8
OA 的长为( )
A．5
B．6
C．2 2
D．3
【答案】C
【分析】
1
1
OA = ，根据勾股定理可得
2
2
2
1
1
2
OA =
+
=
，
(
)
2
2
3
2
1
3
OA =
+
=
，找到
n
OA
n
=
的规律，
即可计算
8
OA 的长．
【详解】解：∵
1
1
OA = ，
∴由勾股定理可得
2
2
2
2
2
1
1
2
1
1
2
OA
OA
A A
=
+
=
+
=
，
(
)
2
2
2
2
3
2
2
3
2
1
3
OA
OA
A A
=
+
=
+
=
，
……
n
OA
n
=
，
∴
8
8
2 2
OA =
=
．
二、填空题
6．（25-26 七年级下·湖北省直辖县级单位·期末）若n 为正整数，且满足
7
1
n
n
+ ，则n =________．
【答案】2
【分析】估算7 的取值范围，确定7 介于两个连续正整数之间，即可求解．
【详解】解：
4
7
9
，
4
7
9
，即2
7
3
，
又
7
1
n
n
+
，且n 为正整数，
2
n
=
．
7．（25-26 七年级下·山东德州·期末）16
25 的算术平方根是__________，
1
27
−
的立方根是__________．
【答案】 4
5 /0.8
1
3
−
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【分析】根据算术平方根与立方根的定义即可得到结果．
【详解】解：
2
4
16
5
25
=
，且算术平方根为非负数，
16
25
的算术平方根是4
5 ，
3
1
1
3
27
−
= −
，
1
27
−
的立方根是
1
3
−
．
8．（25-26 七年级下·四川广安·期末）如果
(
)
2
1
2
0
a
b
−+
+
=
，则(
)
2026
a
b
+
的平方根是_________．
【答案】1
【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出a ，b 的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根
即可．
【详解】解：由题意可得
1
0
a −
，
2
(
2)
0
b +
，
2
1
(
2)
0
a
b
−
+
+
=
，
∴
1
0
a−=
，
2
0
b+
= ，
解得
1
a = ，
2
b = −．
将
1
a = ，
2
b = −代入得：
2026
2026
2026
(
)
(1 2)
( 1)
1
a
b
+
=
−
= −
= ．
2
( 1)
1
=
，
(
)
2026
a
b
+
的平方根是1
．
9．（25-26 七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是3
2
a −和
14
a+
，则这个正数是
__________．
【答案】121
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解a ，再计算得到这个正数．
【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数，
(
) (
)
3
2
14
0
a
a
−
+
+
=
，
合并同类项得 4
12
0
a +
=
，
解得
3
a = −，
将
3
a = −代入得其中一个平方根为
14
3 14
11
a+
= −+
=
，
因此这个正数为
2
11
121
=
10．（25-26 七年级下·广东惠州·期末）利用计算器计算出的表中各数的算术平方根如下：
…
0.0625
0.625
6.25
62.5
625
6250
62500
…
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…
0.25
0.7906
2.5
7.906
25
79.06
250
…
根据以上规律，若
25.8
5.08
，2.58
1.61
，则0.258 ____________．
【答案】0.508
【分析】通过观察表格数据，得到被开方数小数点移动与算术平方根小数点移动的对应规律，再运用规律
计算即可得到结果．
【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应
向右（或向左）移动一位，
25.8
5.08
，且0.258是25.8 的小数点向左移动两位得到的，
0.258
0.508
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·吉林·期末）已知
2
a+
的立方根是2 ，3
1
a
b
+
−的算术平方根是4 ．
(1)求a ，b 的值；
(2)求3
6
a
b
−+ 的平方根．
【答案】(1)
6
a =
，
1
b = −
(2) 5
【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a 与b 的值即可；
（2）把a 与b 的值代入计算，再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵
2
a+
的立方根是2 ，
∴
3
2
2
8
a +
=
=
，
解得：
6
a =
，
∵3
1
a
b
+
−的算术平方根是4，
∴
2
18
1
4
16
b
+
−=
=
，
解得：
1
b = −，
∴
6
a =
，
1
b = −；
（2）解：
(
)
3
6
3 6
1
6
25
a
b
−
+
= −−
+
=
，
∴3
6
a
b
−+ 的平方根是5
．
12．（25-26 八年级上·河南平顶山·阶段检测）观察下列式子：
①3
3
8
8
2
( 2)
0
+
−=
+ −
=
；②3
3
1
1
1 ( 1)
0
+
−= + −
=
；
③3
3
1000
1000
10
( 10)
0
+
−
=
+ −
=
；④3
3
1
1
1
1
0
27
27
3
3
+
−
=
+ −
=
．
根据上述等式反映的规律，回答下列问题：
(1)根据上述等式的规律，写出一个类似的等式： ；
(2)由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若
0
=
，
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则3
3
0
a
b
+
=
反之也成立；
(3)根据（2）中的结论，解答问题：若3 6
2x
−
与3
1
x + 的值互为相反数，求x 的立方根．
【答案】(1)
解：依题意，3
3
64
64
4
( 4)
0
+
−
=
+ −
= （答案不唯一）
(2)a
b
+
(3) 3 7
【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察题干的过程，即可作答．
（2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答．
【详解】（1）略
（2）解：由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，
若
0
a
b
+
=
，则3
3
0
a
b
+
=
反之也成立；
故答案为：a
b
+
，
（3）解：∵3 6
2x
−
与3
1
x + 的值互为相反数，
∴(6
2 )
(
1)
0
x
x
−
+
+
= ，
解得
7
x =
，
∴x 的立方根是3 7 ．
13．（25-26 七年级下·河南许昌·期末）【观察思考】观察下列各式的计算结果，探索规律．
①
4 9
6
=
，
4
9
6
=
；
②16 25
20
=
，16
25
20
=
；
③36 49
42
=
，36
49
42
=
；
【规律发现】
(1)计算：9 25
= ________；100 121
= ________；
(2)用字母表示你发现的规律________；
(3)【规律应用】根据上述规律可以对一些式子进行化简，例：27
9 3
9
3
3 3
=
=
=
．请你试着化简
下面各式：8 =________；18 = ________．
【答案】(1)
15；110
(2)
当
0
a
，
0
b
时，
ab
a
b
=
(3)
2 2 ；3 2
【分析】（1）根据各式的计算过程及结果，运用探索得到的规律计算即可；
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（2）根据各式的计算过程及结果，得到规律即可；
（3）根据得到的规律及给出的例题形式依次化简各式即可．
【详解】（1）解：根据规律可知9 25
9
25
15
=
=
；100 121
100
121
110
=
=
；
（2）解：根据下列各式的计算结果：
①
4 9
6
=
，
4
9
6
=
；
②16 25
20
=
，16
25
20
=
；
③36 49
42
=
，36
49
42
=
；
发现，当
0
a
，
0
b
时，
·
ab
a
b
=
；
（3）解：8
4 2
4
2
2 2
=
=
=
；18
9 2
9
2
3 2
=
=
=
．
14．（25-26 八年级上·河南南阳·阶段检测）观察下表：
a
0．0001
0.01
1
100
10000
a
0.01
0.1
1
10
100
(1)由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的_______________的小数点就相应
的向左或向右移动____位；
(2)根据你发现的规律填空：①已知5.217
2.284
521.7
22.84
，
．
则
0.05217 ___________，
52170
−
___________；
②若
0.02284
x
，则x ___________；
(3)拓展提升：被开方数的小数点向左或向右每移动____位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动
____位；
①已知3 0.000456
0.07697
，则
3 456
−
___________；
②已知3
3
3
1.442
30
3.107
，
，则3 3000 ___________．
【答案】(1)2，算术平方根，1
(2)①0.2284 ；228.4
−
；②0.0005217
(3)3，1；①7.697
−
；②14.42
【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键．
（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题；
（2）①利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；②利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据
答案；
（3）①被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解；②被开方数每移动三位，立
方根就相应移动一位．利用此规律即可求解．
【详解】（1）解：由上表发现的结论：被开方数的小数点向左或向右每移动2 位，它的算术平方根的小数
点就相应的向左或向右移动1 位；
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故答案为：2，算术平方根，1
（2）解：①∵5.217
2.284
521.7
22.84
，
．
∴0.05217
0.2284
，
52170
228.4
−
−
；
故答案为：0.2284 ；228.4
−
②∵
0.02284
x
，
∴
0.0005217
x
；
故答案为：0.0005217
（3）解：被开方数的小数点向左或向右每移动3 位，它的立方根的小数点就相应的向左或向右移动1 位；
故答案为：3；1
①∵3 0.000456
0.07697
，
∴
3 456
7.697
−
−
；
故答案为：7.697
−
②∵3
3
3
1.442
30
3.107
，
，
∴3 3000
14.42
．
故答案为：14.42
15．（25-26 七年级下·陕西·期末）先阅读，再解决问题：
在二次根式的世界里，有一类特别“有规律”的等式，比如：
2
2
1
1
1
3
1
1 1
1
2
2
2
+
+
= + −
=
；
2
2
1
1
1
1
7
1
1
2
3
2
3
6
+
+
= +
−
=
；
2
2
1
1
1
1
13
1
1
3
4
3
4
12
+
+
= +
−
=
(1)观察以上的“魔法等式”，直接写出结果：
2
2
1
1
1 13
14
+
+
= ________ = ________；
(2)运用以上你发现的规律计算：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
．
【答案】(1)
1
1
1 13
14
+
−
，183
182
(2)
99
99100
【分析】（1）根据材料提示的方法计算即可；
（2）根据材料提示的方法展开，最后计算加减即可．
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【详解】（1）解：根据题意，
2
2
1
1
1
1
183
1
1
13
14
13
14
182
+
+
= +
−
=
；
（2）解：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
2
2
3
3
4
99
100
=
+ −
+
+
−
+
+
−
+
+
+
−
1
1
1
1
1
1
1
1 1 99
2
2
3
3
4
99
100
= +
+ −
+
−
+
−
+
+
−
1
100
100
=
−
99
99100
=
．
