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专题02 三角形的内角与外角
常考题型·精准突破
题型1 三角形内角和定理的证明（重）
题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重）
题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频）
题型4 与三角形折叠中的角度问题（难）
题型5 三角形内角和定理的应用（重）
题型6 三角形的外角的定义与性质（高频）
题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形内角和定理的证明
1．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过
撕、拼的方法，而是在ABC
V
的顶点A 处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
(1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程．
如图，在ABC
V
中，过点A 作直线MN
BC
∥
，
根据_____________________________
得到
B
Ð
= Ð _________，
C
Ð
= Ð _________，
根据平角定义，Ð_________
BAC
+Ð
+ Ð _________ = _________°，
因此，
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，即
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°．
2．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）问题解决
问
题
三角形内角和为什么等于180°
问
题
提
出
如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实
验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和
等于180°呢？
思
路
启
迪
从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？
尝
试
思
考
请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和
等于180°．要求如下：
1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添
加辅助线的操作进行描述．
逻
辑
说
理
在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由．
触
类
旁
通
小华同学通过思考，发现在ABC
V
边AB 上任意取一点P （不与点A 、B 重合）．如
图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．
(1)完成“尝试思考”中的操作与描述；
方法一：如图2，延长BA 至点D ，过点A 作___________、利用平行线的性质得到
B
DAE
C
EAC
Ð
Ð
Ð
Ð
=
=
、
即可求解．
方法二：如图3，过点A 作DE
BC
∥
，利用平行线的性质得到___________．
再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．
(2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下：
(3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程）
3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角
形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
(1)如图1，过ABC
V
的顶点A 作BC 的平行线ED ，请你证明三角形的内角和为180°．
证明：∵BC
ED
∥
，
∴
EAB
B
Ð
= Ð
，
DAC
Ð
= ______（依据是：______）
∵
180
EAB
BAC
DAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° （平角的定义）
∴______
______
180
BAC
+ Ð
+
=
°（等量代换）
即三角形的内角和为180°．
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】
(2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图2 ，其中
//
AB CD ，请你求
AEC
Ð
，
EAB
Ð
，
ECD
Ð
这三个角的关系；
【学以致用】
(3)如图3是超市购物车，图4 是其侧面示意图，已知
//
AB CD ，FD
CD
^
，测量得知
70
ABE
Ð
=
° ，
90
BEF
Ð
=
°，则
DFE
Ð
= ______．
◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题
4．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD 中，点G 是BC 上一点，过点G 作
,
GE
AB GF
CD
∥
∥
，若
123
A
D
°
Ð + Ð
=
，则
EGF
Ð
=
°．
5．（25-26 七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形ABC 中，CD 平分
ACB
Ð
交AB 于点D ，过点D 作
DE
BC
∥
交AC 于点E，DG 平分
BDE
Ð
交BC 于点G ，点F 为线段CG 上一点．若
30
DCE
Ð
=
° ，则
EDC
Ð
=
° ；若
DFC
DEC
Ð
= Ð
，
A
a
Ð
=
，则
GDC
Ð
=
．
6．（25-26 七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，BF 平分
ABD
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
交BF 于点E ，BF 交CD
于点
, 1
3
F Ð = Ð ．
(1)请说明AB
CD
∥
的理由；
(2)若
2
25
Ð =
° ，求
3
Ð 的度数；
(3)若
140
ABD
Ð
=
° ，求证：DE
BF
^
．
◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题
7．（25-26 八年级上·全国·假期作业）如图，在△ABC 中，点O 是
ABC
V
内部
ABC
Ð
的平分线上一点，连接
OC ，点P 是
BOC
Ð
、
OCB
Ð
平分线的交点，若
100
P
Ð
=
° ，则
ABC
Ð
的度数为 °．
8．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知
ABC
V
中，
40
B
Ð
=
°，与
BAC
Ð
，
ACB
Ð
相邻的外角的角
平分线交于点D，则
D
Ð
的度数为
．
9．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图，
DAB
Ð
和
BCD
Ð
的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多
个“和谐8 字形”，若
42
D
Ð
=
°，
38
B
Ð
=
° ，那么
P
Ð
的度数是
．
◆题型4 与三角形折叠中的角度问题
10．（25-26 八年级上·山西朔州·期中）如图，在
ABC
V
中，
ABC
Ð
、
ACB
Ð
的平分线交于点P，将
ABC
V
沿DE 折叠使得点A 与点P 重合，若
76
BDP
CEP
Ð
+ Ð
=
°，则
BPC
Ð
的度数是
．
11．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，
30
B
Ð
=
° ，
50
C
Ð
=
° ，D 是AB 边上
的固定点（
1
2
BD
AB
<
）．E 为BC 上一点，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），使点B 落在点F 处，EF 与三
角形ABC 的一边平行．此时
BED
Ð
的度数为
．
12．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分
别在边AB，AC 上．将
ABC
V
沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若
35 ,
60
B
C
Ð
=
° Ð
=
°，求
A
Ð
的度数．
(2)若
70
A
Ð
=
°，求
1
2
Ð + Ð 的度数．
◆题型5 三角形内角和定理的应用
13．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含30°，45°角的直角三角板叠放在一起，30°角的
顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M．如果
115
ADF
Ð
=
° ，那么
BMD
Ð
为
度．
14．（25-26 八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷
针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直：
如图2，日晷所处纬度a 为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐角
角度为
．
15．（24-25 七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O 并垂直于反射面的
直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角i 叫做入射角，反射光线与法线的夹角r 叫做反射角，反射角
．．．r =
入射角
．．．i，这就是光的反射定律．一束光线m 射到平面镜PQ上，被PQ反射后的光线为n，则入射光线m、
反射光线n 与平面镜PQ所夹的锐角为
1
Ð 和
2
Ð ．
(1)①实验证明，1
2
Ð = Ð ，请你用数学知识
．．．．解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们
制作了潜望镜．
②图2 是潜望镜工作原理示意图，AB 、CD 是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m 进入潜望镜，最
后沿直线n 射出，求证：m
n
∥．
(2)显然，改变两面平面镜AB 、CD 之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m 与反射光线n 之间的位
置关系会随之改变．
如图3，一束光线m 射到平面镜AB 上，被AB 反射到平面镜CD 上，又被CD 反射．若被CD 反射出的光线n
和光线m 平行，且
1
48
Ð =
°，则
6
Ð = ______°，
ABC
Ð
= ______°．
(3)请你猜想：图3 中，当两平面镜AB 、CD 的夹角
ABC
Ð
= ______°时，可以使任何入射光线m 经过平面
镜AB 、CD 的两次反射后，与反射光线n 平行．
◆题型6 三角形的外角的定义与性质
16．（25-26 七年级上·河南周口·期末）如图，点D 在线段BC 的延长线上，CE 平分
ACD
Ð
，若
60
A
Ð
=
°，
AB
CE
∥
，则
B
Ð
的度数是
．
17．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于
G ，若
25
D
Ð
=
°，
105
E
Ð
=
°，
20
DAC
Ð
=
°，则
DGB
Ð
=
度．
18．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图，
DBC
Ð
与
ECB
Ð
是
ABC
V
的外角，
1
OBC
DBC
n
Ð
=
Ð
，
1
OCB
ECB
n
Ð
=
Ð
，若
A
a
Ð
=
，则
O
Ð
=
．（用含n 、a 的式子表示）
◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题
19．（25-26 八年级上·河北衡水·期中）在
ABC
V
中，D 是BC 边上的一点，1
2
Ð = Ð ，
3=
4
Ð
Ð
，
75
BAC
Ð
=
° ．
(1)求
DAC
Ð
的度数；
(2)若BC
a
=
，DC
b
=
，试用a、b 表示
ADC
△
的周长．
20．（25-26 八年级上·江西上饶·月考）如图1，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动（不与点O 重合），
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，延长BC 交OM 于点G ．
(1)若
60
O
Ð
=
°，求
ACG
Ð
的度数；
(2)如图2，若
72
O
Ð
=
°，过点C 作CF
OA
∥
交AB 于点F ，求
BGO
Ð
与
ACF
Ð
的数量关系．
21．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，
ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的平分线交于
1A ．
(1)如图1，若
70
A
Ð
=
°，则
1A
Ð
= ．
(2)如图2 ，四边形ABCD 中，
ABC
Ð
的角平分线及外角
DCE
Ð
的角平分线相交于点F ，若
230
A
D
Ð + Ð
=
°，求
F
Ð
的度数．
(3)如图3，
ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的角平分线交于
1A ，若E 为BA 延长线上一动点，
连接EC ，
AEC
Ð
与
ACE
Ð
的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论：
1
Q
A
Ð
+ Ð
①
的值为定值；
1
Q
A
Ð
- Ð
②
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在Rt ABC
V
中，
90 ,
54
C
B
Ð
=
° Ð
=
°，则
A
Ð 的度数是（ ）
A．56°
B．46°
C．36°
D．26°
2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）如图，在ABC
V
中，
100
A
Ð
=
°，
1
2
Ð = Ð ，
3
4
Ð = Ð ．则
1
4
Ð
Ð
+
的值
为（ ）
A．45°
B．60°
C．50°
D．40°
3．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹
的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，
AB CD
P
，
87
CDE
Ð
=
° ，
35
DEB
Ð
=
° ，则
ABE
Ð
的度数为（ ）
A．58°
B．87°
C．121°
D．122°
4．（25-26 七年级下·北京·期末）如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD
表示赤道，点P 表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是23°（
23
BOD
Ð
°
＝
），该市的纬度是北纬37°
（
37
POD
Ð
°
＝
），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O ），则该市冬至正午
时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角a 的度数是（ ）
A．23°
B．29°
C．30°
D．36°
5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片ABC 中，
20
B
Ð
=
°，
60
C
Ð
=
°，点D 在AB 上且
1
2
BD
AB
<
．若在BC 上找一点E ，将纸片沿DE 折叠，点B 落在点F 处，EF 恰好与三角形ABC 的一边平行，
则满足所有平行条件的
BDE
Ð
度数为（ ）
A．40°或80°
B．50°或130°
C．50°或80° 或130°
D．40°或80° 或130°
二、填空题
6．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在ABC
V
中，
50
A
Ð
=
° ，点D 在BC 的延长线上，
95
ACD
Ð
=
°，则
B
Ð
= _____°．
7．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角a 与b 满足2
90
a
b
+
=
°，那么我们称这样
的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片ABC 中，
110
A =
°
∠
，
B
C
Ð
= Ð
，将纸片沿着DE 折叠，使
得点C 落在AB 边上的点F 处．若BEF
V
和ADF
V
都是“倍角三角形”，则
BEF
Ð
的度数为___________．
8．（25-26 七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在ABC
V
中，
80
A
Ð
=
° ，
60
ACB
Ð
=
°，点D 为边BC 延长线上
一点，BF 平分
ABC
Ð
，点E 为直线BF 上一点．若直线AE 垂直于ABC
V
的一边，则
AEB
Ð
的度数为________．
9．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”，在ABC
V
中，
40
B
C
Ð
= Ð
=
° ，点P 为直线BC 上一点，若ABP
V
为“反直角三角形”，则
PAC
Ð
的度数为__________．
10．（25-26 七年级下·天津河东·期末）如图1 光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从PO 入射到平面镜
上时沿OQ 反射出去，其中经过入射点O 且垂直于反射面的直线ON 称为法线，根据光线反射规律可以得到
AOP
BOQ
Ð
= Ð
．
（I）若
40
NOQ
Ð
=
°，则
AOP
Ð
=________度；
（II）如图2，OA，OB 为两面有一定夹角的平面镜，当光线PC 平行于镜面OB 入射时，在点C 、D 、E
处经过三次平面镜反射后沿EQ 射出，若
36
AEQ
Ð
=
° ，
AOB
Ð
= ________度．
三、解答题
11．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所
示四种作辅助线的方法．
①过点C 作
EF
AB
∥
②延长AC 到点
F，过点C 作
CE
AB
∥
③过AB 上一点D
作DE
BC
∥
，
DF
AC
∥
④过点C 作
CD
AB
^
于点D
回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是__________（请填写序号）；
(2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明．
12．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）ABC
V
是锐角三角形，点D 在线段AC 上，ED
BC
P
交AB 于点E，
点F 在线段AB 上（点F 不与点A，E，B 重合），连接DF ，过点F 作FG
FD
^
交射线CB 于点G（点G 不
与点B 重合）
(1)如图1，当点F 在线段BE 上时，
100
B
BFG
Ð
+ Ð
=
°，求
EDF
Ð
的度数；
(2)当点F 在线段AE 上时，请在备用图中探究下列问题：
①直接写出
EDF
Ð
与
BGF
Ð
之间满足的数量关系 ；
②若
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出
DPG
Ð
的度数．
13．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，
ACE
Ð
是ABC
V
的一个外角，BD 为
ABC
Ð
的平分线，CD
在
ACE
Ð
的内部，与BD 交于点D ，
2
A
D
Ð
= Ð
．
(1)判断CD是否平分
ACE
Ð
，并说明理由；
(2)如图2，
ACB
Ð
的平分线CO 交BD 于点O ，
48
D
Ð
=
°，求
DOC
Ð
的度数．
14．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三
个内角的数量关系”进行了探究：
(1)如图1，在ABC
V
中，
ABC
Ð
与
ACB
Ð
的平分线交于点P ，
62
A
Ð
=
° ，则
BPC
Ð
= ______°．
(2)如图2，ABC
V
的内角，
ACB
Ð
的平分线与ABC
V
的外角，
ABD
Ð
的平分线交于点E ，其中
58
A
Ð
=
°，求
BEC
Ð
的度数；
(3)如图3，
CBM
Ð
、
BCN
Ð
为ABC
V
的外角，
CBM
Ð
、
BCN
Ð
的平分线交于点Q ，其中
A
a
Ð
=
．求
BQC
Ð
= _________（用a 表示）；
15．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，
则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105 60 15
°
°
°
,
,
的三角形是“和谐三角形”．如图①，
60
MON
Ð
=
°，点A 在边OM 上，过点A 作AB
OM
^
交ON 于点B，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于
点C（点C 不与O，B 重合）
(1)
ABO
∠
的度数为_______，AOB
V
_________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”．
(2)若
84
ACB
Ð
=
° ，试说明：AOC
V
是“和谐三角形”．
(3)如图②，点D 在ABC
V
的边AB 上，连结DC ，作
ADC
Ð
的平分线交AC 于点E，在DC 上取点F，使
180
EFC
BDC
Ð
+ Ð
=
° ，∠DEF
B
= Ð ．若BCD
V
是“和谐三角形”，直接写出
B
Ð 的度数．
16．（25-26 七年级下·山东日照·期末）操作与探究
【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，
置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法．
如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即KO
l
^ ），反
射光线OB 、入射光线AO 分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即
3
4
Ð = Ð ）．
(1)【观察图形】试判断1
Ð 和
2
Ð 的数量关系，并说明理由；
(2)【结论应用】如图2，直线MN
PQ
P
，点A 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，光线AC 被PQ 反射后再
次被MN 反射，入射光线AC 经过两次反射的光线为BD ，其中点B 在直线MN 上．利用（1）中发现的结论，
试探究BD 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)【深度探究】如图3，将支架平面镜CD（可调节角度）放置在水平地面MN 上，激光笔在点A 处发出的
光束AE 经过镜面CD反射后与天花板PQ 形成的点记为F ，光束AE 与水平天花板PQ 所成的锐角为30°，
支架平面镜与地面的夹角
DCM
a
Ð
=
（20
70
a
° £
£
° ）．若
20
a =
°，求反射光束EF 与天花板所形成的角
AFE
Ð
的度数．
