文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
重难点突破 09 相似三角形 8 种模型
（A字、8字、射影定理、一线三等角、线束模型、三角形内接矩形、三平行模
型、手拉手模型）
目 录
题型01 A字模型
题型02 8字模型
题型03 射影定理
题型04 一线三等角模型
题型05 线束模型
题型06 三角形内接矩形模型
题型07 三平行模型
题型08 手拉手模型（旋转模型）
【1 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
相似三角形的判定方法：
1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2）两个三角形相似的判定定理：
①三边成比例的两个三角形相似；
②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
③两角分别相等的两个三角形相似．
④斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似.
题型 01 A 字模型
已知 图示 结论（性质）
若DE∥BC A ①∆ADE~∆ABC
AD AE DE
② = =
AB AC BC
D E
B C
若∠1=∠2或∠3=∠4 反A字模型 ①∆ADE~∆ABC
或 AD = AE A ②AC2=AB•AD
AB AC
E 3 2
D
1 4
B C
若∠1=∠2 共边反A字模型 ①∆ADE~∆ABC
A ②AC2=AB•AD
[补充]该模型也被称为子母模型，即子母模型
可以看作一组公共边的反A模型
D
2
1
B C
【2 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
[双反A字模型] ①∆AEB~∆DEA~∆DAC
A
若∠1=∠2=∠3
②AB•AC=BE•CD
3
AE BE
③( )2=
1 2 AD CD
B D E C
1．（2020·湖北武汉·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，D是AB上一点，
点E在BC上，连接CD，AE交于点F，若∠CFE=45°，BD=2AD，则CE＝ ．
【答案】2
【分析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，
其次利用△CDG∽△CBD，求出CG的长，得出BG的长，最后利用△BDG∽△BAE，求出BE的长，最
后得出答案．
【详解】解：如图：过D作DH垂直AC于H点，过D作DG∥AE交BC于G点，
∵在Rt△ABC中，AC=BC=6，
∴AB=√AC2+BC2=6√2，
又∵BD=2AD，
∴AD=2√2 ，
∴在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，
∴CH=6−2=4，
在Rt△CHD中，CD=√CH2+DH2=2√5，
∵DG∥AE，
【3 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠CFE=∠CDG=45°，∠B=45°，
∴∠CDG=∠B，
又∵∠DCG=∠BCD，
∴△CDG∽△CBD，
CD CG
∴ = ，
CB CD
∴ CD2=CG⋅CB，
即20=6CG，
10
∴CG= ，
3
10 8
∴BG=BC−CG= 6− = ，
3 3
又∵DG∥AE，
∴△BDG∽△BAE，
又∵BD＝2AD，
BD BG 2
∴ = = ，
BA BE 3
8
又BG= ，
3
3
∴BE=BG× =4，
2
∴CE=6−4=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．
2．（2020·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，
使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝ ，
BE＝ ．
【4 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】 2 √5﹣1
【分析】先根据矩形的性质得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根据折叠的性质得到
CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根据全等三角形的性质得到DF=AE=2；最后根据相似
三角形的性质即可得BE的值．
【详解】∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°
∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处
∴CF=BC，∠CFE=∠B=90°，EF=BE
∴CF=AD，∠CFD=90°
∴∠ADE+∠CDF=∠FCD+∠CDF=90°
∴∠ADE=∠FCD
在△ADE和△FCD中，¿
∴△ADE≅△FCD(ASA)
∴DF=AE=2
∵∠AFE=∠CFD=90°
∴∠AFE=∠DAE=90°
∵∠AEF=∠DEA
∴△AEF∼△DEA
AE EF AE EF
∴ = ，即 =
DE AE DF+EF AE
2 EF
∴ =
2+EF 2
解得EF=√5−1或EF=−√5−1<0（不符题意，舍去）
则BE=EF=√5−1
故答案为：2，√5−1．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定与性质
等知识点，根据矩形与折叠的性质，正确找出两个相似三角形是解题关键．
3．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD
相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2√2．则BO的长是 ．
【5 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】4
【分析】连接OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到
∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得
PC PO
BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到 = =2，则PC=2CD=4√2，然后证
CD OA
4√2 r
明△PCB∽△PAD，利用相似比得到 = ，再利用比例的性质可计算出r的值即可．
3r 6√2
【详解】解：连接OC，如图，设⊙O的半径为r，
∵DC2=CE·CA，
DC CA
∴ = ，
CE DC
而∠ACD=∠DCE，
∴△CAD∽△CDE，
∴∠CAD=∠CDE，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
∴ C´D=C´B，
∴∠BOC=∠BAD，
∴OC//AD，
PC PO 2r
∴ = = =2，
CD OA r
∴PC=2CD=4√2，
∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD，
∴△PCB∽△PAD，
【6 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
PC PB 4√2 r
∴ = ，即 = ，
PA PD 3r 6√2
∴r=4，
即OB=4.
故答案为：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两
个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻
找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作
辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还
是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．
4．（2020·上海浦东新·统考三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分
∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
(1)求线段DE的长；
EF
(2)取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求 的值．
DF
【答案】(1)4
2
(2)
3
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可；
（2）根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可．
【详解】（1）解：∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
【7 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠DAC＝30°，
在Rt ACD中，∠ACD＝90°，
∠DA△C＝30°，AC＝6，
∴CD＝2√3，
在Rt ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，
∴BC＝△6√3，
∴BD＝BC－CD＝4√3，
∵DE∥CA，
DE BD 2
∴ = = ，
CA BC 3
∴DE＝4；
（2）解：如图．
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
DF DM
∴ ＝ ．
AG AM
∴DF＝AG．
∵DE∥CA，
EF BF BF BD
∴ ＝ ， ＝ ．
AG BG BG BC
EF BD
∴ ＝ ．
AG BC
∵BD＝4√3， BC＝6√3， DF＝AG，
EF 2
∴ = ．
DF 3
【点睛】考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
【8 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5．（2021上·辽宁丹东·九年级统考期中）如图，△ABD中，∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm．某一时刻，
动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以
2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts．
2
（1）求t为何值时，△AMN的面积是△ABD面积的 ；
9
（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与△ABD相似时，求t值．
24
【答案】（1）t =4，t =2；（2）t＝3或
1 2 5
【分析】（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，根据三角形的面积公式列出方程
可求出答案；
（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值．
【详解】解：（1）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
1 1
∴△AMN的面积＝ AN•AM＝ ×（12﹣2t）×t＝6t﹣t2，
2 2
∵∠A＝90°，AB＝6cm，AD＝12cm
1 1
∴△ABD的面积为 AB•AD＝ ×6×12＝36，
2 2
2
∵△AMN的面积是△ABD面积的 ，
9
2
∴6t﹣t2＝ ×36，
9
∴t2﹣6t+8＝0，
解得t＝4，t＝2，
1 2
2
答：经过4秒或2秒，△AMN的面积是△ABD面积的 ；
9
（2）由题意得DN＝2t（cm），AN＝（12﹣2t）cm，AM＝tcm，
若△AMN∽△ABD，
AM AN t 12−2t
则有 = ，即 = ，
AB AD 6 12
【9 淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
解得t＝3，
若△AMN∽△ADB，
AM AN t 12−2t
则有 = ，即 = ，
AD AB 12 6
24
解得t＝ ，
5
24
答：当t＝3或 时，以A、M、N为顶点的三角形与△ABD相似．
5
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是
解题的关键．
6．（2020上·河南郑州·九年级校考阶段练习）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求AN:NC
的值．
1
【答案】
2
【分析】解法1：过点D作AC的平行线交BN于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDH∽△BCN和
△DHM∽△ANM，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法2：过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出△BDM∽BCH和
△AMN∽△CHN，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法3：过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H，构造“A”型和“8”型，得出△AHM∽△DBM和
△AHN∽△CBN，再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案；
解法4：过点D作BN的平行线交AC于点H，根据三角形中位线定理得出AN=NH=CH，
即可得出答案；
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
【10淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
因为DH//AC．
所以△BDH∽△BCN，
DH BD
所以 = ．
CN BC
DH BD 1
因为D为BC的中点，所以 = = ．
CN BC 2
因为DH//AN，所以△DHM∽△ANM，
DH DM
所以 = ．
AN AM
DH DM
因为M为AD的中点，所以 = =1．
AN AM
所以DH=AN，
AN 1
所以 = ．
CN 2
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为DM//CH，所以△BDM∽BCH，
DM BD
所以 = ．
CH BC
【11淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DM BD 1
因为D为BC的中点，所以 = = ．
CH BC 2
因为M为AD的中点，所以AM=DM，
AM 1
所以 = ．
CH 2
因为DM//CH，
所以△AMN∽△CHN，
AN AM 1
所以 = = ．
CN CH 2
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．
因为AH//BD，所以△AHM∽△DBM，
AH AM
所以 = ．
BD DM
因为M为AD的中点，所以AM=DM，所以AH=BD．
因为AH//BD，所以△AHN∽△CBN，
AN AH
所以 = ．
CN BC
因为D为BC的中点，且AH=BD，
AN BD 1
所以 = = ．
CN BC 2
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
【12淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
在△ADH中，
因为M为AD的中点，MN//DH，
所以N为AH的中点，即AN=NH．
在△CBN中，因为D为BC的中点，DH//BN，所以H为CN的中点，即CN=HN，
所以AN=NH=CH．
AN 1
所以 = ．
CN 2
7．（2022下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足
∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．
【答案】(1)D为△ABC的理想点,理由见解析
12 9
(2) 或
5 4
AC AB
【分析】（1）由已知可得 = ，从而ΔACD∽ΔABC，∠ACD=∠B，可证点D是ΔABC的“理
AD AC
想点”；
（2）由D是ΔABC的“理想点”，分三种情况：当D在AB上时，CD是AB边上的高，根据面积法可求
CD长度；当D在AC上时，ΔBDC∽ΔABC，对应边成比例即可求CD长度；D不可能在BC上．
【13淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）解：点D是ΔABC的“理想点”，理由如下：
∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，AD⋅AB=8，
∵AC=2√2，
∴AC2=8，
∴AC2=AD⋅AB，
AC AB
∴ = ，
AD AC
∵∠A=∠A，
∴ΔACD∽ΔABC，
∴∠ACD=∠B，
∴点D是ΔABC的“理想点”；
（2）①D在AB上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，
当∠ACD=∠B时，
∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
当∠BCD=∠A时，同理可证∠CDB=90°，即CD是AB边上的高，
在RtΔABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，
∴BC=√AB2−AC2=3，
1 1
∵S = AB⋅CD= AC⋅BC，
ΔABC 2 2
12
∴CD= ，
5
②∵AC=4，BC=3，
∴AC>BC有∠B>∠A，
【14淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ “理想点” D不可能在BC边上，
③D在AC边上时，如图：
∵D是ΔABC的“理想点”，
∴∠DBC=∠A，
又∠C=∠C，
∴ΔBDC∽ΔABC，
CD BC CD 3
∴ = ，即 = ，
BC AC 3 4
9
∴CD= ，
4
12 9
综上所述，点D是ΔABC的“理想点”， CD的长为 或 ．
5 4
【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．
8．（2021上·浙江绍兴·九年级统考期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三
角形互为母子三角形．
DE
（1）如果△≝¿与△ABC互为母子三角形，则 的值可能为（ ）
AB
1 1
A．2 B． C．2或
2 2
（2）已知：如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AB=2AD,∠ADE=∠B．
求证：△ABD与△ADE互为母子三角形．
【15淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）如图2，△ABC中，AD是中线，过射线CA上点E作EG//BC，交射线DA于点G，连结BE，射线
AG
BE与射线DA交于点F，若△AGE与△ADC互为母子三角形．求 的值．
GF
AG 1
【答案】（1）C；（2）见解析；（3） = 或3．
GF 3
【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；
（2）根据两角对应相等两三角形相似得出△ABD∽△ADE，再根据AB=2AD从而得出结论；
（3）根据题意画出图形，分当G,E分别在线段AD,AC上时和当G,E分别在射线DA,CA上时两种情况
加以讨论；
【详解】（1）∵△≝¿与△ABC互为母子三角形，
DE 1
∴ = 或2
AB 2
故选：C
（2）∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠ADE=∠B，
∴△ABD∽△ADE．
又∵AB=2AD，
∴△ABD与△ADE互为母子三角形．
（3）如图，当G,E分别在线段AD,AC上时，
∵△AGE与△ADC互为母子三角形，
CD AD
∴ = =2，
GE AG
∴AG=DG，
∵AD是中线，
【16淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴BD=CD，
又∵≥//BC，
∴△GEF∽△DBF．
DF DB CD
∴ = = =2，
GF GE GE
∴DG=3GF，
AG
∴ =3．
GF
如图，当G,E分别在射线DA,CA上时，
∵△AGE与△ADC互为母子三角形，
CD AD
∴ = =2，
GE AG
1 1
∴AG= AD= DG，
2 3
∵AD是中线，
∴BD=CD，
又∵≥//BC，
∴△GEF∽△DBF．
DF DB CD
∴ = = =2，
GF GE GE
∴DG=GF，
AG 1
∴ = ．
GF 3
AG 1
综上所述， = 或3
GF 3
【17淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．
准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑
全面，进行分类讨论，避免漏解．
9．（2020上·全国·九年级专题练习）已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE
交CB的延长线于点E．
（1）求证： BAE∽△ACE；
（2）AF⊥BD△，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）DE•EF＝9．
【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得
∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论；
AE BE AE EF
（2）由（1）可得 = ，进而可得AE2＝BE•CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得 = ，进一
EC AE DE AE
步即可求出结果．
【详解】解：（1）∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线，
∴AD＝BD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
【18淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°＝∠BAC，
∴∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠E，
∴△BAE∽△ACE；
（2）∵△BAE∽△ACE，
AE BE
∴ = ，
EC AE
∴AE2＝BE•CE＝9，
∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E，
∴△EAF∽△EDA，
AE EF
∴ = ，
DE AE
∴DE•EF＝AE2＝9．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角
形的判定和性质是解题的关键．
题型 02 8 字模型
已知 图示 结论（性质）
若AB∥CD A B ①∆AOB~∆COD
AO BO AB
② = =
O CO DO CD
D C
若∠1=∠2或∠3=∠4
反8字模型 B
①∆AOB~∆COD
AO BO
或 = 1
DO CO A
3
O
2
C
4
D
【19淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
10．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若
AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到DE=CE，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到
∠ADE＝∠ECF，再根据∠AED=∠CEF，即可得到△ADE≌△ECF，则答案可证；
AG AB 1
（2）先证明△CEG∼△ABG，根据相似三角形的性质得出S =8， = = ，进而得出
△ABG GC CE 2
S =4，由S =S +S 得S =12，则答案可解．
△BGC △ABC △ABG △BCG △ABC
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADE＝∠ECF，
∵点E为DC的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△ECF中
¿
∴△ADE≌△ECF(ASA)，
∴AD=CF，
∴BC=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴AB//DC，AB=2EC，
∴∠GEC=∠ABG，∠GCE=∠GAB，
∴△CEG∼△ABG，
∵△GEC的面积为2，
【20淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴
S
△ABG=
(AB) 2
=
(1) 2
=
1
，即S =4S =4×2=8，
S CE 2 4 △ABG △CEG
△CEG
∵△CEG∼△ABG
AG AB 1
∴ = = ，
GC CE 2
1 1
∴S = S = ×8=4，
△BGC 2 △ABG 2
∴S =S +S =8+4=12，
△ABC △ABG △BCG
∴S =2S =2×12=24．
▱ABCD △ABC
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的
关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．（2020·四川遂宁·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交
BE
AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则 的值为（ ）
EG
1 1 2 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
【答案】C
【分析】由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，证明AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用
平行线分线段成比例定理即可解决问题．
【详解】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBG，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，
【21淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，
∴CG＝CD+DG＝3k，
∵AB∥DG，
∴△ABE∽△CGE，
BE AB 2k 2
∴ = = = ，
EG CG 3k 3
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质、平行
四边形的性质、平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质及定理是解题的关键．
12．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在
AB AC
直线于点M，N，且 ＝m， ＝n．
AM AN
（1）若点O是线段BC中点．
①求证：m+n＝2；
②求mn的最大值；
CO
（2）若 ＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．
OB
【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．
AB AC
【分析】设AM＝a，AN＝b．由 ＝m， ＝n可得AB＝am，AC＝bn，那么MB＝MA﹣AB＝a﹣am
AM AN
＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b．
（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，利用ASA证明△OBH≌△OCN，
(1−m)a (n−1)b
得出BH＝CN＝（n﹣1）b．由BH∥AN列出比例式 ＝ ，求解即可；
a b
②由①的结论m+n＝2得出m＝2﹣n，那么mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，根据二次函数的性
质即可得出当n＝1时，mn有最大值1；
【22淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
CO
（2）若 ＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，证明△OBG∽△OCN，根据相似三角形对
OB
(n−1)
CN CO n−1 (1−m)a b
应边成比例得出 ＝ ，那么BG＝ b．由BG∥AN列出比例式 ＝ k ，整理即可
BG OB k a
b
得出m，n之间的关系.
【详解】解：设AM＝a，AN＝b.
AB AC
∵ ＝m， ＝n，
AM AN
∴AB＝am，AC＝bn，
∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.
（1）①若点O是线段BC中点，
如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，
∴∠OBH＝∠OCN.
在△OBH与△OCN中，
¿，
∴△OBH≌△OCN（ASA），
∴BH＝CN＝（n﹣1）b.
∵BH∥AN，
MB BH (1−m)a (n−1)b
∴ ＝ ，即 ＝ ，
MA AN a b
∴1﹣m＝n﹣1，
∴m+n＝2；
②由①知，m+n＝2，
∴m＝2﹣n，
∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，
∴当n＝1时，mn有最大值1；
CO
（2）若 ＝k（k≠0），
OB
如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，
∴∠OBG＝∠OCN.
在△OBG与△OCN中，
【23淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
¿，
∴△OBG∽△OCN，
CN CO (n−1)b
∴ ＝ ，即 ＝k，
BG OB BG
n−1
∴BG＝ b.
k
∵BG∥AN，
(n−1)
MB BG (1−m)a b
∴ ＝ ，即 ＝ k ，
MA AN a
b
n−1
∴1﹣m＝ ，
k
∴n＝k﹣km+1.
【点睛】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的
判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.
1
13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，抛物线y=− x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B
2
的左侧），与y轴交于点C，直线y=x−2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标是________；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于
【24淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
PM 11
点N， = ，求点P的坐标；
QN 4
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE
1
方向以每秒4√2个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG= 时，求点G的运动时间．
2
15 15
【答案】（1）点F坐标为（4，2）；（2）P（1， ），P（3， ）；（3）2秒
1 2 2 2
1
【分析】（1）先由抛物线y=− x2+2x+6求出B(6,0)，C(0,6)，再求出直线BC的解析式为y=−x+6，
2
联立¿即可求F点坐标；
PF 11
（2）过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，证明△PMF∽△QNF，得 = ，再
QF 4
FH 4 15 15
由FH//PG，得 = ，可求PG= ，即为P点纵坐标为 ，则可求得点P的坐标；
PG 15 2 2
（3）过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，证明△ODE是等腰直角三角形，
△EHL为等腰直角三角形，△SKL为等腰直角三角形，则有LK=SK=√2t，SL=√2SK=2t，EL=√2t，
EH=LH=t，OH=t+2，SH=3t，求出S(t+2,3t)，最后将点S的坐标代入二次函数解析式即可求得
t=2，则可得点G的运动时间为2s．
1
【详解】解：（1）在抛物线y=− x2+2x+6中，
2
1
令y=0，则− x2+2x+6=0，
2
解得：x=−2或x=6，
∴A(−2,0)，B(6,0)，
令x=0，则y=6，
∴C(0,6)，
在直线y=x−2中，令y=0，则x=2，
∴E(2,0)，
令x=0，则y=−2，
∴D(0,−2)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B(6,0)，C(0,6)代入，
得：¿，
【25淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ¿，
∴直线BC的解析式为y=−x+6，
联立¿，
解得¿，
∴F(4,2)，
故答案为：(4,2)；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF=∠QNF=90°，
又∵∠PFM=∠QFN，
∴△PMF∽△QNF，
PM PF
∴ = ，
QN QF
PM 11
∵ = ，
QN 4
PF 11
∴ = ，
QF 4
∵FH//PG，
FQ FH 4
∴ = = ，
PQ PG 15
∵FH=2，
15
∴PG= ，
2
【26淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
15
∴P点纵坐标为 ，
2
1 15
令− x2+2x+6= ，
2 2
解得：x =1，x =3（均满足x>0），
1 2
15 15
∴点P的坐标为P（1， ），P（3， ）；
1 2 2 2
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG=4√2t，
∵SE=SG，SK⊥EG，
1
∴EK=GK= EG=2√2t，
2
SK 1
∵在Rt△SEK中，tan∠SEG= = ，
EK 2
∴SK=√2t，
∵E(2,0)，D(0,−2)，
∴OE=OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED=45°，
∴∠KEH=∠OED=45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴∠SLK=∠ELH=45°，
∴△SLK为等腰直角三角形，
∴LK=SK=√2t，SL=√2SK=2t，
【27淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴EL=EK−LK=√2t，
∴EH=LH=t，
∴OH=OE+EH=t+2，SH=SL+LH=3t，
∴S(t+2,3t)，
1
将S(t+2,3t)代入y=− x2+2x+6，
2
1
得− (t+2) 2+2(t+2)+6=3t，
2
解得：t=2或t=−8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用平移、三角形相似、
解直角三角形等相关知识是解题的关键．
14．（2020·云南·统考中考真题）抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标
为(−1,0)，点C的坐标为(0,−3)．点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，
交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出
点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）b=-2,c=-3;（2）F（1，-2）（3）P（5,12）
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意求出B点坐标，得到直线BC的解析式，再根据对称性可得P点为直线BC与对称轴的交点，
即可求解；
（3）过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，得到△DEH∽△PEG，根据
PE PG 5
题意可得 = = ，可设P（m, m2−2m−3）,E（m,m-3）表示出PE,DE，故可求出m的值，故可
DE DH 1
求解．
【详解】（1）把A (−1,0)，C (0,−3)代入y=x2+bx+c
得¿
解得¿
∴y=x2−2x−3
【28淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4
∴对称轴为x=1
∵A(−1,0)，
∴A点关于x=1对称的点B为（3,0）
如图，连接BC，
设直线BC解析式为y=px+q
把B（3,0）,C（0，-3）代入得¿
解得¿
∴直线BC解析式为y=x-3
当x=1时，y=-2
∴直线BC交对称轴x=1与F（1，-2）
∵C△ACF=AC+AF+CF=AC+BF+CF=AC+BC,
故此时△ACF的周长最小，F（1，-2）；
（3）存在点P使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，
设P（m, m2−2m−3）,
∴E（m,m-3）
如图，过P点作PG⊥BC的延长线于G点，过D点作DH⊥BC的延长线于H点，
∴DH∥PG
∴△DEH∽△PEG
PE PG 5
∴ = =
DE DH 1
∵PE=m2−2m−3-（m-3）=m2−3m，DE=m-3
m2−3m
∴ =5
m−3
解得m=5，m=3
1 2
m=3时，分母为0不符合题意，故舍去
∴P（5,12）．
【29淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的图像与性质、对称性及
相似三角形的判定与性质．
15．（2021上·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC
＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
2√5
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）见解析
15
【分析】（1）证明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性质得出AN＝CM；
AN DN AD 1
（2）证明△AND∽△BMD，由相似三角形的性质得出 = = = ，设AN＝x，则BM＝2x，由
BM DM BD 2
√5
（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝ ，则可得出答案；
5
（3）延长ME，AN相交于点H，证明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，证得HN＝MN，过点E作
EG⊥BM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案．
【30淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】（1）证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，
∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，
又∠ACB＝90°，
∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，
∴∠ACN＝∠CBM，
又∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBM（AAS），
∴AN＝CM；
（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，
∴△AND∽△BMD，
AN DN AD 1
∴ = = = ，
BM DM BD 2
设AN＝x，则BM＝2x，
由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，
∵AN2+CN2＝AC2，
∴x2+（2x）2＝12，
√5
∴x＝ ，
5
√5 2√5
∴CM＝ ，CN＝ ，
5 5
√5
∴MN＝ ，
5
2 2 √5 2√5
∴DM＝ MN= × ＝ ；
3 3 5 15
（3）解：延长ME，AN相交于点H，
【31淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，
∴AN∥BM，
∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，
∴△AHE≌△BME（AAS），
∴AH＝BM，
又∵BM＝CN，CM＝AN，
∴CN＝AH，
∴MN＝HN，
∴∠HMN＝45°，
∴∠EMB＝45°，
过点E作EG⊥BM于点G，
∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，
EG
∴sin∠EBG＝ ＝k，
BE
又∵AC＝BC＝1，
∴AB＝√2，
√2
∴BE＝ ，
2
√2
∴EG＝ k，
2
√2
∴EM＝√2EG＝√2× k＝k．
2
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形
的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2022·山西吕梁·统考三模）综合与实践：
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在□ ABCD中，点P是边AD上一点．将△PDC沿直线PC折叠，点D的对应点为E．
“兴趣小组”提出的问题是：如图1，若点P与点A重合，过点E作EF∥AD，与PC交于点F，连接DF，
则四边形AEFD是菱形．
【32淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)数学思考：请你证明“兴趣小组”提出的问题；
(2)拓展探究：“智慧小组”提出的问题是：如图2，当点P为AD的中点时，延长CE交AB于点F，连接
PF．试判断PF与PC的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
(3)问题解决：“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图3，当点E恰好落在AB边上时，
AP=3，PD=4，DC=10．则AE的长为___________．（直接写出结果）
【答案】(1)见解析
(2)PF⊥PC，理由见解析
5
(3)
2
【分析】（1）先证明DF∥AE，得到两组对边分别平行，再用邻边相等的平行四边形是菱形判定，也可
以用四条边相等的四边形是菱形进行判断；
（2）证明△PAF≌△PEF，得到∠APF=∠FPE，再由折叠得到∠DPC=∠EPC，从而证明∠FPC=90°；
（3）延长BA、CP相交于点F，得△AFP∽△DCP，再证EF=CE即可求出结果．
【详解】（1）证法一：由折叠得，AD=AE，∠DAF=∠EAF，∠DFA=∠EFA
∵EF∥AD
∴∠DAF=∠EFA
∴∠DFA=∠EAF
∴DF∥AE
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AD=AE
∴四边形AEFD是菱形．
证法二：
证明：由折叠得，AD=AE，DF=EF，∠DAF=∠EAF
∵EF∥AD
∴∠DAF=∠EFA
【33淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EFA=∠EAF
∴EA=EF
∴AD=DF=EF=AE
∴四边形AEFD是菱形．
（2）解：PF⊥PC ．
连接AE
由折叠可得PD=PE，∠PEC=∠PDC，∠DPC=∠EPC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠ADC+∠DAB=180°
又∵∠PEC+∠PEF=180°
∴∠DAB=∠PEF
∵点P是AD的中点
∴PA=PD
∴∠PAE=∠PEA
∴∠DAB−∠PAE=∠PEF−∠PEA
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF
∴△PAF≌△PEF（SSS）
∴∠APF=∠EPF
又∵∠DPC+∠CPE+∠EPF+∠APF=180°，即2∠CPE+2∠FPE=180°
∴∠FPC=90°
∴PF⊥PC．
（3）解：延长BA、CP相交于点F，
【34淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
由题意，△AFP∽△DCP
AF AP AF 3
∴ = 即 =
DC DP 10 4
15
∴AF=
2
∵∠DCP=∠ECP，∠DCP=∠F
∴∠F=∠ECP
∴EF=EC=DC=10
15 5
∴AE=10− = ．
2 2
5
故答案为 ．
2
【点睛】本题考查折叠、平行四边形、相似、菱形的判定等，属于综合性题目，解题关键在于灵活运用几
何知识，构造常见的模型．
17．（2023·江苏南通·统考一模）正方形ABCD中，AB=2，点E是对角线BD上的一动点，
∠DAE=α(α≠45°).将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线BF交射线DC于点G．
(1)当0°<α<45°时，求∠DBG的度数(用含α的式子表示)；
DG
(2)点E在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值.若变化，请说明理由；
DE
(3)若BF=FG，求α的值．
【答案】(1)∠DBG=α
DG
(2) =√2，是定值
DE
(3)30°
【分析】(1)根据翻变换的性质可以得到∠ADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF，加上对顶角相等得
到的∠AOB=∠EOF，从而得到△AOB∼△EOF（AA），进而得到对应边成比例，再根据比例的性
【35淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AO EO
质得到 = ，加上对顶角相等得到的∠AOE=∠BOF证明出：△AOE∼△BOF(SAS) ，最终得
BO FO
到对应角相等得出结果．
(2)如图2中，连接EG，EC ．证明△DEG是等腰直角三角形，可得结论；
(3)证明△EFG是等边三角形，可得结论．
【详解】（1）如图1中，设AF交BD于点O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
由翻折变换的性质可知，∠ADE=∠AFE=45°，∠DAE=∠EAF，
∴∠ABE=∠AFE=45°，
∵∠AOB=∠EOF，
∴△AOB~△EOF（AA），
AO BO
∴ = ，
EO FO
∴AO·FO=EO·BO，
AO EO
∴ = ，
BO FO
∵∠AOE=∠BOF，
∴△AOE~△BOF（SAS），
∴∠DBG=∠EAF=∠DAE=α．
DG
（2） =√2，是定值．
DE
理由：如图2中，连接EG，EC．
【36淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA=DC，∠ADE=∠CDE=45°，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴∠DAE=∠DCE，
∵∠EBG=∠DAE，
∴∠EBG=∠ECG，
同法可证，∠CEG=∠CBG，
∵∠CBG+∠CGB=90°，∠CGB=∠BEC，
∴∠CEG+∠BEC=90°，
∴∠BEG=∠DEG=90°，
∵∠EDG=45°，
∴∠EGD=∠EDG=45°，
∴DG=√2DE，
DG
∴ =√2；
DE
（3）如图2中，当BF=FG时，
∵∠BEG=90°，
∴EF=FB=FG，
∵DE=EF=EG，
∴EF=EG=FG，
∴∠FGE=60°，
∴∠EBG=30°，
∴α=∠DAE=∠EBG=30°．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三
【37淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
角形解决问题，属于中考压轴题．
18．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°<α<180°），
过点A作射线AM交射线BC于点D，将AM绕点A逆时针旋转α得到AN，过点C作CF//AM交直线AN
于点F，在AM上取点E，使∠AEB=∠ACB．
（1）当AM与线段BC相交时，
①如图1，当α=60°时，线段AE，CE和CF之间的数量关系为 ．
②如图2，当α=90°时，写出线段AE，CE和CF之间的数量关系，并说明理由．
4
（2）当tanα= ，AB＝5时，若△CDE是直角三角形，直接写出AF的长．
3
5√5 15
【答案】（1）①AE＝CF+CE；②EC=√2(AE−CF)，理由见解析；（2） 或
4 4
【分析】（1）①结论：AE＝CF+CE．如图1中，作CT//AF交AM于T．想办法证明AT＝CF，
ET＝CE，可得结论．
②结论：EC＝√2（AE﹣CF）．过点C作CQ⊥AE于Q．想办法证明CF＝AQ，CE＝√2EQ，
可得结论．
（2）分两种情形：如图3－1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于
K．利用勾股定理以及面积法求出CD，再证明FK＝CD，可得结论．如图3－2中，当∠ECD＝90°时，
∠DAB＝90°，解直角三角形求出AK，可得结论．
【详解】解：（1）①结论：AE＝CF+CE．
理由：如图1中，作CT//AF交AM于T．
【38淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∵AF//CT，CF//AT，
∴四边形AFCT是平行四边形，
∴CF＝AT，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
AD CD
∴ = ，
BD ED
AD BD
∴ = ，
DC ED
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝60°，
∵CT//AF，
∴∠CTE＝∠FAE＝60°，
∴△CTE是等边三角形，
∴EC＝ET，
∴AE＝AT+ET＝CF+CE．
故答案为：AE＝CF+CE．
②如图2中，结论：EC=√2(AE−CF)．
理由：过点C作CQ⊥AE于Q．
【39淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CF//AM，
∴∠CFA+∠MAN＝180°，
∵∠MAN＝90°，
∴∠CFA＝∠FAQ＝90°，
∵∠CQA＝90°，
∴四边形AFCQ是矩形，
∴CF＝AQ，
∵∠ADC＝∠BDE，∠DEB＝∠ACD，
∴△ACD∽△BED，
AD CD
∴ = ，
BD ED
AD BD
∴ = ，
DC ED
∵∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，
∴∠ABD＝∠CED＝45°，
∵∠CQE＝90°，
∴CE＝√2EQ，
∴AE﹣CF＝AE﹣AQ＝EQ，
∴EC=√2(AE−CF)．
（2）如图3－1中，当∠CDE＝90°时，过点B作BJ⊥AC于J，过点F作FK⊥AE于K．
【40淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
BJ 4
在Rt△ABJ中，tan∠BAJ＝ ＝ ，AB＝5，
AJ 3
∴AJ＝3，BJ＝4，
∵AC＝AB＝5，
∴CJ=AC−AJ=5−3=2，
∴BC＝√BJ2+CJ2＝√22+42＝2√5，
1 1
∵ AC⋅BJ＝ BC⋅AD，
2 2
5×4
∴AD＝ ＝2√5，
2√5
∴CD＝√AC2−AD2＝ √52−(2√5) 2 ＝√5，
∵FK⊥AD，
∴∠CDE＝∠FKD＝90°，
∴CD//FK，
∵CF//DK，
∴四边形CDKF是平行四边形，
∵∠FKD＝90°，
∴四边形CDKF是矩形，
∴FK＝CD＝√5，
4
∵tan∠FAK＝tan∠CAB＝ ，
3
FK 4
∴ = ，
AK 3
3
∴AK＝ √5，
4
【41淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√ 3√5 2 5√5
∴AF＝√AK2+FK2＝ (√5) 2+( ) ＝ ．
4 4
如图3－2中，当∠ECD＝90°时，同理可得：
∠DAB＝∠EAC+∠CAB=∠EBC+∠CEB=90°，
∵CF//AM，
∴∠AKF＝∠DAB＝90°，
CK 4
在Rt△ACK中，tan∠CAK＝ ＝ ，AC＝5，
AK 3
∴CK＝4，AK＝3，
∵∠MAN＝∠CAB，
∴∠CAN＝∠DAB＝90°，
∴∠CAB+∠BAF＝90°，∠BAF+∠AFK＝90°，
∴∠AFK＝∠CAB，
AK 4
∴tan∠AFK＝ ＝ ，
FK 3
9
∴FK＝ ，
4
√ 9 2 15
∴AF＝√AK2+K F2＝ 32+( ) ＝ ．
4 4
5√5 15
综上所述，满足条件的AF的值为 或 ．
4 4
【点睛】此题是几何变换综合题．考查了等边三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，相似三角
【42淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，此题是一道几何综合题，掌握各知识点并掌握推理能力是解
题的关键．
19．（2023下·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记
△COD的面积为S ,△AOB的面积为S ．
1 2
S OC⋅OD
(1)问题解决：如图①，若AB∥CD，求证： 1=
S OA⋅OB
2
(2)探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说
明理由．
(3)拓展应用：如图③，在OA上取一点E，使OE=OC，过点E作EF∥CD交OB于点F，点H为AB的中
OE 3 S
点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若 = ，求 1 值．
OA 4 S
2
【答案】(1)证明见解析
(2)（1）中结论仍然成立，理由见解析
9
(3)
20
【分析】（1）如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，求出
DE=OD⋅sin∠DOE，BF=OB⋅sin∠BOF，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）同（1）求解即可；
（3）如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，先证明△OEF≌△OCD，得
OF OE 3
到OD=OF，证明△OEF∽△OAM，得到 = = ，设OE=OC=3m，OF=OD=3n，则
OM OA 4
【43淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3 9n n
OA=4m，OM=4n，证明△OGF∽△OHN，推出ON= OF= ，BN=MN=ON−OM= ，则
2 2 2
OB=ON+BN=5n，由（2）结论求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴DE=OD⋅sin∠DOE，BF=OB⋅sin∠BOF，
1 1
∴S =S = OC⋅DE= OC⋅OD⋅sin∠DOE，
△OCD 1 2 2
1 1
S =S = OA⋅BF= OA⋅OB⋅sin∠BOF，
△AOB 2 2 2
∵∠DOE=∠BOF，
∴sin∠DOE=sin∠BOF；
1
OC⋅OD⋅sin∠DOE
S 2 OC⋅OD
∴ 1= = ；
S 1 OA⋅OB
2 OA⋅OB⋅sin∠BOF
2
（2）解：（1）中的结论成立，理由如下：
如图所示，过点D作AE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F，
∴DE=OD⋅sin∠DOE，BF=OB⋅sin∠BOF，
1 1
∴S =S = OC⋅DE= OC⋅OD⋅sin∠DOE，
△OCD 1 2 2
1 1
S =S = OA⋅BF= OA⋅OB⋅sin∠BOF，
△AOB 2 2 2
∵∠DOE=∠BOF，
∴sin∠DOE=sin∠BOF；
1
OC⋅OD⋅sin∠DOE
S 2 OC⋅OD
∴ 1= = ；
S 1 OA⋅OB
2 OA⋅OB⋅sin∠BOF
2
【44淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：如图所示，过点A作AM∥EF交OB于M，取BM中点N，连接HN，
∵EF∥CD，
∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，
又∵OE=OC，
∴△OEF≌△OCD(AAS)，
∴OD=OF，
∵EF∥AM，
∴△OEF∽△OAM，
OF OE 3
∴ = = ，
OM OA 4
设OE=OC=3m，OF=OD=3n，则OA=4m，OM=4n，
∵H是AB的中点，N是BM的中点，
∴HN是△ABM的中位线，
∴HN∥AM∥EF，
∴△OGF∽△OHN，
OG OF
∴ = ，
OH ON
∵OG=2GH，
2
∴OG= OH，
3
OG OF 2
∴ = = ，
OH ON 3
3 9n n
∴ON= OF= ，BN=MN=ON−OM= ，
2 2 2
∴OB=ON+BN=5n，
【45淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
S OC⋅OD 3m⋅3n 9
由（2）可知 1= = = ．
S OA⋅OB 4m⋅5n 20
2
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中
位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．
题型 03 射影定理
已知 图示 结论（性质）
若∠ABC=∠ADB=90° ①∆ABC~∆ADB~∆BDC
A
②AB2=AC•AD,BD2=AD•CD BC2=AC•CD
D
（口诀：公共边的平方=共线边的乘积）
③AB•BC=BD•AC（面积法）
C
B
20．（2020·山西·统考中考真题）如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，
垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为 ．
54
【答案】
85
3 3
【分析】过点F作FH⊥AC于H，则△AFH∽△AEC，设FH为x，由已知条件可得AH= FH= x，利
2 2
【46淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于x的方程，解方程求出x的值，利用
即可得到DF的长．
【详解】如解图，过点F作FH⊥AC于H，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴FH//BC，
∵BC=4，点E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∵FH//BC，
∴△AFH∽△AEC
AH AC 3
∴ = =
FH EC 2
3
∴AH= FH，
2
3
设FH为x，则AH= x，由勾股定理得AB=√42+32=5，
2
1 1
又∵S = AC×BC= AB×CD，
△ABC 2 2
AC⋅BC 12
∴CD= = ，
AB 5
9
则AD=√AC2−CD2=
，
5
∵∠FHC=∠CDA=90°且∠FCH=∠ACD，
∴△CFH∽△CAD，
FH CH
∴ = ，
AD CD
【47淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
3− x
x 2
即 = ，
9 12
5 5
18
解得x= ，
17
18
∴AH= ．
17
1 1
∵S = AC×FH= CF×AD
△AFC 2 2
1 18 1 9
∴ ×3× = CF×
2 17 2 5
30
∴CF=
17
12 30 54
∴DF=CD−CF= − =
5 17 85
54
故答案为：
85
【点睛】本题考查了相似的判定和性质、以及勾股定理的运用，解题的关键是作垂直，构造相似三角形．
21．（2021上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝
9 4
90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝ ,BD= ，那么BC＝ ．
5 5
2√13
【答案】
5
【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△BCD∽△BAC，
【48淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
4 BC
BD BC
∴ ＝ ，即 5 ＝4 9，
BC BA +
BC 5 5
52
∴BC2=
,
25
∵BC>0
2√13
∴BC＝ ，
5
2√13
故答案为： ．
5
【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．
AD
22．（2022上·江苏南京·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且 ＝
AC
AC
．
AB
（1）求证 △ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）√6
【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出
△ACD∼△ABC
（2）由△ACD∼△ABC得∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，推出△ACD∼△CBD，由相似三
CD BD
角形的性质得 = ，即可求出CD的长．
AD CD
AD AC
【详解】（1）∵ = ， ∠A=∠A，
AC AB
∴△ACD∼△ABC；
（2）∵△ACD∼△ABC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，∠ACD=∠B，
∴∠CDB=180°−90°=90°=∠ACD，
∴△ACD∼△CBD，
【49淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
CD BD
∴ = ，即CD2=AD⋅BD=3×2=6，
AD CD
∴CD=√6．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．
23．（2021·湖北武汉·统考一模）在Rt△ABC中，∠ACB= ，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； 90°
FH 4 AD
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 = ，求 的值；
HE 9 BD
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
2 √7
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
3 7
CD BD
【分析】（1）证出∠B=∠ACD，证明△CBD∽△ACD，得出 = ，即可得出结论；
AD CD
（2）设FH=4a，则HE=9a（a>0），同（1）得CH2=HE⋅FH=36a2，则CH=6a，在Rt△CHF
FH 2 AP DP 2
中，tan∠ACD= = ，过D作DP⊥AC于P，易证AP=DP，求出 = = ，再由平行线分线
CH 3 PC PC 3
段成比例定理即可得出答案；
（3）过点D作DM⊥AH于M，设DH=2x，则CH=6x（x>0），CD=DH+CH=8x，证明△ADH
AD DH
∽△CDA，得出∠DAH=∠ACH， = ，求出AD=4x，证明△HDM是等腰直角三角形，得出
CD AD
√2
DM=HM= DH=√2x，由勾股定理得出AM=√14x，由三角函数定义即可得出答案．
2
【详解】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B+∠BCD=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
【50淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△CBD∽△ACD，
CD BD
∴ = ，
AD CD
∴CD2=AD⋅DB；
FH 4
（2）解：∵ = ，
HE 9
∴设FH=4a，则HE=9a（a>0），
∵∠ACB=90°，EF⊥CD，
同（1）得：CH2=HE⋅FH=9a×4a=36a2，
∴CH=6a，
FH 4a 2
在Rt△CHF中，tan∠ACD= = = ，
CH 6a 3
过D作DP⊥AC于P，如图2所示：
则DP//BC，
DP 2
在Rt△DPC中，tan∠ACD= = ，
PC 3
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP，
AP DP 2
∴ = = ，
PC PC 3
∵DP//BC，
AD AP 2
∴ = = ；
BD PC 3
（3）解：过点D作DM⊥AH于M，如图3所示：
【51淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵CH=3DH，
∴设DH=2x，则CH=6x（x>0），
∴CD=DH+CH=8x，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠AHD=45°
又∵∠ADH=∠CDA，
∴△ADH∽△CDA，
AD DH
∴∠DAH=∠ACH， = ，
CD AD
∴AD2=DH⋅CD=16x2，
∴AD=4x，
∵DM⊥AH，
∴∠DMH=90°，
∵∠AHD=45°，
∴∠HDM=45°=∠AHD，
∴△HDM是等腰直角三角形，
√2
∴DM=HM= DH=√2x，
2
∴AM=√AD2−DM5=√ (4x) 2−(√2x) 2=√14x，
DM √2x √7
∴tan∠ACH=tan∠DAH= = = ；
AM √14x 7
√7
故答案为： ．
7
【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角
三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,
【52淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
证明三角形相似是解题的关键。
题型 04 一线三等角模型
已知 图示 结论（性质）
若 ①∆ABC~∆CDE
∠B=∠D=∠ACE=90 A A
° 1 1 4 ② AB = BC = AC 或
CD DE CE
E E
BC•CD=AB•DE(可看作底*底=腰*腰)
2 3 2 3 ③当点C为BD中点时，
B C D B C D
∆ABC~∆CDE~∆ACE
若 A A ①∆ABC~∆CDE
∠B=∠D=∠ACE=α 1 1
AB BC AC
E E ② = =
CD DE CE
2 3 2 3 ③当点C为BD中点时，
B C D B C D
∆ABC~∆CDE~∆ACE
已知：∠B=∠D=∠ACE=α
24．（2022·湖北襄阳·统考一模）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB，AC上，BD=3，
将△ADE沿直线DE翻折得到△FDE，当点F落在边BC上，且BF=4CF时，DE⋅AF的值为 ．
98√3
【答案】
3
【分析】根据△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，可证△BDF∽△CFE，根据
BF=4CF，可得CF=4，根据AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，可得DE⊥AF，
1 98√3
根据S ADFE= DE⋅AF=S CEF=-S ABC-S CEF，进而可求DE⋅AF= ．
四边形 2 3
△ △ △
【详解】解：如图，作△ABC的高AL，作△BDF的高DH，
【53淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵△ABC为等边三角形，△ADE与△FDE关于DE成轴对称，
∴∠DFE=∠DAE= 60°，AD = DF，
∴∠CFE+∠FEC=∠CFE+∠DFB= 120°，
∴∠DFB= ∠CEF，
又∠B=∠C= 60°，
∴△BDF∽△CFE，
BD CF
∴ = ，
BE CE
BF⋅CF
即CE= ，
BD
设CF= x(x > 0)，
∵BF=4CF，
∴BF= 4x，
∵BD=3，
4x2
∴CE= ，
3
∵BC=BF+CF=4x+x=5x，
4x2
∴AD=AB−BD=BC−BD=DF=5x−3，AE=EF=5x− ，
3
∵△BDF∽△CFE，
DF BD
∴ = ，
EF CF
5x−3 3
=
∴ 4x2 x
5x−
3
解得：x=2，
∴CF=4，
【54淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴BC=5x=10，
∵在Rt△ABL中，∠B=60°，
√3
∴AL=ABsin60°=10× =5√3，
2
1
∴S ABC= ×10×5√3=25√3，
2
△
∵在Rt△BHD中，BD=3，∠B=60°，
√3 3√3
∴DH=BDsin60°=3× = ，
2 2
1 1 3√3
∴S BDF= BF⋅DH= ×8× =6√3，
2 2 2
△
∵△BDF∽△CFE，
∴
S
△BDF =
(BD) 2
=
(3) 2
=
9
，
S CF 2 4
△CFE
∵S BDF=6√3，
△
8√3
∴S CEF= ，
3
△
又∵AF为轴对称图形对应点的连线,DE为对称轴，
∴AD=DF，△ADF为等腰三角形，DE⊥AF，
1
∴S ADFE= DE⋅AF=S CEF=-S ABC-S CEF
四边形 2
△ △ △
8√3 49√3
=25√3−6√3− = ，
3 3
98√3
∴DE⋅AF= ．
3
98√3
故答案为: ．
3
【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明k型相似，以及“垂美四边形”的性
质：对角线互相垂直的四边形的面积＝对角线乘积的一半．
25．（2020·四川乐山·中考真题）如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，
AD=2，CE=1．求DF的长度．
【55淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
√10
【答案】 ．
5
DE EC
【分析】先根据矩形的性质、勾股定理求出DE=√10，再根据相似三角形的判定与性质可得 = ，
AD DF
由此即可得出答案．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AB=3
∴DC=AB=3，∠ADC=∠C=90°
∵CE=1
∴DE=√DC2+CE2=√32+12=√10
∵AF⊥DE，∠ADC=90°
∴∠ADF+∠DAF=90°，∠ADF+∠EDC=90°
∴∠EDC=∠DAF
在△EDC和△DAF中，¿
∴△EDC∼△DAF
DE EC √10 1
∴ = ，即 =
AD DF 2 DF
√10
解得DF=
5
√10
即DF的长度为 ．
5
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定
与性质是解题关键．
26．（2020·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，
且∠B=∠ADE=∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，
求此时BD的长．
【56淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)理由见详解；（2）BD=2−√2或1，理由见详解．
【分析】（1）根据题目已知条件易得：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°，
∠B+∠ADB+∠DAB=180°，所以得到∠DAB=∠EDC，问题得证．
（2）由题意易得△ABC是等腰直角三角形，所以∠BAC=90°，当△ADE是等腰三角形时，根据分类讨
论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与B、C重合，所以第一种情况不符合，
其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及∠B=∠ADE=45°，求出问题即可．
【详解】解：（1）
如图可知：∠ADE+∠ADB+∠EDC=180°
在△ABD中，∴ ∠B+∠ADB+∠DAB=180°
又∵ ∠B=∠ADE=∠C
∴ ∠EDC=∠DAB
∴ △BDA∽△CED．
（2）∵ ∠B=∠ADE=∠C，∠B=45°
∴ △ABC是等腰直角三角形
∴ ∠BAC=90°
√2
∵BC=2，∴AB=AC= BC=√2
2
①当AD=AE时，∴ ∠ADE=∠AED
∵ ∠B=45°，∴ ∠B=∠ADE=∠AED=45°
∴ ∠DAE=90°
∴ ∠DAE=∠BAC=90°
∵点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）,点E在AC上
∴此情况不符合题意．
【57淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②
当AD=DE时，∴ ∠DAE=∠DEA
∴由（1）结论可知：△BDA≌△CED
∴AB=DC=√2
∴ BD=2−√2．
③
当AE=DE时，∠ADE=∠DAE=45°
∴ △AED是等腰直角三角形
∵ ∠B=45°，∴ ∠B=∠C=∠DAE=45°
∴ ∠ADC=90°，即AD⊥BC
1
∴ BD= BC=1．
2
综上所诉：BD=2−√2或1．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用“K”型相似模型及根据
“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题．
27．（2021上·山东济南·九年级统考期中）（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90°时，求证：
AD⋅BC=AP⋅BP．
（2）探究
若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在△ABC中，AB=2√2，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Rt△ADE．点D在BC上，点E
在AC上，点F在BC上，且∠EFD=45°，若CE=√5，求CD的长．
【58淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5
【分析】（1）由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用
相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由∠DPC=∠A=∠B=α可得∠ADP=∠BPC,即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形
的性质即可解决问题；
（3）证明△ABD∽△DFE,求出DF=4，再证△EFC∽△DEC,可求FC=1,进而解答即可．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵∠DPC=90°
∴∠BPC+∠APD=90°，
∵∠A=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°
∴∠APD=∠BPC，
又∵∠A=∠B=90°
∴△ADP∽△BPC，
∴AD:BP=AP:BC
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
（2）结论AD⋅BC=AP⋅BP仍成立；
理由：如图2，
∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=α，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=α，
∴△ADP∽△BPC，
∴AD:BP=AP:BC
∴AD⋅BC=AP⋅BP；
【59淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）∵∠EFD=45°,
∴∠B=∠ADE=45°,
∴∠BAD=∠EDF,
∴△ABD∽△DFE
∴AB:DF=AD:DE
∵Rt△ADE是等腰直角三角形
∴AD:DE=1:√2
∴AB:DF=1:√2
∵ AB=2√2
∴DF=4
∵Rt△ADE是等腰直角三角形
∴∠AED=45°
∵ ∠EFD=45°
∴∠DEC=∠EFC=180°−45°=135°
又∵∠C=∠C
∴△DEC∽△EFC
∴DC:EC=EC:CF即EC2=FC⋅(4+FC)
∵EC=√5
∴ 5=FC(4+FC)
∴FC=1
解得CD=5．
【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造45°角将问题转化
为一线三角是解题的关键．
28．（2021上·吉林长春·九年级统考期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P
不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．
若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连
结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．
【60淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
20
【答案】【探究】3；【拓展】4或 ．
3
【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
拓展：证明 ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】探△究：证明：∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB=∠A+∠PDA，
即∠DPC+∠CPB=∠A+∠PDA，
∵∠A=∠DPC，
∴∠PDA=∠CPB，
又∵∠A=∠B，
∴△DAP∽△PBC，
PD AP
∴ = ，
PC BC
∵PD=4，PC=8，BC=6，
4 AP
∴ = ，
8 6
解得：AP=3；
拓展：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠CPB是 APC的外角，
∴∠CPB=∠△A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，
∵∠A=∠CPE，
∴∠ACP=∠BPE，
∵∠A=∠B，
∴△ACP∽△BPE，
当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，
【61淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，
∴CP=CE不成立；
当PC=PE时， ACP≌△BPE，
则PB=AC=8，△
∴AP=AB-PB=12−8=4；
当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，
∵∠B=∠CPE，
∴∠ECP=∠B，
∴PC=PB，
∵△ACP∽△BPE，
AC AP PC
∴ = = ，
BP BE EP
8 12−PB PB
即 = = ，
PB BE 8−BE
16
解得：PB= ，
3
16 20
∴AP=AB−PB=12− = ，
3 3
20
综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或 ．
3
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情
况讨论思想是解题的关键．
29．（2020·四川雅安·中考真题）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C
不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若
FG⊥BG．
（1）求证：△ABE∽△EGF；
（2）若EC=2，求△CEF的面积；
（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．
【62淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）见解析；（2）8；（3）5
【分析】（1）先判断出CG=FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE=∠FEG，进而得出
△ABE∽△EGF，即可得出结论；
AB BE
（2）先求出BE=8，进而表示出EG=2+FG，由△BAE∽△GEF，得出 = ，求出FG，最后用三角形
EG FG
面积公式即可得出结论；
1 25
（3）同（2）的方法，即可得出S =− (x−5) 2+ ，即可得出结论.
ECF 2 2
△
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCG=90°，
∵CF平分∠DCG，
1
∴∠FCG= ∠DCG=45°，
2
∵∠G=90°，
∴∠GCF=∠CFG=45°，
∴FG=CG，
∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，
∴∠B=∠G=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，
∴∠BAE=∠FEG，
∵∠B=∠G=90°，
∴△BAE∽△GEF；
（2）∵AB=BC=10，CE=2，
∴BE=8，
∴FG=CG，
∴EG=CE+CG=2+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
【63淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
AB BE
∴ = ，
EG FG
10 8
∴ = ，
2+FG FG
∴FG=8，
1 1
∴S = CE•FG= ×2×8=8；
ECF 2 2
△
（3）设CE=x，则BE=10-x，
∴EG=CE+CG=x+FG，
由（1）知，△BAE∽△GEF，
AB BE
∴ = ，
EG FG
10 10−x
∴ = ，
x+FG FG
∴FG=10-x，
1 1 1 25
∴S = ×CE×FG= ×x•（10-x）=− (x−5) 2+ ，
ECF 2 2 2 2
△
25
当x=5时，S = ，
ECF最大 2
△
∴当EC=5时，△CEF的面积最大.
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形
的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．
30．（2020·浙江杭州·统考一模）如图，在等边三角形ABC中，BC＝8，过BC边上一点P，作∠DPE＝
60°，分别与边AB，AC相交于点D与点E．
（1）在图中找出与∠EPC始终相等的角，并说明理由；
（2）若△PDE为正三角形时，求BD+CE的值；
（3）当DE∥BC时，请用BP表示BD，并求出BD的最大值．
【64淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）∠BDP＝∠EPC，理由见解析；（2）8；（3）BD＝√−BP2+8BP，BD的最大值为4．
【分析】（1）根据等边三角形的性质、三角形的外角性质解答；
（2）证明△BDP≌△CPE，根据全等三角形的性质得到BD＝CP，BP＝CE，结合图形计算，得到答案；
（3）证明△BDP∽△CPE，根据相似三角形的性质列式求出BP与BD的关系，根据二次函数的性质求出
BD的最大值．
【详解】解：（1）∠BDP＝∠EPC，
理由如下：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵∠DPE＝60°，
∴∠DPE＝∠B，
∵∠DPC是△BDP的外角，
∴∠DPE+∠EPC＝∠B+∠BDP，
∴∠EPC＝∠BDP；
（2）∵△PDE为正三角形，
∴PD＝PE，
在△BDP和△CPE中，
¿
∴△BDP≌△CPE（AAS），
∴BD＝CP，BP＝CE，
∴BD+CE＝CP+BP＝BC＝8；
（3）∵DE∥BC，△ABC为等边三角形，
∴△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵∠B＝∠C，∠EPC＝∠BDP，
∴△BDP∽△CPE，
BD BP BD BP
∴ = ，即 =
PC CE 8−BP BD
整理得，BD＝√−BP2+8BP，
﹣BP2+8BP＝﹣（BP﹣4）2+16，
【65淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴BD的最大值为4．
【点睛】此题主要考查等边三角形的性质、三角形的外角性质、全等三角形的判断与性质、相似三角形的
判断与性质以及二次函数的性质，灵活运用知识点进行逻辑证明是解题关键．
31．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）在矩形ABCD中，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE
折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处．
3
（1）如图1，若tan∠EFC= ，求AB:BC的值；
4
（2）如图2，在线段BF上取一点G，使AG平分∠BAF，延长AG，EF交于点H，若FG=BG+CF，求
AB:BC的值．
4 3
【答案】（1） ；（2） ．
5 5
3
【分析】（1）根据tan∠EFC= ，可设CE=3k，则CF=4k，DE=EF=5k，再证明△ABF∼△FCE，
4
由相似三角形性质即可用k表示出BF，从而求得比值；
1 1
（2）过点G作GM⊥AF于点M，由FG=BG+CF可得FG= BC= AF，再证△MFG∼△BFA，从
2 2
GM FM FG 1
而 = = = ，设BG=x，由角平分线性质可得：BG=MG=x，AB=AM=2x，设FM= y，
AB BF AF 2
4 AB AB
则BF=2y，由AB2+BF2=AF2列方程即可求出y= x，再根据 = 即可求出比值．
3 BC AF
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
【66淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
CE 3
∴tan∠EFC= = ，
CF 4
设CE=3k，则CF=4k，
∴DE=EF=5k，
又∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴△ABF∼△FCE，
AB BF
∴ = ，
CF CE
8k BF
∴ = ，
4k 3k
∴BF=6k，
∴BC=BF+CF=6k+4k=10k，
AB 8k 4
∴ = = ；
BC 10k 5
（2）如解图2，过点G作GM⊥AF于点M，
∵FG=BG+CF，FG+BG+CF=BC，
1 1
∴FG= AD= BC
2 2
∵AD=AF，
1
∴FG= AF
2
∵∠MFG=∠BFA，∠FMG=∠FBA=90°，
∴△MFG∼△BFA，
【67淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
GM FM FG 1
∴ = = = ，
AB BF AF 2
设BG=x，
∵AG平分∠BAF, GB⊥AB, GM⊥AF，
∴BG=MG=x，AB=AM=2x，
设FM= y，则BF=2y，
∵AB2+BF2=AF2
4
∴(2x) 2+(2y) 2=(2x+ y) 2，解得y= x
3
而AF=AM+MF，
4 10
∴2x+ x= x，
3 3
AB AB 2x 3
= = =
∴BC AF 10 5．
x
3
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，也考查了三角形相似的判定与性质、勾股定理、三角函数和角平
分线的性质．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状
和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．难点是构造垂直利用角平分线性质得线段相等并利用相似
进行求解．
32．（2020·江苏宿迁·统考中考真题）【感知】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在
AE DE
边CD上，∠AEB=90°，求证： = ．
EB CB
【探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，
EF AE
∠FEG=∠AEB=90°，且 = ，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
EG EB
AE DE
【拓展】（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且 = ，过E作EF交AD于
EB EC
点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．
【68淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
AE DE
【分析】（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出 = ，则可
EB CB
得出结论；
EF DE
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知 = ，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），
EG GM
可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
AE EF DE EF
证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出 = ，证明△DEF∽△ECN，则 = ，得出
BE BM EC CN
EF EF
= ，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
BM CN
【详解】（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
AE DE
∴ = ；
EB CB
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，
【69淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
EF DE
同（1）的理由可知： = ，
EG GM
EF AE AE DE
∵ = ， = ，
EG EB EB CB
DE DE
∴ = ，
GM CB
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
¿，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，
过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
AE EF
∴ = ，
BE BM
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
【70淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DE EF
∴ = ，
EC CN
AE DE
又∵ = ，
EB EC
EF EF
∴ = ，
BM CN
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
¿，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的
性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
33．（2021·浙江衢州·统考中考真题）【推理】
如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，
CF，延长CF交AD于点G．
（1）求证：△BCE≌△CDG．
【运用】
HD 4
（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若 = ，CE=9，求线段DE的长．
HF 5
【拓展】
AB
（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，两点，若 =k，
BC
HD 4 DE
= ，求 的值（用含k的代数式表示）．
HF 5 EC
√k2+9
【答案】（1）见解析；（2）DE=3√10；（3） 或√9k2+1
3
【71淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）根据ASA证明△BCE≌△CDG；
（2）由（1）得CE=DG=9，由折叠得∠BCF=∠BFC，进一步证明HF=HG，由勾股定理得
H F2+FE2=DH2+DE2，代入相关数据求解即可；
（3）如图，连结HE，分点H在D点左边和点H在D点右边两种情况，利用相似三角形的判定与性质得出
DE的长，再由勾股定理得H F2+FE2=DH2+DE2，代入相关数据求解即可．
【详解】（1）如图，∵△BFE由△BCE折叠得到，
∴BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°．
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BCE=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
又∵ 正方形ABCD,
∴BC=CD,，
∴△BCE≌△CDG(AAS)．
（2）如图，连接EH，
由（1）得△BCE≌△CDG，
∴CE=DG=9，
由折叠得BC=BF，CE=FE=9，
【72淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠BCF=∠BFC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠BCG=∠HGF，
又∵∠BFC=∠HFG，
∴∠HFG=∠HGF，
∴HF=HG．
HD 4
∵ = ，DG=9，
HF 5
∴HD=4，HF=HG=5．
∵∠D=∠HFE=90°
∴H F2+FE2=DH2+DE2，
∴52+92=42+DE2，
∴DE=3√10（DE=−3√10舍去）．
（3）如图，连结HE，
HD 4 DE
由已知 = 可设DH=4m，HG=5m，可令 =x，
HF 5 EC
①当点H在D点左边时，如图，
同（2）可得，HF=HG，
∴DG=9m，
由折叠得BE⊥CF，
∴∠ECF+∠BEC=90°，
又∵∠D=90°，
∴∠ECF+∠CGD=90°，
∴∠BEC=∠CGD，
又∵∠BCE=∠D=90°，
【73淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴△CDG∽△BCE，
DG CD
∴ = ，
CE BC
CD AB
∵ = =k，
BC BC
9m k
∴ = ，
CE 1
9m
∴CE= =FE，
k
9mx
∴DE= ．
k
∵∠D=∠HFE=90°，
∴H F2+FE2=DH2+DE2，
9m 2 9mx 2
∴(5m) 2+( ) =(4m) 2+( ) ，
k k
√k2+9 −√k2+9
∴x= （x= 舍去）．
3 3
DE √k2+9
∴ =
EC 3
②当点H在D点右边时，如图，
同理得HG=HF，∴DG=m，
同理可得△BCE∽△CDG，
m mx
可得CE= =FE，∴DE= ，
k k
∵H F2+FE2=DH2+DE2，
m 2 mx 2
∴(5m) 2+( ) =(4m) 2+( ) ，
k k
【74淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴x=√9k2+1（x=−√9k2+1舍去）．
DE
∴ =√9k2+1
EC
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，
相似三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加
适当辅助线构造三角形．
．
34．（2020·四川成都·统考中考真题）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ΔBCE沿BE翻折，使点C恰
好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求BC的长；
AB
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，求
BC
出的值．
【75淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
3
【答案】（1）15°；（2）3√5；（3）
5
【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，先得到∠AFB=30°，再由折叠的性质可得到
∠CBE=15°；
（2）由三等角证得ΔFAB∽ΔEDF，从而得DE=2，EF=CE=3，再由勾股定理求出DE，则
BC=AD=3√5；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，可证得ΔNFG∽ΔBFA．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及
角平分线的性质即可得解．
【详解】（1）∵矩形ABCD，
∴∠A=90°，AD//BC
1
由折叠的性质可知BF=BC=2AB，∠CBE= ∠CBF，
2
∴∠AFB=30°，
∴∠FBC=∠AFB=30°，
∴∠CBE=15°
（2）由题意可得∠A=∠D=90°，
∠AFB+∠DFE=90°，
∠FED+∠DFE=90°
∴∠AFB=∠≝¿
∴ΔFAB∽ΔEDF
AF AB
∴ = ，
DE DF
AF·DF 10
∴DE= = =2
AB 5
【76淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴EF=CE=3，
由勾股定理得DF=√32−22=√5，
10
∴AF= =2√5，
√5
∴BC=AD=AF+FD=3√5；
（3）过点N作NG⊥BF于点G．
∴∠NGF=∠A=90°
又∵∠BFA=∠NFG
∴ΔNFG∽ΔBFA．
NG FG NF
∴ = = ．
AB FA BF
1 1 1
∵NF=AN+FD，即NF= AD= BC= BF
2 2 2
NG FG NF 1
∴ = = = ，
AB FA BF 2
又∵BM平分∠ABF，NG⊥BF，∠A=90°，
∴NG=AN，
1
∴NG=AN= AB，
2
FG BF−BG BC−AB 1
= = =
∴ FA AN+NF 1 1 2
AB+ BC
2 2
AB 3
整理得： = ．
BC 5
【点睛】本题是一道矩形的折叠和相似三角形的综合题，解题时要灵活运用折叠的性质和相似三角形的判
【77淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
定与性质的综合应用，是中考真题．
35．（2020·山东济南·校考二模）矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB、OA所在直线为x轴、y轴，
建立如图1所示的平面直角坐标系．F是BC边上一个动点（不与B、C重合）．过点F的反比例函数y＝
k
（k＞0）的图象与边AC交于点E．
x
(1)当点F运动到边BC的中点时，点E的坐标为__________；
(2)连接EF，求∠FEC的正切值；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求BG的长度．
【答案】(1)(2，3)
4
(2)
3
9
(3)
4
【分析】（1）求出点F的坐标，进而求出反比例函数的表达式，即可求解；
（2）由CF=BC-BF，CE=AC-AE，求出CF、CE，即可求解；
（3）证明 EHG∽ GBF，即可求解．
【详解】（△1）解：△∵OB=4，OA=3，
∴点A、B、C的坐标分别为：（0，3）、（4，0）、（4，3），
3
点F运动到边BC的中点时，点F（4， ），
2
k
将点F的坐标代入y= 并解得：k=6，
x
6
故反比例函数的表达式为：y= ，
x
6
当y=3时，x= =2，故E(2，3)，
3
故答案为：(2，3)；
【78淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）解：∵F点的横坐标为4，点F在反比例函数上，
k
∴F（4， ），
4
k 12−k
∴CF=BC-BF=3- = ，
4 4
∵E的纵坐标为3，
k
∴E（ ，3），
3
k 12−k
∴CE=AC-AE=4- =
3 3
CE 4
在Rt CEF中，tan∠EFC= = ；
CF 3
△
12−k 12−k
（3）解：如图，由（2）知，CF= ，CE= ，
4 3
CE 4
= ，
CF 3
过点E作EH⊥OB于H，
∴EH=OA=3，∠EHG=∠GBF=90°，
∴∠EGH+∠HEG=90°，
由折叠知，EG=CE，FG=CF，∠EGF=∠C=90°，
∴∠EGH+∠BGF=90°，
∴∠HEG=∠BGF，
∵∠EHG=∠GBF=90°，
∴ EHG∽ GBF，
△EH E△G CE
∴ = = ，
BG FG CF
3 4
∴ = ，
BG 3
【79淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
9
∴BG= ．
4
【点睛】本题考查的反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似、解直角三角形等，综合
性强，难度适中．
题型 05 线束模型
已知 图示 结论（性质）
若DE∥BC DF BG
① = （左图）
A A
EF CG
②DF:FG:EG=BH:HI:CI（右图）
D F E D F G E
B G C B H I C
【基础】 【进阶】
若AB∥CD AE DF
A E B A E F B ① = （左图）
BE CF
②AE:EF:BF=DH:HG:CG（右图）
O O
C F D C G H D
【基础】 【进阶】
36．（2022上·浙江宁波·九年级校考期中）【基础巩固】
(1)如图1， 在△ABC中， D，E，F分别为AB，AC，BC上的点， DE∥BC,AF交DE 于点G，
DG BF
求证： = ．
EG CF
【尝试应用】
【80淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(2)如图2， 已知D、E为△ABC的边BC上的两点， 且满足BD=2DE=4CE， 一条平行于AB的直线
LM
分别交AD、AE和AC于点L、M和N， 求 的值．
MN
【拓展提高】
(3)如图3， 点E是正方形ABCD的边CD上的一个动点， AB=3， 延长CD至点F， 使 DF=2DE，
连接CG， 求CG的最小值．
【答案】(1)见解析；
LM 7
(2) = ；
MN 2
9
(3) √10．
10
DG AG
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ADG∼△ABF，△AGE∼△AFC，得到 = ，
BF AF
GE AG DG GE DG BF
= ，整理可得 = ，即 = ；
FC AF BF FC EG CF
（2）如图，过点M作PF∥BC交AB于点P，交AD于点Q，交AC于点F，由（1）中结论可得，
PQ=2QM=4MF，证明△FMN∼△FPA，△MLQ∼△PAQ，根据相似三角形的性质可得
MN MF 1 LM QM 1 LM 7
= = ， = = ，整理可得 = ；
AP PF 7 AP PQ 2 MN 2
（3）如图，延长DG交AB于点H，证明△DEG∼△HAG，△DFG∼△HBG，根据相似三角形的性质和
DF=2DE可得AH=1，由此可得：点H为定点，点G在线段DH上运动，当CG⊥DH时，CG有最小
值，利用等积法求得CG⊥DH时CG的值即可．
【详解】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠AFB，∠AEG=∠ACF，∠AGE=∠AFC，
∴△ADG∼△ABF，△AGE∼△AFC，
DG AG GE AG
∴ = ， = ，
BF AF FC AF
DG GE
∴ = ，
BF FC
DG BF
∴ = ．
EG CF
（2）如图，过点M作PF∥BC交AB于点P，交AD于点Q，交AC于点F，
【81淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∵PF∥BC，BD=2DE=4CE
由（1）中结论可得，PQ=2QM=4MF，
∵LM∥AB，
∴∠FNM=∠FAP，∠FMN=∠FPA，∠QLM=∠PAQ，∠AQP=∠LQM，
∴△FMN∼△FPA，△MLQ∼△PAQ，
MN MF 1 LM QM 1
∴ = = ， = = ，
AP PF 7 AP PQ 2
LM 7
∴ = ．
MN 2
（3）如图，延长DG交AB于点H，
∵AB∥FC，
∴△DEG∼△HAG，△DFG∼△HBG，
DE DG FD DG
∴ = ， = ，
AH HG HB HG
DE FD
∴ = ，
AH HB
∵DF=2DE，
∴BH=2HA，
∵AB=3，
∴AH=1，
由此可得：点H为定点，点G在线段DH上运动，
【82淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
当CG⊥DH时，CG有最小值，
∵AH=1,AD=AB=3，
∴DH=√AH2+AD2=√10，
∵CG⊥DH，
1 1
∴S = CD×BC= DH×CG，
△CDH 2 2
9
∴CG= √10，
10
9
即CG的最小值为 √10．
10
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题
的关键．
37．（2022·浙江宁波·统考中考真题）
(1)如图1，在△ABC中，D，E，F分别为AB,AC,BC上的点，DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G，
求证：DG=EG．
DE
(2)如图2，在（1）的条件下，连接CD,CG．若CG⊥DE,CD=6,AE=3，求 的值．
BC
(3)如图3，在 ▱ABCD中，∠ADC=45°,AC与BD交于点O，E为AO上一点，EG∥BD交AD于点
G，EF⊥EG交BC于点F．若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10，求BF的长．
【答案】(1)证明见详解
1
(2)
3
(3)5+5√3
【83淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】（1）利用DE∥BC，证明△ADG∼△ABF,△AEG∼△ACF，利用相似比即可证明此问；
DE
（2）由（1）得DG=EG，CG⊥DE，得出△DCE是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 的值；
BC
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE交AB于点M，连接FM，作MN⊥BC，垂足为N．构造
出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN、FN的值，即可得出BF的长．
【详解】（1）解：∵DE∥BC，
∴△ADG∼△ABF,△AEG∼△ACF，
DG AG EG AG
∴ = , = ，
BF AF CF AF
DG EG
∴ = ．
BF CF
∵BF=CF，
∴DG=EG．
（2）解：由（1）得DG=EG，
∵CG⊥DE，
∴CE=CD=6．
∵AE=3，
∴AC=AE+CE=9．
∵DE∥BC，
∴△ADE∼△ABC．
DE AE 1
∴ = = ．
BC AC 3
（3）解：如图，延长GE交AB于点M，连接FM，作MN⊥BC，垂足为N．
在 ▱ABCD中，BO=DO,∠ABC=∠ADC=45°．
∵EG∥BD，
∴由（1）得ME=≥¿，
∵EF⊥EG，
∴FM=FG=10，
【84淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴∠EFM=∠EFG．
∵∠EGF=40°，
∴∠EMF=40°，
∴∠EFG=50°．
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG=∠CFG=50°，
∴∠BFM=180°−∠EFM−∠EFG−∠CFG=30°．
∴．在Rt△FMN中，MN=FMsin30°=5,FN=FMcos30°=5√3．
∵∠MBN=45°,MN⊥BN，
∴BN=MN=5，
∴BF=BN+FN=5+5√3．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，
遵循构第（1）、（2）小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．
38．（2023·全国·九年级专题练习）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的
直线分别交AB、AC于点E、F．
BE CF
(1)如图1，当EF∥BC时，求证： + =1；
AE AF
(2)如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成
立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．
(3)如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请
给出证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，证明见解析
(3)不成立，理由见解析
【分析】（1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；
【85淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，得出△BME∽△ANE，
△CMF∽△ANF，得出比例式解答即可；
（3）分两种情况：当F点与C点重合时，E为AB中点，BE=AE；点F在AC的延长线上时，BE>AE，
BE BE CF BE CF
得出 >1，则 + >1，同理：当点E在AB的延长线上时， + >1，即可得出结论．
AE AE AF AE AF
【详解】（1）证明：∵G是△ABC重心，
DG 1
∴ = ，
AG 2
又∵EF∥BC，
BE DG 1 CF DG 1
∴ = = ， = = ，
AE AG 2 AF AG 2
BE CF 1 1
则 + = + =1；
AE AF 2 2
（2）解：（1）中结论成立，理由如下：
如图2，过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N，FE、CB的延长线相交于点M，
则△BME∽△ANE，△CMF∽△ANF，
BE BM CF CM
∴ = ， = ，
AE AN AF AN
BE CF BM CM BM+CM
∴ + = + = ，
AE AF AN AN AN
又∵BM+CM=BM+CD+DM，
而D是BC的中点，即BD=CD，
∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM，
BE CF 2DM
∴ + = ，
AE AF AN
【86淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
DM DG 1
又∵ = = ，
AN AG 2
BE CF 1
∴ + =2× =1，
AE AF 2
故结论成立；
（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：
当F点与C点重合时，E为AB中点，，
点F在AC的延长线上时，BE>AE，
BE BE CF
∴ >1，则 + >1，
AE AE AF
BE CF
同理：当点E在AB的延长线上时， + >1，
AE AF
∴结论不成立．
【点睛】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成
比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相
似是解题的关键．
题型 06 三角形内接矩形模型
已知 图示 结论（性质）
若四边形DEFG为矩 ①∆ABC~∆ADG
A
形，AN⊥BC
AD AG DG AM
② = = =
AB AC BC AN
D M G
③若四边形DEFG为正方形
DG AM
即 = 若假设DG=x
BC AN
B C
E N F x AN−x
则 = 若已知BC、AN长，即可求出
BC AN
x的值
39．（2021上·贵州铜仁·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°,AB=3,AC=4，正方形
DEFG的顶点D,G分别在AB,AC的边上，E,F在BC边上，则正方形DEFG的边长等于 ．
【87淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
60
【答案】
37
【分析】根据勾股定理求出BC长，再根据相似，设出BE，DE，FC长，列方程即可．
【详解】解：∵∠A=90°,AB=3,AC=4，
∴BC=√AC2+BA2=√42+32=5，
∵四边形DEFG是正方形，
∴∠DEB=∠A=90°，
∠B=∠B，
∴△ABC∽△EBD，
AB AC
∴ = ，
BE DE
BE 3
即 = ，
DE 4
FG 3
同理， = ，
FC 4
16
设BE为3x，则DE为4x，FC为 x，
3
16
3x+4x+ x=5
3
15
解得，x= ，
37
15 60
DE=4× = ，
37 37
60
故答案为：
37
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键是根据相似三角形建立正方形边长与
其他线段的关系，根据斜边长设未知数列方程．
40．（2015·广西崇左·中考真题）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把
它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
【88淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证：△AEF∽△ABC；
（2）求这个正方形零件的边长；
（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．
【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
（2）设正方形零件的边长为x，
在正方形EFHG中，EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
EF AK x 80−x
∴ = 即 = ，
BC AD 120 80
解得：x=48，
即：正方形零件的边长为48；
（3）设长方形的长为x，宽为y，
x 80−y
当长方形的长在BC时， = ，
120 80
2
y=80− x，
3
2 2
s=xy=x(80− x)=− x2+80x，
3 3
当x=60时，
长方形的面积最大为2400．
考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用．
41．（2020·广东·华南师大附中校考模拟预测）如图,在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形
EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．
【89淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线AD匀速向上运动(当矩形的边
PQ到达A点时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关
系式，并写出t的取值范围．
5
5− t2 (0≤t≤2)
5 8
【答案】（1）见解析；（2）当x为 时，矩形的面积有最大值5；（3）S={
2 5
t2−5t+10(2＜t≤4)
8
【分析】（1）由条件可得EF∥BC，根据相似三角形的判定即可求证；
AH EF
（2）由（1）可得 = ，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；
AD BC
（3）当0≤t＜2时，设矩形EFPQ与AB、AC的交点分别为M、N、R、S，可利用平行表示出MN的长，
可表示出△EMS和△NFR的面积，进一步可表示出重叠部分的面积；当2≤t≤4时，重叠部分为△P′Q′A，
利用平行分别用x表示出其底和高，可表示出面积．
【详解】解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC；
（2）∵△AEF∽△ABC
AH EF 4−HD x
∴ = ，即 = ，
AD BC 4 5
4x
∴HD=4- ，
5
4x 4
∴S =EF•FQ=EF•HD=x（4- ）=- x2+4x，
矩形EFPQ 5 5
5
该函数为开口向下的二次函数，故当x= 时有最大值，最大值为5，
2
【90淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
5
即当x为 时，矩形的面积有最大值5；
2
5
（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF= ，FQ=2，
2
①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交于点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD
于K，
由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，
5
又∵RS= ，
2
∴R、S为AB、AC的中点，
1
∴AK= AD=2，ES=FR=JK=t，
2
又∵MN∥RS，
2−t MN
AJ MN =
∴ = ，即 2 5 ，
AK RS
2
5 5
∴MN= - t，
2 4
5 5 5 5
∴EM+FN=EF-MN= -（ - t）= t，
2 2 4 4
1 1 5 5
∴S +S = ES（EM+FN）= t• t=
t2
，
EMS FNR 2 2 4 8
△ △
5
∴S=S -（S +S ）=5-
t2
；
矩形EFPQ EMS FNR 8
△ △
②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，
【91淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
根据题意D′D=t，则AD′=4-t，
∵PQ∥BC，
P'Q' AD' P'Q' 4−t
∴ = ，即 = ，
BC AD 5 4
5
解得P′Q′=5- t，
4
1 1 5 5
∴S=S = P′Q′•AD′= （4-t）（5- t）=
t2
-5t+10；
AP′Q′ 2 2 4 8
△
5
5− t2 (0≤t≤2)
8
综上可知S={ ．
5
t2−5t+10(2＜t≤4)
8
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质及函数的性质，在（2）中用x表示出矩形的面积是解题的关键，
在（3）中确定出重叠部分的图形是解题的关键．
42．（2021上·九年级课时练习）一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能
把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪
位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．
【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．
【92淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合
要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得
到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角
形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．
【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图
1
∵S = AB⋅BC
△ABC 2
2×1.5
∴BC= =2
1.5
5
∵AC=√AB2+BC2=√1.52+22=
2
1
∴S = AC⋅BH
△ABC 2
6
∴BH=
5
又∵DE∥AC
DE BM
∴ =
AC BH
6
−x
x 5 30
∴ = ，解得x=
5 6 37
2 5
设正方形的边长为x米，如图乙
∵DE∥AB
DE CD
∴ =
AB CB
x 2−x 6
∴ = ，解得x=
1.5 2 7
6 30
∵ >
7 37
【93淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴乙木匠的加工方法符合要求．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立
数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．
43．（2020上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交
EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．
20
【答案】
3
AM EH
【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式 = ，代入数值求解即可．
AD BC
【详解】解： ∵四边形EFGH是正方形
∴EH∥BC
∴ AEH∽ ABC
△AM E△H 20−EH EH
∴ = ，即 =
AD BC 20 10
20
解得：EH=
3
20
∴EFGH的边长为
3
【点睛】本题考查相似三角形的应用，根据正方形的性质得到 AEH∽ ABC是解题关键．
44．（2019上·宁夏银川·九年级校考期中）如图在锐角ΔABC中△，BC=
△
6,S =12，两动点M,N分别
ΔABC
在AB,AC上滑动，且MN//BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN=x，正方形MPQN与
ΔABC公共部分的面积为y．
（1）求出ΔABC的边BC上的高
（2）如图1，当正方形MPQN的边PQ恰好落在边BC上时，求x的值
（3）如图2，当PQ落在ΔABC外部时，求出y与x的函数关系式
【94淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】（1）求出ΔABC的边BC上的高AD=4；（2）当x=2.4时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；
（3）y=x ( − 2 x+4 ) =− 2 x2+4x(2.4
