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专题03 三角形的内角与外角
（题型突破·举一反三）
题型01 三角形内角和定理的证明
题型02 运用三角形内角和定理求角的角度
题型03 直角三角形的性质
题型04 直角三角形的判定
题型05 利用三角形外角的性质计算与证明
题型06 三角形折叠中的角度问题
题型07 三角板放置中的角度计算
题型08 三角形与角平分线、高线综合运用
题型09 三角形中的新定义问题
题型10 双角角平分线模型的角度探究
题型11 不规则图形内角和问题探究
▌题型01 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一
个平角．在转化中借助平行线.
【典例1】如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法．
①过点C 作𝐸𝐹∥𝐴𝐵
②延长𝐴𝐶到点F，
过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵
③过𝐴𝐵上一点D
作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶
④过点C 作
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D
回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是__________（请填写序号）；
(2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明．
【变式1-2】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A
作直线l平行于△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
(1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边𝐴𝐵上的任意一点P”，过点P 分别作△𝐴𝐵𝐶另外两边的平行线，那
么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．请你先作出辅助线，再完成
这个证明过程．
已知，如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点P 是边𝐴𝐵上的任意一点．求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
(2)如图3，是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B
岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵呢？
▌题型02 运用三角形内角和定理求角的度数
1．定理表述
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。
【典例2】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 130°，∠𝐶𝐸𝐷= 80°，则∠𝐷的度数为（ ）
A．70°
B．65°
C．60°
D．50°
【变式2-1】将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中∠𝐶= 30°，若
∠𝐴𝐷𝐸= 50°，则∠𝐹𝐵𝐶的度数是( )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【变式2-2】如图，𝐴𝑃∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点O，交𝐴𝑃于点P，且∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°，求∠𝑃的
度数．
【变式2-3】如图，已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷于点𝐸，𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，𝐸𝑀平分
∠𝐺𝐸𝐹交𝐹𝐺于点𝑀，过点𝐺作𝑁𝐺⊥𝐺𝐹，𝐺为垂足，交直线𝐸𝐹于点𝑁．
(1)若∠𝐸𝐺𝐹= 27°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数．
(2)求证：∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁．
▌题型03 直角三角形的性质
直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可
以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
【典例3】一个直角三角形，两个锐角度数的比是1:2，这个三角形最小的内角是（ ）
A．10°
B．30°
C．45°
D．60°
【变式3-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，点D 在𝐴𝐶边上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐴𝐷𝐸= 155°，求∠𝐵的度数．
【变式3-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点F．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 40°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数；
(2)求证：∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
【变式3-3】如图，𝐴𝐵∥𝑀𝑁，点𝐶为𝑀𝑁上一点，且𝐵𝐶⊥𝑀𝑁，点𝑃为直线𝑀𝑁上一动点，∠𝐴𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐷
交𝐴𝐶于点𝐷．
(1)若∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，求证：𝐴𝐶∥𝐵𝑃；
(2)设∠𝐶𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐸交𝑀𝑁于点𝐸．
①若点𝑃在射线𝐶𝑁上运动的过程中，∠𝐷𝐵𝐸的大小是否发生变化？如果不变，求∠𝐷𝐵𝐸的度数，如果变化，
请说明理由；
②若∠𝐵𝑃𝐶= 68°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数．
▌题型04 直角三角形的判定
直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形
【典例4】具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
C．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵+ 30° = ∠𝐶+ 60°
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，E 是𝐴𝐵边上一点，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点M，且
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐸𝑀是直角三角形．
【变式4-2】已知：如图，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶交𝐵𝐹于点𝐸，𝐵𝐹交𝐶𝐷于点𝐹,∠1 = ∠3．
(1)请说明𝐴𝐵∥𝐶𝐷的理由；
(2)若∠2 = 25°，求∠3的度数；
(3)若∠𝐴𝐵𝐷= 140°，求证：∆𝐵𝐸𝐷为直角三角形．
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵上一点，∠𝐴= ∠2，∠1 = ∠𝐵．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状；
(2)判断𝐶𝐷是否与𝐴𝐵垂直．
▌题型05 利用三角形外角的性质计算与证明
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，
其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
三角形外角的性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠ACD =∠A +∠B）
②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠ACD >∠A；∠ACD >∠B.）
③三角形的外角和为360°（∠BAE +∠CBF +∠ACD =360°）
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
【典例5】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知𝐵𝐶∥𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，∠𝐴𝐷𝐸= 70°．则∠𝐶的
度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．50°
D．55°
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，F 是𝐴𝐸延长线上一点，且𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
∠𝐵= 28°，∠𝐹= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶= （ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【变式5-2】如图，已知：在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶且交𝐴𝐶于𝐷．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，求∠𝐵𝐷𝐶的度数；
(2)若𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶且交𝐵𝐷于𝐸，求∠𝐴𝐸𝐷的度数．
【变式5-3】已知线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷，𝐵𝐶．
(1)如图1，若∠𝐴+ ∠𝐷= 85°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________，∠𝐵+ ∠𝐶的度数为__________；
(2)如图2．若∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷，求证：∠𝐵= 2∠𝐷；
(3)如图3，若∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃，∠𝐵+ ∠𝐷= 90°，求∠𝑃的度数．
▌题型06 三角形折叠中的角度问题
三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定
理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题.
【典例6】如图，将直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶的直角𝐶沿𝐸𝐹折叠，点𝐶落到纸片内部的点𝐶′处．如果∠𝐹𝐸𝐶′
= 40°，那么∠𝐵𝐹𝐶′等于多少度？
【变式6-1】如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°，
则∠𝐴= （ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．35°
【变式6-2】如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对
折，使点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，∠𝐵𝐴𝐷的度数为___________．
【变式6-3】如图，点𝐷,𝐸,𝐹分别在三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶,𝐴𝐵,𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐵．将三角形𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸
翻折，使得点𝐵落在点𝐵′处，沿𝐷𝐹翻折，使得点C 落在点𝐶′处．若∠𝐵′𝐷𝐶′ = 30°，求∠𝐴的度数．
▌题型07 三角板放置中的角度问题
利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题.
【典例7】小华将一副三角板（∠𝐶= ∠𝐷= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐸= 45°）按如图所示的方式摆放，其中𝐴𝐵∥
𝐸𝐹，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
【变式7-1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1的度数是（ ）
A．105°
B．135∘
C．150°
D．165°
【变式7-2】一副直角三角板如图摆放，其中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐸= 30°，若点𝐶是𝐷𝐸上一
点，且𝐵𝐶∥𝐴𝐷，则∠𝐶𝐴𝐸的大小为（ ）
A．15°
B．18°
C．20°
D．25°
【变式7-3】已知∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐷= 45°．
(1)如图①，当∠𝐵𝐶𝐷= 15°时，请判断𝐴𝐵与𝐶𝐸之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，求∠𝐵𝐶𝐷的度数．
▌题型08 三角形与角平分线、高线综合运用
解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合
解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键
【典例8】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠1 = 35°，∠2 = 22°，则∠𝐵= ________．
【变式8-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，且∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸
作𝐸𝐹∥𝐴𝐶，分别交𝐴𝐵、𝐴𝐷于点𝐹、𝐺，则下列结论正确的是________．
①∠𝐵𝐴𝐶= 90°；②∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷；③∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴；④∠𝐴𝐸𝐹= 30°．
【变式8-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为F，交𝐵𝐶于点E，若∠𝐵𝐴𝐸= 33°，
∠𝐵= 37°，求∠𝐸𝐴𝐶的度数．
【变式8-3】已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶> ∠𝐵．
【特例探究】
(1)如图（a），𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，若∠𝐵= 35°，∠𝐶= 65°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为________；
【一般推导】
(2)如图（b），点𝑃在线段𝐴𝐸上，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶，垂足为𝐺．请写出∠𝐸𝑃𝐺与∠𝐵，∠𝐶之间的数量关系：__________．
【拓展应用】
(3)如图（c），在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐸𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐴𝐶𝑀，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶
延长线于点𝐺．若∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝑃𝐺= 2
3(∠𝐵+ ∠𝐶𝑃𝐸)，求∠𝐵的度数．
▌题型09 三角形中的新定义问题
理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题
【典例9】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，过点𝐴的直线交𝐵𝐶于点𝐷，若∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵，我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶
的形似线，其中∠𝐵𝐴𝐷= 𝑚∠𝐶𝐴𝐷，那么我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的𝑚倍形似线．已知直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍
形似线，则∠𝐵= ______度．
【变式9-1】1．（25-26 八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足
2𝛼+ 𝛽= 90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若△𝐴𝐵𝐶是“奇妙互余三角形”，∠𝐶> 90°，
∠𝐴= 40°，求∠𝐶的度数．
【变式9-2】定义：如果一个三角形的两个内角𝛼与𝛽满足：𝛼+ 2𝛽= 90°．那么我们称这样的三角形为“准互
余三角形”．
(1)若△𝐴𝐵𝐶是“准互余三角形”，∠𝐶> 90°,∠𝐵= 60°，则∠𝐴的度数为__________；
(2)如图，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
①若𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”吗？并说明理由；
②若点𝐸是边𝐵𝐶上一点，△𝐴𝐵𝐸是“准互余三角形”，∠𝐵= 24°，求∠𝐸𝐴𝐶的度数．
【变式9-3】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这
个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱
角”，△𝐴𝐵𝐶为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90°
①则∠𝐴= _________，∠𝐵= __________．
②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是
否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿
𝐶𝐷翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
▌题型10 双角角平分线模型的角度探究
【典例10】如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为________．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，𝐴、𝐵分别为𝑥轴、𝑦轴正半轴上两动点，∠𝐵𝐴𝑂的平分线和与∠𝑂𝐵𝐴
相邻的外角的平分线所在直线交于点𝐶，则∠𝐶的度数随𝐴、𝐵运动的变化情况正确的是（ ）
A．点𝐵不动，在点𝐴向右运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小
B．点𝐴不动，在点𝐵向上运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小
C．在点𝐴向左运动，点𝐵向下运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐增大
D．在点𝐴、𝐵运动的过程中，∠𝐶的度数不变
【变式10-2】如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶、内角∠𝐴𝐵𝐶、外角
∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：①𝐴𝐷∥𝐵𝐶；②∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵；③∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷；④𝐵𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶．其中正确
的结论有_____________
【变式10-3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝑃与𝐶𝑃相交于点P．
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶= 80°，∠𝐴𝐶𝐵= 50°，求∠𝑃的度数；
(2)如图2，延长𝐴𝐵至M，延长𝐴𝐶至N，∠𝑀𝐵𝐶与∠𝑁𝐶𝐵的角平分线相交于点Q，若∠𝐴= 𝛼(0° < 𝛼< 180°)．
①用含𝛼的代数式表示∠𝑃的大小为__________°；
②用含𝛼的代数式表示∠𝑄的大小为__________°；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长𝐵𝑃、𝑄𝐶交于点R．在△𝐵𝑄𝑅中，除∠𝑅𝐵𝑄外，若一个内角是另一个内角
的3 倍，直接写出∠𝐴的大小．
▌题型11 不规则图形内角和问题探究
利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题
【典例11】如图，∠𝐵𝑂𝐹= 100°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= __________．
【变式11-1】如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°．
【变式11-2】探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了
如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷．
∴ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
∵ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ________°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ________°，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= ________°．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠𝐴，∠𝐵，
∠𝐶，∠𝐷，∠𝐸的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点𝐴落在𝐵𝐸上，点𝐶落在𝐵𝐷上，若∠𝐵= ∠𝐷= 36∘，则
∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸= ________°．
