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第九章 平面直角坐标系全章题型总结【5 个知识点 12 个题型】
【人教版2024】
【知识点1 平面直角坐标系有关概念】
1.平面直角坐标系的概念：
平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成平面直角坐标系。
①坐标轴：水平的数轴称为 横轴（ x 轴） ；竖直的数轴称为 纵轴（ y 轴） 。
②坐标原点：两条坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。
2.象限：
如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为第一象限；逆时针一次得到
第二象限、第三象限以及第四象限。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。【题型1 判断点所处的象限】
【例1】在平面直角坐标系中，若点A（m，n）在第四象限，则点B（﹣2﹣m，2﹣n）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先根据点A（m，n）在第四象限内得出m＞0，n＜0，据此可得点B所在象限．
【解答】解：∵点A（m，n）在第四象限，
∴m＞0，n＜0，
∴﹣2﹣m＜0，2﹣n＞0，
∴则点B（﹣2﹣m，2﹣n）所在的象限是第二象限，
故选：B．
【例2】不论m取何实数，点P（2﹣m，m+3）都不在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】分横坐标是正数和负数两种情况求出 m的值，再求出纵坐标的正负情况，然后根据各象限内
点的坐标特征解答．
【解答】解：①2﹣m＞0时，m＜2，
当m+3＞0时，﹣3＜m＜2，此时点P（2﹣m，m+3）在第一象限；
当m+3＜0时，m＜﹣3，此时点P（2﹣m，m+3）在第四象限；
②2﹣m＜0时，m＞2，m+3＞0，此时点P（2﹣m，m+3）在第二象限；
所以不论m取何实数，点P（2﹣m，m+3）都不在第三象限．
故选：C．
【变式1】若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（ ）象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出 a、b的取值范围，然后求解
即可．
【解答】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限，
∴a+1＜0，b﹣2＞0，
∴a＜﹣1，b＞2，
∴﹣a＞1，b+1＞3，
∴点B（﹣a，b+1）在第一象限．
故选：D．
【变式2】已知点P（a，b）在第一象限，则点Q（﹣a﹣b，−❑√a）的位置在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据第一象限点的坐标特点确定a，b的符号，进而确定﹣a﹣b，−❑√a的符号，即可求得．
【解答】解：∵点P（a，b）在第一象限，
∴a＞0，b＞0，
∴﹣a﹣b＜0，−❑√a＜0，
∴点Q(−a−b，−❑√a)在第三象限．
故选：C．
【变式3】在平面直角坐标系中，点P的坐标为（2m﹣3，m+1），则点P不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】当2m﹣3＞0时，可得m＞1.5，从而可得m+1＞0，然后根据平面直角坐标系中第四象限点的
坐标特征即可解答．
【解答】解：当2m﹣3＞0时，
解得：m＞1.5，
∴m+1＞0，
∴点P不可能在第四象限，
故选：D．
1 3
【变式4】已知：在平面直角坐标系xOy中，有一点P( a− ，2a−12)．
2 2
（1）小明说“点P不可能位于第二象限”，请判断这种说法是否正确，并说明理由；
（2）若点P位于第四象限，且横、纵坐标都是整数，求满足条件的整数a的值．
【分析】（1）先根据点P在第二象限，列出关于a的不等式组，解不等式组，然后进行判断即可；
（2）先根据点P在第四象限，列出关于a的不等式组，解不等式组，然后根据 a的值、点P的横、纵
坐标都是整数求出a即可．
【解答】解：（1）这种说法正确，理由如下：
{1
a−
3
＜0①)
当点P位于第二象限时， 2 2 ，
2a−12＞0②
由①得：a＜3，
由②得：a＞6，
∴原不等式组无解，
∴点P不可能位于第二象限；
（2）∵点P位于第四象限，{1
a−
3
＞0①)
∴ 2 2 ，
2a−12＜0②
由①得：a＞3，
由②得：a＜6，
∴3＜a＜6，
∵a为整数，
∴a＝4或5，
∵点P的横、纵坐标都是整数，
∴a＝5．
【知识点2 平面直角坐标系内点的坐标及其特征】
1.点的坐标：
横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的横坐标；
纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的纵坐标；
2.象限内的点的坐标特点：
第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均大于 0；可以表示为 （ + ， + ） 。
第二象限内的所有点的坐标，横坐标小于 0，纵坐标大于 0；可以表示为 （－， + ） 。
第三象限内的所有点的坐标，横坐标小于 0，纵坐标小于 0；可以表示为（－，－）。
第四象限内的所有点的坐标，横坐标大于 0，纵坐标小于 0；可以表示为 （ + ，－） 。
3.坐标轴上的点的坐标特点：
①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为 （ x ， 0 ） 。
②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为 （ 0 ， y ） 。
4.象限角平分线上的点的坐标特点：
①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。
②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。
5.平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。
6.平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点：
平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。
7.点到坐标轴的距离：
点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。
点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。【题型2 坐标轴上点的特征】
【例1】若点P（﹣3，a+2）在x轴上，则点Q（a﹣3，a+1）所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，求出a的值，进而求出Q点坐标，进行判断即可．
【解答】解：由题意，得：a+2＝0，
∴a＝﹣2，
∴Q（﹣5，﹣1），
∴点Q在第三象限，
故选：C．
【变式1】若点A（n﹣2023，2024）在y轴上，则点B（n﹣2024，n+1）在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
【分析】根据y轴上点的横坐标等于0列出关于n的方程求解，再根据象限内点的坐标特征即可得解．
【解答】解：∵点A（n﹣2023，2024）在y轴上，
∴n﹣2023＝0，
∴n＝2023，
∴n﹣2024＝2023﹣2024＝﹣1＜0，n+1＝2023+1＝2024＞0，
∴点B（n﹣2024，n+1）在第二象限．
故选：C．
【变式2】若点P（3m+1，2﹣m）在坐标轴上，则m的值是 ．
【分析】x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．分两种情况求解即可．
【解答】解：分两种情况讨论：
当点P（3m+1，2﹣m）在x轴上时，得：2﹣m＝0，
解得：m＝2；
当点P（3m+1，2﹣m）在y轴上时，得：3m+1＝0，
1
解得：m=− ，
3
1
综上所述，m的值是2或− ，
3
1
故答案为：2或− ．
3
【变式3】已知点A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+3，4）在y轴上，则m+n＝ ．
【分析】直接利用坐标轴上点的坐标特点得出m，n的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣3，2m﹣4）在x轴上，点B（n+3，4）在y轴上，
∴2m﹣4＝0，n+3＝0，
解得：m＝2，n＝﹣3，
∴m+n＝2﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【题型3 点到坐标轴的距离】
【例1】已知点Q的坐标为（﹣2+a，2a﹣7），且点Q到两坐标轴的距离相等，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，3） B．（3，﹣3）
C．（3，3）或（1，﹣1） D．（1，﹣1）或（3，﹣3）
【分析】根据点Q到坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求出a的值，再解答即可．
【解答】解：∵点Q（﹣2+a，2a﹣7）到两坐标轴的距离相等，
∴|﹣2+a|＝|2a﹣7|，
∴﹣2+a＝2a﹣7或﹣2+a＝﹣（2a﹣7），
解得a＝5或a＝3，
所以点Q的坐标为（3，3）或（1，﹣1）．
故选：C．
【变式1】在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点（10﹣a，a﹣4）到x轴的距离等于到y轴距离的一
半，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据题意可知2（a﹣4）＝10﹣a，求出a的值即可．
【解答】解：∵第一象限内的点（10﹣a，a﹣4）到x轴的距离等于到y轴距离的一半，
∴2（a﹣4）＝10﹣a，
∴a＝6．
故选：B．
【变式2】已知点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限，且到坐标轴的距离和为4，则点P的坐标为 ．
【分析】根据点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4列方程求解即可．
【解答】解：∵点P（3x﹣1，4﹣2x）在第一象限内，且到两坐标轴的距离之和为4，
∴3x﹣1+4﹣2x＝4，
解得x＝1．
故点P的坐标为（2，2）．
故答案为：（2，2）．【变式3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（2﹣a，2a），把点A到x轴的距离记作m，到y轴的
距离记作n．
（1）若a＝5，求mn的值；
（2）若a＞2，m+n＝7，求点A的坐标．
【分析】（1）把a＝5代入式子中进行计算，然后根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴
的距离等于横坐标的绝对值，即可解答；
（2）根据点A到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，然后再根据绝
对值的意义进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）当a＝5时，2﹣a＝﹣3，2a＝10，
∴点P的坐标为（﹣3，10），
∴m＝10，n＝3，
∴mn＝10×3＝30；
（2）∵a＞2，
∴m＝|2a|＝2a，n＝|2﹣a|＝a﹣2，
∵m+n＝7，
∴2a+a﹣2＝7，
解得：a＝3，
∴点P的坐标为（﹣1，6）．
【题型4 点到坐标轴的距离】
【例 1】在平面直角坐标系中，点 P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，则 m 的值为
（ ）
3 2 2
A．4 B． C．− D．4或−
2 5 5
【分析】直接利用在第一、三象限的角平分线上，横纵坐标相等进而得出答案．
【解答】解：∵点P（2m+3，3m﹣1）在第一、三象限的角平分线上，
∴2m+3＝3m﹣1，
解得：m＝4．
故选：A．
【变式1】在平面直角坐标系中，点P（2m+3，3m﹣1）在第二、四象限的角平分线上，则P点的坐标为
．
【分析】根据第二、四象限的角平分线上的点的横坐标，纵坐标互为相反数求解即可．【解答】解：∵点P（2m+3，3m﹣1）在第二、四象限的角平分线上，
∴2m+3＝﹣（3m﹣1），
2
解得：m=− ．
5
2 11 2 11
则2m+3＝2×（− ）+3= ，3m﹣1＝3×（− ）﹣1=− ．
5 5 5 5
11 11
∴P点的坐标为（ ，− ）．
5 5
11 11
故答案为：（ ，− ）．
5 5
【变式2】在平面直角坐标系中，点P（m，3）在第一象限的角平分线上，点Q（2，n）在第四象限角平
分线上，则m+n的值为 ．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等以及第一象限内点的横坐标与纵坐标都是正数求出
m，第四象限内点的纵坐标是负数求出n，然后相加计算即可得解．
【解答】解：∵点P（m，3）在第一象限的角平分线上，
∴m＝3，
∵点Q（2，n）在第四象限角平分线上，
∴n＝﹣2，
∴m+n＝3+（﹣2）＝1．
故答案为：1．
【变式3】在平面直角坐标系xOy中，有一点P（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝
0，b+2m﹣8＝0．
（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为 ；
（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；
（3）当a＜b时，则m的取值范围是 ．
【分析】（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b+2m﹣8＝0中即可求出b的值，
再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；
（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m
的方程求出m的值，最后求出a、b值．
（3）把a、b用m表示出来，代入a＜b，则m的取值范围可求．
【解答】解：（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．
把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），所以点P到x轴的距离为6．
故答案为6．
（2）当点P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．
由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝
2．
把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．
（3）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．
故答案为m＜2．
【题型5 平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征】
【例1】在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为（2﹣m，5），点Q的坐标为（8，2﹣3m），且PQ∥x
轴，则PQ＝ ．
【分析】根据平行于x轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：因为点P的坐标为（2﹣m，5），点Q的坐标为（8，2﹣3m），且PQ∥x轴，
所以2﹣3m＝5，
解得m＝﹣1，
所以2﹣m＝2﹣（﹣1）＝3，
则点P的坐标为（3，5），点Q的坐标为（8，5），
所以PQ＝8﹣3＝5．
故答案为：5．
【变式1】在平面直角坐标系中，有点A（a﹣2，a），过点A作AB⊥x轴，交x轴于点B，且AB＝2，则
点A的坐标是 ．
【分析】由点A（a﹣2，a），及AB⊥x轴且AB＝2，可得点A的纵坐标的绝对值，从而可得a的值，
再求得a﹣2的值即可得出答案．
【解答】解：∵点A（a﹣2，a），AB⊥x轴，AB＝2，
∴|a|＝2，
∴a＝±2，
∴当a＝2时，a﹣2＝0；当a＝﹣2时，a﹣2＝﹣4．
∴点A的坐标是（0，2）、（﹣4，﹣2）．
故答案为：（0，2）、（﹣4，﹣2）．
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，1），B（2，3﹣b），C（4，5）．若AB∥x轴，
AC∥y轴，则a+b＝ ．【分析】根据点A（a，1），B（2，3﹣b），C（4，5）．AB∥x轴，AC∥y轴，可知点A和点B的纵
坐标相等，点A的点C的横坐标相等，从而可以得到a、b的值，再计算a+b的值即可．
【解答】解：∵点A（a，1），B（2，3﹣b），C（4，5）．AB∥x轴，AC∥y轴，
∴3﹣b＝1，a＝4，
∴b＝2，
∴a+b＝4+2＝6，
故答案为：6．
【变式3】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（2，﹣1），经过点A的直线a∥y轴，点C是直线a
上的一个动点，当线段BC的长度最短时，点C的坐标为 ．
【分析】根据点到直线，垂线段最短，得到BC⊥a时，线段BC的长度最短，结合平行于坐标轴的直线
上的点的特征，求解即可．
【解答】解：∵经过点A的直线a∥y轴，
∴直线a上的点的横坐标为﹣2，
∵点C是直线a上的一个动点，且当BC⊥a时，线段BC的长度最短，
∴直线BC∥x轴，
∴直线BC上的点的纵坐标均为﹣1，
∴点C的坐标为（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【变式4】在平面直角坐标系中，点A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1），C（﹣2，3），若CD∥AB且
1
CD= AB，则点D的坐标为 ．
2
【分析】根据A、B的点的坐标特征可知AB∥x轴，AB＝m+4﹣m＝4，再根据已知条件知CD∥x轴，
1
CD= ×4=2，从而求出点D的横纵坐标．
2
【解答】解：∵A（m，n﹣1），B（m+4，n﹣1），
∴AB∥x轴，AB＝m+4﹣m＝4，
1
∵CD∥AB且CD= AB，
2
1
∴CD∥x轴，CD= ×4=2，
2
∵C（﹣2，3），∴点D的纵坐标为3，
横坐标为﹣2+2＝0或﹣2﹣2＝﹣4，
∴D（0，3）或（﹣4，3）
故答案为：（0，3）或（﹣4，3）．
【知识点3 利用坐标表示位置】
1.建立平面直角坐标系表示地理位置：
第一步：建立坐标系，选择合适的参照点作为原点，确定x轴与y轴的正方形。
第二步：根据具体问题确定 单位长度 。
第三步：在平面直角坐标系内画出待表示的点，写出各点的坐标与名称。
2.用“表示方向的角+距离”表示平面内物体的位置：
以一点为参照点，用 某个方向 加上与该参照点的 距离 来确定一点的位置。
【题型6 利用坐标确定位置】
【例1】如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐
标系中，叶片“顶部”A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），则叶杆“底部”点C的坐标为
（ ）
A．（﹣2，4） B．（4，﹣2） C．（3，0） D．（﹣1，3）
【分析】根据A，B两点的坐标分别为（0，3），（﹣1，1），可以判断原点的位置，然后确定 C点坐
标即可．
【解答】解：如图所示，∴C（4，﹣2），
故选：B．
【变式1】中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面
直角坐标系，若“馬”的坐标为（1，2），“車”的坐标为（﹣2，2），则“炮”的坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，2） C．（3，1） D．（4，0）
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：建立平面直角坐标系．
“炮”的坐标为（3，1）．
故选：C．
【变式2】如图，货船B与港口A相距35海里，货船B相对港口A的位置用有序数对（南偏西40°，35海
里）来描述，那么港口A相对货船B的位置可描述为（ ）A．（南偏西50°，35海里） B．（北偏西40°，35海里）
C．（北偏东50°，35海里） D．（北偏东40°，35海里）
【分析】以点B为中心点，来描述点A的方向及距离即可．
【解答】解：由题意知货船A相对港口B的位置可描述为北偏东40°，35海里．
故选：D．
【变式3】“在生活的舞台上，我们都是不屈不挠的拳击手，面对无尽的挑战，挥洒汗水，拼搏向前！”
今年的春节档《热辣滚烫》展现了角色坚韧不拔的精神面貌，小明、小华、小亮三人也观看了此电影．
如图是利用平面直角坐标系画出的影院内分布图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建
立平面直角坐标系xOy，他们是这样描述自己的座位：
①小明：表示我座位的坐标为（﹣2，3）；
②小华：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，就可以找到我了；
③小亮：小旗帜所在的位置就是我的座位了．
则表示小华、小亮座位的坐标分别为（ ）
A．（2，5），（2，﹣1） B．（﹣4，5），（﹣4，0）
C．（4，2），（4，7） D．（2，5），（2，0）
【分析】直接利用以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，进而分别分析得出
答案．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
∵小明座位的坐标为（﹣2，3），
又∵小华座位的坐标：在小明的座位向右走4个座位，再向上走2个座位，
∴小华座位的坐标为（2，5），
∵小旗帜位置的坐标为（2，0），∴小亮座位的坐标为（2，0），
故选：D．
【知识点4 点在坐标系中的平移】
左右平移：点在平面直角坐标系中进行左右平移时，纵坐标 不变 ，横坐标进行 加减 。向右平移时 加
，向左平移时 减 。
巧记：左右平移，横加减，纵不变，右加左减。
上下平移：点在平面直角坐标系中进行上下平移时，横坐标 不变 ，纵坐标进行 加减 。向上平移时 加
，向下平移时 减 。
巧记：上下平移，纵加减，横不变，上加下减。
【题型7 点在坐标系中的平移】
【例1】在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，最后
所得点的坐标是（ ）
A．（m+3，n﹣2） B．（m+3，n+2） C．（m﹣3，n﹣2） D．（m﹣3，n+2）
【分析】根据点的坐标的平移规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减求解即可．
【解答】解：将点（m，n）先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，最后所得点的坐标是（m+3，
n+2），
故选：B．
【变式1】如果将点A（3，m+2）向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得（n﹣4，6），则（
）
A．m＝1，n＝9 B．m＝6，n＝10 C．m＝6，n＝9 D．m＝2，n＝10
【分析】根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得3+3＝n﹣4，m+2+2＝6，解之即可得到答案．
【解答】解：∵将点A（3，m+2）向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得（n﹣4，6），
∴3+3＝n﹣4，m+2+2＝6，
∴m＝2，n＝10，故选：D．
【变式2】将点M（m，1﹣n）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，与点N（﹣2，3）重合，则
m+n的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】根据左减上加，确定平移后坐标，解答即可．
【解答】解：∵点M（m，1﹣n）先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴平移后坐标为M′（m﹣2，2﹣n），
∵与点N（﹣2，3）重合，
∴m﹣2＝﹣2，2﹣n＝3，
解得m＝0，n＝﹣1，
故m+n＝﹣1，
故选：B．
【变式3】把点A（m﹣6，m+13）先向左平移25个单位长度，再向下平移43个单位长度得到点B，点B
正好落在x轴上，则点A的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（24，43） C．（31，17） D．（23，31）
【分析】由点A（m﹣6，m+13）先向左平移25个单位长度，再向下平移43个单位长度得到点B，知点
B坐标为（m﹣31，m﹣30），再根据点B正好落在x轴上知m﹣30＝0，得出到m的值，据此可得答
案．
【解答】解：点A（m﹣6，m+13）先向左平移25个单位长度，再向下平移43个单位长度得到点B，
则点B坐标为（m﹣31，m﹣30），
由点B正好落在x轴上知m﹣30＝0，
解得m＝30，
∴点A坐标为（24，43）．
故选：B．
【知识点5 图形在坐标系中的平移】
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把
原图形向 右 ( 或向左 )平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形
就是把原图形向 上 ( 或向下 )平移a个单位长度．
【易错点剖析】
平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过来点的坐标
发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”．
【题型8 图形在坐标系中的平移】
【例1】已知A（a，b），B（b，c），将线段AB平移得到线段CD，其中，点A的对应点为点C，若C
（a+2，n），D（m，c﹣3），则m﹣n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣5 D．5
【分析】根据平移的性质，用含b的代数式表示出m和n即可解决问题．
【解答】解：因为点A（a，b）平移后的对应点为C（a+2，n），点B（b，c）平移后的对应点为D
（m，c﹣3），
所以a+2﹣a＝m﹣b，n﹣b＝c﹣3﹣c，
则m＝b+2，n＝b﹣3，
所以m﹣n＝b+2﹣（b﹣3）＝5．
故选：D．
【例2】如图，先将三角形ABC向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到三角形A B C ．
1 1 1
（1）画出经过两次平移后的图形，并写出A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
（2）已知三角形ABC内部一点P的坐标为（a，b），若点P随三角形ABC一起平移，平移后点P的对
应点P 的坐标为（﹣1，﹣1），请直接写出a，b的值；
1
（3）求三角形ABC的面积．
【分析】（1）将△ABC的三个顶点按平移方式进行平移得到对应点，顺次连接即可；
（2）根据平移方式得出平移前后坐标之间的关系，即可求解；
（3）用△ABC所在正方形的面积减去周围小三角形的面积即可求解．
【解答】解：（1）解：两次平移后的图形三角形A B C 如下所示，A （3，7）、B （0，2）、C （5，
1 1 1 1 1 1
4）．（2）由题意知，P（a，b）向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到P （﹣1，﹣1），
1
∴a+4＝﹣1，b+3＝﹣1，
∴a＝﹣5，b＝﹣4；
1 1 1 19
（3）S =5×5− ×3×5− ×2×3− ×2×5= ．
△ABC 2 2 2 2
【变式1】如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D
（a，n），则a﹣m+n的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【分析】根据A，C两点的坐标可得出平移的方向和距离进而解决问题．
【解答】解：∵A（1，0）的对应点C的坐标为（﹣2，1），
∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1，
∵点B（4，m）的对应点为D（a，n），
∴4﹣3＝a，m+1＝n，
∴a＝1，﹣m+n＝1，
∴a﹣m+n＝1+1＝2．
故选：C．
【变式2】如图，三角形ABC在平面直角坐标系中，其中点A（0，3），点B（﹣4，﹣1），点C（1，
0），将三角形ABC的A，B，C三点中的任意一点平移至点P（4，2）的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．
【分析】分点A、B、C分别平移至点P（4，2）的位置三种情况讨论即可求解．
【解答】解：当点A（0，3）平移至点P（4，2）的位置时，即点A向右平移4﹣0＝4个单位长度，再
向下平移3﹣2＝1个单位长度，
∴点C（1，0）向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是（1+4，0﹣1），
即（5，﹣1），
当点B（﹣4，﹣1）平移至点P（4，2）的位置时，即点B向右平移4﹣（﹣4）＝8个单位长度，再向
上平移2﹣（﹣1）＝3个单位长度，
∴点C（1，0）向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是（1+8，0+3），即
（9，3），
当点C（1，0）平移至点P（4，2）的位置时，即点C向右平移4﹣1＝3个单位长度，再向上平移2﹣0
＝2个单位长度，
∴点C（1，0）的对应点的坐标是（4，2），
故答案为：（5，﹣1）或（9，3）或（4，2）．
【变式3】已知A（m﹣3，n），B（m，n﹣2）两点，将线段AB平移，平移后对应线段的一个端点落在y
轴上，另一个端点落在经过点（0，﹣1），且平行于x轴的直线l上，则点B对应点的坐标是
．
【分析】根据平移后点A或点B在y轴上，再结合平移的性质即可解决问题．
【解答】解：当平移后点A的对应点在y轴上时，
m﹣3＝0，
解得m＝3．
因为点B的对应点落在经过点（0，﹣1），且平行于x轴的直线l上，
所以n﹣2＝﹣1，
所以点B对应点的坐标为（3，﹣1）．
当平移后点B的对应点在y轴上时，m＝0，
因为点A的对应点落在经过点（0，﹣1），且平行于x轴的直线l上，
所以n＝﹣1，
则n﹣2＝﹣3，
所以点B对应点的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（3，﹣1）或（0，﹣3）．
【变式4】如图，三角形A′B′C′是由三角形ABC经过某种平移得到的，点 A与点A′，点B与点
B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列
问题：
（1）点B′的坐标是 ，点C′的坐标 ，S△ABC ＝ ．
（2）连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ；
（3）若点M（a﹣1，b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中的方式平移后得到的对
应点为点N（2b﹣7，4﹣a），求a+b的值．
【分析】（1）根据图形，可以直接写出点B'，点C′的坐标，然后利用割补法即可求面积；
（2）根据图形，通过变换，可以得到∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系；
（3）根据（1）中的结果和题目中的条件，可以得到a和b的二元一次方程组，从而可以求得a、b的
值，即可得出答案．
【解答】解：（1）由图可得，点B′的坐标是（﹣1，﹣2），点C′的坐标（0，1），
1 1 1
S△ABC ＝3×3−
2
×2×2−
2
×1×3−
2
×1×3＝4；
故答案为：（﹣1，﹣2），（0，1），4；
（2）∵∠CBC′+∠CBD＝180°，∠B′C′O＝∠BCD，
∵∠CBD＝90°﹣∠BCD，∴∠CBD＝90°﹣∠B′C′O，
∴∠CBC′+（90°﹣∠B′C′O）＝180°，
∴∠CBC′＝90°+∠B′C′O；
故答案为：∠CBC′＝90°+∠B′C′O；
（3）由（1）知，三角形A′B′C'是由三角形ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长
度得到的，
∵点M（a﹣1，b﹣5）是三角形ABC内一点，它随三角形ABC按（1）中方式平移后得到的对应点为点
N（2b﹣7，4﹣a），
{a−1−3=2b−7)
∴ ，
b−5−3=4−a
{a=7)
解得 ，
b=5
∴a+b＝12．
【题型9 坐标系中点的移动规律探究】
【例1】如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到（1，1），第2
次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），按这样的运动规律，经过第 2024次运动
后，动点P的坐标是（ ）
A．（2024，2） B．（2024，1） C．（2024，0） D．（2023，0）
【分析】根据图象可知，P 的横坐标为n，纵坐标以1，0，2，0四个数为一组，进行循环，进行求解
n
即可．
【解答】解：由图可知：P 的横坐标为n，纵坐标以1，0，2，0四个数为一组，进行循环，
n
∵2024÷4＝506，
∴经过第2024次运动后，动点P的坐标是（2024，0），
故选：C．
【例2】如图，在平面直角坐标系内原点O（0，0）第一次跳动到点A （0，1），第二次从点A 跳动到点
1 1
A （1，2），第三次从点A 跳动到点A （﹣1，3），第四次从点A 跳动到点A （﹣1，4），……，按
2 2 3 3 4此规律下去，则点A 的坐标是（ ）
2024
A．（674，2024） B．（675，2024）
C．（﹣674，2024） D．（﹣675，2024）
【分析】根据已知点坐标找到A
3n﹣1
（n，3n﹣1），A
3n
（﹣n，3n），A
3n+1
（﹣n，3n+1）（n为正整
数）的规律，根据已知点的坐标寻找规律并应用解答即可．
【解答】解：∵A （0，1），A （1，2），
1 2
A （﹣1，3），A （﹣1，4），
3 4
A （2，5），A （﹣2，6），
5 6
A （﹣2，7），A （3，8），
7 8
……，
∴可知A
3n﹣1
（n，3n﹣1），A
3n
（﹣n，3n），A
3n+1
（﹣n，3n+1）（n为正整数），
∵2024＝675×3﹣1，
∴n＝675，
∴A （675，2024），
2024
故选：B．
【例3】如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），第一次点A跳动至点A （﹣1，1），第二次点A 跳
1 1
动至点A
2
（2，1），第三次点A
2
跳动至点A
3
（﹣2，2），第四次点A
3
跳动至点A
4
（3，2），⋯⋯依此
规律跳动下去，则点A 与点A 之间的距离是（ ）
2023 2024A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上 1，纵坐标是次数的
一半，奇数次跳动与该偶数次跳动的横坐标的相反数加上1，纵坐标相同，可分别求出点A 与点A
2023 2024
的坐标，进而可求出点A 与点A 之间的距离．
2023 2024
【解答】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是（2，1），
第4次跳动至点的坐标是（3，2），
第6次跳动至点的坐标是（4，3），
第8次跳动至点的坐标是（5，4），
……
第2n次跳动至点的坐标是（n+1，n），
则第2024次跳动至点的坐标是（1013，1012），
第2023次跳动至点A 的坐标是（﹣1012，1012）．
2023
∵点A 与点A 的纵坐标相等，
2023 2024
∴点A 与点A 之间的距离＝1013﹣（﹣1012）＝2025．
2023 2024
故选：A．
【变式1】在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到点P′（﹣y﹣1，x+1），我们把点
P′（﹣y﹣1，x+1）叫做点P（x，y）的希望点．已知点P 的希望点为P ，点P 的希望点为P ，点P
1 2 2 3 3
的希望点为P ，这样依次得到P ，P ，P ，P ，…，P ，若点P 的坐标为（2，1），请计算点P 的
4 1 2 3 4 n 1 2024
坐标为（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣4，﹣1） D．（0，﹣3）
【分析】分别求出P ，P ，P ，P 的坐标，得到规律，由此得到答案．
2 3 4 5
【解答】解：∵点P 的坐标是（2，1），
1∴P （﹣1﹣1，2+1）即P （﹣2，3），
2 2
P （﹣4，﹣1），
3
P （0，﹣3），
4
P （2，1），……，
5
∴点坐标每4个为一个循环，
∵2024÷4＝506，
∴点P 的坐标与点P 的坐标相同，即点P 的坐标是（0，﹣3），
2024 4 2024
故选：D．
【变式2】如图所示，是一个粒子在第一象限以及x轴和y轴的正半轴上运动的轨迹图．粒子从原点开始，
运动到点（0，1）处用时1秒．随后，它按照轨迹在x轴和y轴的平行方向上做来回运动，具体路径为
（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…，并且每秒移动一个单位长度．那么2024
秒时，这个粒子将所处的位置是（ ）
A．（1，45） B．（0，44） C．（45，1） D．（44，0）
【分析】根据现有点（1，1）、（2，2）、（3，3）、（4，4）分析点的运动时间和运动方向，可以得
出一般结论，设点（n，n），当n为奇数时，运动了n（n+1）秒，方向向下；当n为偶数时，运动了n
（n+1）秒，方向向左；然后利用这个结论算出2024秒的坐标．
【解答】解：粒子所在位置与运动的时间的情况如下：
位置：（1，1）运动了2＝1×2秒，方向向下，
位置：（2，2）运动了6＝2×3秒，方向向左，
位置：（3，3）运动了12＝3×4秒，方向向下，
位置：（4，4）运动了20＝4×5秒，方向向左；
……，
总结规律发现，设点（n，n），
当n为奇数时，运动了n（n+1）秒，方向向下；
当n为偶数时，运动了n（n+1）秒，方向向左；∵44×45＝1980，45×46＝2070，
∴到（44，44）处，粒子运动了44×45＝1980秒，方向向左，
故到2024秒，须由（44，44）再向左运动2024﹣1980＝44秒，
44﹣44＝0，
2024秒时，这个粒子所处位置为（0，44）．
故选：B．
【变式3】在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为整数点，如图，一列有规律的整数点，其坐
标依次为（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），…，根据规律，第2024
个整数点坐标为（ ）
A．（46，2） B．（45，3） C．（46，0） D．（45，1）
【分析】观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为最右
下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，故可得当n为奇数时，第n2个点的坐
标为（n，0），然后按照规律求解即可．
【解答】解：观察图中点的坐标可知，图中各点组成了正方形点阵，每个正方形点阵的整点数量依次为
最右下角点横坐标的平方，且横坐标为奇数时，最后一个点在x轴上，
如：第12个点的坐标为（1，0），
第32个点的坐标为（3，0），
第52个点的坐标为（5，0），
……
当n为奇数时，第n2个点的坐标为（n，0），
当正方形最右下角点横坐标为偶数时，这个点可以看作按照运动方向离开x轴，
∵452＝2025，45为奇数，
∴第2025个点的坐标为（45，0），
∴退1个点，得到第2024个点是（45，1）．
故选：D．【变式4】找规律，如图：在平面直角坐标系中，各点坐标分别为A （0，0），A （1，1），A （2，
1 2 3
0），A （0，﹣2），A （﹣2，0），A （1，3），A （4，0），A （0，﹣4），A （﹣4，0），A
4 5 6 7 8 9 10
（1，5），A （6，0），则依图中所示规律，点A 的坐标为（ ）
11 2027
A．（1012，0） B．（﹣1012，0） C．（0，﹣1014） D．（1014，0）
【分析】由题意可得A
2n﹣1
（n≥2）的坐标为（n，0）（n为偶数），据此即可求解．
【解答】解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
A （0，0），A （2，0），A （﹣2，0），A （4，0），A （﹣4，0），A （6，0）．．．
1 3 5 7 9 11
∴A
2n﹣1
（n≥2）的坐标为（n，0）（n为偶数），
∵2027＝1014×2﹣1，
∴点A 的坐标为（1014，0），
2027
故选：D．
【题型10 坐标系中的新定义问题】
【例1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点
Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
（1）点A（﹣1，3）的“长距”为 ；
（2）若点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，求a的值；
（3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），试说
明：点D是“完美点”．
【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【解答】解：（1）根据题意，得点A（﹣1，3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．故答案为：3；
（2）∵点B（4a﹣1，﹣3）是“完美点”，
∴|4a﹣1|＝|﹣3|，
∴4a﹣1＝3或4a﹣1＝﹣3，
1
解得a＝1或a=− ；
2
（3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C 在第二象限内，
∴3b﹣2＝4，
解得b＝2，
∴9﹣2b＝5，
∴点D的坐标为（5，﹣5），
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
【例2】对于实数a，b定义两种新运算“※”和“*”：a※b＝a+kb，a*b＝ka+b（其中k为常数，且
k≠0），若对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），有点P′的坐标（a※b，a*b）与之对应，则称
点 P 的“k 衍生点”为点 P′．例如：P（1，3）的“2 衍生点”为 P′（1+2×3，2×1+3），即
P′（7，5）．
（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为 ；
（2）若点P的“5衍生点”P的坐标为（18，﹣6），求点P的坐标；
（3）若点P的“k衍生点”为点P′，且直线PP′平行于y轴，线段PP′的长度为线段OP长度的6
倍，求k的值．
【分析】（1）直接利用新定义进而分析得出答案；
（2）直接利用新定义结合二元一次方程组的解法得出答案；
（3）先由PP′平行于y轴得出点P的坐标为（a，0），继而得出点P′的坐标为（a，ka），线段
PP′的长度为线段OP长度的6倍，解之可得．
【解答】解：（1）点P（﹣1，5）的“3衍生点”的坐标为（﹣1+3×5，﹣1×3+5），
即（14，2），
故答案为：（14，2）；
（2）设P（x，y），
依题意，得方程组：{x+5 y=18)
．
5x+ y=−6
{x=−2)
解得 ．
y=4
∴点P（﹣2，4）；
（3）设P（a，b），则P′的坐标为（a+kb，ka+b）．
∵PP′平行于y轴，
∴a＝a+kb，
即kb＝0，
又∵k≠0，
∴b＝0．
∴点P的坐标为（a，0），点P′的坐标为（a，ka），
∴线段PP′的长度为|ka|．
∴线段OP的长为|a|．
根据题意，有PP′＝6OP，
∴|ka|＝6|a|．
∴k＝±6．
∴k的值为6和﹣6．
【变式1】对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P（x，y），给出如下定义：记a＝x+y，b＝﹣x+y，将
点M（a，b）与点N（b，a）称为点P的一对伴随点．例如，点M（1，﹣5）与点N（﹣5，1）为点P
（3，﹣2）的一对伴随点．
（1）点A（4，1）的一对伴随点坐标为 ；
（2）将点C（3m﹣1，m+1）（m＞0）向左平移m个单位长度，得到点C′，若点C′的一对伴随点重
合，求点C的坐标．
【分析】（1）根据“伴随点”的定义求解即可；
（2）根据“伴随点”的定义列方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，a＝x+y＝4+1＝5，b＝﹣x+y＝﹣4+1＝﹣3，
∴点A的一对伴随点坐标为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
故答案为：（5，﹣3），（﹣3，5）；
（2）由题意得，C′（2m﹣1，m+1），
此时，a＝2m﹣1+m+1＝3m，b＝﹣2m+1+m+1＝﹣m+2，
则C′点的伴随点为（﹣m+2，3m）和（3m，﹣m+2），
∴这两个伴随点重合，（即两点的横、纵坐标分别相等），
1
∴﹣m+2＝3m，解得，m= ，
2
1 3
∴3m﹣1= ，m+1= ，
2 2
1 3
∴C点坐标为（ ， ）．
2 2
【变式2】在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P （x ，y ）和P （x ，y ），我们定义它们两点间的
1 1 1 2 2 2
坐标距离如下：若|x ﹣x |≥|y ﹣y |，则点P 和点P 的坐标距离为|x ﹣x |；
1 2 1 2 1 2 1 2
若|x ﹣x |＜|y ﹣y |，则点P 和点P 的坐标距离为|y ﹣y |．
1 2 1 2 1 2 1 2
已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B．
（1）点B的坐标为 ，A、B两点间的坐标距离为 ；
（2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点，若M、N与点A之间的坐标距离均为3．①求点
M的坐标；
②求M、N两点间的坐标距离．
【分析】（1）根据平移坐标的变化规律得出点 B的坐标，再求出|x ﹣x |与|y ﹣y |的值，即可得出点
1 2 1 2
A、点B的坐标距离；
（2）①根据两点间的坐标距离的定义，由点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3，可求
出m＝6，进而得出点M的坐标；
②根据两点间的坐标距离的定义，可确定n的取值范围，再根据两点间的坐标距离的定义进行解答即
可．
【解答】解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则
点B（6，4），
∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2，
∴|3﹣6|＞|2﹣4|，
∴A、B两点间的坐标距离为3，
故答案为：（6，4），3；
（2）设点M（m，0），N（0，n），
①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3，
∴|m﹣3|＝3，解得m＝6或m＝0舍去，
∴点M（6，0）；
②由①知点M（6，0），
又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3，
∴|n﹣2|≤3，
∴﹣1≤n≤5，
又∵n＞0，
∴0＜n≤5，
∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5，
∴|6﹣0|＞|0﹣n|，
∴M、N两点间的坐标距离是6．
【变式3】定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足
a+c b+d
x= ，y= ，那么称点T是点A和B的衍生点．
3 3
例如：M（﹣2，5），N（8，﹣2），则点T（2，1）是点M和N的衍生点．
已知点D（4，0），点E（m，m+2），点T（x，y）是点D和E的衍生点．
（1）若点E（4，6），则点T的坐标为 ；
（2）求点T的坐标（用m表示）；
（3）若直线ET交x轴于点H，当∠DHT＝90°时，求点E的坐标．
【分析】（1）根据“衍生点”的定义求出T点的横、纵坐标．
（2）根据“衍生点”的定义分别用含m的代数式表示出T点的横、纵坐标．
（3）垂直于x轴的直线上的点横坐标相等，进而求出m的值和E点的坐标．
3+4 7 0+6
【解答】解：（1） = ， =2，
3 3 3
7
所以T的坐标为( ，2)．
3
7
故答案为：( ，2)．
3
4+m
（2）T的横坐标为： ，
3
m+2
T的纵坐标为： ．
34+m m+2
所以T的坐标为：( ， )；
3 3
（3）如图，
∵∠DHT＝90°，
∴点E与点T的横坐标相同．
4+m
∴ = m，
3
解得，m＝2．
∴m+2＝4．
∴E点坐标为（2，4）．
【题型11 坐标与图形综合（已知面积求点的坐标）】
【例1】如图，已知在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，S△ABO ＝8，OA＝OB，BC＝
10，点P的坐标是（﹣6，a）．
（1）求△ABC的顶点C的坐标；
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积（a≠2）；
（3）在（2）问的条件下，是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，请求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
1
【分析】（1）根据三角形面积公式得到
OA2=8，解得OA＝4，则OB＝OA＝4，OC＝BC﹣OB＝6，
2
然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点P在直线AB上方即a＞2；当点P在直线AB下方，即a＜2；利用面积的和与差
求解；
（3）先计算出S△ABC ＝20，利用（2）中的结果得到方程，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标．1
【解答】解：（1）∵S△ABO =
2
OA⋅OB，
∵OA＝OB，
1
∴
OA2=
8，解得OA＝4，
2
∴OB＝OA＝4，
∴OC＝BC﹣OB＝10﹣4＝6，
∴A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（6，0）；
（2）当点P在第二象限，直线AB的上方，即a＞2，作PH⊥y轴于H，如图，
1 1
S△PAB ＝S△AOB +S梯形BOHP ﹣S△PBH ＝8 +
2
(4+6)a−
2
×6×（a+4）＝2a﹣4；
当点P在直线AB下方，即a＜2，作PH⊥x轴于H，如图，
1 1
S△PAB ＝S梯形OHPA ﹣S△PBH ﹣S△OAB =
2
(−a+4)×6−
2
×（6﹣4）×（﹣a）﹣8＝4﹣2a；
∴△PAB的面积为|2a﹣4|（a≠2）
1
（3）∵S△ABC =
2
×10×4＝20，
当2a﹣4＝20，
解得a＝12．
此时P点坐标为（﹣6，12）；
当4﹣2a＝20，
解得a＝﹣8．
此时P点坐标为（﹣6，﹣8）．综上所述，点P的坐标为（﹣6，12）或（﹣6，﹣8）．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a，b，c满
足关系式❑√a−1+(b−2) 2+|c−3|=0．
（1）求a，b，c的值；
1
（2）如果在第二象限内有一点P(m， )，那么请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
2
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等？若存在，求
出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b、c的值，即可得出A、B、C三点的坐标；
（2）根据四边形ABOP的面积等于△AOB的面积加上△AOP的面积计算即可；
（3）根据四边形ABOP的面积与三角形ABC的面积相等即可求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵❑√a−1+（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴❑√a−1=0，（b﹣2）2|＝0，|c﹣3|＝0，
∴a＝1，b＝2，c＝3，
∴点A的坐标是（0，1），点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（2，3）；
（2）由（1）知A（0，1），B（2，0），C（2，3），
1
又∵P（m， ）在第二象限，
2
∴m＜0，
∴S四边形ABOP ＝S△AOB +S△AOP
1 1
= ×1×2+ ×1×|m|
2 2
1
＝1− m；
2
（3）存在，∵B（2，0），C（2，3），
∴BC⊥x轴，
1
∴S△ABC =
2
×3×2＝3，
1
由题意得，1− m＝3，
2
解得m＝﹣4，
1
∴点P的坐标为（﹣4， ）．
2
【变式2】如图，以直角三角形AOB的直角顶点O为原点，以所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标
系，点A（0，a），B（b，0）满足❑√a−2b+|b﹣2|＝0．
（1）点A的坐标为 ；点B的坐标为 ；
2
（2）在坐标轴上存在一点p，使得S△APB =
3
S△AOB ，求出点p的坐标．
【分析】（1）根据非负数的性质可得a﹣2b＝0，b﹣2＝0，进而得到a＝4，b＝2，据此可得答案；
（2）先求出△AOB的面积，进而求出△APB的面积，再分点P在x轴和点P在y轴两种情况，设出点
P坐标，根据三角形面积计算公式建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵❑√a−2b+|b−2|=0，❑√a−2b≥0，|b−2|≥0，
∴❑√a−2b=|b−2|=0，
∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，
∴a＝4，b＝2，
∴A（0，4），B（2，0），
故答案为：（0，4），（2，0）；
（2）∵A（0，4），B（2，0），
∴OA＝4，OB＝2，1
∴S = OA⋅OB=4，
△AOB 2
2 8
∴S = S = ；
△APB 3 △AOB 3
当点P在x轴上时，设P（p，0），
∴PB＝|p﹣2|，
1 8
∴S = PB⋅OA= ，
△APB 2 3
8
∴2|p−2|= ，
3
10 2
∴p= 或p= ，
3 3
10 2
∴点P的坐标为( ，0)或( ，0)；
3 3
当点P在y轴上时，设P（0，p），
∴PA＝|p﹣4|，
1 8
∴S = PA⋅OB= ，
△APB 2 3
8
∴|p−4|= ，
3
20 4
∴p= 或p= ，
3 3
20 4
∴点P的坐标为(0， )或(0， )；
3 310 2 20 4
综上所述，点P的坐标为( ，0)或( ，0)或(0， )或(0， )．
3 3 3 3
【变式3】如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足❑√a+1+(b−3) 2=0
．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积；
9 3
（3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，− ），当m=− 时，点P是y轴上的动点，当
10 2
满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性质得a+1＝0，且b﹣3＝0，即可得出结论；
（2）根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据三角形面积公式求出PC的长，再分类讨论即可．
【解答】解：（1）∵a、b满足❑√a+1+（b﹣3）2＝0，
∴a+1＝0，且b﹣3＝0，
∴a＝﹣1，b＝3，
故答案为：﹣1，3；
（2）∵a＝﹣1，b＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4，
∵M（﹣2，m），且M在第三象限，
∴m＜0，
1
∴△ABM的面积= ×4×（﹣m）＝﹣2m；
2
3
（3）当m=− 时，
23 3
则M（﹣2，−
2
），S△ABM ＝﹣2m＝﹣2×（−
2
）＝3，
∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6，
1 1
∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积= PC×2+ PC×3＝6，
2 2
12
解得：PC= ，
5
9
∵C（0，− ），
10
9
∴OC= ，
10
12 9 33
当点P在点C的下方时，P（0，− − ），即P（0，− ）；
5 10 10
12 9 3
当点P在点C的上方时，P（0， − ），即P（0， ）；
5 10 2
33 3
综上所述，点P的坐标为（0，− ）或（0， ）．
10 2
【题型12 坐标与图形综合（探究角度数量关系）】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），B（3，0），点C在y轴正半轴上，且OC＝
AB，将线段AB平移至线段CD，点A的对应点为点C，点B的对应点为点D，连接AC，BD，P是x轴上
一动点．
（1）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；AC与BD的关系是 ；
（2）当三角形PAC的面积是三角形PBD的面积的3倍时，求点P的坐标；
（3）若∠ACP＝ ，∠PDB＝ ，∠DPC＝ ，判断 ， ， 之间的数量关系，简要叙述所得结论，不必
证明． α β θ α β θ
【分析】（1）由点A（﹣1，0），B（3，0）可得OA＝1，OB＝3，OC＝AB＝4即可得出点C的坐
标，由平移的性质可以得出点D的坐标和AC与BD的关系；
（2）由 CD∥AB 可得△PAC，△PBD 是等高三角形，得到 S△PAC ：S△PBD ＝AP：BP，由 S△PAC ＝3S△PBD ，得到AP＝3BP，分两种情况：①当点P在线段OB上时，②当点P在AB的延长线上时，分别
求解即可得到答案；
（3）分三种情况：当点P在线段AB上时；当点P在AB的延长线上时；当点P在BA的延长线上时，
分别求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，
∴OC＝AB＝4，
∴C（0，4），
由平移的性质可得：CD∥AB，CD＝AB，
∴D（4，4），
∵点B可以看成点A向右平移4个单位长度，点D可以看成点C向右平移4个单位长度，
∴BD可以看成AC向右平移4个单位长度，
∴AC＝BD，AC∥CD，
故答案为：（0，4），（4，4），AC＝BD，AC∥BD；
（2）∵CD∥AB，
∴△PAC，△PBD是等高三角形，
∴S△PAC ：S△PBD ＝AP：BP，
∵S△PAC ＝3S△PBD ，
∴AP＝3BP，
①当点P在线段OB上时，PA+PB＝4，
∴3BP+BP＝4，
∴PB＝1，
∴P（2，0）；
②当点P在AB的延长线上时，AP＝3BP，
∴AP﹣BP＝AB＝4，
∴3BP﹣BP＝4，
∴BP＝2，
∴P（5，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，0）或（5，0）；
（3）如图，当点P在线段AB上时， ＝ + ．
θ α β，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT+∠DPT＝∠ACP+∠BDP，
∴ ＝ + ，
如θ图，α当β点P在AB的延长线上时， ＝ ﹣ ，
θ α β
，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，
∴∠CPD＝∠CPT﹣∠DPT＝∠ACP﹣∠BDP，
∴ ＝ ﹣ ；
如θ图，α当点β P在BA的延长线上时， ＝ ﹣a，
θ β
，
理由：过点P作PT∥AC，
∵AC∥BD，PT∥AC，
∴∠ACP＝∠CPT，∠PDB＝∠DPT，∴∠CPD＝∠DPT﹣∠CPT＝∠BDP﹣∠ACP，
∴ ＝ ﹣ ，
综θ上所β述：α 当点P在线段AB上时， ＝ + ；当点P在AB的延长线上时， ＝ ﹣ ；当点P在BA的延
长线上时， ＝ ﹣a． θ α β θ α β
【变式1】如图θ 1，β 在平面直角坐标系中，点 A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0）且a、b满足
|a+2|+❑√5−b=0，现同时将点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，分别得到点A，
B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）点C的坐标是 ，点D的坐标是 ；
（3）如图2，若点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动（不与B，D重
合）请判断∠DCP，∠CPO，∠POB之间存在的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据被开方数和绝对值大于等于0列式求出a和n；
（2）首先得到A、B的坐标，再根据向上平移4个单位长度，则纵坐标加4，向右平移3个单位长度，
则横坐标加3，求出点C、D的坐标即可；
（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直
线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵|a+2|+❑√5−b=0，
∴a+2＝0，5﹣b＝0，
∴a＝﹣2，b＝5；
（2）∵a＝﹣2，b＝5，
∴A（﹣2，0），B（5，0），
∵点A，B分别向上平移4个单位，再向右平移3个单位，
∴点C（1，4），D（8，4）；
（3）∠OPC＝∠DCP+∠BOP；
理由如下：由平移的性质得：AB∥CD，
过点P作PE∥AB，交AC于E，如图所示：
则PE∥CD，
∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，
∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠POB．
【变式2】在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足❑√4−a+|b+2|＝0，B向上平
移k个单位得到线段CD．
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段
1
CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG= ∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量
3
关系，并证明你的结论．
【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性质可求a，b的值，即可求解；
（2）延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，设∠DEG＝ ，∠GFA＝ ，由平行线的性质可
得∠ENG＝∠GFA＝ ，∠DEO+∠EHF＝180°，再由外角性质可得∠αOFH＝3 ﹣β60°， + ＝80°，可求
∠GFO＝180°﹣∠OFβH﹣∠GFA＝240°﹣3 ﹣ ＝2 ，即可得出结论． α α β
【解答】解：（1）∵❑√4−a+|b+2|＝0， α β β
∴a＝4，b＝﹣2，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2）；1
（2）∠AFG= ∠GFO，理由如下：
2
延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，如图所示：
设∠DEG＝ ，∠GFA＝ ，
1α β
∵∠DEG= ∠DEO，
3
则∠DEO＝3 ，
∵CD∥AB，α
∴∠ENG＝∠GFA＝ ，∠DEO+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣3 β，
∵∠EOF＝∠EHF+α∠OFH＝120°，∠EGF＝∠GEN+∠ENF＝80°，
∴∠OFH＝120°﹣∠EHF＝120°﹣180°+3 ＝3 ﹣60°， + ＝80°，
∵∠GFO＝180°﹣∠OFH﹣∠GFA＝180°α﹣3 α+60°﹣ ＝α2β40°﹣3 ﹣ ＝240°﹣80°﹣2 ＝2（80°﹣ ）＝
2 ， α β α β α α
β 1
∴∠AFG= ∠GFO．
2
【变式3】如图1所示，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、C（1，﹣3），其中a、b满足关
系式❑√a−3+（a+b﹣7）2＝0．平移AC使点A与点B重合，点C的对应点为点D．
（1）直接写出A、D两点的坐标，则A（ ， ）、D（ ， ）．
（2）如图1，过点D作DE⊥y轴交于E点，猜想∠CAG与∠BDE数量关系，说明理由．
（3）如图2，过点C作CF∥x轴交y轴于F点，Q为x轴上点A左侧的一动点，连接QC，CM平分
∠MCN
∠QCA，CN平分∠FCA，当点Q运动时， 的值是否变化？如果变化，请说明理由；如果不
∠AQC
变，请求出其值．【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．利用平行线的性质求解即可；
（3）结论：∠CQA＝2∠MCN．设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，理由平行线的性质、角平分线
的定义，构建方程即可解决问题．
【解答】解：（1）∵❑√a−3+（a+b﹣7）2＝0，
又∵❑√a−3≥0．（a+b﹣7）2≥0，
∴a＝3．b＝4，
∴A（3，0），B（0，4），D（﹣2，1），
故答案为3，0，﹣2，1．
（2）结论：∠BDE+∠CAG＝180°．
理由：如图1中，延长DE交CA的延长线于T．
∵DE⊥y轴，
∴DT∥OG，
∴∠T+∠OAT＝180°，
∵BD∥CT，
∴∠D＝∠T，
∵∠CAG＝∠OAT，∴∠BDE+∠CAG＝180°．
（3）如图2中，结论：∠CQA＝2∠MCN．
理由：设∠CQA＝y，∠MCN＝x．∠ACM＝z，
∵CF∥AQ，
∴∠FCQ＝∠CQA＝y，
∵∠ACM＝∠QCM＝z，
∴∠QCN＝z﹣x，
∵∠FCN＝∠ACN，
∴y+（z﹣x）＝x+z，
∴y＝2x，即∠CQA＝2∠MCN．
