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1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题02 三角形全等的基本判定方法 常考题型·精准突破 题型1 全等的性质和SAS 综合（高频） 题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合（高频） 题型3 全等的性质和SSS 综合（高频） 题型4 全等的性质和HL 综合（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 全等的性质和SAS 综合 1． 【答案】(1)证明：∵ = AF DC， ∴AF CF DC CF − = − ， 即AC DF = ． 在ABC 和DEF 中： AC DF A D AB DE = = = ， ∴ (SAS) ABC DEF ≌ ． (2) BC EF = ，且BC EF ∥ ，证明如下： 由（1）得ABC DEF ≌ ， ∴BC EF = ， ACB DFE = ． ∴ BCF EFC = ， ∴BC EF ∥ ． 综上，BC EF = ，且BC EF ∥ ． 2． 【答案】(1)解：ABC AEC ≌ ，理由如下： ∵CA 平分 BCE ， ∴ ACB ACE = ， 在ABC 和 AEC △ 中， 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 BC EC ACB ACE AC AC = = = ， ∴ ( ) SAS ABC AEC ≌ ． （2）解：由（1）已得：ABC AEC ≌ ， ∴ BAC EAC = ， AEC B = ， ∴ 2 BAF BAC EAC DAE DAF EAC DAE DAF = + + + = + + ， ∵ 2 BAF CAD = ， CAD EAC DAE = + ， ∴ ( ) 2 2 EAC DAE DAF EAC DAE + + = + ， ∴ DAE DAF = ， ∵ 15 DAF = ， 85 B = ， ∴ 15 DAE = ， 85 AEC = °， ∴ 85 15 70 ADE AEC DAE = − = − = ． 3． 【答案】(1) AC BD = ，理由如下： ∵ AOB COD = ， ∴ AOB COB COD COB + = + ，∴ AOC BOD = ， 在AOC 和BOD 中， OA OB AOC BOD OC OD = = = ， ∴ ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴AC BD = ． （2）解：由（1）可得， ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴ OAC OBD = ， 在AOQ 和BPQ 中， BQP AQO = ， OAQ QBP = ， ∴ 50 BPQ AOQ = = ∴ 180 180 50 130 APD BPQ = − = − = ． ◆题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合 4． 【答案】(1)证明：∵ BAF CAE = ， ∴ BAF FAC CAE FAC − = − ， 3 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ BAC FAE = ， ∵AB AD = ， B D = ， ∴ ( ) ABC ADE ASA ≌ ， ∴BC DE = ． （2）解：由（1）得 ABC ADE △ ≌△ ， ∴ 35 D B = = ∵ 78 GFD AFB = = ∴ 180 67 DGB GFD D = − − = ∵DE AC ， ∴ 67 ACG DGB = = ， ∴ 67 35 32 CAB ACG B = −= − = （三角形外角性质） 5． 【答案】(1)证明：∵CD是ABC 的AB 边上的高，EF DC ⊥ ， ∴ 90 ADC CFE = = ， ∴ 90 DAC ACD + = ， ∵ 90 ACE = ， ∴ 90 FCE ACD + = ， ∴ FCE DAC = ， 在ADC 和CFE 中， 90 ADC CFE DAC FCE AC CE = = = = ， ∴ ( ) AAS ADC CFE △ ≌△ ； (2)证明：由（1）可得ADC CFE ≌ ， ∴CD EF = ， ∵CD BD = ， ∴BD EF = ， 在 BDH △ 和 EFH △ 中， 90 BDH EFH BHD EHF BD EF = = = = ， ∴ ( ) AAS BDH EFH ≌ ， ∴DH FH = ； （3）解：由（1）可得ADC CFE ≌ ， 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴AD CF = ，CD EF = ， 由（2）可得DH FH = ， ∵BD CD = ， 4 DC = ， ∴ 4 BD CD EF = = = ， ∵ 8 ABC HCE S S = ， ∴1 1 4 8 4 2 2 AB CH = ， ∴ 8 AB CH = ， ∵ 4 AB AD BD AD CD CF CD FH CH CD DH CH = + = + = + = − + = − + ， ∴ 4 8 DH CH CH − + = ， ∴ 4 9 DH CH + = ， ∴ 4 10 DH CH CH + + = ， ∴ 4 10 CD CH + = ， ∴4 4 10CH + = ， ∴ 4 5 CH = ， ∴ 32 8 5 AB CH = = ． 6． 【答案】(1)解：AD CF = ，理由如下： ∵CE CD ⊥ ，EF AC ⊥ ， 90 A = ， ∴ 90 DCE CFE A = = = ， ∴ 90 ACD ACE + = ， 90 FEC ACE + = ， ∴ ACD FEC = ， 在ACD 和FEC 中， 90 A CFE ACD FEC CD EC = = = = ， ∴ ( ) AAS ACD FEC ≌ ， ∴AD CF = ． （2）解：∵AB AC = ， 6 AB = ， ∴ 6 AC = ， ∵ 2 AD = ， 90 A = ，即AB AC ⊥ ， ∴ 1 1 2 6 6 2 2 ACD S AD AC = = = ， 5 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由（1）已证：ACD FEC ≌ ， ∴AC EF = ， 2 AD CF = = ， ∴AB EF = ， 4 AF AC CF = − = ， ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFM = ， 在ABM 和 FEM △ 中， 90 A EFM AMB FME AB FE = = = = ， ∴ ( ) AAS ABM FEM ≌ ， ∴AM FM = ， 又∵ 4 AM FM AF + = = ， ∴ 1 2 2 AM FM AF = = = ， ∴ 4 CM CF FM = + = ， ∴ 1 1 4 6 12 2 2 BCM S CM AB = = = ， ∵ BNC △ 的面积为 1S ，四边形ADNM 的面积为 2 S ， ∴ ( ) ( ) 1 2 1 2 CMN CMN S S S S S S − = + − + BCM ACD S S − = 12 6 = − 6 = ． (3)解：点M 是线段BE的中点，理由如下： ∵CE CD ⊥ ，EF AC ⊥ ， 90 BAC = ， ∴ 90 CE C D F AD = = = ， ∴ 90 ACD D + = ， 90 ACD ECF + = ， ∴ D ECF = ， 在ACD 和FEC 中， 90 CAD F D ECF CD EC = = = = ， ∴ ( ) AAS ACD FEC ≌ ， ∴AC EF = ， ∵AB AC = ， ∴AB EF = ， 6 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在ABM 和 FEM △ 中， 90 BAM F AMB FME AB FE = = = = ， ∴ ( ) AAS ABM FEM ≌ ， ∴BM EM = ， 即点M 是线段BE的中点． ◆题型3 全等的性质和SSS 综合 7． 【答案】(1) 证明：∵AB BC CD BC + = + ，即AC BD = ， 在EAC 与FBD 中， EA FB EC FD AC BD = = = ， ∴ ( ) SSS EAC FBD ≌ ， ∴ E F = ； （2）解：∵EAC FBD ≌ ， 40 A = ∠ ， 80 D = ， ∴ 80 ECA D = = ， 40 FBD A = = ， ∴ 180 180 40 80 60 BPC FBD ACE = − − = − − = ， ∴ 60 EPF BPC = = ． 8． 【答案】(1) 证明：∵点A、D、C 、B 在同一条直线上，AD BC = ， ∴AC BD = ， 又∵AE BF = ，CE DF = ． ∴ ( ) SSS ACE BDF ≌ ， ∴ EAC FBD = ， ∴AE FB (2) 证明：∵连接EF 交CD于点G ． ∴ AGE BGF = ， 7 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ EAC FBD = ，AE BF = ． ∴ ( ) AGE BGF AAS ≌ ， ∴AG BG = ， ∵AD BC = ∴AG AD BG BC − = − ，即：CG DG = ． 9． 【答案】(1) BF DE = ， 理由如下： ∵AF BE ⊥ ， 90 BAF DAE = = ， 在 ABF △ 与ADE 中，AB AD = ， BAF DAE AF AE = = ， ∴ ( ) ABF ADE SAS ≌ BF DE = ； （2）解：在ABC 与ADC 中， , , , AB AD AC AC BC DC = = = ∴ ( ) ABC ADC SSS ≌ ， 110 ABC ADC = = ， BAC DAC = ， 1 45 2 BAC DAC BAF = = = ， 180 25 ACD ADC DAC = − − = ． ◆题型4 全等的性质和HL 综合 10． 【答案】(1)证明：∵CF BD ⊥ ， ∴ 90 CFB CFD = = ， 在Rt CFD 和Rt CFB 中， CF CF CD CB = = ， ∴ ( ) Rt CFD Rt CFB HL ≌ ， ∴BF DF = ，即F 为BD的中点； (2)证明：∵ 90 , BFC CAB CEA BEF = = = ， ∴ ABD ACE = ， 180 90 BAD CAB = − = ， 又∵ , 90 AB AC CAE BAD = = = ， 8 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) CAE BAD ASA ≌ ， ∴CE BD = ， 由（1）知：F 为BD的中点， ∴ 2 CE BD BF = = . 11． 【答案】(1)证明：∵ , DE AB DF AC ⊥ ⊥ ， ∴ 90 AED AFD = = ， ∵AE AF = ，AD AD = ， ∴ ( ) , Rt ADE Rt ADF H L ≌ ， ∴ DAE DAF = ， ∴AD平分 BAC ． （2）解：∵ADE ADF ≌ ， ∴ 3 DF DE = = ， ∵ 10, AB AC + = ∴ ( ) 1 1 3 15 2 2 2 ABC ABD ADC S S S AB DE AC DF AB AC = + = + = + = ． 12． 【答案】(1)证明：∵在ABC 中， 90 ACB = ，DE AB ⊥ 于点E， 90 ACB AED AEF = = = ， 在ADE 和ABC 中， AED ACB DAE BAC AD AB = = = ， ∴ ( ) ADE ABC AAS ≌ ， (2)证明：连接AF ， 由（1）得：ADE ABC ≌ ， AE AC = ， 90 ACB AEF = = ， AEF 和 ACF △ 是直角三角形， 在Rt AEF 和Rt ACF △ 中， 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AF AF AE AC = = ， ∴ ( ) Rt AEF Rt ACF HL ≌ ， EF FC = ； （3）解：由（1）得：ADE ABC ≌ ， ∴ 2 1 3 DE BC BF FC = = + = + = ， 3 1 4 DF DE EF DE CF = + = + = + = ． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．C 3．C 4．C 二、填空题 5．50 6．25/25 度 7．3 8．12 三、解答题 9． 【答案】（1）解：AC 平分 BAD ，理由如下： 在ABC 和ADC 中， AB AD CB CD AC AC = = = ( ) SSS ABC ADC ≌ ， BAC DAC = ， AC 平分 BAD ； （2）解：在ABD 中，AB AD = ，AC 平分 BAD ， AC BD ⊥ ， 筝形ABCD的面积为：1 6 24 2 AC = ， 10 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 AC = ． 10． 【答案】(1)见解析 (2)130 【详解】（1）证明： BE FC = BE EC FC EC + = + 即BC FE = 90 A D = = 在Rt ABC △ 和Rt DFE 中 AB DF BC FE = = ( ) Rt Rt HL ABC DEF ≌ （2）解：∵ 25 B = ， 90 A = ∴ 65 ACB = ∵Rt Rt ABC DEF △ ≌ △ ∴ 65 DEF ACB = = ∴ 130 DEF ACB = + = 11． 【答案】(1)证明：∵AD是ABC 的中线， ∴BD CD = ， ∵BE AD ⊥ ，CF AD ⊥ ， ∴ 90 BED CFD = = ， 在BED 和CFD 中， 90 BED CFD BDE CDF BD CD = = = = ∴ ( ) BED CFD AAS ≌ ， ∴DE DF = ． （2）解：由（1）BED CFD ≌ ， ∴DE DF = ，BE CF = ， ∵BE AD ⊥ ，CF AD ⊥ ， ∴ 90 BEG CFA = = ， ∵ BGE CAF = ， ∴ ( ) BEG CFA AAS ≌ ， ∴GE AF = ， 11 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵ 2 DE = ， ∴ 4 GE DE DF FG FG = + + = + ， ∴AF FG AG = + ， ∴4 FG FG AG + = + ， ∴ 4 AG = ． 12． 【答案】(1) COE OBD ≌ 解： OB OC ⊥ ，CE OA ⊥ ，BD OA ⊥ ， 90 ODB CEO BOC = = = ， 90 BOD COE + = ， 90 COE C + = ， BOD C = ． 90 ODB CEO = = ，OB OC = ， ( ) COE OBD AAS ≌ ． （2）解： 50cm OA = ， 10cm AD = ， 50 10 40cm OD OA AD = − = − = ． 由（1）可知COE OBD ≌ ， 40cm CE OD = = ． 13． 【答案】(1)①见解析；② 70 CGE = (2) FG BG DF = + ，见解析 【详解】（1）解：①证明：∵ 70 EAC DAB = = ， ∴ DAB BAE BAE EAC + = + ， 即 DAE BAC = ， 在ABC 与ADE 中， AB AD DAE BAC AC AE = = = ， ∴ ( ) SAS ABC ADE ≌ ； ②解：∵ABC ADE ≌ ， ∴ C E = ， ∵ AOC GOE = ， ∴ 180 180 70 CGE E GOE C AOC CAE = −− = −− = = ， 故 70 CGE = ． 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：FG BG DF = + ， 理由：过点A作AH BC ⊥ 于点H ，如图所示： ∴ 90 AHC AHB = = ， ∵AF DE ⊥ ，垂足为F ， ∴ 90 AFE AFD = = ， ∴ 90 AHB AFE = = ， 在ACH 和AFE 中， 90 AHB AFE C E AC AE = = = = ， ∴ ( ) AAS ACH AFE ≌ ， ∴AH AF = ， ∵AG AG = ， ∴ ( ) Rt Rt HL AFG AHG ≌ ， ∴FG HG = ， ∵AD AB = ，AF AH = ， ∴ ( ) Rt Rt HL AFD AHB ≌ ， ∴BH DF = ， ∴FG HG BG BH BG DF = = + = + ． 14． 【答案】（1）解：过点E 作EF AD ∥ ，如图所示： ∵AD BC ， ∴AD BC EF ∥ ∥ ， ∴ 2 30 0 DEF C E D C F = = = = , ， 13 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 20 30 50 DEC DEF CEF + = + = = ． （2）解： 90 F G − = ， 过程如下： ∵点F 是ADE 内角平分线交点， ∴1 1 2 2 ADE FDE AED FED = = , , ∴( ) 1 2 ADE AED FDE FED + = + ∵ 180 F FDE FED + + = ， 180 ADE AED A + += 则 1 1 1 180 ( ) 180 (180 ) 90 2 2 2 F ADE AED A A = − + = − + − = 延长BC 至点T ，如图所示： ∵点G 是BCE 外角平分线交点， ∴ ( ) 1 1 180 2 2 GEC AEC BEC = = − ， ( ) 1 1 180 2 2 ECG ECT BCE = = − ∵ 180 G GEC ECG + + = ∴ ( ) 180 G GEC ECG = − + ∴ ( ) ( ) 1 180 180 180 2 G BEC BCE = − − + − ( ) 1 180 180 180 2 BEC BCE = − − + − ( ) 1 180 360 2 BEC BCE = − − − 1 1 180 180 2 2 BEC BCE = − − − 1 1 180 180 2 2 BEC BCE = − + + 1 ( ) 2 BEC BCE = + ∵ 180 BEC BCE B + += ∴ 180 BEC BCE B + = − 则 ( ) 1 1 180 90 2 2 G B B = − = − 14 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 AD BC ， 180 A B += ， 即1 1 90 2 2 A B = − ， ∵ 1 90 2 F A = + ∴ 1 1 90 (90 ) 180 2 2 F B B = + − = − ， 故 1 1 (180 ) (90 ) 90 2 2 F G B B − = − − − = ． (3)延长BF 至点G ，使得FG FB = ，如图所示： ∵点F 是CE 的中点， ∴EF CF = ∵ EFG CFB FG FB = = , ∴ ( ) SAS EFG CFB ≌ ∴EG BC G CBF = = , ， ∴EG BC ， ∵AD BC ， ∴AD EG ， ∴ BEG A ， ∵AE BC = ， ∴AE EG = ， ∵AD BE = ， ∴ ( ) SAS ADE EBG ≌ ， ∴ 2 DE BG BF = = ． 15． 【答案】(1) 解：BE CF ⊥ ，证明： ∵ 90 ACB = ，l CB ∥ ， ∴ 90 CAF = ， 15 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在Rt ACF △ 和Rt CBE △ 中， CF BE AC BC = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ACF CBE ≌ ， ∴ CBE ACF = ， 又∵ 90 ACF FCB + = ， ∴ 90 CBE FCB + = ， ∴ ( ) 180 90 CHB CBE FCB = − + = ， ∴BE CF ⊥ ； (2)① 2 2 = − AF m n； ②如图为所求作； 2 2 AF n m = − ． （2）①∵ 90 ACB = ，l CB ∥ ， ∴ 90 CAF = ， ∵CD CF ⊥ ，DM AC ⊥ ， ∴ 90 DMC DCF = = ， ∴ 90 DCA ACF + = ， ∵ 90 ACB = ∴ 90 FCB ACF + = ， ∴ FCB DCM = ， ∵l CB ∥ ， ∴ FCB AFC = ， ∴ DCM AFC = ， 在 DCM △ 和CAF 中， 90 DMC CAF DCM AFC DC CF = = = = ， ∴ (AAS DMC CAF ≌ ）， ∴DM AC = ，AF MC = ， 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵AC CB = ， ∴DM CB = ， 在DMG 和 BCG △ 中， 90 DGM CGB DMG GCB DM CB = = = = ， ∴ (AAS DMG BCG ≌ ）， ∴MG CG = ， ∵AC m = ，AG n = ， ∴ = = − = − MG CG AC AG m n， ∴ ( ) 2 2 2 2 AF MC CG m n m n = = = − = − ； ②∵ 90 ACB = ，l CB ∥ ， ∴ 90 CAF = ， ∵CD CF ⊥ ，DM AC ⊥ ， ∴ 90 DMC DCF = = ， ∴ 90 DCM ACF + = ， 90 DCM CDM + = ， ∴ ACF CDM = ， 在 DCM △ 和 ACF △ 中， 90 DMC CAF CDM ACF DC CF = = = = ， ∴ (AAS DMC CAF ≌ ）， ∴DM AC = ，AF MC = ， ∵AC CB = ， ∴DM CB = ， 在DMG 和 BCG △ 中， 90 DGM CGB DMG GCB DM CB = = = = ， ∴ (AAS DMG BCG ≌ ）， ∴MG CG = ， ∵AC m = ，AG n = ， ∴ = = − = − MG CG AG AC n m， ∴ ( ) 2 2 2 2 AF MC CG n m n m = = = − = − ． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
