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专题03 三角形的内角与外角
（题型突破·举一反三）
题型01 三角形内角和定理的证明
题型02 运用三角形内角和定理求角的角度
题型03 直角三角形的性质
题型04 直角三角形的判定
题型05 利用三角形外角的性质计算与证明
题型06 三角形折叠中的角度问题
题型07 三角板放置中的角度计算
题型08 三角形与角平分线、高线综合运用
题型09 三角形中的新定义问题
题型10 双角角平分线模型的角度探究
题型11 不规则图形内角和问题探究
▌题型01 三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一
个平角．在转化中借助平行线.
【典例1】如图，已知△𝐴𝐵𝐶，下列作辅助线的方法不能证明三角形的内角和为180°的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】两直线平行同旁内角互补、两直线平行同位角相等、三角形内角和定理的证明、两直线平行内错
角相等
【分析】根据平行线的性质解答即可．
【详解】解：A、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= ∠2,∠𝐵= ∠1，
∵∠1 + ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠2 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
B、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐵，
∴∠𝐵= ∠3,∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠3 = 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
C、如图，
∵𝑙∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= ∠5,∠𝐶= ∠4，
∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠4 + ∠5 = 180°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，即三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项不符合题意；
D、无法证明三角形△𝐴𝐵𝐶的内角和为180°，故本选项符合题意
【变式1-1】课堂上，为了证明“三角形的内角和是180°”，四名同学给出了如图所示四种作辅助线的方法．
①过点C 作𝐸𝐹∥𝐴𝐵
②延长𝐴𝐶到点F，
过点C 作𝐶𝐸∥𝐴𝐵
③过𝐴𝐵上一点D
作𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶
④过点C 作
𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于点D
回答下列问题：
(1)能证明“三角形内角和是180°”的方法是__________（请填写序号）；
(2)在（1）的方法中，请任选其中一种方法进行证明．
【答案】(1)①②③
(2)证明见解析
【知识点】三角形内角和定理的证明、根据平行线判定与性质证明
【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得
答案．
【详解】（1）解：能证明“三角形内角和是180°”的方法是①②③；
（2）解：①∵𝐸𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐶𝐴= ∠𝐴，∠𝐹𝐶𝐵= ∠𝐵，
∵∠𝐸𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐹𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
故①能证明“三角形内角和是180°”；
②∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵，
∴∠𝐹𝐶𝐸= ∠𝐴，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐵，
∵∠𝐹𝐶𝐸+ ∠𝐸𝐶𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，
故②能证明“三角形内角和是180°”；
③∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，∠𝐵𝐷𝐹= ∠𝐴，∠𝐶= ∠𝐴𝐸𝐷，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐹，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐹，
∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐸𝐷𝐹+ ∠𝐵𝐷𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，
故③能证明“三角形内角和是180°”；
④∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶𝐷𝐴= 90°，
故④不能证明“三角形内角和是180°”．
【变式1-2】在学习三角形的内角时，老师引导同学们根据拼合过程得到启发，如图1，过△𝐴𝐵𝐶的顶点A
作直线l平行于△𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
(1)如果将“顶点A”这个特殊的位置换成“边𝐴𝐵上的任意一点P”，过点P 分别作△𝐴𝐵𝐶另外两边的平行线，那
么由平行线的性质与平角的定义也能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．请你先作出辅助线，再完成
这个证明过程．
已知，如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，点P 是边𝐴𝐵上的任意一点．求证：∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°．
(2)如图3，是A，B，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B
岛的北偏西40°方向．从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是多少度？从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵呢？
【答案】(1)见解析
(2)从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是60 度，从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是90 度
【知识点】三角形内角和定理的证明、三角形内角和定理的应用、与方向角有关的计算题、根据平行线判定
与性质证明
【分析】本题考查平行线的性质，方位角的定义，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，方位角的定义以
及三角形内角和是180°是正确解答的关键．
（1）过点P 作𝑃𝐸∥𝐵𝐶，𝑃𝐹∥𝐶𝐴，由平行线的性质及平角的定义可得出答案；
（2）根据方位角的概念，利用平行线的性质，结合三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：过点P 作𝑃𝐸∥𝐵𝐶，𝑃𝐹∥𝐶𝐴，
∵𝑃𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝑃𝐹𝐵= ∠𝐶，∠𝐴= ∠𝐵𝑃𝐹，
∵𝑃𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝑃𝐸= ∠𝐵，∠𝑃𝐹𝐵= ∠𝐸𝑃𝐹，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝑃𝐹，
∵∠𝐴𝑃𝐸+ ∠𝐸𝑃𝐹+ ∠𝐵𝑃𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°；
（2）解：∵C 岛在A 岛的北偏东50°方向，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 50°，
∵C 岛在B 岛的北偏西40°方向，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 40°，
∴∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐵𝐸= 90°，
∵B 岛在A 岛的北偏东80°方向，
∴∠𝐷𝐴𝐵= 80°，
∴∠𝐶𝐴𝐵= ∠𝐷𝐴𝐵−∠𝐷𝐴𝐶= 80°−50° = 30°，
∵𝐷𝐴∥𝐸𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐵+ ∠𝐸𝐵𝐴= 180°，
即∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴+ ∠𝐶𝐵𝐸= 180°，
∴∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−(∠𝐶𝐴𝐵+ ∠𝐶𝐵𝐴) = 90°，
∠𝐴𝐵𝐶= 90°−30° = 60°；
答：从B 岛看A，C 两岛的视角∠𝐴𝐵𝐶是60 度，从C 岛看A，B 两岛的视角∠𝐴𝐶𝐵是90 度．
▌题型02 运用三角形内角和定理求角的度数
1．定理表述
三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°。
几何语言：在△𝐴𝐵𝐶中，∠A＋∠B＋∠C＝180°。
【典例2】如图，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐴= 130°，∠𝐶𝐸𝐷= 80°，则∠𝐷的度数为（ ）
A．70°
B．65°
C．60°
D．50°
【答案】D
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查与平行线有关的三角形内角和问题，先根据平行线得到∠𝐶= 50°，再根据是三角形内角和
求出∠𝐷的度数．
【详解】∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴+ ∠𝐶= 180°，
∵∠𝐴= 130°，
∴∠𝐶= 50°，
∴∠𝐷= 180°−∠𝐶−∠𝐶𝐸𝐷= 180°−80°−50° = 50°，
故选：D．
【变式2-1】将一个含30°角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中∠𝐶= 30°，若
∠𝐴𝐷𝐸= 50°，则∠𝐹𝐵𝐶的度数是( )
A．10°
B．15°
C．20°
D．25°
【答案】C
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐴𝐹𝐵，根
据邻补角求得∠𝐵𝐹𝐶，由三角形内角和定理可求出∠𝐹𝐵𝐶的度数．
【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 50°，𝐷𝐸∥𝐵𝐹，
∴∠𝐴𝐹𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸= 50°，
∴∠𝐶𝐹𝐵= 180°−50° = 130°，
∵∠𝐶= 30°，
∴∠𝐹𝐵𝐶= 180°−∠𝐶𝐹𝐵−∠𝐶= 180°−130°−30° = 20°．
故选：C．
【变式2-2】如图，𝐴𝑃∥𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点O，交𝐴𝑃于点P，且∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°，求∠𝑃的
度数．
【答案】35°
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】此题考查平行线的性质，三角形内角和，先根据三角形内角和求出∠𝐴𝐵𝐶= 70°，再根据角平分线
得到∠𝐶𝐵𝑃= 35°，最后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 180°−80°−30° = 70°，
∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 35°．
∵𝐴𝑃∥𝐵𝐶，
∴∠𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 35°．
【变式2-3】如图，已知直线𝐴𝐵∥𝐶𝐷，直线𝐸𝐹分别交𝐴𝐵，𝐶𝐷于点𝐸，𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷交𝐴𝐵于点𝐺，𝐸𝑀平分
∠𝐺𝐸𝐹交𝐹𝐺于点𝑀，过点𝐺作𝑁𝐺⊥𝐺𝐹，𝐺为垂足，交直线𝐸𝐹于点𝑁．
(1)若∠𝐸𝐺𝐹= 27°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数．
(2)求证：∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁．
【答案】(1)54°；
(2)证明：∵𝐸𝑀平分∠𝐺𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1
2∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1
2∠𝐸𝐹𝐷
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，
∴∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 1
2∠𝐺𝐸𝐹+ 1
2∠𝐸𝐹𝐷= 1
2(∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷) = 90°，
∴∠𝐸𝑀𝐹= 180°−(∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺) = 180°−90° = 90°，
∴𝐸𝑀⊥𝐺𝐹，
∵𝑁𝐺⊥𝐺𝐹，
∴𝐸𝑀∥𝑁𝐺
∴∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀，∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀，
∴∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁．
【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究
角的关系、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据平行线的性质求出∠𝐷𝐹𝐺，再由角平分线的定义求出∠𝐸𝐹𝐷，最后由平行线的性质即可求
解；
（2）由角平分线的定义得到∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1
2∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1
2∠𝐸𝐹𝐷，由平行线的性质得到
∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°，因此∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 90°，从而可推出𝐸𝑀⊥𝐺𝐹，从而得到𝐸𝑀∥𝑁𝐺，因此
∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀，∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀，通过等量代换得证结论．
【详解】（1）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= 27°，
∴∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐺𝐹= 27°
∵𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐷𝐹𝐺= 2 × 27° = 54°，
∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= 54°．
（2）略
▌题型03 直角三角形的性质
直角三角形的定义： 有一个角为90°的三角形，叫作直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可
以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC 可以记作 Rt△ABC
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余
几何语言：
∵在Rt△ABC 中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）。
【典例3】一个直角三角形，两个锐角度数的比是1:2，这个三角形最小的内角是（ ）
A．10°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】B
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据一个直角三角形，两个锐角度数的比是1:2，进行列式计算，
即可作答．
【详解】解：∵一个直角三角形，两个锐角度数的比是1:2，
∴(180°−90°) ×
1
1+2 = 30°，
即这个三角形最小的内角是30°，
故选：B．
【变式3-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 90°，点D 在𝐴𝐶边上，𝐷𝐸∥𝐵𝐶，若∠𝐴𝐷𝐸= 155°，求∠𝐵的度数．
【答案】65°
【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
先由平行线的性质求出∠𝐶的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠𝐵的度数．
【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 155°，
∴∠𝐸𝐷𝐶= 180°−∠𝐴𝐷𝐸= 180°−155° = 25°，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 25°，
又∵∠𝐴= 90°，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐶= 65°．
【变式3-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90°，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点D，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐸相交于点F．
(1)若∠𝐶𝐴𝐷= 40°，求∠𝐴𝐸𝐹的度数；
(2)求证：∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
【答案】(1)70°
(2)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷，
∵∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）求出∠𝐵𝐴𝐷的度数，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐷的度数，接着根据角平分
线的定义求出∠𝐴𝐵𝐸的度数即可得到答案；
（2）由角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸，由直角三角形两锐角互余得到∠𝐶𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐹𝐷= 90°，
∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐹= 90°，则可证明∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐵𝐹𝐷，再由∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷，即可证明∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐴𝐹𝐸．
【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 90°，∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴𝐷= 50°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 180°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐵𝐴𝐷= 40°，
∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐸= 1
2∠𝐴𝐵𝐷= 20°，
∴∠𝐴𝐸𝐵= 180°−∠𝐴𝐵𝐸−∠𝐵𝐴𝐸= 70°，即∠𝐴𝐸𝐹= 70°；
（2）略
【变式3-3】如图，𝐴𝐵∥𝑀𝑁，点𝐶为𝑀𝑁上一点，且𝐵𝐶⊥𝑀𝑁，点𝑃为直线𝑀𝑁上一动点，∠𝐴𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐷
交𝐴𝐶于点𝐷．
(1)若∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，求证：𝐴𝐶∥𝐵𝑃；
(2)设∠𝐶𝐵𝑃的角平分线𝐵𝐸交𝑀𝑁于点𝐸．
①若点𝑃在射线𝐶𝑁上运动的过程中，∠𝐷𝐵𝐸的大小是否发生变化？如果不变，求∠𝐷𝐵𝐸的度数，如果变化，
请说明理由；
②若∠𝐵𝑃𝐶= 68°，求∠𝐷𝐵𝐶的度数．
【答案】(1)证明：∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝑃的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷，
∵∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝑃𝐵𝐷，
∴𝐴𝐶∥𝐵𝑃；
(2)①不变，∠𝐷𝐵𝐸= 45°；②∠𝐷𝐵𝐶= 34°或∠𝐷𝐵𝐶= 56°
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、角平
分线的有关计算
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷，即可解答；
（2）①设∠𝑃𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 𝑥，利用角平分线的定义即可解答；
②分两种情况，即点𝑃在𝐵𝐶上方或点𝑃在𝐵𝐶下方，分别计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：①不变，
∵𝐵𝐸是∠𝐶𝐵𝑃的角平分线，
∴∠𝐶𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐸，
设∠𝑃𝐵𝐸= ∠𝐶𝐵𝐸= 𝑥，
∴∠𝐶𝐵𝑃= 2𝑥，
∵𝐴𝐵∥𝑀𝑁，𝐵𝐶⊥𝑀𝑁，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝑁= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑃= 90° + 2𝑥，
∵𝐵𝐷是∠𝐴𝐵𝑃的平分线，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝑃𝐵𝐷= 1
2∠𝐴𝐵𝑃= 45° + 𝑥，
∴∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐷−∠𝑃𝐵𝐸= 45°；
②如图，点𝑃在𝐵𝐶上方，
∵∠𝐵𝑃𝐶= 68°,∠𝐵𝐶𝑃= 90°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 22°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 1
2∠𝑃𝐵𝐶= 11°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐶𝐵𝐸= 34°；
如图，点𝑃在𝐵𝐶下方，
∵∠𝐵𝑃𝐶= 68°,∠𝐵𝐶𝑃= 90°，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 22°，
∴∠𝐶𝐵𝐸= 1
2∠𝑃𝐵𝐶= 11°，
∵𝐴𝐵∥𝑀𝑁，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐵𝐶𝑁= 90°，
∴∠𝐴𝐵𝑃= ∠𝐴𝐵𝐶−∠𝑃𝐵𝐶= 68°，
∴∠𝐷𝐵𝑃= 1
2∠𝐴𝐵𝑃= 34°，
∴∠𝐷𝐵𝐶= ∠𝐷𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 56°，
综上，∠𝐷𝐵𝐶= 34°或∠𝐷𝐵𝐶= 56°
▌题型04 直角三角形的判定
直角三角形的判定：两个角互余的三角形是直角三角形
几何语言：
∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形
【典例4】具备下列条件的△𝐴𝐵𝐶中，不是直角三角形的是（ ）
A．∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶
B．∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶
C．∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶
D．∠𝐴= ∠𝐵+ 30° = ∠𝐶+ 60°
【答案】B
【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理．根据∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶得到∠𝐶= 90°，
得到具备条件A 的△𝐴𝐵𝐶是直角三角形；根据三角形内角和等于180°，∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，得到∠𝐴=
1080°
11 ，
得到具备条件B 的△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形；根据∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶，得到∠𝐴= 90°，得到具备条件C 的△𝐴𝐵𝐶
是直角三角形；根据𝐴𝐵:𝐵𝐶:𝐴𝐶= 5:12:13，设𝐴𝐵= 5𝑘，𝐵𝐶= 12𝑘，𝐴𝐶= 13𝑘，根据勾股定理的逆定理，得
到具备条件D 的△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
【详解】解：A、由∠𝐴+ ∠𝐵= ∠𝐶及∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°可得∠𝐶= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合
题意；
B、由∠𝐴= 2∠𝐵= 3∠𝐶，设∠𝐴= 6𝑘，∠𝐵= 3𝑘，∠𝐶= 2𝑘，根据∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°，可得
6𝑘+ 3𝑘+ 2𝑘= 180°，解得𝑘=
180°
11 ，最大角∠𝐴=
1080°
11 ，△𝐴𝐵𝐶不是直角三角形，故符合题意；
C、由∠𝐴−∠𝐵= ∠𝐶及∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶= 180°可得∠𝐴= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合题意；
D、由∠𝐴= ∠𝐵+ 30° = ∠𝐶+ 60°，设∠𝐶= 𝑘，∠𝐵= 𝑘+ 30°，∠𝐴= 𝑘+ 60°，
∴𝑘+ 60° + 𝑘+ 30° + 𝑘= 180°，故𝑘= 30°，∠𝐴= 90°，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，故不符合题意．故选：B．
【变式4-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，E 是𝐴𝐵边上一点，𝐶𝐸交𝐴𝐷于点M，且
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸．求证：△𝐴𝐸𝑀是直角三角形．
【答案】
证明：∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°．
∵∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸，
∴∠𝐴𝑀𝐸+ ∠𝑀𝐴𝐸= 90°，
∴△𝐴𝐸𝑀是直角三角形．
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，得∠𝐷𝑀𝐶+ ∠𝐷𝐶𝑀= 90°；再由
∠𝐷𝐶𝑀= ∠𝑀𝐴𝐸，∠𝐷𝑀𝐶= ∠𝐴𝑀𝐸，即可得结论成立．
【详解】略
【变式4-2】已知：如图，𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶交𝐵𝐹于点𝐸，𝐵𝐹交𝐶𝐷于点𝐹,∠1 = ∠3．
(1)请说明𝐴𝐵∥𝐶𝐷的理由；
(2)若∠2 = 25°，求∠3的度数；
(3)若∠𝐴𝐵𝐷= 140°，求证：∆𝐵𝐸𝐷为直角三角形．
【答案】(1)见解析；
(2)65°
(3)见解析
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、与平行线有
关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，掌握以上知识，数形结
合分析是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到∠𝐴𝐵𝐹= ∠1，等量代换得到∠𝐴𝐵𝐹= ∠3，由内错角相等，两直线平行即可求
解；
（2）根据角平分线的定义得到∠𝐵𝐷𝐹= 2∠2 = 50°，由三角形内角和定理即可求解；
（3）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，结合角平分线的定义得到
1
2∠𝐴𝐵𝐷+ 1
2
∠𝐵𝐷𝐶= 90°，∠1 + ∠2 = 90°，由此即可求解．
【详解】（1）解：∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠1．
∵∠1 = ∠3，
∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠3，
∴𝐴𝐵∥𝐶𝐷：
（2）解：∵𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶，∠2 = 25°，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 2∠2 = 50°，
∵∠𝐵𝐷𝐹+ ∠1 + ∠3 = 180°,∠1 = ∠3，
∴∠3 = 1
2(180°−∠𝐵𝐷𝐹) = 65°；
（3）证明：由(1)得𝐴𝐵∥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°
∴1
2∠𝐴𝐵𝐷+ 1
2∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∵𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐷,𝐷𝐸平分∠𝐵𝐷𝐶，
∴∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠𝐵𝐸𝐷= 90°，
∴∆𝐵𝐸𝐷为直角三角形
【变式4-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，D 为𝐴𝐵上一点，∠𝐴= ∠2，∠1 = ∠𝐵．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶的形状；
(2)判断𝐶𝐷是否与𝐴𝐵垂直．
【答案】(1) △𝐴𝐵𝐶是直角三角形
(2)𝐶𝐷⊥𝐴𝐵
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解
题的关键，（1）证出∠𝐴𝐶𝐵= 90°即可得到结论，（2）求出∠𝐶𝐷𝐵= 90°，可得出𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
【详解】（1）解：△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，理由如下：
∵∠𝐴= ∠2，∠1 = ∠𝐵，
∴∠𝐴+ ∠2 + ∠1 + ∠𝐵= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
（2）解：𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，理由如下：
∵∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，∠𝐴= ∠2，
∴∠2 + ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐷𝐵= 90°，
∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵．
▌题型05 利用三角形外角的性质计算与证明
三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．三角形共有六个外角，
其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
三角形外角的性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．（∠ACD =∠A +∠B）
②三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（∠ACD >∠A；∠ACD >∠B.）
③三角形的外角和为360°（∠BAE +∠CBF +∠ACD =360°）
（三角形的外角和定义：三个顶点处各取一个外角的和）
【典例5】如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知𝐵𝐶∥𝐸𝐹，∠𝐴= 20°，∠𝐴𝐷𝐸= 70°．则∠𝐶的
度数为（ ）
A．30°
B．45°
C．50°
D．55°
【答案】C
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解．
【详解】解：∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹，
∴∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸= 70°，
∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐷−∠𝐴= 70°−20° = 50°．
【变式5-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，F 是𝐴𝐸延长线上一点，且𝐹𝐷⊥𝐵𝐶于点D，
∠𝐵= 28°，∠𝐹= 18°，则∠𝐵𝐴𝐶= （ ）
A．88°
B．85°
C．65°
D．72°
【答案】A
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】利用直角三角形两锐角互余求出∠𝐷𝐸𝐹，根据对顶角相等得到∠𝐴𝐸𝐶，再利用三角形外角性质求出
∠𝐵𝐴𝐸，最后根据角平分线定义计算即可．
【详解】解：∵𝐹𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐹𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐹= 18°，
∴∠𝐷𝐸𝐹= 90°−∠𝐹= 72°，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐸𝐶= 72°，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵= 28°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 72°−28° = 44°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐸= 88°．
【变式5-2】如图，已知：在直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶且交𝐴𝐶于𝐷．
(1)若∠𝐵𝐴𝐶= 40°，求∠𝐵𝐷𝐶的度数；
(2)若𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶且交𝐵𝐷于𝐸，求∠𝐴𝐸𝐷的度数．
【答案】(1)65°
(2)45°
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查角平分线和外角：
（1）根据∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷，即可求得答案；
（2）根据∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷，即可求得答案．
【详解】（1）∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，∠𝐵𝐴𝐶= 40°，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 90°−40° = 50°．
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 25°．
∴∠𝐵𝐷𝐶= ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐵𝐷= 40° + 25° = 65°．
（2）∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐷= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 20°．
∵∠𝐸𝐷𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐶−∠𝐸𝐴𝐷= 65°−20° = 45°．
【变式5-3】已知线段𝐴𝐵与𝐶𝐷相交于点𝑂，连接𝐴𝐷，𝐵𝐶．
(1)如图1，若∠𝐴+ ∠𝐷= 85°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为__________，∠𝐵+ ∠𝐶的度数为__________；
(2)如图2．若∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐶，∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷，求证：∠𝐵= 2∠𝐷；
(3)如图3，若∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃，∠𝐵+ ∠𝐷= 90°，求∠𝑃的度数．
【答案】(1)95°，85°
(2)证明：在△𝐴𝑂𝐸与△𝐶𝑂𝐵中，∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂+ ∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶= 180°，
∵∠𝐴𝑂𝐸= ∠𝐵𝑂𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐶+ ∠𝐵，
∵∠𝐸𝐴𝑂= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵，
∵∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐷，∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝑂= 2∠𝐷，
∴∠𝐵= 2∠𝐷；
(3)45°
【知识点】三角形内角和定理的应用、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解；
（2）根据三角形内角和及对顶角相等可得∠𝐸𝐴𝑂+ ∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐶+ ∠𝐵，则有∠𝐴𝐸𝑂= ∠𝐵，然后根据三角形
外角的性质可进行求证；
（3）由（1）得∠1 + ∠𝐷= ∠3 + ∠𝑃，∠4 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝑃，然后可得∠𝐵+ ∠𝐷= 2∠𝑃，进而问题可求解．
【详解】（1）解：在△𝐴𝑂𝐷中，∠𝐴+ ∠𝐷+ ∠𝐴𝑂𝐷= 180°，且∠𝐴+ ∠𝐷= 85°，
∴∠𝐴𝑂𝐷= 180°−(∠𝐴+ ∠𝐷) = 95°，
∴∠𝐴𝑂𝐷= ∠𝐵𝑂𝐶= 95°，
∵∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐵𝑂𝐶= 180°，
∴∠𝐵+ ∠𝐶= 85°；
（2）略
（3）解：如下图，
∵∠𝐷𝐴𝑃= ∠𝐵𝐴𝑃，∠𝐷𝐶𝑃= ∠𝐵𝐶𝑃，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，
由（1）得∠1 + ∠𝐷= ∠3 + ∠𝑃，∠4 + ∠𝐵= ∠2 + ∠𝑃，
两式相加，得∠1 + ∠4 + ∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2 + ∠3 + 2∠𝑃，
即∠𝐵+ ∠𝐷= 2∠𝑃，
∴∠𝑃= 1
2(∠𝐵+ ∠𝐷) = 1
2 × 90° = 45°．
▌题型06 三角形折叠中的角度问题
三角形中的折叠问题得到的是折痕相当于角平分线，折叠前后角的大小关系不变，再结合三角形的内角和定
理、直角三角形性质、三角形外角性质解决问题.
【典例6】如图，将直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶的直角𝐶沿𝐸𝐹折叠，点𝐶落到纸片内部的点𝐶′处．如果∠𝐹𝐸𝐶′
= 40°，那么∠𝐵𝐹𝐶′等于多少度？
【答案】∠𝐵𝐹𝐶′ = 80°
【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形的折叠问题，注意折叠前后的两个图形完全重合．由折叠可得：∠𝐶′
= ∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸，再根据三角形的内角和求出∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸= 180°−∠𝐶′−∠𝐹𝐸𝐶′ = 50°，最
后根据平角数为定义即可求解．
【详解】解：∵ △𝐹𝐶′𝐸由△𝐹𝐶𝐸翻折得到，∠𝐶= 90°，
∴ ∠𝐶′ = ∠𝐶= 90°，∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸，
∴ ∠𝐶𝐹𝐸= ∠𝐶′𝐹𝐸= 180°−∠𝐶′−∠𝐹𝐸𝐶′ = 180°−90°−40° = 50°，
∴ ∠𝐵𝐹𝐶′ = 180°−∠𝐶𝐹𝐸−∠𝐶′𝐹𝐸= 180°−50°−50° = 80°．
【变式6-1】如图，将△𝐴𝐵𝐶纸片沿𝐷𝐸折叠，使点A 落在四边形𝐵𝐶𝐸𝐷外点𝐴1的位置，若∠1 + ∠2 = 240°，
则∠𝐴= （ ）
A．25°
B．20°
C．30°
D．35°
【答案】C
【分析】根据平角的性质得到∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 +∠2 = 180° + 360° = 540°根据题意，得到
∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°再由图形翻折变换的性质得到∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 150°，根据三角形的内角和
即可得出结论．
【详解】解：∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 +∠2 = 180° + 360° = 540° ，∠1 + ∠2 = 240°，
∴∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐷𝐸𝐴1 = 300°，
根据折叠的性质可得：∠𝐴𝐷𝐸= 1
2∠𝐴𝐷𝐴1,∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐴1，
∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷= 1
2∠𝐴𝐷𝐴1 +∠𝐴𝐸𝐷= 150°，
∴∠𝐴= 180°−(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 180°−150° = 30° ．
【变式6-2】如图，在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶,∠𝐵= 20°，点𝐷是边𝐵𝐶上的动点，将三角形纸片沿𝐴𝐷对
折，使点𝐵落在点𝐵′处，当𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶时，∠𝐵𝐴𝐷的度数为___________．
【答案】25°或115°
【知识点】三角形折叠中的角度问题
【分析】分两种情况考虑，利用对称的性质及三角形内角和等知识即可完成求解．
【详解】解：由折叠的性质得：∠𝐴𝐷𝐵′ = ∠𝐴𝐷𝐵；
∵𝐵′𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐵′ = 90°；
①当𝐵′在𝐵𝐶下方时，如图，
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ +∠𝐵𝐷𝐵′ = 360°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 1
2 × (360°−90°) = 135°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐷𝐵= 25°；
②当𝐵′在𝐵𝐶上方时，如图，
∵∠𝐴𝐷𝐵+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 1
2 × 90° = 45°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 180°−∠𝐵−∠𝐴𝐷𝐵= 115°；
综上，∠𝐵𝐴𝐷的度数为25°或115°；
故答案为：25°或115°．
【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和，注意分类讨论．
【变式6-3】如图，点𝐷,𝐸,𝐹分别在三角形𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶,𝐴𝐵,𝐴𝐶上，且𝐷𝐸∥𝐴𝐶，𝐷𝐹∥𝐴𝐵．将三角形𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸
翻折，使得点𝐵落在点𝐵′处，沿𝐷𝐹翻折，使得点C 落在点𝐶′处．若∠𝐵′𝐷𝐶′ = 30°，求∠𝐴的度数．
【答案】75°
【知识点】三角形折叠中的角度问题、与平行线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理的应用，设∠𝐸𝐷𝐵= 𝑥°，再结合
轴对称的性质与平行线的性质表示∠𝐶𝐷𝐹= 1
2∠𝐶𝐷𝐶′ = 110°−𝑥°，∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 𝑥°，再结合三角形的内角和
定理与平行线的性质可得答案．
【详解】解：设∠𝐸𝐷𝐵= 𝑥°，
∵将△𝐴𝐵𝐶沿𝐷𝐸翻折， 使得点B 落在 𝐵′处，
∴∠𝐸𝐷𝐵= ∠𝐸𝐷𝐵′ = 𝑥°，
∵∠𝐵′𝐷𝐶′ = 30°，
∴∠𝐸𝐷𝐶′ = 𝑥°−30°，
∴∠𝐶𝐷𝐶′ = 180°−𝑥°−𝑥° + 30° = 210°−2𝑥°，
∵沿𝐷𝐹翻折，使得点C 落在𝐶′处．
∴∠𝐶𝐷𝐹= 1
2∠𝐶𝐷𝐶′ = 105°−𝑥°，
∵𝐷𝐸∥𝐴𝐶，
∴∠𝐶= ∠𝐵𝐷𝐸= 𝑥°，
∴∠𝐷𝐹𝐶= 180°−𝑥°−(105°−𝑥°) = 75°，
∵𝐷𝐹∥𝐴𝐵，
∴∠𝐴= ∠𝐷𝐹𝐶= 75°，
▌题型07 三角板放置中的角度问题
利用三角板中的特殊角的度数和三角形内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质解决求角度的问题.
【典例7】小华将一副三角板（∠𝐶= ∠𝐷= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐸= 45°）按如图所示的方式摆放，其中𝐴𝐵∥
𝐸𝐹，则∠1的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．105°
【答案】C
【知识点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用
【分析】根据平行线的性质得出∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐹= 45°，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：设𝐴𝐵、𝐹𝐷交于点𝐺，
∵𝐴𝐵∥𝐸𝐹，
∴∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐹= 45°，
∵∠𝐴= 60°，
∴∠1 = 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐺𝐹= 180°−60°−45° = 75°．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【变式7-1】将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1的度数是（ ）
A．105°
B．135∘
C．150°
D．165°
【答案】D
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：如图，
根据题意得：∠𝐷𝐸𝐶= 45°,∠𝐴𝐵𝐶= 60°，
∴∠𝐸𝐵𝐹= 180°−∠𝐴𝐵𝐶= 120°，
∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐵𝐹= 45° + 120° = 165°．
故选：D
【变式7-2】一副直角三角板如图摆放，其中∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐸= 30°，若点𝐶是𝐷𝐸上一
点，且𝐵𝐶∥𝐴𝐷，则∠𝐶𝐴𝐸的大小为（ ）
A．15°
B．18°
C．20°
D．25°
【答案】A
【知识点】三角板中角度计算问题、直角三角形的两个锐角互余、根据平行线的性质求角的度数
【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐷𝐸= 90°，∠𝐵= 45°，∠𝐸= 30°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 45°，∠𝐷𝐴𝐸= 60°
∵𝐵𝐶∥𝐴𝐷，
∴∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵= 45°，
∴∠𝐶𝐴𝐸= ∠𝐷𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 60°−45° = 15°
【变式7-3】已知∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐸= 90°，∠𝐵= 30°，∠𝐷= 45°．
(1)如图①，当∠𝐵𝐶𝐷= 15°时，请判断𝐴𝐵与𝐶𝐸之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若𝐶𝐸⊥𝐴𝐵，求∠𝐵𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)𝐴𝐵∥𝐶𝐸．理由见解析
(2)75°
【知识点】锐角互余的三角形是直角三角形、根据平行线判定与性质证明
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据内错角相等两直线平行可求解；
（2）延长线段𝐸𝐶交𝐴𝐵于点H，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）解：𝐴𝐵∥𝐶𝐸．理由如下：
∵∠𝐸= 90°，∠𝐷= 45°，
∴∠𝐷𝐶𝐸= 180°−∠𝐸−∠𝐷= 45°，
∵∠𝐵𝐶𝐷= 15°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐷𝐶𝐸−∠𝐵𝐶𝐷= 30°，
∵∠𝐵= 30°，
∴∠𝐵𝐶𝐸= ∠𝐵，
∴ 𝐴𝐵∥𝐶𝐸；
（2）解：如图，延长线段𝐸𝐶交𝐴𝐵于点H，
∵𝐸𝐶⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐸𝐻𝐵= 90°．
∵∠𝐵= 30°，
∴∠𝐻𝐶𝐵= 180°−∠𝐵−∠𝐸𝐻𝐵= 60°．
∵∠𝐸= 90°，∠𝐷= 45°，
∴∠𝐸𝐶𝐷= 45°，
∴∠𝐵𝐶𝐷= 180°−∠𝐸𝐶𝐷−∠𝐻𝐶𝐵= 75°．
▌题型08 三角形与角平分线、高线综合运用
解题关键：利用三角形的内角和定理、直角三角形性质、三角形外角性质、角平分线的定义和高线定义综合
解决问题，熟记性质并准确识图是解题的关键
【典例8】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，若∠1 = 35°，∠2 = 22°，则∠𝐵= ________．
【答案】42°/42 度
【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】根据角平分线的定义，得到∠1 = ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠2，求出∠𝐸𝐴𝐷的度数，再利用垂直的定义和三角形内角
和定理，进行求解即可．
【详解】解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠1 = ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠2，
∵∠1 = 35°，∠2 = 22°，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠1−∠2 = 35°−22° = 13°，
∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠1 + ∠𝐸𝐴𝐷= 35° + 13° = 48°，
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐵𝐴𝐷= 90°−48° = 42°．
【变式8-1】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，且∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，交𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸
作𝐸𝐹∥𝐴𝐶，分别交𝐴𝐵、𝐴𝐷于点𝐹、𝐺，则下列结论正确的是________．
①∠𝐵𝐴𝐶= 90°；②∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷；③∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴；④∠𝐴𝐸𝐹= 30°．
【答案】①②③
【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、直角三角形的两个锐角互余、与角平分线有关的三角形内角和
问题、角平分线的有关计算
【分析】根据三角形内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的定义、平行线的性质逐项判断即
可．
【详解】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐶𝐵+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
故①正确；
∵𝐴𝐸平分∠𝐶𝐴𝐷，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐸𝐴𝐷，
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷，
故②正确；
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷，
∴∠𝐴𝐸𝐹+ ∠𝐵𝐸𝐹= ∠𝐸𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵𝐸𝐴，
故③正确；
∵𝐸𝐹∥𝐴𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐶𝐴𝐸，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 2∠𝐴𝐸𝐹，
∵∠𝐶𝐴𝐷不一定等于60°，
∴∠𝐴𝐸𝐹不一定等于30°，
故④不成立；
综上所述，结论正确的是①②③．
【变式8-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，垂足为F，交𝐵𝐶于点E，若∠𝐵𝐴𝐸= 33°，
∠𝐵= 37°，求∠𝐸𝐴𝐶的度数．
【答案】∠𝐸𝐴𝐶的度数为70°
【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题主要考查垂线、角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形外角定理，利用垂线、角平分
线的定义得到对应角的关系是解题的关键．
首先根据垂直线、角平分线的性质得到对应角的关系，再通过三角形的内角和定理得出∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶，最
后利用三角形外角和定理求出∠𝐴𝐸𝐶的度数即可得出∠𝐸𝐴𝐶的度数．
【详解】解：∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷，
∴∠𝐴𝐹𝐶= ∠𝐸𝐹𝐶= 90°，
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐸𝐶𝐹，
∵∠𝐴𝐹𝐶+ ∠𝐸𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐹= 180°，
∠𝐸𝐹𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐶+ ∠𝐸𝐶𝐹= 180°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐸𝐶，
∵∠𝐴𝐸𝐶= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 70°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 70°．
【变式8-3】已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐶> ∠𝐵．
【特例探究】
(1)如图（a），𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，若∠𝐵= 35°，∠𝐶= 65°，则∠𝐷𝐴𝐸的度数为________；
【一般推导】
(2)如图（b），点𝑃在线段𝐴𝐸上，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶，垂足为𝐺．请写出∠𝐸𝑃𝐺与∠𝐵，∠𝐶之间的数量关系：__________．
【拓展应用】
(3)如图（c），在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为𝐷，𝐸𝑃，𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐴𝐶𝑀，过点𝑃作𝑃𝐺⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶
延长线于点𝐺．若∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐶𝑃𝐺= 2
3(∠𝐵+ ∠𝐶𝑃𝐸)，求∠𝐵的度数．
【答案】(1)15°
(2)∠𝐸𝑃𝐺= 1
2∠𝐶−1
2∠𝐵
(3)36°
【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出∠𝐵𝐴𝐶，然后由角平分线求出∠𝐵𝐴𝐸，然后求出∠𝐵𝐴𝐷，进而
求解即可；
（2）首先由角平分线和三角形内角和定理得到∠𝐵𝐴𝐸= 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，然后由三角形外角的性质得到
∠𝑃𝐸𝐺= 90° + 1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，然后利用直角三角形两锐角互余求解；
（3）设∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼，得到∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 2𝛼，根据角平分线的定义得到∠𝑃𝐸𝑀= 1
2∠𝐴𝐸𝑀，
∠𝑃𝐶𝑀= 1
2∠𝐴𝐶𝑀，表示出∠𝐶𝑃𝐺= 60°−4
3𝛼，得到∠𝑃𝐶𝐺= 1
2∠𝐴𝐶𝐺= 45° + 1
2𝛼，利用∠𝑃𝐶𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺= 90°列方
程求解即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐵= 35°，∠𝐶= 65°，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 180°−∠𝐵−∠𝐶= 80°
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 40°
∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶
∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°
∴∠𝐵𝐴𝐷= 90°−∠𝐵= 55°
∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐵𝐴𝐷−∠𝐵𝐴𝐸= 55°−40° = 15°；
（2）解：∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 1
2∠𝐵𝐴𝐶= 1
2(180°−∠𝐵−∠𝐶) = 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶
∴∠𝑃𝐸𝐺= ∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐵+ 90°−1
2∠𝐵−1
2∠𝐶= 90° + 1
2∠𝐵−1
2∠𝐶，
∵𝑃𝐺⊥𝐵𝐶
∴∠𝑃𝐺𝐸= 90°
∴∠𝐸𝑃𝐺= 90°−∠𝑃𝐸𝐺= 90°−90° + 1
2 ∠𝐵−1
2 ∠𝐶= 1
2∠𝐶−1
2∠𝐵；
（3）解：设∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐶𝐴𝐷= 𝛼，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸= 2𝛼，
∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐸= 4𝛼，∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐴𝐸+ ∠𝐷𝐴𝐸= 3𝛼，
∵∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∴∠𝐵= 90°−∠𝐵𝐴𝐷= 90°−3𝛼，
∵𝐸𝑃、𝐶𝑃分别平分∠𝐴𝐸𝐶和∠𝐴𝐶𝑀，
∴ ∠𝑃𝐸𝑀= 1
2∠𝐴𝐸𝑀，∠𝑃𝐶𝑀= 1
2∠𝐴𝐶𝑀，
∴∠𝐸𝑃𝐶= ∠𝑃𝐶𝑀−∠𝑃𝐸𝑀= 1
2∠𝐴𝐶𝑀−1
2∠𝐴𝐸𝑀= 1
2∠𝐸𝐴𝐶= 𝛼，
∴∠𝐶𝑃𝐺= 2
3(∠𝐵+ ∠𝐶𝑃𝐸) = 2
3(90°−3𝛼+ 𝛼) = 60°−4
3𝛼，
∵∠𝑃𝐶𝐺= 1
2∠𝐴𝐶𝐺= 1
2(∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶) = 1
2(90°−3𝛼+ 4𝛼) = 45° + 1
2𝛼，
∵𝑃𝐺⊥𝐵𝐶，
∴∠𝑃𝐶𝐺+ ∠𝐶𝑃𝐺= 90°，
∴45° + 1
2𝛼+ 60°−4
3𝛼= 90°，
∴𝛼= 18°，
∴∠𝐵= 90°−3𝛼= 36°．
▌题型09 三角形中的新定义问题
理解新定义问题中题意，根据题意结合三角形内角和定理、直角三角形的性质和三角形外角性质解决问题
【典例9】如图，在Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，过点𝐴的直线交𝐵𝐶于点𝐷，若∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵，我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶
的形似线，其中∠𝐵𝐴𝐷= 𝑚∠𝐶𝐴𝐷，那么我们称𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的𝑚倍形似线．已知直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍
形似线，则∠𝐵= ______度．
【答案】22.5
【知识点】直角三角形的两个锐角互余
【分析】本题考查了直角三角形的性质，由直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍形似线，所以∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，从而可
得∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵，又∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵= 90°，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵直线𝐴𝐷是Rt △𝐴𝐵𝐶的2倍形似线，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐶𝐴𝐷，
∵∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐵，
∴∠𝐵𝐴𝐷= 2∠𝐵，
∵∠𝐶= 90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵+ 2∠𝐵+ ∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵= 22.5°，
故答案为：22.5．
【变式9-1】1．（25-26 八年级上·福建龙岩·阶段检测）定义：如果三角形的两个内角𝛼与𝛽满足
2𝛼+ 𝛽= 90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”．若△𝐴𝐵𝐶是“奇妙互余三角形”，∠𝐶> 90°，
∠𝐴= 40°，求∠𝐶的度数．
【答案】115°或130°
【分析】本题考查了三角形内角和定理，由题意知，“奇妙互余三角形”分∠𝐴+ 2∠𝐵= 90°和
2∠𝐴+ ∠𝐵= 90°，两种情况求解：根据三角形内角和定理计算求解即可．
【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶是“奇妙互余三角形”， ∠𝐶> 90°，∠𝐴= 40°，
①当∠𝐴+ 2∠𝐵= 90°时，
40° + 2∠𝐵= 90°，
∴∠𝐵= 25°，
∴∠𝐶= 180°−40°−25° = 115°
②当2∠𝐴+ ∠𝐵= 90°时，
80° + ∠𝐵= 90°
∴∠𝐵= 10°，
∴∠𝐶= 180°−40°−10° = 130°．
故∠𝐶的度数为115°或130°．
【变式9-2】定义：如果一个三角形的两个内角𝛼与𝛽满足：𝛼+ 2𝛽= 90°．那么我们称这样的三角形为“准互
余三角形”．
(1)若△𝐴𝐵𝐶是“准互余三角形”，∠𝐶> 90°,∠𝐵= 60°，则∠𝐴的度数为__________；
(2)如图，△𝐴𝐵𝐶是直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵= 90°．
①若𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，则△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”吗？并说明理由；
②若点𝐸是边𝐵𝐶上一点，△𝐴𝐵𝐸是“准互余三角形”，∠𝐵= 24°，求∠𝐸𝐴𝐶的度数．
【答案】(1)15°
(2)①△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”；②∠𝐸𝐴𝐶的度数是24°或33°
【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键；
（1）根据“准互余三角形”可知，∠𝐵+ 2∠𝐴= 90°，即可得解；
（2）①根据角平分线的定义可得∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷，再根据直角三角形的性质可得2∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐵= 90°，符
合定义，即可得解；
②分两种情况讨论，∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐸= 90°和2∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°，分别求出∠𝐵𝐴𝐸，再根据直角三角形的性质
即可得解．
【详解】（1）解：∵△𝐴𝐵𝐶是“准互余三角形”，∠𝐶> 90°,∠𝐵= 60°，
∴∠𝐵+ 2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 15°；
（2）解：①△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”，理由如下：如下图，
∵𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐶= 90°，
∴∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐷= 90°，
∴△𝐴𝐵𝐷是“准互余三角形”；
②如图，
由题意得：∠𝐴𝐸𝐵>90°，
∵△𝐴𝐵𝐸是“准互余三角形”，
当∠𝐵+ 2∠𝐵𝐴𝐸= 90°时，
∵∠𝐵= 24°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 33°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 90°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐸= 33°；
当2∠𝐵+ ∠𝐵𝐴𝐸= 90°时，
∵∠𝐵= 24°，
∴∠𝐵𝐴𝐸= 42°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 90°−∠𝐵−∠𝐵𝐴𝐸= 24°；
综上所述，∠𝐸𝐴𝐶的度数是24°或33°．
【变式9-3】定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2 倍，我们称这两个角互为“友爱角”，这
个三角形叫作“友爱三角形”，例如：在△𝐴𝐵𝐶中，如果∠𝐴= 40°，∠𝐵= 80°，那么∠𝐴与∠𝐵互为“友爱
角”，△𝐴𝐵𝐶为“友爱三角形”．
(1)如图1，△𝐴𝐵𝐶是“友爱三角形”，且∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），∠𝐴𝐶𝐵= 90°
①则∠𝐴= _________，∠𝐵= __________．
②将△𝐴𝐵𝐶沿过点𝐶的直线翻折，使得点𝐵落在𝐴𝐵边上的点𝐵′处，折痕为𝐶𝐷（𝐷在𝐴𝐵上）．判断△𝐴𝐶𝐷是
否为“友爱三角形”，并说明理由．
(2)如图2，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵> ∠𝐴，∠𝐵= 72°，𝐷是边𝐴𝐵上一点（不与𝐴、𝐵重合），连接𝐶𝐷．将△𝐶𝐷𝐵沿
𝐶𝐷翻折得到△𝐶𝐷𝐵′，𝐵′落在𝐴𝐶边上，若△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，求∠𝐴𝐶𝐷的度数．
【答案】(1)①30°；60°；②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由见解析
(2)27°或30°或42°或45°
【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）①根据三角形内角和定理和“友爱角”的定义求解即可；由折叠的性质可证明∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
则可证明∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴，据此可得结论；
（2）由折叠的性质得到∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐵则∠𝐴𝐵′𝐷= 108°；再分∠𝐴𝐵′
𝐷= 2∠𝐴，∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′，∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′和∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴四种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：①∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵= 180°−∠𝐴𝐶𝐵= 90°；
∵∠𝐴与∠𝐵互为“友爱角”（∠𝐵> ∠𝐴），
∴∠𝐵= 2∠𝐴，
∴∠𝐴+ 2∠𝐴= 90°，
∴∠𝐴= 30°，
∴∠𝐵= 60°；
②△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”，理由如下：
由折叠的性质可得∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶，
∵∠𝐵′𝐷𝐶+ ∠𝐵𝐷𝐶= 180°，
∴∠𝐵′𝐷𝐶= ∠𝐵𝐷𝐶= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 180°−∠𝐴−∠𝐴𝐷𝐶= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝐴，
∴△𝐴𝐶𝐷是“友爱三角形”；
（2）解：由折叠的性质可得∠𝐶𝐵′𝐷= ∠𝐵= 72°，∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐷= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵′𝐷= 180°−∠𝐶𝐵′𝐷= 108°；
∵△𝐴𝐷𝐵′是“友爱三角形”，
∴当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴时，则∠𝐴= 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 54°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 27°；
当∠𝐴𝐵′𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，则∠𝐴𝐷𝐵′ = 54°，
∴∠𝐴= 180°−54°−108° = 18°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 45°；
当∠𝐴= 2∠𝐴𝐷𝐵′时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180°−∠𝐴𝐵′𝐷= 72°，
∴2∠𝐴𝐷𝐵′ +∠𝐴𝐷𝐵′ = 72°，
∴∠𝐴𝐷𝐵′ = 24°，
∴∠𝐴= 48°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 60°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 30°；
当∠𝐴𝐷𝐵′ = 2∠𝐴时，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐷𝐵′ = 180°−∠𝐴𝐵′𝐷= 72°，
∴2∠𝐴+ ∠𝐴= 72°，
∴∠𝐴= 24°，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴−∠𝐵= 84°，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 42°；
综上所述，∠𝐴𝐶𝐷的度数为27°或30°或42°或45°
▌题型10 双角角平分线模型的角度探究
【典例10】如图．在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，若∠𝐴= 70°，则∠𝐵𝑂𝐶的度数为________．
【答案】125°
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先利用三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 110°，再利用角平分线的定义得到∠𝑂𝐵𝐶= 1
2
∠𝐴𝐵𝐶,∠𝑂𝐶𝐵= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，求出∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 55°，最后利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠𝐴= 70°，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 110°，
∵𝐵𝑂平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑂平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝑂𝐶𝐵= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵)，
∴∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 55°，
∵∠𝐵𝑂𝐶+ ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝐵𝑂𝐶= 180°−(∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐶𝐵) = 180°−55° = 125°．
【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，𝐴、𝐵分别为𝑥轴、𝑦轴正半轴上两动点，∠𝐵𝐴𝑂的平分线和与∠𝑂𝐵𝐴
相邻的外角的平分线所在直线交于点𝐶，则∠𝐶的度数随𝐴、𝐵运动的变化情况正确的是（ ）
A．点𝐵不动，在点𝐴向右运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小
B．点𝐴不动，在点𝐵向上运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐减小
C．在点𝐴向左运动，点𝐵向下运动的过程中，∠𝐶的度数逐渐增大
D．在点𝐴、𝐵运动的过程中，∠𝐶的度数不变
【答案】D
【知识点】坐标与图形综合、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据三角形内角和定理可得
∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵= 90°，再由角平分线的定义可得∠𝑂𝐵𝐶= 90°−1
2∠𝑂𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶= 1
2∠𝑂𝐴𝐵，据此利用三角形
内角和定理求出∠𝐶的度数即可得到答案．
【详解】解：∵∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
∴∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵= 90°，
∵∠𝐵𝐴𝑂的平分线和与∠𝑂𝐵𝐴相邻的外角的平分线所在直线交于点𝐶，
∴∠𝑂𝐵𝐶= 180°−∠𝑂𝐵𝐴
2
= 90°−1
2∠𝑂𝐵𝐴，∠𝐵𝐴𝐶= 1
2∠𝑂𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝑂𝐵𝐶+ ∠𝑂𝐵𝐴= 90° + 1
2∠𝑂𝐵𝐴，
∴∠𝐶= 180°−∠𝐴𝐵𝐶−∠𝐵𝐴𝐶
= 180°−90°−1
2 ∠𝑂𝐵𝐴−1
2 ∠𝑂𝐴𝐵
= 180°−90°−1
2 (∠𝑂𝐵𝐴+ ∠𝑂𝐴𝐵)
= 180°−90°−45°
= 45°，
故选：D．
【变式10-2】如图，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，𝐴𝐷、𝐵𝐷、𝐶𝐷分别平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐸𝐴𝐶、内角∠𝐴𝐵𝐶、外角
∠𝐴𝐶𝐹．以下结论：①𝐴𝐷∥𝐵𝐶；②∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵；③∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷；④𝐵𝐷平分∠𝐴𝐷𝐶．其中正确
的结论有_____________
【答案】①②③
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用．根据
角平分线的定义得出∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐷，∠𝐴𝐶𝐹= 2∠𝐷𝐶𝐹，根据三角形的内角和
定理得出∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°，根据三角形外角性质得出∠𝐴𝐶𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐶，
∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵𝐴𝐷平分∠𝐸𝐴𝐶，
∴∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐷，
又∵∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐸𝐴𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶，故①正确；
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐷𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐷𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐷𝐵，
∴∠𝐷𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐵，故②正确；
在△𝐴𝐷𝐶中，
∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= 180°，
∵𝐶𝐷平分△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐹，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐷𝐶𝐹，
∵𝐴𝐷∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐶= ∠𝐷𝐶𝐹，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶，∠𝐶𝐴𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐷，
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐴𝐷𝐶+ 2∠𝐴𝐵𝐷= 180°
∴∠𝐴𝐷𝐶+ ∠𝐴𝐵𝐷= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°−∠𝐴𝐵𝐷，故③正确；
∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝐶，
∵∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 90°−1
2∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐷𝐵不一定等于∠𝐶𝐷𝐵，故④错误；
【变式10-3】在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝑃与𝐶𝑃相交于点P．
(1)如图1，若∠𝐴𝐵𝐶= 80°，∠𝐴𝐶𝐵= 50°，求∠𝑃的度数；
(2)如图2，延长𝐴𝐵至M，延长𝐴𝐶至N，∠𝑀𝐵𝐶与∠𝑁𝐶𝐵的角平分线相交于点Q，若∠𝐴= 𝛼(0° < 𝛼< 180°)．
①用含𝛼的代数式表示∠𝑃的大小为__________°；
②用含𝛼的代数式表示∠𝑄的大小为__________°；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长𝐵𝑃、𝑄𝐶交于点R．在△𝐵𝑄𝑅中，除∠𝑅𝐵𝑄外，若一个内角是另一个内角
的3 倍，直接写出∠𝐴的大小．
【答案】(1)115°
(2)①∠𝑃= 90° + 1
2α；②∠𝑄= 90°−1
2α
(3)∠𝐴= 45°或135°
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 25°，再利用三角形内角
和定理求解即可；
（2）根据三角形内角和定理可得∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−𝛼，进而得到∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 180° + 𝛼；①②利
用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；
（3）如图：延长𝐵𝐶至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得∠𝑅= 1
2∠𝐴，再结合∠𝑄= 90°−1
2∠𝐴，
然后分∠𝑄= 3∠𝑅和∠𝑅= 3∠𝑄两种情况求解即可．
【详解】（1）解：∵∠𝐴𝐵𝐶= 80°，∠𝐴𝐶𝐵= 50°，点P 是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线的交点，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶= 40°，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵= 25°，
∵∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝑃= 180°−∠𝐵𝐶𝑃−∠𝑃𝐵𝐶= 180°−40°−25° = 115°．
（2）解：∵∠𝐴= 𝛼，
∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180°−∠𝐴= 180°−𝛼，∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵= 360°−(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 360°−(180°−𝛼)
= 180° + 𝛼，
①∵∠𝐴𝐵𝐶与∠𝐴𝐶𝐵的角平分线𝐵𝑃与𝐶𝑃相交于点P，
∴∠𝑃𝐵𝐶= 1
2∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1
2∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃= 1
2(∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 1
2(180°−𝛼) = 90°−1
2𝛼，
∵∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶= 180°，
∴∠𝑃= 180°−(∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐶) = 180°−90°−1
2 𝛼= 90° + 1
2𝛼．
②∵∠𝑀𝐵𝐶与∠𝑁𝐶𝐵的角平分线相交于点Q，
∴∠𝑄𝐵𝐶= 1
2∠𝑀𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑄= 1
2∠𝑁𝐶𝐵，
∴∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑄= 1
2(∠𝑀𝐵𝐶+ ∠𝑁𝐶𝐵) = 1
2(180° + 𝛼) = 90° + 1
2𝛼，
∵∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄+ ∠𝑄𝐶𝐵= 180°，
∴∠𝑄= 180°−(∠𝑄𝐵𝐶+ ∠𝑄𝐶𝐵) = 180°−90° + 1
2 𝛼= 90°−1
2𝛼．
（3）解：如图：延长𝐵𝐶至D，
∵𝐶𝑄为△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝑁𝐶𝐵的角平分线，
∴∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝑁𝐶𝑄,
∵∠𝐵𝐶𝑄= ∠𝐷𝐶𝑅，∠𝑁𝐶𝑄= ∠𝐴𝐶𝑅,
∴∠𝐴𝐶𝑅= ∠𝐷𝐶𝑅,
∴𝐶𝑅是△𝐴𝐵𝐶的外角∠𝐴𝐶𝐷的平分线，
∴∠𝐴𝐶𝐷= 2∠𝑅𝐶𝐷，
∵𝐵𝑅平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝑅𝐵𝐶，
∵∠𝑅𝐶𝐷= ∠𝑅𝐵𝐶+ ∠𝑅，
∴2∠𝑅𝐶𝐷= 2∠𝑅𝐵𝐶+ 2∠𝑅，即∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ 2∠𝑅，
又∵∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴，
∴∠𝐴= 2∠𝑅，即∠𝑅= 1
2∠𝐴；
由（2）可知∠𝑄= 90°−1
2∠𝐴
∵在△𝐵𝑄𝑅中，除∠𝑅𝐵𝑄外，若一个内角是另一个内角的3 倍，
∴①当∠𝑄= 3∠𝑅时，即90°−1
2∠𝐴= 3 × 1
2∠𝐴，解得：∠𝐴= 45°；
②当∠𝑅= 3∠𝑄时，即
1
2∠𝐴= 3 × 90°−1
2 ∠𝐴，解得：∠𝐴= 135°；
综上所述，∠𝐴的度数是45°或135°．
▌题型11 不规则图形内角和问题探究
利用三角形外角性质将角转化，最后利用三角形内角和解决问题
【典例11】如图，∠𝐵𝑂𝐹= 100°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= __________．
【答案】200°
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】利用三角形的外角性质将分散的角∠𝐴,∠𝐶和∠𝐵,∠𝐷分别转化为∠1和∠2，再结合
∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，即可求解．
【详解】解：如图，
根据三角形外角的性质可知∠𝐴+ ∠𝐶= ∠1，∠𝐵+ ∠𝐷= ∠2，∠1 + ∠𝐸= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，
∠2 + ∠𝐹= ∠𝐵𝑂𝐹= 100°，
∴∠1 + ∠𝐸+ ∠2 + ∠𝐹= 200°，
即∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 200°．
【变式11-1】如图，已知∠𝐵𝑂𝐹= 120°，则∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹为______°．
【答案】240
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形的外角性质，由三角形外角性质得∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，
∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，即得∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，进而即可求解，正确识
图是解题的关键．
【详解】解：由三角形外角性质可得，∠1 = ∠𝐴+ ∠𝐶，∠2 = ∠𝐵+ ∠𝐷，∠𝐸+ ∠𝐹= ∠1 + ∠2 = ∠𝐵𝑂𝐹= 120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷= ∠1 + ∠2 = 120°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸+ ∠𝐹= 120° + 120° = 240°，
故答案为：240．
【变式11-2】探究：中华人民共和国国旗上的五角星的每个角均相等，小明为了计算每个角的度数，画出了
如图①的五角星，每个角均相等，并写出了如下不完整的计算过程，请你将过程补充完整．
(1)解：∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷．
∴ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
∵ ∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ________°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= ________°，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= ________°．
(2)拓展：如图②，小明改变了这个五角星的五个角的度数，使它们均不相等，请你帮助小明求∠𝐴，∠𝐵，
∠𝐶，∠𝐷，∠𝐸的和．
(3)应用：如图③．小明将图②中的点𝐴落在𝐵𝐸上，点𝐶落在𝐵𝐷上，若∠𝐵= ∠𝐷= 36∘，则
∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸= ________°．
【答案】(1)180°，180°，36°
(2)180°
(3)108°
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（2）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
（3）根据阅读材料、三角形内角和定理、三角形的外角的性质、结合图形解得即可；
【详解】（1）∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷．
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°，
∴∠𝐴= ∠𝐵= ∠𝐶= ∠𝐷= ∠𝐸= 36°；
（2）∵∠𝐴𝐹𝐺= ∠𝐶+ ∠𝐸，∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐵+ ∠𝐷．
∴∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= ∠𝐶+ ∠𝐸+ ∠𝐵+ ∠𝐷．
∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐹𝐺+ ∠𝐴𝐺𝐹= 180°，
∴∠𝐴+ ∠𝐵+ ∠𝐶+ ∠𝐷+ ∠𝐸= 180°；
（3）∠𝐶𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐸+ ∠𝐸= 180°−∠𝐸𝐴𝐷= 180°−∠𝐵−∠𝐷= 108°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质，掌握三角形内角和等于180°和三角形的一个
外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
