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专题02 抛物线与直线的交点问题
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、抛物线与x 轴的交点问题
题型2、抛物线与y 轴交点距离
题型3、抛物线与平行于x 轴的直线的交点问题
题型4、抛物线与平行于x 轴的线段的交点问题
题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题
题型6、抛物线与一次函数交点问题
题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
解决抛物线与直线的交点问题，核心在于联立方程组，把几何交点问题转化为一元二次方程根的判别
式、根与系数关系问题；要紧紧抓住抛物线解析式与直线解析式，通过消元得到关于自变量的一元二次方
程，利用判别式判断交点个数，借助数形结合确定参数范围；解题中必须注意讨论二次项系数、直线斜率
是否存在以及交点是否在给定区间或线段上等临界状态，所有结果均需回代检验．
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型1、抛物线与x 轴的交点问题
典例1 如图是抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，其顶点为(
)
1,n ，且与x 轴的一个交点在点(
)
3,0 和(
)
4,0 之间，
则下列结论正确的有（ ）
目 录
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①若抛物线与x 轴的另一个交点为(
)
,0
k
，则2
1
k
−
−； ②c
a
n
−
=
；③若x
m
时，y 随x 的增大而增
大，则
1
m = ；④若
0
x
时，
(
)
2
2
0
ax
b
x
+
+
．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】①根据抛物线的对称性得：AD
BD
=
，列不等式可得结论； ②将顶点坐标(
)
1,n 代入抛物线的解
析式中，列两式可得结论； ③根据抛物线的对称轴即可判断； ④设
(
)
2
2
y
ax
b
x
=
+
+
，把它看作另一个二
次函数，此二次函数过原点，通过计算发现与x 轴有两个交点，且另一个交点在原点的右侧，由此作判断．
【详解】解：①如图1，设抛物线与x 轴的交点为A和B （A在B 的右侧），
则3 1
4 1
AD
−
−，
∴2
3
AD
，
由对称性得：AD
BD
=
，
∴2
3
BD
，
∵
(
)
,0
B k
，
∴
1
BD
k
= −
，
∴2
1
3
k
−
，
∴2
1
k
−
−，
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故①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为(
)
1,n ，
∴
1
2
b
a
−
= ，a
b
c
n
+ +
=
，
∴
2
b
a
= −
，
∴
2
a
a
c
n
−
+ =
，
∴a
c
n
−+
=
，
∴c
a
n
−
=
，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线
1
x = ，开口向下，
∴
1
x 时，y 随x 的增大而增大，
∵x
m
时，y 随x 的增大而增大，
∴
1
m ；
故③错误；
④由图可知：抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 开口向下，
∴
0
a
，
∴抛物线
(
)
2
2
y
ax
b
x
=
+
+
也开口向下，且过原点，如图2 所示，
当
0
y =
时，
(
)
2
2
0
ax
b
x
+
+
=
，
(
)
2
0
x ax
b
+
+
=
，
∴
1
0
x =
，
2
2
2
2
2
2
0
b
a
x
a
a
a
+
−
+
= −
= −
=
−
，
∴当
0
x
时，
(
)
2
2
0
y
ax
b
x
=
+
+
，
即当
0
x
时，
(
)
2
2
0
ax
b
x
+
+
；
故④正确；
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其中正确结论是：①②④，3 个．
题型模版
1.特征：题目给出抛物线解析式或含参解析式，要求判断抛物线与x 轴的交点个数、交点坐标或求参数范围．
2.方法：令 y=0 得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式判断交点个数；求根公式或因式分解得交点横
坐标；含参时根据交点个数要求列判别式不等式，注意二次项系数不为零并回代检验．
变式1-1 （25-26 九年级上·安徽淮南·阶段检测）已知函数
2
2
2
y
mx
x
m
=
+
−
+
，解答下列问题：
（1）此函数必过的固定点是______．
（2）若该图象与坐标轴只有两个交点，则m = ______．
【答案】 (
) (
)
1,4 ,
1,0
−
0 或1 或2
【分析】本题考查了函数过定点问题，函数图象与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握分类讨论的思想．
（1）将原函数解析式变形为
(
)
2
1
2
2
y
m x
x
=
−
+
+
，要使得经过定点，则与m 无关即可，那么只需
2
1
0
x −=
，
进而即可求解；
（2）分类讨论
0
m =
和
0
m
两种情况即可求解．
【详解】解：（1）
(
)
2
2
2
2
1
2
2
y
mx
x
m
m x
x
=
+
−
+
=
−
+
+
，
∵此函数图象经过定点，
∴
2
1
0
x −=
，
∴
1
x = ，
∴
1,
4;
1,
0
x
y
x
y
=
=
= −
=
，
∴经过定点(
) (
)
1,4 ,
1,0
−
；
故答案为：(
) (
)
1,4 ,
1,0
−
；
（2）①当
0
m =
时，
2
2
y
x
=
+
，该一次函数与坐标轴有两个交点，满足题意；
②当
0
m
时，
2
2
2
y
mx
x
m
=
+
−
+
为二次函数，
若图象经过原点，则
2
0
m
−
+
=
，解得：
2
m =
，
此时
2
2
2
y
x
x
=
+
，
4
0
=
，
图象与x 轴还有一个交点，满足题意；
若函数
2
2
2
y
mx
x
m
=
+
−
+
的图象与x 轴只有一个交点，
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∴
(
)
2
Δ
2
4
2
0
m
m
=
−
−
+
=
，
解得：
1
m =
当
1
m = 时，函数为
2
2
1
y
x
x
=
+
+ ，其图象与x 轴的交点为( 1,0)
−
，与y 轴的交点为(0,1) ，共有两个交点，
满足题意．
综上所述：m = 0 或1或2 ，
故答案为：0 或1 或2．
变式1-2 如图，直角坐标系中，抛物线
(
)
2
2
2
0
y
ax
ax
a
a
=
−
−
+
分别交y 轴于点C ，交x 轴于点A，B（点
A在点B 的左侧），D 为顶点，G 为线段OC 上一点，过点G 作x 轴的平行线分别交抛物线于点E ，F（点E
在点F 的左侧）．
(1)求该抛物线的对称轴及GF
GE
−
的长．
(2)当
2
OG
CG
=
时，点D 关于EF 的对称点H 恰好落在x 轴上，求此时AB 的长．
【答案】(1)对称轴x=1，GF-GE=2
(2)AB=4
【分析】（1）作DH
AB
⊥
于点H ，交EF 于点P ，求出抛物线对称轴为
2
1
2
2
b
a
x
a
a
−
= −
= −
= ，根据EF
AB
∥
，
得到
1
OH
GP
=
= ，EP
FP
=
，得到
(
)
2
2
GF
GE
GP
FP
EP
GP
GP
−
=
+
−
−
=
=
．
（2）根据
2
OC
a
=
−
，
2
OG
CG
=
，得到
(
)
2 2
3
OG
a
=
−
，根据点D 关于EF 的对称点H 恰好落在x 轴上，得
到DP
HP
OG
=
=
，根据
(
)
1,2
2
D
a
−
，得到
(
)
4
2
2
2
3
a
a
−
=
−
，
1
a = −，得到
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
推出
4
AB =
．
【详解】（1）解：（1）作DH
AB
⊥
于点H ，交EF 于点P ，
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抛物线对称轴为
2
1
2
2
b
a
x
a
a
−
= −
= −
= ，
∵EF
AB
∥
，∴
1
OH
GP
=
= ，EP
FP
=
，
∴
(
)
2
2
GF
GE
GP
FP
EP
GP
GP
−
=
+
−
−
=
=
．
（2）（2）易知
2
OC
a
=
−
，
∵
2
OG
CG
=
，
∴
(
)
2 2
3
OG
a
=
−
，
又∵点D 关于EF 的对称点H 恰好落在x 轴上，
∴DP
HP
OG
=
=
，而点
(
)
1,2
2
D
a
−
，
∴
(
)
4
2
2
2
3
a
a
−
=
−
，
1
a = −，
∴
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
∴
4
AB =
．
【点睛】本题考查了抛物线的性质，轴对称，待定系数法，二次函数与一元二次方程，解决问题的关键是
熟练掌握抛物线的对称性，熟练掌握轴对称性质，熟练运用待定系数法求抛物线的解析式，熟练掌握二次
函数与一元二次方程的关系．
变式1-3 （25-26 九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过点
(
)
0,3
A
和
点
(
)
3,0
B −
．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式；
(2)将抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 向上平移m 个单位长度后与x 轴交于M，N 两点，若
6
MN
，求m 的取值范围；
(3)当
1
t
x
t
+ 时，抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 的最大值和最小值的差为3 t
−，求t 的值．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
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(2)
5
m
(3)t 的值为-6 或0
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法、根与系数关系是解题的关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据根与系数关系和两点之间的距离公式得到
(
)
2
1
2
1
2
2
4
x
x
x
x
m
−
=
−
=
+
，根据
6
MN
得到
2
4
6
m +
，解不等式即可得到答案；
（3）根据t 的取值范围分情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：将点
(0,3)
A
和点
( 3,0)
B −
代入
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 得
2
3
0
3
3
c
b
c
=
= −
−
+
，
解得
2
3
b
c
= −
=
所以抛物线的表达式为：
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ ；
（2）解：设M，N 两点坐标分别为(
) (
)
1
2
,0 ,
,0
x
x
因为抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 向上平移m 个单位长度后为
2
2
3
y
x
x
m
= −
−
+ +
，
所以关于x 的方程
2
2
3
0
x
x
m
−
−
+
+
=
的两个实数根为
1
2
,
x x
所以
1
2
1 2
2,
3
x
x
x x
m
+
= −
= −−
所以
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
( 2)
4( 3
)
2
4
x
x
x
x
x
x
x x
m
m
−
=
−
=
+
−
=
−
−
−−
=
+
因为
6
MN
，
所以2
4
6
m +
，
解得
5
m
；
（3）解：抛物线
2
2
3
y
x
x
= −
−
+ 开口向下，对称轴为
1
x = −，
①
1
1
t + −即
2
t
−
时，y 随x 的增大而增大
x
t
= 时
2
2
3,
1
y
t
t
x
t
= −
−
+
= +
最小
时
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
y
t
t
t
t
= −
+
−
+
+
= −
−
最大
所以
(
)
2
2
4
2
3
3
t
t
t
t
t
−
−
−−
−
+
=
−，
解得：
6
t = −；
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②
1
1
t
t
−+ 且
1
1
2
t +
−
≤
，即
3
2
2
t
−−
时，
当
1
x = −时y最大
4
=
，当x
t
= 时y最小
2
2
3
t
t
= −
−
+ ，
所以
(
)
2
4
2
3
3
t
t
t
−−
−
+
=
−，
解得：
3
17
2
t
−
=
（舍）
③
1
1
t
t
−+ 且
1
1
2
t +
−，即
3
1
2
t
−
−时，
当
1
x = −时y最大
4,
t
1
x
=
= + 时y最小
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
t
t
t
t
= −
+
−
+
+
= −
−
，
所以4－(
)
2
4
3
t
t
t
−
−
=
−，
解得：
5
21
2
t
−
=
（舍）
④
−1
t
时，y 随x 的增大而减小
x
t
= 时
2
2
3,
1
y
t
t
x
t
= −
−
+
= +
最大
时
2
2
(
1)
2(
1)
3
4
y
t
t
t
t
= −
+
−
+
+
= −
−
最小
所以
(
)
2
2
2
3
4
3
t
t
t
t
t
−
−
+ −−
−
=
−，
解得：
0
t =
；
综上所述，t 的值为6
−或0．
题型2、抛物线与y 轴交点距离
典例2 （25-26 九年级上·北京海淀·阶段检测）已知抛物线
(
)(
)
2
4
y
a x
x
=
+
−
与x 轴交于点A B
，（点A在点
B 的左侧），与y 轴交于点C ，点
(
)(
)
0,
1
2
P
t
t
−
为y 轴上一动点，过点P 作y 轴的垂线交抛物线于点
M
N M
、（
与N 不重合）．
(1)求点C 的坐标（用含a 的式子表示）；
(2)当
0
a
时，若
17
BC =
，求MN 的最大值；
(3)对于(
)
0
a a
的每一个确定的值，MN 有最小值m ，若
2
m
，请直接写出a 的取值范围___________．
【答案】(1)
(
)
0, 8
C
a
−
(2) MN 的最大值2 17
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(3) 1
1
9
8
a
或
1
2
4
9
a
−
−
【分析】（1）令
0
x =
即可求解；
（2）令
(
)(
)
2
4
0
y
a x
x
=
+
−
=
，求得A、B 的坐标，即可求得BC 的长，由
17
BC =
则可求得a 的值，从而
求得二次函数解析式，再由
(
)(
)
2
4
y
a x
x
t
=
+
−
= 求得MN 关于t 的函数式，即可求得其最大值；
（3）由
(
)(
)
2
4
y
a x
x
t
=
+
−
= 求得
2
MN 关于t 的函数式，分
0
0
a
a
，
两种情况考虑，利用函数的性质即
可求解．
【详解】（1）解：对于
(
)(
)
2
4
y
a x
x
=
+
−
，令
0
x =
，得
(
)(
)
0
2
0
4
8
y
a
a
=
+
−
= −
，
∴
(
)
0, 8
C
a
−
；
（2）解：令
(
)(
)
2
4
0
y
a x
x
=
+
−
=
，
解得：
1
2
2
4
x
x
= −
=
，
，
∴点A、B 的坐标分别为(
) (
)
2,0
4,0
−
、
，
∴
(
)
2
2
2
4
8
64
16
BC
a
a
=
+ −
=
+
，
∴
17
BC =
，
∴
2
64
16
17
a +
=
，
解得：
1
8
a =
，
∵
0
a
，
∴
1
8
a
−
=
，
∴
(
)(
)
1
2
4
8
y
x
x
= −
+
−
令
(
)(
)
1
2
4
8
y
x
x
t
= −
+
−
= ，整理得：
2
2
8
8
0
x
x
t
−
−+
=
，
∵M、N 不重合，
∴
(
)
(
)
2
Δ
2
4 1
8
8
0
t
= −
−−+
，
∴
9
8
t
，
∵1
2
t
−
，
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∴
9
1
8
t
−
，
解得：
1
2
1
9
8
1
9
8
x
t
x
t
= −
−
= +
−
，
，
∴
2
1
2 9
8
MN
x
x
t
=
−
=
−
，其中
9
1
8
t
−
，
对于一次函数
9
8
y
t
=
−
，且
9
1
8
t
−
，
当
1
t = −时，函数
9
8
y
t
=
−
取得最大值17，从而MN 取得最大值2 17 ，
∴MN 的最大值为2 17 ；
（3）解：令
(
)(
)
2
4
y
a x
x
t
=
+
−
= ，
整理得：
2
2
8
0
ax
ax
a
t
−
−
−=
，
由题意知，方程必有两个不相等的实数根，设这两个实数根分别为
1
2
x
x
，
，
∴
1
2
1 2
8
2
a
t
x
x
x x
a
+
+
=
= −
，
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
1 2
8
4
4
4
4
36
a
t
t
MN
x
x
x
x
x x
a
a
+
=
−
=
+
−
=
+
=
+
，其中1
2
t
−
，
∵M、N 不重合，
∴
2
0
MN
，
当
0
a
时，对于(
)
0
a a
的每一个确定的值，当
1
t = −时，
2
MN 取得最小值
4
36
a
−
，
由题意知
2
4
36
4
m
a
−
=
，
∴
4
0
36
4
a
−
，
解得：1
1
9
8
a
；
当
0
a
时，对于(
)
0
a a
的每一个确定的值，当
2
t =
时，
2
MN 取得最小值
8
36
a
+
，
由题意知
2
8
36
4
m
a
+
=
，
∴
8
0
36
4
a
+
，
解得：
1
2
4
9
a
−
−
；
综上，a 的取值范围为1
1
9
8
a
或
1
2
4
9
a
−
−
．
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故答案为：1
1
9
8
a
或
1
2
4
9
a
−
−
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，
解一元二次方程，一次函数的性质，解不等式组等知识，有一定的综合性，熟练运用这些知识是关键．
题型模版
1.特征：题目关注抛物线与 y 轴交点的位置、两交点间距离或与坐标轴围成图形的面积等．
2.方法：令 x=0 求出抛物线与 y 轴交点纵坐标；若涉及两个函数图象与 y 轴交点距离，则求出两交点纵
坐标之差的绝对值；结合几何意义列方程或不等式求解．
变式2-1 已知抛物线
2
1
2
y
ax
ax
c
=
−
+ （a ，c 为常数且
0
a
），当
1
x 时
1
2
y
．若抛物线
(
)
(
)
2
2
2
y
a x
m
a x
m
c
=
+
−
+
+ 与y 轴的交点位于最高位置时，则
2y 的图像可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将抛物线
1
2
,
y y 的解析式化为顶点式，根据当
1
x 时
1
2
y
得到
0,
2
a
c
a
−
=
，借此判断抛物线
2y 的
开口及最高点坐标即可得出结论.
【详解】解：∵
(
)
2
2
1
2
1
y
ax
ax
c
a x
c
a
=
−
+
=
−
+ −
，
又∵当
1
x 时
1
2
y
．
∴
0,
2
a
c
a
−
=
∵
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
1
y
a x
m
a x
m
c
a x
m
c
a
=
+
−
+
+
=
+
−
+ −
，
抛物线
(
)
(
)
2
2
2
y
a x
m
a x
m
c
=
+
−
+
+ 与y 轴的交点位于最高位置，
∴抛物线
2y 与y 轴交点坐标为(
)
0,2 且开口向下，
故选：A ．
变式2-2 （25-26 九年级上·江西宜春·期中）定义：抛物线
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴交于A，B 两点（点
A 在点B 的左侧），它的顶点为P ，若A，B ，P 三个点的横坐标和纵坐标都为整数，我们把这样的抛物线
叫作“完美抛物线”．
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(1)理解：下列抛物线是“完美抛物线”的是_____．（填序号）
①
2
3
y
x
x
=
−
②
(
)(
)
1
3
y
x
x
=
−
+
③
(
)
2
1
9
y
x
= −
−
+
(2)应用：若“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点坐标为(
)
3,5 ，且
4
AB =
，求该抛物线的解析式．
(3)拓展：已知“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点P 坐标为(
)
,
2
n n +
，且
4
AB =
，与y 轴的交点为C ．若该
“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与抛物线
2
2
y
x
=
开口大小一样，求点C 的纵坐标．
【答案】(1)②③
(2)
(
)
2
5
3
5
4
y
x
= −
−
+
(3)点C 的纵坐标为192或64
−
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握新定义是解题的关键：
（1）根据新定义逐一进行判断即可；
（2）求出
,
A B 坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（3）根据题意，得到
2
a = ，
(
)
2
2
2
y
x
n
n
=
−
+
+
，求出A点坐标，待定系数法求出n 点的值，求出函数
解析式，再令
0
x =
，求出点C 的纵坐标即可．
【详解】（1）解：①∵
2
2
3
9
3
2
4
y
x
x
x
=
−
=
−
−
，
∴顶点坐标为3
9
,
2
4
−
，横纵坐标均为分数，不是整数，
故①不是完美抛物线；
②当
(
)(
)
1
3
0
y
x
x
=
−
+
=
时，解得
1
2
3,
1
x
x
= −
= ；
∴(
)
3,0
A −
，
(
)
1,0
B
，两个点的横纵坐标均为整数；
∴抛物线的对称轴为直线
3 1
1
2
x
−+
=
= −，
当
1
x = −时，
(
) (
)
1 1
1 3
4
y = −−
−+
= −，
∴顶点坐标为(
)
1, 4
−
−
，横纵坐标均为整数；
故②是完美抛物线；
③
(
)
2
1
9
y
x
= −
−
+
，
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∴抛物线的顶点坐标为(
)
1,9 ，横纵坐标均为整数；
当
(
)
2
1
9
0
y
x
= −
−
+
=
时，解得
2
x = −或
4
x = ；
∴(
)
2,0
A −
，
(
)
4,0
B
，两个点的横纵坐标均为整数；
故③是完美抛物线；
故答案为：②③；
（2）∵“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点坐标为(
)
3,5 ，
∴
(
)
2
3
5
y
a x
=
−
+ ，对称轴为直线
3
x =
；
∵
4
AB =
，
∴
(
)
3
2,0
A
−
，即：
(
)
1,0
A
；
∴(
)
2
1 3
5
0
a
−
+
=
，解得
5
4
a
−
=
，
∴
(
)
2
5
3
5
4
y
x
= −
−
+
；
（3）∵“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与抛物线
2
2
y
x
=
开口大小一样，
∴
2
a = ，
∵“完美抛物线”
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点P 坐标为(
)
,
2
n n +
，
∴抛物线的解析式为
(
)
2
2
2
y
x
n
n
=
−
+
+
或
(
)
2
2
2
y
x
n
n
= −
−
+
+
，对称轴为直线x
n
=
，
∵
4
AB =
，
∴(
)
2,0
A n −
，
∴当
(
)
2
2
2
2
0
y
n
n
n
=
−
−
+
+
=
时，解得
10
n = −
，
当
(
)
2
2
2
2
0
y
n
n
n
= −
−
−
+
+
=
时，解得
6
n =
∴
(
)
2
2
10
8
y
x
=
+
−或
(
)
2
2
6
8
y
x
= −
−
+
∴当
0
x =
时，
2
2 10
8
192
y =
−
=
或
2
2 6
8
64
y = −
+ = −
；
故点C 的纵坐标为192或64
−
．
变式2-3 在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
−
+
（
0
a
）．
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(1)直接写出抛物线的对称轴x =________；
(2)如图1，已知点
(
)
1,2
A −
，点
(
)
4,2
B
，若抛物线与线段AB 有公共点时，求a 的取值范围；
(3)如图2，抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
−
+
与x 轴负半轴交于点D ，与y 轴交于点C ，直线y
kx
b
=
+
与抛物线交于
点E ，F 两点（点E 在第三象限），直线ED交y 轴于点N ，直线DF 交y 轴于点M ，当CM
NC
=
，请判断
a
k 是否为一个定值，并说明理由．
【答案】(1)1；
(2)
2
a
或
1
4
a
−
≤
．
(3)解：
1
2
a
k = −
，理由如下：
设(
)
2
,
2
4
E e ae
ae
−
+
，
2
( ,
2
4)
F f af
af
−
+
，
( ,0)
D d
，
解方程组
2
2
4
y
kx
b
y
ax
ax
=
+
=
−
+
，
整理可得：
(
)
2
2
4
0
ax
a
k x
b
−
−
+
+
=
，
2a
k
e
f
a
+
+
=
，
4 b
e f
a
−
=
，
(
)
2
k
a e
f
a
=
+
−
，
4
b
ae f
=
−
，
直线
:
[ (
)
2 ]
4
EF y
a e
f
a x
ae f
=
+
−
+
−
，
设直线DE 的解析式为
(
)
0
y
mx
n m
=
+
，
解方程组：
2
2
4
y
mx
n
y
ax
ax
=
+
=
−
+
，
整理可得：
(
)
2
2
4
0
ax
a
m x
n
−
−
+
+
=
，
2a
m
e
d
a
+
+
=
，
4
n
e d
a
−
=
，
解得：
(
)
2
m
a e
d
a
=
+
−
，
4
n
ae d
=
−
，
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直线
:
[ (
)
2 ]
4
DE y
a e
d
a x
ae d
=
+
−
+
−
，
设直线DF 的解析式为
(
)
1
1
1
0
y
m x
n
m
=
+
，
解方程组
1
1
2
2
4
y
m x
n
y
ax
ax
=
+
=
−
+
，
整理可得：
(
)
2
1
1
2
4
0
ax
a
m
x
n
−
+
+
−
=
，
1
2a
m
d
f
a
+
+
=
，
1
4
n
d f
a
−
=
，
解得：
(
)
1
2
m
a d
f
a
=
+
−
，
1
4
n
ad f
=
−
，
直线
:
[ (
)
2 ]
4
DF y
a d
f
a x
ad f
=
+
−
+
−
，令
0
x =
，
4
N
y
ae d
=
−
，
4
M
y
ad f
=
−
，
CM
NC
=
，
(0,4)
C
，
N
C
C
M
y
y
y
y
−
=
−
，
4
4
4
(4
)
ae d
ad f
−
−
=
−
−
，
即
(
)
0
ad e
f
+
=
，
又
0
ad
，
0
e
f
+
=
，
2
0
a
k
+
= ，
1
2
a
k
= −
为定值．
【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求出抛物线的对称轴即可；
（2）因为抛物线与线段AB 有公共点，当
0
a
时，可得不等式
2
4
2
a
a
−
+
；当
0
a
时，可得不等式
16
8
4
2
a
a
−
+
；解不等式即可求出a 的取值范围；
（3）设(
)
2
,
2
4
E e ae
ae
−
+
，
2
( ,
2
4)
F f af
af
−
+
，
( ,0)
D d
，根据点E 、F 是抛物线与直线的交点，可得：
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(
)
2
2
4
0
ax
a
k x
b
−
−
+
+
=
，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
2a
k
e
f
a
+
+
=
，
4 b
e f
a
−
=
，即可求出
(
)
2
k
a e
f
a
−
=
+
，
4
b
ae f
=
−
，从而得到直线DE 和DF 的解析式，分别求出两直线与y 轴交点的纵坐标，
根据CM
NC
=
列出方程即可得到结果．
【详解】（1）解：抛物线
2
2
4
y
ax
ax
=
−
+ 的对称轴为
2
1
2
2
b
a
x
a
a
−
= −
= −
= ；
（2）解：当
0
a
时，抛物线开口向上，
则
1
x = 时，可得：
2
4
2
y
a
a
−
=
+
，
2
a
，
当
0
a
时，抛物线开口向下，
则
4
x = 时，可得：
16
8
4
2
y
a
a
−
=
+
，
1
4
a
−
，
综上所述：
2
a
或
1
4
a
−
≤
；
（3）略
题型3、抛物线与平行于x 轴的直线的交点问题
典例3 （25-26 九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知两个二次函数
2
1y
x
bx
c
=
+
+
和
2
2y
x
m
=
+
，对于函数
1y ，
当
2
x =
时，该函数取最小值．
(1)求b 的值．
(2)若函数
1y 的图象与坐标轴只有2 个不同的公共点，求这两个公共点间的距离．
(3)若函数
1y 、
2y 的图象都经过点(
)
1, 2
−
，过点(
)
0,a （a 为实数）作x 轴的平行线，与函数
1y 、
2y 的图象共
有4 个不同的交点，写出a 的取值范围．
【答案】(1) 4
−
(2)4 或2 5
(3)
3
a −且
2
a −
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的计算，图象的对称轴的计算，顶点坐
标的计算等知识是关键．
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（1）根据二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值，代入对称轴直线的计算方法即可求解；
（2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的计算，分类讨论：当函数
1y 的图象与x 轴只有2 个不同的公共点
时；当函数
1y 的图象与x 轴有1交点，与y 轴有一个交点时；由二次函数图象的性质即可求解；
（3）根据题意，分别算出二次函数
1y 的解析式为
2
1
4
1
y
x
x
=
−
+ ，二次函数
2y 的解析式为
2
2
3
y
x
=
−，作图
分析即可求解．
【详解】（1）解：二次函数
2
1y
x
bx
c
=
+
+
中，二次项系数1
0
，
∴图像开口向上，函数在对称轴处取得最小值，
∵当
2
x =
时，该函数取最小值，
∴对称轴直线为
2
2
b
x = −
=
，
∴
4
b = −；
（2）解：∵
4
b = −，
∴二次函数
1y 的解析式为
2
1
4
y
x
x
c
=
−
+ ，
∴
(
)
2
4
4
16
c
c
= −
−
=
−，
当函数
1y 的图象与x 轴只有2 个不同的公共点时，
16
4
0
c
=
−
，且函数
1y 的图象与y 轴无交点，
∴
0
c =
，
∴二次函数
1y 的解析式为
(
)
2
1
4
4
y
x
x
x x
=
−
=
−
，
∴函数
1y 的图象与x 轴的交点分别为(
) (
)
0,0 , 4,0 ，
∴这两个公共点间的距离为4 ；
当函数
1y 的图象与x 轴有1交点，与y 轴有一个交点时，
16
4
0
c
=
−
=
，
解得，
4
c =
，
∴二次函数
1y 的解析式为
(
)
2
2
1
4
4
2
y
x
x
x
=
−
+
=
−
，
∴函数
1y 的图象与x 轴的交点坐标为(
)
2,0 ，与y 轴的交点坐标为(
)
0,4 ，
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∴这两个公共点间的距离为
2
2
2
4
2 5
+
=
；
综上所述，函数
1y 的图象与坐标轴只有2 个不同的公共点，这两个公共点间的距离为4 或2 5 ；
（3）解：二次函数
1y 的解析式为
2
1
4
y
x
x
c
=
−
+ ，
当
1
x = 时，
2
1
2
1
4 1
y
c
= −=
−+ ，
解得，
1
c = ，
∴二次函数
1y 的解析式为
2
1
4
1
y
x
x
=
−
+ ，
在二次函数
2
2y
x
m
=
+
中，当
1
x = 时，
2
2
2
1
y
m
= −=
+
，
解得，
3
m = −，
∴二次函数
2y 的解析式为
2
2
3
y
x
=
−，
函数
1
2
,
y y 的函数图象如下，
∵函数
1y 、
2y 的图象都经过点(
)
1, 2
−
，
∴函数
1
2
,
y y 的交点为(
)
1, 2
−
，
函数
1y 的顶点坐标的横坐标为
4
2
2
x
−
= −
=
，纵坐标为
2
2
4 2 1
3
y =
−+ = −，即顶点坐标为(
)
2, 3
−
，
函数
2y 的顶点坐标的横坐标为
0
x =
，纵坐标为
2
0
3
3
y =
−= −，即顶点坐标为(
)
0, 3
−
，
如图所示，过点(
)
0,a （a 为实数）作x 轴的平行线，与函数
1y 、
2y 的图象共有4 个不同的交点时，
3
a −且
2
a −．
题型模版
1.特征：直线 y=k（k 为常数）与抛物线相交，要求交点个数、交点坐标或参数范围．
2.方法：联立 y=k 与抛物线解析式，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程；利用判别式或求根公式分析交
点；结合抛物线顶点、开口方向与对称轴画图辅助判断．
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变式3-1 关于二次函数
2
4
5(
0)
y
ax
ax
a
=
+
−
，有下列四个结论：
①对任意实数m，都有
1
1
x
m
= −
−与
2
3
x
m
=
−对应的函数值相等；
②若4
1
x
−
−
≤
≤
时，对应的y 的整数值有4 个，则
3
1
4
a
−
−
或3
1
4
a
；
③若抛物线与x 轴交于A、B 两点，且
6
AB
，则
1
a 或
5
4
a −
；
④若
5
n −，则一元二次方程
2
4
5
0
ax
ax
n
+
−
−
=
一定有两个实数根．
以上结论，正确的有（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①③④
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴利用中点坐标公式即可判定①；分
0
a
和
0
a
两种情况，根据二次函数的
图象与性质，确定出当4
1
x
−
−
≤
≤
时，函数值的取值范围，由题意即可求得a 的取值范围，从而判定②；当
0
y =
时，
2
4
5
0
ax
ax
+
−
=
，则
2
16
20
0
a
a
=
+
；由
6
AB
，则当
2 3 1
x = −+ = 时，即对称轴右边到对称轴的
距离为3 时自变量值，此时得对应函数值
5
5
y
a
=
-
；分
0
a
和
0
a
两种情况，分别得到
2
16
20
0
5
5
0
a
a
a
+
−
和
2
16
20
0
5
5
0
a
a
a
+
−
，解两个不等式组即可判定③；对于方程
2
4
5
0
ax
ax
n
+
−
−
=
，有
2
16
(20
4 )
a
n a
=
+
+
；当
5
n −，且
0
a
时，
0
，原方程一定有两个不相等实数根；
5
n −，但
0
a
，则
2
16
(20
4 )
0
a
n a
=
+
+
不一定成立；故可判定④；从而可确定最后答案．
【详解】解：二次函数
2
4
5
=
+
−
y
ax
ax
的对称轴为直线
4
2
2
a
x
a
= −
= −，
1
2
(
1)
(
3)
2
2
2
x
x
m
m
+
−
−
+
−
=
= −
，故①正确；
当
4
x = −时，
5
y = −；当
2
x = −时，
4
5
y
a
= −
−
；当
1
x = −时，
3
5
y
a
−
−
=
；
若
0
a
，则4
5
5
a
y
−
−
−，对应y 的整数值有4 个分别是5
6
7
8
−
−
−
−
，，，，
9
4
5
8
a
−−
−−，
3
1
4
a
；
若
0
a
，则5
4
5
y
a
−
−
−
，对应y 的整数值有4 个分别是5
4
3
2
−
−
−
−
，，，，
2
4
5
1
a
−−
−−，
3
1
4
a
−
−
；
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综上，4
1
x
−
−
≤
≤
时，对应的y 的整数值有4 个，
则3
1
4
a
或
3
1
4
a
−
−
；故②错误；
当
0
y =
时，
2
4
5
0
ax
ax
+
−
=
，则
2
2
(4 )
4
( 5)
16
20
0
a
a
a
a
=
−
−
=
+
，
若
0
a
，抛物线与x 轴交于A、B 两点，
6
AB
，
当
6
2
1
2
x = −+
= 时，
4
5
5
5
0
y
a
a
a
=
+
−
=
−
，
2
16
20
0
5
5
0
a
a
a
+
−
，解得：
1
a ，
若
0
a
，抛物线与x 轴交于A、B 两点，
6
AB
，
∴当
1
x = 时，
4
5
5
5
0
y
a
a
a
=
+
−
=
−
，
2
16
20
0
5
5
0
a
a
a
+
−
，解得：
5
4
a −
；
若抛物线与x 轴交于A、B 两点，且
6
AB
，则
1
a 或
5
4
a −
，故③正确；
对于一元二次方程
2
4
5
0
ax
ax
n
+
−
−
=
，有
2
16
(20
4 )
a
n a
=
+
+
，
若
5
n −，且
0
a
，则
2
16
(20
4 )
0
a
n a
=
+
+
成立，原方程一定有两个不相等实数根；
若
5
n −，但
0
a
，则
2
16
(20
4 )
0
a
n a
=
+
+
不一定成立；故④错误．
综上，正确的有①③，
故选：B．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程，解不等式组
等知识；掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
变式3-2 已知二次函数
(
)(
)
1
2
y
a x
x
x
x
=
−
−
与x 轴的交点是(1 0)
,
和(3,0) ，关于x 的方程(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
m
−
−
= （其
中
0
m
）的两个解分别是1
−和5，关于x 的方程(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
n
−
−
=
（其中0
n
m
）也有两个整数解，这
两个整数解分别是______．
【答案】0 和4
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程．解决问题的关键是画出图象，熟练掌握二次函数与一元二次
方程的关系．
先确定二次函数与x 轴和直线y
m
=
的交点，画出大致图象，然后根据二次函数与y
n
=
的交点位置，判断
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(
)(
)
1
2
a x
x
x
x
n
−
−
=
两个根的大小范围即可求解．
【详解】解：由题意可知二次函数
(
)(
)
1
2
y
a x
x
x
x
−
−
=
与x 轴的交点分别为(1 0)
,
和(3,0) ，
与y
m
=
的交点分别为( 1
)
,m
−
和(5, )
m ，
设与y
n
=
的交点分别为(
)
,p n 和(
)
,q n ，
∵0
n
m
，
∴直线y
n
=
在x 轴和直线y
m
=
之间，
如图所示：
由图可知，1
1
p
−
，3
5
q
又P ，q 都为整数，
∴
0
p =
，
4
q =
，
故答案为：0 和4．
变式3-3 （25-26 八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
与x 轴的两个交点的距离为
1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数
2
5
6
y
x
x
=
−
+
与x 轴的两个交点分别是(
)
2,0 ，(
)
3,0 ，
两点的距离为1，则此函数
2
5
6
y
x
x
=
−
+
是“邻交函数”
(1)判断二次函数
2
4
1
y
x
=
-
是不是“邻交函数”
(2)若二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
是“邻交函数”，求a 的值．
(3)若二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
a
=
+
+
是“邻交函数”，令
2
10
t
a
b
=
−
，求t 的最大值．
【答案】(1)是“邻交函数”
(2)
3
2
(3)t 的最大值为9
【分析】（1）求出二次函数与x 轴的两个交点的坐标即可得到答案；
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（2）设关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
ax
−
+
=
的两个实数根分别为
(
)
,
m n n
m
，由根与系数的关系得到
2 ,
2
m
n
a mn
+
=
=
，则可得到
(
)1
2
m m +
=
，解方程求出m 的值，则可求出n 的值，进而可得a 的值；
（3）当
0
y =
时，
2
1
0
ax
bx
+
+ =
，解得
2
2
1
2
4
4
,
2
2
b
b
a
b
b
a
x
x
a
a
−−
−
−+
−
=
=
，根据定义得到
2
2
4
4
1
2
2
b
b
a
b
b
a
a
a
−+
−
−−
−
−
= ，则可推出
2
2
4
b
a
a
=
+
，进而得到
(
)
2
3
9
t
a
= −
−
+ ，据此可得答案．
【详解】（1）解：在
2
4
1
y
x
=
-
中，当
0
y =
时，
2
4
1
0
x −=
，
解得
1
2
x =
，
∴二次函数
2
4
1
y
x
=
-
与x 轴的两个交点的坐标分别为
1
1
,0
,0
2
2
−
、
，
∵1
1
1
1
1
2
2
2
2
−−
=
+
=
，
∴二次函数
2
4
1
y
x
=
-
与x 轴的两个交点的距离为1，
∴二次函数
2
4
1
y
x
=
-
是“邻交函数”；
（2）解：∵二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
是“邻交函数”，
∴关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
ax
−
+
=
有两个不相同的实数根，且两根之差为1，
设关于x 的一元二次方程
2
2
2
0
x
ax
−
+
=
的两个实数根分别为
(
)
,
m n n
m
，
∴
2 ,
2
m
n
a mn
+
=
=
，
∴
(
)1
2
m m +
=
，
∴
2
2
0
m
m
+
−
=
，
解得
1
m = 或
2
m = −，
当
1
m = 时，
2
n =
，则2
1 2
3
a = +
= ，解得
3
2
a =
，
当
2
m = −时，
1
n = −，则2
2 1
3
a = −−= −，解得
3
2
a = −
，
综上所述，
3
2
a =
；
（3）解：∵二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
a
=
+
+
是“邻交函数”，
∴二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴有两个交点，且这两个交点的距离为1，
在
(
)
2
1
0
y
ax
bx
a
=
+
+
中，当
0
y =
时，
2
1
0
ax
bx
+
+ =
，
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解得
2
2
1
2
4
4
,
2
2
b
b
a
b
b
a
x
x
a
a
−−
−
−+
−
=
=
，
∴
2
1
1
x
x
−
= ，即
2
2
4
4
1
2
2
b
b
a
b
b
a
a
a
−+
−
−−
−
−
= ，
∴
2
2
4
1
2
b
a
a
−
= ，
∴
2
4
b
a
a
−
=
，
∴
2
2
4
b
a
a
−
=
，
∴
2
2
4
b
a
a
=
+
，
∴
2
10
t
a
b
=
−
2
10
4
a
a
a
=
−
−
2
6
a
a
= −
+
(
)
2
3
9
a
= −
−
+
，
∵1
0
−
，
∴当
3
a = 时，t 有最大值，最大值为9．
题型4、抛物线与平行于x 轴的线段的交点问题
典例4 在平面直角坐标系中有两点
(
)
2,4
A −
、(
)
2,4
B
，若二次函数
(
)
2
2
3
0
y
ax
ax
a a
=
−
−
的图象与线段AB 只
有一个交点，则（ ）
A．a 的值可以是
4
3
−
B．a 的值可以是3
5
C．a 的值不可能是1.2
−
D．a 的值不可能是1
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征．本题中能分情况讨论，并
能画出函数大致图，根据大致图去分析是解决此题的关键．
先计算二次函数的对称轴，首先计算函数与直线AB 相交时a 的取值范围．然后分别计算函数与A，B 相交
时的值，并由此分别画出函数的大致图，根据大致图判断的取值范围．对上述 a 的取值范围综合分析即可
得出a 的最终取值范围，最后依次对各选项进行判断即可．
【详解】由二次函数
(
)
2
2
3
0
y
ax
ax
a a
−
=
−
的对称轴可知，
2
1
2
a
x
a
−
= −
= 是该函数的对称轴，
当函数与直线相交时，
2
4
2
3
ax
ax
a
=
−
−
有解，
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整理得
(
)
2
2
3
4
0
ax
ax
a
−
−
+
=
，
根据根的判别式
(
)
2
2
Δ
4
4
3
4
16
16
0
a
a
a
a
a
=
+
+
=
+
，
解得
0
a
或
1
a
−
，
因为
0
a
，
所以
0
a
或
1
a
−
，且
1
a = −时，二次函数与AB 有唯一的交点(
)
1,4 ．
若函数与B 点相交时，将
(
)
2,4
B
代入
(
)
2
2
3
0
y
ax
ax
a a
−
=
−
得4
4
3
4
a
a
a
+
−
=
，
解得
4
3
a
−
=
，则此时如下图：
函数恰好与线段AB 有两个交点，所以根据图象4
4
3
4
a
a
a
+
−
> ，当时抛物线与线段AB 只有一个交点，解得
4
3
a
−
；
若函数与A 点相交时，把(
)
2,4
A −
代入
(
)
2
2
3
0
y
ax
ax
a a
−
=
−
得4
4
3
4
a
a
a
+
−
=
，
解得
4
5
a =
，
则此时如下图：
函数恰好与线段有一个交点，根据图象当4
4
3
4
a
a
a
+
−
时，抛物线与线段AB 也只有一个交点，
解得
4
5
a
．
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综上所述
4
3
a
−
或
4
5
a
或
1
a = −，
A． 因为
4
3
a
−
，所以a 的值不可以是
4
3
−
，故该选项不符合题意；
B． 因为3
4
5
5
，所以a 的值不可以是3
5 ，故该选项不符合题意；
C． 因为
4
1.2
3
−
−
>
，所以a 的值不可能是1.2
−
，正确，故该选项不符合题意；
D． 因为
4
1
5
，所以 a 的值可能是1，故该选项不符合题意；
故选：C．
题型模版
1.特征：在直线 y=k 基础上限定 x 的取值范围（线段），讨论抛物线与线段有一个、两个或无交点的情况．
2.方法：先求抛物线与直线 y=k 的交点，再判断交点横坐标是否落在线段范围内；或利用函数值范围、对
称轴与区间位置关系，结合端点值与临界状态列不等式组．
变式4-1 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ．若二次函数
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
的图象与线段AB 有交点，则该抛物线与y 轴交点的纵坐标n 的取值范围是（ ）．
A．2
6
n
−
B．2
10
n
−
C．
5
9
2
n
−
D．
9
10
4
n
−
【答案】D
【分析】根据题意先求得该抛物线的顶点坐标和n 的表达式，先根据抛物线的图象与线段AB 有交点，结
合A，B 两点的坐标，根据顶点坐标推出
3
b
且点B 一定在抛物线的下方，然后分两种情况讨论：①当点A
在抛物线的上方时一定满足条件，从而得到b 的取值范围，进而确定n 的取值范围；②当点 A在抛物线的
下方时，需满足抛物线的对称轴1
3
b
，进而确定n 的取值范围，即可解答．
【详解】解：∵
(
)
2
2
y
x
b
b
−
−
=
+
，
∴该抛物线开口向上，顶点坐标为(
)
,
2
b b−
；当
0
x =
时，
2
2
y
b
b−
=
+
，
∴抛物线与y 轴的交点纵坐标
2
2
n
b
b
=
+
−
，
∵A，B 两点的坐标分别为(
)
1,1 ，(
)
4,1 ，抛物线的图象与线段AB 有交点，
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∴该抛物线的顶点的纵坐标
2 1
b−，即
3
b
，
又∵当
4
x = 时，
(
)
2
2
2
7
7
4
2
7
14
1
2
4
y
b
b
b
b
b
−
−
−
=
+
=
−
+
=
+
，
∴点B 一定在抛物线的下方，
∴①当点A在抛物线的上方时一定满足条件，
即当
1
x = 时，
(
)
2
2
1
2
1 1
y
b
b
b
b
−
−
−
−
=
+
=
，
解得1
2
b
−
，
∵
2
2
n
b
b
=
+
−
，是关于b 的二次函数，抛物线开口向上，对称轴为
1
2
b
−
=
，
∴在1
2
b
−
范围内，当
1
2
b
−
=
时，n 取得最小值
9
4
−
，当
2
b = 时，n 取得最大值4 ，
∴
9
4
4
n
−
；
②当点 A在抛物线的下方时，需满足抛物线的对称轴1
3
b
，
此时对于
2
2
n
b
b
=
+
−
，当
1
b = 时，n 取得最小值0，当
3
b =
时，n 取得最大值10，
∴0
10
n
，
综上，n 的取值范围是
9
10
4
n
−
．
变式4-2 （24-25 九年级上·浙江金华·期中）如图，点A，B 的坐标分别为(2
3)
−
，
和(5
3)
−
，
，抛物线
(
)
2
y
a x
m
n
−
=
+
的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C
D
、
两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值
为1
−，则点D 的横坐标最大值为（ ）
A．3
B．5
C．8
D．10
【答案】C
【分析】根据抛物线
(
)
2
y
a x
m
n
−
=
+
的顶点在线段AB 上运动可以确定抛物线为
(
)
2
3
y
a x
m
=
−
−．在抛物
线移动的过程中，当抛物线顶点在
(2
3)
A
−
，
时，点C 的横坐标会取得最小值，因此，将点
(2
3)
A
−
，
、( 1,0)
C −
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代入抛物线解析式即可求出
1
3
a =
，从而得到抛物线解析式为
(
)
2
1
3
3
y
x
m
=
−
−；当抛物线顶点在
(5
3)
B
−
，
时，
点D 的横坐标会取得最大值，令
0
y =
，即可求出此时最靠右的点D 的横坐标．
【详解】解：∵抛物线
(
)
2
y
a x
m
n
−
=
+
的顶点在线段AB 上运动，点A，B 的坐标分别为(2
3)
−
，
和(5
3)
−
，
，
∴抛物线为
(
)
2
3
y
a x
m
=
−
−．
当抛物线
(
)
2
3
y
a x
m
=
−
−顶点经过点
(2
3)
A
−
，
时，点C 的横坐标会取得最小值1
−，
即此时抛物线
(
)
2
2
3
y
a x
=
−
−经过点
( 1,0)
C −
．
将点
( 1,0)
C −
代入抛物线解析式得：
2
( 1 2)
3
0
a - -
-
= ，
解得：
1
3
a =
．
∴抛物线的解析式为
(
)
2
1
3
3
y
x
m
=
−
−．
当抛物线
(
)
2
1
3
3
y
x
m
=
−
−经过点
(5
3)
B
−
，
时，点D 的横坐标会取得最大值，则此时抛物线解析式为
(
)
2
1
5
3
3
y
x
=
−
−．
令
0
y =
，即(
)
2
1
5
3=0
3 x −
−
，
解得：
1
8
x =
，
2
2
x =
．
∴点D 的横坐标最大值为8．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x 轴的交点
坐标，理解题意分析出何种情况取得最值，以及根据题意正确求出二次函数的解析式是解题关键．
变式4-3 已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ （b ，c 为常数）经过点(
)
0, 3
−
，(
)
4,5 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)过点
(
)
,2
M m
与y 轴平行的直线交抛物线于点N ，交x 轴于点K ，且K 为线段MN 的中点，求m 的值．
(3)若
0
t
，当
4
t
x
t
+
时，该二次函数的最大值是最小值的3 倍，求t 的值．
【答案】(1)
2
6
3
y
x
x
= −
+
−
(2)
3 2 2
m = +
或3 2 2
−
(3)
1
t =
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【分析】（1）将点(
)
0, 3
−
，(
)
4,5 代入抛物线表达式，解二元一次方程组即可；
（2）由K 为线段MN 的中点，得到点N 的纵坐标为2
−，求出当
2
y = −时，x 的值，即为m 的值；
（3）分两种情况讨论：①当0
3
t
时，②当
3
t
时，判断出函数的最大值和最小值分别是多少，根据最
大值是最小值的3 倍求解．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 经过点(
)
0, 3
−
，(
)
4,5 ，
∴
3
16
4
5
c
b
c
= −
−
+
+
=
，解得
6
3
b
c
=
= −
，
∴抛物线的函数表达式为
2
6
3
y
x
x
= −
+
−．
（2）解：
K
为线段MN 的中点，点
(
)
,2
M m
，∴
2
N
y = −．
当
2
y = −时，
2
6
3
2
x
x
−
+
−
= −，
∴
1
3
2 2
x =
−
，
2
3
2 2
x =
+
∴
3 2 2
m = +
或3 2 2
−
．
（3）解：
(
)
2
2
6
3
3
6
y
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+ ．
①当0
3
t
时，则函数在
3
x =
时取到最大值6，
由题意，最小值为6 3
2
=
．
当
2
y =
时，
2
6
3
2
x
x
−
+
−
=
，
∴
1
1
x = ，
2
5
x =
．
由于最小值在x
t
= 或
4
x
t
= +
处取得，
∴
1
t = 或
5
t =
或
4
1
t +
= 或
4
5
t +
=
．
又∵0
3
t
，
∴
1
t = ．
②当
3
t
时，则当x
t
= 时函数值最大，
4
x
t
= + 时函数值最小，
由此可得，
(
)
(
)
2
2
6
3
3
4
6
4
3
t
t
t
t
−
+
−
=
−
+
+
+
−
，
∴1
3 2
3
t =
−，2
3 2
3
t = −
−．
又∵
3
t
，
∴1
3 2
3
t =
−，2
3 2
3
t = −
−均不满足题意．
综上所述，
1
t = ．
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题型5、抛物线与部分一次函数图象的交点问题
典例5 ①抛物线
(
)
3
y
x x
= −
−
向上平移________个单位得到抛物线
(
)
3
2
y
x x
= −
−
+
；
②一段抛物线
(
)
(
)
3
0
3
y
x x
c
x
= −
−
+
与直线
2
y
x
=
+
有唯一公共点，则c 的范围是________ ．
【答案】 2 1 或2
5
c
【分析】①根据抛物线平移的上加下减法则，可直接得到平移单位；
②联立抛物线与直线的解析式，转化为一元二次方程在0
3
x
上只有一个解的问题，分判别式为0（相切）
和只有一个根在0
3
x
内两种情况讨论，求解得到c 的取值范围．
【详解】① 原抛物线解析式为
(
)
3
y
x x
= −
−
，平移后抛物线解析式为
(
)
3
2
y
x x
= −
−
+
，根据抛物线平移“上
加下减”的规律，可得向上平移了2 个单位；
② 联立抛物线与直线的解析式得：
(
)
3
2
y
x x
c
y
x
= −
−
+
=
+
，
消去y 整理得：
(
)
2
2
2
0
x
x
c
−
+
−
=
，
问题转化为
(
)
2
2
2
0
x
x
c
−
+
−
=
在0
3
x
上只有一个解，
情况一：当Δ
0
=
，方程有两个相等的实数根，抛物线与直线相切，
此时：
(
)
2
( 2)
4 1
2
4
4
0
c
c
= −
−
−
=
−
=
，解得
1
c = ，此时方程的根为
1
x = ，满足0 1 3
，故
1
c = 符合
题意；
情况二：当Δ
0
，方程有两个不相等的实数根，同时方程有且只有一个根在0
3
x
内(
)1
c
：
(
)
2
2
2
0
x
x
c
−
+
−
=
，
(
)
2
1
1
x
c
−
=
−，
解得
1
2
1
1,
1
1
x
c
x
c
= +
−
= −
−，
①当1
1
c
+
−在0
3
x
内，有1
1
c
−
−不在0
3
x
内，
0
1
1
3
1
1 0
1
1 3
c
c
c
+
−
−
−
−
−
或
，
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即
1
1
2
1
1
1
2
c
c
c
−
−
−
−−
或
，
又
1
0
c −
恒成立，
0
1
2
1
1
c
c
−
−
，
即
0
1
4
1
1
c
c
−
−
，
1
5
2
c
c
，
解得2
5
c
；
②当1
1
c
−
−在0
3
x
内，有1
1
c
+
−不在0
3
x
内，
0
1
1
3
1
1 0
1
1 3
c
c
c
−
−
+
−
+
−
或
，
即
2
1
1
1
1
1 2
c
c
c
−
−
−
−
−
或
，
又
1
0
c −
恒成立，
0
1
1
1
2
c
c
−
−
，
即
0
1 1
1
4
c
c
−
−
，
1
2
5
c
c
，
此时，c 无解，
综上，c 的取值范围是
1
c = 或2
5
c
．
题型模版
1.特征：一次函数图象为射线、线段或折线的一部分，要求与抛物线的交点情况．
2.方法：分段联立解析式，注意自变量取值范围；画出关键端点、转折点与抛物线相对位置；通过方程根的
分布或端点函数值比较确定参数范围．
变式5-1 在平面直角坐标系中，已知二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
（a 为常数）经过点
(
)
1,
A
m
−
，
(
)
3,
B
n ．
(1)当m
n
=
时，求该函数表达式；
(2)若点A，B 都在直线y
x
b
−
=
+
上，求a 的值；
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(3)当3
4
x
时，都有n
y
m
，求a 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
2
y
x
x
=
+
−
；
(2)
3
2
a =
；
(3) 3
3
2
a
【分析】（1）先求出二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
的对称轴为直线x
a
=
，再根据当m
n
=
时，点A，B 关于对称
轴对称，求出a 的值，即可求解；
（2）先根据点
(
)
1,
A
m
−
，点
(
)
3,
B
n 都在直线y
x
b
−
=
+
上，求出m
n
、的关系，得出A点坐标，再将点A、
点B 代入二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
即可求解；
（3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可知：二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
的对称轴为直线x
a
=
，
∵当m
n
=
时，点A，B 关于对称轴对称，
∴
1 3
1
2
a
−+
=
= ，
∴该函数表达式为：
2
2
2
y
x
x
=
+
−
；
（2）解：∵点
(
)
1,
A
m
−
，点
(
)
3,
B
n 都在直线y
x
b
−
=
+
上，
∴
1
3
m
b
n
b
= +
= −+
①
②，
由①−②得：
4
m
n
−
=
，即
4
m
n
=
+ ，
∴点A坐标为：(
)
1,
4
n
−
+
将点A，B 坐标代入函数表达式：
4
1 2
2
9
6
2
n
a
n
a
+
= +
+
=
−
+
，
解得：
3
2
a =
；
（3）解：由题意可知：二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
的对称轴为直线x
a
=
，
∵1
0
，
∴在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，
①当
1
a
−
时，
(
)
1,
A
m
−
和
(
)
3,
B
n 在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，
∵1
3
−
，
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∴m
y
n
，与n
y
m
矛盾，不成立；
②当>4
a
时，
(
)
1,
A
m
−
和
(
)
3,
B
n 在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，
在对称轴左侧，当3
4
x
，有y
n
m
，与n
y
m
矛盾，不成立；
③当1
4
a
−
时，
(
)
1,
A
m
−
在对称轴左侧，点
(
)
3,
B
n 在对称轴右侧，
点
(
)
1,
A
m
−
对称点为(
)
2
1,
A
a
m
+
，
当3
4
x
，n
y
m
，需要
2
1
4
3
a
a
+
，
解得3
3
2
a
变式5-2 定义：对于y 关于x 的函数，在
(
)
a
x
b a
b
范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数
2
1
y
x
=
+ ，在0
3
x
的范围内，分别求出M 和m 的值．
(2)对于二次函数
2
2
3
y
x
x
=
−
−，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在0
3
x
的范围内，
0
M =
，
3
m
−
=
．”
乙同学说：“在0
x
t
的范围内，若
4
M
m
−
= ，则
0
M =
，
4
m = −．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断
．．．．．．，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
【答案】(1)
7
M =
；
1
m =
(2)
解：甲同学说法错误；乙同学说法错误．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
−
−
−
−
=
=
，
∵抛物线开口向上，
1
x = 在0
3
x
的范围内，
∴当
1
x = 时，函数最小值为
4
m = −，
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当
0
x =
时，
2
2
3
3
y
x
x
=
−
−= −，
当
3
x = 时，
23
2 3
3
0
y =
−−
=
∴在0
3
x
的范围内函数最大值
0
M =
；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
二次函数
2
2
2
3
(
1)
4
y
x
x
x
−
−
−
−
=
=
，对称轴为
1
x = ，
①0
1
t
时，则在0
x
t
的范围内，y 随x 的增大而减小，
0
x =
时，二次函数
2
2
3
y
x
x
=
−
−有最大值
3
M = −，x
t
= 时，最小值
2
2
3
m
t
t
=
−
−
，
∵
4
M
m
−
= ，
∴
(
)
2
3
2
3
4
t
t
−−
−
−
=
，即
2
2
4
0
t
t
−
+
=
，
∵
(
)
2
Δ
2
4 1 4
12
0
= −
−
= −
，
∴一元二次方程
(
)
2
3
2
3
4
t
t
−−
−
−
=
没有实数根，
∴不符合题意；
2
t
②1
时，
0
x =
时，二次函数
2
2
3
y
x
x
=
−
−有最大值
3
M = −，当
1
x = 时，y 有最小值
4
m = −，
(
)
3
4
1
M
m
−
= −−−
= ，不符合题意；
③
2
t
时，
当x
t
= 时，y 有最大值
2
2
3
M
t
t
=
−
−，当
1
x = 时，最小值
4
m = −，
2
2
3
4
m
t
M
t
−
=
−
−
+
，
若
4
M
m
−
= ，则
2
2
3
0
t
t
−
−
=
，
解得
1
2
1,
3
t
t
= −
=
，
只有当
3
t =
时符合题意；
综上，“在0
x
t
的范围内，若
4
M
m
−
= ，则
0
M =
，
4
m = −”这种说法是错误的，
即甲同学说法错误，乙同学说法错误．
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【详解】（1）解：因为一次函数
2
1
y
x
=
+ 的函数值y 随自变量x 的增大而增大，
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所以当
3
x = 时，
2 3 1
7
M = + =
；当
0
x =
时，
2 0 1 1
m = + = ．
（2）略
变式5-3 在平面直角坐标系中，一次函数
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
的图象经过点(
)
4,6
A −
，交y 轴于点C ，且与二次
函数
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a a
=
+
+
图象的对称轴交于点(
)
,4
B m
．
(1)求m 的值和二次函数图象与x 轴的交点个数；
(2)当二次函数图象恰好经过
(
)
,
,
,
6,8
A B C D −
四个点中的某两点时，请指出是哪两个点，并求出b 的值；
(3)若二次函数的图象与线段AC 有两个交点，求a 的取值范围．
【答案】(1)
2
m = −，二次函数图象与x 轴有且只有1 个交点
(2)经过的两点是C 、D ，
2
b =
(3)
3
2
a
【分析】（1）将(
)
4,6
A −
代入
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
得出
1
k = −，将(
)
,4
B m
代入
2
y
x
= −+
得，
2
m = −，得出对称
轴为直线
2
x = −，则
4
b
a
=
，计算
2
4
0
ax
bx
a
+
+
=
的判别式，即可求解；
（2）根据（1）二次函数解析式可写成
(
)
2
2
y
a x
=
+
，顶点为(
)
2,0
−
，得出B 一定不在抛物线上，且
,
A C 两
点不可能同时在抛物线上，验证
,
C D 是否在抛物线上，即可求解；
（3）根据抛物线与线段AC 有交点，则
0
a
，根据抛物线的对称性，当抛物线经过A点时，正好与线段AC
有两个交点，将(
)
4,6
A −
代入
(
)
2
2
y
a x
=
+
中，得
3
2
a =
，结合函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：将(
)
4,6
A −
代入
(
)
2
0
y
kx
k
=
+
中，
∵4
2
6
k
−
+
= ，
∴
1
k = −，
∴一次函数为
2
y
x
= −+
，
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将(
)
,4
B m
代入
2
y
x
= −+
得，
2
m = −，
∴二次函数的对称轴
2
2
b
x
a
= −
= −，得
4
b
a
=
，
当
2
4
0
ax
bx
a
+
+
=
时，
2
2
2
4
4
16
16
0
b
a
a
a
a
=
−
=
−
=
，
∴二次函数图象与x 轴有且只有1 个交点；
（2）解：∵一次函数为
2
y
x
= −+
，
当
0
x =
时，
2
y =
，
∴
(
)
0,2
C
，
根据（1）二次函数解析式可写成
(
)
2
2
y
a x
=
+
，顶点为(
)
2,0
−
，
则B 一定不在抛物线上，且
,
A C 两点不可能同时在抛物线上，所以抛物线可能经过A、D 或C 、D ，
即将
(
)
6,8
D −
代入得(
)
2
6
2
8
a −+
= ，解得
1
2
a =
，
∴
1
4
4
2
2
b
a
=
=
=
，
而
(
)
0,2
C
，此时C 的纵坐标为4
2
a =
，则抛物线经过另一个点是C ，
∴经过的两点是C 、D ；
（3）解：由（1）可知二次函数图象与x 轴有且只有1 个交点，
∵抛物线与线段AC 有交点，
∴抛物线开口向上，即
0
a
，
∵(
)
4,6
A −
，
(
)
0,2
C
，对称轴为直线
2
x = −，
根据抛物线的对称性，当抛物线经过A点时，正好与线段AC 有两个交点，
将(
)
4,6
A −
代入
(
)
2
2
y
a x
=
+
中，得
3
2
a =
，
即当
3
2
a
时，二次函数的图象与线段AC 都有两个交点．
题型6、抛物线与一次函数交点问题
典例6 （25-26 九年级下·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数
2
2
1
1
5
4
=
−
+
−
y
x
ax
a
的顶点在一次函数
2
5
=
+
−
y
ax
ab
上，且当
3
1
2
x
时，都有
1
2
y
y
，a 的取值范围是（ ）
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A．
2
3
a
B．
3
a
C．1
2
a
D．
1
a 或
2
a
【答案】C
【分析】先对二次函数配方得到顶点坐标，将顶点代入一次函数得到a 与b 的关系，再根据
1
2
y
y
整理得到
关于x 的不等式，利用开口向上二次函数的性质，只需区间端点处函数值
0
即可满足区间内不等式恒成立，
解不等式后取交集得到a 的取值范围．
【详解】解：∵
2
2
2
1
1
5
5
4
2
a
y
x
ax
a
x
=
−
+
−
=
−
−
，
∴
1y 的顶点坐标为
, 5
2
a
−
，
∵顶点在
2
5
=
+
−
y
ax
ab
上，
∴将顶点坐标代入得：5
5
2
a
a
ab
-
= ?
-
，
整理得
2
2
a
ab = -
，
1
2
y
y
即
1
2
0
y
y
−
，
即
(
)
2
2
5
5
0
4
a
x
ax
ax
ab
−
+
−−
+
−
，
将
2
2
a
ab = -
代入化简得
2
2
3
2
0
4
x
ax
a
-
+
<
，
对于二次函数
2
2
3
2
4
y
x
ax
a
=
-
+
，
∵二次项系数为1
0
，抛物线开口向上，
要使
3
1
2
x
时
1
2
y
y
恒成立，即
2
2
0
3
2
4
y
x
ax
a
=
-
+
< 恒成立，结合函数图象可知只需端点处函数值
0
，
当
1
x = 时，
2
3
1 2
0
4
a
a
-
+
?
，
整理得
2
3
8
4
0
a
a
−
+
，
对于二次函数
2
3
8
4
y
a
a
=
-
+ ，
二次项系数为3
0
，抛物线开口向上，
当
2
3
8
4
0
y
a
a
=
-
+ = 时，解得
2
3
a =
或2，
∴满足
2
3
8
4
0
y
a
a
=
-
+ ?
的a 为2
2
3
a
，
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当
3
2
x =
时，
2
2
3
3
3
2
0
2
2
4
a
a
−
+
，
整理得
2
4
3
0
a
a
−
+
，
对于二次函数
2
4
3
y
a
a
=
-
+ ，
二次项系数为1
0
，抛物线开口向上，
当
2
4
3
0
y
a
a
=
-
+ =
时，解得
1
a = 或3，
∴满足
2
4
3
0
y
a
a
=
-
+ ?
的a 为1
3
a
，
综上，a 的取值范围是1
2
a
．
题型模版
1.特征：直线 y=kx+b 与抛物线相交，讨论交点个数、交点坐标及由交点条件求参数．
2.方法：联立两解析式消元得一元二次方程；用判别式判断交点个数，用韦达定理求交点横纵坐标关系；结
合图象分析直线过定点、与抛物线相切等临界状态．
变式6-1 已知抛物线
2
3
y
x
ax
=
−
+ （a 为常数）经过点(
)
1,0
A
．
(1)求a 的值．
(2)若抛物线向左平移n（
0
n
）个单位后仍经过点A，求n 的值．
(3)过点(
)
,0
P m
作x 轴的垂线，交抛物线
2
3
y
x
ax
=
−
+ 于点M，交直线y
kx
=
(
0
k )于点N．当1
3
m
时，
MN 的长度随AP 的长度增大而增大，求k 的取值范围．
【答案】(1)4
(2)2
(3)
2
k
【分析】本题考查二次函数的平移、二次函数的图象性质、一次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键．
（1）将
(
)
1,0
A
代入抛物线表达式求出a 的值；
（2）先求出平移后抛物线的表达式，再将(
)
1,0
A
代入平移后的抛物线表达式求出n 的值；
（3）根据题意得N 的坐标为(
)
,
m mk ，M 的坐标为(
)
2
,
4
3
m m
m
−
+
，求出MN 、AP 的表达式，进而得到MN
的长随m 的增大而增大，利用二次函数的性质列出不等式，从而求出k 的值．
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【详解】（1）解：将
(
)
1,0
A
代入抛物线
2
3
y
x
ax
=
−
+ 得：0
1
3
a
−
=
+ ，
解得：
4
a =
；
（2）解：由（1）知，
4
a =
，
抛物线表达式为
(
)
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x
=
−
=
+
−
−，
平移后抛物线的解析式为
(
)
2
2
1
y
x
n
=
−
+
−，
将点
(
)
1,0
A
代入
(
)
2
2
1
y
x
n
=
−
+
−得：
(
)
2
1 2
1
0
n
−
+
−=
，
解得：
2
n =
或
0
n =
，
0
n
，
2
n
=
；
（3）解：如图：∵
(
)
,0
P m
，
N
的坐标为(
)
,
m mk ，M 的坐标为(
)
2
,
4
3
m m
m
−
+
，
1
3
m
，
0
k ，
(
)
(
)
2
2
4
3
4
3
MN
mk
m
m
m
k m
=
−
−
+
= −
+
+
−、
1
AP
m
=
−，
MN
的长随AP 的长增大而增大，
MN
的长随m 的增大而增大，
抛物线
(
)
2
4
3
MN
m
k m
= −
+
+
−中1
0
−
，
该抛物线的图象开口向下，
该抛物线的对称轴为
(
)
4
4
2
1
2
k
k
x
+
+
= −
=
−
，
4
3
2
k
+
，
解得：
2
k
．
变式6-2 抛物线
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 与x 轴交于点
(
)
1,0
A −
和点B ，与y 轴交于点C ．点P 在直线BC 上，设点P 的
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横坐标为t ．
(1)求c 的值；
(2)如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当
1
t = 时，求点H 的坐标；
(3)点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
2 2
PQ =
．过点P ，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条垂线围
成四边形PEQF ．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N ，记M ，N 的纵坐标之和为f ．
①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当
11
2
f = −
时，直接写出t 的值．
【答案】(1)
3
c = −
(2)(
)
1
2, 2
+
−
(3)①
(
)
(
)
2
3
6 0
1
2
4 1
3
t
t
t
f
t
t
+
−
=
−
；②
3
4
−
，1
3
2
−
，3
11
2
−+
【分析】（1）把点
(
)
1,0
A −
代入抛物线表达式中可解出c 的值；
（2）由（1）求出点B 和点C 的坐标，从而求出直线BC 的表达式，得出当
1
t = 时，点P 的坐标，由平行关
系和抛物线表达式可推出点H 的坐标；
（3）利用
2 2
PQ =
结合点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方用t 表示出点Q 的坐标，从而可得到四边形
PEQF 是边长为2 的正方形，接着可表示出点E 和点F 的运动轨迹，求出当四边形PEQF 的边与抛物线有
两个交点M ，N 时，t 的取值范围；①分情况讨论当点P 在线段BC 上时，t 的不同取值范围分别对应的点
M 和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f 关于t 的函数解析式；②在①的基础上分情况讨论剩
余t 的不同取值范围分别对应的点M 和点N 纵坐标，计算它们的纵坐标之和即可得到f 关于t 的函数解析式．
【详解】（1）解：把点
(
)
1,0
A −
代入抛物线
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 得0
1 2
c
= + + ，
解得，
3
c = −；
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（2）解：由（1）得
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
令
0
y =
得
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
因式分解得(
)(
)
3
1
0
x
x
−
+
=
，
解得
3
x = 或
1
x = −，
令
0
x =
得
3
y
−
=
，
(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
，
设直线BC 的表达式为y
kx
b
=
+
，
把
(
)
3,0
B
，
(
)
0, 3
C
−
代入得
0
3
3
k
b
b
=
+
−=
，解得
1
3
k
b
−
=
=
，
直线BC 的表达式为
3
y
x
=
−
，
当
1
x = 时，
2
y = −，
当
1
t = 时，
(
)
1, 2
P
−
，
PH
平行于x 轴，
H
的纵坐标为2
−，
点H 是抛物线上位于第四象限的点，
又
2
2
3
2
x
x
−
−
= −
，化简得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
4
8
b
ac
−
=
，
解得
2
4
2
2 2
1
2
2
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
=
=
，
(
)
1
2, 2
H
+
−
；
（3）解：由（2）知直线BC 的表达式为
3
y
x
=
−
，
(
)
,
3
P t t
−
，
设点Q 的坐标为(
)
,
3
a a −
，
2 2
PQ =
，
(
)
(
) (
)
(
)
2
2
2
3
3
2 2
a
t
a
t
−
+
−
−
−
=
，
化简得(
)
2
2
8
a
t
−
= ，
解得
2
a
t
−
=
，
点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
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a
t
，
2
a
t
−=
，即
2
a
t
= +
，
(
)
2,
1
Q t
t
+
−
，
四边形PEQF 是边长为2 的正方形，
如图，当PQ 沿BC 移动时，点E 沿ED移动，点F 沿FG 移动，
上图中点Q 和点C 重合，
(
)
0, 3
Q
−
，
(
)
2, 5
P
−
−
，
(
)
2, 3
E
−
−
，
(
)
0, 5
F
−
，
(
)
0, 1
D
−
，
(
)
2, 3
G
−
，
当
2
x =
时，
2
2
3
3
y
x
x
=
−
−= −，
点G 在抛物线上，
设直线ED的表达式为y
kx
b
=
+
，
把
(
)
2, 3
E −
−
，
(
)
0, 1
D
−
代入得
3
2
1
k
b
b
−= −
+
−=
，解得
1
1
k
b
=
= −
，
直线ED的表达式为
1
y
x−
=
，
设直线FG 的表达式为y
kx
b
=
+
，
把
(
)
0, 5
F
−
，
(
)
2, 3
G
−
，代入得
3
2
5
k
b
b
−=
+
−=
，解得
1
5
k
b
=
= −
，
直线FG 的表达式为
5
y
x
=
−
，
点E 在直线
1
y
x−
=
上运动，点F 在直线
5
y
x
=
−
上运动，
如图，
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令
2
2
3
1
x
x
x
−
−
=
−，化简得
2
3
2
0
x
x
−
−
=
，
2
4
17
b
ac
−
=
，解得
2
4
3
17
2
2
−
−
=
=
b
b
ac
x
a
，
令
2
2
3
5
x
x
x
−
−
=
−
，化简得
2
3
2
0
x
x
−
+
=
，因式分解得(
)(
)
1
2
0
x
x
−
−
=
，解得
1
x = 或
2
x =
，
点J 的横坐标为3
17
2
−
，点K 的横坐标为3
17
2
+
，点L 的横坐标为1，点T 的横坐标为2 ，
当四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N 时，
3
17
2
2
t
+
−
，
①当点P 在线段BC 上时，0
3
t
，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当0
1
t
时，即点Q 在线段BC 上时，如图，此时点M 的纵坐标为点P 的
纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，
(
)
(
)
(
)
2
2
6
3
2
2
2
3
3
t
f
t
t
t
t
=
−
+
+
−
=
+
+
−
−
，
点P 从点B 往点C 运动的过程中，当1
3
t
时，即点Q 在线段BC 右上方时，如图，此时点M 的纵坐标为
点P 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 纵坐标，
(
) (
)
4
3
1
2
f
t
t
t
=
−
+
−
=
−
，
综上所述，当点P 在线段BC 上时，
(
)
(
)
2
3
6 0
1
2
4 1
3
t
t
t
f
t
t
+
−
=
−
；
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②当2
1
t
−−时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 横坐标在抛物线上对应的
纵坐标，
(
)
(
)
(
)
2
2
4
1
2
2
2
3
3
t
f
t
t
t
t
=
−
+
+
−
=
+
+
−
−
，
当
3
17
1
2
t
−
−
时，如图，点M 的纵坐标为点Q 的纵坐标，点N 的纵坐标为点P 的纵坐标，
(
) (
)
4
3
2
1
f
t
t
t
=
−
+
−
=
−
，
当3
17
0
2
t
−
时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为点P 的
纵坐标，
(
) (
)
2
2
2
3
3
6
f
t
t
t
t
t
=
−
−
+
−
=
−−
，
当
3
17
3
2
t
+
时，如图，点M 的纵坐标为点P 横坐标在抛物线上对应的纵坐标，点N 的纵坐标为点Q 的
纵坐标，
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(
) (
)
2
2
2
3
1
4
f
t
t
t
t
t
=
−
−
+
−
=
−−，
综上所述，
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
4
2
1
3
17
2
4
1
2
3
17
6
0
2
3
6 0
1
2
4 1
3
3
17
4 3
2
t
t
t
t
t
t
t
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
+
−
−−
−
−
−
−
−−
=
+
−
−
+
−−
，
当
11
2
f = −
时，分情况讨论：
当2
1
t
−−时，
2
2
3
4
11
t
t
+
−
= −
，化简得
2
0
2
3
3
t
t
+
=
+
，
2
4
3
b
ac
−
=
，解得
2
4
3
3
2
2
b
b
ac
t
a
−
−
−
=
=
不
符合2
1
t
−−，舍去；
当
3
17
1
2
t
−
−
时，
2
2
1
4
1
t −
= −
，解得
3
4
t = −
符合
3
17
1
2
t
−
−
；
当3
17
0
2
t
−
时，
2
11
6
2
t
t
−−
= −
，化简得
2
1
0
2
t
t
−−
=
，
2
4
3
b
ac
−
=
，解得
2
4
1
3
2
2
b
b
ac
t
a
−
−
=
=
，
1
3
2
t
−
=
符合3
17
0
2
t
−
，
1
3
2
t
+
=
不符合3
17
0
2
t
−
，舍去；
当0
1
t
时，
2
2
3
6
11
t
t
+
−
= −
，化简得
2
0
2
3
1
t
t
+
=
−
，
2
4
11
b
ac
−
=
，解得
2
4
3
11
2
2
b
b
ac
t
a
−
−
−
=
=
，
3
11
2
t
−+
=
符合0
1
t
，
3
11
2
t
−−
=
不符合0
1
t
，舍去；
当1
3
t
时，
2
2
1
4
1
t −
= −
，解得
3
4
t = −
不符合1
3
t
，舍去；
当
3
17
3
2
t
+
时，
2
11
4
2
t
t
−−
= −
，化简得
2
3
0
2
t
t
−
=
+
，
2
4
5
0
b
ac
−
= −
，无解；
综上所述，当
11
2
f = −
时，t 的值为
3
4
−
或1
3
2
−
或3
11
2
−+
．
变式6-3 【阅读理解】若抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的顶点落在直线y
x
=
上，则称这样的抛物线为平衡抛物线．如
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2
4
6
y
x
x
=
−
+ 的顶点为(
)
2,2 落在直线y
x
=
上，是平衡抛物线．
【提出问题】
若抛物线
2
1
1
1
1
4
y
x
b x
c
=
+
+
，
2
2
2
2
1
4
y
x
b x
c
= −
+
+
都是平衡抛物线，抛物线
1y 的对称轴为直线
3
x
−
=
，抛物线
2y 的对称轴为直线
1
x = ．点(
)
,
A m p 在抛物线
1y 上，点
(
)
2
,
B
m q
−
在抛物线
2y 上，点C 与点B 关于直线
1
x =
对称．设d
p
q
−
=
．
【解决问题】
(1)求抛物线
1y 的解析式；
(2)判断线段AC 的中点M 是否一定落在直线y
x
=
上？请你作出判断并说明理由；
(3)当4
4
m
−
时，求d 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
1
3
3
4
2
4
y
x
x
=
+
−
(2)线段AC 的中点M 一定落在直线y
x
=
上，理由如下：
∵点
(
)
,
A m p 在抛物线
1y 上，
∴
2
1
3
3
4
2
4
p
m
m−
=
+
，
同理（1）可得，抛物线
2y 的解析式为
(
)
2
2
1
1
1
4
y
x
= −
−
+ ，
∵点
(
)
2
,
B
m q
−
在抛物线
2y 上，
∴
(
)
2
2
1
1
1
3
2
1
1
4
4
2
4
q
m
m
m
= −
−
−
+ = −
+
+
，
∵点C 与点B 关于直线
1
x = 对称，
∴点
2
1
1
3
,
4
2
4
C m
m
m
−
+
+
，
∵点M 是AC 中点，
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∴点M 的坐标为
2
2
1
3
3
1
1
3
4
2
4
4
2
,
2
4
2
m
m
m
m
m
m
+
+
+
−
−
+
，即(
)
,
m m ，
∴线段AC 的中点M 一定落在直线y
x
=
上．
(3)
21
0
2
d
【分析】（1）由平衡抛物线的定义，结合已知可得
1y 的顶点坐标，即可得抛物线
1y 的解析式；
（2）由已知可得点A，点B 的坐标，由点C 与点B 关于直线
1
x = 对称，可得点C 的坐标，从而可得AC 中
点坐标，即可求解；
（3）结合（2）可得
(
)
2
1
1
2
2
d
m
=
+
−
，令
(
)
2
3
1
1
2
2 m
y
+
=
−，则
3
d
y
=
，根据二次函数的性质得到
3
21
2
2
y
−
，
即可求解d 的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线
2
1
1
1
1
4
y
x
b x
c
=
+
+
是平衡抛物线，对称轴为直线
3
x
−
=
，
∴抛物线
1y 的顶点为(
)
3, 3
−−
，
∴抛物线
1y 的解析式为
(
)
2
2
1
1
1
3
3
3
3
4
4
2
4
y
x
x
x
=
+
−=
+
−
；
（2）略
（3）解：由（2）得，
2
1
3
3
4
2
4
p
m
m−
=
+
，
2
1
1
3
4
2
4
q
m
m
= −
+
+
，
∴d
p
q
=
−
，
2
2
1
1
3
4
2
4
1
3
3
4
2
4
m
m
m
m
−
+
+
−
+
−
=
2
1
3
2
2
m
m
=
+
−
(
)
2
1
1
2
2 m
=
+
−
，
令
(
)
2
3
1
1
2
2 m
y
+
=
−，则
3
d
y
=
，
则
3y 的图象开口向上，对称轴为直线
1
m = −，
∴当
1
m = −时，
3y 有最小值2
−；
∵4
4
m
−
，且
(
)
(
)
4
1
4
1
−−−
−−
，
∴当
4
m =
时，
3y 有最大值
(
)
2
1
21
4 1
2
2
2
+
−
=
，
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∴
3
21
2
2
y
−
，
∴
3
21
0
2
y
，
即
21
0
2
d
．
题型7、折叠后的抛物线与直线交点问题
典例7 将抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，得到的新
图像与直线y
x
m
=
+
有4 个交点，则m 的取值范围是（ ）
A．
5
m −
B．
21
5
4
m
−
−
C．
21
3
4
m
−
−
D．
3
m −
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a 、b 、c 是常数，
0
a
）与x 轴的
交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．解方程
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
得(
)
1,0
−
，(
)
3,0 ，再利用折叠的性质
求出折叠部分的解析式为
(
)(
)
1
3
y
x
x
=
+
−
，即
(
)
2
2
3
1
3
y
x
x
x
=
−
−
−
，然后求出直线y
x
m
=
+
经过点(
)
3,0
时m 的值和当直线y
x
m
=
+
与抛物线
(
)
2
2
3
1
3
y
x
x
x
=
−
−
−
有唯一公共点时m 的值，即可得解．掌握抛
物线与x 轴交点坐标的求法及抛物线与直线交点坐标的求法是解题的关键．也考查了二次函数图像与几何变
换．
【详解】解：对抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ ，
当
0
y =
时，得：
2
2
3
0
x
x
−
+
+
=
，
解得：
1
x = −或
3
x = ，
∴抛物线与x 轴的交点为(
)
1,0
−
、(
)
3,0 ，
∵将抛物线
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 中x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图像的其余部分不变，
∴新图像中当1
3
x
−
时，解析式为
(
)(
)
1
3
y
x
x
=
+
−
，即
2
2
3
y
x
x
=
−
−，如图，
当直线y
x
m
=
+
经过点(
)
3,0 时，此时直线y
x
m
=
+
与新函数图像有3个交点，
把(
)
3,0 代入直线y
x
m
=
+
，解得：
3
m
−
=
，
将直线y
x
m
=
+
向下平移时，有4 个交点，
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当
2
2
3
y
x
x
=
−
−与直线y
x
m
=
+
有一个交点时，此时直线y
x
m
=
+
与新函数图像有3个交点，
整理得：
2
3
3
0
x
x
m
−
−−
=
，
∴(
)
(
)
2
3
4
3
0
m
−
−
−−
=
，
解得：
21
4
m = −
，
综上所述，新图像与直线y
x
m
=
+
有4 个交点时，m 的取值范围是
21
3
4
m
−
−．
故选：C．
题型模版
1.特征：抛物线沿某条直线或某点折叠后，与新直线（或原直线）产生交点，涉及对称变换．
2.方法：先求折叠后抛物线的解析式（关于对称轴或对称中心对称），再与原直线联立；利用对称性把交点
问题转化为原抛物线与对称直线的问题，注意折叠后定义域与图象范围的变化．
变式7-1 （2025·山东泰安·三模）我们规定形如
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的函数叫做“元宝型函数”．已知函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
是一个“元宝型函数”，给出以下结论：①图象关于直线
2
x =
对称；②关于x 的不等式
2
4
3
0
x
x
−
+
的解是
1
x 或
3
x
；③当
1
k 时，关于x 的方程
2
4
3
x
x
k
−
+
=
有三个实数解；④当
1
x 时
函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的y 值随x 值的增大而减小．其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
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【答案】B
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程、不等式（组）关系、二次函数的图象性质，解题的关键是理
解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由图象可知，图象关于直线
1
3
2
2
x
对称，可判断①；关于x 的不等式
2
4
3
0
x
x
−
+
的解是
1
x 且
3
x
，
可判断②；结合图象可得，当0
1
k
时，函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图象与直线y
k
=
有四个交点，当
0
k =
时，
函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图象与直线y
k
=
有两个交点，当
0
k
时，函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图象与直线y
k
=
没
有交点，即当0
1
k
时，关于x 的方程|
2
4
3
x
x
k
−
+
=
有四个实数解，可判断③；由图象可知：当
1
x 时，
函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的y 值随x 值的增大而减小，可判断④．
【详解】解：由图象可知，函数图象与x 轴交于(
)
1,0 和(
)
3,0 两点，
∴图象关于直线
1
3
2
2
x
对称，
故①正确；
由图象可知，关于x 的不等式
2
4
3
0
x
x
−
+
的解是
1
x 且
3
x
，
故②不正确；
将
2
x =
代入
2
4
3
y
x
x
=
−
+
，得
1
y = ，
∴当0
1
k
时，函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图象与直线y
k
=
有四个交点，当
0
k =
时，函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图
象与直线y
k
=
有两个交点，当
0
k
时，函数
2
4
3
y
x
x
=
−
+
的图象与直线y
k
=
没有交点，
∴当0
1
k
时，关于x 的方程
2
4
3
x
x
k
−
+
=
有四个实数解，当
0
k =
时，关于x 的方程
2
4
3
x
x
k
−
+
=
有两
个实数解，当
0
k
时，关于x 的方程
2
4
3
x
x
k
−
+
=
没有实数解，
故③不正确；
由图象可知，当
1
x 时，函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的y 值随x 值的增大而减小； 当1
2
x
时，函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的y 值随x 值的增大而增大；当2
3
x
时，函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的y 值随x 值
的增大而减小；当
3
x 时，函数
2
(
0)
y
ax
bx
c a
=
+
+
的y 值随x 值的增大而增大；
故④正确．
∴正确的有①④共2 个．
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故选：B．
变式7-2 已知关于x 的方程
2
4
0
x
x
t
+
−=
，在5
2
x
−
的范围内，该方程有2 个不同的实数根，则t 的取
值范围是_____．
【答案】
4
5
t
−
【分析】将方程在给定区间内有两个不同实数根的问题，转化为二次函数与平行于x 轴的直线的交点个数
问题，通过配方得到二次函数的顶点坐标，计算区间端点的函数值，结合二次函数的图像性质确定t 的取值
范围
【详解】解：方程
2
4
0
x
x
t
+
−=
在5
2
x
−
范围内有2 个不同的实数根，等价于函数
2
4 ( 5
2)
y
x
x
x
=
+
−
与直线y
t
= 有2 个不同的交点，
对二次函数配方得：
2
2
4
(
2)
4
y
x
x
x
=
+
=
+
−
该二次函数开口向上，对称轴为
2
x = −，顶点坐标为(
)
2, 4
−
−
，
当
5
x = −时，
2
(
5)
4 (
5)
5
y = −
+ −
= ；当
2
x =
时，
2
2
4 2
12
y =
+
=
；
结合二次函数的图像性质可得，要使直线y
t
= 与
2
4
y
x
x
=
+
在5
2
x
−
范围内有两个不同交点，需满足
4
5
t
−
变式7-3 已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ．
(1)若
0
ac
，求证：二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点；
(2)若二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象过点
(
)
,
A n m ，
(
)
6,
B n
m
+
，且
3
n −．
①当
0
m =
时，求b
c
a
+
的最小值；
②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线:
2
6
l x
n
=
+ 右侧的部分沿直线l 翻折得到的图形与原函数图
象组合成新图形W ．若对于m 的每一个值，直线AB 与图形W 总有三个不同的交点，求n 的取值范围．
【答案】(1)证明：∵二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
当
0
y =
时，得：
2
0
ax
bx
c
+
+
=
，∴
2
4
b
ac
=
−
，
∵
0
ac
，
2
0
b
，∴
2
4
0
b
ac
=
−
，
∴一元二次方程
2
0
ax
bx
c
+
+
=
有两个不同的实数根，
∴二次函数的图象与x 轴有两个不同的交点；
(2)①10
−
；②6
0
n
−
≤
且
3
n −
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【分析】（1）证明判别式
0
即可；
（2）由A、B 纵坐标相等得对称轴
3
x
n
=
+ ，得
(
)
2
3
b
a n
−
=
+
；①根据图象过点
(
)
,0
A n
，得
2
6
c
an
an
=
+
，
从而得
(
)
2
2
10
b
c
n
a
+
=
+
−
，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨
论，列出不等式，求解即可得到n 的取值范围．
【详解】（1）略；
（2）解：
(
)
,
A n m ，(
)
6,
B n
m
+
，
对称轴
(
)
6
3
2
n
n
x
n
+
+
=
=
+
，
对称轴
2
b
x
a
= −
，
3
2
b
n
a
−
=
+ ，则
(
)
2
3
b
a n
−
=
+
，
①当
0
m =
时，
(
)
,0
A n
，则
2
0
an
bn
c
+
+
=
，
(
)
2
3
b
a n
−
=
+
，
(
)
2
2
3
0
an
a n
n
c
−
+
+
=
，整理得
2
6
c
an
an
=
+
，
(
)
2
2
2
2
3
6
2
6
6
4
6
a n
an
an
b
c
n
n
n
n
n
a
a
−
−
−
−
+
+
+
+
=
=
+
+
=
+
(
)
2
2
10
n
=
+
−
，
1
0
，
当
2
n = −时，b
c
a
+
取得最小值，为10
−
；
②二次函数有最大值，
0
a
，开口向下，对称轴为直线
3
x
n
=
+ ，
对于m 的每一个值，直线AB 与图形W 总有三个不同的交点，
如图1，当
3
0
n+
时，只需点(
)
6,
B n
m
+
在
直线:
2
6
l x
n
=
+ 右侧即可，
6
2
6
n
n
+
+
，解得3
0
n
−
；
如图2，当
3
0
n+ 时，只需点(
)
,
A n m 在直线:
2
6
l x
n
=
+ 上或左侧即可，
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2
6
n
n
+ ，解得6
3
n
−
−
；
综上所述：6
0
n
−
且
3
n
−
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
29．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 的图象与一次函数
(
)
2
1 0
3
y
x
x
=
+
的
图象只有一个交点，则c 的最大值与最小值的差为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，掌握根与系数的关系和解不等式组是解题的关键．联
立二次函数与一次函数方程，得到关于x 的二次方程，根据判别式及根在0
3
x
内的条件，分情况讨论确
定c 的取值范围，从而求出c 的最大值与最小值的差．
【详解】解：令
2
2
2
1
x
x
c
x
−
+
=
+ ，
整理得：
(
)
2
4
1
0
x
x
c
−
+
−
=
，
(
)
(
)
2
4
4
1
20
4
c
c
= −
−
−
=
−
，
二次函数
2
2
y
x
x
c
=
−
+ 的图象与一次函数
(
)
2
1 0
3
y
x
x
=
+
的图象只有一个交点，
①当
20 4
0
c
=
−
=
时，即
5
c =
时，方程的解为
4
0
2
2
x
=
=
，满足0
3
x
，且两函数图象只有一个交
点，
②当
20 4
0
c
=
−
时，即
5
c 时，方程的解为
4
20
4
2
5
2
c
x
c
−
=
=
−
，只需满足一个解在0
3
x
内，
若
0
2
5
3
2
5
3
c
c
−
−
+
−
，即
1
5
2
5
1
c
c
−
−
−
，
1
5
2
c
−
，即1
5
4
c
−
，
解得1
4
c
；
若
0
2
5
3
2
5
0
c
c
+
−
−
−
，即
2
5
1
5
2
c
c
−
−
−
，
故此情况不存在，
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当1
4
c
时和当
5
c =
时，两函数图象只有一个交点，
c 的最大值与最小值的差为5 1
4
−=
．
故选：D．
30．已知抛物线
2
3
1
y
x
bx
=
+
+ 与直线
2
y
x
=
+
相交于A、B 两点，则线段AB 长的最小值为（ ）
A．
26
3
B．
6
3
C．2 6
3
D．2 13
3
【答案】C
【分析】先联立抛物线与直线的方程，得到关于x 的一元二次方程，再结合两点间距离公式推导出AB 关于
b 的表达式，最后利用平方数的非负性求出AB 长的最小值．
【详解】解：设(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
联立抛物线与直线方程
2
3
1
2
y
x
bx
y
x
=
+
+
=
+
整理得
(
)
2
3
1
1
0
x
b
x
+
−
−=
由根与系数的关系得
1
2
1 2
1
1
,
3
3
b
x
x
x x
−
+
=
= −
∵
(
) (
)
1
2
1
2
1
2
2
2
y
y
x
x
x
x
−
=
+
−
+
=
−
∴
(
)
(
)
2
2
1
2
1
2
AB
x
x
y
y
=
−
+
−
(
)
2
1
2
2 x
x
=
−
(
)
2
1
2
2
x
x
=
−
(
)
2
1
2
1
2
2
4
x
x
x x
=
+
−
2
1
4
2
3
3
b
−
+
=
2
2
(1
)
12
3
b
−
+
=
∵
2
(1
)
0
b
−
，
∴ 当
2
(1
)
0
b
−
=
时，AB 取得最小值
代入得
min
2
12
2 6
3
3
AB
=
=
．
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31．（25-26 九年级上·浙江嘉兴·阶段检测）已知一次函数
1
2
y
x
a
=
+ （a 为实数）和二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
，
对任意0
4
x
，总有
1
2
y
y
，则a 的取值范围是（ ）
A．
2
a −
B．2
4
2 5
a
−
−+
C．4
2 5
4
2 5
a
−−
−+
D．
4
2 5
a −+
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键．
将不等式
1
2
y
y
转化为
( )
(
)
(
)
2
2
1
2
2
0
f
x
y
y
x
a
x
a
=
−
=
−
+
+
−
对任意 0
4
x
成立，由于
( )
f
x 是
开口向上的二次函数，需保证自变量范围中的端点
( )
0
0
f
，
( )
4
0
f
，以及当顶点在该范围内时
2
0
2
a
f
+
，由此即可求解．
【详解】解：一次函数
1
2
y
x
a
=
+
（a 为实数）和二次函数
2
2
2
y
x
ax
=
−
+
，对任意0
4
x
，总有
1
2
y
y
，
∴设
( )
(
)
(
)
2
2
1
2
2
0
f
x
y
y
x
a
x
a
=
−
=
−
+
+
−
，
∵1
0
，
(
)
2
2
2
2
a
a
x
−
−
−
= −
=
，
∴二次函数
( )
f
x 的图象开口向上，对称轴为：直线
2
2
a
x
−
=
，
①当
2
0
2
a +
时，即
2
a −，
( )
f
x 在0
4
x
上，
( )
f
x 随x 的增大而增大，
当
0
x =
时，
( )
f
x 有最小值，
( )
0
2
0
f
a
=
−
，即
2
a
，
∴
2
a −；
②当
2
0
4
2
a +
时，即2
6
a
−
，
当
2
2
a
x
+
=
时，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
4
2
2
0
2
2
2
4
a
a
a
a
a
f
a
a
+
+
+
+
−
=
−
+
+
−
= −
，
∴
2
8
4
0
a
a
+
−
，
解得，
(
)
2
8
8
4
4
4
2 5
2
a
−
−−
=
= −
，
∴当4
2 5
4
2 5
a
−−
−+
时，
( )
0
f
x
，
∴2
4
2 5
a
−
−+
；
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③当
2
4
2
a +
时，即
6
a
，
( )
f
x 在0
4
x
上，
( )
f
x 随x 的增大而减小，
当
4
x =
时，
( )
f
x 有最小值，
( )
(
) (
)
2
4
4
4
2
2
10
5
0
f
a
a
a
=
−
+
+
−
=
−
，即
2
a
，
∴此种情况不符合题意；
综上所示，
4
2 5
a −+
，
故选：D．
32．（25-26 九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
2
y
x
bx
= −
+
+ 与x 轴交
于
(
)
(
)
4,0 ,
1,0
A
B
−
两点，与y 轴交于点C．将抛物线位于点A，C 之间的部分（包含端点）记为图象G，若
直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与图象G 有两个交点，则b = _____，k 的取值范围是________________．
【答案】
3
2
−
2
1
3
2
k
−
−
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与直线的交点问题，解答的关键是确定临界点
的k 值，利用数形结合思想得出答案．
先由待定系数法求二次函数解析式，然后求出C 的坐标，再得到直线过定点(
)
3,4
−
，分别求出直线经过点C、
A 以及与抛物线相切时的k 值，结合图象，即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线
2
1
2
2
y
x
bx
= −
+
+ 与x 轴交于(
)
1,0
B
，
∴
1
2
0
2
b
−
+ +
=
，
∴
3
2
b
−
=
，
∴解析式为：
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
−
+ ，
令
0
x =
，则
2
y =
，
∴
(
)
0,2
C
，
∵当
3
x
−
=
时，
(
)
3
3
4
4
y
k
k
=
−
+
+
=
，
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∴直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
经过定点(
)
3,4
−
，
如图，
当直线经过点C 时，由2
3
4
k
=
+ 得
2
3
k = −
，此时直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与图象G 有两个交点，
当直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与抛物线
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
−
+ 相切时，
由
2
1
3
2
2
2
3
4
k
x
x
k
x
+
−
+
= −
+
得
(
)
2
2
3
6
4
0
x
k
x
k
+
+
+
+
=
，
由
(
)
(
)
2
Δ
2
3
4
6
4
0
k
k
=
+
−
+
=
解得
1
1
2
k
−
=
，
2
7
2
k =
，
当直线经过点A 时，由0
4
3
4
k
k
= −
+
+
得
4
k =
，此时直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与图象G 有一个交点，
由图可知，当
2
1
3
2
k
−
−
，直线
(
)
3
4
0
y
kx
k
k
=
+
+
与图象G 有两个交点，
故答案为：
3
2
−
，
2
1
3
2
k
−
−
．
33．-【上好课】2024-2025 学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版））将抛物线
(
)
2
1
1
2
y
x
= −
+
的图像位
于直线
2
y = −以下的部分向上翻折，得到如图图像，若直线y
x
m
=
+
与此图像有四个交点；求m 的取值范
围．
【答案】
3
1
2
m
【分析】本题考查了二次函数的图象变换，二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，分
别确定直线1l 与抛物线
2)1
(
2
1
+
−
=
x
y
有一个交点、直线2l 经过点
( 3, 2)
A −−
时的m 的值，即可求解，熟练掌握
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相关知识点是关键．
【详解】解：根据题意，画出图象如图所示：
直线1l 与抛物线未翻折部分有一个交点时，此时直线1l 与新图象有三个交点，
可得方程
2
1 (
1)
2
x
m
x +
=
+
−
有一个实数根，
整理方程得：
2
4
1
2
0
x
x
m
+
+ +
=
，
24
4(1 2 )
0
m
=
−
+
= ，
解得：
3
2
m =
；
由
2
1 (
1)
2
2 x
−
+
= −解得：
1
3
x = −，
2
1
x = ，
( 3, 2)
A
−−
，
当直线2l 经过点
( 3, 2)
A −−
时，此时直线1l 与新图象有三个交点，
可得2
3 m
−= −+
，
解得
1
m = ，
根据图象可得，m 的取值范围是：
3
1
2
m
．
34．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线
(
)
2
2
4
1
0
y
x
x
m
m
=
−
+
与y 轴交于点A，它的顶点为点B ．
(1)点A的坐标为_________，点B 的坐标为_________（用m 表示）；
(2)已知射线
(
)
4
0
y
x
=
，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求m 的取值范围．
【答案】(1)(
)
0,1 ；(
)
, 2
1
m
m
−
+
(2) m 的取值范围为
0
m
【分析】（1）利用抛物线的性质与顶点公式求出点A和点B 的坐标即可；
（2）将
4
y =
代入
2
2
4
1
=
−
+
y
x
x
m
得到方程
2
2
4
3
0
x
mx
m
−
−
=
，根据
0
得到
3
2
m −
或
0
m
．分类讨
论，结合韦达定理判断两根的符号，筛选出符合题意的范围．
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【详解】（1）解：将
0
x =
代入
2
2
4
1
=
−
+
y
x
x
m
，得
1
y = ，
∴点A的坐标为(
)
0,1 ，
(
)
2
2
4
1
0
y
x
x
m
m
=
−
+
的对称轴为直线
4
2
2
x
m
m
−
= −
=
，
将x
m
=
代入
2
2
4
1
=
−
+
y
x
x
m
，得
2
2
4
1
2
1
y
m
m
m
m
=
−
+
= −
+
，
∴点B 的坐标为(
)
, 2
1
m
m
−
+
；
（2）解：将
4
y =
代入
2
2
4
1
=
−
+
y
x
x
m
，得，
2
2
4
4
1
=
−
+
x
x
m
，
化简，得
2
2
4
3
0
x
mx
m
−
−
=
，
∵抛物线与该射线恰有一个公共点，
∴方程只有一个非负实数根，
∴
(
)
(
)
2
2
Δ
4
4 2
3
16
24
0
m
m
m
m
= −
−−
=
+
，且
0
m
，
当Δ
0
= 时，解得
3
2
m = −
，
原方程变为：
2
9
2
6
0
2
x
x
+
+
=
，
解得
1
2
3
2
x
x
=
= −
，
此时方程有两个相等的负根，不满足题意，
当Δ
0
时，
2
16
24
0
m
m
+
，解得
3
2
m −
或
0
m
，
①当
0
m
时，
由韦达定理可得
1
2
3
3
0
2
2
m
x x
m
−
=
= −
，
∴
1x ，
2x 异号，
∴方程有一个正根和一个负根，符合题意；
②当
3
2
m −
时，
由韦达定理可得
1
2
4
2
0
2
m
x
x
m
−
+
= −
=
，
1
2
3
0
2
x x
m
= −
，
∴方程有两个不相等的负根，不符合题意；
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综上所述，m 的取值范围为
0
m
．
35．已知抛物线
2
4
y
x
x
c
=
−
+ （c 为常数）经过点
(
)
3,0
A
．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点A向左平移(
)
0
k k
个单位长度，再向上平移(
)
0
t t
个单位长度后，恰好落在抛物线上．当
3
t
时，
求k 的最大值．
(3)点
(
)
,
C m n 在抛物线上（不与点A重合），过点C 作直线l
x
∥
轴，若直线l 与抛物线上A，C 两点之间的部
分（包含点A，C ）只有一个交点时，求m 的取值范围．
【答案】(1)
2
4
3
y
x
x
=
−
+
(2)3
(3)
1
m 或2
3
m
或
3
m
【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）先求得平移后的点的坐标为(
)
3
,k t
−
，代入函数解析式得出
2
2
t
k
k
=
−
，根据
3
t
，
0
t
，解不等式即
可求解；
（3）先求得抛物线与坐标轴的交点
(
)
3,0
A
，(
)
1,0
B
，,
C A 不重合，则
3
m
，分情况讨论，当A在直线l 上
时，得出
1
m ；当A不在直线l 上时，直线l 与抛物线交于点
(
)
,
C m n 和
(
)
4
,
D
m n
−
，分
3
m
和
3
m
两种情
况讨论，分别列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：将
(
)
3,0
A
代入
2
4
y
x
x
c
=
−
+ 得，
0
9 12
c
= −
+ ，
解得：
3
c = ，
∴
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
（2）解：
(
)
3,0
A
向左平移(
)
0
k k
个单位长度，再向上平移(
)
0
t t
个单位长度后，为(
)
3
,k t
−
∵(
)
3
,k t
−
在
2
4
3
y
x
x
=
−
+ ；
∴
(
)
(
)
2
3
4 3
3
t
k
k
=
−
−
−
+
解得：
2
2
t
k
k
=
−
∵
3
t
且
0
t
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∴
2
0
2
3
k
k
−
解不等式
2
2
0
k
k
−
得
0
k
或
2
k
，
解不等式
2
2
3
k
k
−
得1
3
k
−
，
又因
0
k
，
∴2
3
k
∴k 的最大值为3；
（3）解：当
0
y =
时，
2
4
3
0
x
x
−
+
=
解得：
1
x = 或
3
x =
∴
(
)
3,0
A
，
(
)
1,0
B
∵
(
)
2
2
4
3
2
1
y
x
x
x−
=
−
+
=
−
∴顶点坐标为(
)
2, 1
−
过点
(
)
,
C m n 作直线l
x
∥
轴，
则
2
4
3
n
m
m
=
−
+
2
2
4
3
4
3
x
x
m
m
−
+
=
−
+
解得：
1
2
,
4
x
m x
m
=
=
−
∵
,
C A 不重合，则
3
m
，
当A在直线l 上时，
2
4
3
0
m
m
−
+
=
，解得：
1
m = 或
3
m =
（舍去）
当
1
m = 时，
(
)
1,0
C
，即点B ，直线为x 轴，不符合题意，则
1
m
当A不在直线l 上时，直线l 与抛物线交于点
(
)
,
C m n 和
(
)
4
,
D
m n
−
①当
3
m
时，
,
A C 之间的横坐标满足
3
m
x
，则D 的横坐标满足4
m
m
−
或4
3
m
−
当4
m
m
−
时，则
2
m
，
当4
3
m
−
时，则
1
m ；
∴
1
m 或2
3
m
；
②当
3
m
时，
,
A C 之间的横坐标满足3
x
m
，则D 的横坐标满足4
3
m
−
或4
m
m
−
当4
3
m
−
时，则
1
m ，
当4
m
m
−
时，则
2
m
（矛盾，舍去）
∴
3
m
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综上所述，
1
m 或2
3
m
或
3
m
．
36．（24-25 九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，设函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ （a ，b 是常数，
0
a
）．
(1)若该函数的图象经过(
)
1,0 和(
)
4,1 两点，则函数的表达式为________．
(2)当
2
a =
时，写出一个b 的值，使函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ 图象的顶点坐标始终在直线
1
y
−
=
的下方，并说明理
由．
(3)当
1
a = ，
2
b = 时，函数
2
1
y
ax
bx
=
−
+ 图象上有点
(
)
1
,
M t y
，直线
1
1
2
y
x
=
+ 上有点
(
)
2
,
N t y
，若
3
2
MN
，
试求t 的取值范围．
【答案】(1)
2
1
4
1
3
3
y
x
x
=
−
+
(2)
4
b
或
4
b −
(3)
1
2
t −
或
3
t
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由函数的图象经过(1,0) 和(4,1) 两点，从而
1
0
a
b
−+ =
，且16
4
1 1
a
b
−
+ = ，进而求出a ，b 后
可以判断得解；
（2）依据题意，当
2
a =
时，函数为
2
2
1
y
x
bx
=
−
+ ，从而可得对称轴是直线
2
2
4
b
b
x
−
= −
=
，则顶点为(4
b ，
2
1)
8
b
−
+
，
结合顶点坐标始终在直线
1
y
−
=
的下方，可得
2
1
1
8
b
−
+ −，进而求出b 的范围；
（3）依据题意，当
1
a = ，
2
b = 时，函数为
2
2
1
y
x
x
=
−
+ ，从而
2
1
2
1
y
t
t
=
−
+ ，结合
2
1
1
2
y
t
=
+ ，故
2
1
3
2
1
1
2
2
MN
t
t
t
=
−
+ −
−
，进而
2
2
5
0
2
5
3
2
2
t
t
t
t
−
−
或
2
2
5
0
2
5
3
2
2
t
t
t
t
−
−
−
，最后计算可以判断得解．
【详解】（1）解：函数的图象经过(1,0) 和(4,1) 两点，
1
0
a
b
−+ = ，且16
4
1 1
a
b
−
+ = ．
1
3
a
=
，
4
3
b =
．
二次函数的表达式为
2
1
4
1
3
3
y
x
x
=
−
+ ．
故答案为：
2
1
4
1
3
3
y
x
x
=
−
+ ．
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（2）解：由题意，当
2
a =
时，函数为
2
2
1
y
x
bx
=
−
+ ．
对称轴是直线
2
2
4
b
b
x
−
= −
=
．
顶点为(4
b ，
2
1)
8
b
−
+
．
又顶点坐标始终在直线
1
y
−
=
的下方，
2
1
1
8
b
−
+ −．
2
16
b
．
4
b
或
4
b −．
（3）解：由题意，当
1
a = ，
2
b = 时，函数为
2
2
1
y
x
x
=
−
+ ．
2
1
2
1
y
t
t
=
−
+ ．
又
2
1
1
2
y
t
=
+
，
2
1
3
2
1
1
2
2
MN
t
t
t
=
−
+ −
−
．
2
5
3
2
2
t
t
−
．
2
2
5
0
2
5
3
2
2
t
t
t
t
−
−
或
2
2
5
0
2
5
3
2
2
t
t
t
t
−
−
−
．
1
2
t
−
或
3
t
．
37．已知二次函数
(
) (
)(
)
y
x x
c
x
c
x
d
=
−
+
−
−
，其中c，d 为两个不相等的实数，与y 轴交点坐标为(
)
0,n ．
(1)当
3
4
c
d
=
=
，
时，求n 的值；
(2)当
3
0
d
c
=
时，点
(
)
3
1,
C
y
，(
)
4
2,
D
y
在该函数图像上，且
3
4
y
y
，求整数n 的值；
(3)若
3
n = −，对于该函数图像的顶点坐标(
)
1
1
,
x
y
，满足
1
1
x ，求
1y 的取值范围．
【答案】(1)12
(2)1，2，3，4
(3)
1
5
y −
【分析】（1）将(
)
0,n ，
3
4
c
d
=
=
，
代入
(
) (
)(
)
y
x x
c
x
c
x
d
=
−
+
−
−
解析式求解即可；
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（2）分别表示出
3
4
,
y
y ，根据
3
4
y
y
得出
6
5
c
，根据
3
0
d
c
=
得出
0
c
，则
6
0
5
c
，根据抛物线与y 轴
交点坐标为(
)
0,n ，得出
2
3
n
c
=
，进而求得n 的取值范围，即可确定n 的整数值；
（3）根据题意可得
3
n
cd
=
= −，根据函数图像的顶点坐标(
)
1
1
,
x y
，得出
3
cd = −，根据
1
1
x 得出2
4
c
d
+
，
进而求得
1y 的取值范围．
【详解】（1）解：当
3
4
c
d
=
=
，
时，二次函数
(
) (
)(
)
(
) (
)(
)
2
3
3
4
2
10
12
y
x x
c
x
c
x
d
x x
x
x
x
x
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
．
∵函数与y 轴交点坐标为(
)
0,n ，
∴
12
n =
．
（2）解：当
3
d
c
=
时，二次函数
(
) (
)(
)
(
) (
)(
)
2
2
3
2
5
3
y
x x
c
x
c
x
d
x x
c
x
c
x
c
x
cx
c
=
−
+
−
−
=
−
+
−
−
=
−
+
，
已知点
(
)
3
1,
C
y
，(
)
4
2,
D
y
在该函数图像上，则
2
3
2
5
3
c
c
y
−
=
+
，
2
4
8 10
3
c
c
y
−
=
+
，
∵
3
4
y
y
，
∴
2
2
2
5
3
8 10
3
c
c
c
c
−
+
−
+
，解得：
6
5
c
，
∵
3
0
d
c
=
，
∴
0
c
，即
6
0
5
c
．
∵函数与y 轴交点坐标为(
)
0,n ，
当
0
x =
时，
2
3
n
c
=
．
∵
6
0
5
c
，
∴
2
0
25
36
c
，
∴
2
0
3
25
108
c
，即
5
1 8
0
2
0
n
，
∴整数n 的值为1，2，3，4．
（3）解：∵二次函数
(
) (
)(
)
(
)
2
2
2
y
x x
c
x
c
x
d
x
c
d x
cd
=
−
+
−
−
=
−
+
+
，函数与y 轴交点坐标为(
)
0,n ，
∴当
0
x =
时，n
cd
=
．
当
3
n = −，即
3
cd = −时，
(
)
2
2
2
3
y
x
c
d x
=
−
+
−，
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该函数图像的顶点坐标(
)
1
1
,
x y
，
∴
1
2
4
c
d
x
+
=
，
∵
1
1
x ，
∴2
1
4
c
d
+
，即2
4
c
d
+
，
∴
(
) (
)
(
)
(
)
2
2
2
1
4 2
3
2
24
2
2
3
4 2
8
8
c
d
c
d
c
d
y
−
−
+
−
−
+
+
=
=
= −−
∵2
4
c
d
+
，
∴(
)
2
2
16
c
d
+
，
∴
1
16
3
5
8
y −−
= −，即
1
5
y −．
38．（2025·河南周口·二模）已知抛物线
2
2
3
=
−
−
y
ax
ax
与x 轴交于点
(
)
3,0
A
，与y 轴交于点B．
(1)求该抛物线的函数表达式及对称轴．
(2)①在如图所示的平面直角坐标系中，先描出该二次函数图象上的三个点，再画出该二次函数的图象；
②在同一坐标系中画出直线
3
y
x
=
−
，并根据图象直接写出关于x 的不等式
2
2
3
3
ax
ax
x
−
−
−的解集．
(3)若关于x 的一元二次方程
2
2
3
ax
ax
t
−
−
= 在1
4
x
−
的范围内有实数根，请结合图象直接写出t 的取值范
围．
【答案】(1)
2
2
3
y
x
x
=
−
−，
1
x =
(2)
①描点，画出二次函数的图象如解图所示．
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②画出直线
3
y
x
=
−
如解图所示；
由图象可得：出关于x 的不等式
2
2
3
3
ax
ax
x
−
−
−的解集为
0
x
或
3
x
；
(3) 4
5
t
−
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，画二次函数的图象，采用
数形结合的思想是解此题的关键．
（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，利用二次函数的性质即可得出对称轴；
（2）①利用描点法画出函数图象即可；②画出直线
3
y
x
=
−
的图象，结合图象即可得解；
（3）根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：把点
(
)
3,0
A
代入
2
2
3
=
−
−
y
ax
ax
，得9
6
3
0
a
a
−
−=
，
解得
1
a = ．
∴该抛物线的函数表达式为
2
2
3
y
x
x
=
−
−．
∴对称轴为直线
2
1
2 1
x
−
= −
=
；
（2）解：①略；
②略；
（3）解：∵一元二次方程
2
2
3
ax
ax
t
−
−
= 在1
4
x
−
的范围内有实数根，
∴在1
4
x
−
的范围内，抛物线
2
2
3
y
x
x
=
−
−与直线y
t
= 有交点．
∵抛物线
2
2
3
y
x
x
=
−
−的对称轴为直线
1
x = ，开口向上，
∴抛物线在
1
x = 时取得最小值4
−．
当
1
x = −时，
0
y =
，当
4
x = 时，
5
y =
．
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∴当1
4
x
−
时，4
5
y
−
．
∴t 的取值范围为4
5
t
−
．
39．定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x
m
=
，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m 的部分关
于直线x
m
=
的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m 的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新
函数叫做原函数关于直线x
m
=
的“镜面函数”．例如：图① 是函数
1
y
x
=
+ 的图象，则它关于直线
0
x =
的“镜
面函数”的图象如图② 所示，且它的“镜面函数”的解析式为
(
)
1
0
1(
0)
x
x
y
x
x
−
+
=
+
，也可以写成
1
y
x
=
+ ．
(1)在图③ 中画出函数
2
1
y
x
= −
+ 关于直线
1
x = 的“镜面函数”的图象．
(2)函数
2
2
2
y
x
x
=
+
−
关于直线= 1
x −的“镜面函数”与直线y
x
m
= −+
有三个公共点，求m 的值．
(3)已知
(
)
1,0
A −
，
(
)
3,0
B
，
(
)
3, 2
C
−
，
(
)
1, 2
D −
−
，函数
2
2
2(
0)
y
x
nx
n
=
−
+
关于直线
0
x =
的“镜面函数”
图象与矩形ABCD的边恰好有4 个交点，求n 的取值范围．
【答案】(1)如图，即为函数
2
1
y
x
= −
+ 的“镜面函数”的图像
(2)
7
4
m =
或m = 4
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(3) 3
2
2
n
或
13
6
n
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数
2
1
y
x
= −
+ 的“镜面函数”的图像即可；
（2）分直线y
x
m
= −+
过“镜面函数”图像与直线
1
x = −的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）先求出
2
2
2(
0
y
x
nx
n
=
−
+
）的“镜面函数”解析式，再分= 1
x −以及顶点在=
2
y −
上的情况和
3
x = 时，
列出不等式求解即可．
【详解】（1）略
（2）如图，
对于
2
2
2
y
x
x
=
+
−
，当
0
x =
时，
2,
y =
函数
2
2
2
y
x
x
=
+
−
与y 轴的交点坐标为(
)
0,2
当直线y
x
m
= −+
经过点(
)
1,5
−
时，
4
m =
；
此时
2
2
2
y
x
x
=
+
−
关于直线= 1
x −的“镜面函数”与直线y
x
m
= −+
有三个公共点，
当直线y
x
m
= −+
与原抛物线只有一个交点时，则有：
2
2
2
x
m
x
x
−+
=
+
−
，
整理得，
2
2
0
x
x
m
−
+
−
=
，
此时，
(
)
(
)
2
Δ
1
4 2
0
m
−
= −
−
=
，
解得，m = 7
4
,
综上，m 的值为4 或7
4 ；
（3）函数
2
2
2(
0
y
x
nx
n
=
−
+
）的“镜面函数”解析式为
2+2
2(
0
y
x
nx
n
=
+
），
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当= 1
x −时，
0
y
，
∴1 2
2
0
n
−
+
，
解得，
3
2
n
；
当
2
2
2(
0
y
x
nx
n
=
−
+
）的顶点在CD上时，
2
8
4
2
4
n
−
−
=
解得
2
n =
或
2
n = −（舍），
此时，函数
2
2
2(
0)
y
x
nx
n
=
−
+
关于直线
0
x =
的“镜面函数”图象与矩形ABCD的边有5 个交点，不合题意，
∴3
2
2
n
当
3
x = 时，
2
y −
∴9
6
2
2
n
−
+
−
解得，
13
6
n
；
综上，n 的取值范围为3
2
2
n
或
13
6
n
．
40．（24-25 九年级上·湖北孝感·期末）如图，已知抛物线
2
1
1
2
4
2
y
x
x
= −
+
+
与x 轴交于点A 和点B，与y 轴
交于点C，过点C 作CD
x
∥轴交抛物线于点D．
(1)则点C 的坐标为 ，抛物线的对称轴是直线 ；
(2)若点Q 是抛物线上在y 轴右侧
．．的一个动点，其横坐标为t，点Q 到抛物线对称轴和直线CD的距离分别是
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1d ，
2
d ，且
1
2
d
d
d
=
−
．
①求d 关于t 的函数解析式；
②当0
1
d
≤时，直接写出
．．．．t 的取值范围．
【答案】(1)(
)
0,2 ，
1
x =
(2)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
3
1 0
1
4
2
1
1
1 1
2
4
2
1
3
1
2
4
2
t
t
t
d
t
t
t
t
t
t
−
+
=
+
−
−
+
−
①
0
3
5
t
−
②
或5 1
2
t
−
或4
3
5
t
+
【分析】（1）对于抛物线
2
1
1
2
4
2
y
x
x
= −
+
+
，令
0
x =
，求出对应的y 值，即可得出其与y 轴的交点C 的坐
标，然后由二次函数的图象与性质即可得出抛物线的对称轴；
（2）①由题意得
2
1
1
,
2
4
2
Q t
t
t
−
+
+
，结合抛物线对称轴为直线
1
x = ，直线CD的解析式为
2
y =
，可得
1
1
d
t
=
−
，
2
2
1
1
4
2
d
t
t
= −
+
，进而可得
2
1
2
1
1
1
4
2
d
d
d
t
t
t
=
−
=
−−−
+
，由于点Q 在y 轴右侧的抛物线上运动，
0
t
，因而可分别写出当0
1
t
、1
2
t
、
2
t
时d 关于t 的函数解析式；②当0
1
t
时，令
2
1
3
1
0
4
2
d
t
t
=
−
+ =
，
2
1
3
1
1
4
2
d
t
t
=
−
+ = ，通过求解上述两个方程即可求出当0
1
d
≤时所对应的t 的取值范
围；当1
2
t
时，令
2
1
1
1
0
4
2
d
t
t
=
+
−= ，
2
1
1
1
1
4
2
d
t
t
=
+
−= ，通过求解上述两个方程即可求出当0
1
d
≤
时所对应的t 的取值范围；当
2
t
时，令
2
1
3
1
0
4
2
d
t
t
= −
+
−=
，
2
1
3
1 1
4
2
d
t
t
= −
+
−= ，通过求解上述两个方
程即可求出当0
1
d
≤时所对应的t 的取值范围；综合以上，即可求出当0
1
d
≤时t 的取值范围．
【详解】（1）解：对于抛物线
2
1
1
2
4
2
y
x
x
= −
+
+
，
令
0
x =
，则
2
y =
，
(
)
0,2
C
，
抛物线的对称轴是直线
1
2
1
1
2
2
4
b
x
a
= −
= −
=
−
，
故答案为：(
)
0,2 ，
1
x = ；
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（2）解：①由题意得：
2
1
1
,
2
4
2
Q t
t
t
−
+
+
，
抛物线对称轴为直线
1
x = ，直线CD的解析式为
2
y =
，
1
1
d
t
=
−，
2
2
2
1
1
1
1
2
2
4
2
4
2
d
t
t
t
t
= −
+
+
−
= −
+
，
2
1
2
1
1
1
4
2
d
d
d
t
t
t
=
−
=
−
−−
+
，
点Q 在y 轴右侧的抛物线上运动，
0
t
，
d
与t 之间的函数关系式为：
当0
1
t
时，
(
)
2
2
1
2
1
1
1
3
1
1
4
2
4
2
d
d
d
t
t
t
t
t
=
−
=
−
−−
+
=
−
+
，
当1
2
t
时，
(
)
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
4
2
4
2
d
d
d
t
t
t
t
t
=
−
=
−
−−
+
=
+
−
，
当
2
t
时，
(
)
2
2
1
2
1
1
1
3
1
1
4
2
4
2
d
d
d
t
t
t
t
t
=
−
=
−
−
−
= −
+
−
，
综上，d 关于t 的函数解析式为：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
3
1 0
1
4
2
1
1
1 1
2
4
2
1
3
1
2
4
2
t
t
t
d
t
t
t
t
t
t
−
+
=
+
−
−
+
−
；
②当0
1
d
≤时，t 的取值范围为：0
3
5
t
−
或5 1
2
t
−
或4
3
5
t
+
，
理由如下：
当0
1
t
时，
令
2
1
3
1
0
4
2
d
t
t
=
−
+ =
，解得：
3
5
t =
−
或3
5
+
（不符合题意，故舍去），
令
2
1
3
1
1
4
2
d
t
t
=
−
+ = ，解得：
0
t =
或6 （不符合题意，故舍去），
0
3
5
t
−
；
当1
2
t
时，
令
2
1
1
1
0
4
2
d
t
t
=
+
−= ，解得：
5
1
t =
−或
5
1
−
−（不符合题意，故舍去），
令
2
1
1
1
1
4
2
d
t
t
=
+
−= ，解得：
2
t =
或4
−（不符合题意，故舍去），
5 1
2
t
−
；
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当
2
t
时，
令
2
1
3
1
0
4
2
d
t
t
= −
+
−=
，解得：
3
5
t = +
或3
5
−
（不符合题意，故舍去），
令
2
1
3
1 1
4
2
d
t
t
= −
+
−= ，解得：
4
t =
或2 （不符合题意，故舍去），
4
3
5
t
+
；
如图：
综上所述，当0
1
d
≤时，t 的取值范围为：0
3
5
t
−
或5 1
2
t
−
或4
3
5
t
+
．
【点睛】本题主要考查了
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图象与性质，求抛物线与y 轴的交点坐标，化简绝对值，公式法
解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．
41．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的图像过
5
( 5,0), 0,
,(1,6)
2
−
三点，直线
l 解析式为
2
3
y
x−
=
，
(1)求二次函数解析式
(2)求证：此抛物线与直线l 无公共点
(3)若与l 平行的某直线与抛物线只有一个交点P，求P 点坐标
(4)若
(
)
,
Q x y 是直线l 上的一个动点，求P、Q 两点距离的最小值
【答案】(1)
2
1
5
3
2
2
y
x
x
=
+
+
(2)见解析
(3)(
)
1,0
−
(4) 5
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式和直线l 解析式联立方程组，整理得出
2
1
11
0
2
2
x
x
+
+
=
，然后判断
0
即可；
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（3）设该直线解析式为
2
y
x
m
=
+
，联立方程组
2
1
5
3
2
2
2
y
x
x
y
x
m
=
+
+
=
+
，整理得
2
1
5
0
2
2
x
x
m
+
+
−
= ，结合已知可
得出
1 5
Δ
1
4
0
2 2
m
= −
−
=
，求出m 的值，然后求出方程组的解即可；
（4）设直线l 与x、y 轴交于点A、B，求出A、B 的坐标．则可求出
3
2
AO =
，
3
BO =
，
5
2
AP =
，根据勾股
定理求出
3
5
2
AB
，根据垂线段最短得当PQ
l
⊥时，PQ 最小，此时
1
1
2
2
PAB
S
AP BO
AB PQ
=
=
，即可求解．
【详解】（1）解：把
5
( 5,0), 0,
,(1,6)
2
−
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ ，
得
25
5
0
5
2
6
a
b
c
c
a
b
c
−
+
=
=
+
+
=
，
解得
1
2
3
5
2
a
b
c
=
=
=
，
∴
2
1
5
3
2
2
y
x
x
=
+
+
；
（2）证明：联立方程组
2
1
5
3
2
2
2
3
y
x
x
y
x
=
+
+
=
−
，
整理得
2
1
11
0
2
2
x
x
+
+
=
，
∴
2
1
11
1
4
10
0
2
2
=
−
= −
，
∴该方程无实数根，
∴方程组无解，
∴此抛物线与直线l 无公共点；
（3）解：设该直线解析式为
2
y
x
m
=
+
，
联立方程组
2
1
5
3
2
2
2
y
x
x
y
x
m
=
+
+
=
+
，
整理得
2
1
5
0
2
2
x
x
m
+
+
−
= ，
∵与l 平行的某直线与抛物线只有一个交点，
∴方程有两个相等的实数根，
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∴
1 5
Δ
1
4
0
2 2
m
= −
−
=
，
∴
2
m =
，
∴方程为
2
1
1
0
2
2
x
x
+
+
=
，
解得
1
2
1
x
x
−
=
=
，
当
1
x = −时，
(
)
2
1
2
0
y =
−
+
=
，
∴点P 的坐标为(
)
1,0
−
．
（4）解：设直线l 与x、y 轴交于点A、B，
当
0
y =
时，2
3
0
x−
=
，解得
3
2
x =
；当
0
x =
时，
3
y
−
=
，
∴
3 ,0
2
A
，
(
)
0, 3
B
−
，
又
(
)
1,0
P −
，
∴
3
2
AO =
，
3
BO =
，
(
)
3
5
1
2
2
AP =
−−
=
，
∴
2
2
3
5
2
AB
AO
BO
=
+
=
，
当PQ
l
⊥时，PQ 最小，
此时
1
1
2
2
PAB
S
AP BO
AB PQ
=
=
，
∴
5
3
2
5
3
5
2
AP BO
PQ
AB
=
=
=
，
即PQ 的最小值为5 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程，根的判别式，勾股定理等
知识，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识
求解．
42．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 的图象和性质进行了探究，在经
历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．
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请根据函数图象完成以下问题：
(1)观察发现：
①写出该函数的一条性质_________________；
②函数图象与x 轴有_________个交点，所以对应的方程
2
2|
| 1
0
x
x
−
+ =
有________个实数根；
(2)分析思考：
③方程
2
2|
| 1 1
x
x
−
+ = 的解为__________________；
④关于x 的方程
2
2|
| 1
x
x
n
−
+ =
有4 个实数根时，n 的取值范围是_________；
(3)延伸探究：
⑤将函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 的图象经过怎样的平移可以得到函数
(
)
2
2
2|
2| 3
y
x
x
=
+
−
+
−的图象，直接写出平
移过程．
【答案】(1)①图象关于y 轴对称，或当
1
x 时，y 随x 的增大而增大；②2，2；
(2)③
1
2
3
2,
0,
2
x
x
x
−
=
=
=
；④0
1
n
；
(3)⑤先向左平移2 个单位，再向下平移4 个单位．
【分析】（1）①结合图象，写出一条性质即可；②观察图象，即可得出图象与x 轴的交点个数，进而得出
对应方程的根的个数；
（2）③图象法解方程即可；④图象法求出n 的取值范围即可；
（3）⑤根据二次函数的平移规则：上加下减，左减右加，即可得出结论．
【详解】（1）解：①函数的性质：图象关于y 轴对称；
或当
1
x 时，y 随x 的增大而增大．
故答案为：图象关于y 轴对称；或当
1
x 时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；
②函数图象与x 轴有2 个交点，所以对应的方程
2
2|
| 1
0
x
x
−
+ =
有2 个实数根；
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故答案为：2，2；
（2）解：③如图，
作
1
y = ，与函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 交于(
) (
) (
)
2,1
0,1
2,1
,
,
−
，
故方程
2
2|
| 1 1
x
x
−
+ = 的解为
1
2
3
2,
0,
2
x
x
x
−
=
=
=
；
④如图，作y
n
=
，
关于x 的方程
2
2|
| 1
x
x
n
−
+ =
有4 个实数根，故n 的取值范围是
0
1
n
；
故答案为：
1
2
3
2,
0,
2;0
1
x
x
x
n
= −
=
=
；
（3）解：根据二次函数的平移方法可知：将函数
2
2|
| 1
y
x
x
=
−
+ 的图象经过先向左平移2 个单位，再向下
平移4 个单位可以得到函数
2
(
2)
2|
2| 3
y
x
x
=
+
−
+
−的图象．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，图象法解一元二次方程，二次函数的平移．熟练掌握相关知识
点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
43．（24-25 九年级下·江苏泰州·阶段检测）一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象与x 轴交于点A，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象经过点A、原点O和一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 图象上的点
5
, 4
B m
．
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(1)求这个二次函数的表达式；
(2)如图1，一次函数
1
9 ,
1
2
16
y
x
n n
n
=
+
−
与二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象交于点
(
)
1
1
,
C x
y
、
(
)(
)
2
2
1
2
,
D x
y
x
x
，过点C 作直线1l
x
⊥
轴于点E ，过点D 作直线2l
x
⊥
轴，过点B 作
2
BF
l
⊥
于点F ．
①
1x =________，
2x = ________（分别用含n 的代数式表示）；
②证明：AE
BF
=
；
(3)如图2，二次函数
(
)
2
2
1
2
y
a x
=
−
+ 的图象是由二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象平移后得到的．点M
是二次函数
(
)
2
1
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图象上的点，设点M 的横坐标为
3
4
m m
，过点M 平行于x 轴的直线
交函数
1y 的图像于点N ，交函数
2y 的图像于点P 、Q （P 在Q 点右侧），
①当
2
MN
PQ
=
时，求M 点的坐标；
②直接写出Q 点是PN 的中点时的m 的值
【答案】(1)
2
2
y
x
x
=
+
(2)①3
9 16
4
n
−−
+
，3
9 16
4
n
−+
+
；②见解析
(3)①
(
)
1,3
M
；②3 7
3
4
−
【分析】（1）通过一次函数表达式可以求出A、B 两点坐标，将A、B、O 三点坐标代入二次函数表达式即
可求解；
（2）①通过联立关系式可得：
2
1
2
2 x
n
x
x
+
=
+
，利用公式法解一元二次方程，求出方程的解即可得到
1
2
,
x x
的值；
②通过(
)
2,0
A −
，
3
9 16 ,0
4
n
E
−−
+
即可求出AE 的长度；通过
1 5
,
2 4
B
，F
3
9 16
5
(
, )
4
4
n
−+
+
即可求出BF
的长度；
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（3）①根据题意分别表示出
,
M N ，
,
P Q 的坐标，进而求得
2
2
MN
m
=
+
，
2
2
2
2 m
m
PQ =
+
−
，根据
2
MN
PQ
=
，建立方程，解方程，即可求解．
②由Q 点是PN 的中点时，建立方程，解方程求解即可．
【详解】（1）令
0
y =
，则1
1
0
2 x + =
，解得
2
x = −，
∴(
)
2,0
A −
，
将点
5
, 4
B m
代入
1
1
2
y
x
=
+ 中，解得
1
2
m =
，
∴点B 的坐标为1 5
,
2 4
．
将
(
)
2,0
A −
，
1 5
,
2 4
B
，
(
)
0,0
O
代入
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
可得：
4
2
0
1
1
5
4
2
4
0
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，解得：
1
2
0
a
b
c
=
=
=
，
∴二次函数的表达式为
2
2
y
x
x
=
+
．
（2）①∵一次函数
1
9 ,
1
2
16
y
x
n n
n
=
+
−
与二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的图像交于点
(
)
1
1
,
C x y
、
(
)
2
2
,
D x
y
（
1
2
x
x
），
∴联立关系式得：
2
1
2
2 x
n
x
x
+
=
+
，
整理得：
2
3
0
2
x
x
n
+
−
=
，
解得：
1
3
9
4
3
9 16
2
4
2
4
n
n
x
−
−
+
−−
+
=
=
，
2
3
9
4
3
9 16
2
4
2
4
n
n
x
−
+
+
−+
+
=
=
，
故答案为：
1
3
9 16
4
n
x
−−
+
=
，
2
3
9 16
4
n
x
−+
+
=
；
②当
1
n 时，CD位于AB 的上方，∵(
)
2,0
A −
、
1 5
,
2 4
B
，
∴
3
9
5
9
4
4
2
4
2
4
2
2
2
n
n
AE
−
−
+
−
+
+
= −−
=
，
3
9
5
9
4
4
1
2
4
2
4
2
2
2
n
n
BF
−
−
+
+
−
+
+
=
=
，
∴AE
BF
=
，
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当
9
1
16
n
−
时，CD位于AB 的下方，同理可证．
故可得：AE
BF
=
；
（3）①依题意，M ，N 在
2
2
y
x
x
=
+
上，对称轴为直线
1
x = −
∴
2
(
)
,
2
M m m
m
+
，
2
)
2
,
(
2
N
m m
m
−−
+
，
∵
,
P Q 在
(
)
2
2
1
2
y
x
=
−
+
上，对称轴为直线
1
x =
当
2
2
2
y
m
m
=
+
时，
(
)
2
2
2
1
2
m
m
x
+
=
−
+
解得：
2
2
1
2
1
2
2,
1
2
2
x
m
m
x
m
m
= +
+
−
= −
+
−
∴(
)
2
2
1
2
2,
2m
P
m
m
m
+
+
−
+
，(
)
2
2
1
2
2
2
,
m
Q
m
m
m
+
+
−
−
，
∴
2
2
MN
m
=
+
，
2
2
2
2 m
m
PQ =
+
−
，
∵
2
MN
PQ
=
∴
2
4
2
2
2
2
m
m
m
+
−
=
+
解得
1
m = 或3
− （舍去）
∴
(
)
1,3
M
②由①可得(
)
2
2
1
2
2,
2m
P
m
m
m
+
+
−
+
，
2
)
2
,
(
2
N
m m
m
−−
+
，(
)
2
2
1
2
2
2
,
m
Q
m
m
m
+
+
−
−
当Q 点是PN 的中点时，PQ
QN
=
∴
2
2
2
2
2
1
2
2
2
m
m
m
m
m
+
−
= −
+
−
+
+
解得：
3 7
3
4
m
−
=
或
3 7
3
4
m
−
−
=
（舍去）
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，联立关系式求交点坐标及利用点的坐标表示线段的长
度，能够熟练掌握函数中表示线段长度的方法，求交点坐标的方法，熟练掌握用公式法解一元二次方程是
解决本题的关键．
