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分层作业
13.3.1 三角形的内角
第2 课时 直角三角形的性质和判定
参考答案
已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数
1. B
2．C
利用方程思想求直角三角形锐角度数
3.A
4.B
5.15°/15度
利用三角板求直角三角形锐角度数
6.A
7.B
8.D
利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数
9.50
10.①②③
11. 62°
题型01
题型02
题型03
题型04
利用直角三角形性质综合解决问题
12.B
13. 130°
14.解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 90−∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90°−∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 35°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°．
15.解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐵= 70°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 180°−50°−70° = 60°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐵= 90°−70° = 20°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30°−20° = 10°，
∵𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐹= 90°−∠𝐶𝐹𝐷= 90°−10° = 80°．
利用直角三角形的判定解决问题
15.D
16.证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 82°．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 41°．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
17.（1）解：∵∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°，
题型05
题型06
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 90°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐸= 105°；
（2）解：△𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由如下：
由（1）得：∠𝐵𝐶𝐸= 45°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐵= 30°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 15°，
∵∠𝐶𝐷𝐹= 75°．
∴∠𝐶𝐹𝐷= 180°−∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐷𝐶𝐹= 90°，
∴△𝐶𝐹𝐷是直角三角形．
1．C
2.B
3. 22.5°
4. 135°
5. 40 或140
6. 54°
7.（1）解：∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 86°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 43°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶= 26°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 43°−26° = 17°；
故答案为：17°；
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180°−∠𝐵−∠𝐶) = 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶−(90°−∠𝐶) = 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，
∵∠𝐶−∠𝐵= 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 25°，
故答案为：25°；
（3）解：猜想：∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180°−∠𝐵−∠𝐶) = 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶−(90°−∠𝐶) = 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，
即∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
故答案为：∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
8.（1）解：如图所示，设𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐺，𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐻，
∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°，
∵∠3 = ∠4，
∴∠1 = ∠2．
（2）解：如图所示，设𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐺，𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐻，
∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，
∵∠1 + ∠2 + ∠𝐸𝐺𝐵+ ∠𝐸𝐻𝐵= 360°，
∴∠1 + ∠2 = 180°．
（3）解：设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°．
根据题意，得𝛼= 3𝛼−40°或𝛼+ 3𝛼−40° = 180°，
解得𝛼= 20°或𝛼= 55°．
当𝛼= 20°时，3𝛼−40° = 20°；
当𝛼= 55°时，3𝛼−40° = 125°，
∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．
1． B
2． D
3． 90°或18°
4． 29°或119°
5．（1）解：①∵△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵），
∴∠𝐴= 2∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°−90° = 90°，即2∠𝐵+ ∠𝐵= 90∘，解得∠𝐵= 30°，
∴∠𝐴= 60°；
②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”，
理由：∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐴= 60°,∠𝐵= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°,∠𝐵𝐶𝐷= 60°
在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴= 60°,∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴，
∴△𝐴𝐶𝐷为“友爱三角形”；
在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 60°,∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐵𝐶𝐷为“友爱三角形”；
（2）解：∵△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴,𝐵重合），
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴或∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐶，
当∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴时，∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴= 33°；
当∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐶时，
∴∠𝐴+ 3∠𝐴𝐶𝐷= 180°，即3∠𝐴𝐶𝐷= 114°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 38°，
综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为33°或38°．
1． B
2．A
3.直角
