文档内容
专题 02 三角形的内角和与外角
考点一 三角形内角和定理的证明 考点二 与平行线有关的三角的内角和问题
考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题 考点四 三角形折叠中的角度问题
考点五 三角形内角和定理的应用 考点六 三角形外角的定义和性质
考点一 三角形内角和定理的证明
例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝
45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级专题练习）在小学，我们曾经通过动手操作，利用拼图的方法研究了三角形三个内
角的数量关系．如图，把三角形ABC分成三部分，然后以某一顶点（如点B）为集中点，把三个角拼在一
起，观察发现恰好构成了平角，从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论．但是，通过本学期的
学习我们知道：由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性．
小聪认真研究了拼图的操作方法，形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路：
①画出命题对应的几何图形；
②写出已知，求证；
③受拼接方法的启发画出辅助线；
④写出证明过程．
请你参考小聪解决问题的思路，写出证明该命题的完整过程．2．（2022·北京·中考真题）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成
证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图， ,
求证：
方法一
方法二
证明：如图，过点A作
证明：如图，过点C作
考点二 与平行线有关的三角的内角和问题
例题：（2022·山东泰安·一模）如图，AB CD， 分别与 ， 交于点 ， ．若 ，
，则 ______．【变式训练】
1．（2022·江西南昌·模拟预测）如图，直线 ， 被直线 ， 所截．若 // ， ，
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，直线 ，直线c与直线a，b分别相交于点A、点B，
AM⊥b，垂足为点M，若∠1＝56°，则∠2＝______．
考点三 与角平分线有关的三角的内角和问题
例题：（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点
P，若∠P=125°，则∠A=_____°【变式训练】
1.（2022·福建省福州屏东中学七年级期末）如图，在 中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若 ， ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校七年级期中）如图， 中， 于点D，E为AC上
任意一点，连接BE交AD于点F．
(1)若 ，求证：BE平分 ．
(2)如图2，在（1）的条件下，若 ，请直接写出图中所有直角三角形．
考点四 三角形折叠中的角度问题
例题：（2022·河南·南阳市第三中学七年级阶段练习）如图，在三角形纸片 中， ， ，
将纸片的一角折叠，使点 落在 外的点 处．若 ，则 的度数为（ ）A．115° B．100° C．105° D．95°
【变式训练】
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和
EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
2．（2022·江苏·南京市第十三中学七年级期中）如图 1， ABC 中，D 是 AC 边上的点，先将 ABD 沿
看 BD 翻折，使点 A 落在点A＇处，且 A′D∥BC，A′B△ 交 AC 于点 E（如图 2），又将 BCE 沿着
A′B 翻折，使点 C 落在点 C′处，若点C′恰好落在 BD 上（如图 3），且∠C′EB=75°，则∠△C= ___°
考点五 三角形内角和定理的应用
例题：（2022·河南南阳·二模）小明把一副三角板按如图所示方式摆放，直角边CD与直角边AB相交于点
F，斜边 ，∠B＝30°，∠E＝45°，则∠CFB的度数是（ ）
A．95° B．115° C．105° D．125°
【变式训练】
1．（2022·福建省福州第十六中学七年级期中）如图，直线 ，点A在直线 与 之间，点B在直线 上，连接 ． 的平分线 交 于点C，连接 ，过点A作 交 于点D，
作 交 于点F， 平分 交 于点E，若 ， ，则 的
度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（江西省吉安市六校联谊联考2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）如图，在 中，点
D在边BC上，点G在边AB上，点E、F在边AC上， ，
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ，求 的度数．
考点六 三角形外角的定义和性质
例题：（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，已知 ，一条光线从点 出发后射向 边．若
光线与 边垂直，则光线沿原路返回到点 ，此时 ．当 时，光线射到 边
上的点 后，经 反射到线段 上的点 ，易知 若 ，光线又会沿 原路
返回到点 ，此时 ______ °．若光线从 点出发后，经若干次反射能沿原路返回到点 ，则锐角的最小值 ______ °．
【变式训练】
1．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）如图，∠BCD＝145°，则∠A+∠B+∠D的度数为_____．
2．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处七年级期中）平面内的两条直线有相交和平行两种
位置关系．
(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B＝55°，∠D＝40°，则∠BPD＝ °；
(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为
；
(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为 ；
(4)如图4，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 °．一、选择题
1．（2022·辽宁·沈阳市第七中学七年级阶段练习）在 ABC中， ，则 ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角△三角形 D．形状无法确△定
2．（2022·福建·漳州实验中学七年级阶段练习）如图，BC⊥AE于点C，CD AB，∠DCB=40°，则∠A的
度数是（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
3．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝
（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将 沿着平行于 的直线 折叠，点 落在点 处，若
，则 的度数是（ ）
A．108° B．104° C．96° D．92°
5．（2022·山西实验中学七年级期中）两束与地面平行的光线AB，CD经镜面a，b反射之后交于点G，镜面a，b与地面的夹角分别为∠1，∠2，已知∠1=25°，∠2=40°（由光的反射性质可知入射光线与镜面的夹
角等于反射光线与镜面的夹角），则两条反射光线的夹角（∠DGH）的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知∠ABE＝130°，∠C＝70°，则∠A=________；
7．（2021·上海市民办华育中学七年级期末）如图， 与 是 的两个外角， 平分
交 的平分线于点 .若 ，则 ________．
8．（2022·江苏泰州·二模）已知直线a b，把一块含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置，若∠1＝
23°，则∠2＝_________°．
9．（2022·重庆南开中学七年级期中）折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图所示，南南在课余时间拿出一张长方形纸片
ABCD（∠A=∠B=∠C=90°），他先将纸片沿EF折叠，再将折叠后的纸片沿GH折叠，使得GD′与A′B′重合，
展开纸片后测量发现∠BFE=60°，则∠DGH=_________°．
10．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形
BCDE的外部点 的位置，且点 与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知 ， ，若
的一边与BC平行，且 ，则m=______．
三、解答题
11．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， 平分 交
于点 ，交 的延长线于点 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ，求 的大小．
12．（2022·江苏·如皋市实验初中七年级期末）如图，已知∠1＝∠BDE，∠2＋∠3＝180°(1)证明：AD EF．
(2)若DA平分∠BDE，FE⊥AF于点F，∠1＝40°，求∠BAC的度数．
13．（2022·四川·成都七中七年级期中）如图，在 中， 平分 ，点 在 上，点 在 的
延长线上， 交 于点 ，且 ．
(1) 与 平行吗？为什么？
(2)如果 ，请用含 的代数式表示 的度数．
14．（2022·辽宁·阜新实验中学七年级期中）综合与探究：如图，已知AM∥BN，∠A＝60°，点P是射线
AM上一动点（与点A不重合）．BC，BD别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．
(1)求∠ABN、∠CBD的度数；
(2)当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．
(3)当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，直接写出∠ABC的度数．
15．（2022·湖南娄底·七年级期末）
(1)（问题） 如图1，若AB CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请
说明理由；
(3)（问题拓展）如图3所示，在⑵的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA 的平分线和∠PFC 的平分线交于点
G，用含有α的式子表示∠G的度数．
16．（2022·河北·承德市民族中学七年级期末）（1）已知 中， ， 于 ， 平分
， ， ，求 的度数．（2）在图2中， ， ，其他条件不变，若把“ 于 改为 是 上一点，
于 ”，试用 、 表示 ________；
（3）在图3中，若把（2）中的“点 在 上”改为“点 是 延长线上一点”，其余条件不变，试用
、 表示 ________；
（4）在图4中，分别作出 和 的角平分线，交于点 ，如图4．试用 、 表示 ________．
