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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题03 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线模型的四类 综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：三角形中同时出现两条角平分线（内内、内外、外外），或角平分线与高线组合，求特定夹 角。 - 解题方法：双角平分线模型套用结论（如两内角平分线夹角=90°+ 1 2∠C）；高线模型利用互余关系转化 角度；结合内角和180°与外角定理建立方程。 - 易错提醒：混淆内外角平分线夹角公式（内内为90°+ 1 2∠C，外外为90°- 1 2∠C）；高线在钝角三角形 中落在外部时忽略外角处理；角平分线分角相等前提记错。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型 典例1．（25-26 八年级下·贵州毕节·期中）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线相交于点O． 目 录 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 52 A = ，求 BOC 的度数； (2)把（1）中 52 A = 这个条件去掉，试探索 BOC 和 A 之间有怎样的数量关系． 题型模版 1.特征：三角形中两个内角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°+半角。 2.方法：设两角为∠B,∠C，利用角平分线定义表示夹角，结合三角形内角和为180°推导关系式。 变式1-1．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）如图，在ABC 中， 112 ADC = ，点D 在ABC 内部，且到三 边的距离相等，则 B =_______． 变式1-2．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）在ABC 中，BAC ABC ，三个内角的平分线交于点O． (1)填空：如图1，若 70 ACB = ，则 AOB 的大小为______度； (2)如图1，过点O作OD OC ⊥ ，交AC 于点D ，证明： ADO AOB = ； (3)如图2 ，CO的延长线交AB 于点E ．点M 是AB 边上的一动点（不与点E 重合），过点M 作MN CE ⊥ 于 点N ，请直接写出 AMN 、 ABC 、 BAC 三者之间的数量关系． 变式1-3． （25-26 七年级下·河南驻马店·期末） 【问题原型】如图①，在ABC 中， 66 A = ，BD平分 ABC ， CD平分 ACB ，求 D 的度数． (1)对于上述问题，再结合以下部分解答内容，完成完整解答过程． 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解： 180 A ABC ACB + + = ，且 66 A = ． 180 114 ABC ACB A + = −= ． BD 平分 ABC ，CD平分 ACB ， 1 1 2 ABC = ， 1 2 2 ACB = ， （补全过程） (2)【问题拓展】如图②，在ABC 中，A = ，BE、BF 是 ABC 的三等分线（即 ABF FBE = = EBC ）， CE 、CF 是 ACB 的三等分线，则 E =_________．（用含的代数式表示） (3)【提升应用】在【问题拓展】的条件下： ①若 249 E F + = ， F 的度数为_________． ②当 48 ACB = 时， BFC 的一条边的所在直线与ABC 的某一边的所在直线垂直时， A =_________． 题型二、三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型 典例2．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，ACE 是ABC 的一个外角，BD为 ABC 的平分线，CD 在 ACE 的内部，与BD交于点D ， 2 A D = ． (1)判断CD是否平分 ACE ，并说明理由； (2)如图2， ACB 的平分线CO交BD于点O， 48 D = ，求 DOC 的度数． 题型模版 1.特征：三角形一个内角和一个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的数量关系。 2.方法：设未知角，用角平分线定义表示目标角，结合内角和与外角定理（外角=不相邻两内角和）建立等 式推导。 变式2-1．（25-26 七年级下·甘肃天水·阶段检测）如图，在ABC 中， 40 A = ∠ ， ABC 的平分线与 ACD 的平分线相交于点E，则 E 的度数为_________． 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式2-2．（25-26 七年级下·四川资阳·期中）如图，在ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作 // DE BC ，交AC 于点E ，DP平分 ADE ，交 ACB 的平分线于点P ，CP 与DE 相交于点G ，ACF 的平分线CQ 与DP的 延长线相交于点Q ． (1)若 50 A = ， 60 B = ，求 DPC 与 Q ； (2)若 A x = 时，求 DPC 与 Q ； (3)若PCQ 中存在一个内角等于另一个内角的三倍，求所有符合条件的 A 的度数． 变式2-3．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．若 90 C = ，求 E 的度数． 【问题解决】 (1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程： AE 平分 BAC ，BE平分 CBD ， 2 BAC BAE = ， 2 CBD DBE = ∠ ∠ ． DBE = ______ BAE + ， 2 2 2 DBE E BAE = + ． CBD = ______ BAC + ， 1 2 E C = = ______度． 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 将小明的过程补充完整． 【应用】 (2)如图②，在ABC 中， CAB 的平分线AE 与外角 CBD 的平分线BE交于点E ．设 C 的度数为m ，求 E 的度数．（用含m 的代数式表示） 【拓展】 (3)如图③，在ABC 中，C 为锐角，BAC 内部的射线AE 与外角 CBD 内部的射线BE交于点E（ E 为 锐角）．若 1 4 CAE BAC = ， 1 4 CBE CBD = ，设 C 的度数为m ，则 E 的大小为______．（用含m 的 代数式表示） 题型三、三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型 典例3．（25-26 七年级下·河南新乡·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ，BF 平分外角 CBD ，CF 平分外 角 BCE ，BG 平分 CBF ，CG 平分 BCF ，求 G 的度数． 题型模版 1.特征：三角形两个外角的角平分线相交，求夹角与第三个内角的关系，常为90°-半角。 2.方法：设两外角对应内角为∠B, ∠C ，利用外角=180°-内角及角平分线定义，结合内角和定理推导关系 式。 变式3-1． （25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，在ABC 中，ABC 和 ACB 的外角平分线相交于点D．若 40 BDC = ，则 A =_________． 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式3-2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题背景】 同学们，我们已经学习过三角形外角的性质：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．”那么三 角形的两个外角与它们不相邻的内角之间有怎样的数量关系呢？四边形的两个外角与它们不相邻的内角之 间的数量关系又如何呢？ 【问题初探】 (1)如图1， ACD ， CAE 是ABC 的两个外角． ① ACD ， CAE 与 B 之间的数量关系是________，并加以证明； ②若 ACD ，CAE 的平分线CN ，AM 相交于点O，直接写出 AOC 与 B 之间的数量关系是________； 【迁移拓展】 (2)如图2 ， DAE ， DCF 是四边形ABCD的两个外角． ① DAE ， DCF 与 B ， D 之间的数量关系是________； ②如图3， DAE ， DCF 的平分线AM ，CN 相交于点O，若 60 B = ， 136 D = ，则 AOC 的度数是 ________． 变式3-3．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）探究以下问题： 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)探究一：如图（a），BD平分 ABC ，CD平分 ACB ，请确定 A 与 D 的数量关系，并说明理由； (2)探究二：如图（b），BE平分 ABC ，CE 平分 ACM ，请确定 A 与 E 的数量关系________________； (3)探究三：如图（c），BF 平分 CBP ，CF 平分 BCQ ，请确定 A 与 F 的数量关系________________； 解决问题： (4)如图（d），在ABC 中， 56 A = ，BD，CD分别平分 ABC ，ACB ，M，N，Q 分别在DB，DC ，BC 的延长线上，BE，CE 分别平分 MBC ，BCN ，BF ，CF 分别平分 EBC ，ECQ ，则 F = ________． 题型四、三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型 典例4．（25-26 八年级下·重庆南岸·期末）如图，AD，AE 分别是ABC 的高和角平分线． (1)若 70 B = ， 30 C = ，求 AEC 和 DAE 的度数； (2)若 B = ， C = ，且 ，直接写出 AEC 和 DAE 的度数（用含，的代数式表示）． 题型模版 1.特征：同一点引出高线和角平分线，求两线夹角与三角形内角关系，常涉及直角三角形。 2.方法：利用高线得90°直角三角形，角平分线得半角关系，通过两角差（或和）建立等式，结合内角和 求解。 变式4-1．（2026 七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC 中，E 为ABC 角平分线AM 的延长线上一点， 过点E 作ED BC ⊥ 于点D，若 45 B = ， 2 = CAE E ，则 C 的度数为________ ． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 变式4-2．（25-26 七年级下·上海·期中）如图，CD是ABC 的角平分线，E 是CD的中点，过点E 作EF AB ⊥ 于点F ，连接BE． (1)若 36 A = ， 66 ABC = ，求 DEF 的度数； (2)若 8 BD = ， 6 EF = ，求BCE 的面积． 变式4-3．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC 中，C B ，AE 是边BC 上的高，AD是 BAC 的平分线． (1)如图①，若 20 DAE = ， 30 B = ，求 C 的度数； (2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG BC ⊥ 于点G ，试探究 F 与 C ，B 之间的数量关系，并说 明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（2026·安徽宿州·二模）如图，在ABC 中， 1 3 PBC ABC = ， 1 3 PCB ACB = ，且 72 A = ．则 BPC 的度数为（ ） 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．108 B．120 C．144 D．150 2．（25-26 七年级下·福建厦门·期末）如图，在ABC 中， ABC 和 ACB 的平分线交于点O， ACB 的外角 平分线所在直线与 ABC 的平分线相交于点D ，与 ABC 的外角平分线相交于点E ，则下列结论中，错误 的是（） A． 1 2 D A = B． 90 E A = − C． 1 90 2 BOC A = + D． 90 E DCF ABD + − = 3． （25-26 七年级下·江苏南通·期末）如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在线段AB 同侧作ACD 和BCE ，且 2 2 D E DAC EBC = = = ．若 DAC 的平分线与 ECB 的平分线交于点F ，则 DCE 与 F 的数量关系为（ ） A． DCE F = B． 3 90 DCE F + = C． 4 180 DCE F + = D． 6 360 DCE F + = 二、填空题 4． （25-26 七年级下·福建漳州·期末）如图，在ABC 中， B ABC AC = ∠ ，点D 在射线BC 上，ABC 和 ACD 的角平分线相交于点E ，若 3 ECD E = ，则 A 的度数为______． 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5． （25-26 七年级下·江苏泰州·阶段检测）如图，线段AB 和线段CD交于点O，连AC 、BD， 1 4 CAP CAB = ， 1 4 CDP CDB = ，AP 、DP分别交CD，AB 于M 、N ；则 C 、B 、P 之间数量关系是____________ 6．（25-26 七年级下·广东佛山·期中）已知，如图，CD EF ∥ ，点A，B 分别是直线CD，EF 上的点．连接 AB ，分别作 DAB 与 FBA 的平分线 1 AP ， 1 BP 交于点 1P ，如图①；在图（1）基础上继续分别作 1 DAP 与 1 FBP 的平分线 2 AP ， 2 BP 交于点 2P ，如图②；在图（2）基础上按上述作图方法继续分别画角平分线交于 点 3P ，那么 3P 的度数是________． 三、解答题 7．（25-26 八年级下·河北保定·期中）如图，在ABC 中， 80 A = ． (1)如图1，BP平分 ABC ，CP 平分 ACB ，求 P 的度数． (2)如图2，BQ 平分 ABC ，CQ 平分外角 ACD ，求Q 的度数． 8．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）结合图形，解决问题． 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)已知：如图1，在ABC 中， 60 A = ，BP，CP 分别平分 ABC 和 ACB ，BPC 的度数是_________． (2)已知：如图2，DBC 与 ECB 分别是ABC 的两个外角，且 210 DBC ECB + = ．则 A =_________． (3)如图3，在四边形ABCD中，F 为四边形ABCD的 ABC 的平分线及外角 DCE 的平分线所在的直线构 成的锐角，若设 A = ， D = ，求 F 的度数．（用含，的式子表示） 9．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图1，在ABC 中，BE平分 ABC ，CE 平分 ACB ．若 80 A = ，则 BEC =_____； 【探究】 (2)如图1，在ABC 中，BE平分 ABC ，CE 平分 ACB ．试猜想 BEC 和 A 有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图2 ，在ABC 中，BD，BE三等分 ABC ，CD，CE 三等分 ACB ，若 A n = ，则 BEC =_____． 10．（25-26 七年级下·广东深圳·期中）已知在ABC 中，AE 平分 BAC ， C B ． 【特例探究】 (1)如图（a），AD BC ⊥ ，垂足为D ，若 35 B = ， 65 C = ∠ ，则 DAE 的度数为___________； 【一般推导】 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (2)如图（b），点P 在线段AE 上，过点P 作PG BC ⊥ ，垂足为G ．请写出 EPG 与 B ， C 之间的数量关 系：___________ 【拓展应用】 (3)如图（c），在ABC 中，AD BC ⊥ ，垂足为D EP CP ， ， 分别平分 AEC 和 ACM ，过点P 作PG BC ⊥ 交 BC 延长线于点G ．若 EAD CAD = ， ( ) 2 3 CPG B CPE = + ，求 B 的度数． 11． （25-26 七年级下·北京·阶段检测）如图1、2、3 所示，在ABC 中，ABC 与 ACB 的平分线相交于点P ． (1)如图1 所示，若 42 ABC = ， 48 ACB = ，则 BPC 的度数为 ． (2)如图1 所示，如果 80 A = ，求 BPC 的度数； (3)如图2 所示，作ABC 外角 MBC ， NCB 的平分线交于点 Q ，试探索Q ， A 之间的数量关系； (4)如图3 所示，延长线段BP，QC 交于点E ，在 BQE △ 中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出 A 的度数． 12．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究 角之间数量关系的数学活动，如图，已知直线AB CD ，点P 是直线AB 上方的一个动点，点 , E F 在直线CD 上，连接 , PE PF ，分别交AB 于点G，点H． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，【探索发现】当 P PEF PFE + + =__________°． (2)如图2，“快乐小组”通过尺规作图，作出 PEF 与 PFE 的角平分线，且角平分线相交于点Q，“快乐小 组”发现 1 90 2 EQF EPF = + ，证明“快乐小组”的结论． (3)如图3，【操作探究】在（2）问的条件下，当“智慧小组”连接PQ ，他们惊奇地发现，PQ 平分 EPF ， 并且1 99 5 EQF EPF = − ，“智慧小组”将PQ 延长到K，过K 点作KJ CD ⊥ ，若 5 PKJ = 时，求 PEQ 的 度数．
