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专题04 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种模型
常考题型·精准突破
题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型（难）
题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型（难）
题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型（难）
题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形中的倒角模型之双内角角平分线模型
模型总结：
1）两内角平分线的夹角模型
图1 图2 图3
条件：如图1，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P；结论：
1
90
2
P
A
=
+
.
证明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分线BP，CP 交于点P，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
ACB
=
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠ACB）=180°- 1
2
（180°-∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1
条件：如图2，BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D.
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠DCB，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
DCB
=
.
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°- 1
2
（∠ABC+∠DCB）=180°- 1
2
（360°-∠A-∠D）= 1
2
（∠A+∠D）.
即：2∠P=∠A+∠D.
3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2
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条件：如图3，CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：2
180
P
A
B
E
= ++−
.
证明：∵CP、DP 平分∠BCD、∠CDE，∴
1
2
PCD
BCD
=
，
1
2
PDC
CDE
=
.
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°- 1
2
（∠BCD+∠CDE）=180°- 1
2
（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠
E-90°.即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°.
1．（25-26 八年级上·广东肇庆·月考）在
ABC
中，
ABC
和
ACB
的平分线相交于点O．
(1)若
60 ,
40
ABC
ACB
=
=
，求
BOC
的度数；
(2)求证：
1
90
2
O
A
=
+
【答案】(1)
BOC
的度数为130
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，利用整体思想是解题的关键．
（1）首先根据
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，可得
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，再根据三角形内角
和定理即可算出
BOC
的度数；
（2）根据三角形的内角和定理把
ABC
ACB
+
表示出来，再根据角平分线的定义表示出
,
OBC
OCB
，
然后在OBC
中利用三角形的内角和定理列式整理即可得证．
【详解】（1）解：∵
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，
60 ,
40
ABC
ACB
=
=
，
∴
1
1
1
1
60
30 ,
40
20
2
2
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
=
=
=
=
，
∴在
OBC
△
中，
180
BOC
OBC
OCB
=
−
−
180
30
20
=
−
−
130
=
，
∴
BOC
的度数为130；
（2）解：在
ABC
中，
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∵
,
OB OC 平分
ABC
和
ACB
，
∴
1
1
,
2
2
OBC
ABC
OCB
ACB
=
=
，
∴在
OBC
△
中，
180
O
OBC
OCB
=
−
−
1
1
180
2
2
ABC
ACB
=
−
−
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(
)
1
180
2
ABC
ACB
=
−
+
(
)
1
180
180
2
A
=
−
−
1
180
90
2
A
=
−
+
1
90
2
A
=
+
．
2．（25-26 八年级上·山东滨州·月考）数学活动课上，小明运用已有的研究经验，对“在
ABC
的内部有一点
D，分别连接BD和CD．”所形成的图形展开研究．
(1)如图1，若
120
30
40
BDC
ABD
ACD
=
=
=
，
，
，求
A
的度数；
(2)如图2，BD和CD分别平分
ABC
和
ACB
．
①若
110
BDC
=
，求
A
的度数；
②若
BDC
=
，请直接写出
A
的度数（用含α 的式子表示）．
【答案】(1)50
(2)①40；②2
180
−
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，运用以上知识点是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理得到
60
DBC
DCB
+
=
，结合已知条件，根据角的运算进而得到
130
ABC
ACB
+
=
，最后由三角形内角和定理即可求得答案；
（2）①根据三角形内角和定理得到
70
DBC
DCB
+
=
，然后根据角平分线的定义得到
140
ABC
ACB
+
=
，最后由三角形内角和定理即可求得答案；②同①的原理即可解答．
【详解】（1）解：∵
120
BDC
=
，
∴
180
180
120
60
DBC
DCB
BDC
+
=
−
=
−
=
，
∵
30
ABD
=
，
40
ACD
=
，
∴
30
40
60
130
ABD
ACD
DBC
DCB
+
+
+
=
+
+
=
，
∴
130
ABC
ACB
+
=
，
∴
180
180
130
50
A
ABC
ACB
=
−
−
=
−
=
；
（2）解：①∵
110
BDC
=
，
∴
180
180
110
70
DBC
DCB
BDC
+
=
−
=
−
=
，
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∵BD和CD分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
=
=
，
，
∴
(
)
2
140
ABC
ACB
DBC
DCB
+
=
+
=
，
∴
180
180
140
40
A
ABC
ACB
=
−
−
=
−
=
；
②∵
BDC
=
，
∴
180
180
DBC
DCB
BDC
+
=
−
=
−
，
∵BD和CD分别平分
ABC
和
ACB
，
∴
2
2
ABC
DBC
ACB
DCB
=
=
，
，
∴
(
)
(
)
2
2 180
ABC
ACB
DBC
DCB
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
180
180
2 180
2
180
A
ABC
ACB
=
−
+
=
−
−
=
−
（
）
．
3．
（25-26 八年级上·安徽阜阳·月考）在
ABC
中，已知
ABC
的n 等分线与
ACB
的n 等分线相交于点
1
n
G −，
试猜想：
1
n
BG
C
−
与
A
的数量关系．（
2
n
且n 为整数）
(1)如图1，当
2
n =
时，探究
1
BG C
与
A
的数量关系；
(2)如图2，当
3
n = 时，
2
BG C
与
A
的数量关系：
2
BG C
=________；
(3)如图3，猜想
1
n
BG
C
−
与
A
的数量关系：
1
n
BG
C
−
=________．（用含n 的式子表示）
【答案】(1)
1
1
90
2
A
BGC =
+
(2)
2
60
3
A
+
(3)180
1
n
A
n
n
−
+
【分析】本题考查的是三角形内角和定理．
（1）当
2
n =
时，用
A
表示出
1
1
G BC
G CB
+
的度数，再由三角形内角和定理即可得出
1
BG C
的度数；
（2）当
3
n = 时，用
A
表示出
2
2
G BC
G CB
+
的度数，再由三角形内角和定理即可得出
2
BG C
的度数；
（3）根据
2
n =
与
3
n = 的结论可得出猜想．
【详解】（1）解：∵当
2
n =
时，
(
)
(
)
1
1
1
1 180
2
2
G BC
GCB
ABC
ACB
A
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
1
1
180
180
180
90
2
2
BGC
G BC
GCB
A
A
=
−
+
=
−
−
=
+
；
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（2）解：∵当
3
n = 时，
(
)
(
)
2
2
2
2 180
3
3
G BC
G CB
ABC
ACB
A
+
=
+
=
−
，
∴
2
2
2
2
180
(
)
180
(180
)
60
3
3
3
BG C
ABC
ACB
A
A
=
−
+
=
−
−
=
+
；
故答案为：
2
60
3
A
+
；
（3）解：由
2
3
n
n
=
=
，
可知，
1
180
1
n
n
BG
C
A
n
n
−
−
=
+
．
故答案为：180
1
n
A
n
n
−
+
．
◆题型2 三角形中的倒角模型之一内角一外角双角平分线模型
模型总结：
图1 图2
1）一个内角一个外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：
1
2
P
A
=
．
证明：∵BP、CP 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
.
∴∠P=∠PCD-∠PBC=
1
2 （∠ACD-∠ABC）=
1
2 ∠A.
2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）
条件：如图2，A
=
，∠ABC、∠ACD 的平分线相交于点
1P ，
1
1
,
PBC
PCD
的平分线相交于点
2P ，
2P BC
，
2PCD
的平分线相交于点
3P ……以此类推；结论：
nP
的度数是2n
．
证明：∵BP1、CP1 平分∠ABC、∠ACD，∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
.
∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC= 1
2
（∠ACD-∠ABC）= 1
2
∠A= 1
2.同理：∠P2= 1
2
∠P1=
2
1
2 ，∠Pn=
2n
4．（25-26 八年级上·广东东莞·月考）如图1，在
ABC
中，
ABC
的平分线与
ABC
的外角
ACE
的平分
线相交于点D．
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(1)若
50
A
=
，则
D
=______；
(2)判断
D
与
A
的数量关系，并加以证明；
(3)若
DBC
的平分线与
DBC
△
的外角
DCE
的平分线相交于点G （如图2），直接写出
G
与
A
的数量
关系．
【答案】(1)25
(2)
1
2
D
A
=
，证明见解析
(3)
1
4
G
A
=
【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质：
（1）
（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得
1
2
D
A
=
；
（3）利用（2）中结论即可得到
1
2
G
D
=
，从而可得
1
4
G
A
=
．
【详解】（1）解：
1
25
2
D
A
=
=
，理由见（2）；
故答案为：25．
（2）解：
1
2
D
A
=
，证明如下：
如图，
5
6
=
，
∴1
3
A
D
+= +
，
∵
1
2,
3
4
=
= ，
∴
2
4
A
D
+=+
，
又∵
4
2
D
= +
，
∴
2
2
A
D
D
+=++，
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∴
1
2
D
A
=
；
（3）解：由（2）结论可知：
1
2
G
D
=
，
又
1
2
D
A
=
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
4
G
D
A
A
=
=
=
，
即
1
4
G
A
=
．
5．（25-26 八年级上·吉林·月考）（1）【探究发现】如图①，在
ABC
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的
平分线的交点．
①若
60
A
=
，求
P
的度数：
②试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）：
（2）【迁移拓展】如图②，在
ABC
中，点P 是内角
ABC
和外角
ACD
的n 等分线的交点，即
1
1
,
PBC
ABC
PCD
ACD
n
n
=
=
，试猜想
P
与
A
之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）【应用创新】如图③，AD
BE
、
相交于点C，ABC
CDE
ACE
、
、
的平分线交于点P，若
36
A
=
，
40
E
=
，则
BPD
=________度．
【答案】（1）①
30
P
=
，②
2
A
P
= ；（2）
1
P
A
n
=
，理由见解析；（3）38
【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识．
（1）①根据角平分线定义得到
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
=
=
，根据三角形外角定理和角的代换即可
求出
1
30
2
P
A
=
=
；
②根据角平分线定义得到
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
=
=
，根据三角形外角定理和角的代换即可证明
1
2
P
A
=
；
（2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明
1
P
A
n
=
；
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（3）根据（1）②分别求出
18
BPC
=
，
20
DPC
=
，即可求出
38
BPE
=
．
【详解】解：（1）①∵P 是
ABC
内角
ABC
和外角
ACD
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
=
=
，
∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
外角，
∴
(
)
1
1
30
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
=
−
=
−
=
=
；
②∵P 是
ABC
内角
ABC
和外角
ACD
的平分线的交点，
∴
1
1
,
2
2
PBC
ABC
PCD
ACD
=
=
，
∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
外角，
∴
(
)
1
1
2
2
P
PCD
PBC
ACD
ABC
A
=
−
=
−
=
；
（2）
1
P
A
n
=
．
证明：∵
PCD
是
PBC
△
外角，
ACD
是
ABC
外角，
∴
(
)
1
1
1
1
P
PCD
PBC
ACD
ABC
ACD
ABC
A
n
n
n
n
=
−
=
−
=
−
=
；
（3）∵P 是
ABC
内角
ABC
和外角
ACE
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
18
2
BPC
A
=
=
；
∵P 是CDE
内角
CDE
和外角
ACE
的平分线的交点，
∴由（1）②得
1
20
2
DPC
E
=
=
；
∴
38
BPD
BPC
DPC
=
+
=
．
故答案为：38．
6．（25-26 八年级上·山东临沂·月考）如图，在
ABC
中，点D 在AB 上，过点D 作DE
BC
∥
，交AC 于点
E，DP平分
ADE
，交
ACB
的平分线于点P，CP 与DE 相交于点G，点F 在BC 的延长线上，ACF
的
平分线CQ 与DP相交于点Q．
(1)若
40
A
=
，
60
B
=
，则
DPC
=______，
Q
= ______；
(2)若
A
=
，当
B
的度数发生变化时，
DPC
、
Q
的度数是否发生变化？若要变化，说明理由；若不
变化，求出
DPC
、
Q
的度数（用的代数式表示）．
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【答案】(1)110；20
(2)
1
90
2
DPC
+
=
，
1
2
Q
=
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握
相关知识点是解题的关键．
（1）根据三角形内角和定理求出
80
ACB
=
，根据角平分线的定义得到
1
40
2
PCB
PCA
ACB
=
=
=
，
根据平行线的性质得到
60
ADE
B
= =
，
40
PGD
PCB
=
=
，进而得到
1
2
30
ADE
PDG
=
=
，再利
用三角形内角和定理求出
DPC
的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到
90
PCQ
PCA
ACQ
=
+
=
，最后利用三角形外角的性质即可求出
Q
的度数；
（2）根据三角形内角和定理求出
180
B
ACB
+
=
−
，根据角平分线的定义得到
1
2
PCB
PCA
ACB
=
=
，
根据平行线的性质得到
ADE
B
=，
PGD
PCB
=
，进而得到
1
1
2
2
PDG
ADE
B
=
=
，再利用三角形
内角和定理求出
DPC
的度数，根据角平分线的定义以及角的和差计算得到
90
PCQ
PCA
ACQ
=
+
=
，
最后利用三角形外角的性质即可求出
Q
的度数．
【详解】（1）解：∵
40
A
=
，
60
B
=
，
∴
180
40
60
80
ACB
=
−
−
=
，
∵CP 平分
ACB
，
∴
1
1 80
40
2
2
PCB
PCA
ACB
=
=
=
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
60
ADE
B
= =
，
40
PGD
PCB
=
=
，
∵DP平分
ADE
，
∴
1
1
60
30
2
2
PDG
ADE
=
=
=
，
∴
180
180
30
40
110
DPC
PDG
PGD
=
−
−
=
−
−
=
，
∵
80
ACB
=
，
∴
180
80
100
ACF
=
−
=
，
∵CQ 平分
ACF
，
∴
1
1 100
50
2
2
ACQ
ACF
=
=
=
，
∴
40
50
90
PCQ
PCA
ACQ
=
+
=
+
=
，
∴
110
90
20
Q
DPG
PCQ
=
−
=
−
=
，
∴综上所述，
110
DPC
=
，
20
Q
=
；
故答案为：110；20 ；
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（2）解：∵
A
=
，
∴
180
B
ACB
+
=
−
，
∵CP 平分
ACB
，
∴
1
2
PCB
PCA
ACB
=
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
B
=，
1
2
PGD
PCB
ACB
=
=
，
∵DP平分
ADE
，
∴
1
1
2
2
PDG
ADE
B
=
=
，
∴
(
)
180
DPC
PDG
PGD
=
−
+
，
(
)
180
PDG
PGD
=
−
+
1
1
180
2
2
B
ACB
=
−
+
(
)
1
180
2
B
ACB
=
−
+
(
)
1
180
180
2
=
−
−
1
90
2 α
=
+
，
∵CQ 平分
ACF
，
∴
1
2
ACQ
ACF
=
，
∴
1
1
1 180
90
2
2
2
PCQ
PCA
ACQ
ACB
ACF
=
+
=
+
=
=
，
∴
1
1
90
90
2
2
Q
DPG
PCQ
=
−
=
+
−
=
，
∴综上所述，
1
90
2
DPC
+
=
，
1
2
Q
=
．
◆题型3 三角形中的倒角模型之双外角角平分线模型
模型总结：
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图1 图2 图3
1）两外角平分线的夹角模型
条件：如图1，在△ABC 中，BO，CO 是△ABC 的外角平分线；结论：
1
90
2
O
A
=
−
．
证明：∵BO、CO 平分∠CBE、∠BCF，∴
1
2
OBC
EBC
=
，
1
2
OCB
BCF
=
.
∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°- 1
2
（∠EBC+∠BCF）=180°- 1
2
（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A）
=180°- 1
2
（180°+∠A）=90°+ 1
2
∠A.
2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
条件：如图2，BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD 平分∠CAD.
证明：如图3，过点D 作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，
∵BD 平分∠ABC，CD 平分∠ACB 的外角，
∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD 平分∠CAD.
7．（25-26 八年级上·广东江门·月考）如图，BG
CG
、
分别是
ABC
的内角
ABC
、
ACB
的平分线，两外
角
DBC
、
ECB
的平分线交于点F ，
(1)若
80
A
=
，求
BGC
的度数．
(2)若用含有
A
的式子表示
BFC
，则
BFC
= ______，并给予证明．
【答案】(1)130
(2)
1
90
2
A
−
，证明见解析
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，
是解题的关键．
E
D
C
B
A
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（1）根据三角形的内角和定理求出
ABC
ACB
+
的度数，角平分线求出
GBC
GCB
+
的度数，再根据
三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的定义，结合角平分线的定义，求出
FBC
FCB
+
的度数，进而求出
BFC
即可．
【详解】（1）解：∵
80
A
=
，
∴
180
100
ABC
ACB
A
+
=
−=
，
∵BG
CG
、
分别是
ABC
的内角
ABC
、
ACB
的平分线，
∴
1
1
,
2
2
GBC
ABC
GCB
ACB
=
=
，
∴
1
1
50
2
2
GBC
GCB
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
180
130
BGC
GBC
GCB
=
−
−
=
；
（2）解：
1
90
2
A
−
，证明见解析：
∵
180
,
180
DBC
ABC
ECB
ACB
=
−
=
−
，
∴
(
)
180
180
360
DBC
ECB
ABC
ACB
ABC
ACB
+
=
−
+
−
=
−
+
，
∵
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∴
(
)
360
180
180
DBC
ECB
A
A
+
=
−
−
=
+ ，
∵两外角
DBC
、
ECB
的平分线交于点F ，
∴
1
1
,
2
2
CBF
DBC
BCF
BCE
=
=
，
∴
1
1
1
90
2
2
2
CBF
BCF
DBC
BCE
A
+
=
+
=
+
，
∴
1
180
90
2
BFC
FBC
FCB
A
=
−
−
=
−
．
8．（25-26 八年级上·山东济宁·月考）如图，点 P 是
ABC
两内角平分线的交点，N 是
ABC
两外角平分线
的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
(1)①若
100
A
=
，则
________;
BPC
=
②
,
A
M
的数量关系是 ；
(2)请探索证明
BPC
与
N
之间的数量关系；
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(3)在
BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍时，求
A
的度数．
【答案】(1)①140；②
2
A
M
=
(2)
180
BPC
N
+
=
(3)60或120或45或135．
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，关于角平分线的计算等知识；灵
活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）根据
100
A
=
，得出
180
100
80
ABC
ACB
+
=
−
=
，根据角平分线定义得出
1
2
CBP
ABC
=
，
1
2
BCP
ACB
=
，求出
1
1
40
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
+
=
+
=
，根据三角形内角和定理求出结果即可；
②求出
1
2
MCD
M
ABC
=
+
，
1
1
2
2
MCD
A
ABC
=
+
，即可得到答案；
（2）根据角平分线定义得出
1
2
CBP
ABC
=
，
1
2
CBE
CBN =
，根据
(
)
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
CBP
CBN
ABC
CBE
ABC
CBE
+
=
+
=
+
=
=
，得出
90
PBN
=
，同理得出
90
PCN
=
，根据四边形内角和求出
360
180
BPC
N
PBN
PCN
+
=
−
−
=
即可；
（3）先证明
2
A
M
=
， 根据
90
EBQ
=
，得出
90
E
Q
+
=
，分四种情况分别求出结果即可．
【详解】（1）解：∵
100
A
=
，
∴
180
100
80
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∵BP、CP 分别平分
ABC
、
ACB
，
∴
1
2
CBP
ABC
=
，
1
2
BCP
ACB
=
，
∴
1
1
40
2
2
CBP
BCP
ABC
ACB
+
=
+
=
，
∴
(
)
180
140
BPC
CBP
BCP
=
−
+
=
；
故答案为：140
②∵N 是
ABC
两外角平分线的交点，延长
,
BP NC 交于点M．
∴
1
1
2
2
ACM
DCM
BCN
FCN
ACD
BCF
=
=
=
=
=
，
∵
1
2
MCD
M
CBM
M
ABC
=
+
=
+
，
(
)
1
1
1
1
2
2
2
2
MCD
ACD
A
ABC
A
ABC
=
=
+
=
+
，
∴
1
2
M
A
=
，
即
2
A
M
=
，
故答案为：
2
A
M
=
（2）解：
180
BPC
N
+
=
；理由如下：
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∵BP、BN 分别平分
ABC
、
CBE
，
∴
1
2
CBP
ABC
=
，
1
2
CBE
CBN =
，
∴
(
)
1
1
1
1 180
90
2
2
2
2
CBP
CBN
ABC
CBE
ABC
CBE
+
=
+
=
+
=
=
，
即
90
PBN
=
，
同理得：
90
PCN
=
，
∴
360
180
BPC
N
PBN
PCN
+
=
−
−
=
；
（3）解：∵CN 为
ABC
的外角
FCB
的角平分线，
∴CM 是
ABC
的外角
ACD
的平分线，
∴
2
ACD
MCD
=
，
∵BM 平分
ABC
，
∴
2
ABC
MBC
=
，
∵
MCD
MBC
M
=
+
，
∴2
2
2
MCD
MBC
M
=
+
，即
2
ACD
ABC
M
=
+
，
又∵
ACD
ABC
A
=
+，
∴
2
A
M
=
，
根据解析（2）可知：
90
MBN
=
，
∴
90
M
N
+
=
，
如果BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，那么分四种情况：
若
3
90
MBN
M
=
=
，则
30
M
=
，
∴
2
60
A
M
=
=
；
若
3
90
NBM
N
=
=
，则
30
N
=
，
∴
60
M
=
，
∴
2
120
A
M
=
=
；
若
3
N
M
=
，则
22.5
M
=
，
∴
45
A
=
；
若
3
M
N
=
，则
67.5
M
=
，
∴
135
A
=
；
综上所述，
A
的度数是60或120或45或135．
9．（25-26 八年级上·浙江宁波·期中）如图①，在
ABC
中，
ABC
与
ACB
的平分线相交于点P ．
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(1)如果
80
A
=
，求
BPC
的度数；
(2)如图②，作
ABC
外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q ，已知
A
=
，求
Q
（用表示）．
(3)如图③，延长线段BP、QC 交于点E ，当
A
=___________时，
BQE
△
中存在一个内角等于另一个内角
的2 倍（直接写出
A
的度数）．
【答案】(1)130
(2)
1
90
2
Q
=
−
(3)90或60或120
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用
三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出
PBC
PCB
+
，进而求出
BPC
即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出
MBC
与
BCN
，再根据角平分线的性质可求得
CBQ
BCQ
+
，最
后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在
BQE
△
中，由于
1
90
2
Q
A
=
−
，求出
1
2
=
E
A，
90
EBQ
=
，所以如果
BQE
△
中，存在一个内
角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况进行讨论：①
2
90
EBQ
E
=
=
；②
2
90
EBQ
Q
=
=
；③
2
Q
E
= ；④
2
E
Q
=
；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：
80
A
=
．
100
ABC
ACB
+
=
，
∵点P 是
ABC
和
ACB
的平分线的交点，
(
)
1
1
180
180
100
130
2
2
BPC
ABC
ACB
=
−
+
=
−
=
；
（2）∵外角
MBC
，
NCB
的角平分线交于点Q，
(
)
1
2
QBC
QCB
MBC
NCB
+
=
+
，
(
)
1
=
360
2
ABC
ACB
−
−
，
(
)
1 180
2
A
=
+
，
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1
90
2
A
=
+
，
1
1
180
90
90
2
2
Q
A
A
=
−
+
=
−
，
∵
A
=
，
1
90
2
=
−
Q
；
（3）延长BC 至F，
CQ
为
ABC
的外角
NCB
的角平分线，
CE
是
ABC
的外角
ACF
的平分线，
2
ACF
ECF
=
，
BE
平分
ABC
，
2
ABC
EBC
=
，
ECF
EBC
E
=
+
，
2
2
2
ECF
EBC
E
=
+ ，
即
2
ACF
ABC
E
=
+ ，
又
ACF
ABC
A
=
+
，
2
A
E
= ，即
1
2
=
E
A；
EBQ
EBC
CBQ
=
+
，
1
1
2
2
ABC
MBC
=
+
，
(
)
1
90
2
ABC
A
ACB
=
++
=
．
如果
BQE
△
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，那么分四种情况：
①
2
90
EBQ
E
=
=
，则
45
E
=
，
2
90
A
E
= =
；
②
2
90
EBQ
Q
=
=
，则
45
Q
=
，
45
E
=
，
2
90
A
E
= =
；
③
2
Q
E
= ，则
1
90
2
A
A
−
= ，解得
60
A
=
；
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④
2
E
Q
=
，则1
1
2 90
2
2
A
A
=
−
，解得
120
A
=
．
综上所述，
A
的度数是90或60或120．
◆题型4 三角形中的倒角模型之高线与角平分线分线模型
模型总结：
1）条件：如图1，在ABC
中，AD，AE 分别是ABC
的高和角平分线，结论：
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
．
2）条件：如图2，F 为ABC
的角平分线AE 的延长线上的一点，FD
BC
⊥
于D，结论：
1 (
)
2
DFA
C
B
=
−
．
图1 图2
1）证明：∵AE 平分
BAC
，∴
1
2
EAC
BAC
=
，
∵
180
BAC
B
C
=
−−
，∴
(
)
1
1
1
0
1
90
2
8
2
2
B
C
B
C
EAC
−−
−
−
=
=
，
∴
EAD
EAC
DAC
=
−
(
)
1
1
0
90
9
2
2
B
C
C
=
−
−
−
−
(
)
1
2
C
B
=
−
；
2）证明：如图，过A 作AG
BC
⊥
于G ，由（2）可知：
1 (
)
2
EAG
C
B
=
−
，
AG
BC
⊥
，
90
AGB
=
，
FD
BC
⊥
，
90
FDC
=
，
AGD
FDC
=
，
FD
AG
∥
，
AFD
EAG
=
，
1 (
)
2
AFD
C
B
=
−
．
10．（25-26 八年级上·全国·期中）如图1，AD，AE 分别是
ABC
的高和角平分线(
)
C
B
．
(1)求证：
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
；
(2)如图2 ，若点F 为AE 上一点，且FD
BC
⊥
于点D ，试推导
EFD
与
C
，
B
之间的等量关系；
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(3)当点F 在AE 的延长线上时，且FD
BC
⊥
于点D ，其余条件都不变，请直接写出
EFD
与
C
，
B
之
间的等量关系．
【答案】(1)见解析
(2)
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
，理由见解析
(3)
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
，理由见解析
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高线，垂线的定义，理解三角形的角
平分线和高线，垂线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键．
1
（）由三角形内角和定理得
(
)
180
BAC
B
C
=
−
+
，由角平分线定义得
(
)
1
1
90
2
2
EAC
BAC
B
C
=
=
−
+
，再根据
90
CAD
C
=
−
即可得出
(
)
1
2
DAE
C
B
=
−
；
2
（）过点A作AH
BC
⊥
于H ，由1
（）得
(
)
1
2
EAH
C
B
=
−
，再证明EF
AH
得
EFD
EAH
=
，由此可
得出
EFD
与
B
C
，
的大小关系；
3
（）过点A作AK
BC
⊥
于K ，由1
（）得
(
)
1
2
EAK
C
B
=
−
，再证明EF
AK
得
EFD
EAK
=
，由此可
得出
EFD
与
B
C
，
的大小关系．
【详解】（1）证明：在
ABC
中，
(
)
180
BAC
B
C
=
−
+
，
AE
是
ABC
的平分线，
(
)
1
1
90
2
2
EAC
BAC
B
C
=
=
−
+
，
AD
是
ABC
的高，
90
ADC
=
，
在Rt
ACD
△
中，
90
CAD
C
=
−
，
(
) (
)
(
)
1
1
90
90
2
2
DAE
EAC
CAD
B
C
C
C
B
=
−
=
−
+
−
−
=
−
；
（2）解：
EFD
与
C
B
，
之间的等量关系是：
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
，理由如下：
过点A作AH
BC
⊥
于点H ，如图2 所示：
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由1
（）可知：
(
)
1
2
EAH
C
B
=
−
，
FD
BC
⊥
于点D
AH
BC
⊥
，
于点H ，
FD
AH
，
EFD
EAH
=
，
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
；
（3）解：
EFD
与
C
B
，
之间的等量关系是：
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
，理由如下：
过点A作AK
BC
⊥
于点K ，如图3所示：
由1
（）可知：
(
)
1
2
EAK
C
B
=
−
，
FD
BC
⊥
于点D
AK
BC
⊥
，
于点K ，
FD
AK
，
EFD
EAK
=
，
(
)
1
2
EFD
C
B
=
−
．
11．
（25-26 八年级上·山西忻州·月考）
（1）如图1，在
ABC
中，点D，E 在边BC 上，AD平分
BAC
，AE
BC
⊥
，
35
B
=
，
65
C =
∠
，求
DAE
的度数；
（2）如图2，若把（1）中的条件“ AE
BC
⊥
”变成“点F 为DA的延长线上一点，FE
BC
⊥
”，其他条件不变，
求
DFE
的度数；
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（3）若把（1）中的条件“ AE
BC
⊥
”变成“点F 为AD 的延长线上一点，FE
BC
⊥
”，其他条件不变，请画出
相应的图形，并求出
DFE
的度数．
【答案】（1）15；（2）15；（3）图见解析，
15
DFE
=
【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第
一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题．
（1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度；
（2）作AH
BC
⊥
于H，由（1）的结论和平行的性质得到
DFE
DAH
=
；
（3）作AH
BC
⊥
于H，由(1)的结论和平行的性质得到
DFE
DAH
=
．
【详解】（1）如图1，
180
180
35
65
80
BAC
B
C
=
−−
=
−
−
=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
1
40
2
BAD
BAC
=
=
，
∵AE
BC
⊥
，
∴
90
AEB
=
，
∴
90
55
BAE
B
=
−=
，
∴
55
40
15
DAE
BAE
BAD
=
−
=
−
=
.
（2）如图2，作AH
BC
⊥
于点H，由（1）可得
15
DAH
=
，
∵FE
BC
⊥
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
=
=
.
（3）如图3，作AH
BC
⊥
于点H，由（1）可得
15
DAH
=
，
∵FE
BC
⊥
，
∴AH
EF
∥
，
∴
15
DFE
DAH
=
=
.
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12．（24-25 八年级上·河南信阳·期末）在
ABC
中，CE 平分
ACB
，
A
B
．
(1)如图1，若CD
AB
⊥
于点D ，
70
A
=
，
40
B
=
，则
DCE
的度数为______；
(2)如图1，若CD
AB
⊥
于点D ，猜想并写出
A
、
B
、
DCE
之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2 ，设
A
=
，
B
=
，当点F 在射线EF 上时( 不与点E 重合) ，且DF
AB
⊥
于点D ，直接写出
DFE
的度数为： ______.( 用含、的式子表示) ．
【答案】(1)15；
(2)
(
)
1
2
DCE
A
B
=
−
，理由见解析
(3) (
)
1
2
−
．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角性质，垂直的定义的应用，熟练掌握三角
形内角和定理是解题的关键．
（1）利用三角形内角和求出
ACB
，结合角平分线定义求出
ACE
，再结合垂直定义、以及三角形内角
和求出
ACD
，最后根据
DCE
ACE
ACD
=
−
求解，即可解题；
（2）根据题意，结合图形，用
A
、
B
表示出
ACB
，利用角平分线，表示出
ACE
，仿照第（1）题，
表示出
ACD
，即可得到结果；
（3）结合图形，用，表示出
ACB
，利用角平分线，表示出
ACE
，利用
DEC
是
AEC
△
的外角，
表示出
DEC
，同时
DEC
也是DEF
的外角，即可得到结果．
【详解】（1）解：
70
A
=
，
40
B
=
，
180
70
ACB
A
B
=
−−=
，
CE
平分
ACB
，
1
35
2
ACE
ACB
=
=
，
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CD
AB
⊥
，
70
A
=
，
90
20
ACD
A
=
−=
，
15
DCE
ACE
ACD
=
−
=
，
故答案为：15；
（2）解：
(
)
1
2
DCE
A
B
=
−
，理由如下：
如图1，
180
ACB
B
A
++=
，
180
ACB
B
A
=
−−，
CE
平分
BCA
，
(
)
1
1 180
2
2
ACE
BCA
A
B
=
=
−−
，
CD
BA
⊥
，
90
ADC
=
，
90
ACD
A
=
−，
DCE
ACE
ACD
=
−
(
) (
)
1 180
90
2
A
B
A
=
−−
−
−
1
1
2
2
A
B
=
−
(
)
1
2
A
B
=
−
；
（3）解：如图2 ，
A
=
，
B
=
，
180
ACB
B
A
++=
，
180
180
ACB
B
A
=
−
−
=
−
−
，
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CE
平分
ACB
，
(
)
1
1 180
2
2
ACE
ACB
=
=
−
−
，
(
)
1
1
1
180
90
2
2
2
DEC
A
ACE
= +
=
+
−
−
=
+
−
，
DF
AB
⊥
，
90
FDE =
，
1
1
1
1
90
90
2
2
2
2
DFE
DEC
FDE
=
−
=
+
−
−
=
−
，
即
DFE
的度数为(
)
1
2
−
，
故答案为：(
)
1
2
−
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）如图，在ABC
中，
110
A
=
，1
2
= ，3
4
= ，则x 的值为（ ）
A．135
B．140
C．145
D．150
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，根据题意得到
70
ABC
ACB
+
=
，结合题意
得到
2
3
35
+=
，由此三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在ABC
中，
110
A
=
，
∴
180
110
70
ABC
ACB
+
=
−
=
，
∵
1
2,
3
4, 1
2
,
3
4
ABC
ACB
=
=
+ =
+ =
，
∴2 2
2 3
70
ABC
ACB
+ =
+
=
，
∴
(
)
1
2
3
35
2
ABC
ACB
+=
+
=
，
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在PBC
中，
(
)
180
2
3
180
35
145
x=
−+
=
−
=
，
∴
145
x =
，
故选：C ．
2．（25-26 八年级上·浙江金华·期末）如图，在ABC
中，
70
C
=
，F 在AB 延长线上，
CAB
的角平分
线与
CBF
的角平分线交于点E ，则
E
的度数为（ ）
A．30
B．35
C．40
D．45
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的定义．先利用三角形的外角的性质求得
70
CBF
CAB
+
=
，FBE
E
EAB
=
+
，利用角平分线的定义求得
1
35
2
A
BE
C B
F
=
+
，
1
2
EAB
CAB
=
，
据此列式计算即可求解．
【详解】解：∵
70
C
=
，
∴
70
CBF
C
CAB
CAB
= +
=
+
，
FBE
E
EAB
=
+
，
∵
CAB
的角平分线与
CBF
的角平分线交于点E ，
∴
1
35
2
1
2
C
B
FBE
BF
CA
=
+
=
，
1
2
EAB
CAB
=
．
∴
1
2
1
35
2
CAB
CAB
E
+
+
=
．
∴
35
E
=
．
故选：B．
3．（25-26 七年级下·四川达州·期末）如图，在ABC
中，AE 是
BAC
的平分线，F 是AE 延长线上一点，
且
⊥
FD
BC于点D，
28
B
=
，
18
F
=
，则
BAC
= （ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【答案】A
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出
DEF
，根据对顶角相等得到
AEC
，再利用三角形外角性质求
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出
BAE
，最后根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：
⊥
FD
BC ，
90
FDE
=
，
18
F
=
，
90
72
DEF
F
=
−
=
，
AEC
DEF
=
，
72
AEC
=
，
AEC
B
BAE
= +
，
28
B
=
，
72
28
44
BAE
=
−
=
，
AE
平分
BAC
，
2
88
BAC
BAE
=
=
．
4．（25-26 八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形ABCD中，
230
D
C
+
=
，
DAB
的平分线与外角
CBE
的平分线相交于点F ，则
F
的度数为（ ）
A．10
B．15
C．25°
D．30
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质和角平分线的定义，解题关键是利用三角形的外角等于与它不相邻
的两个内角的和的关系进行转化．本题先求出
180
130
50
G
=
−
=
，再利用
1
2
F
G
=
即可求解．
【详解】解：如图，延长AD和BC 交于点G，
∵
230
ADC
DCB
+
=
，
∴
GDC
GCD
+
180
180
ADC
DCB
=
−
+
−
(
)
360
ADC
DCB
=
−
+
360
230
=
−
130
=
，
∴
180
130
50
G
=
−
=
，
∵
DAB
的平分线与外角
CBE
的平分线相交于点F ，
∴
1
1
,
2
2
FBE
CBE
FAB
GAB
=
=
，
∴
(
)
1
1
1
1
25
2
2
2
2
F
FBE
FAB
CBE
GAB
CBE
GAB
G
=
−
=
−
=
−
=
=
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故选：C．
5．（25-26 七年级下·重庆·期中）如图，直线AB
CD
，E 、F 分别为直线AB 、CD上的点，P 为直线AB 上
方一点．若
BEP
的角平分线与
DFP
的角平分线交于点H ，
EPF
的角平分线与
PFC
的角平分线交于
点G ，PG 交EH 于点M ，
55 ,
20
GFP
PMH
EHF
=
−
=
，则下列结论：
①
90
GFH
=
；②
PFH
PEH
EHF
−
=
；③
110
PGF
=
；④
PEM
EPM
=
．正确的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角定理逐一进行判断即可．
【详解】解：
55
GFP
=
，GF 平分
PFC
，
55
PFG
GFC
=
=
180
70
PFD
PFC
=
−
=
HF
平分
PFD
，
35
PFH
HFD
=
=
，
90
GFH
GFP
PFH
=
+
=
，①正确；
AB
CD
∥
，
HFD
HNB
=
PFH
HNB
=
EH
是
PEB
的角平分线，
PEH
HEN
=
PEH
EHN
HMB
+
=
，
PFH
PEH
EHF
−
=
；②正确；
EH
是
PEB
的角平分线，PG 平分
EFP
，
70
PEN
EPF
+
=
，
35
PEH
EPM
PMH
+
=
=
，
20
PMH
EHF
−
=
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15
EHF
=
，
35
20
HEB
EHF
=
−
=
，
15
EPG
GPF
=
=
180
110
PGF
PFG
GPF
=
−
−
=
，③正确；
20 ,
15
PEM
EPM
=
=
，故④错误；
二、填空题
6．
（25-26 七年级下·山西晋中·期末）如图，在ABC
中，AD
BC
⊥
，AE 平分
BAC
，若1
35
=
，2
22
=
，
则
B
=________．
【答案】42/42 度
【分析】根据角平分线的定义，得到1
2
EAD
=
+，求出
EAD
的度数，再利用垂直的定义和三角形内
角和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵AE 平分
BAC
，
∴1
2
EAD
=
+，
∵1
35
=
，
2
22
=
，
∴
1
2
35
22
13
EAD
= −=
−
=
，
∴
1
35
13
48
BAD
EAD
= +
=
+
=
，
∵AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
90
48
42
B
BAD
=
−
=
−
=
．
7．
（24-25 七年级下·上海·阶段检测）如图，在ABC
中，BO、CO分别平分
ABC
和
ACB
，过点O 作DE
BC
∥
，
分别交边AB 、AC 于点D 和点E，如果
70 ,
50
BAC
ABC
=
=
，那么
EOC
BOD
−
=______ ．
【答案】5/5度
【详解】先由角平分线的定义与三角形内角和定理求得
25 ,
30
OBC
OCB
=
=
，再根据平行线的性质得
出
30 ,
25
EOC
OCB
BOD
OBC
=
=
=
=
，即可求解．
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【分析】解：由条件可知
1
25
2
OBC
ABC
=
=
，
70
BAC
=
，
180
60
ACB
ABC
BAC
−
−
=
=
，
CO
平分
ACB
，
∴
1
30
2
OCB
ACB
=
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
30 ,
25
EOC
OCB
BOD
OBC
=
=
=
=
，
30
25
5
EOC
BOD
−
−
=
= ．
8．（2026 七年级下·江苏·专题练习）如图，在ABC
中，E 为ABC
角平分线AM 的延长线上一点，过点E
作ED
BC
⊥
于点D，若
45
B
=
，
2
=
CAE
E
，则
C
的度数为________ ．
【答案】75
【分析】由E 为ABC
角平分线AM 的延长线上一点，得
2
BAE
CAE
E
=
= ，则
4
BAC
E
=
∠
∠
，因为
45
B
=
，所以
45
2
DME
E
=
+ ，由ED
BC
⊥
于点D，得
90
EDM
=
，则
45
2
90
E
E
+
+
=
，求得
15
E
=
，所以
4
60
BAC
E
= =
，则
180
75
C
B
BAC
=
−
−
=
∠
∠
∠
，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵E 为ABC
角平分线AM 的延长线上一点，
2
=
CAE
E
，
∴
2
BAE
CAE
E
=
= ，
∴
2
4
BAC
CAE
E
=
= ，
∵
45
B
=
，
∴
45
2
DME
B
BAE
E
= +
=
+
，
∵ED
BC
⊥
于点D，
∴
90
EDM
=
，
∴
90
E
DME
+
=
，
∴
45
2
90
E
E
+
+
=
，
∴
15
E
=
，
∴
4
60
BAC
E
= =
，
∴
180
75
C
B
BAC
=
−
−
=
∠
∠
∠
．
9．（25-26 七年级下·四川成都·期中）如图所示，ABC
中，A
x
= ，BP，CP ，BM ，CM 分别是
ABC
，
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ACD
，
PBC
，
PCB
的平分线，则
M
的度数为_________（结果用x 表示）
【答案】
1
90
4 x
+
【分析】先根据三角形外角的性质和角平分线的性质求出
1
1
2
2
P
A
x
=
=
，再根据三角形内角和定理及角
平分线的性质求出
1
90
2
M
P
=
+
．
【详解】解：∵
ACD
、
PCD
分别是ABC
、
PBC
△
的一个外角
∴
ACD
A
ABC
= +
，
PCD
P
PBC
= +
，
又 ∵BP、 CP 分别是
ABC
、
ACD
的平分线，
∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCD
ACD
=
，
∴1
1
2
2
ACD
P
ABC
= +
，
∴(
)
1
2
ACD
ABC
P
−
= ，
∴
2
A
P
= ，
∵
A
x
= ，
∴
1
1
2
2
P
A
x
=
=
，
∵
PBC
△
中，BM 、CM 分别是
PBC
和
PCB
的平分线，
∴
1
2
MBC
PBC
=
，
1
2
MCB
PCB
=
，
∴
180
M
MBC
MCB
=
−
−
(
)
1
180
2
PBC
PCB
=
−
+
(
)
1
180?
180
2
P
=
−
−
1
90
2
P
=
+
1
90
4 x
=
+
．
10．（25-26 七年级下·山东东营·期末）如图，在ABC
中，
90
C
=
，CAB
的角平分线和外角
CBD
的平
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分线交于
1P ，
1PAB
的平分线和外角
1PBD
的平分线交于
2P ，
2P AB
的平分线和外角
2P BD
的平分线交于
3P ，…，则
2026
P
= ____________________．
【答案】
2025
45
2
【分析】根据
CAB
的平分线和外角
CBD
的平分线交于
1P ，得出
1
1
2
P
C
=
，同理得出
2
2
1
2
P
C
=
，
3
3
2
1
1
2
2
P
P
C
=
=
，依此类推出
2026
2026
1
2
P
C
=
，即可求解．
【详解】解：∵
CAB
的平分线和外角
CBD
的平分线交于
1P ，
∴
1
1
2
PBD
CBD
=
，
1
1
2
PAD
CAB
=
，
∴
(
)
1
1
1
1
1
2
2
P
PBD
PAD
CBD
CAB
C
=
−
=
−
=
，
同理可得：
2
2
1
1
1
2
2
P
P
C
=
=
，
3
3
2
1
1
2
2
P
P
C
=
=
，
……
依此类推，
2
2
5
20 6
2026
2
0
6
2
02
1
1
90
2
2
45
2
P
C
=
=
=
．
三、解答题
11．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）在ABC
中，C
B
，AE 是边BC 上的高，AD是
BAC
的平
分线．
(1)如图①，若
20
DAE
=
，
30
B
=
，求
C
的度数；
(2)如图②，若F 是AD的延长线上一点，FG
BC
⊥
于点G ，试探究
F
与
C
，B
之间的数量关系，并说
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明理由．
【答案】(1)70
(2)
2
C
B
F
−
=
，理由如下：
∵AE 是边BC 上的高，
∴AE
BC
⊥
，
90
AEB
=
，
∴
180
90
BAE
B
AEB
B
−
−
−
=
=
，
∴
90
BAD
BAE
DAE
B
DAE
−
−
−
=
=
，
∵AD是
ABC
的平分线，
∴
2
180
2
2
BAC
BAD
B
DAE
−
−
=
=
，
∴
180
2
C
B
BAC
B
DAE
−
−
=
= +
，
∵FG
BC
⊥
，AE
BC
⊥
，
∴FG
AE
∥
，
∴
F
DAE
=
，
∴
2
C
B
F
= +
，即
2
C
B
F
−
=
．
【分析】
（1）由AE
BC
⊥
可得
90
AEB
=
，利用三角形内角和定理可得
60
BAE
=
，从而得到
40
BAD
=
，
由角平分线的定义可得
2
80
BAC
BAD
=
=
，最后使用三角形的内角和定理计算出
C
；
（2）仿照（1）的解法可得出
2
C
B
DAE
= +
，容易判断FG
AE
∥
，则
F
DAE
=
，因此
2
C
B
F
−
=
．
【详解】（1）解：∵AE 是边BC 上的高，
∴
90
AEB
=
，
∴
180
60
BAE
B
AEB
−
−
=
=
，
∵
20
DAE
=
，
∴
40
BAD
BAE
DAE
−
=
=
，
∵AD是
BAC
的平分线，
∴
2
80
BAC
BAD
=
=
，
∴
180
70
C
B
BAC
−
−
=
=
．
（2）略
12．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）【问题再现】如图①，在ABC
中，CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE交于点E ．若
90
C
=
，求
E
的度数．
【问题解决】
(1)小明根据题目中的条件，写出了如下不完整的求解过程：
小学
初中
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AE
平分
BAC
，BE平分
CBD
，
2
BAC
BAE
=
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
DBE
=
______
BAE
+
，
2
2
2
DBE
E
BAE
=
+
．
CBD
=
______
BAC
+
，
1
2
E
C
=
= ______度．
将小明的过程补充完整．
【应用】
(2)如图②，在ABC
中，
CAB
的平分线AE 与外角
CBD
的平分线BE交于点E ．设
C
的度数为m ，求
E
的度数．（用含m 的代数式表示）
【拓展】
(3)如图③，在ABC
中，C
为锐角，BAC
内部的射线AE 与外角
CBD
内部的射线BE交于点E（
E
为
锐角）．若
1
4
CAE
BAC
=
，
1
4
CBE
CBD
=
，设
C
的度数为m ，则
E
的大小为______．（用含m 的
代数式表示）
【答案】(1)
E
；
C
；45
(2) 1
2 m
(3) 3
4 m
【分析】（1）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（2）利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求解即可；
（3）先说明
3
4
BAE
BAC
=
，
3
4
DBE
CBD
=
，再利用三角形外角的性质以及角的和差求解即可．
【详解】（1）解：
AE
平分
BAC
，BE平分
CBD
，
2
BAC
BAE
=
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
DBE
=
E
BAE
+
，
2
2
2
DBE
E
BAE
=
+
．
2
CBD
E
BAC
=
+
，
CBD
=
C
BAC
+
，
∴2
E
BAC
C
BAC
+
= +
1
45
2
E
C
=
=
度．
（2）解：
AE
平分
BAC
，BE平分
CBD
，
2
BAC
BAE
=
，
2
CBD
DBE
=
∠
∠
．
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DBE
=
E
BAE
+
，
2
2
2
DBE
E
BAE
=
+
．
2
CBD
E
BAC
=
+
，
CBD
=
C
BAC
+
，
∴2
E
BAC
C
BAC
+
= +
1
1
2
2
E
C
m
=
=
．
（3）解：∵
1
4
CAE
BAC
=
，
1
4
CBE
CBD
=
，
∴
3
4
BAE
BAC
=
，
3
4
DBE
CBD
=
，
DBE
=
E
BAE
+
，
4
3
3
4
CBD
E
BAC
=
+
．
4
3
CBD
E
BAC
=
+
，
CBD
=
C
BAC
+
，
∴4
3
E
BAC
C
BAC
+
=
+
∴4
3
E
C
=
，即
3
3
4
4
E
C
m
=
=
．
13．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）在ABC
中，
ABC
与
ACB
的角平分线BP与CP 相交于点P．
(1)如图1，若
80
ABC
=
，
50
ACB
=
，求
P
的度数；
(2)如图2，延长AB 至M，延长AC 至N，MBC
与
NCB
的角平分线相交于点Q，若
(0
180 )
A
=
．
①用含的代数式表示
P
的大小为__________°；
②用含的代数式表示Q 的大小为__________°；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长BP、QC 交于点R．在BQR
中，除
RBQ
外，若一个内角是另一个内
角的3 倍，直接写出
A
的大小．
【答案】(1)115
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(2)①
1
90
α
2
P
=
+
；②
1
90
α
2
Q
=
−
(3)
45
A
=
或135
【分析】（1）根据角平分线的定义可得
1
40
2
PBC
ABC
，
1
25
2
BCP
ACB
=
=
，再利用三角形内
角和定理求解即可；
（2）根据三角形内角和定理可得
180
ABC
ACB
+
=
−
，进而得到
=180
MBC
NCB
+
+
；①②利
用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
（3）如图：延长BC 至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得
1
2
R
A
=
，再结合
1
90
2
Q
A
=
−
，
然后分
3
Q
R
=
和
3
R
Q
=
两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵
80
ABC
=
，
50
ACB
=
，点P 是
ABC
和
ACB
的平分线的交点，
∴
1
40
2
PBC
ABC
，
1
25
2
BCP
ACB
=
=
，
∵
180
BCP
P
PBC
++
=
，
∴
180
180
40
25
115
P
BCP
PBC
=
−
−
=
−
−
=
．
（2）解：∵
A
=
，
∴
180
180
ABC
ACB
A
+
=
−=
−
，
(
)
(
)
360
360
180
180
MBC
NCB
ABC
ACB
+
=
−
+
=
−
−
=
+
，
①∵
ABC
与
ACB
的角平分线BP与CP 相交于点P，
∴
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
BCP
ACB
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
180
90
2
2
2
PBC
BCP
ABC
ACB
+
=
+
=
−
=
−
，
∵
180
BCP
P
PBC
++
=
，
∴
(
)
1
1
180
180
90
90
2
2
P
BCP
PBC
=
−
+
=
−
−
=
+
．
②∵
MBC
与
NCB
的角平分线相交于点Q，
∴
1
2
QBC
MBC
=
，
1
2
BCQ
NCB
=
，
∴
(
)
(
)
1
1
1
180
90
2
2
2
QBC
BCQ
MBC
NCB
+
=
+
=
+
=
+
，
∵
180
QBC
Q
QCB
+
+
=
，
∴
(
)
1
1
180
180
90
90
2
2
Q
QBC
QCB
=
−
+
=
−
+
=
−
．
（3）解：如图：延长BC 至D，
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∵CQ 为ABC
的外角
NCB
的角平分线，
∴
BCQ
NCQ
=
,
∵
BCQ
DCR
=
，
NCQ
ACR
=
,
∴
ACR
DCR
=
,
∴CR 是ABC
的外角
ACD
的平分线，
∴
2
ACD
RCD
=
，
∵BR平分
ABC
，
∴
2
ABC
RBC
=
，
∵
RCD
RBC
R
=
+，
∴2
2
RCD
RBC
R
=
+ ，即
2
ACD
ABC
R
=
+ ，
又∵
ACD
ABC
A
=
+，
∴
2
A
R
= ，即
1
2
R
A
=
；
由（2）可知
1
90
2
Q
A
=
−
∵在BQR
中，除
RBQ
外，若一个内角是另一个内角的3 倍，
∴①当
3
Q
R
=
时，即
1
1
90
3
2
2
A
A
−
=
，解得：
45
A
=
；
②当
3
R
Q
=
时，即1
1
3
90
2
2
A
A
=
−
，解得：
135
A
=
；
综上所述，
A
的度数是45或135．
14．（25-26 七年级下·北京·期末）已知，在AOB
中，
90
AOB
=
，AC ，BC 分别平分
BAO
与
ABO
∠
．
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(1)如图1，当
40
BAO
=
时，则
ABC
= ___________；
(2)如图2，延长AC 与OB 交于点D ，过C 作CE
OB
∥
交AB 于点E ，用等式表示
ADO
与
BCE
的数量关
系，并证明；
(3)如图3，AOB
的外角平分线ON 与AC 的延长线交于点N ，过点A作AM
AN
⊥
交ON 的反向延长线于点
M ，
M
N
．在AMN
中，如果有一个角的度数是另一个角的3 倍，请直接写出
BAO
的度数．
【答案】(1)25
(2)
45
ADO
BCE
=
+
，证明如下：
∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
2
ABC
OBC
ABO
=
=
，
∵CE
OB
∥
，
∴
1
2
BCE
OBC
ABO
=
=
，
∵AC 平分
BAO
，
∴
1
2
BAD
DAO
BAO
=
=
，
∵
90
AOB
=
，
∴
180
90
BAO
AOB
ABO
ABO
=
−
−
=
−
，
∴
ADO
ABO
BAD
=
+
1
2
ABO
BAO
=
+
(
)
1 90
2
ABO
ABO
=
+
−
1
45
2
ABO
45
BCE
=
+
；
(3)30或45
【分析】（1）首先根据三角形内角和定理确定
50
ABO
=
°，再根据角平分线的定义求解即可；
（2）首先根据角平分线的定义以及平行线的性质可得
1
2
ABC
OBC
ABO
=
=
，
1
2
BAD
DAO
BAO
=
=
，
1
2
BCE
ABO
=
，再由三角形内角和定理可得
90
BAO
ABO
=
−
，然后根据三角形外角的定义和性质，
即可确定答案；
（3）首先确定
45
BON
=
，
N
M
MAN
，然后分
3
MAN
N
=
、
3
M
N
=
和
3
MAN
M
=
三
种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵
90
AOB
=
，
40
BAO
=
，
∴
180
180
90
40
50
ABO
AOB
BAO
=
−
−
=
−
−
=
，
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∵BC 平分
ABO
∠
，
∴
1
25
2
ABC
ABO
=
=
；
（2）略
（3）解：如下图，
∵
90
AOB
=
，
∴
180
90
BOK
AOB
=
−
=
，
∵ON 平分
BOK
，
∴
1
45
2
BON
BOK
=
=
，
∵AM
AN
⊥
，
∴
90
MAN
=
，
∵
M
N
，且
180
90
M
N
MAN
+
=
−
=
，
∴
N
M
MAN
，
当
3
MAN
N
=
时，则
1
30
3
N
MAN
=
=
，
∴
30
45
75
ADO
N
BON
=
+
=
+
=
，
∴
180
15
DAO
ADO
AOB
=
−
−
=
∴
2
30
BAO
DAO
=
=
；
当
3
M
N
=
时，则
3
90
M
N
N
N
+
=
+
=
，
∴
22.5
N
=
∴
22.5
45
67.5
ADO
N
BON
=
+
=
+
=
，
∴
180
22.5
DAO
ADO
AOB
=
−
−
=
∴
2
45
BAO
DAO
=
=
；
当
3
MAN
M
=
时，则
1
30
3
M
MAN
=
=
，
∴
90
60
N
M
=
−
=
，
∴
N
M
，不合题意，舍去．
综上所述，
BAO
的度数为30或45．
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15．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）【教材探究】小明同学在完成华师版数学七下第92、93 页第4、5、6
题时发现了一些有趣的结论，让我们一起探索吧．
(1)如图①，在ABC
中，BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
．若
80
A
=
，则
P
= ____________；如图②，
BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，则
A
与
M
的数量关系是____________；
【继续探索】
(2)如图③，BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
．请探索
A
与
N
之间的数量关系；
【拓展应用】
(3)如图④，点P 是ABC
两内角平分线的交点，点N 是ABC
两外角平分线的交点，延长BP、NC 交于点
M ．在BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，求
A
的度数．
【答案】(1)130；
2
A
M
=
(2)
1
90
2
N
A
=
−
(3)60或90或120
【分析】（1）如图①，由角平分线可得
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
=
=
=
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，由三角形
内角和可求
180
ABC
ACB
A
+
=
−，根据
(
)
(
)
1
180
180
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
=
−
+
=
−
+
，计算
求解即可；如图②，由角平分线与外角可得
(
)
2
2
2
DCM
A
CBM
M
CBM
= +
=
+
，整理即可；
（2）由角平分线可得
1
1
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
=
=
=
=
，
，由
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
可得
180
CBE
BCF
A
+
=
+，则根据
(
)
180
N
CBN
BCN
=
−
+
，计算求解即可；
（3）由题意知，
1
1
90
2
2
NBM
CBN
CBP
CBE
ABC
=
+
=
+
=
，
1
90
2
N
A
=
−
，
2
A
M
=
，当在
BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分①
2
NBM
M
=
，②
2
NBM
N
=
，③
2
M
N
=
，
④
2
N
M
=
，四种情况求解即可．
【详解】（1）解：如图①，∵BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
，
∴
1
1
2
2
ABP
CBP
ABC
ACP
BCP
ACB
=
=
=
=
∠
∠
∠
，∠
∠
∠
，
∵
180
180
80
100
ABC
ACB
A
+
=
−=
−
=
，
∴
(
)
(
)
1
180
180
130
2
P
CBP
BCP
ABC
ACB
=
−
+
=
−
+
=
；
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如图②，∵BM 平分
ABC
，CM 平分外角
ACD
，
∴
1
1
2
2
CBM
ABM
ABC
DCM
ACM
ACD
=
=
=
=
，
，
∵
ACD
A
ABC
= +
，
DCM
M
CBM
=
+
，
∴
(
)
2
2
2
DCM
ACD
A
CBM
M
CBM
=
= +
=
+
，
整理得，
2
A
M
=
；
（2）解：∵BN 平分外角
EBC
，CN 平分外角
FCB
，
∴
1
1
,
2
2
CBN
EBN
CBE
BCN
FCN
BCF
=
=
=
=
，
∵
180
ABC
ACB
A
+
=
−，
∴
(
)
180
180
360
180
CBE
BCF
ABC
ACB
ABC
ACB
A
+
=
−
+
−
=
−
+
=
+ ，
∴
(
)
(
)
1
1
180
180
90
2
2
N
CBN
BCN
CBE
BCF
A
=
−
+
=
−
+
=
−
，
∴
1
90
2
N
A
=
−
；
（3）解：由题意知，
(
)
1
1
1
90
2
2
2
NBM
CBN
CBP
CBE
ABC
CBE
ABC
=
+
=
+
=
+
=
，
1
90
2
N
A
=
−
，
2
A
M
=
，
∴当在BMN
中，存在一个内角等于另一个内角的2 倍，分①
2
NBM
M
=
，②
2
NBM
N
=
，③
2
M
N
= ，④
2
N
M
=
，四种情况求解：
①当
2
NBM
M
=
时，
2
90
A
M
NBM
=
=
=
；
②当
2
NBM
N
=
时，2
90
N
=
，则
(
)
2 90
90
A
N
=
−
=
；
③当
2
M
N
= 时，1
1
2 90
2
2
A
A
=
−
，解得，
120
A
=
；
④当
2
N
M
=
时，
1
90
2
A
A
−
= ，解得，
60
A
=
；
综上所述，
A
的度数为60或90或120．
