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专题01 相似三角形经典模型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型 一：A 字型（正 A、斜 A）
模型 二：8 字型（沙漏模型）
模型 三：母子相似
模型 四：旋转相似（手拉手相似）
模型 五：一线三等角模型
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
做相似三角形题目，先从图形中识别基础相似模型，找准相等角或成比例的边作为判定条件，优先用
两角相等证相似，得到对应边成比例后列比例式，再结合线段代换、勾股定理、圆的相关结论进行计算，
遇到无现成相似的情况，可作平行线构造相似，解题时务必分清对应顶点，避免对应边错位，最后代入数
值求解线段长度或者进行比例转化。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
模型一、A 字型（正 A、斜 A、反A）
典例1 如图，在
中，
，
，
，则
的长是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
目 录
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【答案】D
【分析】根据
可得
，可得
，即可求解．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
解得
．
模型模版
1.特点：一条直线平行于三角形一边，截另外两边，形成上下两个A 型相似三角形。
2.方法：利用平行线得两组相等角证相似，直接列上下对应线段的比例式求解。
变式1-1 如图，
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
得出相似比，进而求出
与
的面积比，利用面积差求出四边形
的
面积，最后计算比值即可；
【详解】解：
，且
，
，
，
，
，
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，
．
变式1-2 如图所示，在
中，、分别在
、
上，且
，
，则
________
．
【答案】2.5
【分析】证明
，根据相似三角形的性质作答即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
．
变式1-3 如图，在
中，
，
，求
的值．
【答案】
的值为
．
【分析】由已知
得
，由
得
，根据相似
三角形面积比等于相似比的平方，求出结果即可．
【详解】解：∵
，
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∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
的值为
．
模型二、8 字型（沙漏模型）
典例2 如图，
，
，下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解：∵
，
∴
，
，
∴
，故A 正确，
∴
，
∴
，
，故B、C 正确，
∴
，故D 错误．
题型模版
1.特征：两直线相交形成对顶角，搭配两组内错角相等，构成上下倒置的 8 字形相似三角形。
2.方法：借助对顶角与平行带来的等角证明相似，列出交叉对应线段的比例式计算。
变式2-1 如图，
，
相交于点
，
，记
的面积为
，
的面积为
．若
，
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则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：
，
，
，
，
故选：C．
变式2-2 如图，将
沿
边向右平移得到
，
交
于点G．若
，
，
则
的值为________．
【答案】4
【分析】由平移的性质得到：
，由
，得到
，由
，
推出
，即可求出
．
【详解】解：由平移的性质得到：
，
，
，
，
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，
，
，
，
．
变式2-3 如图，
中，
，
的面积等于
，
的面积等于，
，求
的长．
【答案】14
【分析】根据
和
的面积比求出边长比，再根据
，利用相似三角形的性质确定各边长
的比例求出
的长度，进而求出
的长．
【详解】解：
的面积等于
，
的面积等于，
．
．
，
．
，
，
．
，
，
．
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模型三、母子相似
典例3 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能
．．判定
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可．
【详解】解：根据题意可知
，
选项A，
，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意．
选项B，
，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意．
选项C
，
可转化成
，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故
不符合
题意．
选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意．
题型模版
1.特征：公共角共用，一个小三角形嵌套在大三角形内部，另有一组角相等构成母子型相似。
2.方法：抓住公共角再找一组等角证相似，列对应边比例式，推导线段等积式求解。
变式3-1 如图，在
中，点
在
边上，若
，
，且
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】容易证明
，则
，代入计算即可．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
解得
．
变式3-2 如图，在
中，D 为边
上一点，
，
，
，那么
_______．
【答案】6
【分析】证明
，列出比例式进行求解即可.
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
变式3-3 如图，在
中，
，点
、
分别在边
、
上，
．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求
的长．
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【答案】(1)证明：
，
，
，
，
点
、
分别在边
、
上，
，
，
，
又
，
(2)
【分析】（1）先证明
，再根据等角的补角相等，得到
，即可证明相似；
（2）利用相似三角形对应边成比例求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：
，
，
，
，
，
，
或
（不符合题意，舍去），
的长是
．
模型四、旋转相似（手拉手相似）
典例4 如图，一副三角板（
，
，
），
，顶点A 重合，将
绕
其顶点A 旋转，在旋转过程中（不添加辅助线），以下4 种位置不存在相似三角形的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用相似三角形的判定方法依次判断
是解决问题的关键．
【详解】解：选项A，∵
，
，
∴
，故选项A 不符合题意．
选项B，如图，设
与
交于点
，
∵
，
，
∴
，故选项B 不合题意；
选项C，∵
，
，
∴
，故选项C 不合题意；
选项D 中没有相似三角形，符合题意．
故选：D．
题型模版
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1.特征：两个共顶点的相似三角形，绕公共顶点旋转得到，对应边成比例、夹角相等。
2.方法：利用等角加公共角得到相等夹角，证新三角形相似，得到角度相等与线段比例关系。
变式4-1 如图，在
中，
，
，
，将
绕点
旋转
至
的位
置，连接
交
于点
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用旋转性质、勾股定理推出
、
，证明
后，根据相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：根据旋转可得
，
，
，
，
，
即
，
又
，
，
，
即
．
故选：
．
【点睛】本题考查的知识点是旋转性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是由旋转性质证
明
．
变式4-2 如图，
，
，
，将
的顶点D 与
边的中点重合，并
将
绕着点D 旋转．在旋转过程中，
的边
始终与
边相交，交点分别为M、N．当
时，
的长是__．
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【答案】4
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．利用斜边中线的性质求得
，
，证明
，推出
，求得
，据此求解即可．
【详解】解：连接
，
∵
，
，
，
∴
，
∵点D 是
边的中点，
∴
，
∴
，
由旋转的性质知
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
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∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
故答案为：4．
变式4-3 综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸
片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片
和
中，
，
，
．
【初步感知】
（1）如图1，连接
、
，在纸片
绕点
旋转过程中，求
的值．
【尝试证明】
（2）如图2，在纸片
绕点
旋转过程中，当点
恰好落在
的中线
的延长线上时，求证：
．
【深入探究】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长
交
于点
，求
．
【答案】（1）
；
（2）证明：∵
，
是
的中线
∴
∴
∵
∴
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∵
∴
∴
，
∴
；
（3）
【分析】（1）根据勾股定理求出
，然后证明出
，
，然后证明出
，得到
；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得到
，得到
，然后结合等边对等角和
全等三角形的性质得到
，即可得到
；
（3）首先证明出
，得到
，代数求出
，然后求出
，
然后证明出
，得到
，然后代数求解即可．
【详解】解：（1）∵
，
，
．
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
；
（2）略
（3）由（2）得，
，
∴
，
∴
∴
，
∴
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∵
∴
，
∴
∴
，
∴
．
【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角
三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
题型五、一线三等角模型
典例5 如图在
中，
，
，点
是边
上一点，
，点
在边
上．若
，则
的长为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】D
【分析】先根据等腰三角形的性质得到
，然后根据三角形的外角得到
，即可得到
，根据相似三角形的性质即可得答案．
【详解】解：∵
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
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∴
，即
，
解得：
．
题型模版
1.特征：一条直线上存在三个相等的角，两侧三角形具备两组角对应相等。
2.方法：利用平角与三角形内角和推导等角，直接证明两个三角形相似，列比例式求解边长。
变式5-1 如图，在等边三角形
中，点
，
分别是边
，
上的点．将
沿
翻折，点
正
好落在线段
上的点
处，使得
．若
，则
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
是等边三角形，
＝
＝
＝60°， 由沿DE 折叠C 落在AB 边上的点F 上，
，
＝
＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设
AD＝x，CD=DF＝
， 由BE=2，BC＝
，可得CE＝
，可证
，利用性质
，即
，解方程即可
【详解】解：∵
是等边三角形，
∴
＝
＝
＝60°，
∵ 沿DE 折叠C 落在AB 边上的点F 上，
∴
，
∴
＝
＝60°，CD=DF，CE＝EF，
∵AF：BF=1:2，
设AF=m，BF=2m，AB=3m，
设
＝x，
＝DF＝
，
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∵BE=2，BC＝
，
∴ CE＝
，
∵
＝
，
＝60°，
∴
＝120°，
＝120°，
∴
＝
，
∵
＝
，
∴
，
∴
，
即
，
解得：
，使等式有意义，
∴
＝
，
故选择：A．
【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行
推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
变式5-2 如图，在边长为6 的等边△ABC 中，D 是边BC 上一点，将△ABC 沿EF 折叠使点A 与点D 重合，
若BD : DE=2 : 3，则CF=____．
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【答案】2.4
【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠
CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可
得到
，即
，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED，
∴∠CDF=∠BED，
∴△BDE∽△CFD，
∴
，即
，
∵等边△ABC 的边长为6 ，
∴
，解得：
．
故答案为：2.4
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角
形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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变式5-3 在
中，
，
，
点在边
上运动（不与
、
点重合），点
在边
边上，且
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图1，当
时，求
的长；
(3)过
点作
交射线
于点
，连接
，当
时，求
的长．
【答案】(1)
证明：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
；
(2)
(3)
【分析】（1）由题意易得
，则有
，然后问题可求证；
（2）由题意易得
，则有
，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解；
（3）由题意可分①当点F 在
的延长线上，②当点F 在线段
上，然后进行分类求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
，
，
∵
，
，
，
，
，
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，
，
∵
，
∴
，
，
；
（3）解：①当点F 在
的延长线上，作
于
，
于
，
于
，则
，
∴四边形
为矩形，
，
，
∵
，
，
，
，
在
中，由勾股定理，得
，
∴
，
∵
，
，
，
∵
，
∴
，
，
，
，
，
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，
当
时，由点
不与点
重合，可知
为等腰三角形，
，
，
；
②当点F 在线段
上，如图所示：
同理①可得：
，
，
当
时，由点
不与点
重合，可知
为等腰三角形，
，
，
；
综上所述：当
时，
．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数等，等
腰三角形的判定和性质知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直
角三角形解决问题，属于中考压轴题．
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1．如图，在△ABC 中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ）
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A．4：25
B．2：3
C．4：9
D．2：5
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，
得到答案．
【详解】解：∵AE=2，EC=3，
∴AC=AE+EC=5，
∵DE
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关
键．
2．如图，在▱ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE、BD，且AE、BD 交于点F，则
：
为（ ）
A．1：5
B．4：25
C．4：31
D．4：35
【答案】A
【分析】根据平行四边形对边互相平行可得
，然后求出
和
相似，再根据相似三角形
面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设
，
，再根据等高的三角
形的面积的比等于底边的比求出
，然后表示出
的面积，再根据平行四边形的性质可得
，然后相比计算即可得解．
【详解】解：
四边形ABCD 是平行四边形，
，AB=CD
∵E 为CD 的中点，
∴DE：CD=1：2
∵AB//DE
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∽
，
：
：
：4，EF:AF=1:2
设
，则
，
：
：2，
：
：
：2，
，
，
是平行四边形ABCD 的对角线，
，
，
：
：
：5．
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似
三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的
比的应用．
3．如图，点
是
的边
上的一点，若添加一个条件，使
与
相似，则下列所添加的条件
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在
与
中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组
对应边成比例，即可判断正误．
【详解】A．已知∠B=∠B, 若
，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
B．已知∠B=∠B, 若
，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
C．已知∠B=∠B, 若
，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
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D．若
，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键．
4．在Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，∠ADC＝45°，把△ADC 沿AD 对折，使点C 落
在C′的位置，C′D 交AB 于点Q，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD
＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B 的度数，求出其他角的度
数，可得AQ＝AC，将
转化为
，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案．
【详解】解：如图，过点A 作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，
∴△ADE 是等腰直角三角形，即AE＝DE＝
AD，
在Rt△ABC 中，
∵∠BAC＝90°，AD 是△ABC 的中线，
∴AD＝CD＝BD，
由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，
∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，
∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，
∴AC′＝AQ＝AC，
由△AEC∽△BDQ 得：
＝
，
∴
＝
＝
＝
＝
．
故选：A．
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【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，
合理的转化是解决问题的关键．
5．如图，边长为10 的等边
中，点D 在边
上，且
，将含
角的直角三角板（
）
绕直角顶点D 旋转，
分别交边
于P、Q，连接
．当
时，
长为（ ）
A．6
B．
C．10
D．6
【答案】B
【分析】证明
，由相似三角形的性质得出
，求出
，过点Q 作
于点M，由勾股定理可求出答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
为等边三角形，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
过点Q 作
于点M，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴
．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质．先证
明
是解题的关键．
6．如图，在
中，点
、
分别在
、
上，
，如果
，
的面积为9，四
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边形
的面积为16，则
的长为________．
【答案】5
【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△
DAE：S△CAB=
，然后把三角形面积代入计算即可．
【详解】解：∵∠ADE=∠C，
而∠DAE=∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴S△DAE：S△CAB=
，
∵△ADE 的面积为9，四边形BDEC 的面积为16，
∴△ABC 的面积=9+16=25，
∴
，
∴AC=5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角
相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
7．如图，在正方形
中，对角线
，
相交于点
，是
的中点，连接
并延长交
于点
，
若
的面积为1，则
的面积为__________．
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【答案】9
【分析】根据正方形的性质得OB=OD，AD∥BC，根据三角形相似的性质和判定得：
，根据同
高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形，
∴OB=OD，AD∥BC，
∴△BEF∽△DEA，
∴
，
∵E 是OB 的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
∵△BEF 的面积为1，
∴△AEB 的面积为3，
∵
，
∴
，
∴△AED 的面积为9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形
的性质和判定是关键．
8．如图，
中，点
在
上，
，若
，
，则线段
的长为___________．
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【答案】
【分析】延长
到
，使
，连接
，可得等腰
和等腰
，
，再证明
，利用相似三角形对应边成比例即可求出
．
【详解】解：如图所示，延长
到
，使
，连接
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，即
，
解得：
，
故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰
和②构造等腰
是解题关键．
9．如图，正方形
的边长为8，线段
绕着点
逆时针方向旋转，且
，连接
，以
为边
作正方形
，
为
边的中点，当线段
的长最小时，
______．
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【答案】
【分析】连接BD，BF，FD，证明△EBC∽△FBD，根据题意，知道M，F，D 三点一线时，FM 最小，然后过
点M 作MG⊥BD，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理分别求出MG 和DG 的长，再根据正切
的定义计算即可．
【详解】解：连接BD，BF，FD，如图，
∵
，
∴
，
∵∠FBD+∠DBE=45°，∠EBC+∠DBE=45°，
∴∠FBD=∠EBC，
∴△EBC∽△FBD，
∴∠FDB=∠ECB，
，
∴DF=
，
由题意知：FM、DF、DM 三条线段满足FM+DF≥MD，其中DM、DF 的值一定，
∴当M，F，D 三点一线时，FM 最小，
过点M 作MN⊥BD，垂足为G，
∵∠MBN=45°，BM=
AB=4，
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∴MN=BN=2
，
∵MD=
=4
，
∴DG=
=6
，
∴
=
，
故答案为：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，手拉手相似模型，锐角三角函数，勾股定理，三角形面积，线段最值
模型，熟练构造相似模型，准确确定线段最小值的条件是解题的关键．
10．已知
是等边三角形，
，点D，E，F 点分别在边
上，
，
同时
平分
和
，则
的长为_____．
【答案】
【分析】根据角平分线的定义得到∠BDE=∠FDE，∠BED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠DBE=∠DFE，
BD=DF，BE=EF，由等边三角形的性质得到∠A=∠ABC=∠C=60°，求得∠DFE=60°，根据相似三角形的性质
即可得到结论．
【详解】解：如图，
同时平分
和
，
，
，
在
与
中，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
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，
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的画
出图形是解题的关键．
11．
中，
，
，
，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向运动，动点
Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/s，点Q 的速度是2cm/s，它们同时
出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q 两点之间的距离为10cm?
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（2）若
的面积为，求关于t 的函数关系式．
（3）当t 为多少时，以点C，P，Q 为顶点的三角形与
相似?
【答案】（1）3 秒或5 秒；（2）
；（3）
或
【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列
方程即可得答案；
（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，
再结合各线段长度非负，即可得出t 的取值范围；
（3）分①
和②
，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，
即可得出结论．
【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2t cm，
∵AC=20cm，
∴CP=（20-4t）cm，
在Rt△CPQ 中，
，
即
；
∴
秒或
秒
（2）由题意得
，
，则
，
因此
的面积为
；
（3）分两种情况：
①当
时，
，即
，解得
；
②当
时，
，即
，解得
．
因此
或
时，以点
、
、
为顶点的三角形与
相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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12．在
中，
分别为边
上的点，
与
相交于点
．
(1)若
；
①
_____；
②
，则
_____；
(2)若
，
，
_____
．
【答案】(1)①
，②
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
（1）①连接
，先证
，相似比为
，得到
，即
，再证
，
相似比为
，即可求解；②根据
，
，求得
，则
，再根据
，
即可求解．
（2）先证
，相似比为
，得到
，即
，再证
，得到
，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，连接
，
，
，
，
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，
，
，
，
，
，
；
②
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
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．
13．定义：如图，若点P 在三角形的一条边上，且满足
，则称点P 为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D 是
的边AB 的中点，
，
，试判断点D 是不是
的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在
中，
，
，
，若点D 是
的“理想点”，求CD 的长．
【答案】(1)
点
是
的“理想点”，理由如下：
是
中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点
是
的“理想点”；
(2)
或
【分析】（1）由已知可得
，从而
，
，可证点
是
的“理想点”；
（2）由
是
的“理想点”，分三种情况：当
在
上时，
是
边上的高，根据面积法可求
长度；当
在
上时，
，对应边成比例即可求
长度；
不可能在
上．
【详解】（1）略
（2）①
在
上时，如图：
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是
的“理想点”，
或
，
当
时，
，
，
，即
是
边上的高，
当
时，同理可证
，即
是
边上的高，
在
中，
，
，
，
，
，
，
②
，
，
有
，
“理想点”
不可能在
边上，
③
在
边上时，如图：
是
的“理想点”，
，
又
，
，
，即
，
，
综上所述，点
是
的“理想点”，
的长为
或
．
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【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
14．如图，
中，
，将
绕点
逆时针旋转到
，连接
，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，若
与
相交于点
，求证：点
是
的中点；
(3)如图3，当
，
时，探究
与
的数量关系并说明理由．
【答案】(1)证明：∵将
绕点A 旋转得到
，
∴
，
，
．
∴
，
．
∴
．
(2)证明：过点D 作
于点M，过点B 作
，交
的延长线于点N，
由旋转的性质可知
，
，
，
，
，
，
，
又∵
，
，
，
，
，
，
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即点
是线段
的中点．
(3)解：结论：
，
理由：延长
、
交于点
，过点
作
，垂足为
，
设
，由
可得
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∵
，即
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
，
由（2）得
，
∴
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
∵
，
，
∴
，
∴
，即：
，
∴
，
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∴
，
∴
∴
，即
．
【分析】
（1）根据旋转的性质可得
，
，
，即可得出
，
，
根据相似三角形的判定定理即可证明
．
（2）过点D 作
于点M，过点B 作
，交
的延长线于点N，构造K 字形全等，得
，由全等三角形的性质得到
，进而证明
即可得出
．
（3）延长
、
交于点
，过点
作
，垂足为
，设
，则
，可求
，
，根据中点+平行线模型可得
，可得
，
，由勾股定理可得
，进而求出
，利用
可
得
，由此求出
，根据
，求出
，由此得出
．
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
15．
（1）
【感知】如图①，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 合），
．证
明：
．
（2）【探究】如图②，在四边形
中，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），
．若
，求
的长．
（3）【拓展】如图③，在
中，
，点P 在边
上（点P 不与点A、B 重合），
连结
，作
，
与边
交于点E，当
是等腰三角形时，直接写出
的长．
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【答案】
（1）证明：
∴
，
∴
∴
∴
；
（2）3；（3）4 或
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知
识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键．
（1）根据同角的余角相等得到
，再由
，即可证明相似；
（2）证明
，得到
，代入数据即可求解；
（3）同理可证明
，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可
求解．
【详解】（1）略；
（2）解：∵
是
的外角，
∴
，
即
，
∵
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
，
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∵
，
，
，
∴
，解得：
；
（3）解：∵
，
∴
，
∵
是
的外角，
∴
，即
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
当
时，
，
∵
，
∴
不成立；
当
时，
，
则
，
∴
；
当
时，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
即
，
解得：
，
∴
，
综上所述：
是等腰三角形时，
的长为4 或
．
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