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分层作业
13.3.1 三角形的内角
第2 课时 直角三角形的性质和判定
目 录
A 组 巩固过关
题型01 已知直角三角形中一锐角度数求另一个锐角度数
题型02 利用方程思想求直角三角形锐角度数
题型03 利用三角板求直角三角形锐角度数
题型04 利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数
题型05 利用直角三角形性质综合解决问题
题型06 利用直角三角形的判定解决问题
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
已知三角形中一锐角的度数求另一锐角度数
1． 在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，若∠𝐴= 42°，则∠𝐵的度数为（ ）
A．38°
B．48°
C．58°
D．68°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】已知直角∠𝐶和∠𝐴的度数，用90°减去∠𝐴的度数即可求出∠𝐵的度数．
【详解】∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°,∠𝐴= 42°，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐴= 90°−42° = 48°．
题型01
2．如图，一艘轮船按箭头所示方向行驶，𝐶处有一灯塔，点𝐴表示轮船的初始位置，点𝐵表示轮船行进中某
一时刻的位置，当轮船从点𝐴行驶到距离灯塔最近点时，此时∠𝐴𝐶𝐵的度数为（ ）
A．40°
B．50°
C．60°
D．80°
【答案】C
【知识点】垂线段最短、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据垂线段最短的性质，当轮船行驶到距离灯塔最近点时，轮船与灯塔的连线垂直于航线，构成
直角三角形，利用直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵当轮船行驶到距离灯塔𝐶最近点时，
∴此时轮船位置（即点𝐵）与灯塔𝐶的连线垂直于航线𝐴𝐷，
∴𝐶𝐵⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°−∠𝐴= 90°−30° = 60°．
利用方程思想求直角三角形锐角度数
3．在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，∠𝐴:∠𝐵= 1:2，则两个锐角的度数为（ ）
A．30°和60°
B．45°和45°
C．40°和80°
D．以上说法都不对
【答案】A
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形中两锐角互余等知识点，掌握直角三角形两锐角
互余成为解题的关键．
由∠𝐶= 90°，则∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，然后按比例分配即可解答．
【详解】解：∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∵∠𝐴:∠𝐵= 1:2，
∴∠𝐴= 1
3 × 90° = 30°,∠𝐵= 2
3 × 90° = 60°．
故选：A．
4.在Rt △𝐴𝐵𝐶中，若两锐角之差为10°，则较大锐角的度数为（ ）
A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
题型02
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【详解】解：∵在Rt △𝐴𝐵𝐶中，
设较小锐角的度数为𝑥，则较大锐角的度数为𝑥+ 10，
∵直角三角形两锐角互余，
𝑥+ 𝑥+ 10 = 90
则𝑥= 40
则较大的锐角度数为50°
故选：B．
5.如图，在直角三角形𝐴𝐵𝐶与直角三角形𝐴𝐶𝐸中，∠𝐵= 50°，∠𝐵𝐶𝐷比∠𝐴𝐶𝐸大20°，则∠𝐸𝐴𝐷= ________．
【答案】15°/15度
【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据∠𝐵𝐶𝐷比∠𝐴𝐶𝐸大20°，并结合它们互余可求出∠𝐴𝐶𝐸，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠𝐶𝐴𝐸，
∠𝐵𝐴𝐶，再由角的和差即可求解．
【详解】解：∵∠𝐵𝐶𝐷−∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 55°，∠𝐴𝐶𝐸= 35°，
∴在Rt △𝐴𝐶𝐸中，∠𝐶𝐴𝐸= 90°−∠𝐴𝐶𝐸= 90°−35° = 55°，
∵∠𝐵= 50°，
∴在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°−∠𝐵= 40°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐵𝐴𝐶= 55°−40° = 15°．
利用三角板求直角三角形锐角度数
6.将一副教学常用三角板（厚度不计）如图摆放，则∠𝛼= （ ）
题型03
A．60°
B．55°
C．45°
D．30°
【答案】A
【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【详解】由图可知，∠𝛼= 90°−30° = 60°．
7.如图，三角尺𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴，𝐵分别在直线𝑙1，𝑙2上，若𝑙1 ∥𝑙2，且𝐵𝐴平分∠𝐶𝐵𝐷，则∠2的度数是（ ）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算
【分析】根据角平分线的定义求出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据平行线的性质可得∠3的度数，最后利用直角三角形
两锐角互余求出∠2的度数即可．
【详解】解：∵𝐵𝐴平分∠𝐶𝐵𝐷，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，
∴∠𝐶𝐵𝐷= 2∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
如图，∵𝑙1 ∥𝑙2，
∴∠3 = ∠𝐶𝐴𝐷= 60°，
∵∠𝐶= 90°，
∴∠2 = 90°−∠3 = 30°．
8.一副三角板（内角分别是90°，45°，45°；90°，30°，60°）按如图方式叠放在一起，则∠1的度数是（ ）
A．55°
B．65°
C．70°
D．75°
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】由角度的和差关系得出∠5 = ∠3−∠4，再由直角三角形两个锐角互余即可得出∠1 = 90°−∠5．
【详解】由三角板可知：∠2 = 90°，∠3 = 45°，∠4 = 30°，
∴∠5 = ∠3−∠4 = 15°，
∴∠1 = 90°−∠5 = 75°．
利用翻折/旋转求直角三角形锐角度数
9.如图，将长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，使点D 落在长方形内的点𝐷′处，已知∠𝐷𝐴𝐸= 25°，则∠𝐶𝐸𝐷′ =
_______°．
【答案】50
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查折叠性质、平角定义、角度的运算，根据折叠性质得到∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷′，再根据平角定义
求解即可．
【详解】解：∵长方形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐸折叠，使点D 落在长方形内的点𝐷′处，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐴𝐸𝐷′，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 25°，
∴∠𝐴𝐸𝐷= 90°−∠𝐷𝐴𝐸= 65° ，
∴∠𝐶𝐸𝐷′ = 180°−∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐸𝐷′ = 50°，
故答案为：50．
10 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，𝐷是边𝐴𝐵上的一个动点，连接𝐶𝐷，当𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平
分线时，将△𝐶𝐷𝐵沿着𝐶𝐷翻折，得到△𝐶𝐷𝐸．如下结论：①点𝐸落在𝐴𝐶上；②𝐷𝐸⊥𝐴𝐶；③𝐷𝐸平分
∠𝐴𝐷𝐶．结论正确的是_________
题型04
【答案】①②③
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算
【分析】根据三角形内角和及角平分线求出∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，结合翻折得到∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷，由
此判断①；根据翻折性质得到∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 90°，结合①即可判断②；根据直角三角形两锐角互余判断③．
【详解】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐵= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°−∠𝐴= 60°，
当𝐶𝐷为∠𝐴𝐶𝐵的平分线时，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
由翻折得∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴点𝐸落在𝐴𝐶上，故①正确；
由翻折得∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐵= 90°，
由①知点𝐸落在𝐴𝐶上，
∴𝐷𝐸⊥𝐴𝐶，故②正确；
∵∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐴= 30°，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶𝐸𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸= 60°，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶，故③正确．
11.如图，把△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转28°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，𝐴′𝐵′交𝐴𝐶边于点𝐷．若∠𝐴′𝐷𝐶= 90°，则∠𝐴=
_______
【答案】62°
【知识点】找旋转中心、旋转角、对应点、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】由题意得旋转角∠𝐴𝐶𝐴′ = 28°，再根据三角形的内角和求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶绕点𝐶顺时针旋转28°，得到△𝐴′𝐵′𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐴′ = 28°，
又∵∠𝐴′𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴= 180°−90°−28° = 62°．
利用直角三角形性质综合解决问题
12.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是高，𝐴𝐸是角平分线，∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°，则∠𝐸𝐴𝐷的度数为（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【答案】B
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的有关计算
【分析】根据已知条件𝐴𝐷是高, ∠𝐵= 40°，∠𝐶= 80°,得出∠𝐵𝐴𝐷= 50°,∠𝐶𝐴𝐷= 10°,又因为𝐴𝐸是角平分线,
得出∠𝐷𝐴𝐸= 20°．
【详解】解：∵ 𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴ ∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°
∵ ∠𝐵= 40°,∠𝐶= 80°
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐸𝐴𝐷= 90°−40° = 50°
∴ ∠𝐶𝐴𝐷= 90°−80° = 10°
∵ 𝐴𝐸是角平分线
∴ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10°
∴ ∠𝐵𝐴𝐷= 50° = ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸+ 10° + ∠𝐷𝐴𝐸
∴ 2∠𝐷𝐴𝐸+ 10° = 50°
∴ ∠𝐷𝐴𝐸= 20°
13.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，则∠𝐵𝐴𝐶的度数为__________
【答案】130°
题型05
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求
出∠𝐶= 25°，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可求∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐴𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 65°，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐶= 90°−∠𝐴𝐷𝐶= 25°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐵= 25°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 130°．
14.如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°，求∠𝐴𝐷𝐶的度数．
【答案】85°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算
【分析】由直角三角形两个锐角互余得出∠𝐶𝐴𝐸= 90−∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90°−∠𝐵= 40°，得到
∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，由角平分线的定义得出∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 35°，最后由三角形内角和定理即
可得出∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°．
【详解】解：∵𝐶𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高，∠𝐴𝐶𝐸= 20°，∠𝐵= 50°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 90−∠𝐴𝐶𝐸= 70°，∠𝐵𝐶𝐸= 90°−∠𝐵= 40°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐸= 60°，
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的角平分线，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 35°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 180°−∠𝐶𝐴𝐷−∠𝐴𝐶𝐷= 85°．
15.如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50∘，∠𝐵= 70∘，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝐷𝐹⊥𝐶𝐸于F，求∠𝐶𝐷𝐹的度数．
【答案】80°
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】先根据三角形的内角和定理求得∠𝐴𝐶𝐵的度数，根据角的平分线的定义求得∠𝐵𝐶𝐸的度数，再根据
直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐶𝐷，根据角的和差求出∠𝐷𝐶𝐸，进而在直角△𝐶𝐷𝐹中求出∠𝐶𝐷𝐹．
【详解】解：∵∠𝐴= 50°，∠𝐵= 70°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 180°−50°−70° = 60°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 30°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐵= 90°−70° = 20°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30°−20° = 10°，
∵𝐷𝐹⊥𝐶𝐸，
∴∠𝐶𝐹𝐷= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐹= 90°−∠𝐶𝐹𝐷= 90°−10° = 80°．
利用直角三角形的判定解决问题
15.具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶
C．∠𝐴= 1
2∠𝐵= 1
3∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵= 3∠𝐶
【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】利用三角形内角和定理，结合各选项给出的角的数量关系，计算各角度数，判断是否为直角三角
形即可．
【详解】解：A、将∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得2∠𝐶= 180°，解得∠𝐶= 90°，则△𝐴𝐵𝐶是直
角三角形，不符合题意；
B、由∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶得∠𝐴= ∠𝐵+ ∠𝐶，代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得2∠𝐴= 180°，解得∠𝐴= 90°，则△𝐴𝐵𝐶
是直角三角形，不符合题意；
C、由∠𝐴= 1
2∠𝐵= 1
3∠𝐶得∠𝐵= 2∠𝐴、∠𝐶= 3∠𝐴，代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得∠𝐴+ 2∠𝐴+ 3∠𝐴= 180°，
解得∠𝐴= 30°、∠𝐶= 3 × 30° = 90°，则△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，不符合题意；
D、将∠𝐴= ∠𝐵= 3∠𝐶代入∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°得3∠𝐶+ 3∠𝐶+ ∠𝐶= 180°，解得∠𝐶=
180°
7 、∠𝐴= ∠𝐵=
540°
7 ，
则三个角都不是90°，故△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，符合题意．
16.如图，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，∠𝐷𝐶𝐸= 11°．求证：△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
题型06
【答案】详见解析
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查直角三角形的证明，角平分线性质和三角形内角和定理，熟练掌握基础知识点是解题关
键；
先通过三角形内角和定理求出∠𝐴𝐶𝐵= 82°，再通过角平分线求出∠𝐵𝐶𝐸，进而可求出∠𝐵𝐶𝐷，从而可得到
∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，进而得证．
【详解】证明：∵∠𝐴= 38°，∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 82°．
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 41°．
∵∠𝐷𝐶𝐸= 11°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐸= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐵𝐶𝐷是直角三角形．
17.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°，𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点E．
(1)求∠𝐴𝐸𝐶的度数；
(2)若𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D，∠𝐶𝐷𝐹= 75°．判断△𝐶𝐹𝐷的形状，并说明理由．
【答案】(1)105°
(2) △𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由见解析
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的
应用
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线定义等知识点，关键是求出各个
角的度数．
（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠𝐴𝐸𝐶的度数．
（2）依据三角形内角和定理以及直角三角形的性质，可得到∠𝐷𝐶𝐹的度数，进而得出∠𝐶𝐹𝐷的度数即可得答
案．
【详解】（1）解：∵∠𝐴= 30°,∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 90°，
∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 45°，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐶𝐸= 105°；
（2）解：△𝐶𝐹𝐷是直角三角形，理由如下：
由（1）得：∠𝐵𝐶𝐸= 45°，
∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 90°−∠𝐵= 30°，
∴∠𝐷𝐶𝐹= ∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 15°，
∵∠𝐶𝐷𝐹= 75°．
∴∠𝐶𝐹𝐷= 180°−∠𝐶𝐷𝐹−∠𝐷𝐶𝐹= 90°，
∴△𝐶𝐹𝐷是直角三角形．
1．将一副分别含30°角和45°角的直角三角板按如图所示方式摆放，∠𝐵= ∠𝐹= 90°，点𝐷在𝐴𝐵边上，保持
点𝐷位置不动，将△𝐷𝐸𝐹绕点𝐷旋转，始终保持𝐷𝐸边与𝐵𝐶边相交，则∠1和∠2的数量关系是（ ）
A．∠1 + ∠2 = 75°B．∠1 + ∠2 = 90°
C．∠1−∠2 = 30°
D．∠1−∠2 = 45°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据平角的定义可得：∠3 = 120°−∠1，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：∠1−∠2 = 30°．
【详解】解：如下图所示，在△𝐷𝐸𝐹中，∠𝐸= 30°，∠𝐹= 90°，
∴∠𝐹𝐷𝐸= 60°，
∴∠1 + ∠3 = 180°−60° = 120°，
∴∠3 = 120°−∠1，
∵∠𝐵= 90°，
∴∠2 + ∠3 = 90°，
∴∠2 + 120°−∠1 = 90°，
∴∠1−∠2 = 30°．
2.如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，过点𝐴作直线𝐷𝐸，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐷𝐸于点𝐸、𝐷，则∠𝐷+ ∠𝐸=
（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．65°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算
【分析】设𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂，易得∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵，再根据角平分线的定义及三角形内角和定理
即可求解．
【详解】解：如图，设𝐵𝐸与𝐶𝐷交于点𝑂，
∵∠𝐷𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵．
∵∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线分别交𝐷𝐸于点𝐸、𝐷，
∴∠𝐸𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐷𝐶𝐵= 1
2∠𝐴𝐶𝐵．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
∴∠𝐷+ ∠𝐸= ∠𝐸𝐵𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐵= 1
2∠𝐴𝐵𝐶+ 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1
2 × 90° = 45°．
3.如图，将一个直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶(∠𝐴𝐶𝐵= 90°)，沿线段𝐶𝐷折叠，使点𝐵落在𝐵′处，若𝐵′𝐷//𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵′
= 3∠𝐴𝐷𝐵′，则∠𝐵的度数为________．
【答案】22.5°．
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形折叠中的角度问题、根据平行线的性质求角的度数
【分析】根据平行线的性质和折叠的性质可得∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐵′，结合直角三角形的锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵𝐵′𝐷//𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵′ = ∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐴𝐷𝐵′，
∴∠ACB′=3∠B，
∵折叠，
∴∠𝐵= ∠𝐵′，
∴∠𝐴𝐶𝐵′ = 3∠𝐵′，
∵𝐵′𝐷//𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵′𝐸𝐶= 90°，即∠𝐵′ +∠𝐴𝐶𝐵′ = 90°，
∴∠𝐵′ +3∠𝐵′ = 90°，
∴∠𝐵′ = 22.5°．
【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，解题的关键是掌握平行线的性
质和折叠的性质．
4.如图，𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵的值为________
【答案】135°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练
掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键．
设𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝐸，由𝐴𝐶⊥𝐵𝐷可得∠𝐴𝐸𝐵= 90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
由等边对等角及三角形的内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐸)，∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵= 1
2
(180°−∠𝐴𝐵𝐸)，则∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵= 1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐸) + 1
2(180°−∠𝐴𝐵𝐸) = 180°−1
2(∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸)，由此即
可求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵的值．
【详解】解：如图，设𝐴𝐶，𝐵𝐷交于点𝐸，
∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸= 90°，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶= 𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 1
2(180°−∠𝐵𝐴𝐸)，
∠𝐷𝐴𝐵= ∠𝐴𝐷𝐵= 1
2(180°−∠𝐴𝐵𝐸)，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐷𝐵
= 1
2 (180°−∠𝐵𝐴𝐸) + 1
2 (180°−∠𝐴𝐵𝐸)
= 90°−1
2 ∠𝐵𝐴𝐸+ 90°−1
2 ∠𝐴𝐵𝐸
= 180°−1
2 (∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐸)
= 180°−1
2 × 90°
= 180°−45°
= 135°.
5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则等腰三角形的顶角为_____度．
【答案】40 或140
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、等腰三角形的定义
【分析】本题考查等腰三角形的性质及高的位置关系，根据题意，对等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝
角等腰三角形两种情况分别进行解答即可．
【详解】解：①如图1，若该等腰三角形为锐角三角形，
由题意可知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50°，
∴∠𝐴= 90°−50° = 40°；
②如图2，若该等腰三角形为钝角三角形，
由题意可知，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上高，且∠𝐴𝐵𝐷= 50°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−50° = 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−40° = 140°；
综上所述：等腰三角形的顶角度数为40 度或140 度．
故答案为：40 或140．
6.如图，将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，点𝐶，𝐷分别落在𝐶′，𝐷′的位置，𝐶′𝐹的延长线交𝐶𝐷于点𝐺，
∠𝐸𝐹𝐺= 2∠𝐴𝐸𝐷′，则∠𝐵𝐻𝐷′度数为________
【答案】54°
【知识点】折叠问题、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】由折叠性质、平行线的性质、对顶角相等求出相关角度，再由直角三角形两锐角互余求出∠𝐹𝐻𝐶′
= 54°，最后由对顶角相等即可得到答案．
【详解】解：将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，则∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐷′𝐸𝐹，∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°，
设∠𝐴𝐸𝐷′ = 𝛼，∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐷′𝐸𝐹= 𝛽，则∠𝐸𝐹𝐺= 2∠𝐴𝐸𝐷′ = 2𝛼，
∴𝛼+ 2𝛽= 180°，∠𝐴𝐸𝐹= 𝛼+ 𝛽，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐹𝐸= 180°，
∴∠𝐵𝐹𝐸= 180°−(𝛼+ 𝛽)，
将长方形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐸𝐹折叠，则𝐷′𝐸∥𝐶′𝐹，
∴∠𝐷′𝐸𝐹+ ∠𝐶′𝐹𝐸= 180°，则𝛽+ 180°−(𝛼+ 𝛽) +∠𝐵𝐹𝐶′ = 180°，
∴∠𝐵𝐹𝐶′ = 𝛼，
则∠𝐶𝐹𝐺= ∠𝐵𝐹𝐶′ = 𝛼，
在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，则∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐶，
∴𝛼+ 𝛽= 2𝛼+ 𝛼，即𝛽= 2𝛼，
∵𝛼+ 2𝛽= 180°，
∴𝛼+ 2 × 2𝛼= 180°，解得𝛼= 36°，
在Rt △𝐻𝐹𝐶′中，∠𝐹𝐻𝐶′ = 90°−∠𝐻𝐹𝐶′ = 90°−36° = 54°，
∴∠𝐵𝐻𝐷′ = ∠𝐹𝐻𝐶′ = 54°．
7.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶> ∠𝐵，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶．
(1)若∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°，则∠𝐷𝐴𝐸= _________；
(2)计算：若∠𝐶−∠𝐵= 50°，求∠𝐷𝐴𝐸的度数；
(3)猜想：∠𝐷𝐴𝐸、∠𝐵、∠𝐶的关系_________．
【答案】(1)17°
(2)∠𝐷𝐴𝐸= 25°
(3)∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题、直角三角形的两个锐角
互余、角平分线的有关计算
【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 86°，再利用角平分线定义得
∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 43°，接着由𝐴𝐷⊥𝐵𝐶得∠𝐴𝐷𝐶= 90°，根据三角形内角和得到∠𝐶𝐴𝐷，然后利用
∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷进行计算；
（2）由三角形内角和定理得∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，再根据角平分线定义得∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 90°−1
2∠𝐵−1
2
∠𝐶，接着利用互余得到∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，所以∠𝐸𝐴𝐷= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，然后整理得出，将其代入计算即可．
（3）同（2）得出∠𝐸𝐴𝐷= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 30°，∠𝐶= 64°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 86°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 43°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶= 26°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 43°−26° = 17°；
故答案为：17°；
（2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180°−∠𝐵−∠𝐶) = 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶−(90°−∠𝐶) = 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，
∵∠𝐶−∠𝐵= 50°，
∴∠𝐷𝐴𝐸= 25°，
故答案为：25°；
（3）解：猜想：∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
∵∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180°−∠𝐵−∠𝐶) = 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90°−∠𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶−(90°−∠𝐶) = 1
2(∠𝐶−∠𝐵)，
即∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
故答案为：∠𝐷𝐴𝐸= 1
2(∠𝐶−∠𝐵)．
8.已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．
(1)如图1，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．
(2)如图2，𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，则∠1与∠2之间的数量关系是___________．
(3)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少40°，求这两个角的度数．
【答案】(1)∠1 = ∠2
(2)∠1 + ∠2 = 180°
(3)20°，20°或55°，125°
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余
【分析】（1）根据垂直可得∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，由直角三角形的两锐角互余可得∠1 + ∠3 = 90°，
∠2 + ∠4 = 90°，再结合对顶角相等等量代换即可得解；
（2）根据垂直可得∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，由四边形的内角和列式计算即可得解；
（3）设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°，根据这两个角相等或者互补列方程计算即可．
【详解】（1）解：如图所示，设𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐺，𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐻，
∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°，∠2 + ∠4 = 90°，
∵∠3 = ∠4，
∴∠1 = ∠2．
（2）解：如图所示，设𝐴𝐵与𝐷𝐸的交点为𝐺，𝐵𝐶与𝐸𝐹的交点为𝐻，
∵𝐴𝐵⊥𝐷𝐸，𝐵𝐶⊥𝐸𝐹，
∴∠𝐸𝐺𝐵= ∠𝐸𝐻𝐵= 90°，
∵∠1 + ∠2 + ∠𝐸𝐺𝐵+ ∠𝐸𝐻𝐵= 360°，
∴∠1 + ∠2 = 180°．
（3）解：设其中一个角的度数为𝛼，则另一个角的度数为3𝛼−40°．
根据题意，得𝛼= 3𝛼−40°或𝛼+ 3𝛼−40° = 180°，
解得𝛼= 20°或𝛼= 55°．
当𝛼= 20°时，3𝛼−40° = 20°；
当𝛼= 55°时，3𝛼−40° = 125°，
∴这两个角的度数为20°，20°或55°，125°．
1．【跨学科试题·物理】一个小长方体木块静止在斜面𝑂𝐴上，其受力分析如图，重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵
垂直，摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，支持力𝐹2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1 = 28°，则支持力𝐹2与
重力𝐺方向的夹角∠2的度数是（ ）
A．162°
B．152°
C．142°
D．118°
【答案】B
【知识点】垂线的定义理解、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【分析】重力𝐺与水平地面垂直，得∠𝑂𝐷𝐶= 90°．由∠1 = 28°，得∠𝑂𝐶𝐷= 62°，由对顶角得∠
𝐸𝐶𝐴= 62°．摩擦力𝐹1与斜面平行，故∠𝐶𝐸𝐹1 = 180°−62° = 118°．支持力𝐹2与斜面垂直，即与𝐹1垂直，得
∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°．由周角360°得∠2 = 360°−90°−118° = 152°．
【详解】解：如图，设重力𝐺的作用线与斜面𝑂𝐴交于点𝐶，与水平地面𝑂𝐵交于点𝐷．
∵重力𝐺的方向与水平地面𝑂𝐵垂直，
∴∠𝑂𝐷𝐶= 90°．
∵ ∠1 = 28°，
∴∠𝑂𝐶𝐷= 90°−28° = 62°．
∴ ∠𝐸𝐶𝐴= 62°．
∵摩擦力𝐹1的方向与斜面平行，
∴∠𝐶𝐸𝐹1 = 180°−∠𝐸𝐶𝐴= 180°−62° = 118°，
∵支持力𝐹2的方向与斜面垂直，
∴支持力𝐹2的方向与摩擦力𝐹1的方向垂直，
∴ ∠𝐹2𝐸𝐹1 = 90°，
∴∠2 = 360°−∠𝐹2𝐸𝐹1−∠𝐶𝐸𝐹1 = 360°−90°−118° = 152°．
2．【跨学科试题·物理】日常生活中，我们观察到的池塘水深比实际情况浅一些．如图，眼睛看到的点𝐴′实
际是在更深处的池底点𝐴处（点𝐴，𝐴′,𝑂在一条竖直直线上）．若∠1 = 132°，则∠2的度数为（ ）
A．48°
B．46°
C．44°
D．42°
【答案】D
【知识点】利用邻补角互补求角度、对顶角相等、直角三角形的两个锐角互余
【分析】利用邻补角的性质求出∠𝑂𝐴′𝐵的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出∠𝑂𝐵𝐴′，最后利用对顶
角相等即可求解．
【详解】解：∵点𝐴，𝐴′，𝑂在一条竖直直线上，
∴∠𝑂𝐴′𝐵+ ∠1 = 180°，
∵∠𝐴𝐴′𝐵= 132°，
∴∠𝑂𝐴′𝐵= 180°−132° = 48°，
∵水面𝑂𝐷 水平，竖直直线𝑂𝐴垂直于水面，
∴∠𝐴′𝑂𝐵= 90°，
∴∠𝑂𝐵𝐴′ = 90°−∠𝑂𝐴′𝐵= 90°−48° = 42°，
∵人眼逆着折射光线看去，感觉光线是从𝐴′发出的，
∴点𝐶，𝐵，𝐴′在同一直线上，
又∵点𝑂，𝐵，𝐷在同一直线上，
∴∠𝐶𝐵𝐷 和∠𝑂𝐵𝐴′是对顶角，
∴∠2 = ∠𝑂𝐵𝐴′ = 42°．
3．【分类讨论】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，垂足为𝐷，∠𝐵= 36°，且∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶
的度数为__________．
【答案】90°或18°
【知识点】几何图形中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余
【分析】根据直角三角形的性质，角的和差计算，需要分情况讨论垂足𝐷的位置，垂足𝐷在线段𝐵𝐶上和垂足
𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上，利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐵𝐴𝐷，再结合已知条件求出∠𝐶𝐴𝐷，最后根据角
的和差关系计算∠𝐵𝐴𝐶的度数．
【详解】解：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
在Rt △𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵= 36°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−∠𝐵= 90°−36° = 54°，
∵∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 18°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐷−18° = 54°−18° = 36°，
分两种情况讨论：
①当垂足𝐷在线段𝐵𝐶上时，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐶𝐴𝐷= 54° + 36° = 90°，
②当垂足𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上（点𝐶在𝐵，𝐷之间）时，
∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐶𝐴𝐷= 54°−36° = 18°，
综上可得：∠𝐵𝐴𝐶的度数为90°或18°．
4．
【分类讨论】已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，∠𝐵比∠𝐴大26°，点M，N 分别在边𝐴𝐶,𝐴𝐵上，连接𝑀𝑁，将△𝐴𝑀𝑁
沿着𝑀𝑁折叠，得到△𝐴′𝑀𝑁，当𝐴′𝑁所在直线与𝐴𝐶垂直时，∠𝐴𝑀𝑁的度数是__________
【答案】29°或119°
【知识点】根据平行线判定与性质求角度、折叠问题、直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的
应用
【分析】先求出∠𝐴= 32°，∠𝐵= 58°，再分两种情况讨论，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线𝐴𝐵的异侧；
𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线AB 的同侧，即可求解．
【详解】解：∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐶= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∵∠𝐵比∠𝐴大26°，
∴∠𝐵= ∠𝐴+ 26°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴+ 26° = 90°，
∴∠𝐴= 32°，
∴∠𝐵= 32° + 26° = 58°，
如图1，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线𝐴𝐵的异侧，
∵𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶,𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，
∴𝐴′𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝑁𝐴′ = ∠𝐵= 58°，
∴∠𝐴𝑁𝐴′ = 180°−∠𝐵𝑁𝐴′ = 122°，
由折叠得：∠𝐴𝑁𝑀= ∠𝐴′𝑁𝑀，
∵∠𝐴𝑁𝑀+ ∠𝐴′𝑁𝑀+ ∠𝐴𝑁𝐴′ = 360°，
∴2∠𝐴𝑁𝑀+ 122° = 360°，
∴∠𝐴𝑁𝑀= 119°，
∴∠𝐴𝑀𝑁= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝑁𝑀= 180°−32°−119° = 29°；
如图2，𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶，且点𝐴′与点C 在直线AB 的同侧，
∵𝐴′𝑁⊥𝐴𝐶,𝐵𝐶⊥𝐴𝐶，
∴𝐴′𝑁∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑁𝐴′ = ∠𝐵= 58°，
由折叠得∠𝐴𝑁𝑀= ∠𝐴′𝑁𝑀= 1
2∠𝐴𝑁𝐴′ = 29°，
∴∠𝐴𝑀𝑁= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝑁𝑀= 180°−32°−29° = 119°，
综上所述，∠𝐴𝑀𝑁的度数是29°或119°．
5．【新定义】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的
1
2，我们称这两个角互为“友爱角”，这个
三角形叫作“友爱三角形”．例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 80∘,∠𝐵= 40∘，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”，△𝐴𝐵𝐶
为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵），∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
①求∠𝐴、∠𝐵的度数．
②若𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高，则△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”吗？为什么？
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 70°，∠𝐴= 66°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴，𝐵重合），连接𝐶𝐷，若△𝐴𝐶𝐷
是“友爱三角形”，直接写出∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)①∠𝐴= 60°，∠𝐵= 30°；②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”；理由见解析
(2)33°或38°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了直角三角形的性质和新定义，正确理解“友爱三角形”的定义是关键．
（1）①根据∠𝐴与∠𝐵互余和“友爱三角形”的定义进行求解即可；
②根据直角三角形的性质及“友爱三角形”的定义进行判断即可；
（2）直接根据“友爱三角形”定义求解即可．
【详解】（1）解：①∵△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐴> ∠𝐵），
∴∠𝐴= 2∠𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°−90° = 90°，即2∠𝐵+ ∠𝐵= 90∘，解得∠𝐵= 30°，
∴∠𝐴= 60°；
②△𝐴𝐶𝐷、△𝐵𝐶𝐷都是“友爱三角形”，
理由：∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵∠𝐴= 60°,∠𝐵= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°,∠𝐵𝐶𝐷= 60°
在△𝐴𝐶𝐷中，∠𝐴= 60°,∠𝐴𝐶𝐷= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴，
∴△𝐴𝐶𝐷为“友爱三角形”；
在△𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵𝐶𝐷= 60°,∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵= 1
2 ∠𝐵𝐶𝐷
∴△𝐵𝐶𝐷为“友爱三角形”；
（2）解：∵△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与点𝐴,𝐵重合），
∴∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴或∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐶，
当∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴时，∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴= 33°；
当∠𝐴𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐶时，
∴∠𝐴+ 3∠𝐴𝐶𝐷= 180°，即3∠𝐴𝐶𝐷= 114°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 38°，
综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为33°或38°．
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若∠1 = 50°，则∠2的度数
是（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【答案】B
【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求
解．
【详解】解：如图所示，
由题意得∠3 = ∠1 = 50°，∠5 = 90°，∠2 = ∠4，
∴∠2 = ∠4 = 180°−90°−∠3 = 90°−50° = 40°，
故选：B．
2．（2024·西藏·中考真题）如图，已知直线𝑙1∥𝑙2，𝐴𝐵⊥𝐶𝐷于点D，∠1 = 50°，则∠2的度数是（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理应用，垂线定义理解．先利用平行线的性质求出∠𝐴𝐵𝐶
的度数，然后利用三角形内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵𝑙1∥𝑙2，∠1 = 50°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠1 = 50°，
∵𝐴𝐵⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠2 = 180°−90°−50° = 40°，故A 正确．
故选：A．
3.一个三角形的三个内角的度数的比为1:2:3，这个三角形是______三角形
【答案】直角
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形类别，解答此题应明确三角形的内角度数的和是180°，求
出最大的角的度数，然后根据三角形的分类判定类型．
【详解】解：180° ×
3
1+2+3 = 90°，
∴这个三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
