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专题02 与三角形有关线段
（题型突破·举一反三）
题型01 判断能否组成三角形
题型02 利用三边关系解决问题
题型03 等腰三角形边长与周长
题型04 利用三边关系化简求值
题型05 三角形的稳定性
题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
题型07 与三角形的高有关的计算
题型08 三角形中线分周长问题
题型09 三角形中线平分面积问题
题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明
▌题型01 判断能否组成三角形
1．三角形三边满足的条件
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边
符号语言：𝐴𝐵+ 𝐴𝐶> 𝐵𝐶 ；𝐵𝐶+ 𝐴𝐵> 𝐴𝐶；𝐴𝐶+ 𝐵𝐶> 𝐴𝐵
𝐴𝐵−𝐴𝐶> 𝐵𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐵> 𝐴𝐶;𝐵𝐶−𝐴𝐶> 𝐴𝐵
方法指导：只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可
构成三角形;若不满足，则不能构成三角形.
【典例1】以下列各数为边长，能构成三角形的是（ ）
A．1，2，3
B．2，5，2
C．3，4，8
D．4，5，6
【变式1-1】下列长度的四条线段，能作为四边形四边的是（ ）
A．1，1，1，3
B．2，2，2，3
C．1，3，2，6
D．2，2，2，7
【变式1-2】现有长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，6cm 的五条线段，以其中的三条线段为边组成三角形，
最多可以组成_____个．
【变式1-3】已知线段𝑎= 𝑥+ 5，𝑏= 𝑥−2，𝑐= 2𝑥+ 5．
(1)判断𝑎和𝑐的大小，并说明理由；
(2)用𝑎、𝑏、𝑐能构成三角形吗？为什么？
▌题型02 利用三边关系解决问题
已知三角形的两边，确定第三边的取值范围，其方法是：第三边大于已知两边之差，小于已知两边之和。
【典例2】已知△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵，边𝐵𝐶的长度分别是不等式组2𝑥−1 ≤15
3𝑥−5 > 10
的最大整数解与最小整数解，且
△𝐴𝐵𝐶的周长为奇数，则△𝐴𝐵𝐶的第三条边𝐴𝐶的长度的最小值为_____．
【变式2-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)若𝑎，𝑏，𝑐满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状；
(2)若𝑎= 6，𝑏= 2，且𝑐为整数，求△𝐴𝐵𝐶的周长．
【变式2-2】按要求完成下列计算：
(1)已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 12，𝑏= 18，求第三边𝑐的取值范围．
(2)已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝑎= 7，𝑏:𝑐= 4:3，求这个三角形周长𝐿的取值范围．
【变式2-3】已知𝑎,𝑏，c 是△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)已知𝑎= 3,𝑏= 5，求c 的取值范围；
(2)若𝑏= 2𝑎−1,𝑐= 𝑎+ 5，且△𝐴𝐵𝐶的周长不超过24，求a 的取值范围．
▌题型03 等腰三角形的边长和周长
等腰三角形相关概念：相等的两条边都叫腰，另一边叫作底.
熟练掌握等腰三角形的性质，未明确底和腰时，要注意分类讨论，再结合三角形三边关系验证能否构成三角
形
【典例3】（1）已知(𝑎−5)2 +|9−𝑏| = 0，则以a，b 为边长的等腰三角形的周长为________．
(2)等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为_________
(3)若等腰三角形一边长为12 cm，且腰长是底边长的
3
4，则这个三角形的周长为_________
(4) 等腰三角形的三边长分别为3x-2,4x-3,6-2x,则该三角形的周长为_________
【变式3-1】等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”，若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为
10，其中一条边长是3，则它的“优美比”是（ ）
A．
3
4
B．
6
7
C．
4
3或
6
7
D．
3
4或
7
6
【变式3-2】用一条长为24cm 细绳围成一个等腰三角形．
(1)如果腰长是底边的2 倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长为6cm 的等腰三角形吗？为什么？
(3)若等腰三角形的腰长为acm，求a 的取值范围？
【变式3-3】王伟准备用一段长30 米的篱笆围成一个三角形形状的小圈，用于饲养家兔已知第一条边长为𝑎
米，由于受地势限制，第二条边长只能是第一条边长的2 倍少4 米．
（1）请用𝑎表示第三条边长；
（2）问第一条边长可以为7 米吗？为什么？请说明理由，并求出𝑎的取值范围；
（3）能否使得围成的小圈是等腰三角形形状？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由．
▌题型04 利用三边关系化简求值
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出线段取值范围，再去绝对值进行化简求值
【典例4】．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题．
(1)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 6，𝐵𝐶= 2，𝐴𝐶的长为偶数，求△𝐴𝐵𝐶的周长；
(2)已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为3，7，m，化简|𝑚+ 2|−|𝑚−10| +2|𝑚−4|．
【变式4-1】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别是𝑎、𝑏、𝑐，化简|2𝑎+ 2𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑎−𝑐|的结果是（ ）
A．2𝑎
B．𝑎+ 3𝑏−2𝑐
C．2(𝑎+ 𝑏)
D．−2𝑏
【变式4-2】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为a，b，c，化简|𝑎+ 𝑏−𝑐|−|𝑏−𝑎−𝑐| + ∣𝑎−𝑏−𝑐∣= __________．
【变式4-3】已知𝑎，𝑏，𝑐是△𝐴𝐵𝐶的三边长．
(1)若|𝑎−𝑏| + (𝑏−𝑐)2 = 0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状．
(2)化简：|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑏+ 𝑐−𝑎| + |𝑐−𝑎−𝑏|．
▌题型05 三角形的稳定性
三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。
怎样判断一个图形是否具有稳定性
从整体上看，如果这个图形全部是由三角形组成的，一般情况下，这个图形就具有稳定性；如果这个图形中
除含有三角形外，还含有其他图形（如四边形），那么一般情况下，这个图形不具有稳定性
【典例5】如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是（ ）
A．三角形具有稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两点确定一条直线
【变式5-1】为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短
B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性
D．三角形两边之和大于第三边
【变式5-2】下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5-3】三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要钉上（ ）根木条．
A．1
B．2
C．3
D．4
▌题型06 三角形中线、角平分线、高线概念有关问题
1、定义：从三角形一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫三角形的高。
★三角形的高是线段，而垂线是直线
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的高(已知)
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶 或∠𝐴𝐷𝐵= 90°或∠𝐴𝐷𝐶= 90° (三角形高的定义)
2、定义：三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段叫三角形的中线。
★三角形的中线是线段
几何语言：
∵𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的中线(已知)
∴AD = DB = 1
2𝐴𝐵 (三角形中线的定义)
3、定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角
平分线.
★角平分线是射线，三角形的角平分线是线段
几何语言：
∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴的平分线(已知)
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶(三角形角平分线的定义)
∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷
【典例6】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，从顶点𝐴引出三条线段𝐴𝐷、𝐴𝐸、𝐴𝐹，其中：𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐴𝐸是角平
分线，𝐴𝐹是𝐵𝐶边上的中线．下列说法错误
．．的是（ ）
A．𝐵𝐹= 𝐹𝐶
B．∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸
C．𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
D．𝐴𝐵= 𝐵𝐶
【变式6-1】下列说法中，正确的有（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；
②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；
③直角三角形只有一条高；
④三角形的三条角平分线交于一点，这个交点叫作重心．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式6-2】下列叙述正确的个数为（ ）．
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形；
③三角形的三条高交于一点；
④三角形的三条角平分线交于一点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【变式6-3】如图，𝐶𝐷、𝐴𝐸、𝐶𝐹分别是△𝐴𝐵𝐶的高线、角平分线、中线，则下列结论中错误
．．的是（ ）
A．𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
B．∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐶𝐴𝐵
C．𝐴𝐹= 𝐵𝐹
D．𝐵𝐸= 𝐶𝐸
▌题型07 与三角形的高有关计算
1.三角形的面积𝑆= 1
2 × 𝐵𝐶× 𝐴𝐷= 1
2 × 𝐴𝐵× 𝐶𝐹= 1
2 × 𝐴𝐶× 𝐵𝐸
可利用面积相等（面积不一定要求出具体值）作桥梁求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”
2.等底,等高的三角形面积相等
3.等底不等高的三角形面积之比等于高之比；
4.等高不等底的三角形面积之比等于底之比.
【典例7】八年级上册课本上有一道题：如图1，
（1）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，𝐴𝐷= 3
2,求CE 的长
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2，𝐵𝐶= 4，则△𝐴𝐵𝐶的高𝐴𝐷与𝐶𝐸的比是多少？
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2，
若△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是边𝐵𝐶上的点，则
𝑆△𝐴𝐵𝐷
𝑆△𝐴𝐶𝐷=
𝐵𝐷
𝐶𝐷．
(3)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(4)如图3，△𝐴𝐵𝐶中，𝐷，𝐸分别是边𝐵𝐶，𝐴𝐶上的点，𝐴𝐷与𝐵𝐸交于点𝑂．若𝐵𝐷= 𝐶𝐷，𝐴𝐸= 2𝐶𝐸，请直接
写出
𝐴𝑂
𝐴𝐷的值．
【变式7-1】(1)在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，∠𝐴𝐵𝐶= 30°，∠𝐶𝐴𝐷= 20°，则∠𝐵𝐴𝐶是___________度．
(2)已知𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的高，𝐴𝐷= 5，𝐶𝐷= 1．若△𝐴𝐵𝐶的面积为6，则𝐵𝐷的长为______．
【变式7-2】(1)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，其中𝐷𝐸= 2𝐴𝐸．若△𝐴𝐵𝐶的面积为60，𝐵𝐷= 5，
则△𝐵𝐷𝐸中，𝐵𝐷边上的高是______．
(2) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐸:𝐷𝐸= 2:1，𝐸𝐹:𝐶𝐹= 3:1，且𝑆△𝐴𝐵𝐶= 12cm2，则𝑆△𝐵𝐸𝐹为____cm2．
【变式7-3】在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为直线𝐵𝐶上任意一点，连接𝐴𝐷，𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于点𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于点𝐹，𝐵𝐺⊥𝐴𝐶
于点𝐺．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：∵𝑆△𝐴𝐵𝐶= __________ + 𝑆△𝐴𝐶𝐷．
∴1
2𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 1
2𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ __________．
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶，
∴__________．
(2)如图1，当点𝐷为𝐵𝐶中点时，试判断𝐵𝐺与𝐷𝐸的数量关系__________．
(3)如图2，当点𝐷在𝐵𝐶的延长线上时，请猜想𝐷𝐸，𝐷𝐹，𝐵𝐺之间的数量关系并证明．
▌题型08 三角形中线分周长问题
∵𝐶∆𝐴𝐵𝐷= 𝐴𝐵+ 𝐵𝐷+ 𝐴𝐷,𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐴𝐷,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝐶∆𝐴𝐵𝐷−𝐶∆𝐴𝐶𝐷= 𝐴𝐵−𝐴𝐶
结论：三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形两外两边之差
【典例8】（1）如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线，已知𝐵𝐶= 8，𝐴𝐵= 5，△𝐵𝐶𝐷的周长为20，求
△𝐴𝐵𝐷的周长．
（2）在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷为𝐴𝐶边上的中线,BD把△ABC的周长分成两部分，若周长之差为3cm, BC = 8，求𝐴𝐵
的长
【变式8-1】在△ABC 中，AB＜AC，BC 边上的中线AD 将△ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm，AB
与AC 的和为13cm，则AC 的长为 _____．
【变式8-2】已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm 和15cm 两部分，求这个等腰三角形的底
边BC 的长
【变式8-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中(𝐴𝐶> 𝐴𝐵)，𝐴𝐶= 2𝐵𝐶，𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成80 和60 两
部分，求𝐴𝐶和𝐴𝐵的长．
▌题型09 三角形中线平分面积问题
1.中线分面积
∵𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 1
2 × 𝐵𝐷× 𝐴𝐸,𝑆∆𝐴𝐶𝐷= 1
2 × 𝐶𝐷× 𝐴𝐸,𝐵𝐷= 𝐶𝐷
∴𝑆∆𝐴𝐵𝐷= 𝑆∆𝐴𝐶𝐷
结论:三角形的任意一条中线将三角形分成面积相等的两部分
2.拓展推论：如图AD, BE, CF 分别为▲ABC 边BC, AC, AB 边上的中线，
则（1）𝑺∆𝑨𝑶𝑬= 𝑺∆𝑨𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑭= 𝑺∆𝑩𝑶𝑫= 𝑺∆𝑪𝑶𝑬= 𝑺∆𝑪𝑶𝑫
（2）𝑺∆𝑨𝑶𝑪= 𝑺∆𝑩𝑶𝑪= 𝑺∆𝑨𝑶𝑩
（3）𝐴𝑂= 2𝑂𝐷,𝐵𝑂= 2𝑂𝐸,𝐶𝑂= 2𝑂𝐹任意三角形都有三条中线，并且都在三角形内部交于一点。（交点又
叫三角形的重心，顶点到重心的距离=重心到对边中点的距离的2 倍）
【典例9】如图，在△𝐴𝐵𝐶，点F、D、E 分别是边𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐴𝐶上的点，且𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹相交于点O，若点O
是△𝐴𝐵𝐶的重心，则以下结论：①线段𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹是△𝐴𝐵𝐶的三条角平分线；②△𝐵𝑂𝐷的面积是△𝐴𝑂𝐶
面积的一半；③图中与△𝐵𝑂𝐶面积相等的三角形有2 个；④𝑆△𝐵𝑂𝐷= 𝑆△𝐶𝑂𝐸；⑤𝑂𝐹= 1
3𝐴𝐷．其中一定正确
结论有（ ）
A．②③
B．①③④
C．②④⑤
D．②③④
【变式9-1】
(1)如图，点𝑂是△𝐴𝐵𝐶的重心，𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16，则阴影部分的面积之和为__________．
(2) 如图，已知𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，点E 为线段𝐴𝐷的中点，𝐴𝐵= 12cm，𝐴𝐶= 9cm．若△𝐴𝐵𝐶的面积为
80cm2，则△𝐴𝐶𝐸的面积为_______．
(3)如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷、𝐸、𝐹分别是𝐵𝐶、𝐴𝐷、𝐶𝐸的中点，若△𝐷𝐸𝐹的面积为1，则△𝐴𝐵𝐶的面积为________．
(4) 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐵𝐶边上，𝐵𝐷:𝐶𝐷＝1:2，连接𝐴𝐷，点𝐸为𝐴𝐷上一点，点𝐹、𝐺分别为𝐴𝐶、𝐶𝐷的
中点，连接𝐸𝐹，𝐸𝐺．若△𝐴𝐵𝐶的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ．
【变式9-2】如图，把△𝐴𝐵𝐶的三边𝐵𝐴、𝐶𝐵和𝐴𝐶分别向外延长一倍，将得到的点𝐴′、𝐵′、𝐶′顺次连接成
△𝐴′𝐵′𝐶′，若△𝐴𝐵𝐶的面积是10cm2，则△𝐴′𝐵′𝐶′的面积是_________
【变式9-3】如图，D、E 分别是△𝐴𝐵𝐶边𝐴𝐵、𝐵𝐶上的点，𝐴𝐷= 2𝐵𝐷，𝐵𝐸= 𝐶𝐸，设△𝐴𝐷𝐹的面积为𝑆1，△𝐶𝐸𝐹
的面积为𝑆2，若𝑆△𝐴𝐵𝐶= 6，则𝑆1−𝑆2的值为_____________
▌题型10 与三角形角平分线有关的计算和证明
角平分线→得角的一半→结合其他条件计算
【典例10】已知：如图，𝐴𝐶⊥𝐵𝐷于𝐶，𝐸𝐹⊥𝐵𝐷于𝐹，∠𝐴= ∠1．
求证：𝐸𝐹平分∠𝐵𝐸𝐷．
【变式10-1】如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥BC，交AC 于点E．若∠AED=50°，则∠D 的度数为______．
【变式10-2】如图，直线𝐴𝐵//𝐶𝐷，一块含有30°角的直角三角尺顶点E 位于直线CD 上，EG 平分∠𝐶𝐸𝐹，则
∠1的度数为_________°．
【变式10-3】如图，𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶角平分线，𝐷𝐸∥𝐴𝐶，交𝐵𝐶于点E，点F 是𝐴𝐷上一点且∠4 = ∠3，那么𝐸𝐹
平分∠𝐷𝐸𝐵吗？
