文档文本内容
专题02 三角形的内角与外角
常考题型·精准突破
题型1 三角形内角和定理的证明（重）
题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重）
题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频）
题型4 与三角形折叠中的角度问题（难）
题型5 三角形内角和定理的应用（重）
题型6 三角形的外角的定义与性质（高频）
题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形内角和定理的证明
1．
【答案】(1)如图所示，直线MN 即为所求
(2)如图，在ABC
V
中，过点A 作直线MN
BC
∥
，
根据两直线平行，内错角相等，
得到
B
MAB
Ð =Ð
，
C
NAC
Ð
= Ð
，
根据平角定义，
180
MAB
BAC
NAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°．
因此，
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，即
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
2．
【答案】(1) AE
BC
∥
．
1
3
B
C
Ð
= Ð
Ð
= Ð
、
，ABC
V
内角和为180°．
(2)选择图2，证明过程如下：
∵AE
BC
∥
，
∴
B
DAE
Ð
= Ð
，
C
EAC
Ð
= Ð
，
又∵
180
BAC
DAE
EAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
BAC
B
C
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
即ABC
V
内角和为180°；
选择图3，证明过程如下：
∵DE
BC
∥
，
∴
1
B
Ð
= Ð ，
3
Ð
= Ð
C
，
又∵
1
2
3
180
Ð + Ð + Ð =
°，
∴
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
即ABC
V
内角和为180°；
(3)证明：过点P 作PD
BC
∥
交AC 于点D ，过点P 作PE
AC
∥
交BC 于点E ，
∵PE
AC
∥
，
∴
1
A
Ð
= Ð ，
3
C
Ð = Ð
，
∵PD
BC
∥
，
∴
2
B
Ð = Ð
，
3
4
Ð = Ð ，
∴
4
C
Ð = Ð
∵
1
2
4
180°
Ð + Ð + Ð =
，
∴
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
即ABC
V
内角和为180°．
3．
【答案】(1)
C
Ð
；两直线平行，内错角相等；
B
Ð ；
C
Ð
（2）解：
EAB
ECD
AEC
Ð
+ Ð
= Ð
，
过点E 作EH
AB
P
，
∵
//
AB CD ，
∴EH
CD
∥
（平行于同一直线的两条直线平行），
∴
EAB
AEH
Ð
= Ð
，
ECD
HEC
Ð
= Ð
（两直线平行，内错角相等），
∴
EAB
ECD
AEH
CEH
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
（等量代换）
即
EAB
ECD
AEC
Ð
+ Ð
= Ð
；
（3）解：如图，作EN
AB
∥
，则
B
BEN
A E
Ð
= Ð
，
∵
70
ABE
Ð
=
° ，
∴
70
BEN
Ð
=
°，
∵
90
BEF
Ð
=
°，
∴
90
20
NEF
BEN
Ð
=
°- Ð
=
°，
作MF
CD
∥
，则
180
MFD
D
Ð
+ Ð
=
°，
∵AB CD
P
，EN
AB
∥
，MF
CD
∥
，
∴EN
MF
∥
，
∴
20
EFM
NEF
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
20
110
DFE
Ð
=
°+
° =
° ．
◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题
4．57
5． 30
2
a
6．
【答案】
【详解】（1）解：
BF
Q
平分
ABD
Ð
，
1
ABF
\Ð
= Ð ．
1
3
Ð = Ð
Q
，
3
ABF
\Ð
= Ð ，
AB
CD
\
∥
：
（2）解：
DE
Q
平分
BDC
Ð
，
2
25
Ð =
° ，
2 2
50
BDF
\Ð
= Ð =
° ，
1
3
180 , 1
3
BDF
Ð
+ Ð + Ð =
° Ð = Ð
Q
，
1
3
180
65
2
BDF
\Ð =
°- Ð
=
°；
（3）证明：由
1 得AB
CD
∥
，
180
ABD
BDC
\Ð
+ Ð
=
°
1
1
90
2
2
ABD
BDC
\
Ð
+
Ð
=
° ，
BF
Q
平分
ABD DE
Ð
,
平分
BDC
Ð
，
1
2
90
\Ð + Ð =
°，
90
BED
\Ð
=
°，
DE
BF
\
^
．
◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题
7．40
8．70°/70 度
9．40°/40 度
◆题型4 与三角形折叠中的角度问题
10．109°
11．75°或25°或115°
12．
【答案】
【详解】（1）解：
35
60
B
C
Ð
=
°
Ð
=
°
Q
，
，
180
180
35
60
85
A
B
C
\Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
° ．
（2）解：
70
A
Ð
=
°
Q
，
180
70
110
ADE
AED
\Ð
+ Ð
=
°-
° =
°．
由题意，得
NDE
ADE
NED
AED
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
1
2
180
180
360
2 110
140
NDE
ADE
NED
AED
\Ð + Ð =
°- Ð
+ Ð
+
°- Ð
+ Ð
=
°- ´
° =
° ．
◆题型5 三角形内角和定理的应用
13．100
14．9.8°
15．
【答案】
【详解】（1）解：①∵NO
PQ
^
，
∴
90
NOP
NOQ
Ð
= Ð
=
°，
∵
i
r
Ð = Ð ，
1
2
90
i
r
Ð + Ð = Ð + Ð =
°
∴
1
2
Ð = Ð （等角的余角相等），
故答案为：等角的余角相等；
②证明：∵AB
CD
∥
，
2
3
\Ð = Ð ，
1
2
Ð = Ð
Q
，
3=
4
Ð
Ð
，
1
2
3
4
\Ð = Ð = Ð = Ð ，
180
1
2
180
3
4
\
° - Ð - Ð =
° - Ð - Ð ，即
5
6
Ð = Ð ，
∴m
n
∥．
（2）解：由题意得，1
2
48
Ð = Ð =
° ，
3=
4
Ð
Ð
，
5
180
1
2
84
\Ð =
° - Ð - Ð =
° ，
∵m
n
∥，
6
180
5
96
\Ð =
° - Ð =
° ，
1
3
4
180
6
42
2
\Ð = Ð =
´
° - Ð
=
°，
180
2
3
180
48
42
90
ABC
\Ð
=
°- Ð - Ð =
°-
°-
° =
° ，
故答案为：96，90．
（3）解：当
90
ABC
Ð
=
°时，可以使任何入射光线m 经过平面镜AB 、CD 的两次反射后，与反射光线n 平
行，理由如下：
由题意可知，
1
2
Ð = Ð ，
3=
4
Ð
Ð
，
∵m
n
∥，
5
6
180
\Ð + Ð =
° ，
1
5
2
3
6
4
360
Ð + Ð + Ð + Ð + Ð + Ð =
°
Q
，
∴
1
2
3
4
180
Ð + Ð + Ð + Ð =
° ，
2 2
2 3
180
\ Ð + Ð =
°，即
2
3
90
+
=
°
∠
∠
，
180
2
3
90
ABC
\Ð
=
° - Ð + Ð
=
° ，
故答案为：90．
◆题型6 三角形的外角的定义与性质
16．60°/60 度
17．70°/70 度
18．
180
1
n
n
a
°
-
-
◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题
19．
【答案】（1）∵
1
2
Ð = Ð ，
∴
3
4
2 2
Ð = Ð = Ð ，
∵
2
4
180
BAC
Ð + Ð + Ð
=
°，
∴3 2
75
180
Ð +
° =
° ，
∴
2
35
Ð =
°，
∴
1
35
Ð =
° ．
∴
1
75
35
40
DAC
BAC
Ð
= Ð
- Ð =
°-
° =
°；
（2）∵
1
2
Ð = Ð ，
∴AD
BD
=
，
∵BC
a
=
，DC
b
=
，
∴BD
AD
a
b
=
=
- ，
∵
3
4
Ð = Ð ，
∴AC
AD
a
b
=
=
-
，
∴
ADC
△
的周长为：
2
a
b
a
b
b
a
b
-
+
-
+
=
-
．
20．
【答案】（1）解：
60
O
Ð
=
°
Q
，
120
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
° ，
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，
1
2
BAC
OAC
BAO
\Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
ABC
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
60
2
ABC
BAC
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
60
ACG
ABC
BAC
\Ð
= Ð
+ Ð
=
° ．
（2）
72
O
°
Ð
=
Q
，
108
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
° ，
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，
1
2
BAC
OAC
BAO
\Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
ABC
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
54
2
ABC
BAC
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
54
ACG
ABC
BAC
\Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
CF
OA
∥
Q
，
ACF
CAG
\Ð
=Ð
，
54
BGO
ACF
BGO
CAG
ACG
\Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
=
° ，
故
BGO
Ð
与
ACF
Ð
的数量关系为
54
BGO
ACF
Ð
- Ð
=
°．
21．
【答案】（1）解：∵
1
BA 平分
1
ABC
CA
Ð
，
平分
ACD
Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
A BC
ABC
ACD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
1
1
1
A
ACD
A BC
Ð
= Ð
- Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
A
ACD
ABC
ACD
ABC
Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
70
BAC
Ð
=
°，
∴
70
ACD
ABC
BAC
Ð
- Ð
= Ð
=
° ，
∴
1
1
70
35
2
A
Ð
=
´
° =
°，
故答案为：35°；
（2）解：∵BF 平分
ABC
CF
Ð
，
平分
DCE
Ð
，
∴
1
1
2
2
FBC
ABC
FCE
DCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∴
1
2
F
FCE
FBC
DCE
ABC
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
230
A
D
Ð + Ð
=
°，
∴
360
130
ABC
BCD
A
D
Ð
+ Ð
=
°- Ð + Ð
=
°，
∴
180
130
ABC
DCE
Ð
+
°- Ð
=
° ，
∴
50
DCE
ABC
Ð
- Ð
=
° ，
∴
1
25
2
F
DCE
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
=
°；
（3）解：正确的结论是①，理由如下：
同（1）可得
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∵EQ 平分
AEC
CQ
Ð
，
平分
ACE
Ð
，
∴
1
1
2
2
QEC
AEC
QCE
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
180
Q
QEC
QCE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
AEC
ACE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
∵
BAC
AEC
ACE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
BAC
Ð
=
° -
Ð
，
∵
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
180
2
2
Q
A
BAC
BAC
Ð
+ Ð
=
° -
Ð
+
Ð
=
°，
∴
1
Q
A
Ð
+ Ð
的值为定值，①正确，其值是180°．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．D
3．D
4．C
5．D
二、填空题
6．45
7．20°
8．110°或70°或10°
9．15°或30°或75°或90°
10． 50
48
三、解答题
11．
【答案】（1）解：能证明“三角形内角和是180°”的方法是①②③；
（2）解：①∵EF
AB
∥
，
∴
ECA
A
Ð
= Ð ，
FCB
B
Ð
= Ð ，
∵
180
ECA
ACB
FCB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
A
B
ACB
Ð + Ð + Ð
=
°，
故①能证明“三角形内角和是180°”；
②∵CE
AB
∥
，
∴
FCE
A
Ð
= Ð ，
ECB
B
Ð
= Ð ，
∵
180
FCE
ECB
ACB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
A
B
ACB
Ð + Ð + Ð
=
°，
故②能证明“三角形内角和是180°”；
③∵DE
BC
∥
，DF
AC
∥
，
∴
ADE
B
Ð
= Ð ，
BDF
A
Ð
= Ð ，
C
AED
Ð
= Ð
，
AED
EDF
Ð
= Ð
，
∴
C
EDF
Ð
= Ð
，
∵
180
ADE
EDF
BDF
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
故③能证明“三角形内角和是180°”；
④∵CD
AB
^
，
∴
90
CDB
CDA
Ð
= Ð
=
°，
故④不能证明“三角形内角和是180°”．
12．
【答案】（1）解：过点F 作FH
ED
∥
，交AC 于H，
∵
100
B
BFG
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
100
80
BGF
Ð
=
°-
° =
° ，
,
,
FH
ED ED
BC
Q
P
P
∴FH
BC
P
，
∴
80
GFH
BGF
Ð
= Ð
=
° ，
∵FG
FD
^
，
∴
90
DFG
Ð
=
°，
∴
10
DFH
DFG
GFH
Ð
= Ð
- Ð
=
°，
∵FH
ED
∥
，
∴
10
EDF
DFH
Ð
= Ð
=
° ；
（2）解：①情况1：当点G 在线段BC 上时，结论：
90
BGF
EDF
Ð
- Ð
=
° ．
理由：设DE 交FG 于J，
∵DE
BC
∥
，
∴
BGF
FJE
Ð
= Ð
，
∵
FJE
DFJ
EDF
Ð
= Ð
+ Ð
，
90
DFG
DFJ
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
BGF
EDF
Ð
- Ð
=
° ．
情况2：当点G 在CB 的延长线上时，
90
BGF
EDF
Ð
+ Ð
=
° ，
延长DE 交GF 于K，
∵DE
BC
∥
，
∴
BGF
DKF
Ð
= Ð
，
∵
90
DFK
DFG
Ð
= Ð
=
°，
KDF
EDF
Ð
= Ð
，
∴
90
DKF
KDF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
BGF
EDF
Ð
+ Ð
=
° ；
②情况1：点G 在线段BC 上时，作PR
BC
∥
，
∵DE
BC
∥
，
∴PR
DE
P
，
∵
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，
∴
1
2
DPR
EDP
EDF
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
RPG
BGP
BGF
Ð
= Ð
=
Ð
，
∴
1
45
2
DPG
RPG
DPR
BGF
EDF
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
° ；
情况2：当点G 在CB 的延长线上时，延长FD ，BC 交于点Q，
∵DE
BC
∥
，
∴
EDF
Q
Ð
= Ð
，
PKD
CGP
Ð
= Ð
，
在Rt
GFQ
△
中，
90
DFG
FGB
Q
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∵
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，
∴
1
2
EDP
EDF
Ð
=
Ð
，
1
2
BGP
BGF
Ð
=
Ð
，
∴
1
45
2
EDP
BGP
EDF
BGF
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
PKD
V
中，
180
180
45
135
DPG
PKD
KDP
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
°．
综上，
DPG
Ð
的度数为45°或135°．
13．
【答案】(1)解：CD平分
ACE
Ð
，理由如下：
∵
ACE
Ð
是ABC
V
的一个外角，
∴
ACE
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð ，
∵
DCE
Ð
是BCD
V
的一个外角，
∴
DCE
CBD
D
Ð
= Ð
+ Ð
，
∵BD 为
ABC
Ð
的平分线，
∴
1
2
CBD
ABC
Ð
=
Ð
，
∵
2
A
D
Ð
= Ð
，即
1
2
D
A
Ð
=
Ð ，
∴
1
1
2
2
DCE
ABC
A
Ð
=
Ð
+
Ð
∴
1
2
DCE
ACE
Ð
=
Ð
，
∴CD平分
ACE
Ð
（2）解：由（1）可知，CD平分
ACE
Ð
，即
1
2
ACD
ACE
Ð
=
Ð
，
∵CO 平分
ACB
Ð
，即
1
2
ACO
ACB
Ð
=
Ð
，
又∵
180
ACE
ACB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
1
1 180
90
2
2
ACO
ACD
ACE
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
°，
在OCD
V
中，
48
D
Ð
=
°，
∴
90
90
48
42
DOC
D
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ．
14．
【答案】（1）解：Q
62
A
Ð
=
° ，
\
180
180
62
118
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
° - Ð
=
° -
° =
°，
Q
ABC
Ð
与
ACB
Ð
的平分线交于点P ，
\
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
\
1
1 118
59
2
2
PBC
PCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
° ，
\
180
180
59
121
BPC
PBC
PCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
° ；
（2）解：Q
58
A
Ð
=
°，
\
ABD
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
，即
58
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
°，
Q
ACB
Ð
的平分线与
ABD
Ð
的平分线交于点E ，
\
1
2
ECB
ACB
Ð
=
Ð
，
1
2
EBD
ABD
Ð
=
Ð
，
\
1
1
1
29
2
2
2
EBD
ECB
ABD
ACB
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
=
° ，
\
29
BEC
EBD
ECB
Ð
= Ð
- Ð
=
°；
（3）解：Q
CBM
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
，
BCN
A
ABC
Ð
= Ð + Ð
，
A
a
Ð
=
，
\
180
CBM
BCN
A
ACB
A
ABC
a
Ð
+ Ð
= Ð + Ð
+ Ð + Ð
=
°+
，
Q
CBM
Ð
、
BCN
Ð
的平分线交于点Q ，
\
1
2
CBQ
CBM
Ð
=
Ð
，
1
2
BCQ
BCN
Ð
=
Ð
，
\
1
180
180
2
BQC
CBQ
BCQ
CBM
BCN
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
1
1
180
180
90
2
2
a
a
=
°-
°+
=
°-
．
15．
【答案】（1）解：
AB
OM
^
Q
，
90
OAB
\Ð
=
°，
90
30
ABO
MON
\Ð
=
- Ð
=
°
° ，
∴ABO
V
的三个内角度数为90 ,60 ,30
°
°
°
不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4 倍，
\
AOB
V
不是“和谐三角形”；
(2)
ACB
Ð
Q
是AOC
V
的一个外角，
ACB
O
OAC
\Ð
= Ð
+ Ð
，
又
60
O
Ð
=
°，
84
ACB
Ð
=
°
24
OAC
\Ð
=
° ，
∵
180
84
96
ACO
Ð
=
°-
° =
°，
4
ACO
OAC
\Ð
= Ð
，
\
AOC
V
是“和谐三角形”；
（3）解：
180
EFC
BDC
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
ADC
BDC
Ð
+ Ð
=
°，
EFC
ADC
\Ð
= Ð
，
AD
EF
\
∥
，
DEF
ADE
Ð
= Ð
∴
，
而
DEF
B
Ð
= Ð
，
B
ADE
\Ð
= Ð
，
\ DE
BC
∥
，
CDE
BCD
\Ð
= Ð
，
DE
Q
平分
ADC
Ð
，
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
B
BCD
\Ð
= Ð
，
Q
BCD
V
是“和谐三角形”，
4
BDC
B
\Ð
= Ð 或
4
B
BDC
Ð
=
Ð
，
180
BDC
BCD
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Q
∴4
180
B
B
B
Ð + Ð + Ð
=
° 或1
180
4
B
B
B
Ð + Ð + Ð
=
°
30
B
\Ð
=
°或
80
B
Ð
=
°．
16．
【答案】(1)
1
2
Ð = Ð ，理由如下：
∵KO
l
^ ，
∴
1
3
2
4
90
Ð + Ð = Ð + Ð =
°，
∵
3
4
Ð = Ð ，
∴
1
2
Ð = Ð ．
(2) BD
AC
P
，理由如下：
由（1）的结论可知，
QCA
DCB
Ð
= Ð
，
ABC
MBD
Ð
= Ð
，
∵MN
PQ
P
，
∴
DCB
ABC
Ð
= Ð
，
MBD
BDC
Ð
= Ð
，
∴
QCA
DCB
ABC
MBD
BDC
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，
∴BD
AC
P
．
（3）解：如图，延长AE 交MN 于点H ，
由题意可知，PQ
MN
∥
，
∴∠
∠
30
AHC
EAF
=
=
° ，
∵
20
DCM
Ð
=
°，
∴∠
180
∠
∠
130
CEH
AHC
DCM
=
° -
-
=
°，
∴∠
180
∠
50
AEC
CEH
=
° -
=
°，
由光的反射原理可得，∠
∠
50
AEC
DEF
=
=
° ，
∴∠
180
∠
∠
80
AEF
AEC
DEF
=
° -
-
=
° ，
∴∠
180
∠
∠
70
AFE
AEF
EAF
=
° -
-
=
°．
