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专题 11.7 与三角形的角有关的五大类型解答题专项训练（40 题）
【人教版】
【题型1 与三角形的角有关的挖空题】
1．（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，∠ADC=110°，
∠BAC=80°，∠B=∠BAD．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1） ∠ADC是△ABD的外角（已知），
+ ＝∠A∵DC=110°（ ）．
∴又 ∠B=∠BAD（已知），
∠∵B= （等量代换）．
∴（2） ∠B+∠BAC+ =180°（ ），
∠C∵=180°−∠BAC−∠B（等式的性质），
∴=180°−80°−∠B，
＝ ．
【答案】（1）∠B；∠BAD；三角形外角性质；55°；（2）∠C；三角形内角和定理，45°．
【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理，三角
形的外角性质是解决问题的关键．
（1）根据三角形外角性质得∠B+∠BAD=∠ADC，再根据∠B=∠BAD，得2∠B=110°，据此可得
∠B的度数；
（2）根据三角形内角和定理得∠B+∠BAC+∠C=180°，再根据∠BAC=80°，∠B=55°可得出∠C
的度数．
【详解】解：（1） ∠ADC是△ABD的外角（已知），
∵∠B+∠BAD=∠ADC=110°（三角形外角性质）．
∴又 ∠B=∠BAD（已知），
∠∵B=55°（等量代换）．
∴故答案为：∠B；∠BAD；三角形外角性质；55°．
（2） ∠B+∠BAC+∠C=180°（三角形内角和定理），
∠C∵ =180°−∠BAC−∠B（等式的性质），
∴
=180°−80°−∠B，
=45°．
故答案为：∠C；三角形内角和定理，45°．
2．（23-24八年级·河南南阳·期末）如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，点P为线段AD上的一个动
点，PE⊥AD交BC的延长线于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度数；
解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））
∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）
∠BAC+∠B+∠ACB= （ ）
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB（等式的性质）
=180°−35°−85°（等量代换）
=60°
∵AD平分∠BAC（ ）
1 1
∴∠BAD=∠ = ∠BAC= = （角平分线的定义）
2 2
∴∠ADC=∠B+ =35°+ = （ ）
∵PE⊥AD（已知）
∴∠DPE=90°（ ）
在直角三角形DPE中，
∵∠PDE+∠E=90°（ ）∴∠E=90°−∠PDE（等式的性质）
=90°− （等量代换）
= ．
（2）当点P在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β(β>α)，求∠E的大小．（用含α，β的代数式
表示）（请类比（1）的解答过程，解答该题，可以不写理由）
【答案】（1）180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它
1
不相邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；（2） (β−α)
2
【分析】（1）根据题中所给推理过程可直接进行求解；
1 1
（2）由题意易得∠BAC=180°−α−β，∠DPE=90°，则有∠BAD=90°− α− β，
2 2
1 1
∠ADC=90°+ α− β，然后根据余角可进行求解．
2 2
【详解】解：（在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式））
∵∠B=35°，∠ACB=85°（已知）
∠BAC+∠B+∠ACB=180°（三角形的内角和等于180°）
∴∠BAC=180°−∠B−∠ACB（等式的性质）
=180°−35°−85°（等量代换）
=60°
∵AD平分∠BAC（已知）
1 1
∴∠BAD=∠ CAD = ∠BAC= ×60°=30°（角平分线的定义）
2 2
∴∠ADC=∠B+ ∠BAD=35°+30°=65°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）
∵PE⊥AD（已知）
∴∠DPE=90°（垂直的定义）
在直角三角形DPE中，
∵∠PDE+∠E=90°（直角三角形的两个锐角互余）
∴∠E=90°−∠PDE（等式的性质）
=90°−65°（等量代换）
=25°．
故答案为180°，三角形的内角和等于180°，CAD，60°，30°，30°，65°，三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角的和，垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，65°，25°；（2）解：∵∠B=α，∠ACB=β
∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∴∠BAC=180°−α−β
∵AD平分∠BAC
1 1 1 1
∴∠BAD= ∠BAC= ×(180°−α−β)=90°− α− β
2 2 2 2
1 1 1 1
∴∠ADC=∠B+∠BAD=α+90°− α− β=90°+ α− β
2 2 2 2
∵PE⊥AD
∴∠DPE=90°
在直角三角形DPE中，
∵∠PDE+∠E=90°
( 1 1 )
∴∠E=90°−∠PDE=90°− 90°+ α− β
2 2
1 1 1
=− α+ β= (β−α)．
2 2 2
【点睛】本题主要考查三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余，
熟练掌握三角形内角和、三角形外角的性质、角平分线的定义及直角三角形的两个锐角互余是解题的关键．
3．（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠BCD=35°，
求：
（1）∠EBC的度数；
（2）∠A的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB=______，
∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（___ ____），
∴∠EBC=_____+35°=______（等量代换），
（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（_______），
∴∠A=∠EBC−∠ACB（等式的性质），
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠A=_____−90°=______（等量代换）．
你还能用其他方法解决这一问题吗？
【答案】（1）90°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；90°；125°；（2）三角形的一
个外角等于和它不相邻的两个内角的和；∠EBC；35°．
【分析】（1）由CD⊥AB可得∠CDB=90°，由三角形的外角性质可得∠EBC=∠CDB+∠BCD，代
入已知计算即可求解；
（2）由三角形的外角性质可得∠A=∠EBC−∠ACB，代入已知计算即可求解；
本题考查了三角形的外角性质，垂直的定义，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：（1）∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB=90°，
∵∠EBC=∠CDB+∠BCD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠EBC=90°+35°=125°（等量代换），
故答案为：90°；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；90°；125°；
（2）∵∠EBC=∠A+∠ACB（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∴∠A=∠EBC−∠ACB（等式的性质），
∵∠ACB=90°（已知），
∴∠A=∠EBC−90°=35°（等量代换），
故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；∠EBC；35°．4．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠B=40°，∠ACB的平分线CD交AB于点
D，DE∥AC交BC于点E，∠CDE=35°，求∠ADC及∠A的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵DE∥AC（已知），
∴① （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠CDE=35°（已知），
∴∠ACD=35°（等量代换），
∵CD平分∠ACB（已知），
∴② （角平分线的定义）．
∴∠BCD=35°（等量代换）．
∵∠ADC是△BDC的外角（已知），
∴∠ADC=③ （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠B=40°（已知），
∴∠ADC=40°+35°=75°．
∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④ ），
∴∠A=⑤ （等式的性质）
=180°−75°−35°
=70°．
【答案】①∠ACD=∠CDE；②∠ACD=∠BCD；③∠BCD+∠B；④三角形内角和定理；⑤
180°−∠ADC−∠ACD
【分析】根据平行线的性质得出∠ACD=∠CDE，根据角平分线的定义得出∠ACD=∠BCD，根据三
角形外角性质得出∠ADC=∠BCD+∠B，根据三角形内角和定理得出∠A+∠ADC+∠ACD=180°，
求出结果即可．
【详解】解：∵DE∥AC（已知），
∴①∠ACD=∠CDE（两直线平行，内错角相等）．
又∵∠CDE=35°（已知），
∴∠ACD=35°（等量代换），∵CD平分∠ACB（已知），
∴②∠ACD=∠BCD（角平分线的定义）．
∴∠BCD=35°（等量代换）．
∵∠ADC是△BDC的外角（已知），
∴∠ADC=∠BCD+∠B③（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
又∵∠B=40°（已知），
∴∠ADC=40°+35°=75°．
∴∠A+∠ADC+∠ACD=180°（④三角形内角和定理），
∴∠A=180°−∠ADC−∠ACD⑤（等式的性质）
=180°−75°−35°
=70°．
故答案为：①∠ACD=∠CDE；②∠ACD=∠BCD；③∠BCD+∠B；④三角形内角和定理；⑤
180°−∠ADC−∠ACD．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题
的关键熟练掌握平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
5．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=45°．D、E分别是AC、BC边上一
点，连接AE、BD，AE与BD相交于点F．若∠CBD=∠CAE，∠BAE=45°，请说明∠ADF=90°．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），
∴∠EFD=______（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
同理可得：∠EFD=______+∠DAF．
又∵∠CBD=∠CAE（已知），
∴∠ADF=______（等式性质）．
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=______（三角形内角和等于180°），
∠ABC=45°，∠BAE=45°（已知），
∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE（等式的性质），
=180°−45°−45°=90°，∴∠ADF=______°（等量代换）．
【答案】∠EBF+∠BEF；∠ADF；∠BEF；180°；90
【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的
两个内角的和、三角形内角和等于180°是解题的关键．
根据三角形外角的性质，三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵∠EFD是△BEF的外角（已知），
∴∠EFD=∠EBF+∠BEF（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）．
同理可得：∠EFD=∠ADF+∠DAF．
又∵∠CBD=∠CAE（已知），
∴∠ADF=∠BEF（等式性质）．
∵∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°（三角形内角和等于180°），
∠ABC=45°，∠BAE=45°（已知），
∴∠AEB=180°−∠BAE−∠ABE（等式的性质），
=180°−45°−45°=90°，
∴∠ADF=90°（等量代换）．
故答案为：∠EBF+∠BEF；∠ADF；∠BEF；180°；90．
6．（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，
已知∠B=60°，∠C=40°，∠1=50°，且∠3=∠4，求∠2的度数．
对于上述问题，在以下解答过程中的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（____ ______），
∠B=60°，∠C=40°（已知），
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(60°+40°)=___ ___（等量代换），
∵∠1=50°（已知），
∴∠DAC=∠BAC−∠1=80°−50°=30°（等量代换），
在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形内角和等于180°），
又∵∠3=∠4（______ ____），∴∠4=(180°−∠DAE)÷2=75°（等式的性质），
∵∠4=∠C+∠2（______ ____），
∴∠2=∠4−∠C=75°−40°=35°（等量代换）
【答案】见解析
【分析】根据三角形的内角和定理，以及三角形的外角的性质，进行作答即可．
【详解】在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于180°），
∠B=60°，∠C=40°（已知），
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=180°−(60°+40°)=80°（等量代换），
∵∠1=50°（已知），
∴∠DAC=∠BAC−∠1=80°−50°=30°（等量代换），
在△ADE中，∠DAE+∠3+∠4=180°（三角形内角和等于180°），
又∵∠3=∠4（已知），
∴∠4=(180°−∠DAE)÷2=75°（等式的性质），
∵∠4=∠C+∠2（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和），
∴∠2=∠4−∠C=75°−40°=35°（等量代换）
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，以及三角形的外角．熟练掌握三角形的内角和为180°，三角形的
一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．
7．（23-24八年级·吉林长春·期末）【问题】
如图①，在△ABC中，∠A=80°，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．求∠D的度数，对于上述问题，
在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°（_______________），
∴∠ABC+∠ACB=_____________（等式性质）．
∵∠A=80°（已知），
∴∠ABC+∠ACB=_____________（等量代换）．
∵DB平分∠ABC（已知），1
∴∠DBC= ∠ABC（角平分线的定义）．
2
同理，∠DCB=__________．
1
∴∠DBC+∠DCB= (∠ABC+∠ACB)=__________（等式性质）．
2
∵∠DBC+∠DCB+∠D=180°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=__________（等式性质）．
【拓展】如图②，在△ABC中，∠A=α，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB．
则∠D=（__________）．
【应用】如图③，在△ABC中，DB平分∠ABC，DC平分∠ACB，EB平分∠DBC，EC平分∠DCB．
若∠E=145°，则∠A=（__________）．
1 α
【答案】[问题]三角形内角和定理；180°−∠A；100°； ∠ACB；50°；130°；[拓展] 90°＋ ；[应用] 40°．
2 2
【分析】[问题]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝100°，
1 1
由角平分线的定义可得∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；
2 2
[拓展]由三角形内角和定理可得∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，从而求得∠ABC＋∠ACB＝180°−α，由角平
1 1
分线的定义可得∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，再次利用三角形内角和定理可求∠D的度数；
2 2
[应用]利用[拓展]中的结论先求出∠D的度数，再次利用[拓展]中的结论求出∠A即可．【详解】解：[问题]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A（等式性质），
∵∠A＝80°（已知），
∴∠ABC＋∠ACB＝100°（等量代换），
∵DB平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC＝ ∠ABC（角平分线的定义）．
2
1
同理，∠DCB＝ ∠ACB．
2
1
∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝50°（等式性质）．
2
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
∴∠D＝180°−（∠DBC＋∠DCB）＝130°（等式性质）．
1
故答案为：三角形内角和定理；180°−∠A；100°； ∠ACB；50°；130°；
2
[拓展]∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°（三角形内角和定理），
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A（等式性质），
∵∠A＝α（已知），
∴∠ABC＋∠ACB＝180°−α（等量代换），
∵DB平分∠ABC（已知），
1
∴∠DBC＝ ∠ABC（角平分线的定义）．
2
1
同理，∠DCB＝ ∠ACB，
2
1 α
∴∠DBC＋∠DCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝90°− （等式性质），
2 2
∵∠DBC＋∠DCB＋∠D＝180°，
α
∴∠D＝180°−（∠DBC＋∠DCB）＝90°＋ ；
2
α
故答案为：90°＋ ；
2
1
[应用]由[拓展]可知：∠E＝90°＋ ∠D，
2
∵∠E=145°，1
∴145°=90°+ ∠D，
2
∴∠D=110°，
1
又由[拓展]可得：∠D=90°+ ∠A，
2
1
∴110°=90°+ ∠A，
2
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间
的关系．
8．（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）互动学习课堂上，某小组同学对一个课题展开了探究．
(1)已知：如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点P，试探究∠BPC和∠A的关系．请在以下解
答过程的空白处填上适当的内容（理由成数学式）．
解：延长BP交AC于点D．
∵ ∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（__________），
∴ ∠BPC=∠2+∠1+∠A．
∵ ∠B和∠C的平分线相交于点P，
1 1
∴ ∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB（角平分线定义），
2 2
1 1 1
∴ ∠BPC= ∠ACB+ ∠ABC+∠A= (∠ABC+∠ACB)+∠A．
2 2 2
∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（__________），
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A（等式的性质），
1
∴ ∠BPC= (180°−∠A)+∠A=__________．
2
(2)如图，在△ABC中，∠ABC的平分线和外角∠ACD的平分线相交于点P，试探究∠P和∠A的关系，
并说明理由．(3)如图，△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，若∠A=50°，则∠P的度数为
__________．
1
【答案】(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是180°；90°+ ∠A
2
(2)2∠P=∠A，理由见解析
(3)65°
【分析】本题考查了是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分
线的定义和三角形的内角和定理；
（1） 根据提供的信息，∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A，根据三角形的一个外角等于与它不相邻
的两个内角的和，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，在同一个三角形内，属于三角形内角和定理，然后根
据等式的性质整理即可得到结论；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠1=∠P+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC，
再利用角平分线得定义得∠ACD=2∠1，∠ABC=2∠2，
，然后整理即可得到∠P和∠A的关系的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠PBC，∠PCB，
然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】（1）解：延长BP交AC于点D．
∵ ∠BPC=∠2+∠3，∠3=∠1+∠A（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴ ∠BPC=∠2+∠1+∠A．
∵ ∠B和∠C的平分线相交于点P，1 1
∴ ∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACB（角平分线定义），
2 2
1 1 1
∴ ∠BPC= ∠ACB+ ∠ABC+∠A= (∠ABC+∠ACB)+∠A．
2 2 2
∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形的内角和是180°），
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A（等式的性质），
1 1
∴ ∠BPC= (180°−∠A)+∠A=90°+ ∠A．
2 2
1
故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的内角和是180°；90°+ ∠A；
2
（2）解：∵∠1=∠P+∠2，∠ACD=∠A+∠ABC，
△ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，
∴∠ACD=2∠1，∠ABC=2∠2，
∴2(∠P+∠2)=∠A+∠ABC，
2∠P+2∠2=∠A+∠ABC，
∴2∠P=∠A
（3）∵ ∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−50°=130°，
∵ABC+∠CBD=180°，∠ACB+∠BCE=180°，
∴ ∠CBD+∠BCE=230°
∵ △ABC的外角∠CBD的平分线和∠BCE的平分线相交于点P，
1 1
∴∠PBC= ∠CBD，∠PCB=∠ ∠BCE，
2 2
1
∴∠PBC+∠PCB= (∠CBD+∠BCE)=115°
2
∴∠P=180°−∠PBC+∠PCB=180°−115°=65°．
故答案为：65°
【题型2 与三角形的角有关的计算】
9．（23-24八年级·河南洛阳·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为边BC上一点．(1)若AE平分∠BAC，∠DAE=15°，∠B=60°，求∠C的度数．
(2)在（1）条件下，直接写出∠AEC=______．
【答案】(1)30°
(2)105°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
（1）先求出∠BAD的度数，即可求出∠BAE的度数，于是得出∠BAC的度数，再根据三角形内角和定
理即可求出∠C的度数；
（2）在△ACE中根据三角形内角和定理即可求出∠AEC的度数．
【详解】（1）解：∵AD⊥BC,∠B=60°，
∴在△ABD中，∠BAD=90°−60°=30°，
又∵∠DAE=15°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=30°+15°=45°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAE=90°，
∴在△ABC中，∠C=180°−∠BAC−∠B=180°−90°−60°=30°，
（2）解：由（1）知∠BAE=∠CAE=45°,∠C=30°，
∴∠AEC=180°−∠CAE−∠C=180°−45°−30°=105°，
故答案为：105°．
10．（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，已知∠BCD=120°，EF∥DC，∠BAC=80°，
∠EFA=25°，求∠B的度数．
【答案】35°
【分析】本题考查三角形外角性质，平行线性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键，
利用三角形外角性质得到∠E=55°，利用平行线性质得到∠ACD=∠E=55°，进而得到∠BCA=65°，
再结合三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
【详解】解：∵ ∠BAC=80°，∠EFA=25°，
∴ ∠E=55°，∵ EF∥DC，
∴ ∠ACD=∠E=55°，
∵ ∠BCD=120°，
∴ ∠BCA=∠BCD−∠ACD=120°−55°=65°，
∵ ∠B+∠BAC+∠ACD=180°，
∴ ∠B=180°−65°−80°=35°．
11．（23-24八年级·河南鹤壁·期末）如图所示，AD为△ABC的高，AE，BF为△ABC的角平分线，若
∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)求∠DAE的度数；
(2)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【答案】(1)∠DAE=10°
(2)20°或60°
【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握三角形
内角和等于180°以及分类讨论思想成为解答本题的关键．
（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可；
（2）分∠CFM=90°和∠CMF=90°两种情况解答即可．
【详解】（1）解：∵BF为△ABC的角平分线．∠CBF=30°
∴∠ABF=∠CBF=30°，∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=30°，
在△ABF中∠AFB=70°，
∴∠BAF=80°，
∵AE为△ABC的角平分线，
∴∠BAE=40°∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=10° ；
（2）解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，
∴∠C=180°−∠ABC−∠BAC=40°，
①当∠CFM=90°时，
∵∠AFB=70°，
∴∠BFC=180°−∠AFB=110°，
∵∠CFM=90°
∴∠BFM=∠BFC−∠CFM=20°；
②当∠CMF=90°时，
∵∠CBF=30°，
∴∠BFM=∠CMF−∠CBF=60°，
综上，∠BFM的度数为20°或60°．
12．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图①，∠MON=80∘，点A,B在∠MON的两条边上运动，
∠OAB和∠OBA的平分线交于点C．
(1)点A,B在运动过程中，则∠ACB的度数为______；
(2)如图②，AD是∠MAB的平分线，AD的反向延长线交BC的延长线于点E，点A,B在运动过程中，∠E的大小会变吗？如果不会，求出∠E的度数；如果会，请说明理由．
(3)若∠MON=n，请直接写出∠ACB= ______；∠E=
______．
_ _
【答案】(1)130∘
(2)∠E的大小不变，理由见解析
1 1
(3)90∘+ n， n．
2 2
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理及三角形外角的性质的运用，解答此题的关键是熟知以下知识：
①三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和；②三角形的内角和是180∘．
(1)先根据三角形内角和定理及角平分线的性质求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据三角形内角和是180∘
即可求解；
(2)根据AD是∠MAB的平分线，AC平分∠OAB可知∠CAD=90∘，∠CAE=90∘，再根据三角形内角和
是180∘即可求解；
1 1
(3)仿照(1)(2)中的计算方法即可得到∠ACB=90∘+ n，∠E= n．
2 2
【详解】（1）解：在△AOB中，由∠AOB=80∘，得∠OAB+∠OBA=100∘，
∵AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
1 1
∴∠CAB= ∠OAB，∠CBA= ∠OBA，
2 2
1 1
∴∠CAB+∠CBA= (∠OAB+∠OBA)= ×100∘=50∘ ，
2 2
∴∠ACB=180∘−(∠CAB+∠CBA)=180∘−50∘=130∘；
故答案为：130∘；
（2）∠E的大小不变．
证明：∵AC、AD分别平分∠OAB和∠BAM，1 1
∴∠CAB= ∠OAB，∠DAB= ∠BAM，
2 2
1 1
∴∠CAB+∠DAB= (∠OAB+∠BAM)= ×180∘=90∘ ，
2 2
即∠CAD=90∘，
∴∠CAE=90∘，
又由(1)可知∠ACB=130∘，
∴∠ACE=50∘，
在△AEC中，由∠CAE=90∘，∠ACE=50∘，得
∠E=180∘−90∘−50∘=40∘；
1 1
（3）(3)∠ACB=90∘+ n，∠E= n．
2 2
理由：∵AC、BC分别平分∠OAB和∠OBA，
1 1
∴∠CAB= ∠OAB，∠CBA= ∠OBA，
2 2
1
∴∠CAB+∠CBA= (∠OAB+∠OBA)，
2
∴
1 1 1 1
∠ACB=180∘−(∠CAB+∠CBA)=180∘− (∠OAB+∠OBA)=180∘− (180∘−∠AOB)=90∘+ ∠A；OB=90∘+ n
2 2 2 2
∵BC、AD分别平分∠OBA和∠BAM，
1 1
∴∠ABE= ∠OBA，∠DAB= ∠BAM，
2 2
∵∠BAM是△ABO的外角，
∴∠O=∠BAM−∠ABO，
∵∠DAB是△ABE的外角，
1 1 1 1 1
∴∠E=∠DAB−∠ABE= ∠BAM− ∠OBA= (∠BAM−∠ABO)= ∠O= n.
2 2 2 2 2
1 1
故答案为：90∘+ n， n．
2 2
13．（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AE平分∠BAC，
AD⊥BC，点F是从点A沿AE向点E运动的一动点，过点F作FD⊥BC于点D．(1)如图1，当点F与点A重合时，求∠DFE的度数；
(2)如图2，当点F位于点A，E之间时，求∠DFE的度数．
【答案】(1)15°
(2)15°
【分析】本题主要考查角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
1
（1）根据题意求出∠BAC=60°，再由角平分线的定义求出∠EAC= ∠BAC=30°，即可得到答案；
2
（2）由三角形的外角性质得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵ ∠C=75°，∠B=45°
∴ ∠BAC=180°−∠C−∠B=180°−75°−45°=60°.
∵ AE平分∠BAC，
1
∴ ∠EAC= ∠BAC=30°.
2
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADC=90°.
∵ ∠C=75°，
∴ ∠DAC=15°，
∴ ∠DFE=∠EAC−∠DAC=15°；
（2）解：由（1）知∠BAC=60°，
∵ AE平分∠BAC，
1 1
∴ ∠BAE= ∠BAC= ×60°=30°.
2 2
由三角形的外角性质得，∠AEC=∠B+∠BAE=45°+30°=75°，
∴ ∠DFE=90°−75°=15°．
14．（23-24八年级·福建泉州·期末）如图，已知∠AOB=72°，点C、N分别在∠AOB的两边OA，OB上运动（点C、N与点O不重合），CE平分∠ACN．
(1)若∠ACN=125°，试求出∠ONC的度数；
(2)已知FN平分∠ONC交CE的反向延长线于点F．在点C、N的运动过程中，∠F的度数是否发生改变？
若不变，试求出∠F的度数；若发生改变，请说明理由．
【答案】(1)53°
(2)不变，∠F=36°
【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定
理和三角形外角的性质是解题的关键．
（1）根据邻补角求出∠OCN=180°−∠ACN=55°，再利用三角形内角和定理即可求出∠ONC的度数；
1 1
（2）由角平分线得到∠ECN= ∠ACN，∠CNF= ∠CNO，由三角形外角的性质得到
2 2
1 1 1
∠ACN=∠AOB+∠ONC，则∠ECN= ∠AOB+ ∠ONC= ∠AOB+∠CNF，即可得到
2 2 2
1
∠ECN= ×72°+∠CNF=36°+∠CNF，由∠ECN=∠F+∠CNF即可得到∠F的度数．
2
【详解】（1）解：∵∠ACN=125°，∠OCN＋∠ACN=180°，
∴∠OCN=180°−∠ACN=55°，
∵∠AOB=72°，∠AOB+∠OCN+∠ONC=180°，
∴∠ONC=180°−∠AOB−∠OCN=180°−72°−55°=53°；
（2）∠F的度数不变，
理由如下：如图所示，∵CE平分∠ACN，FN平分∠ONC，
1 1
∴∠ECN= ∠ACN，∠CNF= ∠CNO，
2 2
∵∠ACN=∠AOB+∠ONC ，
1 1 1
∴∠ECN= ∠AOB+ ∠ONC= ∠AOB+∠CNF，
2 2 2
∵∠AOB=72° ，
1
∴∠ECN= ×72°+∠CNF=36°+∠CNF，
2
∵∠ECN=∠F+∠CNF ，
∴∠F=∠ECN−∠CNF=36°．
15．（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，点A在射线OQ上运动，点
B在射线OM上运动，点A，B均不与点O重合．
(1)如图1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，AI交BI于I，则∠AIB=______°．
(2)如图2，AI平分∠BAO交OB于点I，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI的延长线于点D．
①直接写出，则∠ADB=______°．
②在点A，B的运动过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若不变，求出∠ADB的度数；若变化，请
说明理由．
【答案】(1)135
(2)①45；②不会发生变化，∠ADB=45°．【分析】本题主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质的运用，要求掌握角平分线的性质，渗透由
特殊到一般的思想和用字母表示数的意义及分类讨论思想，属八年级压轴题．
1
（1）由角平分线性和三角形内角和定理，建立∠BIA=180°− (∠BAO+∠OBA)和
2
∠BOA=180°−(∠OAB+∠OBA)的关系；
（2）①根据（1）中思路，然后根据三角形外角定理进行具体计算即可得到；
②由①的思路，设∠BAO=α，用含α的代数式表示∠CBA和∠BAD，然后代入计算即可证明不变．
【详解】（1）解：∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
1 1
∴∠OBI=∠ABI= ∠OBA,∠OAI=∠BAI= ∠OAB,
2 2
∴∠BIA=180°−∠IBA−∠IAB
1 1
=180°− ∠OBA− ∠OAB
2 2
1
=180°− (∠OBA+∠OAB)
2
1
=180°− (180°−∠BOA)
2
1
=180°−90°+ ∠BOA
2
1
=90°+ ∠BOA，
2
∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA=90°，
1
∴∠AIB=90°+ ×90°=135°，
2
故答案为：135．
（2）解：①∵直线MN与PQ互相垂直，垂足为O，
∴∠BOA=90°，
∴∠ABM=∠BAO+∠AOB=∠BAO+90°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
1 1
∴∠CBA= ∠ABM,∠BAD= ∠BAO，
2 21 1
∴∠ADB=∠CBA−∠BAD= (∠ABM−∠BAO)= ×90°=45°，
2 2
故答案为：45．
②不变，∠ADB=45°．
设∠BAO=α，
∵AI平分∠BAO交OB于点I,BC平分∠ABM，
1 1 1 1 1
∴∠BAI= ∠BAO= α,∠MBA=90°+α,∠CBA= ∠MBA= (90°+α)=45°+ α，
2 2 2 2 2
1 1
∴∠ADB=∠CBA−∠BAD=45°+ α− α=45°，
2 2
∴∠ADB=45°不变．
16．（23-24八年级·河北张家口·期末）在我们华师版义务教育教科书数学七下第82页，曾经研究过三角
形角平分线的夹角问题．明明在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下：
【问题改编】
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，若∠A=50°．则∠P=______；
【问题推广】
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P，过点B作
BH⊥AP于点H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度数；
（3）如图3，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的
延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ．若∠F=n°，
则∠A的度数为______．（结果用含n的代数式表示）
【答案】（1）115°；（2）∠PBH=50°；（3）180°−8n°
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义：
（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由角平分线的定义得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性质得到∠CBP=∠BAP+40°，根据三角形内角和定理推出∠P=180°−∠BAP−∠ABP=40°，再由垂线的
定义得到∠BHP=90°，则∠PBH=180°−∠P−∠BHP=50°．
（3）先由角平分线的定义得到∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，∠MBC=2∠EBC，
∠BCN=2∠ECB，∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，再由三角形内角和
∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2∠DBC−2∠DCB=4(∠EBC+∠ECB)−540°，根据
∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC−∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，得到
∠EBC+∠ECB=180°−2∠F，由此得解．
【详解】解：（1）∵ ∠A=50°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=130°，
∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，
∴ 2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°
∴ ∠P=180°−∠PBC−∠PCB=115°；
（2）∵ AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，
∴ ∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，
∵ ∠CBM=∠BAC+∠ACB，∠ACB=80°，
∴ 2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，
∴ ∠CBP=∠BAP+40°，
∵ ∠ABC=180°−∠ACB−∠BAC，
∴ ∠ABC=100°−2∠BAP
∴ ∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°−∠BAP，
∴ ∠ABP+∠BAP=140°，
∴ ∠P=180°−∠BAP−∠ABP=40°，
∵ BH⊥AP，即∠BHP=90°，
∴ ∠PBH=180°−∠P−∠BHP=50°；
（3）∵ BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴ ∠ABC=2∠DBC，∠ACB=2∠DCB，
∵ BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，
∴ ∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠ECB，
∵ BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，
∴ ∠EBC=2∠FBE=2∠FBC，∠ECQ=2∠ECF=2∠QCF，∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠DBC=180°−∠MBC，∠DCB=180°−∠BCN，
∴ ∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−2∠DBC−2∠DCB
=180°−2(180°−∠MBC)−2(180°−∠BCN)
=2(∠MBC+∠BCN)−540°，
=2(2∠EBC+2∠ECB)−540°
=4(∠EBC+∠ECB)−540°，
又∵ ∠F+∠FBC+∠FCB=180°，∠FBC=∠EBC−∠FBE，∠FCB=∠ECB+∠ECF，
即∠F+∠FBC+∠FCB=∠F+∠EBC−∠FBE+∠ECB+∠ECF=180°，
∴ ∠EBC+∠ECB=180°−∠F−(∠ECF−∠FBE)，
又∵∠ECF=∠QCF，∠FBE=∠FBC，
∴ ∠ECF−∠FBE=∠QCF−∠FBC=∠F，
∴ ∠EBC+∠ECB=180°−∠F−(∠ECF−∠FBE)=180°−2∠F，
∴ ∠A=4(∠EBC+∠ECB)−540°=4(180°−2∠F)−540°=180°−8∠F=180°−8n°．
【题型3 探究与三角形有关的角之间的关系】
17．（23-24八年级·吉林长春·期中）将三角形纸片ABC沿直线DE折叠，使点A落在A′处．
【感知】如果点A′落在边AB上，这时图①中的∠1变为0°，那么∠A′与∠2之间的关系是
;
【探究】如果点A′落在四边形BCDE的内部(如图①)，那么∠A′与∠1、∠2之间存在怎样的数量关系?并
说明理由.
【拓展】如果点A′落在四边形BCDE的外部(如图②)，那么请直接写出∠A′与∠1、∠2之间存在数量关
系 .
【答案】感知：∠2=2∠A′探究：2∠A′=∠1+∠2 拓展：2∠A′=∠2−∠1
【分析】[感知]根据三角形外角性质得出∠1=∠A+∠EA′D，根据折叠性质得出∠EA′D=∠A，即可
求出答案；
[探究]根据三角形内角和定理得出∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，
两式相加可得∠A′DA+∠A′EA=360°−(∠A+∠A′)，即∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，根据平角的定义得出∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，可得出∠A′+∠A=∠1+∠2，根据折叠性质
得出∠A′=∠A，即可得出2∠A=∠1+∠2；
[拓展]根据三角形外角性质得出∠DME=∠A′+∠1，∠2=∠A+∠DME，推出∠2=∠A+∠A′+∠1，
即可得出答案．
【详解】解：[感知]：∠2=2∠A．
理由如下：当点A'落在边AB上时，由折叠可得：∠EA′D=∠A；
∵∠2=∠A+∠EA′D，
∴∠2=2∠A，
故答案为：∠2=2∠A；
[探究]：2∠A=∠1+∠2．
理由如下：∵∠AED+∠ADE=180°−∠A，∠A′ED+∠A′DE=180°−∠A′，
∴∠A′DA+∠A′EA=360°−(∠A+∠A′ )，
∴∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA=360°，
∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA=360°，
∴∠A′+∠A=∠1+∠2，
由折叠可得：∠A=∠A′，
∴2∠A′=∠1+∠2，
故答案为：2∠A′=∠1+∠2；
[拓展]：如图②，
∵∠DME=∠A′+∠1 ∠2=∠A+∠DME
， ，
由折叠可得：∠A=∠A′，
∴∠2=∠A+∠A′+∠1=2∠A+∠1，
∴2∠A=∠2−∠1，
2∠A′=∠2−∠1
故答案为：2∠A′=∠2−∠1．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理的应用，本题主要考查运用定理进行推理和计算的能力．解题的关键是结合图形运用外角的性质列等式求解．
18．（23-24八年级·江苏盐城·期中）如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC、BD及线段AB把平面分
成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，
构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角）
(1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD；
(2)当动点P落在第②部分时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？如果成立，请说明理由；不成立直接
写出结论．
(3)当动点P落在第③部分时，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系，并写出动点P的具体位置
和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)不成立．正确结论是∠APB+∠PAC+∠PBD=360°
(3)（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB；
（b）当动点P在射线BA上，结论是：∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或
∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）；
（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD；选择其中一种情况证明见解析
【分析】（1）如图，延长BP交直线AC于点E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由
∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）过点P作AC的平行线，根据平行线的性质解答即可得到答案；
（3）根据P的不同位置，分三种情况讨论，得到结论，并选择其中一种证明即可．
【详解】（1）证明：延长BP交直线AC于点E，如图所示：
∵AC∥BD
，∴∠PEA=∠PBD，
∵∠APB=∠PAE+∠PEA，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）解：不成立，正确结论是∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
理由如下：过P作PE∥AC，如图所示：
∵ AC∥BD
，
∴AC∥PE∥BD，
∴∠PAC+∠APE=180°，∠PBD+∠BPE=180°，
∵∠APB=∠APE+∠BPE，
∴ ∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（3）解：（a）当动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB；
证明：连接PA，连接PB交AC于M，如图所示：
∵AC∥BD
，
∴∠PMC=∠PBD．
又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠PBD=∠PAC+∠APB；
（b）当动点P在射线BA上，结论是∠PBD=∠PAC+∠APB；或∠PAC=∠PBD+∠APB或
∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任写一个即可）；
证明：如图所示：∵ P BA
点 在射线 上，
∴∠APB=0°，
∵AC∥BD，
∴∠PBD=∠PAC，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD；
（c）当动点P在射线BA的左侧时，结论是∠PAC=∠APB+∠PBD；
证明：连接PA，连接PB交AC于F，如图所示：
∵AC∥BD
，
∴∠PFA=∠PBD，
∵∠PAC=∠APF+∠PFA，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD．
【点睛】本题是一道探索性问题，考查了平行线的性质、外角性质，读懂材料，运用分析研究能力，熟记
平行线性质与外角性质求解是解决问题的关键．
19．（23-24八年级·山东滨州·期末）如图所示的图形，像我们常见的符号−−箭号．我们不妨把这样图形
叫做“箭头四角形”．
(1)探究：观察“箭头四角形”，试探究图1中∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的关系，并说明理由；
(2)应用：请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY，XZ恰好经过点B，C，若
∠A=60°，则∠ABX+∠ACX=___________°；
②如图3，∠ABE，∠ACE的二等分线（即角平分线）BF，CF相交于点F，若∠BAC=60°，
∠BEC=130°，求∠BFC的度数．
【答案】(1)∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
(2)①30 ②95°
【分析】本题主要考查几何变换的综合问题，解题的关键是掌握“箭头四角形”的性质
∠BOC=∠A+∠B+∠C及其运用，学会利用参数解决问题．
（1）如图1中，连接AD并延长到M，利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）①利用（1）中结论计算即可；
②如图3中, 设∠ABF=∠EBF=x, ∠ACF=∠ECF= y.利用（1）中结论,求出x+ y即可解决问题．
【详解】（1）结论: ∠BDC=∠A+∠B+∠C.理由：
如图1中，连接AD并延长到M，
因为∠BDM=∠BAD+∠B,∠CDM=∠CAD+∠C
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B +∠CAD+∠C，
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；
（2）①如图2中,由（1）知:∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX，
由于∠BXC=90°,∠A=60°
所以 ∠ABX+∠ACX=∠BXC−∠A=90°−60°=30°，
故答案为30；
②如图3中, 设∠ABF=∠EBF=x, ∠ACF=∠ECF= y，
由（1）可知:∠BEC=2x+2y+60°=130°，
∴x+ y=35°，
∴∠BFC=x+ y+60°，
∴∠BFC=95°．
20．（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠A=80°，点D、E是△ABC边AC、AB上的
点，点P是平面内一动点．令∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
(1)若点P在线段BC上，如图1所示，∠α=50°，求∠1+∠2的值；
(2)若点P在边BC上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系________；
(3)若点P运动到边CB的延长线上，如图3所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
(4)若点P运动到△ABC外，如图4所示，则请表示∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)∠1+∠2=130°
(2)∠1+∠2=∠α+80°
(3)猜想∠1=80°+∠2+∠α，理由见解析
(4)∠1=80°+∠2−∠α，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质：（1）根据∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°，可得∠ADP+∠AEP=230°，再根据平角的定义可
得180°−∠1+180°−∠2=230°，则∠1+∠2=130°；
（2）同（1）求解即可；
（3）由三角形的外角的性质知：∠DMA=∠2+∠α，∠1=∠A+∠DMA，据此可得结论；
（4）由三角形的外角的性质知：∠2=∠PME+∠P，∠1=∠A+∠AMD，再由∠AMD=∠PME，
则∠1=∠A+∠2−∠P．
【详解】（1）解：∵在四边形ADPE中，∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°（四边形内角和可以
看做连接对角线后两个三角形的内角和），∠A=80°，∠α=50°，
∴∠ADP+∠AEP=230°
∵∠ADP=180°−∠1，∠AEP=180°−∠2，
∴180°−∠1+180°−∠2=230°，
∴∠1+∠2=130°；
（2）解：∵在四边形ADPE中，∠A+∠DPE+∠ADP+∠AEP=360°（四边形内角和可以看做连接
对角线后两个三角形的内角和），∠A=80°，
∴∠ADP+∠AEP=280°−∠α
∵∠ADP=180°−∠1，∠AEP=180°−∠2，
∴180°−∠1+180°−∠2=280°−∠α，
∴∠1+∠2=∠α+80°；
（3）解：猜想∠1=80°+∠2+∠α，理由如下：
设PD，AB交于M，
由三角形的外角的性质知：
∠DMA=∠2+∠α，∠1=∠A+∠DMA，
∴∠1=∠A+∠2+∠α，
即∠1=80°+∠2+∠α；
（4）解：∠1=80°+∠2−∠α，理由如下：
设PD，AB交于M，
由三角形的外角的性质知：∠2=∠PME+∠P，∠1=∠A+∠AMD，
∵∠AMD=∠PME，
∴∠1=∠A+∠2−∠P，，
即∠1=80°+∠2−∠α，
21．（23-24八年级·湖南株洲·期末）AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P
在直线EF右侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
(1)写出∠EPG，∠BEP，∠PGD之间的关系，并说明理由．
1
(2)如图1，连接EG，若EG平分∠PEF，∠BEP+∠PGE=110°，∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°．
2
求∠BEP的度数；
(3)如图2，若EF平分∠PEA，∠PGD的平分线GN所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之
间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)∠EPG=∠BEP+∠PGD
(2)40°
(3)∠EPG+2∠EHG=180°
【分析】（1）延长EP交GD于点M，利用平行线的性质，三角形外角性质证明即可．
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，等量代换计算即可．（3）利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，等量代换计算即可．
【详解】（1）∠EPG，∠BEP，∠PGD之间的关系为∠EPG=∠BEP+∠PGD．理由如下：
延长EP交GD于点M，
∵AB∥CD，
∴∠BEP=∠EMG，
∵∠EPG=∠EMG+∠PGD，
∴∠EPG=∠BEP+∠PGD．
1
（2）∵∠PGD= ∠EFD，∠PGD=30°，
2
∴∠EFD=60°；
∵AB∥CD，
∴∠EFD+∠BEF=180°，
∴∠BEF=120°，
∵EG平分∠PEF，
∴∠BEP+2∠PEG=120°，
∵∠EGD=∠EFG+∠FEG，
∴∠PGD+∠PGE=∠EFG+∠PEG，
∴30°+∠PGE=60°+∠PEG，
∴∠PGE=30°+∠PEG，
∵ ∠BEP+∠PGE=110°，∴∠BEP+30°+∠PEG=110°，
∴∠BEP+∠PEG=80°，
∴(∠BEP+∠PEG)+∠PEG=120°，
解得∠PEG=40°，
∴∠BEP=40°．
（3）∠EPG与∠EHG之间的数量关系为：∠EPG+2∠EHG=180°．理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFG，∠EFD+∠BEF=180°，
∵EF平分∠PEA，
∴∠AEF=∠PEF，
∴∠AEF=∠PEF=∠EFG，
∴∠EFD+∠PEF+∠BEP=180°，
∴2∠EFD+∠BEP=180°，
∵∠EFD=∠EHG+∠FGH，GN平分∠PGD，
1
∴∠EFD=∠EHG+ ∠PGD，
2
( 1 )
∴2 ∠EHG+ ∠PGD +∠BEP=180°，
2
∴2∠EHG+∠PGD+∠BEP=180°，
根据（1）得∠EPG=∠BEP+∠PGD，
故∠EPG+2∠EHG=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行线的性质，三角
形外角性质是解题的关键．
22．（23-24八年级·广东清远·期末）（1）如图①，在四边形ABOC中，∠BOC=130°，∠B=29°，
∠C=28°．直接写出∠BOC与∠B，∠C，∠A之间的关系．
（2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算∠A+∠ABC+∠D+∠≝¿的度数．（3）如图③，在△ABC中，设∠A=β，∠ABC和∠ACB的平分线BD，CE交于点O，过B作EC的平
行线BG交AC的延长线于点G，试用含β的代数式表示∠OBG的度数．
β
【答案】（1）∠BOC=∠A+∠B+∠C；（2）224°（3） 90°−
2
【分析】（1） 延长BO交AC于点D，利用外角的性质可得∠BDC=∠A+∠B，
∠BOC=∠BDC+∠C，从而得到∠BOC=∠A+∠B+∠C；
（2）连接BE，利用（1）中得出的结论可知：∠A+∠ABE+∠BEF=∠AFE=132°，
∠CBE+∠D+∠BED=∠BCD=92°，两式相加即可得解；
β
（3）利用角平分线得到∠OBC+∠OCB=90− ，再根据∠CBG=∠OCB，
2
∠OBG=∠OBC+∠CBG即可求解．
【详解】解：（1）∠BOC=∠A+∠B+∠C，理由如下：
延长BO交AC于点D，如图①：
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠B．
∵∠BOC是△COD的外角，
∴∠BOC=∠BDC+∠C，∴∠BOC=∠A+∠B+∠C，
即∠BOC与∠B、∠C、∠A之间的关系为∠BOC=∠A+∠B+∠C；
（2）连接BE，如图②：
根据图②中的条件，利用（1）中得出的结论可知：
∠A+∠ABE+∠BEF=∠AFE=132°，
∠CBE+∠D+∠BED=∠BCD=92°，
∴∠A+∠ABE+∠BEF+∠CBE+∠D+∠BED=132°+92°=224°，
即∠A+∠ABC+∠D+∠≝=224°；
（3）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−β，
∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE交于点O，
1 1
∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，
2 2
1 β
∴∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)=90− ．
2 2
∵BG∥EC，
∴∠CBG=∠OCB，
β
∴∠OBG=∠OBC+∠CBG=∠OBC+∠OCB=90°−
2
β
即用含β的代数式表示∠OBG的度数为90°−
2
【点睛】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
23．（23-24八年级·山东青岛·期末）△ABC中，∠C=70°，点D，E分别是△ABC边AC,BC上的点，
点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．初探：
(1)如图1，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2=________°；
(2)如图2，若点P在线段AB上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为__________；
(3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，则∠1,∠2,∠α之间的关系为__________．
再探：
(4)如图4，若点P运动到△ABC的内部，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系，并说明理由．
(5)若点P运动到△ABC的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时∠1,∠2,∠α之间的关系，并说明
理由．
【答案】(1)130
(2)∠1+∠2=70°+∠α
(3)∠1=∠2+∠α+70°
(4)∠1+∠2=430°−∠α
(5)∠1−∠2=70°−∠α或∠2−∠1=∠α−70°
【分析】（1）如图1所示，连接CP，证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可得到答案；
（2）只需要证明∠1+∠2=∠C+∠DPE即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：如图1所示，连接CP，
∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠CPD+∠CPE+∠ECP=∠ACB+∠DPE，
∵∠ACB=70°，∠DPE=60°，
∴∠1+∠2=130°，
故答案为：130；
（2）解：∵∠1+∠CDP=180°，∠2+∠CEP=180°，
∴∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，
∵∠C=70°，∠DPE=∠α，∠CDP+∠CEP+∠C+∠DPE=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠DPE=70°+α
故答案为：∠1+∠2=70°+∠α；
（3）解：设DP与BC交于F，
∵∠C+∠CFD=∠1，∠CFD=∠2+∠α，
∴∠1=∠2+∠α+70°，
故答案为：∠1=∠2+∠α+70°；
（4）解：如图所示，连接CP，
∵∠1=∠DCP+∠CPD，∠2=∠CPE+∠ECP，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠COD=∠ACB+360°-∠DPE，∴∠1+∠2=430°−∠α；
（5）解：如图5-1所示，∵∠1=∠C+∠COD，∠2=∠P+∠POE，∠COD=∠POE，
∴∠1−∠2=∠C−∠P=70°−∠α
如图5-2所示，∵∠1=∠P+∠POD，∠2=∠C+∠COE，∠POD=∠COE，
∴∠2−∠1=∠P−∠C=∠α−70°
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
24．（23-24八年级·四川内江·期末）△ABC中， ∠C=70°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的两
个定点，点Р是平面内一动点，记∠PDA=∠1，∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．
初探:（1）如图1，若点P在线段AB上运动，
①当∠α=60°时，则∠1+∠2=________°；
②∠α、∠1、∠2之间的关系为:___________________________.
再探:
（2）若点Р运动到边AB的延长线上，如图2，则∠α、∠1、∠2之间有何关系?并说明理
拓展:
（3）如图3，写出此时∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）①130，②∠1+∠2=70°+∠α；（2）∠1=70°+∠2+∠α，见解析；（3）
∠1+∠2=430°−∠α，见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接PC．证明∠1+∠2=∠ACB+∠DPE即可． ②利用①中结论解决问题．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（3）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【详解】解:（1）①如图1中，连接PC．
∵∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DCP+∠ECP+∠EPC
=∠ACB+∠DPE=∠ACB+∠α，
∵∠ACB=70°,∠α=60°，
∴∠1+∠2=60°+70°=130°．
②由①可知，∠1+∠2=∠ACB+∠α=70°+∠α，
故答案为：①130，②∠1+∠2=70°+∠α．
（2）结论:∠1=70°+∠2+∠α．
理由:如图2中，∵∠1=∠C+∠CFD,∠CFD=∠2+∠α，
∴∠1=70°+∠2+∠α．
（3）结论: ∠1+∠2=430°−∠α．
理由:如图3中，
∵∠1=∠DCP+∠DPC,∠2=∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠DCP+∠DPC+∠ECP+∠EPC
=∠ACB+360°−∠DPE=70°+360°−∠α，
∴∠1+∠2=430°−∠α．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形内
角和定理.
【题型4 探究与三角形有关的线段之间的关系】
25．（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的外角∠CBD的平分
线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．
(1)若∠A=40°，∠F=25°，求证：DF∥BE．
(2)若DF∥BE，探究∠F=30°，则∠A=________；（直接写答案，不用证明）【答案】(1)见详解
(2)30°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质与判定，角平分线定义．掌握
三角形外角的性质和平行线的性质与判定是解题的关键．
（1）先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°−65°=25°，再根据∠F=25°，即可得出DF∥BE．
（2）由平行线的性质得出∠F=∠BEA，再由三角形外角性质和角平分线定义得
1 1 1
∠DBE= ∠CBD= (∠A+∠ACB)= (∠A+90°)，∠DBE=∠A+∠BEA=∠A+∠F，则
2 2 2
1
(∠A+90°)=∠A+∠F，即可得出结论．
2
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠CBD=90°+40°=130°，
∵BE平分∠CBD，
∴∠CBE=∠DBE=65°，
∴∠CEB=90°−65°=25°，
又∵∠F=25°，
∴∠F=∠CEB=25°，
∴DF∥BE；
（2）解：∵DF∥BE，
∴∠F=∠BEA，
∵BE是∠CBD的平分线，
1 1 1
∴∠DBE= ∠CBD= (∠A+∠ACB)= (∠A+90°)，
2 2 2
∵∠DBE=∠A+∠BEA=∠A+∠F，
1
∴ (∠A+90°)=∠A+∠F，
2
∴∠A+2∠F=90°，
∵∠F=30°．
∴∠A=90°−2∠F=30°．
26．（23-24八年级·河南周口·期末）如图，MN∥PQ，将两块三角尺（一块含30°角，一块含 45°角）
按如下方式放置，使 ∠MAE=∠CBQ，∠AED=∠ABC=90°．试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，利用平行线的性质可得出∠MAD=∠ADB，利用三角形内角
和定理可得出∠EDB=90°+∠MAE，利用角的和差关系可得出∠ABQ=90°+∠MAE，则
∠EDB=∠ABQ，然后利用平行线的判定即可得证．
【详解】解∶AB∥DE
理由：∵MN∥PQ，
∴∠MAD=∠ADB，
∵∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠EDB=∠EDA+∠ADB=∠EDA+∠MAD=∠EDA+∠EAD+∠MAE=90°+∠MAE，
∵∠MAE=∠CBQ，∠ABC=90°，
∴∠ABQ=∠ABC+∠CBQ=90°+∠MAE，
∴∠EDB=∠ABQ，
∴AB∥DE．
27．（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接
DE,∠EAD=∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F．
(1)说明：DE∥AC；
(2)若∠≝=40°,∠B=36°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)94°
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定、三角形内角和定理，（1）根据角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，再根据平行线的判定即可得证；
（2）利用三角形内角和定理求得∠EDF=50°， 再根据平行线的性质可得∠EDF=∠C=50°，再利用
三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
又∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC；
（2）解：∵EF⊥BC，
∴∠EFD=90°，
∵∠≝=40°，
∴∠EDF=180°−90°−40°=50°，
由（1）可得，DE∥AC，
∴∠EDF=∠C=50°，
∴∠BAC=180°−36°−50°=94°．
28．（23-24八年级·重庆黔江·期末）如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中
∠ACB=30°，∠DAE=45°，∠BAC=∠D=90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针
方向旋转，记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°)．
(1)在旋转过程中，当α为多少度时DE⊥BC；
(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；
【答案】(1)α=15°
(2)当0°<α≤45°时，∠BAE−∠CAD=45°；当45°<α≤90°时，∠BAE+∠CAD=45°；当
90°<α<180°时，∠CAD−∠BAE=45°；理由见解析【分析】本题考查了平行线性质和判定，三角形外角性质，三角板中角的相关计算，解题的关键在于利用
数形结合的思想解决问题．
（1）记DE与BC的交点为F，AE与BC的交点为G，利用三角板角度特点得到AD∥BC，进而得到
∠CGE=∠DAG=45°，利用三角形外角性质得到∠CAE+∠ACB=45°，即可解题．
（2）根据旋转过程，分以下情况讨论，①当0°<α≤45°时，②当45°<α≤90°时，③当90°<α<180°时，
对以上情况画出示意图，结合三角板中的角度进行运算，即可解题．
【详解】（1）解：如图2，记DE与BC的交点为F，AE与BC的交点为G，
∵DE⊥BC
，
∴∠DFB=90°，
又已知∠D=90°，
∴AD∥BC，
∴∠CGE=∠DAG=45°，
在△ABG中， ∠ACB=30°，
∵∠CAE+∠ACB=45°，∠CAE=α(0°<α<180°)，
∴α+30°=45°，
解得，α=15°．
∴当α为15°时DE⊥BC．
（2）解：当0°<α≤45°时，∠BAE−∠CAD=45°，
当45°<α≤90°时，∠BAE+∠CAD=45°，
当90°<α<180°时，∠CAD−∠BAE=45°，
理由如下：
①当0°<α≤45°时，如图2(1)，∠CAE+∠BAE=90°，∠CAE+∠CAD=45°，
∴∠BAE−∠CAD=45°；②当45°<α≤90°时，如图2(2)，∠CAE+∠BAE=90°，∠CAE−∠CAD=45°，
∴∠BAE+∠CAD=45°；
③当90°<α<180°时，如图2(3)，
∠BAE=∠EAD+∠DAB=45°+∠DAB，
∠CAD=∠CAB+∠DAB=90°+∠DAB，
∴∠CAD−∠BAE=45°．
29．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互
补．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且
GH⊥EG，求证：PF∥GH；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK=∠HPK，作PQ平分∠EPK，问
∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】(1)AB∥CD，理由见解析
(2)见解析
(3)∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形的内角和定理的应用．
（1）根据邻补角可得∠2=∠BEF，即可；
（2）根据AB∥CD，可得∠BEF+∠EFD=90°，再由角平分线的定义可得1 1 1
∠PEF+∠EFP= ∠EFD+ ∠BEF= (∠EFG+∠BEF)=90°，然后根据三角形内角和定理可得
2 2 2
∠EPF=90°，即可求证；
（3）根据三角形内角和定理可得∠PKG=2∠HPK，从而得到
∠EPK=180°−∠KPG=90°+2∠HPK，再由PQ平分∠EPK，可得
1
∠QPK= ∠EPK=45°+∠HPK，即可．
2
【详解】（1）解：AB∥CD，理由如下：
∵∠1与∠2互补，∠1与∠BEF互为邻补角，
∴∠2=∠BEF，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=90°，
∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，
1 1
∴∠PEF= ∠BEF，∠EFP= ∠EFD，
2 2
1 1 1
∴∠PEF+∠EFP= ∠EFD+ ∠BEF= (∠EFG+∠BEF)=90°，
2 2 2
∴∠EPF=180°−(∠PEF+∠EFP)=90°，
∴FP⊥EG，
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH；
（3）解：∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°，理由如下：
∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKH=180°−2∠HPK，
∵∠PKH=180°−∠PKG，
∴∠PKG=2∠HPK，
∵GH⊥EG，
∴∠KPG=90°−∠PKG=90°−2∠HPK，
∴∠EPK=180°−∠KPG=90°+2∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，1
∴∠QPK= ∠EPK=45°+∠HPK，
2
∴∠HPQ=∠QPK−∠HPK=45°，
∴∠HPQ的大小不会发生变化，其值为45°．
30．（23-24八年级·河南洛阳·期末）【学科融合】
同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，物理学中把经过入射点O并垂直于
反射面的直线ON叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角．由
此可以归纳出如下的规律：在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射
光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角，即∠1=∠2．这就是光的反射定律．
【初步应用】
（1）如图1，若∠1=42°，则∠BOD=______°；若∠AOC=50°，则∠BOD=______°；
【猜想验证】
（2）如图2，两平面镜OP，OQ相交于点O，一束光线从点A出发，经过平面镜两次反射后经过点B，两
条光线AM，NB相交于点E．
①若AM⊥NB，则∠POQ=______°
②请探究∠POQ与∠MEN之间满足的等量关系，并说明理由．
【拓展探究】
（3）如图3，有三块平面镜AB、BC、CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=α°，镜面AB、BC的夹
角∠B=100°，已知入射光线先从镜面AB开始反射，然后再经过不同镜面的一次或两次反射，反射后反
射光线与入射光线EF垂直，请直接写出∠BCD的度数．（可用含有α的代数式表示）
【答案】（1）48；50；（2）①45；②∠MEN+2∠POQ=180°，理由见解析；（3）45°+α．
【分析】本题主要考查了三角形内角和、平角的定义、入射角和反射角等内容，熟练掌握相关知识是解题
的关键．
（1）根据入射角等于反射角以及角的和差即可计算；
（2）①由题推出∠EMN+∠ENM=90°，进而得到∠OMN+∠ONM=135°，再利用三角形内角和求
解即可；②与第一问思路一致，不同的是将∠MEN=90°换成了∠MEN=x，再按照同样方法求解即可；（3）将可能存在的情况画图，依据三角形内角和以及平角的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵∠1=42°，
∴∠AOC=48°，
∴∠BOD=48°；
∵∠AOC=50°，
∴∠BOD=50°．
故答案为：48，50；
（2）①由题意得∠MEN=90°，
∴∠EMN+∠ENM=90°，
∴∠AMP+∠OMN+∠BNQ+∠ONM=360°−90=270°，
∵∠AMP=∠OMN，∠BNQ=∠ONM，
∴∠OMN+∠ONM=135°，
∴∠POQ=45°．
故答案为：45；
②∠MEN+2∠POQ=180°，理由如下：
设∠MEN=x，则∠EMN+∠ENM=180°−∠MEN=180°−x，
180°−∠EMN 1
根据题意可知，∠OMN=∠AMP= =90°− ∠EMN，
2 2
180°−∠ENM 1
∠ONM=∠BNQ= =90°− ∠ENM，
2 2
1 1
∴ ∠OMN+∠ONM=90°− ∠EMN+90°− ∠ENM
2 2
1
=180°− (∠EMN+∠ENM)
2
1
=180°− ×(180°−x)
2
1
=90°+ x，
2
1
在△OMN中，∠OMN+∠ONM+∠O=180°，即90°+ x+∠O=180°，
21 1
∴ x+∠O=90°，即 ∠MEN+∠O=90°，
2 2
∴∠MEN+2∠POQ=180°；
（3）①若经过一次反射之后与EF垂直，如图所示，EF⊥EG，
∵∠1=∠BEG=α° ∠GEF=90°
， ，
∴α°=45°，
∵∠B=100°，
∴∠BGE=35°=∠CGH，
此时，∠BCD的度数不影响第一次反射；
②若经过两次次反射之后与EF垂直，此种情况不存在；
③若经过三次反射之后垂直，如图所示，MH⊥EF，
∵∠1=α°
，
∴∠BEG=α°，∠FEG=180°−2α°，
∵∠B=100°，
∴∠BGE=80°−α°=∠CGH，
∴∠EGH=2α°+20°，
∵∠EMH=90°，
∴∠MHG=360°−90°−(180−2α°)−(2α°+20°)=70°，
180°−70°
∴∠GHC= =55°，
2
∴∠BCD=180°−∠GHC−∠CGH=45°+α°．
综上，∠BCD的度数为45°+α°．
31．（23-24八年级·江苏徐州·期末）如图，把一副三角板如图1摆放，∠B=60°,∠D=45°，点C在边
OA上，将图中的△AOB绕点O按每秒3°的速度沿顺时针方向匀速旋转一周，在旋转的过程中，旋转的时
间为t秒．(1)如图2，求当t为多少秒时，AB∥CD；（注：要写出求解过程）
(2)如图3，当t=___________秒时，AB∥CD；（注：直接写出结果）
【答案】(1)35秒
(2)95
【分析】（1）先画出图形，记CD,BO的交点为G，利用平行线的性质结合三角形的外角的性质可得
∠COB=15°，再进一步可得时间；
（2）先画出图形，延长DO交AB于G，，利用平行线的性质结合三角形的内角和可得
∠GOB=180°−45°−60°=75°，再进一步可得时间；
【详解】（1）解：如图，记CD,BO的交点为G，
∵∠B=60°，CD∥AB，
∴∠OGD=∠B=60°，
∵∠OCD=45°，
∴∠COB=60°−45°=15°，
∴∠BOB′=90°+15°=105°，
105
∴t= =35(s)；
3
（2）解：如图，延长DO交AB于G，∵AB∥CD，∠D=45°，
∴∠BGO=∠D=45°，
∵∠B=60°，
∴∠GOB=180°−45°−60°=75°，
360°−75°
∴t= =95(s)；
3°
【点睛】本题考查的是平行线的性质，角的动态定义；三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，作出
合适的辅助线是解本题的关键．
32．（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，点D是△ABC外角∠CBF的平分线与∠CAB的平分线的交点．
(1)如图①，若∠C=88°，则∠D=________度．
(2)如图②，∠CBA的平分线与AD相交于点E，若∠BED=∠D，求∠C的度数
(3)如图③，在（2）的条件下，过E作AB的垂线分别交BC、AB于点M、N，MH平分∠CMN，交AC
于点H．请判断MH与AD的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)44
(2)90°
(3)MH∥AD，理由见解析
1 1
【分析】（1）根据∠CBF=∠CAB+∠C、∠CBD= ∠CBF,∠CAD= ∠CAB、
2 2
∠CBD+∠D=∠CAD+∠C即可求解；1 1
（2）由题意得∠BED= ∠EAB+∠EBA=90°− ∠C，结合（1）中结论∠D= ∠C即可求解；
2 2
（3）根据∠HME+∠EAB=90°、∠AEN+∠EAB=90°即可求解.
【详解】（1）解：∵∠CBF是△ABC的外角
∴∠CBF=∠CAB+∠C
∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBF，
1 1
∴∠CBD= ∠CBF,∠CAD= ∠CAB
2 2
1
∴∠CBD=∠CAD+ ∠C
2
1
∴∠CBD−∠CAD= ∠C
2
∵∠CBD+∠D=∠CAD+∠C
∴∠CBD−∠CAD=∠C−∠D
1
∴∠D= ∠C=44°
2
故答案为：44
（2）解：∵AD平分∠CAB，BE平分∠CBA，
1 1
∴∠EAB= ∠CAB,∠EBA= ∠CBA
2 2
∵∠CAB+∠CAB+∠C=180°
1
∴∠EAB+∠EBA+ ∠C=90°
2
1
即：∠EAB+∠EBA=90°− ∠C
2
1
∴∠BED= ∠EAB+∠EBA=90°− ∠C
2
1
由（1）得：∠D= ∠C
2
1 1
∴90°− ∠C= ∠C，
2 2
解得：∠C=90°
（3）解：MH∥AD，理由如下：
由题意得：∠C=∠MNA=90°
∴∠CMN+∠CAB=180°∵AD平分∠CAB，MH平分∠CMN，
1 1
∴∠EAB= ∠CAB,∠HME= ∠CMN
2 2
∴∠HME+∠EAB=90°
∵∠AEN+∠EAB=90°
∴∠HME=∠AEN
∴MH∥AD
【点睛】本题考查了与角平分线的有关计算，涉及了平行线的判定、三角形的内角和定理、外角定理等知
识点，掌握整体思想是解题关键.
【题型5 与三角形的角有关的证明】
33．（23-24八年级·河南郑州·期末）长方形ABCD中，F是CD延长线上一点，E是BF上一点，并且
∠DBE=∠DEB，∠F=∠EDF，请证明：∠ABD=3∠ABF．
【答案】见解析
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质．根据矩形的性
质得到AB∥CD，进而得到∠ABF=∠F，设∠ABF=x，再表示出∠ABD即可．
【详解】证明：∵四边形ABCD是长方形，
∴ AB∥CD，
∴ ∠ABF=∠F，
设∠ABF=x，则∠F=∠EDF=x，
∴ ∠DBE=∠DEB=2x，
∴ ∠ABD=3x，
∴ ∠ABD=3∠ABF．
34．（23-24八年级·甘肃酒泉·期末）已知，如图，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN
与PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C=35°，设∠CBQ=∠α，∠CAN=∠β．(1)如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β=∠α+35°.请将下列推理过程补
充完整：
证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ=∠α+∠C（ ）
∵PQ∥MN（ ），
∴∠CDQ=∠β（ ）
∴∠β=________（等量代换）
∵∠C=35°（已知），
∴∠β=∠α+35°（等量代换）
(2)如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理
由．
【答案】(1)答案见解析
(2)∠α=∠β+45°，见解析
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用数形结合的思想解答．
（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；
（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CDQ=∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵PQ∥MN（已知），
∴∠CDQ=∠β（两直线平行，同位角相等）
∴∠β=∠α+∠C（等量代换）.
∵∠C=45°（已知），
∴∠β=∠α+45°（等量代换）；故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，已知，两直线平行，同位角相等，
∠α+∠C；
（2）解：结论：∠α=∠β+45°．
理由：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），
∴∠CFN=∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
∵PQ∥MN（已知），
∴∠CFN=∠α（两直线平行，同位角相等），
∴∠α=∠β+∠C（等量代换）．
∵∠C=45°（已知），
∴∠α=∠β+45°（等量代换）．
35．（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的角平分线，它们相交于点
E，AE与BD相交于点F，BE与AC相交于点G．写出∠C，∠D与∠E的等量关系，并证明．（要写出
每一步的依据）
【答案】∠C+∠D=2∠E，证明见解析
1
【分析】设∠DAC=x，∠DBC= y，根据角平分线的定义得到∠DAE=∠CAE= x，
2
1
∠DBE=∠CBE= y，利用三角形内角和定理得出∠OAD+∠D=∠OBC+∠C，得出等式
2
x−y=∠C−∠D①，同理得到x−y=2(∠E−∠D)②，等量代换可得∠C+∠D=2∠E．
【详解】解：设∠DAC=x，∠DBC= y，
∵AE，BE分别是∠DAC，∠CBD的角平分线，（已知）
1 1
∴∠DAE=∠CAE= x，∠DBE=∠CBE= y，（角平分线的定义）
2 2
∵∠AOD=∠BOC，（对顶角相等）
∴∠OAD+∠D=∠OBC+∠C，即x+∠D= y+∠C，（三角形内角和定理）
∴x−y=∠C−∠D①，（等式的性质）1 1
同理：∠DAE+∠D=∠DBE+∠E，即 x+∠D= y+∠E，（三角形内角和定理）
2 2
∴x−y=2(∠E−∠D)②，（等式的性质）
将①代入②得：∠C−∠D=2(∠E−∠D)，整理得：∠C+∠D=2∠E．（等量代换）
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线的定义，解题的关键是从图中找到熟悉
的图形，借助三角形内角和定理得到角的关系．
36．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，AD∥CB，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且
∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F．请判断∠ECB与∠ACB的数量关系并证明．
【答案】∠ACB=3∠ECB，证明见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质．根据三角形的外角，得到∠AGC=2∠F，平行
线的性质，得到∠F=∠FCB，根据∠ACB=∠ACG+∠ECB，即可得出结论．掌握相关性质，是解题
的关键．
【详解】解：∠ACB=3∠ECB，证明如下：
∵∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F，∠AGC是△AGF的一个外角，
∴∠ACG=∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F，
∵AD∥CB，
∴∠F=∠FCB，
∴∠ACG=2∠ECB，
∴∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB．37．（23-24八年级·山东济南·期末）如图，四边形ABCD，已知AD∥BC，点F是线段DA延长线上一
点，连接CF，交线段AB于点E，若能在线段CF上取一点G，使得∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠GFA，
1
则请你证明：∠ECB= ∠ACB．
3
【答案】见解析
【分析】先由平行线性质得出∠GFA=∠ECB，再由三角形外角的性质可得
∠AGC=∠GAF＋∠GFA=2∠GFA=2∠ECB，再根据∠ACG=∠AGC，代入即可得出结论．
【详解】证：∵AD∥BC，
∴∠GFA=∠ECB
∵∠GAF=∠GFA，
∴∠AGC=∠GAF＋∠GFA=2∠GFA=2∠ECB，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠ACG=2∠ECB，
∵∠ACB=∠ACG＋∠ECB=3∠ECB，
1
∴∠ECB= ∠ACB．
3
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题
的关键，属基础题目．
38．（23-24八年级·重庆南岸·期末）如图，在△ABC中，∠1=∠2=∠3
(1)证明：∠BAC=∠≝¿；
(2)∠BAC=70°，∠DFE=50°，求∠ABC的度数．
【答案】(1)见解析(2)60°
【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，
（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用三角形的外角的性质和等量代换得到∠ABC=∠EDF，利用三角形内角和定理得到∠EDF的
度数，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠1+∠CAE，
∠≝=∠3+∠CAE，∠1=∠3，
∴∠BAC=∠≝¿．
（2）∵∠ABC=∠2+∠ABD，∠1=∠2，
∴∠ABC=∠1+∠ABD=∠EDF，
由（1）可知∠≝=∠BAC=70°，
∴∠EDF=180°−∠≝−∠DFE=180°−70°−50°=60°，
∴∠ABC=60°．
39．（23-24八年级·湖南衡阳·期末）如图1，直线AB与直线l 、l 分别交于C、D两点，点M在直线l 上，
1 2 2
射线DE平分∠ADM交直线l 于点Q，∠ACQ=2∠CDQ．
1
(1)
证明：l ∥l ；
1 2
(2)如图2，点P是CD上一点，射线QP交直线l 于点F，∠ACQ=70°．
2
①若∠QFD=20°，则直接写出∠FQD的度数是______．
②点N在射线DE上，满足∠QCN=∠QFD，连接CN，如图3所示情况，探究∠CND与∠FQD满足的
等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①15°；②∠CND=∠FQD，证明见解析
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断
方法是解决问题的关键．（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可；
（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；
②证明NT∥FQ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵DE平分∠ADM，
1
∴∠ADE=∠EDM= ∠ADM，
2
又∵∠ACQ=∠ADE+∠CQD，∠ACQ=2∠CDQ．
∴∠EDM=∠CQD，
∴l ∥l ；
1 2
（2）解：①∵l ∥l ，
1 2
∴∠ADM=∠ACQ=70°，
∵DE平分∠ADM，
1
∴∠ADE=∠EDM= ∠ADM=35°，
2
又∵∠EDM=∠QFD+∠FQD，
∴∠FQD=35°−20°=15°；
②∠CND=∠FQD或∠CND−∠FQD=35°，
证明：∵l ∥l ，
1 2
∴∠NCQ=∠CTD，
又∵∠QCN=∠QFD，
∴∠CTD=∠QFD，
∴NT∥FQ，
∴∠CND=∠FQD．
40．（23-24八年级·江苏常州·期末）（1）如图1，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
CD平分∠ACB，点E是AB边上一点，且∠ACE=∠AEC，则∠DCE=____________°；
（2）如图2，若△ABC为一般三角形（AB＞AC），∠ABC=α，CD平分∠ACB，点E是AB边上一
点，且∠ACE=∠AEC，求∠DCE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）如图3，若△ABC为钝角三角形（∠ABC为钝角，AB＜AC），∠ABC=α，CD平分∠ACB，
点E是AB延长线上一点，且∠ACE=∠AEC，请问（2）中的结论是否还成立？如果成立请给出证明；
如果不成立，请说明理由．α
【答案】（1）30；（2）∠DCE= ；（3）成立，见解析．
2
1
【分析】（１）如图1，∠ACE=∠AEC，可得∠AEC= (180°−∠A)=75°，由内角和可求
2
∠B=60°，根据外角定理求∠ECB=∠DEC−∠B=15°，于是∠DCE=∠DCB−∠ECB=30°．
1
（2）如图，由∠ACE=∠AEC，得∠AEC= (180°−∠A)，由外角定理，
2
1 α
∠ECB=∠AEC−∠B= (180°−∠A)−α，于是∠DCE=∠DCB−∠ECB= ；
2 2
1
（3）如图，由∠ACE=∠AEC，得∠AEC= (180°−∠A)，由外角定理得
2
1 α
∠ECB=∠ABC−∠BEC=α− (180°−∠A)，所以∠DCE=∠DCB+∠ECB= ．
2 2
【详解】解：（1）如图1，
∵∠ACE=∠AEC
1 1
∴∠AEC= (180°−∠A)= (180°−30°)=75°
2 2
∵∠A+∠B+∠ACB=180°
∴∠B=180°−90°−30°=60°
∴∠DEC=∠B+∠ECB
∴∠ECB=∠DEC−∠B=75°−60°=15°
1 1
∴∠DCE=∠DCB−∠ECB= ∠ACB−ECB= ×90°−15°=30°．
2 2
（2）如图，∵∠ACE=∠AEC，1
∴∠AEC= (180°−∠A)，
2
∵∠AEC=∠ECB+∠B，
1
∴∠ECB=∠AEC−∠B= (180°−∠A)−α，
2
∵CD平分∠ACB，
1 1 1 1
∴∠DCB= ∠ACB= (180°−∠A−∠B)= (180°−∠A)− α，
2 2 2 2
1 1 [1 ) α
∴∠DCE=∠DCB−∠ECB= (180°−∠A)− α− (180°−∠A)−α = ；
2 2 2 2
（3）如图，∵∠ACE=∠AEC，
1
∴∠AEC= (180°−∠A)，
2
∵∠ABC=∠ECB+∠BEC，
1
∴∠ECB=∠ABC−∠BEC=α− (180°−∠A)，
2
∵CD平分∠ACB，
1 1 1 1
∴∠DCB= ∠ACB= (180°−∠A−∠B)= (180°−∠A)− α，
2 2 2 2
1 1 1 α
∴∠DCE=∠DCB+∠ECB=α− (180°−∠A)+ (180°−∠A)− α= ．
2 2 2 2
【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定理，角平分线的定义，结合图形及定理，确定角之间的数量
有关系是解题的关键．
