专题01 全等三角形性质和判定
常考题型·精准突破
题型1 全等三角形的性质（重）
题型2 由三角形全等求时间或线段长（高频）
题型3 判断两个三角形是否全等（高频）
题型4 全等三角形的性质和判定综合（高频）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等三角形的性质
1．（25-26 八年级上·北京·期中）如图，已知
ABC
EBD
△
≌△
，若
5
AB = ，
8
BD =
，则CE 的长为
．
【答案】3
【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全
等三角形的性质得出
5,
8
AB
EB
BC
BD
=
=
=
=
，根据CE
BC
EB
=
-
，即可求解．
【详解】解：∵
ABC
EBD
△
≌△
，
5
AB = ，
8
BD =
，
∴
5,
8
AB
EB
BC
BD
=
=
=
=
，
∴
8
5
3
CE
BC
EB
=
-
=
-
=
．
故答案为：3．
2．（25-26 八年级上·宁夏固原·期中）如图，V
V
≌
ABC
DCE ，
40
B
Ð
=
°，
65
E
Ð
=
°，点B
C
E
、、
在同一条
直线上，则
ACD
Ð
的度数为
° ．
【答案】75
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得
65
ACB
E
Ð
= Ð
=
° ，
40
DCE
B
Ð
= Ð
=
°，再根据平角的定义，即可求解．
【详解】解：∵V
V
≌
ABC
DCE ，
40
B
Ð
=
°，
65
E
Ð
=
°，
∴
65
ACB
E
Ð
= Ð
=
° ，
40
DCE
B
Ð
= Ð
=
°，
∵点B
C
E
、、
在同一条直线上
∴
ACD
Ð
的度数为180
180
65
40
75
ACB
DCE
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
°
故答案为：75．
3．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）如图，ABD
CFD
V
V
≌
，且点B ，D ，C 在一条直线上，点F 在AD 上，
延长CF 交AB 于点E ．
(1)试说明：CE
AB
^
．
(2)若
7
BC =
，
1
AF = ，求BD 的长．
【答案】(1)
证明：
ABD
CFD
Q△
≌△
，
A
C
\Ð
= Ð
，
ADB
CDF
Ð
= Ð
，
180
ADB
CDF
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
90
ADB
CDF
\Ð
= Ð
=
°，
90
A
B
\Ð + Ð
=
° ，
90
C
B
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
CEB
°
\Ð
=
，
CE
AB
\
^
；
(2)
3
BD =
【分析】（1）根据全等三角形的对应角相等可得
ADB
CDF
Ð
= Ð
，
A
C
Ð
= Ð
，再由等量代换即可证明；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得BD
DF
=
，AD
CD
=
，得出
1
CD
BD
-
= 结合
7
CD
BD
BC
+
=
=
即
可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
ABD
CFD
Q△
≌△
，
BD
FD
\
=
，AD
CD
=
，
1
=
Q AF
，即：
1
AD
FD
-
= ，
1
CD
BD
\
-
= ，
又
7
CD
BD
BC
+
=
=
，
3
BD
\
=
．
◆题型2 由三角形全等求时间或线段长
4．
（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）如图，CA
AB
^
，垂足为A，
12
AB =
厘米，
6
AC =
厘米，射线BM
AB
^
，
垂足为B，一动点P 从点A 出发以3 厘米/秒的速度沿射线AN 运动，同时动点D 从点B 出发沿射线BM 运
动．设点D 运动的速度为v 厘米/秒，当=
v
厘米/秒时，能够在某一时刻使
BPD
△
与
ABC
V
全等．
【答案】3
4 或2 或6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P 运动的时间为
0
t t >
秒，则
3
AP
t
=
厘米，
12
3
PB
t
=
-
厘米，BD
vt
=
厘米，当点P 在线段AB 上时，只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，当点P 在AB 的延长线上时，
只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可．
【详解】解：设点P 运动的时间为
0
t t >
秒，则
3
AP
t
=
厘米，
12
3
PB
t
=
-
厘米，BD
vt
=
厘米，
∵AC
AB
^
，BM
AB
^
，
∴
90
A
ABD
Ð
= Ð
=
° ，
当点P 在线段AB 上时，
∵AB
PB
>
，
∴此时只有
ABC
BDP
△
≌△
这种情况，
∴
12
BD
AB
=
=
厘米，
6
BP
AC
=
=
厘米，
∴
12
3
6
12
t
vt
-
=
ì
í
=
î
，
解得
2
6
t
v
=
ì
í =
î
；
当点P 在AB 的延长线上时，
90
PBD
A
Ð
= Ð
=
°，
∴只存在
ABC
BDP
△
≌△
和
ABC
BPD
≌
△
△
两种情况，
当
ABC
BDP
△
≌△
时，则
12
BD
AB
=
=
厘米，
6
AC
PB
=
=
厘米，
∴
3
12
6
12
t
vt
-
=
ì
í
=
î
，
解得
6
2
t
v
=
ì
í =
î
；
当
ABC
BPD
≌
△
△
时，则
6
BD
AC
=
=
厘米，
12
AB
BP
=
=
厘米，
∴
3
12
12
6
t
vt
-
=
ì
í
=
î
，
解得
8
3
4
t
v
=
ìïí =
ïî
；
综上所述，v 的值为3
4 或2 或6．
故答案为：3
4 或2 或6．
5．（25-26 八年级上·黑龙江鸡西·期末）如图，
6cm
BC =
，
60
PBC
QCB
Ð
= Ð
=
°，点M 在线段CB 上以3cm / s
的速度由点C 向点B 运动．同时，点N 从点C 出发在射线CQ 上以1cm / s 的速度运动，它们运动的时间为s
t
（当点M 运动结束时，点N 运动随之结束）．在射线BP 上取点A ，在M 、N 运动到某处时，有ABM
V
与
MCN
△
全等，则此时AB 的长度为
．
【答案】1cm 或9 cm
2
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．
根据题意得到
3
CM
t
=
，CN
t
= ，则
6
3
BM
BC
CM
t
=
-
=
-
，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解
即可．
【详解】解：点M 在线段CB 上以3cm/s 的速度由点C 向点B 运动，
∴点M 从C
B
®
的时间为
6
3
2 s
¸
=
，
∵它们运动的时间为s
t
，
∴
3
CM
t
=
，CN
t
= ，则
6
3
BM
BC
CM
t
=
-
=
-
，
当
N
ABM
MC
V
△
≌
时，
∴
,
BM
CN AB
CM
=
=
，
∴6
3t
t
-
= ，
解得：
3
2
t =
，
∴
3
9
3
3
cm
2
2
AB
CM
t
=
=
= ´
=
；
当ABM
NCM
V
V
≌
时，
∴
,
AB
NC BM
CM
=
=
，
∴6
3
3
t
t
-
=
，
解得：
1
t = ，
∴
1cm
AB
NC
t
=
= =
；
综上所述，AB 的长度为9 cm
2
或1cm ，
故答案为：9 cm
2
或1cm ．
6．（25-26 八年级上·福建莆田·期中）如图，
ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
5cm
AB =
，
直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A
C
B
®
®
路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发
沿B
C
A
®
®
路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为1cm / s 和2cm / s ，两点同时出发并开始计时，
当点P 到达终点B 时计时结束．设运动时间为t 秒．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE
l
^ 于点E，QF
l
^
于点F，当t =
为何值时，PEC
V
与QFC
V
全等．
【答案】1 或7
3 或6
【分析】分点Q 在BC 上，点P 在AC 上；点P 与点Q 重合；Q 与A 重合三种情况，根据全等三角形的性质
列式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握
全等三角形的对应边相等是解题的关键．
【详解】解：∵PE
l
^ ，QF
l
^ ，
90
PEC
CFQ
ACB
Ð
= Ð
= Ð
=
°
∴
，
90
CPE
PCE
PCE
FCQ
\Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
CPE
FCQ
\Ð
= Ð
；
∵
3
4
3 s
2 s
1
2
=
=
，
，
∴点P 运动3 秒到达点C，点Q 运动2 秒到达点C；
①如图1，当点Q 在BC 上，点P 在AC 上时，
由题意得，
cm
AP
t
=
，
2 cm
BQ
t
=
，
3cm
AC =
Q
，
4cm
BC =
，
3
cm
CP
AC
AP
t
\
=
-
=
-
，
4
2
cm
CQ
BC
BQ
t
=
-
=
-
，
∵PEC
V
与QFC
V
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即3
4
2
t
t
- =
-
，
解得
1
t = ；
②如图2，当点P 与点Q 重合时，则CP
CQ
=
，此时满足
PEC
QFC
△
≌△
，
∵
2
4 cm
CQ
t
=
-
，
3
2
4
t
t
\ - =
-
，
解得
7
3
t =
；
③如图3，当点Q 与A 重合时，
∵PEC
V
与QFC
V
全等，
∴只存在
PEC
CFQ
△
≌△
这种情况，
∴PC
CQ
=
，
即
3
3
t -
= ，
解得
6
t =
；
综上所述：当
1
t = 或
7
3
t =
或
6
t =
时，PEC
V
与QFC
V
全等．
故答案为：1 或7
3 或6．
◆题型3 判断两个三角形是否全等
7．（25-26 八年级上·重庆·月考）根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
V
的是（ ）
A．
3
AB = ，
4
BC =
，
8
CA =
B．
60
A
Ð
=
°，
45
B
Ð
=
°，
4
AB =
C．
4
AB =
，
3
BC = ，
30
A
Ð
=
°
D．
90
C
Ð
=
° ，
45
B
Ð
=
°
【答案】B
【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根
据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、3
4
8
+
< ，不能构成三角形，此项错误，不符合题意；
B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意；
C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
D、两角不能确定三角形，此项错误，不符合题意；
故选：B．
8．（25-26 八年级上·河南信阳·期末）根据下列已知条件，能唯一画出
ABC
V
的是（ ）
A．
5,
4,
10
AB
BC
CA
=
=
=
B．
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
Ð
=
° Ð
=
°
=
C．
4,
3,
30
AB
BC
A
=
=
Ð
=
°
D．
90 ,
6
C
AB
Ð
=
°
=
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用三角
形三边关系与全等三角形的判定方法，逐一分析各选项能否画出唯一三角形即可．
【详解】解：A 选项中5
4
9
10
+
=
<
，不满足三角形三边关系“两边之和大于第三边”，∴不能构成三角形，
故A 不符合题意；
B 选项中
45 ,
70 ,
6
A
B
AB
Ð
=
° Ð
=
°
=
，符合全等三角形判定定理ASA ，∴能画出唯一
ABC
V
，故B 符合题意；
C 选项中
4,
3,
30
AB
BC
A
=
=
Ð
=
°，属于SSA 的情况，无法确定唯一三角形，故C 不符合题意；
D 选项中仅知道直角与斜边，可画出无数个直角三角形，∴不能确定唯一
ABC
V
，故D 不符合题意．
故选：B．
9．（25-26 八年级上·河北秦皇岛·期末）下列选项所给条件不能画出唯一
ABC
V
的是（ ）
A．
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
Ð
=
° Ð
=
°
=
B．
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
Ð
=
° Ð
=
°
=
C．
30 ,
8,
7
A
AB
BC
Ð
=
°
=
=
D．
5,
6,
9
AC
AB
BC
=
=
=
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定条件，根据ASA 、AAS、SSS、SAS 等判定唯一三角形，同时考虑SSA
情况可能不唯一即可解答．
【详解】解：选项A：
50 ,
30 ,
2
A
B
AB
Ð
=
° Ð
=
°
=
（两角及夹边，ASA ），能唯一画出
ABC
V
；
选项B：
50 ,
30 ,
9
A
B
BC
Ð
=
° Ð
=
°
=
（两角及一边，AAS），能唯一画出
ABC
V
；
选项C：
30 ,
8,
7
A
AB
BC
Ð
=
°
=
=
（两边及非夹角，SSA ），有两个交点，不能唯一画出
ABC
V
；
选项D：
5,
6,
9
AC
AB
BC
=
=
=
（三边，SSS），满足三角形三边关系，能唯一画出
ABC
V
；
故选C．
◆题型4 全等三角形的性质和判定综合
10．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AD
BC
∥
，E 为对角线BD 上一点，
180
A
CED
Ð + Ð
=
°，且AD
BE
=
．
(1)求证：ABD
ECB
V
V
≌
．
(2)若
15
BC =
，
9
DE =
，求AD 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）由补角的性质得到
A
BEC
Ð
= Ð
，由平行得
ADB
EBC
Ð
= Ð
，由ASA 即可证明三角形全等；
（2）由全等三角形得
15
DB
BC
=
=
，AD
BE
=
，进而求得
15
9
6
BE
BD
DE
=
-
=
-
= ，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵
180
A
CED
Ð + Ð
=
°，
180
BEC
CED
Ð
Ð
+
=
°，
∴
A
BEC
Ð
= Ð
，
∵AD
BC
∥
，
∴
ADB
EBC
Ð
= Ð
，
在
ABD
△
和ECB
V
中，
A
BEC
AD
BE
ADB
EBC
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
，
∴
ASA
ABD
ECB
V
V
≌
．
（2）解：∵ABD
ECB
V
V
≌
，
∴
15
DB
BC
=
=
，AD
BE
=
，
∵
9
DE =
，
∴
15
9
6
BE
BD
DE
=
-
=
-
= ．
∴
6
AD
BE
=
=
．
11．（25-26 八年级上·安徽合肥·月考）如图，在
ABC
V
中，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AB 边上一点，
过点C 作CF
AB
∥
交ED 的延长线于点F ．
(1)若AB
AC
=
，求证：AD
BC
^
．
(2)若
12
EF =
，求DF 的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据中点的性质可得BD
CD
=
，根据SSS证明BAD
CAD
V
V
≌
，即可得出
90
ADB
ADC
Ð
= Ð
=
°；
（2）根据平行线的性质可得
BEF
F
Ð
= Ð
，进而根据AAS证明BDE
CDF
V
V
≌
，得出DE
DF
=
，根据
12
EF =
，即可求解．
【详解】（1）解：证明：
D
Q
是BC 的中点，
.
BD
CD
\
=
在BAD
V
和CAD
V
中，
,
AB
AC
BD
CD
AD
AD
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
，
(SSS),
BAD
CAD
\V
V
≌
90
ADB
ADC
\Ð
= Ð
=
°
AD
BC
\
^
．
（2）
CF
AB
Q
∥
，
.
BEF
F
\Ð
= Ð
D
Q
是BC 的中点，
.
BD
CD
\
=
在
BDE
V
和CDF
V
中，
,
,
,
BEF
F
EDB
FDC
BD
CD
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
(AAS),
BDE
CDF
\V
V
≌
DE
DF
\
=
．
12,
EF
DE
DF
=
+
=
Q
6.
DF
\
=
12．（2026·江苏苏州·一模）如图，BE ，CF 分别是
ABC
V
的边AC ，AB 上的高，且BP
CA
=
，
AB
QC
=
．求证：
(1)
ABP
QCA
△
≌△
；
(2) AP
AQ
^
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法和性质是解题的关键．
（1）根据题意易得
90
BFP
CEP
Ð
= Ð
=
°，
FPB
EPC
Ð
= Ð
，则
FBP
ECP
Ð
= Ð
，即可根据SAS 判定
ABP
QCA
△
≌△
；
（2）根据全等三角形的性质得出
Q
BAP
Ð
= Ð
，再根据
90
Q
QAF
+
=
°
∠
∠
，得出
90
QAP
BAP
QAF
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
即可求证AP
AQ
^
．
【详解】（1）证明：∵BE ，CF 分别是
ABC
V
的边AC ，AB 上的高，
∴
90
BFP
CEP
Ð
= Ð
=
°，
∴
FPB
FBP
EPC
ECP
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∵
FPB
EPC
Ð
= Ð
，
∴
FBP
ECP
Ð
= Ð
，
在ABP
V
和QCA
V
中，
BP
CA
FBP
ECP
AB
QC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABP
QCA
V
V
≌
；
（2）解：∵
ABP
QCA
△
≌△
，
∴
Q
BAP
Ð
= Ð
，
∵CF 是
ABC
V
的边AB 上的高，
∴AB
CQ
^
，即
90
AFQ
Ð
=
° ，
∴
90
Q
QAF
+
=
°
∠
∠
，
∴
90
QAP
BAP
QAF
Q
QAF
Ð
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∴AP
AQ
^
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 七年级下·山东菏泽·期末）下列各组条件中，不能判定ABC
V
和A B C
¢ ¢ ¢
V
全等的是（ ）
A．AC
A C
=
¢ ¢，BC
B C
=
¢ ¢，
C
C
Ð
= Ð ¢
B．
A
A
Ð
= Ð ¢ ，BC
B C
=
¢ ¢，AC
A C
=
¢ ¢
C．
A
A
Ð
= Ð ¢ ，
C
C
Ð
= Ð ¢，BC
B C
=
¢ ¢
D．AB
A B
=
¢ ¢ ，BC
B C
=
¢ ¢，AC
A C
=
¢ ¢
【答案】B
【详解】解：A、SAS 能判定ABC
V
和A B C
¢ ¢ ¢
V
全等；
B、SSA不能判定ABC
V
和A B C
¢ ¢ ¢
V
全等；
C、AAS 能判定ABC
V
和A B C
¢ ¢ ¢
V
全等；
D、SSS 能判定ABC
V
和A B C
¢ ¢ ¢
V
全等．
2．（25-26 八年级下·贵州毕节·期末）如图，已知
ABC
ADE
△
△
≌
，若
3,
4,
5
AB
AC
BC
=
=
=
，则DE 的长是
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【详解】解：∵
ABC
ADE
△
≌△
，
5
BC =
，
∴
5
DE
BC
=
= ．
3．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）如图，已知AC 、BD 交于点O ，
ABC
DCB
Ð
= Ð
，添加下列哪个条
件后，仍不能使
ABC
DCB
△
≌△
的是（ ）
A．AB
DC
=
B．AC
DB
=
C．
A
D
Ð
= Ð
D．OB
OC
=
【答案】B
【分析】已知
ABC
DCB
Ð
= Ð
及公共边BC
CB
=
，根据全等三角形判定定理逐项验证即可．
【详解】解：已知
ABC
DCB
Ð
= Ð
，且BC 为公共边，即BC
CB
=
．
A．添加AB
DC
=
．
AB
DC
=
Q
，
ABC
DCB
Ð
= Ð
，BC
CB
=
，
(SAS)
ABC
DCB
\△
≌△
，不符合题意．
B．添加AC
DB
=
，此时为AC
DB
=
，BC
CB
=
，
ABC
DCB
Ð
= Ð
，属于SSA ，不能判定
ABC
DCB
△
≌△
，
符合题意．
C．添加
A
D
Ð
= Ð
．
A
D
Ð
= Ð
Q
，
ABC
DCB
Ð
= Ð
，BC
CB
=
，
(AAS)
ABC
DCB
\V
V
≌
，不符合题意．
D．添加OB
OC
=
．
OB
OC
=
Q
，
OCB
OBC
\Ð
= Ð
，即
ACB
DBC
Ð
= Ð
．
ABC
DCB
Ð
= Ð
Q
，BC
CB
=
，
ACB
DBC
Ð
= Ð
，
(ASA)
ABC
DCB
\△
≌△
，不符合题意．
4．（25-26 七年级下·江西九江·期末）如图，为了测量点B 到河正对面点A 之间的距离，小明在与点B 同侧
的河岸上选择点C 和点D ，测得
90
ABC
Ð
=
°，CD
BC
=
（B 、C 、D 三点共线），过点D 作DE
BD
^
，使
得点A 、C 、E 在同一直线上，得到
ABC
EDC
△
≌△
，测得DE 的长就是A 、B 两点之间的距离，这里判
定
ABC
EDC
△
≌△
的依据是（ ）
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
【答案】D
【分析】根据垂线的定义得到
90
EDC
Ð
=
° ，利用对顶角的性质得到
ACB
ECD
Ð
= Ð
，根据“ASA ”的判定方
法证明
ABC
EDC
△
≌△
．
【详解】解：
DE
BD
^
Q
，
90
EDC
\Ð
=
°，
90
ABC
EDC
\Ð
= Ð
=
° ，
由题可得BC
DC
=
，
ACB
ECD
Ð
= Ð
，
ASA
ABC
EDC
\V
V
≌
．
5．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在ABC
V
中，AB
AC
>
，D，E 分别是BC ，AB 上的点，AD 平
分
BAC
Ð
，CE
AD
^
于点F，G 为AD 的中点，延长BG 交AC 于点H．下列结论正确的有（ ）
①线段AD 是
ACE
△
的高；②ABG
V
与BDG
V
的面积相等；③AB
AC
BE
-
=
；④
90
CBE
BCE
EAD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①三角形的高是顶点向对边所作垂线段，AF 是CE 的高；②点G 为AD 的中点，底边在同一直线
上，等高且等底，故面积相等；③AD 平分角且CE
AD
^
，可证三角形全等，得到AC
AE
=
，代入线段差
即可推出AB
AC
BE
-
=
；④利用外角性质将得
FDC
EAD
CBE
Ð
= Ð
+ Ð
，结合直角三角形两锐角互余，等量
代换可证三个角相加等于90°。
【详解】解：①
CE
AD
^
Q
于点F ，
\线段AF 为△ACE 的高，
故结论①不正确，不符合题意；
②Q点G 为AD 的中点，
AG
DG
\
=
，
Q△ABG 的边AG 上的高与△BDG 的边DG 上的高相同，
ABG
\V
与△BDG 面积相等，
故结论②正确，符合题意；
③
AD
Q
平分
BAC
Ð
，
CAF
EAF
\Ð
= Ð
，
CE
AD
^
Q
于点F ，
90
AFC
AFE
\Ð
= Ð
=
° ，
在△ACF 和△AEF 中，
90
CAF
EAF
AF
AF
AFC
AFE
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
=
°
î
，
\
ASA
ACF
AEF
V
V
≌
，
AC
AE
\
=
，
AB
AC
AB
AE
BE
\
-
=
-
=
，
故结论③正确，符合题意；
④
FDC
EAD
CBE
Ð
= Ð
+ Ð
Q
，
CE
AD
^
Q
于点F ，
90
FDC
BCE
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
CBE
BCE
EAD
\Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
故结论④正确，符合题意；
结论正确的有3 个．
二、填空题
6．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形ABCD 中，
90
B
D
Ð
= Ð
=
° ，BC
DC
=
，连接AC ，
50
BCA
Ð
=
° ，则
CAD
Ð
的度数为__________°．
【答案】40
【分析】根据“ HL ”判定Rt
Rt
ABC
ADC
≌
△
△
，利用全等三角形对应角相等得出
DCA
BCA
Ð
= Ð
，再根据直
角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：
90
B
D
Ð
= Ð
=
°
Q
，
ABC
\V
和ADC
V
都是直角三角形，
在Rt
ABC
△
和Rt
ADC
△
中，
AC
AC
BC
DC
=
ì
í
=
î
，
Rt ABC
Rt ADC HL
\
V
V
≌
，
50
DCA
BCA
Ð
Ð
°
\
=
=
，
在Rt
ADC
△
中，
90
90
50
40
CAD
DCA
Ð
Ð
°
°
°
°
=
-
=
-
=
．
7．（25-26 七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在ABC
V
中，AD 为ABC
V
的中线，过点B 作BE
AD
^
，交
AD 的延长线于点E ，过点C 作CF
AD
^
交AD 于点F ，若
6
BE =
，则CF 的长为________．
【答案】6
【分析】利用AAS判定
BDE
CDF
△
≌△
，从而得出对应边相等．
【详解】解：
AD
Q
是ABC
V
的中线，
BD
CD
\
=
，
BE
AD
^
Q
，CF
AD
^
，
90
BED
CFD
\Ð
= Ð
=
° ，
在BDE
V
和
CDF
△
中，
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
AAS
BDE
CDF
\△
≌△
，
6
CF
BE
\
=
=
．
8．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）如图，小丁和小华家中间隔了一个办公楼，他们想要测量这个办公楼
的高OM，AF
OM
^
于F，BE
OM
^
于E．小丁在自家阳台A 处测得办公楼顶部O 的视线与水平线的夹角
OAF
a
Ð
=
，小华在自家阳台B 处测得办公楼顶部O 的视线与水平线的夹角
OBE
b
Ð
=
，已知C，M，D 三
点共线，a 与b 互余，且OA
OB
=
，
8m
AF =
，
3m
ME =
．则办公楼的高度OM =________．
【答案】11m/11 米
【分析】先证明
AAS
AFO
OEB
V
V
≌
，根据全等三角形的性质得到
8m
OE
AF
=
=
，即可求解．
【详解】解：∵a 与b 互余，
∴
90
OAF
OBE
Ð
+ Ð
=
°．
又∵AF
OM
^
，BE
OM
^
，
∴
90
AFO
OEB
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
OAF
AOF
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
AOF
OBE
Ð
= Ð
．
在AFO
V
和OEB
V
中，
∴
AOF
OBE
AFO
OEB
AO
OB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
AFO
OEB
V
V
≌
，
∴
8m
OE
AF
=
=
．
∴
8
3
11 m
OM
OE
EM
AF
EM
=
+
=
+
=
+
=
．
则办公楼的高度OM 为11m ．
9．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，ABC
V
的角平分线AE ，BD 交于点F ，
过点F 作GF
BD
^
交BC 于点H ，交AC 的延长线于点G ．则
AFB
Ð
的度数为________；若
8
BD =
，且
3
BF
DF
=
，则
ADF
S
=
V
________．
【答案】
135°
3
【分析】①根据角平分线的定义以及三角形的内角和即可求解；②延长BD ，过点A 作AM
BM
^
交延长线
与点M ,证明AFG
AFB
V
V
≌
，根据线段的比例关系可知
2,
6
DF
BF
FG
=
=
=
，根据面积构造方程即可知AM
的长度，进而即可求解．
【详解】解：①∵
,
AE DB 是ABC
V
的平分线，
∴
1
1
,
2
2
BAF
CAF
CAB
FBA
CBA
Ð
= Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
∵
90
ACB
Ð
=
°
∴
90
CAB
CBA
Ð
+ Ð
=
°
∴
45
FBA
BAF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
45
135
AFB
Ð
=
°-
° =
° ，
②延长BD ，过点A 作AM
BM
^
交延长线与点M ,
∵
135
AFB
Ð
=
°,
∴
45
AFD
Ð
=
°,
∵GF
BD
^
，
∴
90
DFG
Ð
=
°
∴
135
AFG
Ð
=
°
在AFG
V
和AFB
V
中，
CAF
BAF
AF
AF
AFB
AFG
Ð
= Ð
ì
ï
=
í
ïÐ
= Ð
î
∴
AFG
AFB ASA
V
V
≌
，
∴BF
FG
=
∵
8
BD =
，
3
BF
DF
=
，
∴
2,
6
DF
BF
FG
=
=
=
，
∴
1
1
6
3
2
2
AFB
S
BF
AM
AM
AM
=
´
=
´ ´
=
V
,
1
1
6
2
2
AFG
ADF
DFG
S
S
S
DF
AM
DF
FG
AM
=
+
=
´
+
´
=
+
V
V
V
∴3
6
AM
AM
=
+
,
解得：
3
AM =
,
∴
1
3
2
ADF
S
DF
AM
=
´
=
V
．
10．（25-26 七年级下·宁夏银川·期末）如图，CA
AB
^
，垂足为点A，
8cm
AB =
，
4cm
AC =
，射线
BM
AB
^
，垂足为点B，一动点E 从B 点出发以2 cm/s 的速度沿射线BN 运动，点D 为射线BM 上一动点，
随着E 点运动而运动，且始终保持ED
CB
=
，当点E 离开点B 后，运动_____s时，DEB
V
与BCA
V
全等．
【答案】2 或4
【分析】根据题意ABC
BDE
V
V
≌
和
ABC
BED
△
≌△
这两种情况，根据全等三角形的性质讨论求解即可．
【详解】解：∵CA
AB
^
，BM
AB
^
，
∴
90
CAB
DBE
Ð
= Ð
=
°；
∴当DEB
V
与BCA
V
全等时，只存在ABC
BDE
V
V
≌
和
ABC
BED
△
≌△
这两种情况，
当ABC
BDE
V
V
≌
时，则
4cm
BE
AC
=
=
，
∴运动时间为
4
2 s
2 =
；
当
ABC
BED
△
≌△
时，则
8cm
BE
AB
=
=
，
∴运动时间为
8
4 s
2 =
；
综上所述，当运动2s或4s时，DEB
V
与BCA
V
全等．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，点E 在BC 边上（不与点B ，C
重合）DE 与AB 交于点F ．
(1)若
110
CAD
Ð
=
°，
30
BAE
Ð
=
° ，求
BAD
Ð
的度数；
(2)若
10
AD =
，
4.5
BE
CE
=
=
，求ADF
V
与BEF
V
的周长和．
【答案】(1) 40°
(2)33.5
【分析】（1）利用全等三角形的性质和等量代换求解即可；
（2）利用全等三角形的性质结合题目条件求解即可．
【详解】（1）解：
ABC
ADE
QV
V
≌
，
BAC
DAE
\Ð
= Ð
，即
DAF
BAE
BAE
EAC
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
DAF
EAC
\Ð
= Ð
，
110
CAD
Ð
=
°
Q
，
30
BAE
Ð
=
° ，
80
DAF
EAC
CAD
BAE
\Ð
+ Ð
= Ð
- Ð
=
° ，
40
BAD
\Ð
=
° ，
（2）解：
ABC
ADE
QV
V
≌
，
10
AB
AD
\
=
=
，
9
DE
BC
BE
EC
=
=
+
=
，
ADF
\V
与BEF
V
的周长和为
10
4.5
9 10
33.5
AD
BE
DE
AB
+
+
+
=
+
+
+
=
．
12．（25-26 七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，其中
90
C
DEB
Ð
= Ð
=
°，DE 的延
长线与AC 相交于点F ，连接BF ．
(1)求证：BCF
BEF
V
V
≌
；
(2)若
1
EF = ，
4
DE =
，求AF 的长．
【答案】(1)证明：
90
DEB
Ð
=
°
Q
，
90
BEF
\Ð
=
° ，
Q Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，
BC
BE
\
=
，
在Rt
BCF
△
和Rt BEF
V
中，
BF
BF
BC
BE
=
ì
í
=
î
，
Rt
Rt
HL
BCF
BEF
\
V
V
≌
；
(2)3
【分析】（1）根据Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，得BC
BE
=
，即可证明BCF
BEF
V
V
≌
；
（2）根据全等三角形的性质及线段的和差即可求得AF 的长．
【详解】（1）略
（2）解：Q Rt
Rt
ABC
DBE
△
≌
△
，
DE
AC
\
=
，
4
DE =
Q
，
4
AC
\
=
，
Rt
Rt
BCF
BEF
Q
V
V
≌
，
CF
EF
\
=
，
1
EF =
Q
，
1
CF
\
= ，
4 1
3
AF
AC
CF
\
=
-
=
- =
．
13．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）已知ABC
V
，
90
B
Ð
=
° ，CD 平分
ACB
Ð
交AB 于点D
(1)如图1，过点D 作DE
AC
^
于点E，说明：BCD
ECD
V
V
≌
；
(2)如图2，在（1）的条件下，延长ED 交CB 的延长线于点F，说明：𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)如图3，点H 为AC 上一点，连接DH ，
10
AC
CH
+
=
，AD
DH
=
，求BC 的长
【答案】(1)解：∵DE
AC
^
，
∴
90
AED
CED
B
Ð
= Ð
=
° = Ð
，
∵CD 平分
ACB
Ð
，
∴
ACD
BCD
Ð
= Ð
，
又∵CD
CD
=
，
∴
BCD
ECD AAS
V
V
≌
；
(2)解：∵
90
ABC
Ð
=
°，
∴
90
ABF
AED
Ð
=
° = Ð
，
∵
BDF
ADE
Ð
= Ð
，
∴
A
F
Ð
= Ð
，
∵
ACD
BCD
Ð
= Ð
，CD
CD
=
，
∴
ACD
FCD AAS
V
V
≌
，
∴𝐶𝐹= 𝐴𝐶；
(3)5
【分析】（1）利用AAS 证明BCD
ECD
V
V
≌
即可；
（2）证明ACD
FCD
V
V
≌
，即可得出结果；
（3）作DE
AC
^
于点E ，由全等得到
2
AH
AE
=
，由（1）可知BCD
ECD
V
V
≌
，进而得到CE
BC
=
，根据
线段的和差关系得到
2
10
AC
CH
BC
+
=
=
，即可得出结果.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：作DE
AC
^
于点E ，
∴
90
AEH
DEH
Ð
= Ð
=
°，
∵AD
DH
=
，DE
DE
=
，
∴
Rt ADE
Rt HDE HL
V
V
≌
，
∴AE
EH
=
，
∴
2
AH
AE
=
，
由（1）可知，BCD
ECD
V
V
≌
，
∴CE
BC
=
，
∴AC
CE
AE
BC
AE
=
+
=
+
，
∴
2
2
2
2
10
AC
CH
AC
AC
AH
BC
AE
AH
BC
AH
AH
BC
+
=
+
-
=
+
-
=
+
-
=
=
，
∴
5
BC =
.
14．（25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC
V
中，D ，E 分别是BC ，AC 边上的中点，AD 与BE
交于点O ．
(1)若
20
ABC
S
=
V
，求
ABD
SV
；
(2)求证：
2
AOB
BOD
S
S
=
△
△
；
(3)点F 在线段CD上（点F 不与点C ，点D 重合），连接FE 并延长FE 到点G ，连接AG ，若AD 平分四边
形ABFG 的面积．求证：AG
BC
P
．
【答案】(1)10；
(2)
,
D E
Q
分别是
,
BC AC 边上的中点，
,
AD BE
\
分别是ABC
V
的中线，
,
AE
EC BD
CD
=
=
．
如下图，连接CO ，
AEO
CEO
S
S
\
=
△
△
，
ABE
CBE
S
S
=
V
V
，
AOB
BOC
S
S
\
=
△
△
．
BD
CD
=
Q
，
1
2
BOD
COD
BOC
S
S
S
\
=
=
△
△
△
，
1
2
BOD
AOB
S
S
\
=
V
V
；
∴
2
AOB
BOD
S
S
=
V
V
.
(3)证明：连接AF ，
D
Q
是BC 边上的中点，
BD
CD
\
=
，
ABD
ACD
S
S
\
=
V
V
，
AD
Q
平分四边形ABFG 的面积，
ABD
ADFG
S
S
\
=
四边形
△
，
ACD
ADFG
S
S
\
=
四边形
△
，
AEG
CEF
S
S
\
=
△
△
．
E
Q
是AC 边上的中点，
AE
CE
\
=
，
AEF
CEF
S
S
\
=
V
V
，
AEG
AEF
S
S
\
=
△
△
，
GE
FE
\
=
．
在AEG
V
和CEF
V
中，
,
,
,
AE
CE
AEG
CEF
GE
FE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
SAS
AEG
CEF
\V
V
≌
，
GAE
ECF
\Ð
= Ð
，
AG
BC
\
∥
．
【分析】（1）先求出BD
CD
=
，根据三角形的面积公式可得答案；
（2）由三角形面积和中线的性质，先证
AOB
BOC
S
S
=
△
△
，再根据中线的性质，证
BOD
COD
S
S
=
△
△
，即可得答案；
（3）由三角形面积、三角形的中线、AD 平分四边形ABFG 的面积，证明
AEG
CEF
S
S
=
△
△
，再证
AEG
AEF
S
S
=
V
V
，
得GE
EF
=
，再证AGE
CFE
V
V
≌
，得
GAE
FCE
Ð
= Ð
，即可得答案．
【详解】（1）解：
D
Q
是BC 边上的中点，
BD
CD
\
=
1
1
20
10
2
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
\
=
=
=
´
=
V
V
V
；
（2）略；
（3）略．
15．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
V
中，
60
ABC
Ð
=
° ，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 是边
AB 上一点，且BE
BD
=
，连接EC 交AD 于点G ．延长AD 到M ，使得DM
EC
=
，连接BM ，BF 是ABC
V
的中线．
(1)依题意补全图形；
(2)若
60
AGE
Ð
=
°，
80
AEG
Ð
=
° ．
①证明：BM
BC
=
；
②用等式表示BF 与AM 的数量关系，并证明．
【答案】(1)补全图形如下：
(2)①证明：
80
AEG
Ð
=
°
Q
，
180
100
BEC
AEG
\Ð
=
°- Ð
=
° ．
60
AGE
Ð
=
°
Q
，
180
40
EAG
AEG
AGE
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
60
ABC
Ð
=
°
Q
，
100
BDM
ABC
EAG
\Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
BEC
BDM
\Ð
= Ð
．
在BEC
V
和BDM
V
中，
BE
BD
BEC
BDM
EC
DM
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
BEC
BDM
\V
V
≌
，
BM
BC
\
=
；
②关系：
2
AM
BF
=
；
证明：延长BF 到H ，使得FH
BF
=
，连接CH ，
BF
Q
是ABC
V
的中线，
AF
CF
\
=
．
在
ABF
△
和CHF
V
中，
BF
HF
AFB
CFH
AF
CF
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ABF
CHF
\V
V
≌
，
AB
CH
\
=
，
ABF
H
Ð
Ð
=
，
AB CH
\
P
，
180
120
BCH
ABC
\Ð
=
°- Ð
=
° ．
BEC
BDM
QV
V
≌
，
60
DBM
EBC
\Ð
= Ð
=
°，
120
ABM
EBC
DBM
\Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
ABM
BCH
\Ð
= Ð
．
在ABM
V
和HCB
V
中，
AB
CH
ABM
BCH
BM
BC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
SAS
ABM
HCB
\V
V
≌
，
2
AM
BH
BF
\
=
=
．
【分析】（1）按照题意进行画图即可；
（2）①证明BEC
BDM
V
V
≌
，根据全等三角形的性质即可求解；
②延长BF 到H ，使得FH
BF
=
，连接CH ，证明ABF
CHF
V
V
≌
，通过平行线的性质以及角度的和差关系
可知
ABM
BCH
Ð
= Ð
，进而证明ABM
HCB
V
V
≌
即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
