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必考点 02 与三角形有关的角
●题型一 利用三角形的外角的性质求角
【例题 1】（2022春•南岗区校级期末）如图，若∠A＝32°，∠B＝45°，∠C＝38°，则∠AFB等于
（ ）
A．120° B．115° C．110° D．105°
【例题2】（2022春•曲阳县期末）如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠B＞∠2 B．∠B＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B
【例题3】（2021春•沙坪坝区期中）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线
于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠BAC的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．【解题技巧提炼】
三角形的外角性质
1、三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
2、三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
3、若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
4、探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
●题型二 直角三角形的性质与判定的运用
【例题4】（2022春•偃师市期末）在△ABC中，若∠A+∠B＝∠C，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形【例题5】（2021秋•焦作期末）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【例题6】（2021秋•吐鲁番市期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，AD与CE
相交于点P，∠BAC＝66°，∠BCE＝40°，求∠ADC和∠APC的度数．
【解题技巧提炼】
★直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与
符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ．
★直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.
★直角三角形的判定：方法一：有一个角为90°的三角形是直角三角形.
方法二：两个锐角互余的三角形是直角三角形.
●题型三 三角形内角和定理的运用
【例题7】（2021秋•兰陵县期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数
是（ ）A．110° B．120° C．130° D．140°
【例题8】（2022春•泰安期中）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝
108°，则∠DAC的度数为（ ）
A．80° B．82° C．84° D．86°
【例题9】（2021秋•扶风县期末）如图，点A在MN上，点B在PQ上，连接AB，过点A作AC⊥AB交
PQ于点C，过点B作BD平分∠ABC交AC于点D，且∠NAC+∠ABC＝90°．
（1）求证：MN∥PQ；
（2）若∠ABC＝∠NAC+10°，求∠ADB的度数．
【解题技巧提炼】
★1、三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均
大于0°且小于180°．
★2、三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
★3、三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；
②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；
●题型四 三角形的角在实际问题中的应用
【例题10】（2021秋•白银期末）一个零件的形状如图所示，按规定∠A等于90°，∠B，∠D应分别是
20°和30°，聪明的李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么当∠BCD等于多少度时
这个零件是合格的？
【解题技巧提炼】
非三角形问题的求解思路：
当待研究的几何图形不是三角形时，常通过延长某一条边或连接两个顶点把非三角形问题转化为三角形
中的问题，再利用三角形的内角和或三角形外角的性质求解.
●题型五 三角形内角和定理、外角的性质和角平分线的综合运用
【例题11】（2022春•上海期末）直角三角形中两锐角平分线所交成的角的度数是（ ）
A．45° B．135° C．45°或135° D．都不对【例题12】（2021秋•信州区校级期中）如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的
直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．
（1）求∠DBE的度数．
（2）若∠A＝70°，求∠D的度数．
【例题13】（2021•商河县校级模拟）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD＝∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究
（1）中结论是否仍成立？为什么？【解题技巧提炼】
三角形的内（外）角平分线形成的角的规律：
规律1：三角形的两个内角的平分线形成的钝角等于90°加上第三个内角度数的一半；
规律2：三角形的两个外角的平分线形成的锐角等于90°减去与这两个外角不相邻的内角度数的一半．
规律2：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半．
●题型六 与三角形有关的探究题
【例题14】（2021春•青羊区校级期中）△ABC中，∠A＝90°．现进行第一次操作：如图1作射线BA ，
1
1 1
使得∠ABA
1
= ∠ABC，作射线CA
1
，使得∠ACA
1
= ∠ACD．再进行第二次操作：如图2作射线BA
2
，
2 2
1 1
使得∠A
1
BA
2
= ∠A
1
BC，作射线CA
2
，使得∠A
1
CA
2
= ∠A
1
CD．再进行第三次操作：如图 3作射线
3 3
1 1
BA
3
使得∠A
2
BA
3
= ∠A
2
BC，作射线CA
3
，使得∠A
2
CA
3
= ∠A
2
CD．则∠A
3
＝ ．
3 3
【例题15】（2021秋•正阳县期末）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的
图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： ；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．
（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
（直接写出结果，不必证明）．
【解题技巧提炼】
解决此类题要运用基本图形分析法，从复杂图形中分离出两个基本图形，利用“8字型”的结论得出两个
等量关系，从而运用等式的基本性质得出结论．
◆题型一 利用三角形的外角的性质求角
1．如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG∥CE，交AB于点
G，若∠1＝70°，∠2＝30°，则∠3＝（ ）
A．30° B．40° C．45° D．70°
2．（2022春•江阴市校级月考）如图，∠A＝40°，∠ABD＝38°，∠ACB＝80°，且CE平分∠ACB，求
∠BEC的度数．◆题型二 直角三角形的性质与判定的运用
3．（2021秋•滨城区期中）在△ABC中，有下列条件：
1
①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B= ∠C．其中能确定
2
△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，已知∠AON＝40°，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，∠A＝
°．
5．（2021•江西模拟）如图，已知D是线段BC的延长线上一点，∠ACD＝∠ACB，∠COD＝∠B，
求证：△AOE是直角三角形．◆题型三 三角形内角和定理的运用
6．（2022春•海南期末）若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：4，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
7．（2021秋•金塔县期末）在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（ ）
A．50° B．55° C．45° D．40°
8．（2020秋•定西期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点
D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
9．（2022春•宣化区期末）如图，△ABC中，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E，EF⊥CD于点G，
交BC于点F．
（1）判断∠ADE与∠EFC是否相等，并说明理由；
（2）若∠ACB＝72°，∠A＝60°，求∠DCB的度数．◆题型四 三角形的角在实际问题中的应用
10．（2022春•西华县期中）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东30°方向，C处在
B处的北偏东80°方向，求∠ACB的度数．
◆题型五 三角形内角和定理、外角的性质和角平分线的综合运用
11．（2021春•罗湖区校级期末）如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、
内角∠ABC、外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADC＝90°﹣∠ABD；④
1
BD平分∠ADC；⑤∠BDC= ∠BAC．其中正确的结论有（ ）
2
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2022春•曲阳县期末）如图，∠MON＝90°，点 A，B分别在射线 OM，ON上运动，BE平分
∠NBA，BE的反向延长线与∠BAO的平分线交于点C．（1）当A，B移动后，∠BAO＝45°时，则∠C＝ ；
（2）当A，B移动后，∠BAO＝60°时，则∠C＝ ；
（3）由（1）、（2）猜想∠C是否随A，B的移动而发生变化？并说明理由．
◆题型六 与三角形有关的探究题
13．已知△ABC中，∠A＝α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O ，则可计算得∠BO C＝90°
1 1
1
+ α；在图（2）中，设∠B、∠C 的两条三等分角线分别对应交于 O 、O ，则∠BO C＝
1 2 2
2
；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O 、O ，…，O ，如
1 2 n﹣1
图（3），则∠BO C＝ （用含n和α的代数式表示）．
n﹣11．（2021秋•伊通县期末）一个三角形三个内角之比为1：3：5，则最小的角的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
2．（2021秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到
D，连接DE．则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
3．（2022•灞桥区校级二模）三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是
．
4．如图，AD交BC于点O，∠BAD的角平分线与△OCD的外角∠OCE的角平分线交于点P，则∠P与
∠B、∠D的数量关系为（ ）180°+∠B+∠D 180°−∠B+∠D
A．∠P= B．∠P=
2 2
C．∠P＝90°+∠B+∠D D．∠P＝90°﹣∠B+∠D
5．（2021春•乳山市期末）如图，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE与CF交于点G．若∠BDC＝
140°，∠BGC＝100°，则∠A＝（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
6．（2022春•兰考县期末）已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则
∠BHC的度数是 ．
7．（2022春•长安区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于
点E，EF⊥AD于点F．
（1）求∠DAC的度数；
（2）求∠DEF的度数．8．（2021春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折
叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 （只填序号），并说明
理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．9．（2021秋•高青县期末）如图 1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，
CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝ ；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
10．（2022春•高邑县期末）如图所示，有一块直角三角板 DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角
三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
（1）若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °∠ABD+∠ACD＝ °．
（2）若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
（3）请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系 ．11．（2022•新乐市校级模拟）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的
度数．
12．（2021秋•东莞市校级期中）（1）如图1，求证∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的角平分线交于点P，若∠A+∠C＝50°，求∠P的度数；
（3）如图3，∠BAD和∠BCD的外角角平分线相交于点O，请探究∠O与∠B，∠D之间的数量关系，
并直接写出结论．
