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专题02 三角形的内角与外角
常考题型·精准突破
题型1 三角形内角和定理的证明（重）
题型2 与平行线有关的三角形内角和问题（重）
题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题（高频）
题型4 与三角形折叠中的角度问题（难）
题型5 三角形内角和定理的应用（重）
题型6 三角形的外角的定义与性质（高频）
题型7 三角形内角和与外角和综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 三角形内角和定理的证明
1．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）学习完七年级下册第86 页“三角形内角和定理”后，小华发现：不通过
撕、拼的方法，而是在ABC
V
的顶点A 处，通过尺规作图添加适当辅助线，也可说明
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
(1)请在图中用尺规作图作出所需辅助线（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据所作辅助线，完成下面的证明过程．
如图，在ABC
V
中，过点A 作直线MN
BC
∥
，
根据_____________________________
得到
B
Ð
= Ð _________，
C
Ð
= Ð _________，
根据平角定义，Ð_________
BAC
+Ð
+ Ð _________ = _________°，
因此，
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，即
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°．
【答案】(1)如图所示，直线MN 即为所求
(2)如图，在ABC
V
中，过点A 作直线MN
BC
∥
，
根据两直线平行，内错角相等，
得到
B
MAB
Ð =Ð
，
C
NAC
Ð
= Ð
，
根据平角定义，
180
MAB
BAC
NAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°．
因此，
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，即
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
【分析】（1）根据作一个角等于已知角，作出辅助线即可；
（2）利用平行线的性质及平角的定义可证明结论．
【详解】（1）略
（2）略
2．（25-26 八年级下·宁夏银川·期末）问题解决
问
题
三角形内角和为什么等于180°
问
题
提
出
如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实
验会存在误差．不符合数学的严谨性．是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和
等于180°呢？
思
路
启
迪
从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以"移动"、组成一个平角呢？
尝
试
思
考
请过三角形的顶点A 添加辅助线．使角“移动”到合适位置．便于说明三角形内角和
等于180°．要求如下：
1．用两种不同的方法对图2、图3 添加辅助线；2．用简短、专业的数学语言对添
加辅助线的操作进行描述．
逻
辑
说
理
在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由．
触
类
旁
通
小华同学通过思考，发现在ABC
V
边AB 上任意取一点P （不与点A 、B 重合）．如
图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”．
(1)完成“尝试思考”中的操作与描述；
方法一：如图2，延长BA 至点D ，过点A 作___________、利用平行线的性质得到
B
DAE
C
EAC
Ð
Ð
Ð
Ð
=
=
、
即可求解．
方法二：如图3，过点A 作DE
BC
∥
，利用平行线的性质得到___________．
再利用平角定义和等量代换可得结论：_________．
(2)写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图___________，证明过程如下：
(3)写出“触类旁通”中的说理过程．（在图4 画出图形，写出证明过程）
【答案】(1) AE
BC
∥
．
1
3
B
C
Ð
= Ð
Ð
= Ð
、
，ABC
V
内角和为180°．
(2)选择图2，证明过程如下：
∵AE
BC
∥
，
∴
B
DAE
Ð
= Ð
，
C
EAC
Ð
= Ð
，
又∵
180
BAC
DAE
EAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
BAC
B
C
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
即ABC
V
内角和为180°；
选择图3，证明过程如下：
∵DE
BC
∥
，
∴
1
B
Ð
= Ð ，
3
Ð
= Ð
C
，
又∵
1
2
3
180
Ð + Ð + Ð =
°，
∴
180
B
BAC
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
即ABC
V
内角和为180°；
(3)证明：过点P 作PD
BC
∥
交AC 于点D ，过点P 作PE
AC
∥
交BC 于点E ，
∵PE
AC
∥
，
∴
1
A
Ð
= Ð ，
3
C
Ð = Ð
，
∵PD
BC
∥
，
∴
2
B
Ð = Ð
，
3
4
Ð = Ð ，
∴
4
C
Ð = Ð
∵
1
2
4
180°
Ð + Ð + Ð =
，
∴
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°
即ABC
V
内角和为180°．
【分析】（1）方法一：过点A 作AE
BC
∥
，利用平行线的性质得到
B
DAE
Ð
= Ð
，
C
EAC
Ð
= Ð
即可求解．
方法二：过点A 作DE
BC
∥
，利用平行线的性质得到
B
BAD
Ð
= Ð
，
C
CAE
Ð
= Ð
，再利用平角定义和等量
代换可得结论；
（2）根据平行线的性质进行证明即可；
（3）过点P 作PD
BC
∥
交AC 于点D ，过点P 作PE
AC
∥
交BC 于点E ，由两直线平行，同位角相等，内
错角相等易证
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
3．（25-26 七年级下·河南郑州·期末）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角
形内角和为180°，现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了．
(1)如图1，过ABC
V
的顶点A 作BC 的平行线ED ，请你证明三角形的内角和为180°．
证明：∵BC
ED
∥
，
∴
EAB
B
Ð
= Ð
，
DAC
Ð
= ______（依据是：______）
∵
180
EAB
BAC
DAC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° （平角的定义）
∴______
______
180
BAC
+ Ð
+
=
°（等量代换）
即三角形的内角和为180°．
【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能．
【迁移应用】
(2)我国一直提倡“绿色环保、低碳生活”，健康骑行越来越受到老百姓的喜欢．自行车的示意图如图2 ，其中
//
AB CD ，请你求
AEC
Ð
，
EAB
Ð
，
ECD
Ð
这三个角的关系；
【学以致用】
(3)如图3是超市购物车，图4 是其侧面示意图，已知
//
AB CD ，FD
CD
^
，测量得知
70
ABE
Ð
=
° ，
90
BEF
Ð
=
°，则
DFE
Ð
= ______．
【答案】(1)
C
Ð
；两直线平行，内错角相等；
B
Ð ；
C
Ð
(2)
EAB
ECD
AEC
Ð
+ Ð
= Ð
(3)110°
【分析】（1）根据平行线的性质，补全证明过程即可；
（2）由平行线的判定和性质，可得
EAB
AEH
Ð
= Ð
，ECD
HEC
Ð
= Ð
，等量代换即可得
AEC
Ð
，EAB
Ð
，ECD
Ð
这三个角的关系；
（3）作EN
AB
∥
，MF
CD
∥
，由平行线的性质可得
70
BEN
Ð
=
°，
20
FEN
Ð
=
°，据此计算即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
EAB
ECD
AEC
Ð
+ Ð
= Ð
，
过点E 作EH
AB
P
，
∵
//
AB CD ，
∴EH
CD
∥
（平行于同一直线的两条直线平行），
∴
EAB
AEH
Ð
= Ð
，
ECD
HEC
Ð
= Ð
（两直线平行，内错角相等），
∴
EAB
ECD
AEH
CEH
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
（等量代换）
即
EAB
ECD
AEC
Ð
+ Ð
= Ð
；
（3）解：如图，作EN
AB
∥
，则
B
BEN
A E
Ð
= Ð
，
∵
70
ABE
Ð
=
° ，
∴
70
BEN
Ð
=
°，
∵
90
BEF
Ð
=
°，
∴
90
20
NEF
BEN
Ð
=
°- Ð
=
°，
作MF
CD
∥
，则
180
MFD
D
Ð
+ Ð
=
°，
∵AB CD
P
，EN
AB
∥
，MF
CD
∥
，
∴EN
MF
∥
，
∴
20
EFM
NEF
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
20
110
DFE
Ð
=
°+
° =
° ．
◆题型2 与平行线有关的三角形内角和问题
4．（25-26 七年级下·山东济南·期中）如图，四边形ABCD 中，点G 是BC 上一点，过点G 作
,
GE
AB GF
CD
∥
∥
，若
123
A
D
°
Ð + Ð
=
，则
EGF
Ð
=
°．
【答案】57
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等．
首先根据平行线的性质得到
GEF
A
Ð
= Ð ，
GFE
D
Ð
= Ð
，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵GE
AB
P
，GF
CD
∥
，
∴
GEF
A
Ð
= Ð ，
GFE
D
Ð
= Ð
，
∵
123
A
D
°
Ð + Ð
=
，
∴
123
GEF
GFE
A
D
Ð
+ Ð
= Ð + Ð
=
°，
∴
180
180
123
57
EGF
GEF
GFE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
°．
故答案为：57．
5．（25-26 七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形ABC 中，CD 平分
ACB
Ð
交AB 于点D ，过点D 作
DE
BC
∥
交AC 于点E，DG 平分
BDE
Ð
交BC 于点G ，点F 为线段CG 上一点．若
30
DCE
Ð
=
° ，则
EDC
Ð
=
° ；若
DFC
DEC
Ð
= Ð
，
A
a
Ð
=
，则
GDC
Ð
=
．
【答案】
30
2
a
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．
根据题意得
ACD
BCD
Ð
= Ð
，得到
1
2
B
EDC
BCD
AC
=
= Ð
Ð
Ð
，得出
1
2
GDC
EDC
EDB
Ð
+ Ð
=
Ð
，继而得到
2
180
GDC
ACB
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，得到
2
GDC
a
Ð
=
，即可得到答案．
【详解】解：Q CD 平分
ACB
Ð
，
ACD
BCD
\Ð
= Ð
，
∵DE
BC
∥
，
1
30
2
EDC
BCD
DCE
ACB
\Ð
= Ð
= Ð
=
Ð
=
° ，
180
B
BDE
Ð + Ð
=
°，
DG
Q
平分
BDE
Ð
，
1
2
EDG
EDB
\Ð
=
Ð
，
1
2
GDC
EDC
EDB
\Ð
+ Ð
=
Ð
，
1
2
180
2
GDC
ACB
B
æ
ö
\
Ð
+
Ð
+ Ð
=
°
ç
÷
è
ø
，
即2
180
GDC
ACB
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
180
A
B
ACB
Ð + Ð + Ð
=
°
Q
，
A
a
Ð
=
，
180
B
ACB
a
\Ð
+ Ð
=
° -
，
2
180
180
GDC
a
\ Ð
+
°-
=
° ，
2 GDC
a
\ Ð
=
，
2
GDC
a
\Ð
=
，
故答案为：30，2
a ．
6．（25-26 七年级下·河北廊坊·月考）已知：如图，BF 平分
ABD
Ð
，DE 平分
BDC
Ð
交BF 于点E ，BF 交CD
于点
, 1
3
F Ð = Ð ．
(1)请说明AB
CD
∥
的理由；
(2)若
2
25
Ð =
° ，求
3
Ð 的度数；
(3)若
140
ABD
Ð
=
° ，求证：DE
BF
^
．
【答案】(1)见解析；
(2)65°
(3)见解析
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形
结合分析是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到
1
ABF
Ð
= Ð ，等量代换得到
3
ABF
Ð
= Ð ，由内错角相等，两直线平行即可求
解；
（2）根据角平分线的定义得到
2 2
50
BDF
Ð
= Ð =
° ，由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到
180
ABD
BDC
Ð
+ Ð
=
°，结合角平分线的定义得到
1
1
90
2
2
ABD
BDC
Ð
+
Ð
=
°，
1
2
90
Ð + Ð =
° ，由此即可求解．
【详解】（1）解：
BF
Q
平分
ABD
Ð
，
1
ABF
\Ð
= Ð ．
1
3
Ð = Ð
Q
，
3
ABF
\Ð
= Ð ，
AB
CD
\
∥
：
（2）解：
DE
Q
平分
BDC
Ð
，
2
25
Ð =
° ，
2 2
50
BDF
\Ð
= Ð =
° ，
1
3
180 , 1
3
BDF
Ð
+ Ð + Ð =
° Ð = Ð
Q
，
1
3
180
65
2
BDF
\Ð =
°- Ð
=
°；
（3）证明：由
1 得AB
CD
∥
，
180
ABD
BDC
\Ð
+ Ð
=
°
1
1
90
2
2
ABD
BDC
\
Ð
+
Ð
=
° ，
BF
Q
平分
ABD DE
Ð
,
平分
BDC
Ð
，
1
2
90
\Ð + Ð =
°，
90
BED
\Ð
=
°，
DE
BF
\
^
．
◆题型3 与角平分线有关的三角形内角和问题
7．（25-26 八年级上·全国·假期作业）如图，在△ABC 中，点O 是
ABC
V
内部
ABC
Ð
的平分线上一点，连接
OC ，点P 是
BOC
Ð
、
OCB
Ð
平分线的交点，若
100
P
Ð
=
° ，则
ABC
Ð
的度数为 °．
【答案】40
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出
POC
PCO
Ð
+ Ð
的度数，进一步得到
BOC
BCO
Ð
+ Ð
的度数，据此得到
OBC
Ð
的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问
题．
【详解】解：由题知，
∵点P 是
BOC
Ð
、
OCB
Ð
平分线的交点，
∴
2
BOC
POC
=
∠
∠
，
2
BCO
PCO
Ð
= Ð
，
∴
2
BOC
BCO
POC
PCO
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
．
∵
100
P
Ð
=
° ，
∴
80
POC
PCO
Ð
+ Ð
=
°，
∴
2 80
160
BOC
BCO
Ð
+ Ð
=
´
° =
° ．
∵
180
OBC
BOC
BCO
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
20
OBC
Ð
=
°．
∵点O 是
ABC
V
内部
ABC
Ð
的平分线上一点，
∴
2
40
ABC
OBC
Ð
= Ð
=
° ．
故答案为：40
8．（25-26 八年级上·四川广元·期中）如图，已知
ABC
V
中，
40
B
Ð
=
°，与
BAC
Ð
，
ACB
Ð
相邻的外角的角
平分线交于点D，则
D
Ð
的度数为
．
【答案】70°/70 度
【分析】本题考查了三角形外角的性质与角平分线的定义，解题的关键是利用三角形内角和及外角和的关
系，结合角平分线表示出相关角的度数．
先根据三角形外角的性质，用
B
Ð
表示出
BAC
Ð
与
ACB
Ð
的外角和；再结合角平分线的定义，求出
D
Ð
所
在三角形的内角和，进而得出
D
Ð
的度数．
【详解】解：在
ABC
V
中，
40
B
Ð
=
°，
故
180
40
140
BAC
ACB
Ð
+ Ð
=
° -
° =
°
∴
(180
)
(180
)
360
140
220
MAC
NCA
BAC
ACB
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+
- Ð
°-
° =
°
=
°，
∵AD
CD
、
是外角平分线，
1
1
,
2
2
DAC
MAC
DCA
NCA
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
220
110
2
2
DAC
DCA
MAC
NCA
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
°，
故
180
180
110
70
D
DAC
DCA
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
° ．
故答案为：70°．
9．（25-26 八年级上·山东日照·期中）如图，
DAB
Ð
和
BCD
Ð
的平分线AP 和CP 相交于P 点，交叉形成了多
个“和谐8 字形”，若
42
D
Ð
=
°，
38
B
Ð
=
° ，那么
P
Ð
的度数是
．
【答案】40°/40 度
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解
题的关键．
利用三角形的内角和定理表示出
AOD
Ð
与
BOC
Ð
，再根据对顶角相等可得
AOD
BOC
Ð
= Ð
，从而可得
DAO
D
B
BCO
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，代入数据可得：
4
OCB
OAD
°
Ð
- Ð
=
，根据角平分线定义，得出
1
1
2
OAD
Ð =
Ð
，
1
3
2
OCB
Ð =
Ð
，然后利用“8 字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解．
【详解】解：∵
180
DAO
D
AOD
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
180
BCO
B
BOC
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
又∵
AOD
BOC
Ð
= Ð
，
∴
DAO
D
B
BCO
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
∵
42
D
Ð
=
°，
38
B
Ð
=
° ，
∴
42
38
OAD
OCB
Ð
°
Ð
+
°
+
=
，
∴
4
OCB
OAD
°
Ð
- Ð
=
，
∵AP 、CP 分别是
DAB
Ð
和
BCD
Ð
的角平分线，
∴
1
1
2
OAD
Ð =
Ð
，
1
3
2
OCB
Ð =
Ð
，
又∵
1
3
D
P
Ð + Ð
= Ð + Ð ，
∴
1
1
1
3
4
42
40
2
2
P
D
OAD
OCB
D
Ð
= Ð + Ð
- Ð =
Ð
- Ð
+ Ð
=
´ - ° +
° =
° ；
故答案为：40°．
◆题型4 与三角形折叠中的角度问题
10．（25-26 八年级上·山西朔州·期中）如图，在
ABC
V
中，
ABC
Ð
、
ACB
Ð
的平分线交于点P，将
ABC
V
沿DE 折叠使得点A 与点P 重合，若
76
BDP
CEP
Ð
+ Ð
=
°，则
BPC
Ð
的度数是
．
【答案】109°
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题
关键．由折叠的性质可知，
ADE
PDE
Ð
= Ð
，
AED
PED
Ð
= Ð
，则
360
2
BDP
CEP
ADE
AED
Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，从而得出
142
ADE
AED
Ð
+ Ð
=
°，再利用三角形内角和定理求解即
可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
ADE
PDE
Ð
= Ð
，
AED
PED
Ð
= Ð
，
180
BDP
PDE
ADE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
CEP
PED
AED
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
180
180
360
2
BDP
CEP
PDE
ADE
PED
AED
ADE
AED
\Ð
+ Ð
=
°- Ð
- Ð
+
°- Ð
- Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
76
BDP
CEP
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
360
2
76
ADE
AED
\
°-
Ð
+ Ð
=
° ，
142
ADE
AED
\Ð
+ Ð
=
° ，
180
38
A
ADE
AED
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°，
180
142
ABC
ACB
A
\Ð
+ Ð
=
° - Ð
=
°，
ABC
Ð
Q
、
ACB
Ð
的平分线交于点P，
1
2
CBP
ABC
\Ð
=
Ð
，
1
2
BCP
ACB
Ð
=
Ð
，
1
71
2
CBP
BCP
ABC
ACB
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°，
180
109
BPC
CBP
BCP
\Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
° ，
故答案为：109°．
11．（2026 七年级下·全国·专题练习）如图，有一张三角形纸片ABC，
30
B
Ð
=
° ，
50
C
Ð
=
° ，D 是AB 边上
的固定点（
1
2
BD
AB
<
）．E 为BC 上一点，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），使点B 落在点F 处，EF 与三
角形ABC 的一边平行．此时
BED
Ð
的度数为
．
【答案】75°或25°或115°
【分析】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握其性质是解决此题的关键．
分三种情况：①当BD
EF
P
时，②当AC
EF
P
时，
50
C
BEF
Ð
= Ð
=
°，③当AC
EF
P
时，
50
C
CEF
Ð
= Ð
=
° ，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．
【详解】解：分三种情况讨论：
①如图①，当BD
EF
∥
时，
由折叠可知，
30
B
F
Ð
= Ð
=
°，
BED
DEF
Ð
= Ð
．
∵BD
EF
∥
，
∴
30
B
CEF
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
30
150
BEF
Ð
=
°-
° =
° ，
∴
1
1 150
75
2
2
BED
DEF
BEF
Ð
= Ð
=
Ð
=
´
° =
° ；
②如图②，当AC
EF
P
，且点F 在BC 上面时，
50
C
BEF
Ð
= Ð
=
° ，
∴
1
1
50
25
2
2
BED
FED
BEF
Ð
= Ð
=
Ð
=
´
° =
° ；
③如图③，当AC
EF
P
，且点F 在BC 下面时，
50
C
CEF
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
180
(180
)
BGD
EGF
CEF
F
Ð
=
°- Ð
=
°-
°- Ð
- Ð
50
30
80
CEF
F
CEF
B
= Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+
° =
°
=
°，
∴
180
80
30
70
BDG
Ð
=
°-
°-
° =
°，
∴
1
1
70
35
2
2
BDE
BDG
Ð
=
Ð
=
´
° =
°，
∴
180
180
30
35
115
BED
B
BDE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
°-
° =
° ．
综上所述，
BED
Ð
的度数为75°或25°或115°．
故答案为：75°或25°或115°．
12．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，E 分
别在边AB，AC 上．将
ABC
V
沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若
35 ,
60
B
C
Ð
=
° Ð
=
°，求
A
Ð
的度数．
(2)若
70
A
Ð
=
°，求
1
2
Ð + Ð 的度数．
【答案】(1)85°
(2)140°
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的
内角和180°是解决问题的关键．
（1）直接利用三角形的内角和求得答案即可；
（2）根据三角形的内角和等于180°求出
ADE
AED
Ð
+ Ð
，再根据翻折变换的性质可得．
NDE
ADE
NED
AED
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】（1）解：
35
60
B
C
Ð
=
°
Ð
=
°
Q
，
，
180
180
35
60
85
A
B
C
\Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
° ．
（2）解：
70
A
Ð
=
°
Q
，
180
70
110
ADE
AED
\Ð
+ Ð
=
°-
° =
°．
由题意，得
NDE
ADE
NED
AED
Ð
= Ð
Ð
= Ð
，
，
1
2
180
180
360
2 110
140
NDE
ADE
NED
AED
\Ð + Ð =
°- Ð
+ Ð
+
°- Ð
+ Ð
=
°- ´
° =
° ．
◆题型5 三角形内角和定理的应用
13．（25-26 八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，将一副分别含30°，45°角的直角三角板叠放在一起，30°角的
顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M．如果
115
ADF
Ð
=
° ，那么
BMD
Ð
为
度．
【答案】100
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义，求出
BDM
Ð
的度数，再根据三角形的内角和定
理，进行求解即可．
【详解】解：由题意，
30
EDF
Ð
=
° ，
45
B
Ð
=
°，
∵
115
ADF
Ð
=
° ，
∴
180
35
BDE
ADF
EDF
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
∴
180
100
BMD
BDE
B
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°；
故答案为：100．
14．（25-26 八年级上·广西崇左·月考）赤道式日晷是中国古代最经典和传统的计时仪器，由底座、晷面、晷
针三部分组成，其中底座面与日晷所处地地球半径垂直：
如图2，日晷所处纬度a 为39.8°，若太阳光（平行光）与日晷底座夹角为60°，则太阳光和该晷面所夹锐角
角度为
．
【答案】9.8°
【分析】本题主要考查三角形内角和、对顶角、平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握三角形内角和、对
顶角、平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；设晷面OA与太阳光MC 交于点A，延长FC 交AO 于E，
日晷底座为DC ，点N 在OA的延长线上，由题意易得
180
140.2
AEC
a
Ð
=
°- Ð
=
°，
90
ECD
DCF
Ð
= Ð
=
° ，
然后根据三角形内角和及对顶角相等可进行求解．
【详解】解：如图2，晷面OA与太阳光MC 交于点A，延长FC 交AO 于E，日晷底座为DC ，点N 在OA的
延长线上，
由题意得：
60 ,
39.8
ACD
a
Ð
=
° Ð
=
°，
∵晷面与赤道平行，
∴
180
140.2
AEC
a
Ð
=
°- Ð
=
°，
∵日晷底座与日晷所处地地球半径垂直，
∴
90
ECD
DCF
Ð
= Ð
=
° ，
∴
30
ACE
ECD
ACD
Ð
= Ð
- Ð
=
° ，
∴
180
9.8
EAC
AEC
ACE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
∴
9.8
MAN
EAC
Ð
= Ð
=
°，
即太阳光与该晷面所夹锐角角度为9.8°，
故答案为：9.8°．
15．（24-25 七年级下·湖北襄阳·月考）如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点O 并垂直于反射面的
直线ON 叫做法线，入射光线与法线的夹角i 叫做入射角，反射光线与法线的夹角r 叫做反射角，反射角
．．．r =
入射角
．．．i，这就是光的反射定律．一束光线m 射到平面镜PQ上，被PQ反射后的光线为n，则入射光线m、
反射光线n 与平面镜PQ所夹的锐角为
1
Ð 和
2
Ð ．
(1)①实验证明，1
2
Ð = Ð ，请你用数学知识
．．．．解释这一结论成立的原因：_____________．利用这个规律人们
制作了潜望镜．
②图2 是潜望镜工作原理示意图，AB 、CD 是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m 进入潜望镜，最
后沿直线n 射出，求证：m
n
∥．
(2)显然，改变两面平面镜AB 、CD 之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m 与反射光线n 之间的位
置关系会随之改变．
如图3，一束光线m 射到平面镜AB 上，被AB 反射到平面镜CD 上，又被CD 反射．若被CD 反射出的光线n
和光线m 平行，且
1
48
Ð =
°，则
6
Ð = ______°，
ABC
Ð
= ______°．
(3)请你猜想：图3 中，当两平面镜AB 、CD 的夹角
ABC
Ð
= ______°时，可以使任何入射光线m 经过平面
镜AB 、CD 的两次反射后，与反射光线n 平行．
【答案】(1)①等角的余角相等；②见解析
(2)96，90
(3)90，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是
解题关键．
（1）①由垂直得到
90
NOP
NOQ
Ð
= Ð
=
°，则
1
2
90
i
r
Ð + Ð = Ð + Ð =
° ，即可由等角的余角相等得到
1
2
Ð = Ð ；
②先根据平行线的性质可得
2
3
Ð
Ð
=
，从而可得
5
6
Ð = Ð ，再根据平行线的判定即可得证；
（2）先求出
5
84
Ð =
°，再根据平行线的性质可得
6
96
Ð =
°，从而可得
3
4
42
Ð = Ð =
°，然后根据三角形的内
角和定理求解即可得；
（3）先根据平行线的性质可得
5
6
180
Ð + Ð =
°，从而可得
1
2
3
4
180
Ð + Ð + Ð + Ð =
° ，据此可得
2
3
90
+
=
°
∠
∠
，然后根据三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】（1）解：①∵NO
PQ
^
，
∴
90
NOP
NOQ
Ð
= Ð
=
°，
∵
i
r
Ð = Ð ，
1
2
90
i
r
Ð + Ð = Ð + Ð =
°
∴
1
2
Ð = Ð （等角的余角相等），
故答案为：等角的余角相等；
②证明：∵AB
CD
∥
，
2
3
\Ð = Ð ，
1
2
Ð = Ð
Q
，
3=
4
Ð
Ð
，
1
2
3
4
\Ð = Ð = Ð = Ð ，
180
1
2
180
3
4
\
° - Ð - Ð =
° - Ð - Ð ，即
5
6
Ð = Ð ，
∴m
n
∥．
（2）解：由题意得，1
2
48
Ð = Ð =
° ，
3=
4
Ð
Ð
，
5
180
1
2
84
\Ð =
° - Ð - Ð =
° ，
∵m
n
∥，
6
180
5
96
\Ð =
° - Ð =
° ，
1
3
4
180
6
42
2
\Ð = Ð =
´
° - Ð
=
°，
180
2
3
180
48
42
90
ABC
\Ð
=
°- Ð - Ð =
°-
°-
° =
° ，
故答案为：96，90．
（3）解：当
90
ABC
Ð
=
°时，可以使任何入射光线m 经过平面镜AB 、CD 的两次反射后，与反射光线n 平
行，理由如下：
由题意可知，
1
2
Ð = Ð ，
3=
4
Ð
Ð
，
∵m
n
∥，
5
6
180
\Ð + Ð =
° ，
1
5
2
3
6
4
360
Ð + Ð + Ð + Ð + Ð + Ð =
°
Q
，
∴
1
2
3
4
180
Ð + Ð + Ð + Ð =
° ，
2 2
2 3
180
\ Ð + Ð =
°，即
2
3
90
+
=
°
∠
∠
，
180
2
3
90
ABC
\Ð
=
° - Ð + Ð
=
° ，
故答案为：90．
◆题型6 三角形的外角的定义与性质
16．（25-26 七年级上·河南周口·期末）如图，点D 在线段BC 的延长线上，CE 平分
ACD
Ð
，若
60
A
Ð
=
°，
AB
CE
∥
，则
B
Ð
的度数是
．
【答案】60°/60 度
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质．
由平行线的性质得
60
ACE
A
Ð
= Ð
=
° ，由角平分线的定义得
2
120
ACD
ACE
Ð
= Ð
=
°，然后利用三角形外角的
性质求解即可．
【详解】解：∵
60
A
Ð
=
°，AB
CE
∥
，
∴
60
ACE
A
Ð
= Ð
=
° ，
∵CE 平分
ACD
Ð
，
∴
2
120
ACD
ACE
Ð
= Ð
=
°，
∵
ACD
Ð
是
ABC
V
的外角，
∴
120
60
60
B
ACD
A
Ð
Ð
- Ð
=
°-
° =
=
° ．
故答案为：60°．
17．（25-26 八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，
ABC
ADE
△
≌△
，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于
G ，若
25
D
Ð
=
°，
105
E
Ð
=
°，
20
DAC
Ð
=
°，则
DGB
Ð
=
度．
【答案】70°/70 度
【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵ABC
ADE
V
V
≌
，
∴
105
ACB
E
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
105
75
ACF
Ð
=
°-
° =
°，
在ACF
V
和DGF
V
中，
D
DGB
DAC
ACF
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
即25
20
75
DGB
°+ Ð
=
°+
° ，
解得
70
DGB
Ð
=
°．
故答案为：70°．
18．（25-26 八年级上·山西吕梁·期中）如图，
DBC
Ð
与
ECB
Ð
是
ABC
V
的外角，
1
OBC
DBC
n
Ð
=
Ð
，
1
OCB
ECB
n
Ð
=
Ð
，若
A
a
Ð
=
，则
O
Ð
=
．（用含n 、a 的式子表示）
【答案】
180
1
n
n
a
°
-
-
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得
360
DBC
ECB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+ Ð
，结合三角形内角和定理可得
180
DBC
ECB
Ð
a
+ Ð
=
° +
，再求出
180
OBC
OCB
n
a
° +
Ð
+ Ð
=
，则由三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵
DBC
Ð
与
ECB
Ð
是
ABC
V
的外角，
∴
180
,
180
DBC
ABC
ECB
ACB
Ð
=
°- Ð
Ð
=
°- Ð
，
∴
360
DBC
ECB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
∵
180
ACB
A
ABC
Ð
+ Ð + Ð
=
°，
A
a
Ð
=
，
∴
180
ABC
ACB
a
Ð
+ Ð
=
°-
，
∴
360
180
180
DBC
ECB
a
a
Ð
+ Ð
=
°-
°-
=
°+
，
∵
1
OBC
DBC
n
Ð
=
Ð
，
1
OCB
ECB
n
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
OBC
OCB
DBC
ECB
DBC
ECB
n
n
n
n
a
°+
Ð
+ Ð
=
Ð
+
Ð
=
Ð
+ Ð
=
，
∴
180
1
180
n
O
OBC
OCB
n
a
°
-
-
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
，
故答案为：
180
1
n
n
a
°
-
-
．
◆题型7 三角形内角和与外角和综合问题
19．（25-26 八年级上·河北衡水·期中）在
ABC
V
中，D 是BC 边上的一点，1
2
Ð = Ð ，
3=
4
Ð
Ð
，
75
BAC
Ð
=
° ．
(1)求
DAC
Ð
的度数；
(2)若BC
a
=
，DC
b
=
，试用a、b 表示
ADC
△
的周长．
【答案】(1) 40°
(2) 2a
b
-
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，等角对等边，掌握三角形内角和定理
是解题的关键．
（1）利用外角性质用
2
Ð 表示出
3
Ð ，由三角形内角和定理得出
2
Ð 的度数，由此得出结论．
（2）先求出BD
AD
a
b
=
=
- ，利用等角对等边求出AC
AD
a
b
=
=
-
，即可求出
ADC
△
的周长．
【详解】（1）∵
1
2
Ð = Ð ，
∴
3
4
2 2
Ð = Ð = Ð ，
∵
2
4
180
BAC
Ð + Ð + Ð
=
°，
∴3 2
75
180
Ð +
° =
° ，
∴
2
35
Ð =
°，
∴
1
35
Ð =
° ．
∴
1
75
35
40
DAC
BAC
Ð
= Ð
- Ð =
°-
° =
°；
（2）∵
1
2
Ð = Ð ，
∴AD
BD
=
，
∵BC
a
=
，DC
b
=
，
∴BD
AD
a
b
=
=
- ，
∵
3
4
Ð = Ð ，
∴AC
AD
a
b
=
=
-
，
∴
ADC
△
的周长为：
2
a
b
a
b
b
a
b
-
+
-
+
=
-
．
20．（25-26 八年级上·江西上饶·月考）如图1，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动（不与点O 重合），
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，延长BC 交OM 于点G ．
(1)若
60
O
Ð
=
°，求
ACG
Ð
的度数；
(2)如图2，若
72
O
Ð
=
°，过点C 作CF
OA
∥
交AB 于点F ，求
BGO
Ð
与
ACF
Ð
的数量关系．
【答案】(1)
60
ACG
Ð
=
°
(2)
54
BGO
ACF
Ð
- Ð
=
°
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质和内角和定理，熟练应用三角形
外角性质是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到
60
ABC
BAC
Ð
+ Ð
=
° ，再根据三角形的外角性质求出
ACG
Ð
的度数；
（2）根据角平分线的定义得到
108
ABC
BAC
Ð
+ Ð
=
° ，再根据三角形的外角性质求出
54
ACG
Ð
=
° ，根据平
行线的性质得到
ACF
CAG
Ð
= Ð
，进而得到
54
BGO
ACF
Ð
- Ð
=
°．
【详解】（1）解：
60
O
Ð
=
°
Q
，
120
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
° ，
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，
1
2
BAC
OAC
BAO
\Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
ABC
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
60
2
ABC
BAC
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
60
ACG
ABC
BAC
\Ð
= Ð
+ Ð
=
° ．
（2）
72
O
°
Ð
=
Q
，
108
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
° ，
AC ，BC 分别是
BAO
Ð
和
ABO
Ð
的平分线，
1
2
BAC
OAC
BAO
\Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
ABC
OBC
ABO
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
54
2
ABC
BAC
ABO
BAO
\Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
54
ACG
ABC
BAC
\Ð
= Ð
+ Ð
=
° ，
CF
OA
∥
Q
，
ACF
CAG
\Ð
=Ð
，
54
BGO
ACF
BGO
CAG
ACG
\Ð
- Ð
= Ð
- Ð
= Ð
=
° ，
故
BGO
Ð
与
ACF
Ð
的数量关系为
54
BGO
ACF
Ð
- Ð
=
°．
21．（25-26 八年级上·全国·期末）如图，
ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的平分线交于
1A ．
(1)如图1，若
70
A
Ð
=
°，则
1A
Ð
= ．
(2)如图2 ，四边形ABCD 中，
ABC
Ð
的角平分线及外角
DCE
Ð
的角平分线相交于点F ，若
230
A
D
Ð + Ð
=
°，求
F
Ð
的度数．
(3)如图3，
ABC
V
中，
ABC
Ð
的角平分线与外角
ACD
Ð
的角平分线交于
1A ，若E 为BA 延长线上一动点，
连接EC ，
AEC
Ð
与
ACE
Ð
的角平分线交于点Q ，当E 滑动时有下面两个结论：
1
Q
A
Ð
+ Ð
①
的值为定值；
1
Q
A
Ð
- Ð
②
的值为定值；
其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值．
【答案】(1)35°
(2) 25°
(3)正确的结论是①，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）根据角平分线的定义得到
1
1
1
1
2
2
A BC
ABC
ACD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，再由三角形外角的性质得到
1
1
2
A
ACD
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
，
70
ACD
ABC
BAC
Ð
- Ð
= Ð
=
° ，由此即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义
1
1
2
2
FBC
ABC
FCE
DCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，根据三角形外角的性质得到
1
2
F
DCE
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
，利用四边形内角和定理得到
130
ABC
BCD
Ð
+ Ð
=
° ，则
50
DCE
ABC
Ð
- Ð
=
° ，由
此即可求出
25
F
Ð
=
°；
（3）同理可得
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
1
1
2
2
QEC
AEC
QCE
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，利用三角形内角和定理得到
1
180
2
Q
AEC
ACE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，再由三角形外角的性质得到
BAC
AEC
ACE
Ð
= Ð
+ Ð
，即可得到
1
180
2
Q
BAC
Ð
=
° -
Ð
，由此即可得到结论．
【详解】（1）解：∵
1
BA 平分
1
ABC
CA
Ð
，
平分
ACD
Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
A BC
ABC
ACD
ACD
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
1
1
1
A
ACD
A BC
Ð
= Ð
- Ð
，
∴
1
1
1
1
2
2
2
A
ACD
ABC
ACD
ABC
Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
70
BAC
Ð
=
°，
∴
70
ACD
ABC
BAC
Ð
- Ð
= Ð
=
° ，
∴
1
1
70
35
2
A
Ð
=
´
° =
°，
故答案为：35°；
（2）解：∵BF 平分
ABC
CF
Ð
，
平分
DCE
Ð
，
∴
1
1
2
2
FBC
ABC
FCE
DCE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∴
1
2
F
FCE
FBC
DCE
ABC
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
，
∵
230
A
D
Ð + Ð
=
°，
∴
360
130
ABC
BCD
A
D
Ð
+ Ð
=
°- Ð + Ð
=
°，
∴
180
130
ABC
DCE
Ð
+
°- Ð
=
° ，
∴
50
DCE
ABC
Ð
- Ð
=
° ，
∴
1
25
2
F
DCE
ABC
Ð
=
Ð
- Ð
=
°；
（3）解：正确的结论是①，理由如下：
同（1）可得
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∵EQ 平分
AEC
CQ
Ð
，
平分
ACE
Ð
，
∴
1
1
2
2
QEC
AEC
QCE
ACE
Ð
=
Ð
Ð
=
Ð
，
，
∵
180
Q
QEC
QCE
Ð
=
°- Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
AEC
ACE
Ð
=
°-
Ð
+ Ð
，
∵
BAC
AEC
ACE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
1
180
2
Q
BAC
Ð
=
° -
Ð
，
∵
1
1
2
A
BAC
Ð
=
Ð
，
∴
1
1
1
180
180
2
2
Q
A
BAC
BAC
Ð
+ Ð
=
° -
Ð
+
Ð
=
°，
∴
1
Q
A
Ð
+ Ð
的值为定值，①正确，其值是180°．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 八年级下·广东佛山·期中）在Rt ABC
V
中，
90 ,
54
C
B
Ð
=
° Ð
=
°，则
A
Ð 的度数是（ ）
A．56°
B．46°
C．36°
D．26°
【答案】C
【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解．
【详解】解：∵在Rt ABC
V
中，
90
C
Ð
=
°
∴直角三角形两锐角和为90°，即
90
A
B
Ð
Ð
+
=
°
又∵
54
B
Ð
=
°
∴
90
54
36
A
Ð
=
°-
° =
° ．
2．（25-26 七年级下·河南洛阳·期末）如图，在ABC
V
中，
100
A
Ð
=
°，
1
2
Ð = Ð ，
3
4
Ð = Ð ．则
1
4
Ð
Ð
+
的值
为（ ）
A．45°
B．60°
C．50°
D．40°
【答案】D
【分析】根据三角形内角和定理求出
ABC
ACB
Ð
+ Ð
的度数，再根据角平分线的定义得出
1
1
4
(
)
2
ABC
ACB
Ð
Ð
Ð
Ð
+
=
+
，最后代入计算即可．
【详解】解：Q在ABC
V
中，
100
A
Ð
=
°，
180
180
100
80
ABC
ACB
A
Ð
Ð
Ð
°
°
°
°
\
+
=
-
=
-
=
，
1
2
Ð = Ð
Q
，
3
4
Ð = Ð ，
1
1
2
ABC
\Ð =
Ð
，
1
4
2
ACB
Ð =
Ð
，
1
1
1
1
4
(
)
2
2
2
ABC
ACB
ABC
ACB
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
\
+
=
+
=
+
，
1
1
4
80
40
2
Ð
Ð
°
°
\
+
=
´
=
．
3．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹
的玩法和制作方法．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，
AB CD
P
，
87
CDE
Ð
=
° ，
35
DEB
Ð
=
° ，则
ABE
Ð
的度数为（ ）
A．58°
B．87°
C．121°
D．122°
【答案】D
【分析】根据平行线性质和三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：延长AB 交DE 于点F ，如图，
∵AB CD
P
，
∴AF
CD
∥
，
∴
87
CDE
AFE
Ð
= Ð
=
°，
∵
35
DEB
Ð
=
° ，
∴
=
ABE
AFE
DEB
Ð
Ð
+ Ð
，
∴
87
35
122
ABE
Ð
=
°+
° =
° ．
4．（25-26 七年级下·北京·期末）如图所示是地球截面图，其中AB ，EF 分别表示南回归线和北回归线，CD
表示赤道，点P 表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是23°（
23
BOD
Ð
°
＝
），该市的纬度是北纬37°
（
37
POD
Ð
°
＝
），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线MB 的延长线经过地心O ），则该市冬至正午
时，太阳光线与地面水平线PQ 的夹角a 的度数是（ ）
A．23°
B．29°
C．30°
D．36°
【答案】C
【分析】设PQ 与OB 交于点K ，先计算
POB
Ð
的度数，再利用三角形内角和定理及平行线的性质求解．
【详解】解：设PQ 与OB 交于点K ，
∵
23
BOD
Ð
=
° ，
37
POD
Ð
=
° ，
∴
60
POB
POD
BOD
Ð
Ð
Ð
=
+
=
°，
∵PQ 为地面水平线，
∴OP
PQ
^
，即
90
OPK
Ð
=
°，
在OPK
V
中，
180
30
OKP
OPK
POB
Ð
Ð
Ð
=
°-
-
=
°，
∵太阳光线平行，即PN
OB
P
，
∴
30
OKP
a
Ð
=
=
°．
故选：C．
5．（25-26 七年级下·浙江衢州·期末）如图，在三角形纸片ABC 中，
20
B
Ð
=
°，
60
C
Ð
=
°，点D 在AB 上且
1
2
BD
AB
<
．若在BC 上找一点E ，将纸片沿DE 折叠，点B 落在点F 处，EF 恰好与三角形ABC 的一边平行，
则满足所有平行条件的
BDE
Ð
度数为（ ）
A．40°或80°
B．50°或130°
C．50°或80° 或130°
D．40°或80° 或130°
【答案】D
【分析】分AC
EF
P
时和AB
EF
∥
时两种情况，再结合平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和性质，
列式计算即可．
【详解】解：当AC
EF
P
时，如图，则
60
FEG
C
Ð
= Ð
=
° ，
由折叠性质得：
BED
DEF
Ð
= Ð
，
1
1
180
180
60
120
2
2
BED
GEF
\Ð
=
°+ Ð
=
°+
° =
° ，
则
180
180
20
120
40
BDE
B
BED
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
°
当AB
EF
∥
时，如图，则
20
FEC
B
Ð
= Ð
=
° ，
由折叠性质得：
20
B
F
Ð
= Ð
=
° ，
BED
DEF
Ð
= Ð
，
∴
1
180
20
80
2
DEF
Ð
=
´
°-
° =
°
∵AB
EF
∥
∴
80
BDE
DEF
Ð
= Ð
=
°
当AC
EF
P
时，如图，则
60
FEB
C
Ð
= Ð
=
°，
1
1
30
2
2
BED
BEF
C
\Ð
=
Ð
=
Ð
=
°，
∴
180
180
20
30
130
BDE
B
BED
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°-
°-
° =
°
综上，
BDE
Ð
的度数为40°或80° 或130°
二、填空题
6．（25-26 七年级下·重庆·期末）如图，在ABC
V
中，
50
A
Ð
=
° ，点D 在BC 的延长线上，
95
ACD
Ð
=
°，则
B
Ð
= _____°．
【答案】45
【分析】利用三角形外角性质直接算出答案．
【详解】解：
50
95
A
ACD
Ð
=
°
Ð
=
°
Q
，
，
95
50
45
B
ACD
A
\Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ．
7．（25-26 七年级下·四川宜宾·期末）如果一个三角形的两个内角a 与b 满足2
90
a
b
+
=
°，那么我们称这样
的三角形为“倍角三角形”．如图，在三角形纸片ABC 中，
110
A =
°
∠
，
B
C
Ð
= Ð
，将纸片沿着DE 折叠，使
得点C 落在AB 边上的点F 处．若BEF
V
和ADF
V
都是“倍角三角形”，则
BEF
Ð
的度数为___________．
【答案】20°
【分析】根据三角形内角和定理求出
35
B
C
Ð
= Ð
=
°，由折叠的性质得到
35
DFE
C
=
=
°
∠
∠
，则可推出
145
BFE
AFD
+
=
°
∠
∠
；当ADF
V
是“倍角三角形”时，只存在
2
90
AFD
ADF
+
=
°
∠
∠
或2
90
AFD
ADF
Ð
+ Ð
=
°
这两种情况，据此根据
70
AFD
ADF
+
=
°
∠
∠
，求出
AFD
Ð
的度数，进而求出
BFE
Ð
的度数，进一步求出
BEF
Ð
的度数，再验证BEF
V
是否为“倍角三角形”即可得到答案．
【详解】解：∵
110
A =
°
∠
，
B
C
Ð
= Ð
，
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
∴
35
B
C
Ð
= Ð
=
°，
由折叠的性质可得
35
DFE
C
=
=
°
∠
∠
，
∴
180
145
BFE
AFD
DFE
+
=
° -
=
°
∠
∠
∠
；
在ADF
V
中，
110
90
A
Ð
=
° >
° ，
∴当ADF
V
是“倍角三角形”时，只存在
2
90
AFD
ADF
+
=
°
∠
∠
或2
90
AFD
ADF
Ð
+ Ð
=
°这两种情况，
当
2
90
AFD
ADF
+
=
°
∠
∠
时，
∵
180
70
AFD
ADF
A
+
=
° -
=
°
∠
∠
∠
，
∴
20
ADF
Ð
=
° ，
∴
50
AFD
Ð
=
° ，
∴
95
BFE
Ð
=
° ，
∴
180
50
BEF
B
BFE
=
° -
-
=
°
∠
∠
∠
，
∵
2
135
B
BEF
+
=
°
∠
∠
，2
120
B
BEF
Ð + Ð
=
° ，
∴此时BEF
V
不是“倍角三角形”，不符合题意；
当2
90
AFD
ADF
Ð
+ Ð
=
°时，
∵
180
70
AFD
ADF
A
+
=
° -
=
°
∠
∠
∠
，
∴
20
AFD =
°
∠
，
∴
125
BFE
Ð
=
° ，
∴
180
20
BEF
B
BFE
Ð
=
°- Ð - Ð
=
°，
∵2
90
B
BEF
Ð + Ð
=
° ，
∴此时BEF
V
是“倍角三角形”，符合题意；
综上所述，
20
BEF
Ð
=
° ．
8．（25-26 七年级下·江西鹰潭·期末）如图，在ABC
V
中，
80
A
Ð
=
° ，
60
ACB
Ð
=
°，点D 为边BC 延长线上
一点，BF 平分
ABC
Ð
，点E 为直线BF 上一点．若直线AE 垂直于ABC
V
的一边，则
AEB
Ð
的度数为________．
【答案】110°或70°或10°
【分析】根据三角形内角和定理求出
40
ABC
Ð
=
° ，根据角平分线的定义得到
20
ABF
CBF
Ð
Ð
=
=
° ，分三
种情况根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵
80
BAC
Ð
=
°，
60
ACB
Ð
=
°，
∴
180
80
60
40
ABC
Ð
=
°-
°-
° =
° ，
∵BF 平分
ABC
Ð
，
∴
20
ABF
CBF
Ð
Ð
=
=
° ，
当AE
BC
^
时，如图，延长AE 交BC 于点G，
可知
90
AGB
Ð
=
° ，
∴
180
50
BAG
ABG
AGB
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
° ，
∴
180
110
AB
AE
E
B
E
BA
=
°- Ð
- Ð
=
°
Ð
；
当AE
AB
^
时，如图，
可知
90
BAE
Ð
=
° ，
∴
180
70
AEB
ABE
BAE
=
° -
-
=
°
∠
∠
∠
；
当AE
AC
^
时，如图，
可知
90
CAE
Ð
=
° ，
∴
90
10
BAE
BAC
Ð
Ð
°
°
=
-
=
，
∵
180
20
160
ABE
Ð
°
°
=
-
° =
，
∴
180
10
AEB
BAE
ABE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°；
综上所述，
AEB
Ð
的度数为110°或70°或10°．
9．（25-26 七年级下·江苏无锡·期末）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫作“反直角三角形”，在ABC
V
中，
40
B
C
Ð
= Ð
=
° ，点P 为直线BC 上一点，若ABP
V
为“反直角三角形”，则
PAC
Ð
的度数为__________．
【答案】15°或30°或75°或90°
【分析】求出
100
BAC
Ð
=
° ，分三种情况进行解答即可．
【详解】解：∵在ABC
V
中，
40
B
C
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
100
BAC
B
C
Ð
=
- Ð - Ð
=
°
°，
当点P 为线段BC 上一点，
40
ABP
Ð
=
° ，设
BAP
x
Ð
=
，
APB
y
Ð
=
，则
40
180
x
y
+
+
° =
°，
∴
140
x
y
+
=
° ，
根据定义分情况讨论：
①若
90
APB
B
Ð
Ð
-
=
°，则
130 ,
180
40
130
10
y
x
=
°
=
°-
°-
° =
°，
∴
100
10
90
PAC
BAC
BAP
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ，符合题意；
②若
90
BAP
B
Ð
Ð
-
=
° ，则
130
100
x =
° >
° ，不符合点P 在线段BC 上的条件，舍去；
③若
90
APB
BAP
Ð
Ð
-
=
° ，则
90
y
x
=
+
° ，
代入
140
x
y
+
=
° 得到2
50
x =
°，
解得
25
x =
° ，
∴
100
25
75
PAC
Ð
=
°-
° =
°，符合题意；
④若
90
BAP
APB
Ð
Ð
-
=
° ，则
90
x
y
=
+
° ，
代入
140
x
y
+
=
° 得到
90
140
y
y
+
°+
=
° ，解得
25
y =
°，不符合题意；
当点P 在线段BC 的延长线上，即点P 在点C 右侧时，
40 ,
100
ABP
BAP
BAC
PAC
Ð
=
° Ð
= Ð
+ Ð
>
°，同理可
得，
140
x
y
+
=
° ，其中设
BAP
x
Ð
=
，
APB
y
Ð
=
，分情况讨论：
①若
90
BAP
B
Ð
Ð
-
=
° ，则
130 ,
x =
°
∴
130
100
30
PAC
BAP
BAC
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
° ，符合题意；
②若
90
BAP
APB
Ð
Ð
-
=
° ，则
90 ,
x
y
=
+
° 代入
140
x
y
+
=
° 得到2
50
y =
°，解得
25
y =
°，
115
x =
°，
∴
115
100
15
PAC
Ð
=
°-
° =
° ，符合题意；
③其余情况均得到负角度或
100
BAP
Ð
<
°，不合题意，舍去，
当点P 在线段CB 的延长线上，即点P 在点B 左侧时，
180
40
140
ABP
Ð
=
°-
° =
° ，
∴其余两个内角和为180
140
40
°-
° =
° ，最大内角为140°，
若140
90
x
°-
=
°，解得，
50
40
x =
° >
° ，不可能存在，其余情况内角差不可能达到90°，故此情况无符合条
件的解，
综上，
PAC
Ð
的度数为15°或30°或75°或90°．
10．（25-26 七年级下·天津河东·期末）如图1 光线照射到镜面会产生反射现象，当光线从PO 入射到平面镜
上时沿OQ 反射出去，其中经过入射点O 且垂直于反射面的直线ON 称为法线，根据光线反射规律可以得到
AOP
BOQ
Ð
= Ð
．
（I）若
40
NOQ
Ð
=
°，则
AOP
Ð
=________度；
（II）如图2，OA，OB 为两面有一定夹角的平面镜，当光线PC 平行于镜面OB 入射时，在点C 、D 、E
处经过三次平面镜反射后沿EQ 射出，若
36
AEQ
Ð
=
° ，
AOB
Ð
= ________度．
【答案】
50
48
【分析】（I）利用互余关系求出
BOQ
Ð
的度数，即可得出结果；
（II）设
AOB
x
Ð
=
，根据反射规律，平行线的性质，三角形的内角和定理推出
36
180
AOB
OCD
ODC
x
x
x
Ð
+ Ð
+ Ð
=
+
+
°+
=
° ，进行求解即可.
【详解】解：（I）由题意，ON
AB
^
，
∴
90
BON
Ð
=
°，
∴
90
90
40
50
AOP
BOQ
NOQ
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ；
（II）设
AOB
x
Ð
=
，
∵PC
OB
P
，
∴
ACP
AOB
x
Ð
= Ð
=
，
∵
36
OED
AEQ
Ð
= Ð
=
° ，
∴
180
144
ODE
AOB
OED
x
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°-
，
∴
180
36
ODC
EDB
ODE
x
Ð
= Ð
=
°- Ð
=
°+
，
∵
OCD
ECP
x
Ð
= Ð
=
，
∴
36
180
AOB
OCD
ODC
x
x
x
Ð
+ Ð
+ Ð
=
+
+
°+
=
° ，
解得
48
x =
° ，
即
48
AOB
Ð
=
°.
三、解答题
11．（25-26 八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所
示四种作辅助线的方法．
①过点C 作
EF
AB
∥
②延长AC 到点
F，过点C 作
CE
AB
∥
③过AB 上一点D
作DE
BC
∥
，
DF
AC
∥
④过点C 作
CD
AB
^
于点D
回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是__________（请填写序号）；
(2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明．
【答案】(1)①②③
(2)证明见解析
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可
得答案．
【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是180°”的方法是①②③；
（2）解：①∵EF
AB
∥
，
∴
ECA
A
Ð
= Ð ，
FCB
B
Ð
= Ð ，
∵
180
ECA
ACB
FCB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
A
B
ACB
Ð + Ð + Ð
=
°，
故①能证明“三角形内角和是180°”；
②∵CE
AB
∥
，
∴
FCE
A
Ð
= Ð ，
ECB
B
Ð
= Ð ，
∵
180
FCE
ECB
ACB
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
A
B
ACB
Ð + Ð + Ð
=
°，
故②能证明“三角形内角和是180°”；
③∵DE
BC
∥
，DF
AC
∥
，
∴
ADE
B
Ð
= Ð ，
BDF
A
Ð
= Ð ，
C
AED
Ð
= Ð
，
AED
EDF
Ð
= Ð
，
∴
C
EDF
Ð
= Ð
，
∵
180
ADE
EDF
BDF
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
∴
180
A
B
C
Ð + Ð
+ Ð
=
°，
故③能证明“三角形内角和是180°”；
④∵CD
AB
^
，
∴
90
CDB
CDA
Ð
= Ð
=
°，
故④不能证明“三角形内角和是180°”．
12．（25-26 七年级下·辽宁大连·期末）ABC
V
是锐角三角形，点D 在线段AC 上，ED
BC
P
交AB 于点E，
点F 在线段AB 上（点F 不与点A，E，B 重合），连接DF ，过点F 作FG
FD
^
交射线CB 于点G（点G 不
与点B 重合）
(1)如图1，当点F 在线段BE 上时，
100
B
BFG
Ð
+ Ð
=
°，求
EDF
Ð
的度数；
(2)当点F 在线段AE 上时，请在备用图中探究下列问题：
①直接写出
EDF
Ð
与
BGF
Ð
之间满足的数量关系 ；
②若
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，请画出符合条件的图形，并尝试求出
DPG
Ð
的度数．
【答案】(1)10°
(2)①
90
BGF
EDF
Ð
- Ð
=
° 或
90
BGF
EDF
Ð
+ Ð
=
° ；②45°或135°．
【分析】（1）过点F 作FH
ED
∥
，交AC 于H，根据三角形内角和定理，平行线的性质求解即可；
（2）①分两种情况，画出图形利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可；
②分两种情况，画出图形，分别根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：过点F 作FH
ED
∥
，交AC 于H，
∵
100
B
BFG
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
100
80
BGF
Ð
=
°-
° =
° ，
,
,
FH
ED ED
BC
Q
P
P
∴FH
BC
P
，
∴
80
GFH
BGF
Ð
= Ð
=
° ，
∵FG
FD
^
，
∴
90
DFG
Ð
=
°，
∴
10
DFH
DFG
GFH
Ð
= Ð
- Ð
=
°，
∵FH
ED
∥
，
∴
10
EDF
DFH
Ð
= Ð
=
° ；
（2）解：①情况1：当点G 在线段BC 上时，结论：
90
BGF
EDF
Ð
- Ð
=
° ．
理由：设DE 交FG 于J，
∵DE
BC
∥
，
∴
BGF
FJE
Ð
= Ð
，
∵
FJE
DFJ
EDF
Ð
= Ð
+ Ð
，
90
DFG
DFJ
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
BGF
EDF
Ð
- Ð
=
° ．
情况2：当点G 在CB 的延长线上时，
90
BGF
EDF
Ð
+ Ð
=
° ，
延长DE 交GF 于K，
∵DE
BC
∥
，
∴
BGF
DKF
Ð
= Ð
，
∵
90
DFK
DFG
Ð
= Ð
=
°，
KDF
EDF
Ð
= Ð
，
∴
90
DKF
KDF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
90
BGF
EDF
Ð
+ Ð
=
° ；
②情况1：点G 在线段BC 上时，作PR
BC
∥
，
∵DE
BC
∥
，
∴PR
DE
P
，
∵
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，
∴
1
2
DPR
EDP
EDF
Ð
= Ð
=
Ð
，
1
2
RPG
BGP
BGF
Ð
= Ð
=
Ð
，
∴
1
45
2
DPG
RPG
DPR
BGF
EDF
Ð
= Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
° ；
情况2：当点G 在CB 的延长线上时，延长FD ，BC 交于点Q，
∵DE
BC
∥
，
∴
EDF
Q
Ð
= Ð
，
PKD
CGP
Ð
= Ð
，
在Rt
GFQ
△
中，
90
DFG
FGB
Q
Ð
= Ð
+ Ð
=
°，
∵
EDF
Ð
与
BGF
Ð
的角平分线所在直线相交于点P，
∴
1
2
EDP
EDF
Ð
=
Ð
，
1
2
BGP
BGF
Ð
=
Ð
，
∴
1
45
2
EDP
BGP
EDF
BGF
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
° ，
PKD
V
中，
180
180
45
135
DPG
PKD
KDP
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
°．
综上，
DPG
Ð
的度数为45°或135°．
13．（25-26 七年级下·河北石家庄·期末）如图，
ACE
Ð
是ABC
V
的一个外角，BD 为
ABC
Ð
的平分线，CD
在
ACE
Ð
的内部，与BD 交于点D ，
2
A
D
Ð
= Ð
．
(1)判断CD是否平分
ACE
Ð
，并说明理由；
(2)如图2，
ACB
Ð
的平分线CO 交BD 于点O ，
48
D
Ð
=
°，求
DOC
Ð
的度数．
【答案】(1)解：CD平分
ACE
Ð
，理由如下：
∵
ACE
Ð
是ABC
V
的一个外角，
∴
ACE
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð ，
∵
DCE
Ð
是BCD
V
的一个外角，
∴
DCE
CBD
D
Ð
= Ð
+ Ð
，
∵BD 为
ABC
Ð
的平分线，
∴
1
2
CBD
ABC
Ð
=
Ð
，
∵
2
A
D
Ð
= Ð
，即
1
2
D
A
Ð
=
Ð ，
∴
1
1
2
2
DCE
ABC
A
Ð
=
Ð
+
Ð
∴
1
2
DCE
ACE
Ð
=
Ð
，
∴CD平分
ACE
Ð
(2) 42°
【分析】（1）利用三角形外角和定理可得
ACE
ABC
A
Ð
= Ð
+ Ð ，
DCE
BCD
D
Ð
= Ð
+ Ð
，结合BD 为
ABC
Ð
的平分线，
2
A
D
Ð
= Ð
，进而证得CD平分
ACE
Ð
；
（2）由CD平分
ACE
Ð
，CO 平分
ACB
Ð
，可证得
90
OCD
Ð
=
° ，利用三角形内角和定理即可解得
DOC
Ð
的
度数．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）可知，CD平分
ACE
Ð
，即
1
2
ACD
ACE
Ð
=
Ð
，
∵CO 平分
ACB
Ð
，即
1
2
ACO
ACB
Ð
=
Ð
，
又∵
180
ACE
ACB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
1
1 180
90
2
2
ACO
ACD
ACE
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
°，
在OCD
V
中，
48
D
Ð
=
°，
∴
90
90
48
42
DOC
D
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
° ．
14．（25-26 七年级下·山东聊城·期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三
个内角的数量关系”进行了探究：
(1)如图1，在ABC
V
中，
ABC
Ð
与
ACB
Ð
的平分线交于点P ，
62
A
Ð
=
° ，则
BPC
Ð
= ______°．
(2)如图2，ABC
V
的内角，
ACB
Ð
的平分线与ABC
V
的外角，
ABD
Ð
的平分线交于点E ，其中
58
A
Ð
=
°，求
BEC
Ð
的度数；
(3)如图3，
CBM
Ð
、
BCN
Ð
为ABC
V
的外角，
CBM
Ð
、
BCN
Ð
的平分线交于点Q ，其中
A
a
Ð
=
．求
BQC
Ð
= _________（用a 表示）；
【答案】(1)121
(2) 29°
(3)
1
90
2a
°-
【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得
118
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
°，再根据角平分线的定义，可得
1
59
2
PBC
PCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
°，最后根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）根据三角形的外角的性质，可得
58
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
°，再根据角平分线的定义，可得
1
29
2
EBD
ECB
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
Ð
- Ð
=
°，即可求解；
（3）根据外角的性质和三角形内角和定理，易得
180
CBM
BCN
a
Ð
+ Ð
=
°+
，再根据角平分线的定义和三
角形内角和定理，即可得到
1
90
2
BQC
a
Ð
=
°-
．
【详解】（1）解：Q
62
A
Ð
=
° ，
\
180
180
62
118
ABC
ACB
A
Ð
+ Ð
=
° - Ð
=
° -
° =
°，
Q
ABC
Ð
与
ACB
Ð
的平分线交于点P ，
\
1
2
PBC
ABC
Ð
=
Ð
，
1
2
PCB
ACB
Ð
=
Ð
，
\
1
1 118
59
2
2
PBC
PCB
ABC
ACB
Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
=
´
° =
° ，
\
180
180
59
121
BPC
PBC
PCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
° =
° ；
（2）解：Q
58
A
Ð
=
°，
\
ABD
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
，即
58
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
°，
Q
ACB
Ð
的平分线与
ABD
Ð
的平分线交于点E ，
\
1
2
ECB
ACB
Ð
=
Ð
，
1
2
EBD
ABD
Ð
=
Ð
，
\
1
1
1
29
2
2
2
EBD
ECB
ABD
ACB
ABD
ACB
Ð
- Ð
=
Ð
-
Ð
=
Ð
- Ð
=
° ，
\
29
BEC
EBD
ECB
Ð
= Ð
- Ð
=
°；
（3）解：Q
CBM
A
ACB
Ð
= Ð + Ð
，
BCN
A
ABC
Ð
= Ð + Ð
，
A
a
Ð
=
，
\
180
CBM
BCN
A
ACB
A
ABC
a
Ð
+ Ð
= Ð + Ð
+ Ð + Ð
=
°+
，
Q
CBM
Ð
、
BCN
Ð
的平分线交于点Q ，
\
1
2
CBQ
CBM
Ð
=
Ð
，
1
2
BCQ
BCN
Ð
=
Ð
，
\
1
180
180
2
BQC
CBQ
BCQ
CBM
BCN
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
°-
Ð
+ Ð
1
1
180
180
90
2
2
a
a
=
°-
°+
=
°-
．
15．（25-26 七年级下·湖南衡阳·期末）我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，
则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105 60 15
°
°
°
,
,
的三角形是“和谐三角形”．如图①，
60
MON
Ð
=
°，点A 在边OM 上，过点A 作AB
OM
^
交ON 于点B，以A 为端点作射线AD ，交线段OB 于
点C（点C 不与O，B 重合）
(1)
ABO
∠
的度数为_______，AOB
V
_________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”．
(2)若
84
ACB
Ð
=
° ，试说明：AOC
V
是“和谐三角形”．
(3)如图②，点D 在ABC
V
的边AB 上，连结DC ，作
ADC
Ð
的平分线交AC 于点E，在DC 上取点F，使
180
EFC
BDC
Ð
+ Ð
=
° ，∠DEF
B
= Ð ．若BCD
V
是“和谐三角形”，直接写出
B
Ð 的度数．
【答案】(1)30°，不是
(2)
ACB
Ð
Q
是AOC
V
的一个外角，
ACB
O
OAC
\Ð
= Ð
+ Ð
，
又
60
O
Ð
=
°，
84
ACB
Ð
=
°
24
OAC
\Ð
=
° ，
∵
180
84
96
ACO
Ð
=
°-
° =
°，
4
ACO
OAC
\Ð
= Ð
，
\
AOC
V
是“和谐三角形”；
(3)
30
B
Ð
=
° 或
80
B
Ð
=
°
【分析】（1）根据AB
OM
^
，得到
90
OAB
Ð
=
° ，求得
90
30
ABO
MON
Ð
=
°- Ð
=
°，得到
3
OAB
ABO
Ð
= Ð
，
所以AOB
V
不是“和谐三角形”；
（2）因为
ACB
Ð
是AOC
V
的一个外角，得到
ACB
O
OAC
Ð
= Ð
+ Ð
，求出
24
OAC
Ð
=
°，
96
ACO
Ð
=
°，所以
4
ACO
OAC
Ð
= Ð
，所以得到AOC
V
是“和谐三角形”；
（3）由
180
EFC
BDC
Ð
+ Ð
=
° ，
180
ADC
BDC
Ð
+ Ð
=
°，得到
EFC
ADC
Ð
= Ð
，可以证明AD
EF
∥
，得到
DEF
ADE
Ð
= Ð
，而
DEF
B
Ð
= Ð
，得到
B
ADE
Ð
= Ð
，由DE
BC
∥
，得到
CDE
BCD
Ð
Ð
=
，根据△BCD是
“和谐三角形”，即可求解．
【详解】（1）解：
AB
OM
^
Q
，
90
OAB
\Ð
=
°，
90
30
ABO
MON
\Ð
=
- Ð
=
°
° ，
∴ABO
V
的三个内角度数为90 ,60 ,30
°
°
°
不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4 倍，
\
AOB
V
不是“和谐三角形”；
（2）略
（3）解：
180
EFC
BDC
Ð
+ Ð
=
°
Q
，
180
ADC
BDC
Ð
+ Ð
=
°，
EFC
ADC
\Ð
= Ð
，
AD
EF
\
∥
，
DEF
ADE
Ð
= Ð
∴
，
而
DEF
B
Ð
= Ð
，
B
ADE
\Ð
= Ð
，
\ DE
BC
∥
，
CDE
BCD
\Ð
= Ð
，
DE
Q
平分
ADC
Ð
，
ADE
CDE
\Ð
= Ð
，
B
BCD
\Ð
= Ð
，
Q
BCD
V
是“和谐三角形”，
4
BDC
B
\Ð
= Ð 或
4
B
BDC
Ð
=
Ð
，
180
BDC
BCD
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
Q
∴4
180
B
B
B
Ð + Ð + Ð
=
° 或1
180
4
B
B
B
Ð + Ð + Ð
=
°
30
B
\Ð
=
°或
80
B
Ð
=
°．
16．（25-26 七年级下·山东日照·期末）操作与探究
【知识发现】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献．书中记载“取大镜高悬，
置水盆于其下，则见四邻矣”是古人利用光的反射定律改变光路的方法．
如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内，法线垂直于平面镜（即KO
l
^ ），反
射光线OB 、入射光线AO 分别位于法线两侧，反射角等于入射角（即
3
4
Ð = Ð ）．
(1)【观察图形】试判断1
Ð 和
2
Ð 的数量关系，并说明理由；
(2)【结论应用】如图2，直线MN
PQ
P
，点A 在直线MN 上，点C 在直线PQ 上，光线AC 被PQ 反射后再
次被MN 反射，入射光线AC 经过两次反射的光线为BD ，其中点B 在直线MN 上．利用（1）中发现的结论，
试探究BD 与AC 的位置关系，并说明理由；
(3)【深度探究】如图3，将支架平面镜CD（可调节角度）放置在水平地面MN 上，激光笔在点A 处发出的
光束AE 经过镜面CD反射后与天花板PQ 形成的点记为F ，光束AE 与水平天花板PQ 所成的锐角为30°，
支架平面镜与地面的夹角
DCM
a
Ð
=
（20
70
a
° £
£
° ）．若
20
a =
°，求反射光束EF 与天花板所形成的角
AFE
Ð
的度数．
【答案】(1)
1
2
Ð = Ð ，理由如下：
∵KO
l
^ ，
∴
1
3
2
4
90
Ð + Ð = Ð + Ð =
°，
∵
3
4
Ð = Ð ，
∴
1
2
Ð = Ð ．
(2) BD
AC
P
，理由如下：
由（1）的结论可知，
QCA
DCB
Ð
= Ð
，
ABC
MBD
Ð
= Ð
，
∵MN
PQ
P
，
∴
DCB
ABC
Ð
= Ð
，
MBD
BDC
Ð
= Ð
，
∴
QCA
DCB
ABC
MBD
BDC
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，
∴BD
AC
P
．
(3)70°
【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明
1
2
Ð = Ð ；
（2）由反射原理可得
QCA
DCB
Ð
= Ð
，
ABC
MBD
Ð
= Ð
，结合MN
PQ
P
可得
QCA
DCB
ABC
MBD
BDC
Ð
= Ð
= Ð
= Ð
= Ð
，因此BD
AC
P
；
（3）延长AE 交MN 于点H ，由PQ
MN
∥
可得∠
∠
30
AHC
EAF
=
=
° ，进而得到
50
AEC
Ð
=
°．由反射原
理可得∠
∠
50
AEC
DEF
=
=
° ，则
80
AEF
Ð
=
° ，结合三角形内角和定理可得
70
AFE
Ð
=
° ．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，延长AE 交MN 于点H ，
由题意可知，PQ
MN
∥
，
∴∠
∠
30
AHC
EAF
=
=
° ，
∵
20
DCM
Ð
=
°，
∴∠
180
∠
∠
130
CEH
AHC
DCM
=
° -
-
=
°，
∴∠
180
∠
50
AEC
CEH
=
° -
=
°，
由光的反射原理可得，∠
∠
50
AEC
DEF
=
=
° ，
∴∠
180
∠
∠
80
AEF
AEC
DEF
=
° -
-
=
° ，
∴∠
180
∠
∠
70
AFE
AEF
EAF
=
° -
-
=
°．
